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Grandezze sinusoidali

Funzioni di tipo sinusoidale

f(t) = F cos (f(t) = F cos ( t + t + ) )p.es. tensioni,

correnti, potenze

f(t)

t

F

Ampiezza

l ‘ampiezza ha le stesse dimensioni della grandezza considerata (p.es. Volt, Ampère, ecc.)

F

- F

variazione di ampiezzaf(t)

t

t + Fase (o argomento)

fase in radianti (più raramente in gradi)

Pulsazione

pulsazione in radianti al secondo (rad/s)

t = 2 f t = 2 t / T

= 2 f = 2 / T

f : frequenza Hertz (Hz)

KHz, MHz, GHz

T : periodo

variazione di frequenzaf(t)

t

Fase (iniziale)

in radianti (rad); raramente in gradi è la fase t + per t = 0

variazione di fase

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Numeri Complessi (introduzione)

Nella analisi dei circuiti elettrici Nella analisi dei circuiti elettrici (e in gran parte dell’ingegneria) le grandezze sinusoidali(e in gran parte dell’ingegneria) le grandezze sinusoidalisono trattate con l’algebra dei numeri complessi sono trattate con l’algebra dei numeri complessi

Nozioni necessarie:Nozioni necessarie:rappresentazione di numeri complessi come vettorirappresentazione di numeri complessi come vettorirappresentazione cartesianarappresentazione cartesianaalgebra elementare (quattro operazioni)algebra elementare (quattro operazioni)rappresentazione polarerappresentazione polareformula di Euleroformula di Eulero

Nell’analisi dei circuiti, il termine vettore è usato spesso come sinonimo di numero complesso. Ciò non è vero in altri campi della scienza e della tecnica

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Im

Re

piano complesso

Numeri Complessi (piano complesso)

Unità immaginaria j = -1 ; jUnità immaginaria j = -1 ; j22 = - 1 = - 1

Numero complesso (forma cartesiana) Numero complesso (forma cartesiana) ZZ = a + j b = a + j b

Notazione : Notazione : a = Re[ a = Re[ ZZ ] ; Re[ . ] parte reale ] ; Re[ . ] parte realeb = Im[ b = Im[ ZZ ] ; Im[ . ] parte immaginaria ] ; Im[ . ] parte immaginaria

Z

a

b

Z = a+jb

Numero coniugato : Z* = a - jb

Z*

-b

Risulta : Z + Z* = a+jb + a-jb = 2a = 2 Re[ Z ]

Notazione : Z (senza sottolineatura) = | Z |

modulo di Z (lunghezza del vettore)

| Z | = a2+b2

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Numeri Complessi (algebra)

Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d) Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d)

Sottrazione : (a + j b) - (c + j d) = (a-c) + j (b-d) Sottrazione : (a + j b) - (c + j d) = (a-c) + j (b-d)

Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac - bd) + j (ad + bc) Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac - bd) + j (ad + bc)

Norma : Norma : ZZ ZZ* = (a + jb) (a - jb) = a* = (a + jb) (a - jb) = a22 + b + b22 = | = | ZZ | |22 = Z = Z22

Divisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(c-jd)/(cDivisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(c-jd)/(c22+d+d22) )

Im

Re

Somma Z1 = -1 + j Z1

Z2 = 1 -2 j

Z2

Zs = Z1 + Z2 = - j

Per sommare due o più vettori si disegnano in successione. Il vettore somma è il vettore congiungente l’origine del primo con il vertice dell’ultimo

Im

Re

Z1

Z2 Zs

Im

Re

Somma algebricaIm

Re

Z1

Z2

Z3

Z1 – Z2 + Z3

Zs

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Numeri Complessi (forma polare)

Numero complesso (forma polare) Numero complesso (forma polare) ZZ = = ( cos ( cos + j sin + j sin ) )

