Tesina di Laboratorio di Didattica della Matematica 2

Di Antonietti, Palaro, Rossato, Faccin, Buondì

Introduzione

«Ogni azione umana cosciente sottintende la nozione di funzione»

B.D’AMORE, M. MATTEUZZI: “Dal numero alla struttura”.

Pochi concetti matematici sono così fondamentali come quello di funzione. Non a caso si è tentato di porli come concetti indefiniti sui quali costruire la fondazione della matematica. Purtroppo una formulazione di questo tipo è poco adatta allo studio elementare, anche se ha un grande fascino. La parola funzione apparve per la prima volta alla fine del XVII secolo, nella corrispondenza tra G.W. Leibniz e J. Bernoulli, tuttavia soltanto più tardi, con l'opera di L. Euler (1707-1783), questo concetto si conferma come uno dei principali dell'Analisi Matematica. Il concetto è fondamentale per tutte le discipline matematiche e per molte applicazioni; è ben noto che si parla di funzioni quando si vuole descrivere la variabilità di una grandezza z (variabile dipendente) in relazione alla variabilità di altre assegnate grandezze x, y, … (variabili indipendenti ) e si scrive z=f(x,y,…). Le motivazione che ci spingono a proporre questo percorso sono 3 e di seguito le illustreremo brevemente: a) Dalla nostra esperienza come studenti e da quella breve come insegnanti ci siamo resi conto che spesso il concetto di funzione in un corso di studi qualsiasi, viene affrontato brevemente nei primi anni della scuola superiore come “relazione con determinate caratteristiche” e poi pressoché abbandonato per esser ripreso con lo studio dell’analisi. Il nostro intento, e l’originalità del percorso che presentiamo sta proprio in questo,è quello di proporre una matematica attraverso il concetto di funzione. Molti argomenti che si affrontano solitamente in “separata sede” come moduli a sé stanti, come ad esempio il teorema di Ruffini, le proprietà dei logaritmi, le successioni, vengono inseriti all’interno dello studio di funzione, come strumenti che possono aiutare lo studente nel tracciare il grafico o come proprietà che si deducono proprio dallo studio della funzione stessa. Espliciteremo quindi agli studenti l’obiettivo principale, ossia lo studio del grafico di una funzione, prendendo in esame le proprietà delle funzioni, atte a determinare l’andamento qualitativo del loro grafico. Preferiamo dare un quadro generale agli studenti perché riteniamo che faciliti l’apprendimento. Inoltre nel piano di studi “Brocca”, dove è previsto che le funzioni vengano trattate al biennio, si dice: «il concetto di funzione, fondamentale per stabilire relazioni di dipendenza, consente di visualizzare leggi e fenomeni in connessione interdisciplinare con altri ambiti. L’introduzione della funzione y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=a/x trova un naturale collegamento con l’introduzione della retta, della parabola e dell’iperbole equilatera nel piano cartesiano; analogamente la nozione di zeri di tali funzioni trova collegamento con la risoluzione delle corrispondenti

equazioni. La nozione di grafico di una funzione va illustrata anche su esempi diversi, osservando che non è necessario attendere il possesso degli strumenti del calcolo differenziale per avere un’idea qualitativa dell’andamento di funzioni definite da semplici espressioni». Le indicazioni ministeriali evidenziano quindi il carattere trasversale del concetto di funzione e suggeriscono di stabilirne i collegamenti con il resto del sapere matematico. b) Esistono molti approcci alle funzioni: quello più concreto che parte dalla “dipendenza di una variabile da un’altra” e che traduce un’idea dinamica di funzione (facciamo percorrere alla variabile indipendente tutto il dominio e otteniamo i corrispondenti valori della variabile dipendente) e quello più astratto dove una funzione è un insieme di coppie ordinate. Nessuno di questi da solo riesce a cogliere tutti gli aspetti. Cercheremo, con numerosi esempi concreti, di partire dal concreto per passare poi ad un certo grado di astrazione necessario. c) Talvolta capita che molti alunni dal medio rendimento in matematica, non appena si affronta l’argomento analisi si trovino in difficoltà e riescano con fatica a raggiungere la sufficienza. Dobbiamo quindi soffermarci sulle cause alla radice di questo inaspettato insuccesso, che di riflesso possiamo considerare come una sorta di fallimento della didattica stessa. Ciò che rende l’analisi matematica così ostica è che probabilmente presuppone la profonda comprensione e la sintesi applicativa in un nuovo contesto di praticamente tutto il programma precedentemente svolto e che molte delle questioni che affronta non sono risolvibili meccanicamente dagli studenti attraverso procedimenti automatici. Altra nostra finalità è quindi quella di far familiarizzare lo studente con l’argomento “funzione” e con il tracciamento di grafici prima di affrontare l’analisi matematica. Questo, secondo noi, permette di affrontare un problema alla volta. Ovviamente il grafico delle funzioni viene disegnato per punti. Il percorso proposto sviluppa i concetti della seguente mappa, tralasciando però le funzioni goniometriche, solamente per una questione di notevole estensione del lavoro.

funzioni

trascendenti algebriche

irrazionali razionali

esponenziali

logaritmiche

goniometriche fratte intere

permutazioni

successioni

DISTILLAZIONE VERTICALE Nella prima colonna sono riportati gli indici

(1) per indicare le voci attinenti al programma debole (2) per indicare le voci attinenti al programma forte (*) per indicare le parti opzionali.

Nell’ultima colonna sono utilizzate le seguenti abbreviazioni: PQR per prerequisito DEF per definizione PROP per proprietà MET per metodi e algoritmi EN per enunciato DIM per dimostrazione TRM per teorema OSS per osservazioni

Un percorso sulle relazioni: Collocazione nel curricolo: 1^ classe di un Liceo Scientifico Sperimentale; il percorso è estendibile ad una 1^ classe di qualunque indirizzo scolastico.

PROG CONTENUTI TEMPI TIPI

1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2

LE RELAZIONI Insieme, sottoinsieme, insieme delle parti Operazioni tra insiemi Prodotto cartesiano Relazione Relazione binaria Rappresentazione sagittale e cartesiana Grafico Riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica Relazione d’ordine largo Relazione d’ordine stretto Relazione di equivalenza

5 h

PQR PQR DEF DEF DEF OSS DEF PROP DEF DEF DEF

Un percorso sull’introduzione alle funzioni Collocazione nel curricolo: 2^ classe di un Liceo Scientifico Sperimentale; il percorso è estendibile ad una 2^ classe di qualunque indirizzo scolastico.

PROG CONTENUTI TEMPI TIPI

1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 1-2 2

1-2 2 *

1-2 1-2 2

1-2 1-2 * * * * * * * * * * * * 2 2 2 2 2 2 2

LE FUNZIONI Variabile, costante Funzione Immagine, controimmagine Dominio Codominio Funzione identica Piano cartesiano Rappresentazione tabulare Grafico cartesiano Non tutte le curve sono grafico di funzioni Proporzionalità diretta e inversa Grafici delle proporzionalità Funzioni empiriche iniettività, suriettività e biettività Funzioni invertibili e funzione inversa Una funzione è invertibile sse è biunivoca Funzioni composte Come comporre due o più funzioni LE PERMUTAZIONI Permutazioni Rappresentazioni Permutazione identica Inversa di una permutazione Composizione di permutazioni Grafi cicli Se due cicli sono disgiunti, la composizione commuta Permutazione scritta come prodotto cicli Trasposizioni Permutazione scritta come prodotto trasposizioni LE SUCCESSIONI La successione come funzione Definizione per ricorrenza Calcolare i termini di una successione Successioni aritmetiche Successioni geometriche (progressioni) Ragione della successione

6h

3h

3h

DEF DEF DEF DEF DEF DEF DEF MET MET OSS DEF MET OSS PROP DEF TRM DIM DEF MET DEF MET DEF DEF DEF MET DEF TEO TEO DEF TEO DEF DEF MET DEF DEF DEF

Un percorso sulle funzioni razionali intere o polinomiali: Collocazione nel curricolo: 3^ classe di un Liceo Scientifico Sperimentale; il percorso è estendibile ad una 3^ classe di qualunque indirizzo scolastico.

PROG CONTENUTI TEMPI TIPI

LE FUNZIONI

RAZIONALI INTERE

Equazioni e disequaz. di 1° e 2° grado

PQR

Divisione con Ruffini PQR

1-2 y=ax+b: la retta 3h

DEF, PROP, MET

1-2 Funzioni quadratiche DEF

1-2 Esempi 1h

1-2 Caso particolare:la parabola

OSS

1-2 Caratteristiche parabola (asse, vertice,concavità, convessità)

PROP

1-2 Grafico di una funzione quadratica

3h

MET

2 Max e min di una funzione quadratica

1h DEF

1-2 Segno di un polinomio di 2° grado

1h PROP

1-2 Funzione potenza 2h DEF

1-2 Teorema del quoziente TRM

1-2 dimostrazione DIM

1-2 Teorema del resto TRM

2 dimostrazione DIM

1-2 Teorema di Ruffini EN

2 dimostrazione

2h

DIM

1-2 Zeri e radici di una funzione 2h DEF

1-2 Massino numero di zeri di una funzione

TRM

1-2 Teorema degli zeri razionali

TRM

1-2 Come trovare gli zeri razionali di una funzione polinomiale

1h MET

Un percorso sulle funzioni razionali fratte Collocazione nel curricolo: 3^ classe di un Liceo Scientifico Sperimentale; il percorso è estendibile ad una 3^ classe di qualunque indirizzo scolastico.

