1

Elettrotecnica

4 - Topologia

2

Topologia delle reti elettriche

• È data dai collegamenti deglin-poli.

• Prescinde dalla disposizione spaziale deicomponenti.

• Considera le leggi di Kirchhoff (relazioni tracorrenti e relazioni tra tensioni).

• Permette di scrivere in modo efficace taliequazioni.

3

Topologia delle reti elettriche

• Considerano prima reti di soli bipoli.

• e anzitutto le connessioni elementari tra duesoli bipoli:

• CONNESSIONE SERIE• CONNESSIONE PARALLELO

4

Serie di due bipoli

Esiste un nodo N al quale sonocollegati solo due morsetti deidue bipoli:

is = i1 = i2

vs = v1 + v2

vogliono dire che le tensioni sisommano a parità di corrente B

i2+v

–

2 2b

+v

–

1i1

1b

is+

v

–

s

A

Nrete

5

Serie di due bipoli

Esiste un nodo N al quale sonocollegati solo due morsetti deidue bipoli:

is = i1 = i2

vs = v1 + v2

vogliono dire che le tensioni sisommano a parità di corrente

v =f (i )1 11

v =f (i )2 22

vv =f (i )s s s

i

6

Serie di due resistori

Dalle equazioni:v1= R1 i1 e v2= R2 i2

is = i1 = i2 e vs = v1 + v2

si ottiene:vs = R1 i1+R2 i2 =(R1+R2) is

ossia:

vs = Rs is con: Rs = R1+R2

–v+

+ +i1v1

i

i2v2

s s

v

i

R1 R2

1

2

s

7

Serie di un generatore di tensionee di un resistore

Dalle equazioni:v1= E e v2= R i2

is = i1 = i2 e vs = v1 + v2

si ottiene:vs = E + R is

con la convenzione degliutilizzatori

–

++ +v1 i2v2

isvs

v

i

E

ER

1

2

s

8

Serie di un generatore di tensionee un resistore

Applicando invece la convenzionedei generatori:v1= E e v2= R i2

is = i1 = –i2 e vs = v1 + v2

si ottiene:vs = E – R is

–

++ +v1 i2v2

isvs E

R

v

i

E1

2 s

9

Note

Non tutti le coppie di bipoli possono dare luogo ad unaserie

Esempi:due generatori di corrente con correnti impresse diverse

un generatore di corrente ed un circuito aperto

Bi2

+ v –

i1

is

A N

+ v –1 2

1b 2b

+ v –s

10

Parallelo di due bipoli

I due bipoli hanno ciascuno unmorsetto connesso al nodo A eun morsetto connesso al nodoB:

ip = i1 + i2

vp = v1 = v2

vogliono dire che le correnti sisommano a parità di tensione

B

i+

v

–

p

A

p

+v

–

1i1

1bi2

+v

–

2 2b

rete

11

Parallelo di due bipoli

I due bipoli hanno ciascuno unmorsetto connesso al nodo A eun morsetto connesso al nodoB:

ip = i1 + i2

vp = v1 = v2

vogliono dire che le correnti sisommano a parità di tensione

i =f (v )1 11

i =f (v )2 22

ii =f (v )p p p

v

12

Parallelo di due resistori

Dalle equazioni:i1= G1 v1 e i2= G2 v2

ip = i1 + i2 e vp = v1 = v2

si ottiene:ip = G1 v1+G2 v2 =(G1+G2) vp

ossia:

ip = Gp vp con: Gp = G1+G2

v+ –

+ i1v1i

p

p

+ i2v2

G2

G1

i

v

2

1

p

13

Parallelo di un generatore dicorrente e di un resistore

Dalle equazioni:i1= J e i2= G v2

ip = i1 + i2 e vp = v1 = v2

si ottiene:ip = J + G vp

con la convenzione degliutilizzatori

i

v

J1

2

p

+

i1

ip

+ i2v2

vp

J

G

–

14

Parallelo di un generatore dicorrente e di un resistore

Applicando invece la convenzionedei generatori:i1= J e i2= G v2

ip = i1 + i2 e vp = v1 = –v2

si ottiene:

ip = J – G vp

i

v

J1

2

p

–

i1ip

+ i2v2

vp

J

G

+

15

Note

Non tutti le coppie di bipoli possono dare luogo ad unparallelo

Esempi:due generatori di tensione con tensioni impresse diverse

un generatore di tensione ed un cortocircuito

B

ip

A

+ v –p

+ v –

i1

1

1b

i2

+ v –2

2b

16

Interconnessioni più complesse

• In caso di interconnessioni complesse di varibipoli è necessario procedere in modosistematico.

