THE DRIPPING FAUCET: TRANSIZIONE AL CAOS

Relatore: Guido Boffetta

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TORINO

Facoltà di ScienzeMatematiche Fisiche e Naturali

Laurea Triennale in Fisica

Anno scolastico 2004/2005

Candidato: Isabella Rosso

Ringraziamenti: Ferruccio Balestra Giovanni Maniscalco

Correlatore: Antonello Provenzale

Jules-Henri Poincaré

•EFFETTO FARFALLA: piccole incertezze evolvono in maniera esponenziale

•Sistemi apparentemente semplici in realtà nascondono nature molto complesse ed irregolari

La Teoria del Caos…

•Fondatore teoria qualitativa sistemi dinamici

•Descrizione del caos deterministico

Edward Lorenz

•1903: “..Può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..”

•Impredicibilità dello stato del sistema dopo un certo tempo caratteristico

Anni ’30: la scuola russa con Lyapunov, Kolmogorov, Andronov.

A livello quantitativo…

Fulcro della Teoria del Caos: studio sistemi dinamici dissipativi non lineari MAPPA (valori discreti)

x(t+1)=g(x(t))

x= |x(0)- x’(0)|

•Una piccola incertezza sulla condizione iniziale si amplifica molto velocemente

•Anche nel caso ipotetico di poter disporre di un modello perfettorimane il grande problema delle condizioni iniziali

positivo crescita esponenziale

|x(t)| = |x(t)- x’(t)| ~ |xexp(

t)

0

x(t)

x(0)

x’(0)

x’(t)

x(0)

x(t)

Cos’è …

|x(t)| = |x(t)- x’(t)| ~ |xexp(

t)

•Dipende dal sistema

•Misura quantitativa della caoticità di un sistema: quanto si separano nel tempo le traiettorie

•Esponente di Lyapunov

•Se ≤0 il sistema non è caotico (l’attrattore è un punto fisso o un ciclo limite)

Cos’è …

|)0(|

|)(|ln1lim

0|)0(| x

txt

xt

Indipendentemente dalla condizione iniziale, x(t) si avvicina indefinitamente ad esso (invariante per evoluzione temporale)

L’attrattore…

La presenza è determinata dal valore di un parametro di controllo

Regione dello spazio delle fasi in cui le traiettorie sono attratte dopo un tempo abbastanza lungo

•Punto fisso: punto di equilibrio o stato stazionario

•Orbita circolare o attrattore ciclico

•Attrattore strano

x(t+1)=g(x(t))

Soluzione dell’equazione g(x(t))=x(t)

Vari tipi:

L’esperimento…

Rubinetto che gocciola

Può presentare un comportamento caotico

Sistema molto complicato con molti gradi di libertà

Variando la portata regime di gocciolamento:

•inizialmente periodico

•transizione al caos

L’apparato sperimentale…

Tanica

Tubo diametro: 1 cm

Rubinetto

Tubicino diametro: 6 mm

Regolatore

Fotocellula

I valori ottenuti…

q = (0,30 ± 0,03) ml/s

Periodo 1

0,300

0,400

0,500

0,000 50,000 100,000 150,000 200,000 250,000 300,000

t (s)

Dt

(s)

Periodo 1

0,200

0,300

0,400

0,200 0,300 0,400

Tn (s)

Tn+

1 (

s)

I valori ottenuti…

Mappa dei Ritorni: Tn+1 =f(Tn)

q = (0,30 ± 0,03) ml/s

Periodo 2

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,000 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000 14,000 16,000

t (s)

Dt

(s)

I valori ottenuti…

q = (0 ,41 ± 0,04) ml/s

q = (0 ,41 ± 0,04) ml/s

I valori ottenuti…

Mappa dei Ritorni

Periodo 2

0,0000,050

0,1000,1500,200

0,2500,300

0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300

Tn (s)

Tn+

1 (

s)

I valori ottenuti…

q = (0 ,79 ± 0,07) ml/s

Periodo 4

0,000

0,100

0,200

0,300

0,000 0,100 0,200 0,300

T n (s)

Tn+

1 (

s)

Le gocce secondarie…

Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996)

Periodo 1

0,550

0,600

0,650

0,700

0,550 0,600 0,650 0,700

T n (s)

Tn+

1 (

s)

Nuova configurazione…

q = (0 ,15 ± 0,03) ml/s

q = (0 ,17 ± 0,02) ml/s

Nuova configurazione…

Periodo 2

0,550

0,600

0,650

0,550 0,600 0,650

T n (s)

Tn+

1 (

s)

q = (0 ,23 ± 0,02) ml/s

Nuova configurazione…

Periodo 3

0,400

0,500

0,400 0,500

T n (s)

Tn

+1 (

s)

Nuova configurazione…

q = (0 ,36 ± 0,04) ml/s

CAOS

0,285

0,295

0,305

0,315

0,325

0,000 10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000

t (s)

Dt

(s)

CAOS

0,250

0,300

0,350

0,250 0,300 0,350

Tn (s)

Tn+

1 (

s)

q = (0 ,36 ± 0,04) ml/s

Nuova configurazione…

Funzione non monotona “stretching e folding”

La mappa logistica…

•r=3.2

•Attrattore di periodo 2

•r=3.52

•Attrattore di periodo 4

)1(1 nnn xrxx

La mappa logistica…

•r=4

•Attrattore caotico

)1(1 nnn xrxx

• = ln2

PERIODO 1,2,3 E CAOS A CONFRONTO

0, 200

0, 250

0, 300

0, 350

0, 400

0, 450

0, 500

0, 550

0, 600

0, 650

0, 700

0, 750

0, 200 0, 250 0, 300 0, 350 0, 400 0, 450 0, 500 0, 550 0, 600 0, 650 0, 700 0, 750

Tn (s)

PERIODO 1

PERIODO 2

PERIODO 3

CAOS

I valori ottenuti a confronto…

q = 0 ,15 ml/s

q = 0 ,17 ml/s

q = 0 ,23 ml/s

q = 0 ,34 ml/s

Conclusioni…

Comprensione delle caratteristiche proprie di un sistema caotico

L’esperimento conferma la ricchezza di un comportamento dinamico in un sistema apparentemente semplice

Presentato un esperimento in cui si è investigato il comportamento non lineare e un meccanismo di transizione al caos

Bibliografia…

•A. Vulpiani, Determinismo e Caos, Carocci (1994)

•Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996)

•H. N, Núñez-Yépez, A. L. Salas-Brito, C. A. Varga e L. Vicente, Chaos in a dripping faucet, Eur. J. Phys. (1989)

•D. R. Hofstadter, Metamagical Themas, Sci. Am. 245 22 November (1981)

•J. K. Hale, H. Koçak, Dynamics and bifurcations, Springer-Verlag (1991)