Univerzita Komenského, Bratislava

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky

Teória po©a na nekomutatívnej sfére a

maticové modely

Diplomová práca

2017 Bc. Mária �ubjaková

Univerzita Komenského, Bratislava

Fakulta matematiky, fyziky a informatiky

Teória po©a na nekomutatívnej sfére a

maticové modely

Diplomová práca

�tudijný program: Teoretická fyzika

�tudijný odbor: 1160 Fyzika

�koliace pracovisko: Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky

�kolite©: Mgr. Juraj Tekel, PhD.

2017 Bc. Mária �ubjaková

64661072

Univerzita Komenského v BratislaveFakulta matematiky, fyziky a informatiky

ZADANIE ZÁVEREČNEJ PRÁCE

Meno a priezvisko študenta: Bc. Mária ŠubjakováŠtudijný program: teoretická fyzika (Jednoodborové štúdium, magisterský II.

st., denná forma)Študijný odbor: fyzikaTyp záverečnej práce: diplomováJazyk záverečnej práce: slovenskýSekundárny jazyk: anglický

Názov: Teória poľa na nekomutatívnej sfére a maticové modelyField theory on fuzzy sphere and matrix models

Cieľ: Cieľom práce bude zoznámenie sa so základnými metódami maticovýchmodelov v kontexte popisu teórie skalárneho poľa na nekomuatívnejsfére a ich následné použitie na študovanie fázovej štruktúry a fázovéhodiagramu tejto teórie. Po zreprodukovaní v súčasnosti známych výsledkovpre sféru môže študent/ka zovšeobecniť tieto poznatky pre komplikovanejšienekomutatívne priestory alebo študovať nové maticové modely, ktoré majúšancu predchádzajúce výsledky spresniť.

Anotácia: Teórie formulované na nekomutatívnych priestoroch sú v súčasnosti živouoblasťou výskumu, napriek tomu v tejto oblasti zostáva veľmi veľanezodpovedaných otázok. Nekomutativita prináša do hry fundamentálnuvzdialenosť bez straty symetrie pôvodného priestoru a študovanie teóriena najjedoduchšom nekomutatívnom priestore, nekomutatívnej sfére, dávašancu preskúmať dôsledky nekomutativity v technicky jednoduchšom prípade.Ukazuje sa, že takto formulovaná teória vedie na maticové modely, ktorýchvlastnosti a dôsledky pre pôvodnú teóriu bude študent/ka študovať v diplomovejpráci.

Poznámka: J. Tekel, "Phase structure of fuzzy field theories and multitrace matrix models",Acta Physica Slovaca 65, No.5, 369 – 468 (2015)

A.P. Balachandran, S. Kurkcuoglu and S. Vaidya, “Lectures on Fuzzy and FuzzySUSY Physics,”[hep-th/0511114].

Vedúci: Mgr. Juraj Tekel, PhD.Katedra: FMFI.KTFDF - Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyzikyVedúci katedry: doc. RNDr. Tomáš Blažek, PhD.

Dátum zadania: 14.12.2015

Dátum schválenia: 15.12.2015 prof. Ing. Roman Martoňák, DrSc.garant študijného programu

64661072

Univerzita Komenského v BratislaveFakulta matematiky, fyziky a informatiky

študent vedúci práce

�estné prehlásenie

Vyhlasujem, ºe som túto diplomovú prácu vypracovala samostatne s pouºitím uvedenej

literatúry.

Bratislava, 16. mája 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bc. Mária �ubjaková

v

Po¤akovanie

Na tomto mieste by som sa chcela po¤akova´ svojmu vedúcemu práce Mgr. Jurajovi

Tekelovi, PhD. za jeho pomoc, uºito£né rady a cenné pripomienky, ktoré mi pomohli

pri písaní tejto práce.

vi

Abstrakt

Autor: Bc. Mária �ubjaková

Názov práce: Teória po©a na nekomutatívnej sfére a maticové modely

�kola: Univerzita Komenského, Bratislava

Fakulta: Fakulta matematiky, fyziky a informatiky

Katedra: Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky

Vedúci práce: Mgr. Juraj Tekel, PhD.

Miesto: Bratislava

Dátum: 16. mája 2017

Po£et strán: 63

Druh závere£nej práce: Diplomová práca

Abstrakt: Práca sa zaoberá ²túdiom teórie skalárneho po©a na nekomutatívnej sfére.

Takéto teórie po©a sa dajú opísa´ istou triedou hermitovských maticových modelov. V

práci sa zameriavame najmä na ²túdium fázovej ²truktúry a fázového diagramu týchto

maticových modelov a tým pádom aj fázovej ²truktúry zodpovedajúcich teórií po©a.