PROG CONTENUTI TEMPI TIPI

LE FUNZIONI

RAZIONALI FRATTE

1-2 Funzione razionale fratta DEF

1-2 Dominio di una funzione razionale fratta

OSS

1-2 Funzioni di tipo 1/(xn): grafici

2h

PROP

1-2 Asintoti: verticali e orizzontali

DEF

1-2

Legame tra radici della funzione che sta al denominatore e gli asintoti verticali

OSS

2 La traslazione di un grafico implica la traslazione degli asintoti

2h

PROP

2 Grafici di generiche funzioni fratte

1h

LE FUNZIONI ESPONENZIALI E LE FUNZIONI LOGARITMICHE

Introduzione: spesso l’esperienza scolastica suggerisce che le nozioni legate alle funzioni esponenziale e logaritmica si riducono alla sola memorizzazione delle regole formali dei logaritmi. In questo contesto cercheremo invece porre l’accento sulla costruzione della funzione esponenziale e sulla deduzione delle relative proprietà. L’obiettivo è quello di favorire un approccio che faccia riferimento alle proprietà non solo per la loro validità formale ma soprattutto per il legame che intercorre con la funzione. Le proprietà non sono pertanto considerate per se stesse ma in quanto sono espressioni delle caratteristiche delle funzioni studiate. Per tali motivi gli argomenti presentati richiedono una conoscenza preventiva del concetto di funzione e quindi delle definizioni di dominio e codominio, delle definizioni di funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca e delle diverse classificazioni relative alla monotonia. E’ pure importante disporre del concetto di funzione inversa e del significato di trasformazione di simmetria, in particolare della simmetria assiale relativa alla bisettrice del I e III quadrante. Un percorso sulle funzioni esponenziali Collocazione nel curricolo: 4^ classe di un Liceo Scientifico sperimentale. DISTILLAZIONE PROG CONTENUTI TEMPI TIPO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE

Potenze di numeri PQS Proprietà delle potenze PQS Potenze con esponente razionale PQS Potenze con esponente irrazionale PQS proprietà transitiva delle disuguaglianze PQS Ragionamento per assurdo PQS Funzione esponenziale DEF Equazione rappresentativa della funz.espon. DEF Dominio funzione esponenziale PROP

1 - 2

Codominio funz.esponenziale PROP

2

Se a > 1 allora valgono alternativamente le

disuguaglianze

01

01

<⇔<

>⇔>

xa

xa

x

x

PROP

2

Se 0 < a < 1 allora valgono alternativamente le

disuguaglianze

01

01

>⇔<

<⇔>

xa

xa

x

x

3

PROP

2

Se a > 1 e 1212

xxaaxx >⇒>

TRM, DIM

1 - 2

La funzione esponenziale è strettamente monotona: - crescente se a>1 - decrescente se 0<a<1

PROP

1 – 2 La funzione esponenziale è iniettiva PROP 1 – 2 la funzione esponenziale è suriettiva PROP 1 – 2 la funzione esponenziale è biiettiva OSS, PROP 1 - 2 La funz. esponenziale ha inversa

PROP RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

1 - 2 Simmetria assiale PQS 1 – 2 Rappresentazione grafica con a >1 MET 1 – 2 Rappresentazione grafica con 0<a<1 MET

1 – 2 Rappresentazione grafica con a=1 MET

1 - 2 Monotonia OSS * Limiti OSS

1 - 2 Crescita della funz. esponeziale OSS

* Ad ogni funzione esponenziale con base a

> 1 di grafico •, corrisponderà la

funzione y = (1/a)x

avente come grafico l’immagine •’

ottenuta tramite una

simmetria assiale di asse y

2 h

PROP

La funzione esponenziale in base e

1 - 2 Rapidità di crescita funzione esponenziale OSS 1 - 2 e DEF

2 Coefficiente della tangente in (0,1) PROP 1 - 2 Rappresentazione grafica

1h MET

APPLICAZIONI

1 - 2 Crescita e decadimento esponenziali DEF * Applicazioni

1 h MET

I PERCORSI

y�81�PERCORSO SULL’INTRODUZIONE ALLE FUNZIONI Collocazione nel curricolo: 2^ classe di un liceo Scientifico PNI; il percorso è estendibile ad una classe 2^ di un qualunque indirizzo scolastico con le opportune modifiche sulle pari di approfondimento o opzionali in base al monte ore disponibile. Data l’enorme importanza del concetto di funzione in matematica, è necessario iniziare definendo con generalità e precisione questo concetto. Bisogna far notare ai ragazzi che ogni volta che misuriamo certe grandezze quali il tempo, la lunghezza, la superficie, il volume, la massa, la velocità, ecc., noi associamo un valore numerico a queste grandezze. In molti fenomeni certe grandezze variano, cioè possono assumere diversi valori numerici, mentre altre possono conservare lo stesso valore numerico. Nasce così il concetto di grandezza variabile, o variabile, che può assumere diversi valori numerici. Lo studio dei diversi fenomeni della natura e la risoluzione di diversi problemi tecnici e matematici porta a considerare la variazione di una grandezza in corrispondenza alla variazione di un’altra grandezza. E’ stato scelto di dedicare tempo allo studio delle successioni e delle permutazioni come esempi di funzioni “algebriche”. Nel caso delle permutazioni, si tratta di particolarissime funzioni biettive che si prestano molto bene ad una trattazione a questo livello. Sono semplici e divertenti da trattare e permettono di avvicinarsi in maniera “morbida” allo studio di funzioni. Punti Chiave di questo intervento didattico sono: • La nozione di funzione • Le rappresentazioni di funzioni • L’invertibilità delle funzioni • La proporzionalità • La composizione di funzioni • La composizione e la scomposizione di permutazioni

PREREQUISITI

OBIETTVI

CONTENUTI

METODI STRUMENTI

ESEMPI - Saper

individuare un insieme mediante la sua proprietà caratteristica

- Stabilire

corrispondenze tra insiemi

- Riconoscere se tra due variabili c’è un legame di

- Variabile e costante - Concetto di funzione - Immagine,

controimmagine dominio condominio

- Lezione alla

lavagna per introdurre il concetto di funzione

- Esempi di

- Saper rappresentare un insieme belle varie modalità

- Saper riconoscere un sottoinsieme di un insieme

- Saper operare con gli insiemi

- Conoscere il significato di relazione

- Saper individuare una relazione

- Saper rappresentare una relazione nei vari modi

- Saper riconoscere le relazioni d’equivalenza e di ordine

dipendenza - Riconoscere se una

corrispondenza tra due insiemi è una funzione ed individuarne il tipo

- Esprimere in forma algebrica una legge di corrispondenza tra due insiemi numerici

- Rappresentare per punti il grafico di una funzione

- Riconoscere le grandezze direttamente proporzionali

- Riconoscere le grandezze inversamente proporzionali

- Rappresentare graficamente una legge di proporzionalità diretta o inversa

- Rappresentazione tabulare

- Realizzazione di grafici cartesiani

- Le proprietà delle funzioni

- Funzioni invertibili e funzione inversa

- Proporzionalità - Funzioni composte - Permutazioni - Inversa e

composizione - I cicli - Permutazione scritta

come prodotto cicli - Le successioni - Ricorrenza - Calcolare i termini - Successioni

aritmetiche e geometriche

funzioni empiriche e matematiche

- Esempi di funzioni iniettive e suriettive, prendendo spunto dal mondo reale

- Consegna di schede per un lavoro a gruppi sulle permutazioni

Cos’è una funzione? Un relazione fra gli insiemi A e B è detta funzione o applicazione di A in B, se e solo se ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un sol elemento di B Esempio: A = {idrogeno, elio, ossigeno, cloro, azoto} B = {1, 2, 8, 17, 7, 9} Indichiamo con f: A->B la funzione di A in B L’insieme A è detto dominio della funzione ed f è una funzione definita in A a valori in B Sia x l’elemento di A, i indica con y = f(x) l’elemento di B che corrisponde ad x mediante la f; tale elemento è detto immagine di x mediante f. Il sottoinsieme degli y di B che sono immagine di uno o più x di A è detto codominio di f e si indica f (A). Se ogni elemento x di A ha la stessa immagine di b in B la funzione è detta costante.