CartesianaCartesianaZZ = a + j b = a + j b

Cartesiana Polare Cartesiana Polare

a = a = cos cos

b = b = sin sin

Cartesiana Polare Cartesiana Polare

= | = | ZZ | = a | = a22 + b + b22

atg ( b / a ) per a > 0 atg ( b / a ) per a > 0 atg ( b / a ) + atg ( b / a ) + per a < 0 per a < 0 = =

Im

Re

Im

Re

Z1 = 1 + j

1

1/4

2 = 2

= atg (1) = /4

modulomodulo fase (argomento) fase (argomento)

Im

Re

Im

Re

Z1 = - 1 - j

-1

-1

2

/4 = 2

= atg (1) + = = /4 +

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Numeri Complessi (formula di Eulero)

Esponenziale Esponenziale Definizione dell’espressione Definizione dell’espressione e e jj

Nel campo dei numeri reali Nel campo dei numeri reali

e = lim (1 + 1 / m ) e = lim (1 + 1 / m ) mm mm ee base dei logaritmi naturali base dei logaritmi naturali

Calcolo di eb ( b reale) e b = lim (1 + 1 / m ) mb m

Ponendo m b = n ( m = n/b ) : e b = lim (1 + b / n ) n n

Questa espressione è utilizzata per definire Questa espressione è utilizzata per definire e e jj

e e jj = lim ( 1 + j = lim ( 1 + j / n ) / n ) nnn

Proprietà dell’espressione Proprietà dell’espressione lim ( 1+ j lim ( 1+ j / n ) / n ) nn

nn

Si ponga, ad esempio, Si ponga, ad esempio, = 1,2= 1,2 e si determinie si determini

( 1 + j 1,2 / n ) ( 1 + j 1,2 / n ) kk

con con k = 0, 1, 2, …, nk = 0, 1, 2, …, ne e n = 1000n = 1000

Im

Re1

I numeri calcolati si dispongonocon ottima approssimazione su un arco di cerchio di raggio 1. La lunghezza dell’arco è pari a1,2 (cioè il valore di ). Pertanto l’angolo è pari a (in radianti)

Il numero

(1 + j 1,2 / n ) n

con n = 1000 corrisponde all’estremo dell’arco

Si dimostra :Si dimostra :

Im

Re1

1

Modulo: | Modulo: | e e j j | = | = lim | 1+ j lim | 1+ j / n | / n | n n = 1= 1 nn

Argomento Arg [ Argomento Arg [ e e j j ] = ] = = = lim lim Arg [ Arg [ (1+ j (1+ j / n ) / n ) n n ] ] = = nn

In forma In forma polarepolare

e e j j = = cos cos + j sin + j sin

Formula di EuleroFormula di Eulero

Numero complesso (forma polare)Numero complesso (forma polare)

ZZ = = ( cos ( cos + j sin + j sin ) )

espressione trigonometrica = = e e j j

espr. esponenziale

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Fasori

Dalla formula di Eulero Dalla formula di Eulero e e jj = cos = cos + j sin + j sin e e -j-j = cos = cos - j sin - j sin cos cos = (e = (e jj+ e + e -j-j)/2)/2

cos cos = = Re [ Re [ e e jj]]Espressione del coseno Espressione del coseno

I numeri ej e e-j sono complessi coniugati

Le due espressioni di cos sono assolutamente equivalenti

La seconda espressione di cos si può ottenere dalla prima (la semisomma di due numeri complessi coniugati è sempre pari alla parte reale di uno dei due)oppure sommando membro a membro le espressioni di e j e di e - j

f(t) = F cos (f(t) = F cos ( t + t + ) ) = F = F Re [Re [e e j(j( t + t + ) )]] = =tenendo conto che F è reale = = Re [Re [ F e F e jj e e jj t t ]] = =

FF = F e = F e jj

fasore= = Re [Re [ FF e e jj t t ]] = =

F* = F e -j = [ = [ FF e e jj t t + + FF** e e -j-j t t ] ]1122

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Fasori

Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori

f(t) = F cos (f(t) = F cos ( t + t + ) )funzione

FF = F e = F e jj

fasore

L’ampiezza L’ampiezza FF della funzione corrisponde della funzione corrisponde all’ampiezza all’ampiezza FF (modulo) del fasore (modulo) del fasore

