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Il Metodo degli Elementi Finiti

2

Elemento piano triangolarea tre nodia tre nodi

In alcune strutture la divisione in porzioni elementari, facilmente schematizzabili, discende immediatamente dal disegno e dalla tecnologia utilizzata per la costruzione

Elemento piano triangolare a tre nodi

costruzione.

In questi casi si può

Molto spesso, invece, particolarmente nei componenti meccanici, la struttura è un continuo tridimensionale, che non presenta una preferenziale suddivisione in elementi.

Le caratteristiche di rigidezza dei vari elementi sono facilmente ricavabili dai modelli strutturali degli elementi (barre assiali, travi)

immaginare comunque di dividere la struttura in un numero finito di elementi, ognuno dei quali sarà caratterizzato da un certo numero di punti nodali nei quali definire le grandezze cinematiche e dinamiche.

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costruzione.


In questi casi si può

Molto spesso, invece, particolarmente nei componenti meccanici, la struttura è un continuo tridimensionale, che non presenta una preferenziale suddivisione in elementi.

immaginare comunque di dividere la struttura in un numero finito di elementi, ognuno dei quali sarà caratterizzato da un certo numero di punti nodali nei quali definire le grandezze cinematiche e dinamiche.



Tutte le quantità cinematiche e dinamiche della struttura sono definite unicamente nei punti nodali.

La struttura è schematizzata quindi

costruzione.


come un reticolo di elementi solidila cui rigidezza dipende dalle caratteristiche elastiche del materiale e dalla cinematica dei singoli elementi.

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Modello solido 2D

Stato piano di tensione

In molti casi, pur essendo l’oggetto da studiare un solido continuo, la schematizzazione del comportamento strutturale può essere fatta con un modello continuo 2D, con un sufficiente grado di approssimazione.

Stato piano di deformazione

Modello solido 2D

s

Spessore unitario o spessore effettivo

Stato piano di tensione: s << L, H

L

H


Modello solido 2D


In molti casi, pur essendo l’oggetto da studiare un solido continuo, la schematizzazione del comportamento strutturale può essere fatta con un modello continuo 2D, con un sufficiente grado di approssimazione.

Stato piano di deformazione

Modello solido 2D

Spessore unitario

Stato piano di deformazione:s >> L, H

L

H

s

5


Si consideri un solido (omogeneo ed isotropo) con una dimensione trascurabile rispetto alle altre due, che ne costituisce lo spessore.

Si faccia, inoltre, l’ipotesi che carichi e vincoli, ad esso applicati, siano tali da generare un campo piano di spostamenti e che tale piano sia normale allo spessore.

y

m

ss

x

i

j

x

y

In queste condizione è possibile rappresentare il comportamento strutturale del solido con un modello piano.

Si divida il solido in una serie di elementi triangololari, di dimensioni finite.

Si immagini ora di estrarre uno di tali triangoli dal continuo e di studiare il suo comportamento riferendolo ad un sistema di coordinate cartesiano.

Ogni suo punto ha quindi due componenti di spostamento, che indicheremo come u e v.

Per le ipotesi e le assunzioni fatte l’elemento può solo spostarsi, deformandosi, sul piano x y.


y Elemento indeformato Elemento deformato

Consideriamo quindi l’elemento ”e ”, dotato di spessore s, nel piano x y.

L’elemento è un triangolo di vertici i, j ed m

i

j

mf

di

dj

dm

vu

Prendiamo anche in considerazione ciò che accade ad un generico punto interno dell’elemento:

Quando la struttura viene posta sotto carico si deforma e l’elemento ”e ” subisce unui

vi

uj

vj

um

vm

x

i e l elemento e subisce un campo di spostamenti, completamente definito dagli spostamenti dei tre nodi di vertice i, j ed m

Le componenti di spostamento del generico punto interno dell’elemento devono essere quindi funzioni degli spostamenti nodali.

6


y Elemento indeformato

Consideriamo quindi l’elemento ”e ”, dotato di spessore s, nel piano x y.

L’elemento è un triangolo di vertici i, j ed m

Dopo deformazione

Matrice delle funzioni di forma

i

j

m

di

ui

vi

dj

uj

vj

dm

um

vm

vu

p

u

Indichiamo con {f} il vettore degli spostamenti di un generico punto interno.

f

Le componenti del vettore {f}sono u e v:

x

i

v

uf

edNf {f} dipende dal vettore degli spostamenti

nodali di elemento {d}e tramite la matrice [N]che contiene le funzioni di spostamento:


y

j

m

viuj

vj

um

vm

vu

Se indichiamo con r il numero di gradi di libertà di un punto generico della struttura e con ne il numero di nodi del singolo elemento ”e” il vettore

{f} è costituito da r termini ed il vettore {d}e è costituito da r x ne termini.


x

i

j

ui

T

mjij

i

e dddd

d

d

Nel caso di elemento piano a tre nodi

r = 2 ne = 3 r x ne = 6

T

mmjjiie vuvuvud

md

edNf

m

j

i

mji

d

d

d

NNNf

Dove le matrici [N]i , [N]j ed [N]m sono quadrate di dimensioni r x r

7


Le matrici [N]i , [N]j ed [N]m possono essere viste come il prodotto di una funzione per la matrice identità: mji NINININ

10

01IDove la matrice identità vale:


10

e N’i , N’j ed N’m sono funzioni arbitrarie, note con il nome di funzioni di spostamento , le quali legano il campo degli spostamenti interni all’elemento al vettore degli spostamenti nodali.

Le funzioni di spostamento rappresentano quindi uno dei punti cruciali del metodo agli elementi finiti, perché influenzano fortemente il livello di approssimazione della soluzione.

Da esse dipende, dunque, la forma del campo di spostamenti all’interno dell’elemento: infatti sono anche note con il nome di funzioni di forma.

Le funzioni di spostamento pur essendo arbitrarie, devono tuttavia essere scelte in base ad alcuni criteri:

1) devono essere in grado di rappresentare correttamente i moti rigidi: in tali casi non devono generare deformazioni nell’elemento;

2) devono essere in grado di riprodurre la condizioni di campo uniforme di deformazione all’interno dell’elemento;

3) le deformazioni in corrispondenza della separazione tra gli elementi devono essere finite.


y

Le funzioni N’i , N’j ed N’m dipendono dalle coordinate nodali dell’elemento

Elemento “e“ - nodi i j m coordinatenodo


i

m

j

jy

my

ii yxi

jj yxj

mm yxm

j

Le coordinate nodali devono essere note per poter calcolare il vettore degli spostamentii

xix

mxjx

iy

jyil vettore degli spostamenti.

