Test 03 - 1 / 63 Lezione 7 i Test statistici. Test 03 - 2 / 63 Nella parte 1 e 2 … test...

Test 03 - 1 / 63

Lezione 7i Test statistici

Test 03 - 2 / 63

Nella parte 1 e 2 …

test sull’ipotesi principale H0 con alternative H1, H2

test sull’ipotesi principale H0: prestazioni del

criterio decisionale

rischio di errore di 1 specie; fiducia del criterio decisionale

significatività del test

rischio di errore di 2 specie;

potenza del test

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parte 3Test sulla varianza

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formulazione di un test con H0 sulla varianza

per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi:

1. scelta della numerosità del campione;

2. costruzione della variabile casuale X

3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;

4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;

5. scelta della variabile campionaria e determinazione della sua distribuzione ;

6. definizione della affidabilità richiesta ;

7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;

8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;

9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizioe si aumenta la numerosità del campione ;

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5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:

se la variabile casuale X ha distribuzione normale si possono usare indifferentemente:

- la variabile

che ha distribuzione chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.

- la variabile

che ha distribuzione C2 modificata di chi-quadrocon ( n -1 ) gradi di libertà.

formulazione di test con H0 sulla varianza

02

22n )1(

nS

n

02

22

n

n

SC

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1° test di ipotesi sulla varianza

rischio di errore di prima specie

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Test di ipotesi con H0 sulla varianza

• Un costruttore di resistori vuole scoprire se la sua linea di produzione necessiti di una revisione in quanto il prodotto presenta una eccessiva dispersione.

• Il costruttore vuole che la clientela associ alla sua produzione un concetto di grande qualità pertanto intende rinviare la manutenzione solamente se è ragionevolmente garantito che il prodotto è in tolleranza

• Il limite di accettabilità della varianza della X viene fissato al 2% del valore assunto dalla stessa X in corrispondenza del valore nominale della resistenza.

1. stabiliamo di operare con un campione di 30 resistori

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2. Il costruttore definisce sulla popolazione dei resistori da 100

una variabile casuale X che assume per ciascun resistore un valore pari quello della resistenza dell’elemento misurata alla temperatura di 70 °C.

3. Il limite di accettabilità della varianza della X viene fissato al 2% del valore assunto dalla stessa X in corrispondenza del valore nominale della resistenza.

“Il costruttore vuole che la clientela associ alla sua produzione un concetto di grande qualità pertanto intende rinviare la manutenzione solamente se è ragionevolmente garantito che il prodotto è in tolleranza”

3. Individuazione H0 : H0 : 2 2

0 = 2

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5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:

se la variabile casuale X ha distribuzione normale si possono usare indifferentemente:

- la variabile

che ha distribuzione chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.

- la variabile

che ha distribuzione C2 modificata di chi-quadrocon ( n -1 ) gradi di libertà.

formulazione di test con H0 sulla varianza

02

22n )1(

nS

n

02

22

n

n

SC

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2. Il costruttore definisce sulla popolazione dei resistori da 100

una variabile casuale X che assume per ciascun resistore un valore pari quello della resistenza dell’elemento misurata alla temperatura di 70 °C.


0 = 2

5. come variabile campionaria

viene scelta la variabile n² :che ha distribuzione chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.

02

22n )1(

nS

n

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6. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: = 0,02 ( che comporta un “livello di fiducia” del 98% );

8. calcoliamo il valore critico della statistica campionaria adottata che individuano le regioni di accettazione e di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di che è stato prestabilito (0,02);

utilizzeremo il “test unilaterale” (o “distribuzione ad una coda”) in quanto l’ipotesi principale può essere rifiutata solo se la varianza

della popolazione risulta minore di 20

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• utilizzando le tabella della distribuzione “chi quadro” in corrispondenza di 29 gdl e di una probabilità () dello 0,02

• oppure utilizzando un foglio elettronico, per esempo MS

Excelper il quale la funzione da invocare è la

INV.CHI(probabilità;gradi_libertà) ,

risulta agevole individuare il valore critico cercato:

inf² = 15,574


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• il valore critico vale: inf² = 15,574

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riassumendo:

regione di rifiuto di H0 :

Composto il campione si procede con la misurazione della resistenza di ciascun elemento.