La fase (iniziale) La fase (iniziale) della funzione corrisponde della funzione corrisponde alla fase alla fase del fasore del fasore

La pulsazione La pulsazione della funzione non è rappresentata dal fasore della funzione non è rappresentata dal fasore

Si possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna con la propria Si possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna con la propria ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota e uguale per ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota e uguale per tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali)tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali)

= 2 = 2 f f assegnata Vi è una corrispondenza biunivoca fra funzioni e fasori

Analisi dei circuiti con il metodo dei fasori

Ipotesi Tutte le funzioni relative a tensioni e correnti del circuito sono sinusoidali (con ampiezze e fasi diverse)

Tutte le pulsazioni (frequenze) sono uguali

Metodo Trasformare tutte le funzioni note in fasori

Risolvere il circuito considerando solo fasori(il calcolo è più semplice di quello effettuato direttamente nel tempo)

Trasformare i fasori d’interesse nelle funzioni corrispondenti

Notazione La lettera “F” ha vari significati:

f (minuscolo) è la funzione del tempo f(t)F (maiuscolo) è l’ampiezza (modulo)F (maiuscolo e sottolineato) è il fasore

( ovviamente risulta F = | F | )

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Trasformazione:

Fasori (trasformazioni)

funzione sinusoidale in fasore funzione sinusoidale in fasore f(t) = F cos (f(t) = F cos ( t + t + ) )1. Esprimere la funzione in forma standard

FF = F e = F e jj 2. Identificare il fasore con ampiezza e fase

Esempio

f(t) = 4 cos ( t + )

F = 4 e j

F = 4 (cos + j sin )

F = 2 2 + j 2 2

Im

Re

4

Esempio Im

Re

f(t) = 3 sin 5 t = 3 cos ( 5 t – / 2 )

F = 3 e - j 3

= - 3 j

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Fasori (trasformazioni)

Trasformazione: fasore in funzione sinusoidale fasore in funzione sinusoidale

f(t) = F cos (f(t) = F cos ( t + t + ) )2. Identificare la funzione sinusoidale

FF = F e = F e jj 1. Esprimere il fasore in forma polare

Esempio Im

Re

F = -1 + j

-1

j2 3 / 4

2= e j 3 / 4

f (t) = cos ( t + 3 / 4 )2

Poiché non è stato assegnato, non può essergli attribuito alcun valore

Trasformazione: fasore in funzione sinusoidale fasore in funzione sinusoidale Metodo alternativo

f (t) = f (t) = Re [Re [FF e e jj t t ]] Applicare l’espressione diretta

Esempio Im

Re

j

-1

F = -1 + j

f (t) = Re [ (-1 + j ) e j t ] = = Re [ (-1 + j ) (cos t + j sin t ) ] =

basta calcolare i termini della parte reale del prodotto

= - cos t - sin t

Esempio Im

Re

j

-1

da F = -1 + j si è ottenuto

f (t) = cos ( t + 3 / 4 ) 1° metodo2

f (t) = - cos t - sin t 2° metodo

le due espressioni sono equivalentie si possono ricavare l’una dall’altracon il calcolo trigonometrico

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Im

Re

Si consideri un fasore F

F

Fasori (metodo grafico)

Trasformazione grafica di fasori in funzioni Trasformazione grafica di fasori in funzioni

f (t) = f (t) = Re [Re [FF e e jj t t ]] 1. RR = = FF e e jj t t

2. f (t) = f (t) = Re [ Re [ RR ]]

vettore rotanteIl vettore rotante R = F e jt

ha le seguenti proprietà :

c) il suo argomento cresce con il tempo

a) | R | =| F | ( poiché |e jt | =1 )b) è funzione del tempo ( F non lo è)

R descrive un cerchio con velocitàangolare f ( f giri al secondo)

In un insieme di grandezze isofrequenziali tutti i vettori rotanti girano alla stessa velocità mantenendo le reciproche differenze di fase