8

Elemento piano triangolare a tre nodi Matrice delle funzioni di forma

ui, uj e um rappresentano tre

Le più semplici funzioni di spostamento che possono essere pensate sono di tipo lineare:

yqxqqu 321

yqxqqv 654 Essendo q sei costanti dipendenti dalle coordinate nodali dell’elemento

P(x y)

y

m

u

um

uxy

yP

La superficie rappresenta la

funzione lineare di x e y

i, j m pppossibili spostamenti nodali

P(x,y)

x

i juiuj

xP

Elemento piano triangolare a tre nodi Matrice delle funzioni di forma

ui, uj e um rappresentano tre


yqxqqu 321


y

m

u

um

uxy

yP

i, j m pppossibili spostamenti nodali

ul

ukkl

x

ijui

uj

xP

Adottando una funzione di grado superiore si avrebbe una superficie più complessa e la sue definizione richiederebbe un maggior numero di punti nodali

uqq

9



yqxqqu 321


Le costanti possono essere calcolate imponendo che le funzioni di spostamento assumano nei


iii yqxqqu 321 iii yqxqqv 654

jjj yqxqqu 321

mmm yqxqqu 321

jjj yqxqqv 654

mmm yqxqqv 654

Le costanti possono essere calcolate imponendo che le funzioni di spostamento assumano nei nodi esattamente il valore dello spostamento nodale.

Ne derivano due sistemi, di tre equazioni in altrettante A

3

2

1

1

1

1

q

q

q

yx

yx

yx

u

u

u

mm

jj

ii

m

j

i

incognite, che consentono di calcolare i valori di q.

6

5

4

1

1

1

q

q

q

yx

yx

yx

v

v

v

mm

jj

ii

m

j

i



yqxqqu 321


Le costanti possono essere calcolate imponendo che le funzioni di spostamento assumano nei


iii yqxqqu 321 iii yqxqqv 654

jjj yqxqqu 321

mmm yqxqqu 321

jjj yqxqqv 654

mmm yqxqqv 654

Le costanti possono essere calcolate imponendo che le funzioni di spostamento assumano nei nodi esattamente il valore dello spostamento nodale.

Ne derivano due sistemi, di tre equazioni in altrettante

31 qAu uAq 131


In modo sintetico si può scrivere: 64 qAv vAq 1

64

e le soluzioni si ottengono invertendo le matrici:

10


21

mmjjii uauauaq

mji yxa

I valori delle incognite q sono calcolati come segue

Dal primo dei due sistemi si ha:

Dove ai, aj e am sono i minori della matrice dei coefficienti che si ottengono escludendo la primacolonna:


jm yxmji y

Matrice dei coefficienti

iyix1

jyjx1yx1

det2

1

iyix1

jyjx1

mymx1

= area del triangolo i j m

e dove ha il significato:

jm yx

mymx1

iyix1

jyjx1

mymx1

+ +–++

–


21

mmjjii uauauaq

jmmji yxyxa





jmmji yy


iyix1

jyjx1yx1

)( immij yxyxa miim yxyx

det2

1

iyix1

jyjx1

mymx1



mymx1

iyix1

jyjx1

mymx1

+ +–++

–

11


21

mmjjii uauauaq

jmmji yxyxa





jmmji yy


iyix1

jyjx1yx1

)( immij yxyxa miim yxyx

ijjim yxyxa

det2

1

iyix1

jyjx1

mymx1



mymx1

iyix1

jyjx1

mymx1

+ +–++

–


22

mmjjii ubububq

mjjmi yyyyb )(


Ancora dal primo dei due sistemi si calcola le seconda incognita:

Dove bi, bj e bm sono i minori della matrice dei coefficienti che si ottengono escludendo la secondacolonna:


mjjmi yyyy )(


iyix1

jyjx1yx1

det2

1

iyix1

jyjx1

mymx1



mymx1

iyix1

jyjx1

mymx1

+ +–++

–

12


22

mmjjii ubububq

mjjmi yyyyb )(





mjjmi yyyy )(


iyix1

jyjx1yx1

det2

1

iyix1

jyjx1

mymx1


e dove ha il significato:imj yyb

mymx1

iyix1

jyjx1

mymx1

+ +–++

–


22

mmjjii ubububq

mjjmi yyyyb )(





mjjmi yyyy )(


iyix1

jyjx1yx1

det2

1

iyix1

jyjx1

mymx1


e dove ha il significato:imj yyb

jiijm yyyyb )(

mymx1

iyix1

jyjx1

mymx1

+ +–++

–

13


23

mmjjii ucucucq

jmi xxc


e la terza incognita:

Dove ci, cj e cm sono i minori della matrice dei coefficienti che si ottengono escludendo la terzacolonna:


jmi


iyix1

jyjx1yx1

det2

1

iyix1

jyjx1

mymx1


e dove ha il significato:miimj xxxxc )(

ijm xxc

mymx1

iyix1

jyjx1

mymx1

+ +–++

–


24

mmjjii vavavaq

Gli altri tre valori delle incognite q si ottengono semplicemente introducendo nelle relazioni

precedenti le componenti di spostamento v in luogo di u

jmmji yxyxa

iij yxyxa


25mmjjii vbvbvb

q

26mmjjii vcvcvc

q

miimj yxyxa

ijjim yxyxa

mji yyb

imj yyb

jim yyb

avendo ai, aj , am , bi, bj , bm , ci, cj e cmgli stessi valori calcolati prima in funzione delle coordinate nodali dell’elemento e riportati qui per riepilogo.

j

jmi xxc

mij xxc

ijm xxc

14


A questo punto sono calcolabili le componenti del vettore {f} di spostamento dei

punti interni all’elemento, u e v , in funzione delle coordinate x e y.

mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbau

)()()(2

1

1


mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxbav

)()()(2

1

j

i

i

u

v

u

u

j

i

mji d

d

NNNf

Le due relazioni precedenti possono essere scritte in forma matriciale come segue:

ed in modo più compatto:

m

m

j

j

mji

v

u

vNININI

vf

m

jmji

d

dNNNf

edNf


A questo punto sono calcolabili le componenti del vettore {f} di spostamento dei

punti interni all’elemento, u e v , in funzione delle coordinate x e y.

mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbau

)()()(2

1

1


emji dNININI

v

u

Le funzioni e N’i , N’j ed N’m assumono

dunque, in questo caso, le espressioni:

)(1

ycxbaN per k=i j m

mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxbav

)()()(2

1

)(2

ycxbaN kkkk

per k=i,j,m

)()(2 jmijmijmmj xxyyyxyxyx

Anche la quantità 2 , che è il determinante della matrice dei coefficienti, dipende solo dalle coordinate nodali dell’elemento:

15


Nell’ipotesi di stato piano di tensione di un materiale omogeneo ed isotropo la deformazione è

definita, nel sistema di riferimento x y, da quattro componenti: zxyyx εεεε

La componente normale al piano x y, la z , non contribuisce all’energia elastica essendo la

z=0 per ipotesi. Lo stato di deformazione è quindi descritto dalle tre componenti x, y ed xy :

Matrice di deformazione

xy

y

x

γ

ε

ε

ε

x

v

y

uy

vx

u

mmjjii uNuNuNu

mmjjii vNvNvNv

Per quanto calcolato in precedenza le componenti di

spostamento u e v sono date dalle relazioni:

)(2

1ycxbaN kkkk

e ricordando che:

mm

jj

ii u

x

Nu

x

Nu

x

N

x

u

mm

jj

ii v

y

Nv

y

Nv

y

N

y

v

Le derivate assumono quindi le espressioni:

)(2

1mmjjii ububub

x

u

)(2

1mmjjii vcvcvc

y

v


Nell’ipotesi di stato piano di tensione di un materiale omogeneo ed isotropo la deformazione è

definita, nel sistema di riferimento x y, da quattro componenti: zxyyx εεεε

La componente normale al piano x y, la z , non contribuisce all’energia elastica essendo la

z=0 per ipotesi. Lo stato di deformazione è quindi descritto dalle tre componenti x, y ed xy :


xy

y

x

γ

ε

ε

ε

x

v

y

uy

vx

u

mmjjii uNuNuNu

mmjjii vNvNvNv

Per quanto calcolato in precedenza le componenti di

spostamento u e v sono date dalle relazioni:

)(2

1ycxbaN kkkk

e ricordando che:

Le derivate assumono quindi le espressioni:

mm

mm

jj

jj

ii

ii v

x

Nu

y

Nv

x

Nu

y

Nv

x

Nu

y

N

x

v

y

u

)(2

1mmmmjjjjiiii vbucvbucvbuc

x

v

y

u

16


È possibile ora esprimere in forma matriciale il legame tra le componenti della deformazione e gli spostamenti nodali:

xε

mji bbb

0

0

0

0

0

0

1 e

In forma compatta si ha:


xy

y

γ

εε

mm

m

jj

j

ii

i

bc

c

bc

c

bc

c 0002 ed edBε

La matrice di deformazione [B] ha dimensioni r x (r x ne), nel caso in esame 3x6, e può essere divisa in tre sottomatrici 3x2 del tipo:

La matrice [B] è composta da termini che contengono le derivate spaziali delle funzioni di forma. Essa può quindi essere

derivata dalla matrice [N] .

kk

k

k

k

bc

c

b

B 0

0

2

1per k=i,j,m

Nel caso dell’elemento piano a tre nodi i

termini della matrice [B] sono delle costanti,

infatti non contengono le variabili x o y .In questo caso dunque lo stato di deformazione è costante in tutto l’elemento, che risulta poco adatto a rappresentare i gradienti di deformazione.


La deformazione appena calcolata, in funzione degli spostamenti nodali è quella totale.

Per calcolare correttamente lo stato di tensione, è necessario sottrarre alla deformazione totale eventuali deformazioni iniziali, quali ad esempio, le dilatazioni termiche:

1


0

0

0

0

γ

ε

ε

ε

x

y

x

0

1

1

Tα valida nel caso di stato piano di tensione

oppure:

0

1

1

Tα)ν1(ε0valida nel caso di stato piano di deformazione

17


Lo stato di tensione in un punto dell’elemento è descritto dal vettore { }, anch’esso composto da r termini (in questo caso 3).

In condizioni di comportamento elastico del materiale, tale vettore può essere espresso come :

La matrice [D] ha dimensioni r x r (in questo caso 3x3),

Matrice di elasticità

00 σεεσ D mentre il vettore {0 } rappresenta un eventuale stato di tensione preesistente nel materiale prima dell’applicazione del carico come, ad esempio, una tensione residua.

y

x

σ

σ

σIl vettore { } è definito dalle componenti:

Il legame con le deformazioni in campo elastico è definito dalla legge di Hooke scritta per lo stato piano di tensione:

)νσ(σ1

ε yxx E

xyτ

E

)νσ(σ1

ε xyy E

EG xyxy

xy

ν)1(2τ

τγ


La matrice [D] si ottiene dalle equazioni di Hooke,

ricavando le in funzione delle :

)νσ(σ1

ε yxx E

1

0ν1

E Stato piano di


)νσ(σ1

ε xyy E

EG xyxy

xy

ν)1(2τ

τγ

2

ν-100

01νν1

ED

2


Nel caso di stato piano di deformazione la matrice [D] si ottiene tenendo conto che z =0

1 )( 0)σσν(σ1

ε yxzz E)σσν(σ yxz

)σσν(σ1

ε zyxx E

)σσν(σ1

ε zxyy E

dalla legge di Hooke si ha:

yxx E

σν-1

νσ

ν-1ε

2

xyy E

σν-1

νσ

ν-1ε

2

18

yxx E

σν-1

νσ

ν-1ε

2

νν-1 2


yxx

Eσ

ν-1

νε

ν-1σ

2

E νEν


xyy E

σν-1

νσ

ν1ε

yyyy

Eσ

ν-1

νε

ν-1

E

ν-1

νσε

ν-1 22

xyy

Eε

ν-1

νε

ν)2(1ν)(1

ν)-1(σIsolando la y si ottiene:

yxx

Eε

ν-1

νε

ν)2(1ν)(1

ν)-1(σA questo punto si ottiene anche

l’espressione della x :

xyy

Eε

ν1

νε

ν)2(1ν)(1

ν)-1(σ

yxx

Eε

ν-1

νε

ν)2(1ν)(1

ν)-1(σ


Ed infine, esprimendo il legame tra ed in

forma matriciale, si ottiene la matrice [D] :


yy ν-1ν)2(1ν)(1

2ν-100

01ν-1

ν

0ν-1

ν1

ν)2ν)(1(1

ν)-E(1D Stato piano di

deformazione

ν)-2(1

00

Nonostante che la componente dello stato tensionale z sia diversa da zero, nel caso di

deformazione piana, non compie alcun lavoro, essendo nulla la z e, pertanto, essa non

viene presa in considerazione: la matrice [D] rimane una 3x3.