Terminata la campagna sperimentale sul campione si determinano il valore della varianza campionaria corretta :

e quello della:


574,152 n

10,1230 S

95,152

10,1)130(2 n

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Dato che il risultato del test non ci permette

di rifiutare H0 con la fiducia richiesta (98%)

H0: 2 2

0 = 2

2inf

2 95,15 n

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Dato che il risultato del test non ci permette

di rifiutare H0 con la fiducia richiesta (98%)

H0: 2 2

0 = 2

2inf

2 95,15 n

Poiché il test si è concluso indicando che non è possibile

escludere che la varianza sia maggiore di quanto ritenuto

accettabile, il costruttore …

Poiché il test si è concluso indicando che non è possibile

escludere che la varianza sia maggiore di quanto ritenuto

accettabile, il costruttore sarà costretto ad intervenire sulla

linea di produzione con un intervento di manutenzione

straordinaria finalizzato alla riduzione della variabilità

dei resistori prodotti.

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Test sulla varianza con H0 e H1

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formulazione di test con H0 e H1 sulla varianza











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2° test di ipotesi sulla varianza: H0 con H1

rischio di errore di seconda specie

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Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza

• Si è riprogettato un OpAmp in produzione da tempo e si è realizzata una preserie del nuovo dispositivo.

• Ci si interroga sulla possibilità che il valore tipico della deviazione standard della corrente di offset sia passato dal 10% del valore tipico della corrente del “vecchio” progetto (50 nA) a meno del 8%.

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2. Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento della popolazione misurata in nA.

Con questa variabile il valore tipico della corrente ha per immagine 50 pertanto i valori di ipotesi per la deviazione standard risultano 5 (10%) e 4 (8%)

3. H0 : ² < 0² 16 ;

4. H1 : ² = 1² = 25 ;

1. Stabiliamo di operare con un campione di 25 amplificatori.


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3. H0 : ² < 0² 16 ;

4. H1 : ² = 1² = 25 ;

5. come variabile campionaria viene scelta la variabile

Se la variabile X ha distribuzione normale allora la C2n

ha distribuzione C2 modificata di chi-quadrocon ( n -1 ) gradi di libertà: nel nostro caso 24 g.d.l..

02

22

n

n

SC


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3. H0 : ² < 0² 16 ;

4. H1 : ² = 1² = 25 ;

5. come variabile campionaria viene scelta la variabile

che, se la X è distribuita in modo normale, ha distribuzione C2 modificata di chi-quadrocon ( n -1 ) gradi di libertà.


7. fissiamo il valore minimo della potenza contro H1 a 0,90(che comporta un valore di < 0,10 )

02

22

n

n

SC


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8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria che individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di prestabilito (0,05);

dalle tabelle troviamo che il quantile 0,95 corrispondente a 24 gdl

vale: Cn2 = 1,52

Come si valuta il rischio di errore di seconda specie ???


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la determinazionedi e

usando la variabile casuale C2

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la determinazione di e con C2

Facciamo due considerazioni generali:

1)

2

22n

nS

C

• dal valore di desiderato si ricava il valore critico C2c

che individua la regione di rifiuto della H0

20

20

220

220

cnc

nc CS

SC

• dal valore critico C2c si ricava il corrispondente valore critico

per la varianza campionaria corretta:

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La seconda considerazione generale è la seguente:

2)

il valore assunto da C2n

per uno stesso valore della varianza campionaria corretta dipende dal valore ipotizzato per la varianza della popolazione.