Il fasore F è pari alvettore rotante R per t = 0

La funzione sinusoidale è data dalla parte reale di R (la proiezione di R sull’asse reale)

f(t)

t

Im

Re

F

F

-F

Re [F ]

per t = 0, f(t) è decrescente

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IpotesiIpotesi v(t), i(t) sinusoidaliv(t), i(t) sinusoidali

Bipoli in regime permanente

+

v(t)

i(t)

v(t) = V cos (v(t) = V cos ( t + t + ) )

i(t) = I cos (i(t) = I cos ( t + t + ))

Si dice che il bipolo è in regime permanente

Fasori di tensione e corrente:

VV = V e = V e jj II = I e = I e jj

= = Re[ Re[ VV e e jj t t ]]

= = Re[ Re[ II e e jj t t ]]

Il bipolo indicato si dice nel dominio del tempo

bipolo nel dominio del tempo

Indicando i fasori invece delle grandezze nel tempo si ottieneIl bipolo nel dominio dei fasori

+

V

I

bipolo nel dominio dei fasori

Il bipolo nel dominio dei fasori è utilizzato solo a scopi di calcolo

Nel bipolo reale le grandezze elettriche sono sempre funzioni reali del tempo

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Potenza in regime permanente

+

V

I

bipolo nel dominio dei fasori

Potenza (entrante)Potenza (entrante) p(t) = v(t) i(t)p(t) = v(t) i(t)In regime permanente

p(t) =p(t) = Re[ Re[ VV e e jj t t ] Re[ ] Re[ II e e jj t t ] =] =

((VV e e jj t t + + VV* e * e -j-j t t ) ( ) ( II e e jj t t + + II* e * e –j–j t t ) =) =1144

((VV II e e j2j2 t t + + VV* * II* e * e –j2–j2 t t + + VV II** + + VV** II ) = ) =1144

1122 = Re [ = Re [ VV II e e j2j2 t t ]] + Re [ + Re [ VV II** ]]11

22

L’andamento nel tempo della potenza in regime permanente consta di due

termini: il primo dipende dal tempo ed è di tipo sinusoidale con pulsazione 2,il secondo è un termine costante

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Potenza attiva + V

I

1122p(t)p(t) = Re [ = Re [ VV II e e j2j2 t t ]] + Re [ + Re [ VV II** ]]11

22

In contrapposizione p(t) è detta potenza istantanea

PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122

Si definisce potenza attiva

PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122 = Re [= Re [V e V e jj I e I e -j-j ]]11

22 = = V I cos (V I cos ( – – ))1122

Definiti i valori efficaci VVeffeff = V = V 1122

IIeffeff = I = I 1122

detto == – – si ha PPaa = = VVeffeff I Ieffeff cos cos

I valori efficaci sono molto usati in campo tecnico. Essi permettono di eliminareil fattore 1 / 2 in tutte le espressioni della potenza in regime permanente.P. es., i valori di tensione di 127 V e 220 V , utilizzati nella distribuzione di energia elettrica, sono valori efficaci .

Con i valori efficaci si hav(t) = Veff cos ( t + )2

i(t) = Ieff cos ( t + )2

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t

p(t) Andamento potenza istantanea p(t) = ½ Re[V I e j2t ] + Pa

Potenza attiva + V

I

PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = V= Veffeff I Ieffeff cos cos 1122

Im

Re

V

I

Pa

/2/2 Potenza attiva in funzione di

Pa() = Pa(- ) funzione pari

potenza attiva in Watt (W)

La misura della potenza attiva, come valore medio della potenza istantanea, richiede particolari cautele per valori di frequenza f molto bassi. In questi casi il periodo T = 1/f risulta elevato, rendendo difficile la misura (o la determinazione) del valore medio. P. es., per f = 0.1 Hz , risulta T = 10 s . In questo caso la media deve essere effettuata su un intervallo pari a un multiplo esatto di 5 s , oppure su un intervallo molto maggiore di 10 s.