• La descrizione conveniente delleinterconnessioni può avvenire:

• in forma grafica–> GRAFO

• In forma numerica–> MATRICI DI CONNESSIONE

17

Grafo di una rete

È un disegno composto da:

• punti detti NODI• segmenti rettilinei o curvilinei detti LATI o

ARCHI

• I lati hanno sempre gli estremi in due nodi (ognilato si appoggia ad una coppia di nodi)

18

Tracciamento del grafo -1

• Regole generali:

• Ad ogni NODO della rete si fa corrispondere unNODO del grafo

• Ad ogni BIPOLO della rete si fa corrispondere unLATO del grafo

19

Tracciamento del grafo -2

• Esempio:

N1N2 N3

N4 N5N8

a1 a2

a3

a5a 6a7

8a

9

a4a12

a13

a

N1 N2 N3

N7 N4N5N8

N6

b2b1

b9

b7 b6 b5 b3b8

b4

b12

b13

20

Precisazioni ed eccezioni -1

• Cortocircuito:• Il lato non è rappresentato e i due nodi coincidono

esempio: N4 , N6 , N7

N1N2 N3

N4 N5N8

a1 a2

a3

a5a 6a7

8a

9

a4a12

a13

a

N1 N2 N3

N7 N4N5N8

N6

b2b1

b9

b7 b6 b5 b3b8

b4

b12

b13

21

Precisazioni ed eccezioni -2

• Circuito aperto:• Il lato non è rappresentato e i due nodi sono

disgiuntiesempio: N1 , N4

N1N2 N3

N4 N5N8

a1 a2

a3

a5a 6a7

8a

9

a4a12

a13

a

N1 N2 N3

N7 N4N5N8

N6

b2b1

b9

b7 b6 b5 b3b8

b4

b12

b13

22

Precisazioni ed eccezioni -3

• Bipolo cortocircuitato (morsetti nello stesso nodo):• Il lato è un cappio e non è rappresentato

esempio: b12 –> a12

N1N2 N3

N4 N5N8

a1 a2

a3

a5a 6a7

8a

9

a4a12

a13

a

N1 N2 N3

N7 N4N5N8

N6

b2b1

b9

b7 b6 b5 b3b8

b4

b12

b13

23

Precisazioni ed eccezioni -4

• Bipolo aperto (un morsetto non connesso ad altribipoli):

• Il lato è un aperto e non è rappresentatoesempio: b13 –> a13

N1N2 N3

N4 N5N8

a1 a2

a3

a5a 6a7

8a

9

a4a12

a13

a

N1 N2 N3

N7 N4N5N8

N6

b2b1

b9

b7 b6 b5 b3b8

b4

b12

b13

24

Grafo orientato -1

È un disegno composto da:• soliti NODI• soliti LATI o ARCHI, ma dotati di orientazione:

è precisato il nodo di inizio ed il nodo di fine• L’orientazione coincide con il riferimento della

corrente del bipolo corrispondente.

25

Grafo orientato -2

Esempio

N1 N2 N3

N4N5

b2b1

b7 b6 b5b3

b4

N1N2 N3

N4 N5

a1 a2

a5a6a 7

3a

a4

26

Grafo di n-poli

Ad ogni porta si fa corrispondere un lato

A B

C

A B

C

A' B'

A B

A' B'

A B

27

Grafo di reti con n-poli

•

A BC

N1 N2

N 3

N 1 N2

N3

A BD

N1 N2

N '1 N '2 N ' ≡ N '1 2

N1 N2

N '1 N '2

N1 N2

28

Caratteristiche dei grafi -1

Grafo connesso:• Esiste un percorso lungo i lati che unisce due nodi qualsiasi

29

Caratteristiche dei grafi -1

Grafo connesso:• Esiste un percorso lungo i lati che unisce due nodi qualsiasi

N

N

N

N

N

N

N

N

1

2

3

4

5

67

8

grafo connesso

N

N

N

N

N

N

N

N

1

2

3

45

67

8

grafo non connesso

30

Caratteristiche dei grafi -2

Grafo ridotto:• privo di cappi ed aperti• ad ogni nodo si appoggiano almeno 3 lati (no serie)• ad ogni coppia di nodi si appoggia al più 1 lato (no paralleli)

31

Caratteristiche dei grafi -2

Grafo ridotto:• privo di cappi ed aperti• ad ogni nodo si appoggiano almeno 3 lati (no serie)• ad ogni coppia di nodi si appoggia al più 1 lato (no paralleli)