21

221

20

220

2

22

n

n

nn

nn

SC

SC

SC


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di conseguenza: il valore critico assunto da C2n in corrispondenza del valore

critico S2nc per la varianza campionaria corretta

dipende dal valore ipotizzato per la varianza della popolazione.

21

22

1

20

220

2

22

nc

c

ncc

ncc

SC

SC

SC

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dato che :

21

202

02

1

20

20

2

21

22

1

20

220

cc

cnc

ncc

ncc

CC

CS

SC

SC

21

202

02

1

cc CC

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8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria che individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di prestabilito (0,05);

dalle tabelle troviamo che il quantile 0,95 corrispondente a 24 gdl

vale: C0c2 = 1,52

Ricaviamo quindi:

97,025

1652,1

21

202

02

1

cc CC


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dalle tabelle ricaviamo che il quantile 0,97 corrisponde ad un

rischio di errore di seconda specie > 0,50 !!!

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Esercizio 3

Una nota impresa europea che costruisce cuscinetti a sfere acquista le

sfere da un fornitore del “far east”.

Il contratto prevede una certa percentuale di sfere fuori tolleranza che

devono essere scartate dal test di accettazione condotto dall’ufficio

“prove sugli acquisti”.

Su di una prima

fornitura parziale

viene condotto un

test per verificare che

la percentuale

prevedibile di scarto non superi il valore pattuito

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Esercizio 3

Si è definita sulla popolazione di sfere da cuscinetto una variabile

casuale X avente, per ciascuna sfera prodotta, valore uguale al valore

del diametro misurato in centimetri.

Un campione casuale costituito da 41 sfere mostra un valore

della media campionaria di 0,824 e

della varianza campionaria corretta di 0,042.

Qualora la varianza della X per l’intera popolazione dovesse essere

maggiore di 0,03 si avrebbe uno scarto maggiore di quanto pattuito

con il fornitore e sarebbe necessaria una molto costosa

(avvocati, interpreti, prove sperimentali e documentali, …)

ricontrattazione della fornitura; si opera quindi con = 0,01 .

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Esercizio 3

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Esercizio 3

1. stabiliamo di operare con un campione di 41 sfere ;

3. individuazione H0

H0 : 2 2

0 = 0,03

5. come variabile campionaria per la conduzione del test viene scelta la variabile

che, se la X ha distribuzione normale, presenta una distribuzione di tipo C2 modificata di chi-quadro con 40 gradi di libertà.

02

22

n

n

SC

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Esercizio 3


8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria adottata che individua le regioni di accettazione e di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di che è stato prestabilito (0,01);


della popolazione risulta maggiore di 20

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• riassumendo:


• composto il campione si procede con la misurazione del diametro di ciascun elemento.

• terminata la campagna sperimentale sul campione si determinano il valore della varianza campionaria :

e quello della:

Esercizio 3

59,12 nC

042,0230 S

4,103,0

042,02 nC

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• riassumendo:


• dato che

non è possibile rifiutare l’ipotesi principale H0 con la fiducia richiesta ( = 0,01 ) .

H0 : 2 2

0 = 0,03

• l’impresa costruttrice di cuscinetti decide quindi di non agire contro il fornitore delle sfere non avendo dati sufficienti per motivare una ricontrattazione del prezzo.

Esercizio 3

59,12 nC

4,103,0

042,02 nC

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Test sulla varianza

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Test 03 - 50 / 63

Esercizio 4

• Un costruttore di strumenti vuole acquistare resistori da 10,0 k da un nuovo fornitore che propone prezzi interessanti, ma teme che il prodotto presenti una eccessiva dispersione.

• Il costruttore non vuole correre il rischio di acquistare un prodotto economico ma eccessivamente scadente e decide di condurre un test per verificare la varianza.

• Prendendo una X cha abbia un valore nullo per la resistenza di zero ohm, il limite che ritiene accettabile per la varianza è pari allo 2% della X corrispondente al valore nominale della resistenza.

• Il test deve essere condotto con una affidabilità del 95% e con un campione di 16 elementi.