Se A = B, la relazione f(x)=x definisce un funzione di A in A che si chiama funzione identica o identità e si indica con I. A questo punto sarebbe utile ribadire la differenza sostanziale la funzioni e relazioni, mostrando delle relazioni che non sono funzioni. Introduciamo ora il piano cartesiano come un piano dove siano stati fissate due rette orientate perpendicolari tra loro e un’unità di misura per i segmenti. Prima di procedere alla rappresentazione grafica per punti, introduciamo la rappresentazione tabulare, per tabulare alcune funzioni matematiche. Esempio: tabuliamo la f(x) = 3x + 2 Quando la curva non è una funzione? Non sempre una curva sul piano cartesiano è una funzione. Ad ogni valore della x ci deve essere un solo valore della y. Ciò significa che una curva è il grafico di una funzione se e soltanto se ad ogni valore dell’insieme di definizione corrisponde un solo valore dell’immagine. Per esempio una qualsiasi curva chiusa (come una circonferenza) non può essere espressa in formule del tipo y=f(x) perché ad un valore della x possono corrispondere due valori della y. Non tutte le funzioni possono essere espresse da una legge matematica. Esse sono le funzioni empiriche, numeriche o no, per le quali l’immagine di un elemento x non è ottenibile mediante una legge matematica, bensì per mezzo di misurazioni sperimentali (come in fisica) i di rilevazioni (come in statistica) Esempio: temperatura esterna massima nei vari giorni della settimana Grandezze proporzionali Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante y/x=k, con k un numero reale qualsiasi purché diverso da 0. Esempio: lato e perimetro di un quadrato sono direttamente proporzionali. La formula y=4x che li lega il perimetro e la lunghezza del lato è quindi una funzione di proporzionalità diretta Rappresentazione grafica della legge di proporzionalità diretta, riportando i punti sul piano cartesiano: risultano allineati e possiamo unirli con una retta. Se due grandezze sono direttamente proporzionali i valori corrispondenti individuano nel piano cartesiano punti allineati e il grafico è una retta passante per l’origine. Due grandezze sono inversamente proporzionali se è costante il loro prodotto: xy=k con k numero reale qualsiasi, purché diverso da zero. Esempio: la base e l’altezza di rettangoli di uguale area k sono tra loro grandezze inversamente proporzionali. La relazione tra i lati di un rettangolo può essere scritta nella forma y=k/x è una funzione di proporzionalità inversa. Rappresentazione grafica della legge di proporzionalità inversa, riportando i punti sul piano cartesiano: possiamo assegnare ad x ogni valore reale escluso 0, generalizzando la rappresentazione delle grandezze anche per numeri negativi.

Via via che diamo valori sempre maggiori in valore assoluto troviamo valori y sempre minori (in valore assoluto) e viceversa. Il grafico è una curva formata da due rami separati e si chiama iperbole equilatera. Proprietà delle funzioni Si definisce funzione iniettiva di A in B una funzione tale che a elementi distinti di A fa corrispondere elementi distinti di B Esempio: f: N -> N x -> 2x Si esegue la rappresentazione sagittale, tabulare e cartesiana,. Si definisce funzione suriettiva di A su B, una funzione tale che ad ogni elemento di B sia immagine di almeno un elemento di A. Si ha: f(A) = B Esempio: A = { province d’Italia } B = { regioni d’Italia} Ad ogni provincia è associata una regione, ma tutte le regioni sono immagine di almeno una provincia, quindi la funzione è suriettiva Consideriamo ora una funzione f: A -> B tale che elementi distinti del dominio abbiano immagini distinte. Si dice allora che f è una funzione biettiva (o biezione). Quindi una funzione è biettiva se essa è iniettiva e suriettiva Tra due insiemi (non vuoti) A e B vi è una biezione quando esiste una legge che fa corrispondere ad ogni elemento di A uno ed uno solo di B e viceversa Esempio A = insieme dei numeri pari = {0,2,4,6,8,10… } B = insieme dei numeri dispari = {1,3,5,7,9… } La legge: ” ad ogni numero di A si faccia corrispondere il suo successivo” è una corrispondenza biunivoca Sia f una funzione biunivoca di A in B. Ogni elemento di B è associato ad un solo elemento di A, e viceversa. Perciò se con la funzione f si passa dall’elemento x di A all’elemento y =f(x) allora esiste una funzione g: B->A che dall’elemento y di B fa tornare all’elemento x di A cioè: g(y) = x la funzione g si chiama inversa della f e si può indicare con f-1. In tal caso si dice che la f è invertibile. Teorema: Una funzione è invertibile se e solo se essa è biunivoca Dim: se la funzione f di A in B non è suriettiva allora ogni elemento di B-f(A) non è immagine di alcun elemento di A; se invece la f non è iniettiva allora esiste in B una y immagine di due elementi distinti di A. In entrambi i casi la legge che associa elementi di B ad elementi di A non è una funzione! E’ necessario ora fare alcuni esempi di funzioni invertibili e calcolarne l’inversa f: y = x+1 f-1: x = y-1

Funzioni composte Dati tra insiemi A,B,C, con g funzione da A in B e f funzione da B in C. L’applicazione g fa corrispondere ad un generico elemento x di A l’elemento z=g(x) di B e l’applicazione f fa corrispondere all’elemento z = g(x) di B l’elemento y = f(y) = f(g(x)) di C In questa maniera si è stabilita una funzione da A in C che associa ad un generico elemento di A un elemento di C. Quest’applicazione si chiama funzione composta e si indica con f o g e si legge “ f composto g” oppure “f dopo g” per ricordarsi che la funzione che opera prima è quella che è scritta dopo. Composizione di funzioni matematiche: consideriamo A=B=C=R. Sia f: x-> 2x g: y-> y2 Se applichiamo alla f la variabile x otteniamo 2x; se a quest’ultima applichiamo g otteniamo (2x)2 quindi f o g: x ->4x2 Se invece applichiamo prima la g e poi la f otteniamo f o g : x-> 2x2 Da questo esempio risulta che in generale, la composizione non è commutativa Esempio: componiamo due funzioni inverse Se y =f(x) la sua inversa g(y) = x Quindi g(y) = g(f(x)) = (g o f)(x)= x Quindi componendo una funzione con la sua inversa, otteniamo l’elemento di partenza. Le permutazioni Una permutazione su un insieme di n elementi (1,2,3 … n) è una funzione biettiva dall’insieme in sé, cioè ad ogni elemento dell’insieme ne associa un altro. Le permutazioni vengono descritte in forma esplicita elencando su due righe gli elementi (in ordine) e gli elementi a loro associati: 1 2 3 ….. n

f(1) f(2) f(3) f(n) La permutazione identica è quella che associa ad ogni elemento se stesso, ovvero: 1 2 3 n 1 2 3 n La permutazione inversa si ottiene scambiando le due righe e poi riordinando le colonne in modo che la prima riga diventi 1 2 3…n Due permutazioni si possono comporre: date due permutazioni sullo stesso numero di elementi possiamo cioè eseguirle in sequenza. Il risultato è ancora una permutazione.

Se componiamo (in qualunque ordine) una permutazione e la sua inversa otteniamo la permutazione identica . Costruiamo il grafo orientato delle permutazioni, per esempio costruiamo il grafo di: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 4 3 7 1 5 8 2 9

Da questo esempio si capisce che la permutazione è l’insieme di una o più componenti che di chiamano cicli. Un ciclo è una lista di elementi fra parentesi, e rappresenta la permutazione che associa a ogni elemento nel ciclo quello successivo. Esempio: il ciclo precedente si può scrivere come:

(9) (1 6 5) (2 4 7 8) (3) Esempio: il ciclo (1 2 3 5) rappresenta la permutazione che manda 1 in 2, 2 in 3 e così via fino a 5 in 1. Il 4 viene mandato in se stesso. Due cicli sono disgiunti se non hanno elementi in comune. Per scrivere la composizione di permutazioni rappresentate da cicli, basta scrivere i cicli di seguito. Teorema: se f e g sono due cicli disgiunti allora f o g = g o f Si nota che se f e g non sono disgiunte può risultare che f o g sia diverso da g o f. Esempio sia f: 1 2 3 4 3 1 2 4 Per ottenere una rappresentazione in cicli di una permutazione Basta “seguire” un elemento qualunque fino a trovare un ciclo: per esempio, in f abbiamo che 1 va in 3, 3 va in 2 e 2 va in 1; quindi il primo ciclo che troviamo è (1 2 3). A questo punto non ci rimane che 4, che però formerebbe in ciclo di lunghezza 1. I cicli di lunghezza 1 per convenzione non si scrivono, e quindi la permutazione f si scrive solo ( 1 2 3 ) Si dice trasposizione ogni ciclo di lunghezza 2 Teorema: Ogni permutazione può essere scritta come prodotto di trasposizioni. Esempio: (2 4 5 6 7) = (2 7) (2 6) (2 5) (2 4) Le successioni Una successione è una funzione n -> a(n), con dominio N. Per indicarne i valori si una a(n)=an. (termine ennesimo della successione). Si può descrivere una successione con la notazione compatta { an }. Esempio: calcolare i primi 5 termini delle successioni, sostituendo gli interi positivi 1, 2, 3, 4, 5 al posto di n nelle formule.

an = 2n-1 bn= (-1)n/n(n-1)

La formula che mette in relazione il termine generale an con uno o più che lo precedono è chiamata formula di ricorrenza. Quando una successione è identificata con questa formula e il primo termine si dice che è definita per ricorrenza. Esempio: Calcolare i prime 5 termini della successione definita da: a1 = 1 an =n*an-1

Le successioni aritmetiche soddisfano questa formula di ricorrenza:

an = d + an-1

Le successioni geometriche soddisfano questa formula di ricorrenza: an = r * an-1

d e r sono chiamati ragione della successione. Il termine generale di una progressione aritmetica si verifica essere

an = a1 + (n-1)d Il termine generale di una progressione geometrica si verifica essere:

an =a1 * rn-1

y�81�3(5&2562�68//(�)81=,21,�5$=,21$/,�,17(5( In questa parte si prosegue lo studio delle funzioni e dei loro grafici, iniziato negli anni precedenti. Verranno trattate le funzioni razionali intere e le fratte. Si studieranno gli zeri di queste funzioni, alcune proprietà e i loro grafici sul piano cartesiano. Vengono assunti come prerequisiti i concetti di funzione, il concetto di grafico cartesiano, il metodo della divisione di polinomi con il metodo di Ruffini, le equazioni e disequazioni di primo e secondo grado. Questo percorso anticipa lo studio completo di funzione, che si farà più avanti con l’uso dei concetti di limite e derivata, proponendo alcuni metodi semplici per il disegno di funzioni particolari. Si intende dare in questo modo ai ragazzi una base sicura per affrontare più tranquillamente i concetti più difficili dell’analisi matematica. Collocazione nel curricolo: 3^ classe di un Liceo Scientifico Sperimentale; il percorso è estendibile ad una 3^ classe di qualunque indirizzo scolastico. Punti Chiave di questo intervento didattico sono: • La nozione di funzione quadratica • I teoremi del resto e di Ruffini • Gli zeri e le radici di una funzione • Il teorema degli zeri razionali

PREREQUISITI

OBIETTIVI

CONTENUTI

METODI STRUMENTI

ESEMPI - Conoscere e

saper risolvere equazioni e disequazioni di 1 e 2 grado

- Eseguire una divisione con il metodo di Ruffini

- Saper trovare le coordinate dei punti appartenenti al grafico di una funzione

- Saper dimostrare

- Saper trovare il segno di un polinomio con il metodo grafico (della parabola)

- Dominio e codominio

- Conoscere le

principali funzioni razionali intere: la retta, la funzione quadratica, la funzione potenza

- Conoscere il teorema del resto, il teorema di Ruffini, il teorema del massino numero di zeri di una funzione Teorema degli zeri razionali

- Saper trasformare in una forma nota il l’equazione di una funzione intera

- Saper tracciare il grafico delle principali funzioni razionali intere.