N

N

N

N

N

N

N

N

1

2

3

4

5

67

8

grafo ridotto

N

N

N

N

N

N

N

N

1

2

3

45

6

7

8

grafo non ridottoN9

32

Caratteristiche dei grafi -3

Grafo completo:• Grafo ridotto avente il massimo numero di lati per gli n nodi

lmax

( )= =

= −C2

2

12

n n n n

N4

N1 N2

N 3N5

grafo completoN4

N1 N2

N3N5

grafo incompleto

33

Caratteristiche dei grafi -4

Grafo piano:• Può essere disteso sul piano senza incrociare i lati• Tutti i grafi con n≤4 sono piani• Nessun grafo completo con n≥5 è piano

34

Caratteristiche dei grafi -4

Grafo piano:• Può essere disteso sul piano senza incrociare i lati• Tutti i grafi con n≤4 sono piani• Nessun grafo completo con n≥5 è piano

N1N2

N3

N4

N1N2

N3

N4

N5

grafo piano grafo non piano

35

Enti dei grafi -1

Maglia:• Sottografo connesso• In ogni nodo incidono 2 e solo 2 lati

b) c)

N1N2

N3

N4

N5

a)

N1N2

N3

N4

N5

N1N2

N3

N4

N5

36

Enti dei grafi -2

Anello (solo per reti piane):• Maglia che orla una superficie priva di attraversamenti

m n m m na s a= − + = + = − +l l1 1 2

N1

N2

N3

N 4

N5

N6

37

Enti dei grafi -3

Insieme di taglio (taglio):• Sottografo di grafo connesso• Rimuovendone tutti i lati il grafo resta non connesso• Rimuovendone tutti i lati meno uno il grafo resta connesso

N.B.: è individuato da una superficie chiusa intersecata soltantodai suoi lati, la quale divide il restante grafo in due parti, unainterna ed una esterna ad essa.

38

Enti dei grafi -4

Nodo:• Insieme di taglio formato dai lati che si appoggiano ad un

nodo

39

Enti dei grafi -5Albero:• Sottografo connesso comprendente tutti i nodi• Non forma maglie• Comprende certi lati –> RAMI sono r n= − 1

40

Enti dei grafi -5Albero:• Sottografo connesso comprendente tutti i nodi• Non forma maglie• Comprende certi lati –> RAMI sono

esempio: l=12, n=6 –> r=n–1=5

r n= − 1

a)

N1

N2

N3

N4

N5

N6

b)

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N1

N2

N3

N4

N5

N6

grafo

41

Enti dei grafi -6

Albero:Si possono tracciare molti alberi, tutti di r=n–1 rami

c)

N1

N2

N3

N4

N5

N6

d)

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N1

N2

N3

N4

N5

N6

grafo

42

Enti dei grafi -7

Coalbero:• Complemento dell’albero• Lati –> CORDE

sono

=> c m= a

c r= − = − +l l n 1

43

Enti dei grafi -7

Coalbero:• Complemento dell’albero• Lati –> CORDE

sono

=>

esempio: l =12, n=6 –> c = l–n+1=7

c m= a

c r= − = − +l l n 1 N1

N2

N3

N4

N5

N6

a)

N1

N2

N3

N4

N5

N6

b)

N1

N2

N3

N4

N5

N6

c)

N1

N2

N3

N4

N5

N6

d)

44

Legge di Kirchhoff delle correntiLKC

In ogni rete di n-poli è uguale a zero la sommaalgebrica delle correnti dei lati di un insieme ditaglio:

N.B.: in regime stazionario oppure in regime variabile, in

qualsiasi istante

± = ± =∑ ∑i i(t) (t)taglio nodo

0 0

45

LKC - regole di scrittura

• Bisogna:

• porre il riferimento di corrente di ogni lato;

• orientare l’insieme di taglio (la superficie chiusa che lointerseca col versore n uscente o entrante);

• sommare le correnti dei lati con riferimentoconcorde a n;

• sottrarre le correnti dei lati con riferimentodiscorde a n.

46

LKC - esempio

i1 + i2 – i3 = 0

Se i1 = 16 A , i2= – 25 A e i3 = –9 A:

(16) + (–25) – (–9) = 0

S

i1

i2

i3

n

Sn

i1

i2

i3

47

Legge di Kirchhoff delle tensioniLKT

In ogni rete di n-poli è uguale a zero la sommaalgebrica delle tensioni dei lati di una maglia:

N.B.: in regime stazionario oppure in regime variabile, in

qualsiasi istante

± = ± =∑ ∑v v(t) (t)maglia anello

0 0

48

LKT - regole di scrittura

• Bisogna:

• porre il riferimento di tensione di ogni lato;

• orientare la maglia (con un verso di percorrenza, orario oantiorario);