V prvej £asti uvádzame rie²enie základných hermitovských maticových modelov metó-

dou sedlového bodu. V nasledujúcej £asti reprodukujeme známe prístupy k aproximácii

maticového modelu zodpovedajúcemu skalárnej teórii a rie²enia týchto pribliºných mo-

delov v komutatívnej limite. Na záver uvádzame nový spôsob aproximácie uvedeného

modelu a prezentujeme poruchové rie²enie tohto priblíºenia v spomínanej limite.

K©ú£ové slová: nekomutatívna sféra, teória po©a na nekomutatívnej sfére, hermitovské

maticové modely

vii

Abstract

Author: Bc. Mária �ubjaková

Title: Field theory on fuzzy sphere and matrix models

University: Comenius University, Bratislava

Faculty: Faculty of Mathematics, Physics and Informatics

Department: Department of Theoretical Physics and Didactics of Physics

Advisor : Mgr. Juraj Tekel, PhD.

City: Bratislava

Date: May 16, 2017

Number of pages: 63

Type of thesis: Diploma thesis

Abstract: The thesis deals with the scalar �eld theories on the fuzzy sphere. These

theories can be described using certain types of Hermitian matrix models. We focus

mainly on studying the phase structure and the phase diagram of these matrix models

and therefore on the phase structure of the corresponding scalar �eld theories. In the

�rst part, we present the solution techniques for the basic Hermitian models using the

saddle point approximation. In next part, we reproduce the known approaches to an

approximation of the matrix model corresponding to the scalar �eld theory and solution

of these approximate models in the commutative limit. Finally, new approximation of

the mentioned matrix model is presented as well as its perturbative solution in the

commutative limit.

Key words: fyzzy sphere, �eld theory on fuzzy sphere, Hermitian matrix models

viii

Predhovor

Nekomutatívne priestory hrajú dôleºitú úlohu v mnohých oblastiach modernej fyziky a

teórie po©a na nich de�nované poskytujú uºito£ný nástroj na skúmanie ich vlastností.

V práci budeme ²tudova´ skalárne teórie po©a de�nované na najjednoduch²om ne-

komutatívnom priestore- nekomutatívnej sfére. Ukazuje sa, ºe takéto teórie sa dájú

popísa´ istými hermitovskými maticovými modelmi. V práci najprv uvedieme spôsob

rie²enia základných hermitovských maticových modelov metódou sedlového bodu. Ná-

sledne sa budeme venova´ maticovému modelu zodpovedajúcemu spomínanej skalárnej

teórie a ukáºeme aproximatívne spôsoby rie²enia tohto modelu v komutatívnej limite.

Uvedieme aj nový spôbob aproximácie tohto maticového modelu, spolu s poruchovým

rie²ením takéhoto priblíºenia v uvedenej limite.

ix

Obsah

Predhovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Skalárna kvantová teória na nekomutatívnej sfére 3

1.1 Nekomutatívna sféra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Euklidovská skalárna teória po©a na nekomutatívnej sfére . . . . . . . . 6

1.2.1 UV/IR mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Rie²enie maticových modelov v limite ve©kého N 12

2.1 Aproximácia sedlového bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Kvadratický potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Kvartický symetrický potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Skalárna teória po©a ako maticový model 22

3.1 Poruchové rie²enie maticového modelu zodpovedajúceho skalárnej teórii

po©a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Aproximácia sedlového bodu pre multistopové modely . . . . . . . . . . 24

3.3 Neporuchový prístup k rie²eniu uvaºovaného maticového modelu . . . . 26

3.3.1 Feynmanové diagramy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.2 Vo©ná teória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.3 V²eobecný potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Fázový priestor symetrickej kvartickej skalárnej teórie . . . . . . . . . . 35

3.4.1 Maticový model s efektívnym ú£inkom aproximovaným funkciou

druhého momentu F (t2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

x

3.4.2 Maticový model s efektívnym ú£inkom aproximovaným známymi

£lenmi multistopového rozvoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Aproximácia efektívneho ú£inku párovou interakciou vlastných hod-

nôt 42

4.1 Párová aproximácia efektívneho ú£inku . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Extremálne rovnice predchádzajúcich maticových modelov ako Riemann-

Hilbertov problém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Homogénny Riemann- Hilbertov problém . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.2 Nehomogénny Riemann- Hilbertov problém . . . . . . . . . . . 50