- Funzioni quadratiche - Caratteristiche

parabola (asse, vertice,concavità, convessità)

- Grafico di una funzione quadratica

- Max e min di una funzione quadratica

- Funzione potenza - Teorema del

quoziente - Teorema del resto - Teorema di Ruffini - Zeri e radici di una

funzione - Massino numero di

zeri di una funzione - Teorema degli zeri

razionali - Come trovare gli

zeri razionali di una funzione polinomiale

- Lezione alla

lavagna per introdurre i concetti e per le dimostrazioni dei teoremi

- Esempi di funzioni ed esercizi

- Consegna : in gruppi cercare di disegnare per punti il grafico delle funzioni potenza con esponente pari e dispari

Il percorso inizia con la ripresa di alcuni concetti visti negli anni precedenti, quali quelli di proporzionalità diretta e di Retta. Si intende sviluppare tutta la teoria riguardo la funzione y=ax+b (coefficiente angolare, rette parallele e perpendicolari, intersezione con gli assi coordinati, grafici…) in modo standard, che qui non approfondiamo, trovandosi in qualsiasi testo di matematica di scuola superiore. Si passa, a questo punto alla funzione quadratica e quindi alla parabola. Una funzione f del tipo f(x)=ax2+bx+c, dove a, b, c sono costanti e a≠0, si dice funzione quadratica o di secondo grado. Esempi:

− altezza raggiunta da un proiettile è una funzione quadratica del tempo; − la velocità con cui scorre il sangue è una funzione quadratica della distanza dal centro del vaso

sanguigno; − la forza esercitata dal vento sulle pale di un generatore eolico è una funzione quadratica della

velocità del vento; Tutti i diagrammi corrispondenti a equazioni del tipo y=ax2 prendono il nome di parabole.

Quando a è positivo la parabola è rivolta verso l’alto, quando a è negativo la parabola è rivolta verso il basso. Il punto più alto o più basso è detto vertice della parabola. L’asse di simmetria viene chiamato semplicemente asse della parabola.

Esempio di uso della parabola:La terra esercita su tutti i corpi una forza di attrazione chiamata forza di gravità. Qualunque corpo libero, cade verso il basso. Già Galilei verificò che lo spazio percorso da un corpo, nel tempo t, che cade liberamente nel vuoto non dipende dalla massa del corpo stesso. Dimostrò

che la legge che regola la caduta dei corpi nel vuoto è la seguente: 2

2

1ats = cioè 289

2

1ts ,= dove s è lo

spazio percorso espresso in m, t è il tempo espresso in secondi. La caduta di un corpo nel vuoto quindi

è un moto naturalmente accelerato. La formula 2892

1ts ,= può essere espressa dalla funzione y=ax2?

Compiliamo una tabella e tracciamo il relativo grafico. t=x 0 1 2 3 4 … … s=y 0 4,9 19,6 44,1 78,4 … …

Tracciando il diagramma del moto della caduta di un corpo si ottiene solo un ramo di parabola con il vertice nell'origine degli assi e la curva nel I quadrante. Questo perché il tempo t (trascorso durante la caduta) non può essere negativo.

La funzione quadratica f(x)=ax2+bx+c può essere scritta nella forma: f(x)=a(x-h)2+k, con h=−b/2a e k=f(h). Il grafico di f è quindi una parabola con vertice in (h,k), rivolta verso l’alto se a>0 e verso il basso se a<0, il cui asse di simmetria coincide con la retta verticale di equazione x=h.

Introduciamo qui il concetto di Massimi e minimi della funzione, che risulterà molto utile nello studio di funzione con l’uso di limiti e derivate: L’ordinata k del vertice è il valore minimo che la funzione assume se a>0; se invece a<0, k è il valore massimo assunto dalla funzione f. Esempio di applicazione del concetto di massimo e minimo di una funzione (problemi da svolgere in classe): In un frutteto vi sono 30 alberi di mele, ciascuno dei quali produce, in una stagione, circa 400 frutti. Il proprietario intende piantare altri meli, ma sa che ciascuno di questi ridurrebbe la produzione media di ogni pianta di 10 frutti. Quanti nuovi meli conviene piantare per rendere massima la produzione?

A questo punto riprendiamo la tecnica già acquisita dagli alunni dell’uso del grafico della parabola per determinare il segno di un polinomio di 2° grado, e la rivediamo nell’intento di fare in modo che gli alunni diano significato alla tecnica. Generalizziamo i concetti introdotti con la funzione quadratica presentando la funzione potenza: Una funzione razionale intera f del tipo f(x)=axn con a≠0 ed n intero positivo, è detta funzione potenza di grado n. Per n=1 il grafico di f è una retta avente coefficiente angolare a e passante per l’origine; per n=2 si ha invece una parabola con vertice nell’origine, rivolta verso l’alto sea>0, verso il basso se a<0. Se n è pari la funzione è pari e il grafico è simmetrico rispetto all’asse y, passa per i punti (-1,1) e (1,1) e resta sempre al di sopra dell’asse delle x. Partendo da 2 e aumentando il valore di n, il grafico si appiattisce sempre più al due lati dell’origine e sale sempre più bruscamente dopo esser passato per i punti (-1,1) e (1,1). Se n è dispari, la funzione è dispari e il grafico è simmetrico rispetto all’origine, passa per i punti (-1,-1) e (1,1) e, crescendo n, si appiattisce ai lati dell’origine, salendo e crescendo poi bruscamente dopo esser passato per i punti (-1,-1) e (1,1). Una serie di risultati necessari e utili per determinare l’intersezione del grafico di una funzione polinomiale con gli assi coordinati: Teorema del quoziente: siano q(x) un polinomio quoziente e r(x) il polinomio resto ottenuti dividendo

f(x) per g(x), non nullo. Per tutti i valori di x tali che g(x) ≠0, si ha: ( )( ) ( ) ( )

( )xg

xrxq

xg

xf+= .

Si dimostra dividendo entrambi i membri della seguente per g(x): f(x)=g(x)q(x)+r(x) Teorema del resto: data la funzione razionale intera f e la costante c, si ha: f(c)=R, dove R è il resto della divisione tra f(x) e (x-c). Teorema di Ruffini: se f è una funzione razionale intera e c una costante, allora f(c)=0 se e solo se x-c è un fattore di f(x). Data la funzione f, le soluzioni dell’equazione f(x)=0 sono dette zeri o radici della funzione f. Teorema del massimo numero di zeri di una funzione intera: una funzione polinomiale non può avere un numero di zeri superiore al suo grado. Teorema degli zeri razionali: sia f(x)=an x

n + an-1 xn-1 +…+a1 x + a0 una funzione razionale intera di

grado n>0 a coefficienti interi. Allora se p/q è un qualsiasi zero razionale di f e la frazione p/q è ridotta ai minimi termini, p e q devono essere fattori, rispettivamente, di a0 e di an. E infine un metodo algoritmico per determinare l’intersezione del grafico con gli assi coordinati: Procedura per gli zeri razionali di una funzione polinomiale:

− Verificare che tutti i coefficienti di f(x) siano interi. − Si costruiscano tutti i possibili rapporti p/q dove p è un fattore di a0 e q di an. questi numeri

razionali sono tutti potenziali radici razionali di f. − Con la regola di Ruffini si esaminano uno per uno tutti i possibili zeri determinati al punto

precedente. Se nessuno è accettabile si conclude che f non ha zeri razionali, se si trova una radice razionale si passa al punto seguente.