Pa

L’oscillazione ha periodo T/2 poiché la frequenza è doppia di quella di v(t) e i(t)

T/2 L’ampiezza dell’oscillazione è pari a½VI = veff ieff > | Pa |

Andamento potenza istantanea p(t)

La potenza attiva Pa è pari al

valore medio di p(t)

La media deve essere fatta su unintervallo pari a k T/2 (k intero) oppure La media deve essere fatta su unintervallo molto maggiore di T

Per f = 0 , le grandezze elettriche tensione e corrente, sono costanti. In questo caso si dice che il regime di funzionamento è in corrente continua

(c.c.) ed è erroneo considerare la potenza attiva. Infatti, in questo caso si ha = 0 , V = V (reale) , I = I (reale)

p(t) = Re [ V I e j2 t ] + Re [ V I* ]12

12 = Re [ V I ] + Re [ V I ]1

212 = V I

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Potenza complessae reattiva

+ V

I

PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122

QQ = Im [ = Im [ PPcc ] ]

= Re [ = Re [ PP cc ]]

potenza complessaPPcc = = VV II** 1122ove si è posto

La potenza complessa è una grandezza vettoriale PPcc = = PPaa + j Q + j Q

Q = Im [ Q = Im [ VV II** ]]1122

potenza reattiva

Q = Im [ V I* ]12 = Im [ V e j I e - j ]1

2 = V I sin ( – )12

Q = V I sin 12 = Veff Ieff sin

Q Q = Im [ = Im [ VV II** ] ] = V= Veffeff I Ieffeff sin sin 1122

Potenza reattiva in funzione di

t = 2 f t = 2 t / T

Q

/2/2

Q() = - Q(- ) funzione dispari

potenza reattiva volt-ampère reattivi (VAR)

Potenza apparente PPappapp = = V IV I1122 = = VVeffeff I Ieffeff

La potenza apparente è utilizzata per caratterizzare quei dispositivi in cui interessano i moduli di tensione e corrente, ma non la loro differenza di fase

potenza apparente volt-ampère (VA)

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v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)

Resistore + R

v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)Nel dominio del tempo

In regime permanente

Re[ Re[ VV e e jj t t ]] = R= R Re[ Re[ II e e jj t t ]]

= Re[ = Re[ R R II e e jj t t ]]

essendo R reale

Nel dominio dei fasori VV = R = R II

V = R I

VV =R =R II

V e V e jj = R I e = R I e jj

V = R I V = R I = =

V = R I V = R I = =

In un resistore, il modulo della tensione è pari al modulo della corrente moltiplicato per R

In un resistore, la fase della tensione è uguale alla fase della corrente

Im

Re

V

I

Il vettore della tensione V e il vettore della corrente I sono in fase

Se si considerano i vettori rotanti associati a V e I , anche questi rimangono in fase per ogni t , essendo la frequenza la stessa

t

v(t), i(t)

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Resistore (potenza) + R

V = R I

Potenza attiva

potenza attiva in Watt (W)

1122PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = = Re [ Re [ RR II II** ] =] = 11

22

= = RR I I 2 2 = R I= R Ieffeff 221122 = = GG VVeffeff 22

= 0 = 0 cos cos = 1= 1

Potenza reattiva

Si ricordi che I I* = | I |2 = I 2

1122QQ = Im [ = Im [ VV II** ] ] = = Im [ Im [ RR II II** ] = 0] = 0 11

22

Si ricordi che I I* è reale

Si ricordi che = e quindi = – = 0

t

p(t)Andamento della

potenza istantanea p(t) su un resistore

Pa

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v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d t

Induttore +v(t) = L d i(t) / d t

L

v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tNel dominio del tempo

In regime permanente

Re[ Re[ VV e e jj t t ] = ] = LL Re[ Re[ II e e jj t t ] =] =d d d td t

= Re[= Re[LL II e e jj t t ]]d d d td t

L è reale e I è costante

= Re[ = Re[ j j L L II e e jj t t ]]

