Tito SanòLe analisi numeriche per la valutazione della RSL 1 Metodi di calcolo 2D Metodo degli...

Tito Sanò Le analisi numeriche per la valutazione della RSL

1

Metodi di calcolo 2D Metodo degli elementi finiti (QUAD4,FLUSH, PLUSH) Metodo degli elementi di contorno (BESOIL).

Influenza dei parametri più significativi

Università de L’AQUILA CORSO DI MICROZONAZIONE SISMICA

Simulazioni numeriche per valutare l’ amplificazione locale


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Schemi 2D


3

)(

)(

2

1

2

1

sen

sen

V

V


4

)()( s

s

p

p

sen

V

sen

V

)()( s

s

pp senV

Vsen


5

Influenza dell’angolo di incidenza


6

EQUAZIONI DELLE ONDE

• -le equazioni di equilibrio:• (1)• -La legge di Hooke= relazioni di elasticità per un corpo

omogeneo ed isotropico:• (2)• -Congruenza:• (3)• Esprimendo tutto in funzione degli spostamenti:• (4)• (5)• Le (5) sono le equazioni di equilibrio o equazioni delle

onde (con f=0)

jjiij uf ,

ijkkij ij 2

)(2

1,, ijjiij uu

fiuuu jiijiji ,,)(

fuuL )(


7

Metodo degli elementi finiti

• Il corpo è suddiviso in elementi finiti (di volume, di superficie, di trave), identificati da nodi.

• Si esprimono gli spostamenti (o tensioni) come funzioni arbitrarie, ma che rispettano le condizioni al contorno e di continuità tra elemento ed elemento, e che sono definite a meno di parametri incogniti.

• Si scelgono gli spostamenti ai nodi come parametri incogniti• Si impone che le funzioni arbitrarie scelte soddisfino le equazioni di

equilibrio (mediante il principio dei lavori virtuali per esempio)• In tal maniera le equazioni differenziali di equilibrio si trasformano in un

sistema di equazioni algebriche con incognite gli spostamenti ai nodi.• Una volta noti gli spostamenti dei nodi, è noto lo spostamento in

qualsiasi punto e quindi anche le tensioni.

fuuL )(


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QUAD4

-Metodo degli elementi finiti,-Lavora nel “campo del tempo”,-Esegue un’analisi pseudo-nonlineare,-Considera solo onde P-SV e input formato da onde sismiche S incidenti verticalmenteVantaggi:-Può tener conto della variabilità delle caratteristiche meccaniche del terrenosia in senso verticale, sia orizzontale-Velocità di analisi

Svantaggi:-Difficoltà di descrizione della geometria-Grosse approssimazioni:Tutti i nodi del contorno si muovono simultaneamente e quindi è adeguato solo quando la roccia di base è infinitamente rigida. Non tieneconto della radiazione delle onde in senso orizzontale.


9Tito Sanò 9

Transmitting boundary(Lysmer and Kuhlemeyer,1969)


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Metodo degli elementi di contorno

• Si basa sulla conoscenza di una soluzione delle equazioni del moto, anche se non rispetta le condizioni al contorno.

• L(G(x))+ρω2G(x)=-δj(x-ξ) • Applicando il teorema di Betti, valido per corpi elastici, •

• Se si applica il teorema di Green, che trasforma l’integrale di volume ad uno di superficie, si ottiene l’identità di Somigliana:

• Dopo ulteriori passaggi analitici si arriva al metodo indiretto:

• Che si presta ad una interpretazione fisica:• φ si possono intendere come delle sorgenti puntiformi.

)(')'()',()',()'( ,

'

, rudVrurrrrGr mjimij

V

mjiij

'

')'()',()'()',()(S

imiimim dSrurrTrtrrGruC

'

')',()'()(S

miim dSrrGrru


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Metodo indiretto

Il moto nel terreno può essereconsiderato come somma delmoto incidente generato dallasorgente sismica e quelli generatidalle sorgenti puntiformi distribuite lungo i contorni

U=uo+um dove um è ottenutomediante discretizzazione del contorno in elementi finiti. Le um

sono espresse dalle (1)

'

')',()'()(S

miim dSrrGrru

(1)

(2)


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Schema di calcolo di BESOIL

• Si dividono le linee di contorno in elementi rettilinei dove si possono considerare costanti le sorgenti incognite,

• Si discretizzano le equazioni (1) e (2) sostituendo agli integrali le sommatorie,

• Si impone che ai contorni liberi le forze sulla superficie siano nulle (per ogni elemento),

• Si impone che ai contorni che separano zone differenti di terreno siano rispettate le condizioni di continuità degli spostamenti e delle tensioni,

• Si ottengono quindi un insieme di equazioni algebriche che si possono risolvere ed ottenere le sorgenti incognite,

• Note le è posibile calcolare spostamenti (1) e tensioni (2)i

i


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Vantaggi e svantaggiVANTAGGI:•Onde piane provenienti da qualsiasi direzione•Onde di superficie.•Carichi sulla superficie•Terreni non necessariamente stratificati orizzontalmente.•Topografia qualsiasi.•Soluzione “esatta”.•Facile modellazione

SVANTAGGI:•Caratteristiche del terreno omogenee per aree.•Analisi lineare. (Difficile effettuare analisi non lineari equivalenti)•Lungo tempo di calcolo ( Matrici sparse con numeri complessi a doppia precisione).


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VERO- FALSO Si No•La soluzione delle equazioni del moto nel metodo degli Elementi Finiti (E.F) si ottiene imponendo che siano rispettate le condizioni al contorno □ □• Nel metodo degli Elementi Finiti (E.F) e delle Differenze Finite (D.F.) si impone che i nodi al contorno dello schema si muovano simultaneamente □ □•La condizione di radiazione all’infinito delle onde riflesse e diffratte viene soddisfatta esattamente nei metodi degli E.F. e delle D.F. □ □ •La soluzione delle equazioni delle onde è approssimata in tutti i metodi numerici □ □ •La maggiore incertezza nel calcolo del moto sismico sta nella definizione della geometria e delle caratteristiche meccaniche dei terreni. □ □


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0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Periodo (s)

Acce

lera

zio

ne

(G

/10)

F

ED

C

AB

Villa

Input

H

Spettro it. 1a categoria

Spettro it. 2a Categoria

Spettri di risposta a Cesi per un input corrispondente a M=5.8 D=3 km, simile alla scossa principale

Vs=1200 m/s

Vs=250 m/s

Vs=80 m/s

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