− Una volta individuato c=p/q si ha per il teorema di Ruffini, f(x)=(x-c)Q(x); le rimanenti radici razionali di f sono gli eventuali zeri razionali di Q.

y�81�3(5&2562�68//(�)81=,21,�5$=,21$/,�)5$77( Collocazione nel curricolo: 3^ classe di un Liceo Scientifico Sperimentale; il percorso è estendibile ad una 3^ classe di qualunque indirizzo scolastico. Punti Chiave di questo intervento didattico sono: • La nozione di funzione razionale fratta • Il dominio di una funzione razionale fratta • Gli asintoti verticali e orizzontali • Grafici delle funzioni razionali fratte

PREREQUISITI

OBIETTIVI

CONTENUTI

METODI STRUMENTI

ESEMPI - Conoscere e saper

risolvere equazioni e disequazioni di 1 e 2 grado

- Saper trovare le coordinate dei punti appartenenti al grafico di una funzione

- Saper dimostrare - Funzione pari e dispari - Dominio e codominio - Le funzioni

polinomiali

- Conoscere il

grafico delle funzioni razionali fratte di tipo 1/(xn)

- Saper riconoscere quando una funzione ha asintoti

- Saper tracciare il grafico delle funzioni del tipo

( )( )

khx

axf

n+

−=

- Dominio di una

funzione razionale fratta

- Funzioni di tipo 1/(xn): grafici

- Asintoti: verticali e orizzontali

- Grafici di generiche funzioni fratte

- Lezione alla

lavagna per introdurre i concetti

- Esempi di funzioni ed esercizi

- Consegna : in gruppi cercare di disegnare per punti il grafico delle funzioni di tipo 1/(xn)

Il percorso inizia analizzando come risulta essere la somma, sottrazione moltiplicazione e divisione tra funzioni polinomiali: Sebbene f+g, f-g, f⋅g tra 2 funzioni polinomiali sia ancora una funzione polinomiale, il quoziente f/g è una funzione polinomiale solo se g è un fattore di f. Si introduce la definizione e il dominio di una funzone razionale fratta: R=f/g dove f e g sono funzioni polinomiali, è detta funzione fratta o frazionaria. Il dominio di una funzione razionale fratta è costituito dall’insieme di tutti i numeri reali esclusi gli zeri della funzione che sta al denominatore.

Si cominciano ad analizzare le funzioni del tipo ( )nx

xR1

= , come caso un po’ particolare delle

razionali fratte:

Nelle funzioni del tipo ( )n

xxR

1= il dominio è l’insieme di tutti i reali escluso lo zero.

Esempi:

a) Grafico di ( )x

xF1

= : la funzione è dispari infatti ( ) ( )xFxx

xF −=−=−

=−11

. Allora il grafico è

simmetrico rispetto all’origine. Si traccia la funzione per punti, calcolandola al variare di x (x=1, x=2, x=3,x=10, … x=1/2, x=1/3, x=1/10…)

b) Grafico di ( )2

1

xxG = : la funzione è pari, infatti ( )

( )( )xG

xxxG =−=

−=−

22

11. Allora il grafico

risulta simmetrico rispetto all’asse y. Inoltre la curva risulta più ripida nei pressi dell’origine, rispetto a quella della funzione F.

Infine si introduce il concetto di asintoto del grafico del tipo ( )n

xxR

1= per poi generalizzare alle

funzioni del tipo ( )( )

khx

axf

n+

−= .

Asintoti orizzontali e verticali:

Nel caso dei diagrammi delle funzioni del tipo ( )n

xxR

1= con n>1, gli assi coordinati svolgono un

ruolo molto particolare. Se i valori f(x) di una funzione f si avvicinano sempre più ad un numero fisso k al crescere, senza limiti, di x (o di –x) si dice che la retta y=k è un asintoto orizzontale del grafico della funzione f. Analogamente se f(x) aumenta indefinitivamente man mano che x si avvicina ad un numero fisso h, la retta x=h viene detta asintoto verticale della funzione f.

Il grafico della funzione ( )( )

khx

axf

n+

−= con a, h, k, costanti e n intero positivo, si ottiene

deformando verticalmente di a unità, poi ribaltando attorno all’asse x se a<0 e infine traslando

orizzontalmente di h e verticalmente di k unità il grafico di ( )n

xxR

1= .

Dopo aver eseguito tutte queste trasformazioni gli assi coordinati saranno ancora asintoti. Allora, traslando un grafico se ne traslano contemporaneamente anche gli asintoti; quindi le rette di equazione x=h e y=k sono ancora gli asintoti orizzontali e verticali del grafico di f. Si tracciano poi ancora alcuni punti significativi e congiungendoli si prova a fare il grafico.

Nel caso di generiche funzioni fratte, non riconducibili alla forma ( )( )

khx

axf

n+

−= , si intende dire

agli alunni che lo studio di funzione diventa troppo complesso senza gli strumenti che l’Analisi matematica ci offre. In questo modo si offre ai ragazzi un buon motivo per proseguire lo studio della matematica e una certa aspettativa nei confronti dei nuovi argomenti. y UN PERCORSO SULLE FUNZIONI ESPONENZIALI

Collocazione nel curricolo: 4^ classe di un liceo Scientifico Dopo breve richiamo al concetto di potenza di un numero, e al significato della potenza con esponenti irrazionali e proprietà connesse , e al concetto di funzione, si vuole introdurre la funzione esponenziale. Dalla definizione, si ricaveranno le proprietà della funzione esponenziale. A questo punto gli studenti saranno in grado di ricavare il condominio. Si cercherà quindi di ricavarne il grafico per punti, con due esempi rispettivamente con una assegnata base minore di 1 e maggiore di 1.Dall’osservazione dei grafici,e generalizzando tale risultato, saranno confermate le proprietà precedentemente trovate. Quindi dal grafico si dedurranno varie proprietà della funzione esponenziale, che saranno anche dimostrate. Importante far vedere le applicazioni della funzione esponenziale in vari campi, come quello finanziario. Punti Chiave di questo intervento didattico sono: • La nozione di funzione esponenziale • Proprietà della funzione esponenziale • La rappresentazioni grafica della f. esponenziale • La funzione esponenziale in base e • Funzioni esponenziali crescenti e decrescenti • Applicazioni

- Introduzione della funzione esponenziale Per dare la definizione di funzione esponenziale, è importante richiamare il fatto che , fissato numero reale a > 0 siamo in grado di associare ad un qualsiasi numero reale x, il numero reale positivo ax. In tal modo è possibile considerare x come una variabile reale e definire una funzione f avente per dominio ℜ tale che

f : x :�ax

Questa funzione verrà chiamata funzione esponenziale di base a e sarà indicata come

expa : x:�y = a

x ,

Equazione rappresentativa:

y = ax è l’ equazione rappresentativa della funzione esponenziale.

PREREQUISITI OBIETTIVI CONTENUTI METODI-STRUMENTI-

ESEMPI - Conoscere il

significato di funzione

- Saper individuare dominio e codominio

- saper come determinare l’iniettività -suriettività di una funzione

- saper dimostrare - rappresentare per

punti il grafico di una funzione

- riconoscere grandezze proporzionali

- Saper

determinare proprietà funzione

- Saper riconoscere proprietà funzione da rappresentazione grafica

- Saper confrontare grafici, riconoscendo eventuali trasformazioni

- Riconoscere l’uso della funzione espon. in applicazioni in vari ambiti

- Definizione di

funzione esponenziale

- Proprietà - dominio

condominio - Realizzazione

del grafico per punti, (con base maggiore, minore e uguale a 1. )

- La crescita della funz. espon.

- Lezione alla

lavagna per introdurre il concetto di funzione esponenziale e per ricavarne le proprietà

- Consegna : in gruppi cercare di disegnare per punti il grafico…

- Esercizi alla lavagna

- Verifica

Proprietà. Se a > 1 allora valgono alternativamente le disuguaglianze

01

01

<⇔<

>⇔>

xa

xa

x

x

Proprietà. Se 0 < a < 1 allora valgono alternativamente le disuguaglianze

01

01

>⇔<

<⇔>

xa

xa

x

x

La funzione esponenziale risulta essere una funzione strettamente monotona, infatti: Teorema. Se a > 1 e 12

12xx

aaxx >⇒>

Dim. Difatti x2 > x1 012 >−=⇒ xxγ per cui dalla proprietà precedente a� > 1

Moltiplicando entrambi i membri per il numero positivo 1xa discende 1x

aaγ > 1x

a ma essendo 1x

aaγ = 2112 )( xxxx

aa =+− , si trova 2xa > 1x

a Ovviamente vale pure il viceversa per cui, in definitiva, è possibile stabilire la seguente proprietà di monotonia strettamente crescente per la funzione esponenziale di base a > 1: Proprietà. Se a > 1 allora 12

12xx

aaxx >⇔>

Ancora, nel caso sia 0 < a < 1, la funzione esponenziale risulta essere strettamente decrescente per cui Proprietà. Se 0 < a < 1 allora 12

12xx

aaxx <⇔>

Iniettività: Se 1≠a , allora 21

2121 ,, xxaaxxxx =⇔=ℜ∈∀ .

Codominio:

il codominio è l’insieme +ℜ0 .

Infatti , distinguiamo i 2 casi:

1. a = 1 risulta per ogni x ℜ∈ , 1x

= 1, per cui banalmente il codominio è rappresentato all’insieme expa(ℜ ) = {}1 .

2. 10 ≠∧> aa ,

in base ai precedenti precedenti teoremi discende che l’equazione y = ax ammette +ℜ∈∀ 0y

sempre una soluzione ℜ∈x e ciò equivale ad affermare che il codominio è l’insieme +ℜ0 .

Suriettività: La funzione expa : x :�ax è caratterizzata dal dominio ℜ e codminio expa(ℜ ) = +ℜ0 , per cui posto,

expa: +ℜ→ℜ 0

essa è automaticamente suriettiva. La funz. esponenziale è biiettiva: Pochè la funz. esponenziale è sia iniettiva che suriettiva dal dominio ℜ al codminio expa(ℜ ) = +ℜ0 ,

essa risulta su tali insiemi una biiezione.