4.3 Poruchové rie²enie rovnice pre model s párovou aproximáciou efektív-

neho ú£inku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3.1 Kvadratický potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.2 Kvartický potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4 Nekomutatívne CP n priestory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Záver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Literatúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

xi

Úvod

V tejto práci budeme ²tudova´ najjednoduch²í nekomutatívny priestor, nekomutatívnu

sféru a na nej de�novanú skalárnu teóriu po©a. Pôvodnou motiváciou na uvaºovanie ne-

komutatívnych priestorov bola my²lienka navrhnutá Heisenbergom, ºe priestoro£asová

nekomutativita dokáºe odstráni´ divergencie v kvantových teóriách po©a, pri£om ta-

kýto priestor zostane Lorentzovsky invariantný. Od tejto my²lienky sa upustilo, ke¤ºe

renormalizácia sa ukázala by´ efektívnou cestou na odstránenie týchto divergencií.

Nekomutatívne priestory v²ak vystupujú v mnohých oblastiach fyziky, ako naprí-

klad v opise kvantovho Hallovho javu alebo ako rie²enia v maticových formuláciách

teórie strún. Navy²e, o£akáva sa ºe spojenie gravitácie s kvantovou teóriou zavedie

nejakú netriviálnu ²truktúru na krátkych vzdialenostiach (Planckovej ²kále) [2]. Ne-

komutatívne priestory takú ²truktúru na krátkych vzdialenostiach vykazujú, pri£om

zachovávajú symetrie pôvodného priestoru.

Kvantové teórie po©a de�nované na nekomutatívnych priestoroch poskytujú uºi-

to£ný vh©ad do ²truktúry a vlastností samotných týchto priestorov. V práci sa budeme

zaobera´ euklidovskou skalárnou teóriou po©a de�novanou na nekomutatívnej sfére,

ktorá sa ukáºe by´ ekvivalentná istému maticovému modelu. Budeme ²tudova´ najmä

fázovú ²truktúru modelu zodpovedajúcemu symetrickej kvartickej skalárnej teórii v ko-

mutatívnej limite. Uvedieme známe analytické aproximatívne prístupy k rie²eniu tohto

problému, aj ich nedostatky. Práve pre tieto nedostatky je uºito£né skú²a´ h©ada´ iné,

neporuchové spôsoby aproximácie spomínanej skalárnej teórie, ktoré prinesú nové infor-

mácie o jej vlastnostiach a fázovej ²truktúre. V práci ukáºeme nový spôsob pribliºného

rie²enia maticových modelov zodpovedajúcich skalárnym teóriam na nekomutatívnej

sfére v ur£itej £asti fázového priestoru.

V prvej kapitole zavedieme objekt nekomutatívna sféra a de�nujeme na ¬om euk-

lidovskú skalárnu teóriu. Ukáºeme si, ºe táto teória je ekvivalentná hermitovskému

1

maticovému modelu.

V druhej kapitole budeme ²tudova´ metódu rie²enie základných hermitovských mo-

delov v limite, v ktorej ide rozmer matíc do nekone£na, metódu sedlového bodu.

V tretej kapitole sa pozrieme na maticový model zodpovedajúci skalárnej teórii

po©a na nekomutatívnej sfére. Zov²eobecnením metódy, uvedenej v predchádzajúcej

kapitole, ukáºeme aproximatívne metóty rie²enia tohto problému v komutatívnej li-

mite. Komutatívna limita zodpovedá limite, v ktorej ide rozmer matíc v príslu²nom

maticovom modely do nekone£na. Týmito metódami budeme ²tudova´ fázovú ²truk-

túru symetrickej kvartickej teórie.

V závere£nej ²tvrtej kapitole si uvedieme nový spôsob aproximácie modelu zod-

povedajúcemu skalárnej teórii na nekomutatívnej sfére a jeho poruchové rie²enie v

komutatívnej limite v ur£itej £asti fázového priestoru. Na záver e²te túto aproximáciu

zov²eobecníme pre prípad vy²²ích nekomutatívnych priestorov CP n.

2

Kapitola 1

Skalárna kvantová teória na

nekomutatívnej sfére

�ubovo©nú varietu môºeme zada´ algebrou funkcií de�novaných na tejto variete. V ta-

kejto algebre bude skrytá celá informácia o variete a takisto platí aj tvrdenie, ºe kaºdá

komutatívna asociatívna algebra je algebrou funkcií na nejakej variete. Máme teda:

komutatívna asociatívna algebra ↔ varieta.

