TOPOLOGIA DI Rn

Dato un insieme A si definisce distanza, se esiste, una funzione

d : A×A → R

tale che:

1. ∀X, Y ∈ A, d(X, Y ) = d(Y,X), (la distanza e simmetrica),

2. ∀X, Y ∈ A, d(X, Y ) ≥ 0,

3. d(X, Y ) = 0 ⇐⇒ X = Y ,

4. ∀X, Y, Z ∈ A, d(X, Y ) ≤ d(X, Z) + d(Z, Y ) (disuguaglianza triangolare).

Ogni insieme su cui e possibile definire una distanza viene detto spazio metrico. In particolare,Rn e uno spazio metrico, in cui si definisce la distanza euclidea, che e la naturale estensione adimensione qualunque della distanza definita nel piano:

∀ X = (x1, . . . , xn), Y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn:

d(X, Y ) = |X − Y | = ‖X − Y ‖ =√

(x1 − y1)2 + . . . + (xn − yn)n.

Osserviamo che questa definizione corrisponde alle definizioni di distanza gia note in R e nelpiano R2:

1. se x, y ∈ R, d(x, y) =√

(x− y)2 = |x− y|.

2. se X = (x1, x2), Y = (y1, y2) ∈ R2, d(X, Y ) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 e la lunghezza delsegmento XY , calcolato utilizzando il teorema di Pitagora.

Quando Y = O = (0, . . . , 0), cioe e l’origine, si ha che la distanza di X dall’origine (detta anchenorma di X) est:

d(X, O) = ‖X‖ =√

x21 + . . . + x2

n.

Definizione. Dato X ∈ Rn, si dice intorno sferico di centro X e raggio ρ l’insieme dei punti di Rn

che hanno distanza da X minore di ρ:

B(X, ρ) = Iρ(X) = {Y ∈ Rn : d(X, Y ) < ρ} .

Se rileggiamo questa definizione nelle dimensioni basse abbiamo che:

1. Se x ∈ R, B(x, ρ) = {y ∈ R : |x− y| < ρ} = (x−ρ, x+ρ), cioe l’intorno sferico e un intervalloaperto, costituito da tutti i punti che hanno distanza inferiore a ρ dal punto x.

2. Se X ∈ R2,

B(X, ρ) ={

Y ∈ R2 :√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 < ρ}

=

={Y ∈ R2 : (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 < ρ2

}e il cerchio di centro X e raggio ρ, esclusa la circonferenza di centro X e raggio ρ.

3. Se X ∈ R3, B(X, ρ) risulta essere la sfera piena di centro X e raggio ρ, esclusa la superficiesferica di centro X e raggio ρ.

Nell’uso della lettera I e implicita l’idea che si sta parlando di ”intorni”. Quando si usa la letteraB invece, si fa riferimento al fatto che si sta parlando di ”sfere”: in questo contesto, in inglese si usala parola ”ball” (ball of centre X and radius ρ).

1

Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn, si dice che un punto X ∈ A e interno ad A se esiste unintorno B(X, ρ) tale che B(X, ρ) ⊆ A.

Esempi.

1. Se consideriamo un intervallo A = [a, b] ⊂ R, tutti i punti di (a, b) sono punti interni di A,mentre gli estremi {a}, {b} non lo sono.

2. Dato un rettangolo pieno in R2, tutti i punti che stanno dentro il rettangolo sono punti interni,mentre i punti sul perimetro non lo sono.

3. Un segmento nel piano non ha punti interni.

Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn, si dice che A e aperto in Rn se tutti i suoi punti sono puntiinterni, cioe:

∀X ∈ A,∃ρ > 0 B(X, ρ) ⊆ A.

In particolare, ∅ e Rn sono insiemi aperti in Rn.

Esempi.

1. Ogni intervallo aperto (a, b) e un sottoinsieme aperto di R.

2. Gli intorni sferici in qualunque dimensione sono insiemi aperti.

3. Nel piano, un rettangolo pieno privo del perimetro e aperto.

4. Lo stesso rettangolo, considerato come sottoinsieme di R3 non e aperto.

Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn, si dice che X ∈ Rn e un punto di frontiera di A se:

∀ρ > 0 : B(X, ρ) ∩A 6= ∅ e B(X, ρ) ∩ (Rn \A) 6= ∅

cioe ogni intorno di X interseca sia A che il suo complementare.Si dice frontiera di A, e si indica con ∂A, l’insieme dei punti di frontiera di A.Spesso la frontiera di un insieme viene anche detta bordo (”boundary” in inglese).

Esempi.

1. Se A e un qualunque intervallo in R, la sua frontiera e costituita dagli estremi dell’intervallo(indipendentemente dal fatto che l’intervallo li comprenda o no).

2. La frontiera di un segmento in R2 e composta dal segmento stesso, inclusi gli estremi.

3. La frontiera di un rettangolo in R2 e il perimetro del rettangolo stesso.

4. Sia A ={

1n , n ∈ N \ {0}

}. A non ha punti interni. Il punto 0 e tutti i punti di A sono di

frontiera; ∂A = A ∪ {0}.

Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn, si dice che A e chiuso se ∂A ⊆ A.∅ e Rn sono insiemi chiusi di Rn.

Osserviamo che un insieme puo essere ne aperto ne chiuso. L’esempio piu semplice e proprio unintervallo del tipo [a, b). Gli insiemi ∅ e Rn sono chiusi (e aperti) in Rn.

Si dimostra inoltre che:

Proposizione.A ⊆ Rn e aperto ⇐⇒ Rn \A e chiuso.

Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn, si dice chiusura di A, e si indica con A, il piu piccoloinsieme chiuso che contiene A. Si puo dimostrare che

A = A ∪ ∂A.

2

Esempi.

1. Ogni intervallo chiuso e un insieme chiuso di R.

2. N e un insieme chiuso di R.

3. Tutti i punti di Q sono punti di frontiera. La sua chiusura e Q = R. (Quando la chiusura diun insieme coincide con lo spazio ambiente si dice che l’insieme e denso nello spazio ambiente).

Esercizio. Rappresentare nel piano cartesiano gli insiemi:

A = (1, 2)× (1, 2) B = [1, 2]× [1, 2]C = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2, 1 < y < 2} D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}E = [−1, 3)× [−2, 2) F = {(x, y) ∈ R2 : −1 < x ≤ 2,−2 ≤ y < 2}.

verificando che sono tutti rettangoli. Descriverne inoltre la frontiera e la chiusura, graficamente einsiemisticamente.

Definizione. Dato un insieme A ⊆ Rn, si dice che X ∈ Rn e un punto di accumulazione di A se

∀ρ > 0 B(X, ρ) ∩ (A \ {X}) 6= ∅.

cioe se ogni intorno di X interseca A in punti diversi da X.I punti di A che non sono di accumulazione per A si dicono punti isolati. Cio significa che esiste

ρ > 0 tale che B(X, ρ) ∩ (A \ {X}) = ∅, ossia esiste un intorno di X che interseca A solo in X.

Osservazioni.

1. Un punto di accumulazione puo appartenere all’insieme come non appartenergli.

2. Tutti i punti interni di A sono punti di accumulazione di A.

3. Se A ha punti di accumulazione, necessariamente contiene infiniti elementi. Viceversa, se uninsieme contiene un numero finito di elementi (si dice anche che e un insieme finito), alloratutti i suoi punti sono isolati.

Lo studente puo provare a dimostrare queste ultime due osservazioni per esercizio.

Esempi.

1. Tutti i punti di un intervallo chiuso sono punti di accumulazione dell’intervallo stesso.

2. N e costituito da punti isolati.

3. Tutti i punti di R sono punti di accumulazione di Q.

4. Sia A ={

1n , n ∈ N \ {0}

}. Tutti i punti di A sono punti isolati. A ha 0 come unico punto di

accumulazione.

3

Tutte le definizione date finora possono essere estese a tutti gli spazi metrici, cioe agli insiemi sucui e possibile definire una distanza. Si possono estendere a tutti gli spazi metrici anche le definizioniche diamo nel seguito.

Definizione. Un insieme A ⊆ Rn si dice limitato se

∃M > 0 ∀X ∈ A, X ∈ B(O,M).

Equivalentemente, potremo dire che ∃M > 0 tale che A ⊆ B(O,M), o anche che ∃M > 0, ∀X ∈ A,d(X, O) = ‖X‖ < M .

Definizione. Un insieme A ⊆ Rn si dice compatto se e chiuso e limitato.

Esempi.

1. Gli intervalli chiusi sono compatti di R. I segmenti che contengono i propri estremi sonocompatti in Rn, per ogni n > 0.

2. Un rettangolo con il perimetro incluso e un compatto di R2.

3. Una curva chiusa e un compatto di R2.

4. Il grafico della parabola y = x2, cioe l’insieme dei punti {(x, x2) ∈ R2 : x ∈ R} e un insiemechiuso ma non limitato di R2.

Definizione. Data una funzione f definita su un insieme A a valori in Rn, o piu in generale a valoriin uno spazio metrico, si dice che f e limitata su A se l’insieme f(A) e un sottoinsieme limitato diRn.

In altre parole, f : A → Rn e limitata su A se ∃M > 0, ∀x ∈ A, ‖f(x)‖ < M .

Per esempio la funzione f : R3 → R2, f(x, y, z) = (sin y, cos(x + z)) e limitata in R3, dato che

‖(sin y, cos(x + z))‖ =√

sin2 y + cos2(x + z) ≤√

1 + 1 =√

2.

Appunti redatti da Luisa Mazzi per il corso di Analisi Matematica I, corsi di Laurea di Ingegneriaper l’Ambiente e il Territorio e Ingegneria della Protezione del Territorio.

4