VV = j = j L L II

Nel dominio dei fasori

VV = j = j L L II

V = j L I

j L impedenza

VV = j = j L L IIV e V e jj = j = j L I e L I e jj

j = e j

V e V e jj = = L I e L I e j (j ( + +/2)/2)

V = V = L I ; L I ; = = + + / 2 / 2

V = V = L I L I = =

L reattanza

In un induttore, il fasore della tensione V è pari al fasore della corrente I moltiplicato per l’impedenza dell’induttore j L

In un induttore, il modulo della tensione V è pari al modulo della corrente I moltiplicato per la reattanza dell’induttore L

In un induttore, la fase della tensione è pari alla fase della corrente più

Im

Re

V I

In un induttore, il fasore della corrente I è in ritardo di fase di /2 (90°) rispetto al fasore della tensione V

Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo

In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di V e dopo 90° quello di I

t

v(t), i(t)v i

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Induttore (potenza) + L

V = j L I

Potenza reattiva

potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR)

1122

QQ = Im [ = Im [ VV II** ] ] = = Im [ Im [ jjLL II II** ] =] = 1122

= = LL I I 2 2 = = L IL Ieffeff 221122

= = /2 /2 cos cos = 0= 0

Potenza attiva 1122PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = = Re [ Re [ jjLL II II** ] = 0] = 0 11

22

>> 0 0

La potenza reattiva assorbita da un induttore non è mai negativa

Andamento della potenza istantanea p(t) su un induttore t

p(t)

Pa = 0

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i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d t

Condensatorei(t) = C d v(t) / d t

C+i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tNel dominio del tempo

In regime permanente

Re[ Re[ II e e jj t t ] = ] = CC Re[ Re[ VV e e jj t t ] =] =d d d td t

C è reale e V è costante

= Re[= Re[CC VV e e jj t t ]]d d d td t

= Re[ = Re[ jj C C VV e e jj t t ]]

II = j = j C C VV

Nel dominio dei fasori

II = j = j C C VV

I = j C V

j C ammettenza

II = j = j C C VVI e I e jj = j = j C V e C V e jj

I = I = C V ; C V ; = = + + / 2 / 2

I e I e jj = = C V e C V e j (j ( + +/2)/2)

j = e j

I = I = C V C V = =

C suscettanza

In un condensatore, il fasore della corrente I è pari al fasore della tensione V moltiplicato per l’ammettenza del condensatore j C

In un condensatore, il modulo della corrente I è pari al modulo della tensione V moltiplicato per la suscettanza del condensatore C

Im

ReIn un condensatore, la fase della corrente è pari alla fase della tensione più

V

I

In un condensatore, il fasore della corrente I è in anticipo di fase di /2 (90°) rispetto al fasore della tensione V

Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo

In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di I e dopo 90° quello di V

t

v(t), i(t)

vi

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M. Salerno 22Fasori

Condensatore: potenza C

I = j C V

+

Potenza reattiva

potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR)

= - = - CC V V 2 2 = - = - C VC Veffeff 221122

= - = - /2 /2 cos cos = =

00

Potenza attiva 1122PPaa = Re [ = Re [ VV II** ] ] = = Re [- Re [- jjCC VV VV** ] = 0] = 0 11

22

1122

QQ = Im [ = Im [ VV II** ] ] = = Im [- Im [- jjCC VV VV** ] =] = 1122

Si ricordi che I* = - j C V*

<< 0 0

La potenza reattiva assorbita da un condensatore non è mai positiva

Andamento della potenza istantanea p(t)

su un condensatore t

p(t)

Pa = 0

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M. Salerno 23Fasori

Impedenza

Ammettenza

Reattanza

Suscettanza

Induttore Condensatore

Im [ I / V ]

Im [ V / I ]

Y = I / V

Z = V / I

definizione

Dualità in regime permanenteLe formule in regime permanente degli induttori e dei

condensatori si possono ricavare in base al principio di

dualità, eccetto quelle relative alla potenza reattiva ( Q = ½ Im

[V I*] non è invariante rispetto allo scambio di V e I )

Esempio: V = j L I è duale rispetto a I = j C V

j L

j C

L

C

1 / j C

1 / j L- 1 / L

- 1 / C

A frequenza f = / 2 = 0 , le tensioni e le correnti sono costanti e si dice che il regime di funzionamento è in corrente continua (c.c.).