• sommare le tensioni dei lati percorsi dal + al –;

• sottrarre le tensioni dei lati percorsi dal – al +;

49

LKT - esempio

va – vb – vc + vd = 0

Se va = 100 V , vb = 240 V , vc = –200 V e vd = –60 V :

(100) – (240) – (–200) + (–60) = 0

–

va

+

–

vc

+

N1 N2

N3N4

– vb +

– vd +

50

LKT - formulazioni alternative

La tensione di lato è la d.d.p. tra nodi cui siappoggia:

+vh

Nr Ns

h–

v V Vrs (t) (t) (t)N Nr s= −

51

LKT - formulazioni alternative

La somma di tensioni tra coppie di nodi insequenza chiusa è uguale a zero:

N.B.: alla coppia di nodi può non appoggarsi un lato;

sequenza chiusa = primo e ultimo nodo coincidono

± =∑ v(t) 0

52

LKT - esempio

vN1N2 + vN2N3 + vN3N1 = 0

–

va

+

–

vc

+

N1 N2

N3N4

– vb +

– vd +

53

Problema della topologia

Scrivere in modo intelligente le equazioni KLC eKLT,

ossia scegliere bene le maglie e gli insiemi ditaglio = QUANTI E QUALI

54

Sistemi di maglie indipendenti

Sono quelli su cui si scrivono sistemi di equazioniLKT indipendentiIl numero massimo m di equazioni LKTindipendenti è:

 Cioè:

 Ma come trovarle?

m n= − +l 1

m c m= = a

55

Sistema di anelli (per reti piane)

m equazioni LKT scritte su m anelli sonoindipendentiSi possono usare gli ma=m anelli internioppure l’anello esterno + ma–1 anelli interni

56

Sistema di maglie fondamentali -1

Si basa su un albero e il suo coalberoSi considera una delle c corde del coalbero allavoltaSi costruisce una maglia formata da tale corda eda alcuni rami dell’alberoSi ottengono così c=m maglie fondamentali, chesono indipendenti

57

Sistema di maglie fondamentali -2

Esempio

N1

N2

N3

N4

N5

N6

58

Sistema di maglie fondamentali -3

Esempio: l =12, n=6 –> r=n–1=5, c= l –n+1=7

N1

N2

N3

N4

N5

N6

59

Sistema di maglie fondamentali -4

Esempio: 4 maglie

60

Sistema di maglie fondamentali -5

+ 3 maglie = 7 maglie fondamen- tali

61

Vincoli e gradi di libertà della LKT

Con la LKT si arrivano a scrivere

m equazioni = vincoli

Le tensioni in tutto sono l, una per latoQuindi la LKT lascia

L – m = n–1

gradi di libertà alle tensioni

62

Potenziali ai nodi

Via alternativa di giocarsi vincoli e gradi dilibertà della LKT:Scrivere le equazioni LKT (vincoli) per ogni latonella forma:

Così si attribuiscono i gradi di libertà aipotenziali di n–1 nodi, l’ultimo nodo (nodo dimassa) avendo potenziale prefissato(in genere =0).

v V Vhk (t) (t) (t)N Nh k= −

63

Esempi -1Anelli

| a: v2+v5+v1=0| b: –v4+v6 –v5 =0| c: –v2+v3 +v4 =0

⊄Maglie fondamentali| 2: v2+v5+v1=0| 4: v4+v5–v6=0| 3: v3 + v6+v1 =0

4

N1N2

N3

N

a1

v2

v3

v4

v6v5

+

+++

+

+–

–

––

– –

v1

a2

a3

a4

a5 a6

a

b

c

64

Esempi -2Potenziali ai nodi

| posto: VN4=0| v1=–VN1

| v5=VN3

| v6=VN2

| v2= VN1–VN3

| v3= VN1–VN2

| v4= VN2–VN3

4

N1N2

N3

N

a1

v2

v3

v4

v6v5

+

+++

+

+–

–

––

– –

v1

a2

a3

a4

a5 a6

a

b

c

65

Sistemi di tagli indipendenti

Sono quelli su cui si scrivono sistemi di equazioniLKC indipendentiIl numero massimo t di equazioni LKCindipendenti è:

Ma come trovarle?

t n= − 1

66

Sistema di nodi

n–1 equazioni LKC scritte su n–1 nodi sonoindipendentiSi può scegliere liberamente il nodo n-esimo daescludere (ad esempio il nodo di massa)

