Testo IX delle tavolette di SusaTesto IX delle tavolette di Susacambiamento di variabilecambiamento di variabile

Traduzione Interpretazione Io sommo la superficie, la lunghezza e la larghezza: fa 1 Prendo 3 volte la lunghezza e 4 volte la larghezza, aggiungo la sua 17a parte alla lunghezza: ottengo 0;30

xy + x + y = 1 y + 1/17(3x + 4y) = 0 ;30 (1/2)

Tu: Prendi 0;30 17 volte, tu troverai 8;30.

A 17 volte la larghezza aggiungi 4 volte la larghezza, tu troverai 21: poni 21 come coefficiente della larghezza ; 3, il triplo della lunghezza, come coefficiente della lunghezza: qual è il significato di 8;30? È la somma di 3 volte la lunghezza e di 21 volte la larghezza.

Aggiungi 1 alla lunghezza e 1 alla larghezza e fai la moltiplicazione.

Si introducono le incognite ausiliarie X = x+1 Y = y+1

Tu hai aggiunto 1 alla somma della superficie, lunghezza e larghezza, e tu trovi la superficie 2

Da: Textes mathematiques de Suse, 1961

L. G. Laboratorio di Storia delle Matematiche

Riduzione

a forma normale

Come ho moltiplicato la lunghezza e la larghezza della superficie 2 e 1;20 la larghezza … 1 la costante additiva della lunghezza e 1 quella della larghezza, … la somma: 2, tu trovi 32;30.

Ecco ciò che stai cercando: 3 volte la lunghezza addizionata a 21 volte la larghezza, moltiplica 3 volte la lunghezza per 21 volte la larghezza e moltiplica ancora per 2, la superficie, tu trovi 2,6

Riduzione a forma normale

3X·21Y = 3·21·2 = 2,6 ( = 126) 3X + 21Y = 32 ;30

Fraziona in due 32;30 della somma, tu trovi 16;15, fai il quadrato di questa metà, tu trovi 4.24;3.45; sottrai 2;6 da 4.24;3.45, tu trovi 2.18;3.45.

La radice quadrata è 11;45. Somma 11;45 a 16;15, tu troverai 28.

In secondo luogo sottrai (16;15-11;45); tu troverai 4;30

Fai l’inverso del triplo della lunghezza, trovi 20. 20 a 4;30 … Porta 20 a 4;30 e ottieni 1;30

1;30 è la lunghezza di 2 volte la superficie ... 21 volte la larghezza che dà 28 per prodotto. 1;20 è la larghezza di due volte la superficie.

Sottrai 1 a 1;30, trovi 0;30. Sottrai di nuovo 1 da 1;20 e ottieni 0;20.

Calcola le 2 radici

positive

Testo IX delle tavolette di SusaTesto IX delle tavolette di SusaSoluzioneSoluzione

Traduzione InterpretazioneIo sommo la superficie, la lunghezza e lalarghezza: fa 1Prendo 3 volte la lunghezza e 4 volte lalarghezza, aggiungo la sua 17a parte allalunghezza: ottengo 0;30

xy + x + y = 1

y + 1/17(3x + 4y) = 0 ;30 (1/2)

Tu: Prendi 0;30 17 volte, tu troverai 8;30. 17y +3x +4y = 0;30 17 = 8;30(8+1/2)

A 17 volte la larghezza aggiungi 4 voltela larghezza, tu troverai 21: poni 21 comecoefficiente della larghezza ; 3, il triplodella lunghezza, come coefficiente dellalunghezza: qual è il significato di 8;30?È la somma di 3 volte la lunghezza e di21 volte la larghezza.

(17 +4) y + 3x = 21y + 3x = 8;30

Aggiungi 1 alla lunghezza e 1 allalarghezza e fai la moltiplicazione.

Si introducono le incognite ausiliarieX = x+1Y = y+1

Tu hai aggiunto 1 alla somma dellasuperficie, lunghezza e larghezza, e tutrovi la superficie 2

XY = (x+1)(y+1) =xy + y + x + 1 =1+1

XY= 2

Riduzione

a forma normale

C o m e h o m o l t i p l i c a t o l a l u n g h e z z a e l al a r g h e z z a d e l l a s u p e r f i c i e 2 e 1 ; 2 0 l al a r g h e z z a … 1 l a c o s t a n t e a d d i t i v a d e l l al u n g h e z z a e 1 q u e l l a d e l l a l a r g h e z z a , … l as o m m a : 2 , t u t r o v i 3 2 ; 3 0 .

2 1 y + 2 1 + 3 x + 3 = 8 ; 3 0 + 2 42 1 Y + 3 X = 3 2 ; 3 0

E c c o c i ò c h e s t a i c e r c a n d o : 3 v o l t e l al u n g h e z z a a d d i z i o n a t a a 2 1 v o l t e l al a r g h e z z a , m o l t i p l i c a 3 v o l t e l a l u n g h e z z ap e r 2 1 v o l t e l a l a r g h e z z a e m o l t i p l i c aa n c o r a p e r 2 , l a s u p e r f i c i e , t u t r o v i 2 , 6

R i d u z i o n e a f o r m a n o r m a l e

3 X ·2 1 Y = 3 ·2 1 ·2 = 2 , 6 ( = 1 2 6 )3 X + 2 1 Y = 3 2 ; 3 0

F r a z i o n a i n d u e 3 2 ; 3 0 d e l l a s o m m a , t ut r o v i 1 6 ; 1 5 , f a i i l q u a d r a t o d i q u e s t a m e t à ,t u t r o v i 4 . 2 4 ; 3 . 4 5 ; s o t t r a i 2 ; 6 d a4 . 2 4 ; 3 . 4 5 , t u t r o v i 2 . 1 8 ; 3 . 4 5 .