19

Elemento piano triangolare a tre nodi Matrice di rigidezza

k

ke

k

V

UF

Indichiamo con il vettore {F}e le forze esterne che agiscono sull’elemento e che sono applicate direttamente sui nodi:

per k=i,j,m

XIndichiamo, inoltre, con il vettore {p} i carichi distribuiti per unità di volume, come le azioni inerziali:

Y

Xp

L’equilibrio globale dell’elemento richiede che le forze esterne siano staticamente equivalenti

alle tensioni { } agenti sul contorno dell’elemento.

Per trovare la condizione di equilibrio traPer trovare la condizione di equilibrio tra le forze esterne e le reazioni interne, dovute allo stato tensionale, si ricorre al principio dei lavori virtuali,

imponendo un campo di spostamenti virtuali il lavoro compiuto dalle forze esterne deve eguagliare quello compiuto dalle forze interne

ieLL


ieLL e

d *Il vettore rappresenta il campo di spostamenti virtuali.

Lo spostamento interno virtuale e la deformazione conseguente al campo di spostamenti virtuali sono date dai vettori: e**

edNf ** TT

*T

* Ndfe

spostamenti virtuali sono date dai vettori: edB **ε

Il lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne vale:

V

eedVpfFd

T*T

*eL

V

eedVpNFd T

T*

Il lavoro virtuale compiuto dalle tensioni interne vale:

dVV

σε TiL

Uguagliando i lavori si ottiene:

dVddVpNFdV

e

V

eeσB T

T*T

T*

dVdV

eσB T

T*

20


eliminando lo spostamento virtuale d’elemento si ottiene:

dVddVpNFdV

e

V

eeσB T

T*T

T*

Ricordando le relazioni:

dVpNdVBFVV

e TT σ 00 σεεσ D

edBε

Ricordando le relazioni:

00 σεdσ eBD

VVV

e

V

e dVpNdVBdVDBddVBDBF T0

T0

TT σε


VVV

e

V

e dVpNdVBdVDBddVBDBF T0

T0

TT σε

ep

eeeee FFFdKF 0σ0εQuesta relazione è del tipo:

In conclusione si può scrivere:

V

e dVBDBK T

V

e dVDBF 0T

ε0 ε

Matrice di rigidezza di elemento

Forze nodali equivalenti alla deformazione iniziale (dilatazione termica)

V

e dVBF 0T

σ0 σ

V

ep dVpNF T

Forze nodali equivalenti alla tensione iniziale (tensioni residue)

Forze equivalenti a carichi uniformemente distribuiti (pressioni, forze di massa)

21


Si procede ora al calcolo della matrice di rigidezza nel caso di elemento piano a tre nodi con stato piano di tensione.

Come si è visto per l’elemento triangolare a deformazione costante i coefficienti della matrice

[B] sono delle costanti. L’integrazione è dunque una semplice moltiplicazione.

VBDBKe T

Indicando con t lo spessore (costante) dell’elemento si può scrivere:

tBBBD

B

B

B

mji

m

j

i

T

T

T

t

DBBDBBDBB

DBBDBBDBB

DBBDBBDBB

K

mmjmim

mjjjij

mijiii

e

TTT

TTT

TTT La generica sottomatrice può essere scritta come segue:

tBDBKsrrs

T

La generica sottomatrice :

tBDBKsrrs

T


t

b

c

b

Dbc

cb

s

s

rr

rr

0

0

2

1

0

0

2

1

bc ss

40

0

0

0t

c

b

Dbc

cbK s

s

rr

rr

rs

bc ss

rr

22

0ν1

Primo prodotto :


2

ν-100

01νν1 2

E

ν1

rr

rr

bc

cb

0

0

2

1

rrr

rrr

bcc

cbbE

2

ν1ν

2

ν1ν

2

1

ν1 2

sb 0

Secondo prodotto :


rrr cbbE 2

ν1ν

1

ss

s

bc

c02

1

srsrsrsr bccbccbbE 2

ν1ν

2

ν11

rrr bcc

E

2

ν1ν

22

1

ν1 2

srsrsrsr bbcccbbc

2

ν1

2

ν1ν

224ν1 22

23

bccbccbbν1

νν1


La generica sottomatrice rs

K

t

bbcccbbc

bccbccbbE

K

srsrsrsr

srsrsrsr

rs

2

ν1

2

ν1ν

2ν

24

1

ν1 22

bccbccbbν1

νν1

srsrsrsr

srsrsrsr

rs

bbcccbbc

bccbccbbtE

K

2

ν1

2

ν1ν

2ν

24ν1 2


La matrice completa 11

La generica sottomatrice rs

K

ji

jmjjji

imijii

e

KKK

KKK

KKK

K

La matrice completa

srsrsrsr

srsrsrsr

rs

bbcccbbc

bccbccbbtE

K

2

ν1

2

ν1ν

2

ν1ν

2

ν1

4ν1 2

mmmjmi KKK

24


La matrice completa

jijiji

iiiiii

eKKK

KKK

tEK

41 2

mimimimijijijijiiiiiiiii

bbcccbbcbbcccbbcbbcccbbc

bccbccbbbccbccbbbccbccbb

ν1ν1ν

ν1ν1ν

ν1ν1ν

2

ν1ν

2

ν1

2

ν1ν

2

ν1

2

ν1ν

2

ν1

mimimi

jjj

KKK

4ν1 2

mmmmmmmmjmjmjmjmimimimim

mmmmmmmmjmjmjmjmimimimim

mjmjmjmjjjjjjijjjijijiij

mijmjmjmjjjjjjjjjijijijij

mimimimijijijijiiiiiiiii



bbcccbbcbbcccbbcbbccbjcbc



2

ν1

2

ν1ν

2

ν1

2

ν1ν

2

ν1

2

ν1ν

2

ν1ν

2

ν1

2

ν1ν

2

ν1

2

ν1ν

2

ν12

ν1

2

ν1ν

2

ν1

2

ν1ν

2

ν1

2

ν1ν

2

ν1ν

2

ν1

2

ν1ν

2

ν1

2

ν1ν

2

ν122

ν22

ν22

ν


A questo punto devono essere valutate anche le forze nodali equivalenti

V

e dVDBF 0T

ε0 ε


forze nodali equivalenti

V

e dVBF 0T

σ0 σ

V

ep dVpNF T



25


tDBF e0

T

ε0 ε


t

DB

DB

DB

m

j

i

0T

0T

0T

ε

ε

ε

tDbc

cb

rr

rr αT

0

1

1

0

0

2

1

Per il singolo sottovettore r-esimo si ha:

tDBFrr

εT

ε0 2

αT

0

1

1

0

0 tD

bc

cb

rr

rr

01ν

0ν1

ν1 2

E

Elemento piano triangolare a tre nodi forze nodali equivalenti

T1

t

rr

rr

bc

cb

0

0

2

ν-100

ν1

rrr

bcc

cbbEν1

ν

2

ν1ν

ν1 2

2

αT

0

1t

rr

rr

cc

bbtEν

ν

)ν1(2

αT2

rrr bcc

2ν

26

rr

rr

cc

bbtEν

ν

)ν1(2

αT2

Il sottovettore r-esimo ha dunque l’espressione:

r

Fε0


jj

ii

ii

e bb

cc

bb

tEF

ν

ν

ν

αT

Il vettore completo che rappresenta le forze equivalenti ad una dilatazione termica dell’elemento, dovuta ad un incremento T della temperatura, può quindi essere scritto come segue:

mm

mm

jj

jj

cc

bb

cct

F

ν

ν

ν)ν1(2

α20ε


A questo punto devono essere valutate anche le forze nodali equivalenti

V

e dVDBF 0T

ε0 ε



V

e dVBF 0T

σ0 σ

V

ep dVpNF T



27


Le forze nodali equilibranti i carichi uniformemente distribuiti sull’elemento possono essere espresse come segue:

pdVNF ep

T pdVN

N

j

i

I

I

pV

p

p

N

V

m

j

I

pdVNF rp

I

Per il singolo sottovettore r-esimo si ha:

rdVNX

V

rp

VY

Il vettore completo, come si è fatto nei casi precedenti, si ottiene facilmente dal sottovettore generico permutando gli indici.

Elemento piano a quattro nodi

28

y

Le funzioni N’i , N’j , N’k ed N’m dipendono dalle coordinate nodali dell’elemento

Elemento “e“ - nodi i j k m coordinatenodo

Elemento piano quadrangolare a quattro nodi funzioni di forma

i

m

j

km yy ,

ii yxi

jj yxj

kk yxk

j

Le coordinate nodali devono

k

mm yxm

i

xmi xx ,

kj xx ,

ji yy ,

Le coordinate nodali devono essere note per poter calcolare il vettore degli spostamenti.


xyqyqxqqu 4321

xyqyqxqqv 8765 Essendo q otto costanti dipendenti dalle coordinate nodali dell’elemento


yu

yP

ui, uj , uk e um rappresentano quattro possibili spostamenti nodali

ul

m

um

k

uxy

x

jxP

Rispetto all’elemento triangolare a tre nodi, questa volta la superficie è più complessa, grazie

all’uso di un polinomio di ordine superiore

iui

uj

ukk

P(x,y)

29



xyqyqxqqu 4321


Le costanti possono essere calcolate imponendo che le funzioni di spostamento assumano nei di tt t il l d ll t t d lnodi esattamente il valore dello spostamento nodale.

iiiii yxqyqxqqv 8765

jjjjj yxqyqxqqv 8765

kkkkk yxqyqxqqv 8765

mmmmm yxqyqxqqv 8765

iiiii yxqyqxqqu 4321

jjjjj yxqyqxqqu 4321

mmmmm yxqyqxqqu 4321 kkkkk yxqyqxqqu 4321

Ne derivano due sistemi, di quattro equazioni in altrettante A

4

3

2

1

1

1

1

1

q

q

q

q

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

u

u

u

u

mmmm

kkkk

jjjj

iiii

m

k

j

i


8

7

6

5

1

1

1

1

q

q

q

q

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

v

v

v

v

mmmm

kkkk

jjjj

iiii

m

k

j

i



Le costanti possono essere calcolate imponendo che le funzioni di spostamento assumano nei di tt t il l d ll t t d l

xyqyqxqqu 4321


iiiii yxqyqxqqu 4321

jjjjj yxqyqxqqu 4321

mmmmm yxqyqxqqu 4321

nodi esattamente il valore dello spostamento nodale.

Ne derivano due sistemi, di quattro equazioni in altrettante

iiiii yxqyqxqqv 8765

jjjjj yxqyqxqqv 8765

kkkkk yxqyqxqqv 8765

mmmmm yxqyqxqqv 8765 kkkkk yxqyqxqqu 4321


41 qAuIn modo sintetico si può scrivere: 85 qAv

uAq 141

vAq 185

e le soluzioni si ottengono invertendo le matrici:

30

Elemento piano quadrangolare a quattro nodi

Le successive operazioni per il calcolo delle matrici N e B sono del tutto analoghe a quelle viste per l’elemento triangolare.

N è di dimensione 2x8

Essendo le deformazioni interessate dal problema le stesse dell’elemento triangolare,


allora B risulta essere di dimensione 3x8; la matrice D rimane 3x3.

La differenza fondamentale è che in questo caso, oltre che N (ovviamente), anche B è una funzione di punto, cioè gli elementi di B contengono espressioni in x e y.

Tralasciando i passaggi e supponendo noti (anche se in funzione degli spostamenti nodali) gli otto coefficienti q delle funzioni di forma,

xyqyqxqqu 4321 xyqyqxqqv 8765

xy

y

x

γ

ε

ε

ε

x

v

y

uy

vx

u

yqqxqq

xqq

yqq

xy

y

x

8643

87

42

ε

ε

lineare in y

lineare in x

lineare in x e y

Elemento piano quadrangolare a quattro nodi Considerazioni sulla congruenza tra elementi contigui

31

Elemento assialsimmetrico triangolare a tre nodi

z

L’elemento assialsimmetrico è definito

solo nel semipiano con r positivo

Ma rappresenta un continuo meccanico solido, ottenibile con una ’estrusione’ a 360° di una superficie piana

i

m

j

jz

mz

i

r

irmr

jr

izjz

Elemento assialsimmetrico triangolare a tre nodi Matrice delle funzioni di forma

Le funzioni di forma sono del tutto analoghe a quelle dell’elemento piano

zqrqqu 321

zqrqqv 654 Essendo q sei costanti dipendenti dalle coordinate nodali dell’elemento

A questo punto sono calcolabili le componenti del vettore {f} di spostamento dei punti interni

all’elemento, u e v , in funzione delle coordinate x e y.y

mmmmjjjjiiii uzcrbauzcrbauzcrbau

)()()(2

1

mmmmjjjjiiii vzcrbavzcrbavzcrbav

)()()(2

1

emji dNININI

u

Le funzioni e N’i , N’j ed N’m assumono dunque, in questo caso, le espressioni:

per k=i,j,m

mji

v

du que, ques o caso, e esp ess o

)(2

1zcrbaN kkkk

)()(2 jmijmijmmj rrzzzrzrzr

Anche la quantità 2 , che è il determinante della matrice dei coefficienti, dipende solo dalle coordinate nodali dell’elemento:

32

Elemento assialsimmetrico triangolare a tre nodi Matrice di deformazione

Le componenti di deformazione interessate nel problema assialsimmetrico sono 4:

ru

ru

c

r

ε

ε

ε La matrice B pertanto è una 4x6 tale che:

j

i

i

c

r

u

v

u

Bε

ε

rv

zu

zv

rz

z

γ

ε è una 4x6 tale che:

m

m

j

rz

z

v

u

v

γ

ε

jj

ii

ii

zr

zr

zr

zru

1

1 0001

1000

0001

0001

Ricordando l’espressione del campo degli spostamenti in funzione degli spostamenti nodali:

11 ACAderivB

e

mm

mm

jj

jje d

zr

zr

zr

zr

zr

zrdA

v

u 1

1000

0001

1000

0001

1000

0001

La matrice A contiene delle costanti.La matrice B si ottiene derivando la Ф:

Elemento assialsimmetrico triangolare a tre nodi Matrice di deformazione

zr

zr

1000

0001

Derivando la prima riga rispetto a r si ottiene il vettore:

000010

Derivando la terza riga rispetto a z si ottiene il vettore:

100000

Eseguendo le derivate miste e sommando si ottiene:

100100

Dividendo la prima riga per r si ottiene il vettore:

00011 rzr

100100

100000

00011

000010

rzrC

1 ACBLa matrice C, e quindi anche B, è una funzione di punto

In particolare, la deformazione circonferenziale non è costante all’interno dell’elemento assialsimmetrico, neanche in quello triangolare

33

Elemento assialsimmetrico triangolare a tre nodi Matrice di elasticità

)σν(σσ1

ε zyxx E

)σν(σσ1

ε zxyy E

Legge di Hooke generalizzata per un materiale omogeneo isotropo con comportamento lineare:

y

x

y

x

σ

σ

σ

ε

ε

ε

è l t i di d l

EG xyxy

xy

ν)1(2τ

τγ

yy E

)σν(σσ1

ε yxzz E

EG xzxz

xz

ν)1(2τ

τγ

yz

xz

xy

z

yz

xz

xy

zc

σ

γ

γ

γ

ε

1

1

c è la matrice di cedevolezza

EG

EG yzyz

yz

ν)1(2τ

τγ

12

12

12

1

1

1

Ec

In generale, [D] è l’inversa di [c]è la matrice di cedevolezza

1 cD


Nel caso generale, sia [c] che [D] sono di dimensione 6x6

122

212

221

DDD

DDD

DDD

211

11

ED

E

3

3

3

122

D

D

D

DDDD dove

2112

ED

123

EGD

Ad esempio per lo stato di deformazione piana si ha: 0γγ xzxzz

NO

3

3

3

122

212

221

D

D

D

DDD

DDD

DDD

DLa matrice [D] è una 3x3

NO

34


Nel caso assialsimmetrico, cambia il nome delle deformazioni e delle tensioni:

γγ

rzxy

cz

zy

rx

Ma i termini D1, D2 e D3 sono gli stessi

0γγ

0γγ

zcyz

rcxz

La semplificazione da apportare nella matrice di elasticità è la seguente:

Ma i termini D1, D2 e D3 sono gli stessi

3

3

3

122

212

221

D

D

D

DDD

DDD

DDD

DLa matrice [D] è una 4x4

Elemento assialsimmetrico triangolare a tre nodi Matrice di rigidezza

V

T VolBDK dB

Ricordando l’espressione generale della matrice di rigidezza per un elemento qualsiasi:

Data la natura assialsimmetrica del problema, si può effettuare una pre-integrazione in direzione circonferenziale con un angolo di 360°:

zrBDKA

T drdB2

Si può cioè considerare nell’integrazione che il volumetto elementare non è rappresentato da dxdydz, ma da 2πrdrdz

Questa volta, a differenza dell’elemento triangolare piano,vanno effettivamente eseguite delle integrazioni sulle espressioni polinomiali contenute nel prodotto [B]T[D][B]

In realtà, nei codici di calcolo agli elementi finiti questa operazione non si esegue quasi mai, e l’integrazione viene eseguita in modo rapido, anche se approssimato, per via numerica attraverso metodi come quello di Gauss-Legendre

35

Elemento lineare a due nodi

i j

ix

Elemento asta

Elemento i j - 2 nodi x un grado di libertà per nodo: spostamento assiale u

juiu

ux

Funzione di spostamento

Scelta in modo arbitrario

Funzione lineare

L’elemento di sposta e si deforma sotto carico

jxix j

x

bxau Funzione lineare

ii bxau

Condizioni al contorno:

bxau

abxu ii

bxbxuu b

I coefficienti a e b dipendono dalla geometria dell’elemento e dagli spostamenti nodali

jj bxau jiij bxbxuu ijij xxbuu

ij

ij

xx

uub

i

ij

iji x

xx

uuua

36

Elemento asta

i j

ix


juiu

ux


bxau

ij uu

bxau xxx

uux

xx

uuuu

ij

iji

ij

iji

jxix j

x

ij

ij

xx

uub

iij

iji x

xx

uuua

conviene ora riscrivere questa relazione in una forma più adatta alla notazione matriciale

iij

jij

iij

ij

ij

ii u

xx

xu

xx

xu

xx

xu

xx

xuu

jij

ii

ij

i uxx

xxu

xx

xxu

1 jjii uNuNu dNu

Elemento asta

Li j

ix


juiu


bxau

ji NNN

xx

Lxx ij

xx

jxix j

x

ij

ii xx

xxN 1

ij

ij xx

xxN

L

xxN i

i 1

L

xxN i

j

37

Elemento asta

Li j

ix


juiu


bxau

dx

duεx Deformazione

dBεx

j

i

jixu

uBBε ii N

dx

dB jj N

dx

dB

jxix j

x

L

xx

dx

dB i

i 1

L

xx

dx

dB i

j

L

1

L

1

LLB

11

j

i

xu

u

LLε

11

L

uu ij

Li j

ix


juiu


bxau

Elemento asta

εDσ Tensionejx

ix j

x

ED La matrice di tensione in questo caso si riduce semplicemente al modulo di Young xx εEσ

Ci sono ora tutti gli elementi per calcolare la matrice di rigidezza dell’elemento asta:

V

T dVBDBK

ALBDBK TTenendo conto che sia [B] che [D] sono indipendenti da xsi può calcolare [K] molto semplicemente:

38

Li j

ix


juiu


bxau

Elemento asta

jxix j

x

La matrice di rigidezza

LL

11

L

LB T

1

1 BBEALK T

ALBDBK T

LLB

11

La matrice di rigidezza nel sistema di riferimentoLL

L

L1

1

L

BBEAL T

22

22

11

11

LL

LL

EAL

11

11

L

EA K

sistema di riferimento dell’elemento

Formulazione isoparametrica

Elemento lineare a due nodi

39

i j

Elemento asta Formulazione isoparametrica

ξ0

+1–1

ξx

ix

La relazione tra l’ascissa nel sistema di riferimento generale e l’ascissa espressa in un sistema di coordinate naturali dell’elemento:

può essere ottenuta con funzioni

x

ixjx

ξbax

può essere ottenuta con funzioni identiche a quelle utilizzate per rappresentare gli spostamenti interni dell’elemento in funzione degli spostamenti nodali

bxau Se la coordinata x è calcolata rispetto alle coordinate naturali con una funzione dello stesso grado, ovvero con lo stesso numero di parametri, della funzione di spostamento allora l’elemento viene d tt i t idetto isoparametrico.