In alcune applicazioni, si considera il caso di una frequenza molto elevata, che si può indicare come regime di frequenza infinita f = / 2 =

I regimi in corrente continua (c.c.) e di frequenza infinita sono duali.

Equivalenze corr. cont. = 0 freq. infinita =

Z = j L corto circuito circuito aperto

Z = 1 / j Ccircuito aperto corto circuito

Tor Vergata

M. Salerno 24Fasori

Induttore reale

RS

L RP

I

V

+VL

+ ILIR

Im

ReIL

VL

IRI

RS I

V

Induttore idealeper RS

RP

0

Si assegni un valore arbitrario a IL IR = VL / RP

I = IL + IR V = VL + RS I

Si definisce fattore di merito dell’induttore

QL = tg per l’induttore ideale

VL = j L IL

La scelta di un valore arbitrario per IL non è una limitazione.

Im

Re

VL

IV

IL

Il nuovo diagramma differisce dal precedente per un fattore di scala e una rotazione. I rapporti fra le ampiezze e le differenze delle fasi sono rimaste invariate (in particolare l’angolo

Tor Vergata

M. Salerno 25Fasori

Condensatore reale

C R

Condensatore idealeper R

Si assegni un valore arbitrario a V

V

+ Im

ReV

IC = j C V

IC IC

IR = V / R

IRIR

I

I = IC + IR

I

Si definisce fattore di merito del condensatore

QC = tg per il condensatore ideale

Tor Vergata

M. Salerno 26Fasori

Connessioni elementari

+V

IIn regime permanente si ha

V = Z I Z impedenza

I = Y V Y ammettenzaY =1 / Z

L’impedenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della

corrente, permette di ottenere il fasore della tensione

L’ammettenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della

tensione, permette di ottenere il fasore della corrente

Questo è un vantaggio del metodo dei fasori. Nel dominio del tempo non esistono operatori moltiplicativi che permettono di passare da v(t) a i(t), o

viceversa, eccetto che per bipoli senza memoria.

Connessioni elementari

Serie

Z1 Z2+

V1

+V2

I

V1 = Z1 I ; V2 = Z2 I

V1 + V2 = (Z1 + Z2 ) I

Z = Z1 + Z2

Z = Z1 + Z2

Parallelo Y1

Y2+V

I1

I2I1 = Y1 V ; I2 = Y2 V

I1 + I2 = (Y1 + Y2 ) V

Y = Y1 + Y2

Y = Y1 + Y2

Y = Y1 + Y2

1/Z = 1/ Z1 + 1/ Z2

Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 ) Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 )

Z = Z1 + Z2

1/Y = 1/ Y1 + 1/ Y2

Y = Y1 Y2 / (Y1+ Y2 ) Y = Y1 Y2 / (Y1+ Y2 )

impedenza in Ohm () ammettenza in Mho ()

Esempio

RSL RP

A

B

C ZCB = j L RP / (j L + RP )

ZAB = ZCB + RS =

= j L RP / (j L + RP ) + RS

Tor Vergata

M. Salerno 27Fasori

Potenza reattiva in funzione di Z

Potenza (impedenza, ammettenza)

+Z

I

V

QQ = Im [ = Im [ VV II** ]]1122VV = = ZZ II

Potenza attiva in funzione di Z

QQ = Im [ = Im [ ZZ II II** ] ] = = 11221122 = = Im [ Im [ ZZ ]] I I2 2 = = Im [ Im [ ZZ ]] I Ieffeff 22

PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122VV = = ZZ II

PPaa = Re [ = Re [ ZZ II II** ] ] = = 11221122 = = Re [ Re [ ZZ ]] I I2 2 = = Re [ Re [ ZZ ]] I Ieffeff 22