Z 2 – 3 2 ; 3 0 Z + 2 , 6 = 0

Z = 1 / 2 · 3 2 ; 3 0 ± 6,22

30;322

L a r a d i c e q u a d r a t a è 1 1 ; 4 5 . S o m m a 1 1 ; 4 5a 1 6 ; 1 5 , t u t r o v e r a i 2 8 .

Z 1 = 1 6 ; 1 5 + 1 1 ; 4 5 = 2 8 = 2 1 Y

I n s e c o n d o l u o g o s o t t r a i ( 1 6 ; 1 5 - 1 1 ; 4 5 ) ; t ut r o v e r a i 4 ; 3 0

Z 2 = 1 6 ; 1 5 - 1 1 ; 4 5 = 4 ; 3 0 = 3 X

F a i l ’ i n v e r s o d e l t r i p l o d e l l a l u n g h e z z a ,t r o v i 2 0 . 2 0 a 4 ; 3 0 … P o r t a 2 0 a 4 ; 3 0 eo t t i e n i 1 ; 3 0

3 X = 4 ; 3 0( 1 / 3 ) · 4 ; 3 0 = 1 ; 3 0 = x + 1

1 ; 3 0 è l a l u n g h e z z a d i 2 v o l t e l a s u p e r f i c i e. . . 2 1 v o l t e l a l a r g h e z z a c h e d à 2 8 p e rp r o d o t t o . 1 ; 2 0 è l a l a r g h e z z a d i d u e v o l t el a s u p e r f i c i e .

2 1 Y = 2 8Y = 1 ; 2 0 = y + 1

S o t t r a i 1 a 1 ; 3 0 , t r o v i 0 ; 3 0 . S o t t r a i d in u o v o 1 d a 1 ; 2 0 e o t t i e n i 0 ; 2 0 .

x = 1 ; 3 0 – 1 = 0 ; 3 0y = 1 ; 2 0 – 1 = 0 ; 2 0

Calcola le 2 radici

positive

Euclide, Euclide, ElementiElementi,, Prop. VI.27“Di tutti i parallelogrammi applicati ad una stessa retta e che siano mancanti di parallelogrammi simili e similmente disposti rispetto a quello descritto sulla metà della retta, è massimo il parallelogramma che è applicato alla metà della retta ed è simile al parallelogramma mancante”.

A C

D

BK

F

Questa proposizione ha un significato “algebrico” importante. Riferiamoci per semplicità al caso in cui (AD) sia un quadrato.Se indichiamo con S l’area del rettangolo (AF) la VI.27 ci dice quale èil valore massimo di S e stabilisce la separazione fra i casi in cui è possibile e quelli in cui è impossibile risolvere il problema che si traduce nell’equazione 02 Saxx

F

A

Si veda il testo di Euclide nel Dossier

S

a

xA

F

x

Area del rettangolo (AF) : 0 )( 2 SaxxxxaS

2

2

2

2 cioè

02

se reali soluzioni hanno si

2

aS

Sa

Sa

2

a

Fra tutti i rettangoli (AF) costruiti su AB e mancanti di un quadrato,quello massimo è il quadrato costruito su AC.

B

D

C

Il problema si può risolvere se S non superail quadrato costruito sulla metà di AB.

Leonardo Pisano, Leonardo Pisano, Liber AbaciLiber Abaci,,Cap. 12, p. 318

doppia falsa posizione

…

Le posizioni x’ e x” sono minori della soluzione x

1 100 1 20C Rotoli L Soldi 1S 12Denari

Le posizioni x’ e x” sono maggiori della soluzione x

Le posizioni x’ e x” sono rispettivamente maggiore e minoredella soluzione x

SoluzioneSoluzione1 100 1 20

1 13

1

1 1

100

13 5) 8

1 2

1 10

C Rotoli L Soldi 1S 12Denari

C vale L

R quanto vale?

poniamo che R valga x' soldo

1C 100R vale S 5L per cui l'errore è

e' ( L L

poniamo che R valga x" soldi

C

0 200 10

13 10) 3

" ' 1 12

' " 5

' "

" '

( ' ") : ( " ') ": ( - ")

R vale S L per cui l'errore è

e" ( L L

x x S D

e e L

Che cosa devo aggiungere ad x" per avere x? x"+? = x

e e e"

x x x-x"

e e x x e x x da cu

12 3 36 1

" 75 5 5

12 ( 7 )

5

D Li x x D D

L

x S D In questo caso le posizioni sono state minori della soluzione

…

Omar Al KhayyamOmar Al Khayyam L’equazione trinomia del I tipo c bx x 3 , viene scritta come

q px px 223 con b = p2 e c = p2q per il principio di omogeneità dimensionale. La risoluzione si ottiene per intersezione della circonferenza x2 + y2 = q x e della parabola y = x2 /p.

L’ascissa QS del punto P di intersezione delle curve rappresentate in figura è la radice cercata.

Al-Khayyam non scriveequazioni, ma usa le proporzioni

C(0, q/2)

Da: O. Al Khayyam, L’oeuvre algébrique, etablie, traduite et analysée par R. Rashed et A. Djebbar, Paris 1979

Si veda il testo di Al Khayyam nel Dossier

Al-Khayyam dà una dimostrazione di tipo sintetico utilizzando la teoria delle proporzioni. Applica la proprietà della parabola data Apollonio:

xp

PSx (1)

Considera ora il triangolo rettangolo QPR, la sua altezza PS è media proporzionale fra QS e RS:

xq

PSPSx

Uguagliando le espressioni precedenti ricava:

xqPS

xp

(2)

D’altra parte dalla (1) PS = x2/p che sostituito nella (2) fornisce l’equazione

q px px 223