Teraz sa môºeme pýta´, £o v prípade nekomutatívej asociatívnej algebry? Existuje

nejaký objekt, ktorý môºeme písa´ na pravú stranu v predchádzajúcom výraze, ke¤ na

©avej strane máme nekomutatívnu algebru?

nekomutatívna asociatívna algebra ↔ ???

Na pravú stranu rozhodne nemôºeme písa´ ºiadnu varietu, ke¤ºe funkcie na variete

medzi sebou vºdy komutujú, môºeme v²ak zade�nova´ nový objekt, ktorý tam potom

napí²eme. Pozrieme sa ako sú v algebre funkcií zakódované vlastnosti variety a zave-

dieme nový objekt- nekomutatívnu varietu, ktorý má analogicky kódované vlastnosti

v nekomutatívnej asociatívnej algebre. Dostaneme teda priestor, ktorého súradnicové

funkcie nebudú medzi sebou komutova´, pre súradnice môºeme teda písa´ nekomuta-

tívny vz´ah:

[xi, xj] = iθij, (1.1)

3

kde θij ur£uje o aký priestor sa jedná.

V tejto kapitole sa najprv bliº²ie pozrieme na objekt nekomutatívna sféra, ktorý

bude hlavným predmetom ²túdia v celej práci a potom na tomto objekte de�nujeme

euklidovskú skalárnu teóriu po©a, nástroj na ²túdium vlastností nekomutatívnej sféry.

Viac o de�nícii nekomutatívnej sféry, ako aj vy²²ích nekomutatívnych priestoroch sa dá

nájs´ v [1]. Poznatky o skalárnej kvantovej teórii po©a v Minkowského priestore, ktoré

vyuºívame pri zavádzaní tejto teóri na nekomutatívnej sfére sa dajú nájs´ napríklad v

[13].

1.1 Nekomutatívna sféra

Algebru komplexných funkcií na oby£ajnej sfére S2 tvoria funkcie f(ϑ, ϕ):

f(ϑ, ϕ) =∞∑l=0

l∑m=−l

cml Yml (ϑ, ϕ), (1.2)

kde Y ml sú sférické harmoniky, dané:

Y ml = Nm

l eimϕPm

l (cosϑ), (1.3)

Pml ozna£ujú pridruºené Legendorvé polynómy a Nm

l sú normaliza£é faktory.

Nekomutatívne variety sa zvy£ajne dostávajú ur£itou deformáciou komutatívnych

variét. Takto potom dostaneme nekomutatívny priestor, ktorého komutatívna limita

dá pôvodný priestor, s ktorého sme vychádzali.

V prípade sféry, nekomutatívnu sféru dostaneme urobením dvoch krokov. Prvým

krokom bude obmedzenie sa v l v rozvoji (1.2), teda vezmeme iba funkcie:

f(θ, φ) =L∑l=0

l∑m=−l

cml Yml (ϑ, ϕ). (1.4)

Takto dostaneme kone£norozmerný priestor komplexných funkcií s rozmerom N2, kde

N = L+ 1, pri£om sme stratili citlivos´ na ²truktúry na krátkych vzdialenostiach (δx ∼1l). Body na sfére, ktoré boli zakódované ako delta funkcie, prestali existova´.

Ke¤ºe priestor takýchto funkcií nie je uzavretý vzh©adom na pobodový sú£in, dru-

hým krokom bude de�nova´ medzi týmito funkciami nový sú£in. Zobrazme funkcie do

N × N komplexných matíc. V priestore týchto matíc máme de�novanú reprezentáciu

4

lieovej grupy SU(2) cez reprezentáciu jej algebry su(2):

ρLi : M → [Li,M ], (1.5)

kde Li sú generátory grupy SU(2) v j- spinovej reprezentácii, N = 2j + 1. Komutátor

[Li, .] teda zodpovedá zmene pri in�nitezimálnej rotácii a je to nekomutatívny analóg

derivácie na sfére. Na túto su(2) reprezentáciu v N2 rozmernom priestore matíc sa

môºeme pozera´ ako na tenzorový sú£in dvoch N -rozmerných su(2) reprezentácií N .

Potom ju vieme rozloºi´ na ireducibilné reprezentácie:

N ⊗N = 1⊕ 3⊕ 5⊕ . . . , (1.6)

N2 rozmerný priestor matíc teda vieme rozloºi´ na invariantné podpriestory, do ktorých

zobrazíme podpriestory sférických harmoník:

1 ⊕ 3 ⊕ 5 ⊕ . . .

↓ ↓ ↓

Y 00 ⊕ {Y m

1 } ⊕ {Y m2 } ⊕ . . . .