Da cui: è dotata di inversa. Rappresentazione grafica di ax

Siamo ora in grado di rappresentare graficamente ed in modo sufficientemente completo la funzione esponenziale. A tal fine scegliamo una base a = 2 e otteniamo un certo numero di coppie (x, y) DSSDUWHQHQWL�DO�JUDILFR�+�GL�y = 2x. A tal scopo, si fa costruire agli alunni un foglio di calcolo dove si faccia uso della funzione potenza ^. Onde ottenere un grafico leggibile con facilità si farà porre attenzione ai valori della variabile x che dovranno, almeno inizialmente, essere sufficientemente piccoli.

Chiediamo agli studenti: che cosa notate dai valori trovati e indicati nella tabella?

x 2x

í5 í4 í3 í2 í1 í0,5 0 1 1,5 2 3 3,5 ……·

0,03125 0,0625 0,125 0,25 0,5 0,7071 1 2 2,8284 4 8 11,3137 …….·

Si dovrebbe arrivare a far notare che sostituendo ad x valori negativi ma crescenti in valore assoluto, i valori che si ottengono per y sono sempre positivi ma decrescenti in valore assoluto, mentre per valori di x positivi e crescenti si ottengono valori di y sempre positivi e pure crescenti. È evidente quindi che al crescere dei valori della variabile indipendente crescono pure i valori corrispondenti di y, confermando in tal modo la aspettata monotonia crescente di 2x. Il grafico è pertanto rappresentato dalla fig. 1

Fig.1 Anche senza nominare i limiti, si possono fare osservazioni qualitative sull’andamento si esprimono sinteticamente tramite le due implicazioni

x:í� ⇒ y :�0 x :�+���⇒ y :�+�

Prendiamo ora una base 0 < a < 1, per esempio a = 1/2 dovremo ottenere per la funzione di equazione

x

y

=

2

1

un grafico strettamente decrescente . Difatti calcolando ancora un certo numero di punti

appare (fig. 2) chiaramente soddisfatta una tale proprietà. Gli andamenti all’infinito in tal caso sono x:í�� ⇒ y :�+�

x :�+��⇒ y :�0

Fig.2 Osserviamo i 2 grafici: che cosa si osserva? è interessante osservare che il grafico ottenuto per y = (1/2)x

risulta essere il simmetrico rispetto all’asse delle ordinate di quello rappresentativo di y = 2x. Difatti l’immagine di y = 2x

nella trasformazione 1y : x’ = -x y’=y

x 2x

í3,5 í3 í2 í1 í0,5 0 1 1,5 2 3 4 5……·

11,3137 8 4 2 1,4142 1 0,5 0,35355 0,25 0,125 0,0625 0,03125

risulta '2' x

y −=

che per note proprietà diviene

1

2

1)2(' '1

X

xy

== −

Un tale fatto è generale: Proprietà: ad ogni funzione esponenziale con base a > ��GL�JUDILFR�+��FRUULVSRQGHUà la funzione y = (1/a)x

DYHQWH�FRPH�JUDILFR�O¶LPPDJLQH�+’ ottenuta tramite una simmetria assiale di asse y .

Se invece a=1 il grafico ovviamente sarà:

xay = , 1=a

E si tratta di una retta. Non è iniettiva ; non è di particolare interesse. Osservazioni: - Considerando la base b >1, aumentandone il valore, il grafico della funzione esponenziale

xbxf =)( cresce più rapidamente.

- Considerando la base b<1, diminuendone il valore, il grafico della funzione esponenziale x

bxf =)( cresce più rapidamente. LA FUNZIONE ESPONENZIALE IN BASE e Come abbiamo osservato, aumentando il valore della base , il grafico della funzione esponenziale

xbxf =)( cresce più rapidamente, come mostrano le curve nella figura, tracciate per base=2 e 3. Poiché

tutte le curve esponenziali passano per il punto (0,1) una buona indicazione della loro rapidità di crescita può essere fornita dalla misura dell’inclinazione che hanno in quel punto; tale misura consiste nella determinazione del coefficiente angolare m della retta tangente al grafico della funzione

xbxf =)( nel punto (0,1) . La retta tangente può essere facilmente disegnata ad occhio.

Se il valore della base b della funzione esponenziale x

bxf =)( aumenta, il diagramma corrispondente , in fig.2, diventa più ripido nel punto (0,1) e la pendenza m della tangente cresce. Disegnando con precisione i grafici corrispondenti ai valori di b riportati in tabella 1, tracciando ad occhio le tangenti in (0,1) e misurandone i coefficienti angolari m, si trovano approssimativamente i valori elencati nella tabella seguente:

b m 0,5 1 2 3 4

-0,69 0 0,69 1,1 1,4

Esaminando questi dati si nota che m è minore di 1 quando b=2 ed è maggiore di 1 quando b=3. si può quindi supporre che esista un valore di b compreso tra 2 e 3 per il quale m vale esattamente 1. questa particolare base si indica con la lettera e , in onore del matematico svizzero L.Euler (1707-1783), che fu il primo a riconoscerne l’enorme importanza. Come π , anche e rappresenta un numero irrazionale. Grazie ad avanzati metodi matematici e all’uso di calcolatori ad alta velocità di elaborazione, è stato possibile calcolare il valore numerico di e fino ad alcune migliaia di cifre decimali. Arrotondando alla terza cifra decimale risulta e ≈ 2,718 Il grafico della funzione esponenziale x

exf =)( cresce in modo che la tangente in (0,1) abbia m=1. in base a ciò, ricordando la forma caratteristica dei grafici delle funzioni esponenziali con base maggiore di 1 e disegnando i punti corrispondenti a

718,2)1( 1 ≈== eef e 368,0718,2

11)1( 1 ≈≈==− −

eef

si è in grado di delineare con sufficiente precisione il diagramma xexf =)(

La funzione esponenziale xexf =)( è fondamentale quando si applica la matematica in ambiti che

spaziano dall’ingegneria alla salute pubblica. L’impiego della funzione xexf =)( è così frequente che si è soliti chiamarla semplicemente la funzione esponenziale.

CRESCITA ESPONENZIALE Date le variabili x e y , si dice che y cresce o aumenta esponenzialmente in funzione di x se esistono due costanti positive y0 e k tali che kx

eyy 0=

Analogamente, se kx

eyy−= 0

si dice che y decresce esponenzialmente al variare di x. L’andamento della variabile y,in funzione di x , che rappresenta la crescita o il decadimento esponenziali, è mostrato nella figura. Si osservi che l’ordinata all’origine è 0y per entrambe i diagrammi, ossia 0y è il valore che y assume quando x =0.

La costante k , che indica la velocità con cui avviene la crescita , viene detta costante di crescita.

ES. il comportamento dei materiali radioattivi è un es. di decadimento esponenziale. APPLICAZIONI Le funzioni esponenziali sono applicate nelle scienze umane, nel mondo della finanza e degli affari. Vediamo alcuni esempi: 1) in matematica finanziaria, la formula del montante composto

nt

n

rPS

+= 1

Permette di calcolare il montante S (o valore finale), in euro, prodotto da un capitale P, in euro, impiegato per un periodo di t anni ad un tasso di interesse annuo nominale r convertibile n volte all’anno. Esempio: Se si investe un capitale P pari a euro 500 ad un tasso di interesse annuo nominale dell’8% (cioè r = 0.08) convertibile trimestralmente (n= 4), quale sarà il montante dopo un periodo t = 3 anni? Soluzione: Si trova

nt

n

rPS

+= 1 = 121,634)02,1(500

4

08,01500 12

)3(4

==

+ ¼

2) certe banche calcolano il montante derivante da una capitalizzazione composta non ogni n-esimo anno ma continuamente. La formula che descrive questa forma di investimento può essere ottenuta in maniera informale. Si inizia considerando la formula

nt

n

rPS

+= 1

che fornisce il valore finale S prodotto da un capitale P impiegato per t anni ad un tasso di interesse annuo nominale r convertibile n volte all’anno. Si vuole analizzare ciò che accade quando n diventa

sempre più grande. Si pone perciò n

rx = osservando che, al crescere di n, x diminuisce. Poiché la

funzione esponenziale ha tangente y = 1+ x nell’origine possiamo porre xex +≈ 1 per piccoli valori di

x , e poiché xn=r, si può scrivere

( ) ( ) rtxntntxnt

nt

PePeePxPn

rPS ==≈+=

+= 11

Mano a mano che n aumenta, x=r/n diminuisce e l’approssimazione rt

PeS = diventa sempre più accurata. In conclusione, la formula rt

PeS = fornisce il valore del montante S prodotto da un capitale P investito per un periodo di t anni in un’operazione finanziaria a capitalizzazione continua al tasso di interesse annuo nominale r. Esempio: Una Cassa di Risparmio offre un investimento a capitalizzazione continua ad un tasso d’interesse nominale annuo del 7% (r=0,07)

a) disegnare il grafico che mostra l’andamento di S al variare di t con 200 ≤≤ t , derivante da un capitale di 100 euro depositato quando t=0;

b) qual è il valore del montante S prodotto da un capitale P=100 ¼�LPSLHJDWR�SHU�XQ periodo t=20 anni?