L’elemento viene detto invece sub parametrico o super parametriconei casi in cui il numero di parametri sia inferiore o superiore a quello della funzione di spostamento.

i j


ξ0

+1–1

ξx

ix

La relazione tra l’ascissa nel sistema di riferimento generale e l’ascissa espressa in un sistema di coordinate naturali dell’elemento:

può essere ottenuta con funzioni

x

ixjx

ξbax

può essere ottenuta con funzioni identiche a quelle utilizzate per rappresentare gli spostamenti interni dell’elemento in funzione degli spostamenti nodali

bxau

Per calcolare a e b si può procedre come segue:

Per x = xi deve essere = –1 1-baxi

Per x = xj deve essere = +1 1 bax jj

baxi Dalla prima relazione si ha: bxa i

Dalla seconda: bax j bxbbx ii 22

ij xxb

e quindi:

da cui: bxa i 2

2 iji xxx

2ij

i

xxx

2ij xx

a

40

i j


ξ0

+1–1

ix

ξx

ξbax

bxau

ji xxx2

ξ1

2

ξ1

x

ixjx

2ij xx

b

2

ij xxa

ξfx La funzione può essere ottenuta come segue:

ji 22

ξbax ξ22

ijij xxxx

ξ

2-ξ

222ijij xxxx

2

ξ12

ξ1 ji xxx ji xx

2

ξ1

2

ξ1

i j


ξ0

+1–1

ix L

ξx

ξbax

bxau

ji xxx2

ξ1

2

ξ1

Lxx ij

xfξSi può ricavare anche la funzione inversa

L

xx j 21ξ

2ij xx

b

2

ij xxa

x

ixjx

L ji 22

ξbax b

ax ξ

b

a

b

x

ij

ij

ij xx

xx

xx

x

2

2

2

ij

ij

ij xx

xx

xx

x

2

ij

j

ij

i

xx

xx

xx

xx

ij

jjji

xx

xxxxx

2ξ

ij

j

xx

xx

21

L

xx j 21

Può essere conveniente esprimerla anche in una forma un po’ diversa:

41

i j


ξ0

+1–1

ix L

ξx

ξbax

bxau

ji xxx2

ξ1

2

ξ1

x

ixjx

2ij xx

b

2

ij xxa

Lxx ij

L

ξfx può essere espressa tramite funzioni di forma

L

xx j 21ξ

ji 22

ji xxx2

ξ1

2

ξ1

cNx

j

i

x

xN

j

i

jix

xNN

2

ξ1iN

2

ξ1jN

c è il vettore delle coordinate nodali (nel sistema di riferimento generale)

i j


ξ0

+1–1

ix L

ξx

ξbax

bxau

ji xxx2

ξ1

2

ξ1

x

ixjx

2ij xx

b

2

ij xxa

Lxx ij

L

cNx Con le stesse funzioni di forma viene calcolato

lo spostamento interno u dell’elemento

L

xx j 21ξ

ji 22

ji uu2

ξ1

2

ξ1

dNu

j

i

u

uN

j

i

jiu

uNN

lo spostamento interno u dell elemento

d è il vettore degli spostamenti nodali

42

i j


ξ0

+1–1

ix L

ξx

ξbax

bxau

ji xxx2

ξ1

2

ξ1

x

ixjx

L

La deformazione viene calcolata tramitele derivate delle funzioni di forma:

dx

duεx ξd

dxviene detto Jacobiano e si indica con J

j

i

u

uB

j

i

u

uN

dx

d

L

xx j 21ξ

ji 22

cNx

Definizione:

essendo:

cNd

d

d

dx

ξξ

j

i

x

x

d

d

2

ξ1

2

ξ1

ξ

j

i

x

x

2

1

2

1

2ij xx

2

L

LJ

21In questo caso lo Jacobiano vale:

ξd

dx dx

d

j j

2

LJ

i j


ξ0

+1–1

ix L

ξx

ξbax

bxau

ji xxx2

ξ1

2

ξ1

x

ixjx

L

L

xx j 21ξ

ji 22

La deformazione viene calcolata tramitele derivate delle funzioni di forma:

dx

duεx

j

i

u

uB

ξ

ξ

d

d

dx

d

dx

d

ξ

1

d

d

J

L’operazione di derivazione può quindi essere fatta come segue:

ξ

2

d

d

L

j

i

u

uN

dx

d

j ξddxdx ξdJ ξdL j

Ndx

dB N

d

d

L ξ

2 ji NN

d

d

L ξ

2

2

ξ1

2

ξ1

ξ

2

d

d

L

2

1

2

12

L

LLB

11La matrice B vale dunque:

43

i j


ξ0

+1–1

ix L

ξx

ξbax

bxau

ji xxx2

ξ1

2

ξ1

x

ixjx

L

L

xx j 21ξ

ji 22

LLB

11La matrice di rigidezza dell’elemento isoparametrico può essere calcolata come di consueto:

V

T dVBDBK

LT dxABDBK

0

1

1ξJdABDB T AEJBB T 2

11

11

L

EAK

22

22

11

11

LL

LLBB T

Ricordando che:

2

LJ e si ha:

Elemento isoparametrico piano a quattro nodi

44

Elemento piano a 4 nodi Formulazione isoparametrica

y

ξ

η

ξ

η+1,+1-1,+1

34

4

3

Coordinate naturali

x

ξ

+1,-1-1,-11 2

cNx

dNu

44332211 yxyxyxyxc

4

12

y

v

44332211 vuvuvuvud

4321

4321

0000

0000

NNNN

NNNNN


ξ

η+1,+1-1,+1y

ξ

η34

4

3

Coordinate naturali

+1,-1-1,-1

x

ξ1 2

12

ηN 1ξ14

11 ηN 1ξ1

4

12

4

ηN 1ξ14

13

4

ηN 1ξ14

14

45


ξξξ

y

y

φx

x

φφ

xφ

Jφ ,,ξ

1211 JJ

J

yx ,, ξξ

yxφ ,In generale, data una funzione può essere definito lo jacobiano

η

y

y

φ

η

x

x

φ

η

φ

yη φJ

φ ,,

2221 JJJ

ηη yx ,,

1 J

ηy

x

φ

φ

φ

φ

,

,, ξ

,

può essere definito anche l’operatore inverso


Nel caso dell’elemento isoparametrico piano a quattro nodi le funzioni da considerare sono :

xNxNxNxNxJ

44332211 uNuNuNuNu

44332211 vNvNvNvNv

4ξ,43ξ,32ξ,21ξ,1ξ11 , xNxNxNxNxJ

4,43,32,21,122 , yNyNyNyNyJ ηηηηη 4,43,32,21,121 , xNxNxNxNxJ ηηηηη 4ξ,43ξ,32ξ,21ξ,1ξ12 , yNyNyNyNyJ

J

4

1ξ,1

ηN

ηN 1ξ14

11

d

dNN 1

ξ,1

η

d

d1ξ1

4

1

46


Nel caso dell’elemento isoparametrico piano a quattro nodi le funzioni da considerare sono :

xNxNxNxNxJ

44332211 uNuNuNuNu

44332211 vNvNvNvNv

4ξ,43ξ,32ξ,21ξ,1ξ11 , xNxNxNxNxJ

4,43,32,21,122 , yNyNyNyNyJ ηηηηη 4,43,32,21,121 , xNxNxNxNxJ ηηηηη 4ξ,43ξ,32ξ,21ξ,1ξ12 , yNyNyNyNyJ

J

4

1ξ,1

ηN

4

1ξ,2

ηN

4

1ξ,3

ηN

4

1ξ,4

ηN

4

ξ1,1

ηN

4

ξ1,2

ηN

4

ξ1,3

ηN

4

ξ1,4

ηN


A questo punto ci sono tutti gli elementi per il calcolo della matrice [B] :

x

uεx

y

x

xu

uε

,

,0001

y

vεy

x

v

y

uxy

γ

y

x

xy

x

v

vεε

,

,0110

1000

γ

x uu ,00, ξ1211

η

η

y

x

y

v

v

u

v

v

u

,

,

,

00

00

00

,

,

,

ξ

2221

1211

2221

47

1

1

v

u


dBε

3

2

2

1

ξ,4

,4

ξ,4

ξ,3

,3

ξ,3

ξ,2

,2

ξ,2

ξ,1

,1

ξ,1

ξ

ξ

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

,

,

,

u

v

u

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

v

u

u

ηηηηη

4

4

3,4,3,2,1 0000,

v

u

vNNNNv ηηηηη


La matrice [K] :

V

T dVBDBK dydxtBDB Tt = spessore dell’elemento

1

1

1

1ξ)det( dηdJtBDBK T

12212211)det( JJJJJ dove

48

Il metodo EF in campo non lineare


Cause di non linearità: materiale

geometria

relazione non lineare tra deformazione e tensione

spostamenti dovuti al carico comparabili con le dimensioni della struttura

contatto

dimensioni della struttura

forze esterne dipendenti dagli spostamenti della struttura

49


Non linearità dovuta al materiale dBε

00 σεεσ D

D

εD

0Rd K

Formulazione generale EF

R Vettore che rappresenta i

R pp

carichi nodali esterni

0ε,σ F


Non linearità dovuta al materiale 00 σεεσ D

0Rd KMetodo della rigidezza variabile

εD

dD 0Rdd K

Soluzione con procedimento iterativo

00 dKK

valutato in campo elastico Rd1

0

K

1

R

1d

Rd1

01 K

Rd1

12

K

11 dKK

Rd1

1

nn K nn KK d

………………………d0d

2d

Vd

50



Metodo della tensione iniziale

V

dVBF 0T

σ0 σ

K Rd1

0dRd K


1R 0

1

0 Rd

K

1

1

1 Rd

K

R

R 10σ

2R 20σ

nn K Rd

2

1

2 Rd

K

nn K Rd1

………………

d0d

1d2d

Vd

nR n0σ 1d n

d



Metodo della deformazione iniziale

0dRd K

V

dVDBF 0T

ε0 ε

0dRd K


1R 0

1

0 Rd

K

1

1

1 Rd

K

R

R 10

2R 20

2

1

2 Rd

K

nn K Rd1

………………

d0d

1d2d

Vd

nR n0 1d n

51


Non linearità dovuta al materiale

0 x

Metodo di Newton Metodo di Newton-Raphson

0T RddVdd T

V

T

nx 0 nx

11 nnn xxx

n

nn x

xx

1

Metodo di Newton modificato

dB ε

0T RdVBdV

V

dVB T 0R

0

1 x

xx n

n

Metodo di Newton modificato (semplificato)

V

tD

ddVBDBV

t

T dKt



0 x

Metodo di Newton Metodo di Newton-Raphson

dKt

nx 0 nx

11 nnn xxx

n

nn x

xx

1

Metodo di Newton modificato

nntn Kd

1

1

tK Matrice tangenziale di rigidezza

Kd 1

0

1 x

xx n

n

Metodo di Newton modificato (semplificato)

ntn Kd 01

Metodo della rigidezza iniziale

52



R

Metodo di Newton-Raphson

dKt

nd

nntn Kd

1

1

tK Matrice tangenziale di rigidezza

Kd 1

d0d

1d2d

Vd

Metodo della rigidezza iniziale

ntn Kd 01



RddK nnn

nn f

nnn dBD

ndf

V

nn dVBF σT

RF nn

53

0Rdd K


0d V

0d

Vd

d


0d n nd

n

jj

j

ii d

d1

dJ

n

ikiki

ij RdKdd

J

n

kik

ij dd

KK

kjj dd 1 k jd1

nnnn J dd 11 01 Vn

nn J d nnnd dd 1

0Rdd K


0d V

0d

Vd

d


0d n nd

nn J d

nn J 1

d

J 1

dd

0Rdd nnn K

nnn J 1 dd

54


Non linearità geometrica

0T

RdVBdV

B è funzione di d

ddB dBBB ddB LdBBB 0

εσ D se le deformazioni sono piccole è ancora utilizzabile una relazione lineare tra tensione e deformazione

d

0TT

VV

dVBdVB



dBDD LBB

0T

dKdVBV

L LV

KKdVBDBK 0

T

dVBDBKT

V

dVBDBK 000

V

L

V

LL

V

LL dVBDBdVBDBdVBDBK 0

TTT

0

dKdVBV

L T

55



dKKK L 0

ntn Kd 1

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