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Esercizio 4

… non vuole correre il rischio di acquistare un prodotto economico ma eccessivamente scadente … limite accettabile per la varianza è pari al 2% del valore …

… affidabilità del 95% … campione di 16 elementi.

Gli elementi del campione di 16 resistori mostrano i seguenti valori :

9,0 k 9,4 k 9,6 k 9,8 k9,8 k 9,8 k 10,0 k 10,0 k

10,0 k 10,0 k 10,2 k 10,2 k10,2 k 10,4 k 10,6 k 11,0 k

Cosa conclude il costruttore ?

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formulazione del test di ipotesi

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Esercizio 4

1. Il costruttore definisce sulla popolazione dei resistori da

10,0 kuna variabile casuale X che assume per ciascun resistore un valore pari quello della resistenza dell’elemento misurata alla temperatura di 70 °C ed espressa in k


0 = 0,2


viene scelta la variabile n² :che ha distribuzione chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.

02

22n )1(

nS

n

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Esercizio 4


7. Nei dati del problema era detto di operare con un campione di 16 resistori;

8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria adottata che individuano le regioni di accettazione e di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di che è stato prestabilito (0,05);



sup² = 24,996

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riassumendo:


composto il campione si procede con la misurazione della resistenza di ciascun elemento.

terminata la campagna sperimentale sul campione si determinano il valore della varianza campionaria corretta :

e quello della:

Esercizio 4

996,242 n

219,02 nS

4,162,0

219,0152 n

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Esercizio 4

Dato che il risultato del test non permette di rifiutare H0 con la fiducia richiesta (95%)

H0: 2 2

0 = 0, 2

Il costruttore di strumenti non può ancora affermare che il prodotto sia caratterizzato da una variabilità superiore a

quanto ritenuto accettabile anche se lo stimatore varianza campionaria corretta

ha un valore superiore al limite fissato.

2sup

2 4,16 n

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test di ipotesi sulla varianza


Test 03 - 58 / 63

Esercizio 5

• Un costruttore di componenti ha una linea di produzione che realizza OpAmp con una tensione di offset su cui è possibile definire una variabile casuale che presenta una deviazione standard pari a 240.

• Dopo un cambiamento nel processo produttivo un campione di 8 OpAmp ha dato un valore della deviazione standard campionaria corretta di 300.

• Con una significatività del 5% si vuole valutare se l’aumento della variabilità della tensione di offset è da considerarsi un fatto accidentale oppure se esso può essere considerato un fatto sistematico.

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formulazione del test di ipotesi

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Esercizio 5

1. Il costruttore ha definito sulla popolazione degli OpAmp una

variabile casuale X che assume per ciascun OpAmp un valore pari quello della tensione di offset misurata in V

2. Individuazione H0 : H0 : 2 < 2

0 = 57600


viene scelta la variabile Cn² :che ha distribuzione C2 modificata di chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.

02

22n

nS

C

Test 03 - 61 / 63

Esercizio 5

5. fissiamo il livello per il rischio di errore di prima specie corrispondente alla significatività richiesta : = 0,05 ;

7. Nei dati del problema si parlava di un campione di 8 OpAmp;

8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria adottata che individuano le regioni di accettazione e di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di che è stato prestabilito (0,05);



Csup² = 2,01

Test 03 - 62 / 63

riassumendo:


il campione aveva dato un valore della deviazione standard campionaria corretta di 300 pertanto la varianza campionaria corretta vale:

e :

Esercizio 5

01,22 nC

900002 nS

53,157600

900002 nC

Test 03 - 63 / 63

Esercizio 5

Dato che il risultato del test non ci permette di rifiutare H0 con la fiducia richiesta

(95%)

H0: 2 2

0 = 57600

Il costruttore di OpAmp non è in grado di affermare che l’aumento della deviazione è un fatto sistematico.

2sup

2 562,1 CCn

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