Soluzione:

a) Si ha: r=0,07 e P=100.Quindi

rt

PeS = =100e0,07t

b) Quando t=20 anni si ha:

S=100e0,07(20) = 100e1,4=405,53¼�

> Un percorso sulle funzioni logaritmiche Collocazione nel curricolo: 4^ classe di un Liceo Scientifico. DISTILLAZIONE PROG CONTENUTI TEMPI TIPO

LA FUNZIONE LOGARITMICA

Funzione PQS Funzione esponenziale e proprietà PQS Una funzione biunivoca ha la funzione inversa PQS Trasformazione assi (simmetria assiale) PQS Composizione di una funzione con la propria inversa PQS Funz. logaritmica :inversa della f.esponenziale DEF Dominio funzione logaritmica PROP Codominio funz.logarimo PROP Logaritmo di un numero

DEF

Funzione logaritmo decimale DEF Funzione logaritmo naturale DEF Relazioni tra diagramma della funz. espon e diagramma f.logaritmica

PROP

1 - 2

Grafico funzione logaritmo MET 2 Limiti della funz.logaritmica OSS 2 La funzione logaritmica è biiettiva PROP

2

La funzione logaritmica è monotona (crescente o decrescente) in R

• Se +ℜ∈∧> 021 ,1 xxa

⇔> 12 xx loga >2x loga 1x

(strettamente crescente)

• Se +ℜ∈∧<< 021 ,10 xxa

⇔> 12 xx loga <2x loga 1x (strettamente decrescente)

PROP

1 - 2 Una funzione dotata di inversa possiede assieme a questa lo stesso carattere di monotonia.

OSS

1 - 2 La funzione logaritmica è invertibile in R PROP 1 – 2 lga1 = 0 PROP, OSS 1 – 2 lga a = 1 PROP, OSS

2

Il logaritmo di x in una base a > 1 è positivo quando il suo argomento risulta x > 1 mentre se 0 < x < 1 è lgax<0.

OSS, PROP

2 Il logaritmo di x in una base a< 1 è positivo quando il

4 h

OSS, PROP

suo argomento risulta 0< x < 1 mentre se x>1 è lgax <0.

2 lga ax = x ℜ∈∀x PROP, DIM

2 f[fí1(y)] = alga y =y +ℜ∈∀ 0x

PROP, DIM

PROPRIETÀ DEI LOGARITMI

Il logaritmo di un prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori

PROP,DIM

Il logaritmo di un rapporto di due numeri positivi `è uguale alla differenza del logaritmo del numeratore con quello del denominatore

PROP, DIM

Il logaritmo di una potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base della potenza

PROP, DIM

può esistere il logaritmo del prodotto lga(xz) ma non quello dei singoli fattori

OSS

xz > 0 ⇔ lga(xz) = lga |x| + lga |z| OSS

0>z

x lga =

z

xlga |x| í�lga |z|

OSS

numeri reciproci tra di loro (x e 1/x) abbiano logaritmi opposti

OSS

lga x2n = 2n lga |x| 0ℜ∈x OSS

formula del cambiamento di base dei logaritmi ENU,MET

1 - 2

a

yy

blg2

1 = ⇔ y2 = (lgb a)y1

2 h

OSS

* APPLICAZIONI Es. PH in chimica OSS,MET modello matematico crescita popolazione- maltusiano

2 h

OSS,MET

y UN PERCORSO SULLE FUNZIONI LOGARITMICHE

Collocazione nel curricolo: 4^ classe di un liceo Scientifico Prerequisito fondamentale è la funzione esponenziale, con le sue proprietà. Dal fatto che la funzione esponenziale ha inversa si introduce la funzione logaritmica. Dopo averne dato una definizione, si ricaveranno le proprietà . Si mostrerà come dal grafico della funzione esponenziale, tramite una simmetria assiale, si arriva a quello della funzione esponenziale. Quindi dalla definizione di logaritmo di un numero, si ricaveranno le proprietà dei logaritmi. Infine, come fatto per le funzioni esponenziali, si mostreranno importanti applicazioni della funzione logaritmica in vari ambiti. Punti Chiave di questo intervento didattico sono:

• Dalla funzione esponenziale alla funzione logaritmica • La rappresentazioni grafica della f. logaritmica • Il logaritmo di un numero a partire dalla funzione • Applicazioni

Introduzione alla funzione logaritmica: La funzione esponenziale aexp : +→ 0RR

xayx =D

risulta biunivoca se 1≠a e quindi è dotata di inversa. Ciò equivale a dire che

l’equazione rappresentativa ya x = è risolvibile univocamente fornendo, fissato un

y > 0, un unico valore della variabile x considerata ora come variabile dipendente. Il dominio della funzione inversa sarà pertanto l’insieme +

0R , mentre il condominio R , ossia

RxRy ∈→∈ +0

Definizione: la funzione inversa di expa viene detta funzione logaritmo di base a ed è indicata con il simbolo loga o più brevemente lga. Formalmente

PREREQUISITI OBIETTIVI CONTENUTI METODI-STRUMENTI-

ESEMPI - Conoscere la

funzione esponenziale e la sua biiettività

- Sapere che funzioni biiettive hanno inversa

- Saper disegnare il grafico della funzione esponenziale

- Saper eseguire simmetrie assiali

- saper dimostrare - conoscere

relazioni tra una funzione e la sua inversa

- Saper passare da un a funzione alla sua inversa

-

- Saper tracciare il

grafico di una funzione partendo da quello della funzione inversa

- Saper confrontare grafici, riconoscendo eventuali trasformazioni

- Utilizzare il concetto di funzione per capire le proprietà dei logaritmi

- Riconoscere l’uso della funzione logaritmica

- Definizione di

funzione logaritmica

- Proprietà - dominio

codominio - Realizzazione del

grafico partendo dalla funz esponenziale

- I<logaritmo di un numero e proprietà

- applicazioni

- Lezione alla

lavagna per introdurre il concetto di funzione logaritmica e per ricavarne le proprietà

- Esercizi alla lavagna

- Lezione alla lavagna per logaritmi ….

RRa →+

0:log , con }{10 −∈ +Ra

xyD

Pensando y come un valore assegnato è possibile definire il significato di logaritmo

di un numero: osservando che in y = ax, x è l’esponente che va dato alla base a

per ottenere il valore assegnato y è naturale porre pertanto la seguente definizione Definizione. Il logaritmo di un numero positivo y nella base 10 ≠∧> aa è l’esponente che bisogna dare alla base a per ottenere y. Definizione: si definisce funzione logaritmo decimale la funzione xx 10loglog = per 0>x

Definizione: si definisce funzione logaritmo naturale la funzione xx elogln = per 0>x

Rappresentazione grafica: Diamo una rappresentazione grafica della funzione logaritmica evidenziandone innanzitutto le proprietà generali. Per ottenere il grafico di x = lga y, inversa di expa, bisogna applicare la trasformazione X = y Y = x

che rappresenta una simmetria assiale avente per asse la bisettrice del I e III quadrante. In tal modo manteniamo la convenzione che associa alla variabile indipendente l’asse orizzontale di un sistema cartesiano (e la lettera x) e ad y l’asse verticale. Ne discende per a > 1 la figura 1 mentre per a < 1 si ottiene la 2.

Fig.1

Fig.2

Appaiono ora immediate le proprietà di monotonia della funzione logaritmo: Proprietà:

Se +ℜ∈∧> 021 ,1 xxa ⇔> 12 xx loga >2x loga 1x

la funzione logaritmo risulta montona crescente, Proprietà:

Se +ℜ∈∧<< 021 ,10 xxa ⇔> 12 xx loga <2x loga 1x

la funzione logaritmo risulta strettamente decrescente Osservazione: In generale una funzione dotata di inversa possiede assieme a questa lo stesso carattere di monotonia.

Proprietà: la funzione logaritmica è biunivoca:

+ℜ∈ 021 , xx ⇔= 21 xx loga =2x loga 1x

Limiti agli estremi: osservando il grafico rappresentativo, risulta che per a > 1

+∞→⇒+∞→−∞→⇒→ +

yx

yx 0

mentre per 0<a<1

−∞→⇒+∞→+∞→⇒→ +

yx

yx 0

Proprietà: per ogni a > 0 , lga1 = 0,

espressione che discende direttamente dalla definizione di potenza ad esponente nullo dove si era stabilito a 10 0 =⇒≠ a . Per gli stessi motivi, poiché aa =1

risulta Proprietà:

lga a = 1.

Dai due grafici è immediato notare che il logaritmo di x in una base a > 1 è positivo quando il suo argomento risulta x > 1 mentre se 0 < x < 1 è lgax < 0. Viceversa se 0 < a < 1. Proprietà: Si ha:

lga ax = x ℜ∈∀x

f[fí1(y)] = alga y =y +ℜ∈∀ 0x

Dim. Ricordiamo che la composizione di una funzione f : A :�%�con la propria inversa fí1 : B :�$�, porta a definire la funzione identità in termini di f e fí1. La loro applicazione nel presente caso (A

= R B = R+0) implica le identità:

fí1 ��I�= R e f ��Ií1 = R0

+

che in termini di equazioni rappresentative, assumono rispettivamente le forme fondamentali:

fí1[f(x)] = lga a

x = x ℜ∈∀x

f[fí1(y)] = alga y =y +ℜ∈∀ 0x

Tali espressioni si ottengono prima sostituendo nella x = lga y la y = ax, mentre la seconda si deduce dalla y = ax ponendo x = lga y in luogo dell’esponente.