Y

Potenza attiva in funzione di Y

II = = YY VV PPaa = Re [ = Re [ VV II** ]]1122

PPaa = Re [ = Re [ YY* * VV VV** ] ] = = 11221122 = = Re [ Re [ YY ]] V V 2 2 = = Re [ Re [ YY ]] V Veffeff 22

Si ricordi che

I* = Y* V*

Re[Y*] = Re[Y ]

Im[Y*] = -Im[Y]

Potenza reattiva in funzione di Y

II = = YY VV QQ = Im [ = Im [ VV II** ]]1122

QQ = Im [ = Im [YY* * VV VV** ] ] = = 1122

1122

= - = - Im [ Im [ YY ]] V V 2 2 = - = - Im [ Im [ YY ]] V Veffeff 22

Tor Vergata

M. Salerno 28Fasori

RifasamentoImpianti di distribuzione dell’energia elettrica

Vg

+Rg

Carico

ACarico

BCarico

C

Rg tiene conto della resistenza interna del generatore reale e di quella della linea di alimentazione.

I carichi sono generalmente schematizzabili con un resistore in serie a un induttore parassita

CaricoL

RIm

Re

IV

+

I VR

VLV

Pa = Veff Ieff cos

Q = Veff Ieff sin

cos

La potenza utile erogata ai morsetti AB è la potenza attiva. Occorre fare in modo che VAB e I siano il più possibile in fase (cos = 1, al generatore). Ciò si ottiene con il rifasamento dei carichi.

V AB

B

A I

Tor Vergata

M. Salerno 29Fasori

Rifasamento

Vg

+Rg

L

R

C +V R

Si assegni un valore arbitrario alla tensione V R

Im

Re

correnteIm

Re

tensione

V R

I

I = V R / R

V L+

V L = jL I

V L

+V C

V C = V R + V L

V C

I C

I C = jC V C

I

I C

Ig

I g = I + I C I g

V Rg+

V Rg = Rg I g

V Rg

V g = V Rg + V C

V g

V g e I g non sono parallele

cos < 1 : il circuito non è rifasato

Si determini la capacità C in modo da rifasare il circuito

Se V C // I g allora anche V g // I g

Im

Re

correnteIm

Re

tensione

V R

V LV C

I

ortogonale a V C

direzione di

I C

I C

I g

Risulta V C // I g

V Rg

V g

; V g // I g

Si è ottenuto cos = 1 Il circuito è rifasato

Direzione di I g :

Direzione di I C : direzione di

V C

parallela a V C

Il rifasamento rende

minimo il modulo Ig

I

Ig

minimo

Tor Vergata

M. Salerno 30Fasori

Im

ReI V R

V L

V C

Rifasamento

Vg

+Rg

Ig

V Rg+

L

R

CII C

+V C

+V R

V L+

Calcolo della capacità C

Metodo grafico

I C

Si considerino solo i moduli delle grandezze

I C = C V

C C = I C / (V C )

I = IC R2 + L2 /L

VC = VR2 + VL

2 ; VL = L I

I /IC = VC /VL

VC = I R2 + L2

= I R2 + L2 / LI VC = IC (R2 +L2) /L C = L / (R2 + L2)

A

B

Per il calcolo di C sono state usate solo grandezze del bipolo a destra dei morsetti AB

Calcolo della capacità C

Metodo analitico

Si consideri il bipolo visto dai morsetti AB

L

R

C

A

B

ZAB Il bipolo è rifasato quando l’impedenza ZAB (o l’ammettenza YAB ) è puramente reale

: si calcoli YAB = 1 / ZAB

YAB = j C + 1 / (R + jL) = j C + (R - jL) / (R2 + L2)

Im [YAB ] = C - L / (R2 + L2) = 0 per C = L / (R2 + L2)

In questo caso si ha YAB= R / (R2 + L2) ; ZAB= (R2 + L2) / R

Il bipolo rifasato è equivalente a un resistore Re = (R2 + L2) / R