N1

N2

N3

N4

N5

N6

67

Sistema di tagli fondamentali -1

Si basa su un albero e il suo coalberoSi considera uno degli r rami dell’albero allavoltaSi costruisce un insieme di taglio formato datale ramo e da alcune corde del coalberoSi ottengono così r=n–1 insiemi di tagliofondamentali, che sono indipendenti

68

Sistema di tagli fondamentali -2

Esempio

N1

N2

N3

N4

N5

N6

69

Sistema di tagli fondamentali -3

Esempio: l =12, n=6 –> r=n–1=5, c= l –n+1=7

N1

N2

N3

N4

N5

N6

70

Sistema di tagli fondamentali -4Esempio:

5 tagli fondamentali

71

Vincoli e gradi di libertà della LKC

In ogni caso con la LKC si arriva a scrivere n–1 equazioni = vincoli

Le correnti in tutto sono l, una per latoQuindi la LKC lascia

l–(n–1) = m gradi di libertà alle correnti

72

Correnti cicliche (di maglia)

Via alternativa di giocarsi vincoli e gradi di libertà dellaLKC:Si attribuisce a ciascuna delle m maglie fondamentali unacorrente ciclica iM , che la percorre richiudendosi su sestessa Gli m gradi di libertà sono attribuiti a tali m correnticicliche iM1, … iMm

Le correnti di tutti i lati sono fissate (vincolate) dallerelazioni:

i ih (t) (t)Mh= ±∑

lato h

73

Correnti cicliche (di anello)

Se la rete è piana, è meglio usare gli anelliSi attribuisce a ciascuno degli m anelli una correnteciclica iA , che lo percorre richiudendosi su se stessaSi impone riferimento concorde a tutte tali correnti Gli m gradi di libertà sono attribuiti a tali m correntid’anello iA1, … iAm

Le correnti di tutti i lati sono fissate (vincolate) dallerelazioni:i i i i ih h(t) (t) – (t) oppure (t) (t)A A Ar s r

= = ±

74

Esempi -1 Nodi

N1: i1+i3+i4=0 N2: –i1+i2–i5=0 N3: –i2–i6+i8=0 N4: –i4+i7–i8=0

⊄ Tagli fondamentali S1: i1+i3+i4=0 S2: i2+i3+i4–i5=0 S3: i6 –i3 +i5–i7=0 S4: –i8 –i4+i7=0

N2 N3N4

N5

iM 4

S4

S3

S2

iM 2

iM 1

iM 3

i1

i2

i3

i4

i5i6 i7

i8

N1

S1

75

Esempi -2Correnti di maglia

i1=–iM3–iM4

i2=–iM3–iM4 +iM2

i3=iM3

i4=iM4

i5=iM2

i6=iM3–iM2 +iM1

i7=iM1

i8=–iM4 +iM1

N2 N3N4

N5

iM 4

S4

S3

S2

iM 2

iM 1

iM 3

i1

i2

i3

i4

i5i6 i7

i8

N1

S1

76

Esempi -3Correnti di anello

i1=iA1

i2=iA2

i3=iA4 –iA1

i4=–iA4

i5=iA2 –iA1

i6=iA3–iA2

i7= iA3–iA4

i8=iA3

iA 1

i1

i2

i3

i4

i5i6 i7

i8

iA iA

iA

2 3

4

77

Conclusione

Usando bene le LKT e LKC si arrivano a scrivere:

m equazioni per le tensioni +

n-1 equazioni per le correnti =

––––––––––––––––––––––––––

llll equazioni topologiche

78

Teorema di Tellegen

In un grafo di l lati interconnessi in n nodi etutti con la stessa convenzione per le potenzesia {vh}h=1,2…l un insieme di valori di tensionecompatibili con la LKT e {ih}h=1,2…l un insieme divalori di corrente compatibili con la LKC. Vale larelazione:

v ih h

h=∑ =

10

l

79

Dimostrazionevhih = vNrNsiNrNs,

LKT: vNrNs=VNr–VNs

LKC:

v i V V ih h N N N Nr s r s= −( )

v i V V i

nn

h hh sr

N N N Nr s r s= ==∑ ∑∑= −( )

1 11

12

l

v i V i V i

nn nn

h hh sr rs

N N N N N Nr r s s r s= == ==∑ ∑∑ ∑∑= −

1 11 11

12

12

l

i in n

N N N Nr s r ss r

e= =∑ ∑= =

1 10 0

+vh

ih

Nr Ns

h–

80

Commenti

È un teorema puramente topologicoPrescinde dalla tipologia dei bipoli o n-poli checostituiscono i latiQuindi prescinde dai fenomeni fisici chepossono avvenire nella reteSe i e v coesistono (=sono compatibili con ivincoli tipoligici) => diviene la conservazionedelle potenze.