Proprietà dei logaritmi a partire dalla funzione Una delle proprietà più importanti della funzione esponenziale riguarda il modo con cui si compongono gli esponenti a seguito della moltiplicazione di due suoi valori ossia axaz = ax+z. In effetti, la funzione esponenziale è l’unica funzione f: +ℜ→ℜ 0 che soddisfa ad una tale proprietà che si riscrive, in forma più

generale, come 10 ≠∧>∀ aa )()()(,)1( yxfyfxfaf +== ℜ∈yx,

A questa si collega la fondamentale proprietà dei logaritmi:

Proprietà:. Il logaritmo di un prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori.

lga(xz) = lga x + lgaz x,z+ℜ∈ 0 (1.A)

Dim. Posto lga x = m e lgaz = n, (1.b) discende dalla definizione di logaritmo che am = x e an = z. Moltiplicando i membri di queste due uguaglianze aman = xz per cui, tenendo conto della proprietà dell’esponenziale am+n = xz. Ma per definizione di logaritmo ne segue che

m + n = lga(xz) per cui sostituendovi le (1.b) si giunge a

lga(xz) = lga x + lgaz xz in R+0.

Osservazione: conviene sottolineare che la (1.A) va comunque attentamente considerata in quanto, può capitare che esista il logaritmo del prodotto lga(xz) ma non quello dei singoli fattori: in tal caso sarebbe x <

0 e z < 0. Per togliere questa possibile fonte d’errore e generalizzare la (1.A) anche a fattori del prodotto entrambi negativi si scriverà

xz > 0 ⇔ lga(xz) = lga |x| + lga |z|

In particolare risulta quindi lga x

2 = lga(x · x) = lga |x| + lga |x| = 2lga |x| è evidente che non nasce alcuna ambiguità se si fa uso della proprietà procedendo dai singoli logaritmi addendi al logaritmo del prodotto e ciò in quanto ciascun addendo avrà il rispettivo argomento necessariamente positivo. In modo del tutto analogo si giunge alla: Proprietà. Il logaritmo di un rapporto di due numeri positivi è uguale alla differenza del logaritmo del numeratore con quello del denominatore.

lgaz

x = lga x í�lgaz x,z

+ℜ∈ 0 (2.A)

Dim. con le posizioni (1.b), dividendo am = x e an = z

z

x

a

an

m

=

che, a seguito della proprietà dell’esponenziale, porta alla z

xa nm =−

Per la definizione di logaritmo m í�Q�rappresenta l’esponente della base a per

ottenere x/z cioè m í�Q�= lga z

x ossia lga

z

x = lga x í�lga z.

Osservazione:

0>z

x lga =

z

xlga |x| í�lga |z|

Osservazione: numeri reciproci tra di loro (x e 1/x) abbiano logaritmi opposti. Infatti si ha:

lga x

1= lga 1 í�lga x = 0í�lga x = ílga x,

Proprietà: Il logaritmo di una potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base della potenza

lga x. = .�lgax

+ℜ∈ℜ∈ 0, xα

Dim.

Posto lga x = m che per la definizione di logaritmo equivale a am = x, e a seguito della biunivocità della funzione esponenziale, possiamo elevare alla potenza .

entrambi i membri di quest’ultima ottenendo (am). = x.. D’altra parte è pure a.P = x.�che, riutilizzando la definizione di logaritmo implica

.P�= lga(x.)

ossia, per la posizione iniziale .�lga x = lga(x

.).

Osservazioni: è importante sottolineare la positività della base in quanto se ciò non fosse vero si giungerebbe a delle scritture prive di significato quali, per esempio la seguente lg2(í3)4 = 4lg2 (í3), dove il primo membro rappresenta un numero reale mentre il secondo non possiede significato. L’identità che contempla quei casi di potenza pari .�= 2n con n naturale e base (della potenza) negativa si dimostra invece essere :

lga x2n = 2n lga |x| 0ℜ∈x

L’esempio sopra si scrive quindi lg2(í3)4 = 4lg2 | í�3|. Ricordiamo che nel caso fosse x < 0 e .�qualsiasi l’espressione x. non `e in generale definita . Cambiamanto di base:

a

xx

b

b

a lg

lglg =

Dim. Dalle proprietà viste, si ha che: ax = x lga a = x.

e xaax

lg= prendendo i logaritmi di entrambi i membri in una base positiva qualsiasi b discende

lgb x = lgb(xaa

lg ) che per l’ultima proprietà dimostrata diviene lgb x = lga x · lgb a.

Dividendo per lgb a risulta in definitiva

a

xx

b

b

a lg

lglg = .

Osservazione: Tale identità, detta formula del cambiamento di base dei logaritmi, assume pertanto una notevole importanza in quanto permette di passare da un logaritmo in una data base ad un altro di base diversa. Detto in altro modo, siano y1 = lga x e y2 = lgb x due funzioni logaritmiche aventi basi a, b > 0 e a, b ≠ 1. Per la formula del cambiamento di base:

a

yy

blg2

1 = ⇔ y2 = (lgb a)y1

e quindi concludere che entrambe sono proporzionali, con lgb a come coefficiente di proporzionalità. Ciò significa che è sufficiente conoscere la funzione logaritmica relativa ad una certa base per ottenere quindi la funzione stessa in corrispondenza di una qualsivoglia altra base. `E questo il motivo per cui le cosiddette “tavole dei logaritmi” riportano questi relativamente ad un’unica base (quella decimale: a = 10) e i calcolatori tascabili (e non) ne presentano in genere due (la decimale quella neperiana con a = 2,718 . . .). Applicazioni funzioni logaritmche Le funzioni logaritmiche si incontrano con una certa frequenza non solo nell’ambito matematico o fisico ma anche in campi molto diversi tra loro come quello economico, chimico, biologico, geologico, archeologico. Faremo in questo paragrafo alcuni esempi in cui emerge l’uso delle nozioni finora sviluppate. Spesso capita di dover trattare di grandezze che presentano ampie variazioni su un intervallo di diversi ordini di grandezza. Un esempio può essere la definizione della concentrazione degli ioni idrogeno H+ in una qualsiasi soluzione acquosa. Sappiamo che tale concentrazione permette di definire il grado di acidità basicità della soluzione e che questa può assumere dei valori appartenenti generalmente all’intervallo [10í1,

10í14] che copre ben 14 ordini di grandezza. In

tal caso anzichè esprimere direttamente il valore della concentrazione si è preferito definire una nuova grandezza, indicata dal simbolo “pH” e definita dalla relazione

pH = ílog[H+] = log +H

1

Ne segue che il pH della maggior parte delle soluzioni che si incontrano in pratic è compreso, per quanto

già detto circa la concentrazione degli ioni idrogeno, tra 1 e 14. Discende inoltre dalla definizione che

quanto più basso è il pH tanto più acida è la soluzione. Per esempio, una soluzione a pH = 1 ha una

concentrazione di H+ 100 volte superiore rispetto ad una soluzione a pH = 3.

Modelli matematici e crescita della popolazione Consideriamo alcuni dei modelli matematici più comunemente usati dalle scienze sociali per descrivere le dinamiche di crescita della popolazione. La costruzione di un modello matematico realistico richiede quasi sempre che sia stata raccolta una grande quantità di dati sperimentali, talvolta anche nell’arco di molti anni. Nella figura seguente sono rappresentati i punti do coordinate (t, N); l’ordinata N è il valore numerico della popolazione degli Stati Uniti d’America nell’anno 1790 + t desunto dall’ufficio statunitense del Censimento,

Questi punti sembrano disporsi lungo una curva che ricorda il grafico della funzione esponenziale e proprio questo fatto induce ad assumere la relazione kt

eNN 0=

Come modello matematico per la crescita della popolazione degli Stati Uniti d’America. Nel 1798, l’economista inglese .Malthus espose delle analoghe considerazioni sulla popolazione mondiale. Malthus propose contemporaneamente un modello lineare per la disponibilità delle risorse alimentari arrivando a sostenere che la popolazione, crescendo esponenzialmente, si sarebbe trovata alla fine nell’impossibilità di alimentarsi. Questa terribile previsione ebbe un impatto così profondo sul pensiero

economico che il modello esponenziale per la crescita della popolazione è da allora noto come modello maltusiano. Si consideri una popolazione che si sviluppa secondo il modello maltusiano kt

eNN 0=

Naturalmente 0N indica la popolazione al tempo t=0; ma qual è il significato della costante di crescita k?

Per scoprirlo, si studia come cambia la popolazione nel corso di un anno. Se all’inizio dell’anno (t+1) la popolazione è kt

eN0 , alla fine sarà )1(0

+tkeN . Durante l’anno si è avuto un incremento pari a

)1()()( 0000

)1(0 −=−=−=− ++ kktktkktktkktkttk

eeNeeeNeeNeNeN

L’incremento percentuale della popolazione durante l’anno si può quindi trovare con la formula (Incremento durante l’anno / Popolazione all’inizio dell’anno ) x 100% =

= %100)1(

0

0 xeN

eeNkt

kkt − = %100)1( xe

k −

Se l’incremento percentuale annuo della popolazione è espresso da numero decimale K, si ha: 1−= k

eK o Kek += 1

Per cui )1ln( Kk += ESEMPIO: secondo le stime dell’U.S. Census Bureau la popolazione degli U.S.A. nel 1980 era N0=226 milioni di persone. Supponendo che la popolazione cresca secondo il modello maltusiano dell’1,1% all’anno:

a) scrivere un’equazione che fornisca la popolazione N, in milioni di persone, degli Stati Uniti, t anni dopo il 1980;

b) prevedere il valore di N nel 2020. Soluzione:

a) esprimendo 1,1% in forma decimale si ha K=0,011. perciò 011,0011,1ln)1ln( ≈=+= Kk Quindi

kteNN 0= = 226e0,011t

b) nell’anno 2020 si avrà t=40 e

N=226 e0,011(40)= 226e0,44=351 milioni.