Reálne funkcie na nekomutatívnej sfére tvoria podpriestor komplexných funkcií,

ktorý môºeme zapísa´ pomocou sférických harmoník v reálnej báze. Nech teda funkcia

f je reálnou funkciou na sfére, potom:

f(θ, φ) =L∑l=0

l∑m=−l

clmYlm(ϑ, ϕ), (1.7)

kde clm sú v takomto prípade reálne kon²tanty a Ylm sú de�nované:

Ylm =

i2

(Y ml − (−1)mY −ml

), ak m < 0,

Y 0l , ak m = 0,

12

(Y −ml + (−1)mY m

l

), ak m > 0.

(1.8)

Reálne funkcie v uvaºovanom zobrazení zobrazíme do hermitovských matíc.

Hermitovské matice, do ktorých sa zobrazia sférické harmonické funkcie Ylm → Tlm

sp¨¬ajú analogické vz´ahy, aké platia pre tieto harmoniky:3∑i=1

[Li, [Li, Tlm] = l(l + 1)Tlm, (1.9)

Tr(TlmTl′m′) = δll′δmm′ , (1.10)∑m

(Tlm)ik(Tl′m′)nj =2l + 1

N2δll′δijδkn. (1.11)

5

Funkcie na nekomutatívnej sfére teda vieme jednozna£ne zobrazi´ do N ×N kom-

plexných matíc a vyuºijúc toto zobrazenie vieme de�nova´ uzavretý sú£in medzi týmito

funkciami ako sú£in príslu²ných hermitovských matíc:

f ? g = Φ−1

(Φ(f)Φ(g)

), (1.12)

kde ? ozna£uje ná² nový sú£in a Φ uvaºované zobrazenie funkcií na nekomutatívnej

sfére do hermitovských matíc. Takýto sú£in je nekomutatívny a teda sme zade�novali

nekomutatívnu sféru. Dá sa ukáza´,ºe v limite N →∞ takto de�novaná nekomutatívna

sféra prejde na oby£ajnú sféru.

Výhodou nekomutatívnych priestorov oproti iným spôsobom, ktoré tieº zavádzajú

²truktúru na krátkych vzdialenostiach (ako napr. mrieºka) je, ºe nekomutatívne pries-

tory zachovávajú v²etky symetrie pôvodného priestoru, £o sme mali moºnos´ vidie´ v

prípade sféry a jej rota£nej symetrie.

1.2 Euklidovská skalárna teória po©a na nekomutatív-

nej sfére

Kvantová teória po©a je zadaná svojim lagrangiánom. V prípade skalárnej teória pole v

minkovského priestore, teda v priestore R4 s metrikou (+,-,-,-), má hustota lagrangiánu

pre reálne pole tvar:

L = L0 − Lint, (1.13)

kde L0 ozna£uje vo©nú £as´ lagrangiánu a Lint interak£nú £as´:

L0 =1

2∂µφ∂

µφ− 1

2m2φ2,

Lint =∑n>2

gnφn.

Pre nás bude dôleºitá formulácia QFT pomocou dráhových integrálov, kde sa

stredné hodnoty funkcionálov skaláneho po©a φ rátajú nasledovným dráhovým integ-

rálom:

〈F [φ]〉 =1

Z

∫DφeiS[φ]F [φ], (1.14)

6

kde normaliza£ný faktor Z a ú£inok S zodpovedajú:

Z =

∫DφeiS[φ], (1.15)

S =

∫d4x(L0 − Lint),

= S0 − Sint. (1.16)

Skalárnu teóriu po©a v Euklidovskom priestore dostaneme z príslu²nej teórie v

Minkowského priestore Wickovou rotáciou t → −it. Touto transformáciou získame z

Minkowského priestoru priestor s Euklidovskou metrikou, teda priestor R4 s metrikou

(+,+,+,+). Inegrál (1.14) prejde na:

〈F [φ]〉 =1

Z

∫Dφe−S[φ]F [φ], (1.17)

Z =

∫Dφe−S[φ] (1.18)

a v ú£inku S (1.16) prejde rozdiel medzi vo©nou a interak£nou £as´ou na sú£et. Dostá-

vame analógiu so ²tatistickou fyzikou. Máme teda sklalárnu teóriu po©a v euklidovskom

priestore a vloºením sféry do tohto priestoru:

x = R sin(ϑ) cos(ϕ),

y = R sin(ϑ) sin(ϕ),

z = R cos(ϑ),

získame skalárnu teóriu na sfére.

Teóriu po©a na nekomutatívnej sfére dostaneme nahradením oby£ajných sú£inov v

ú£inku S novými hviezdi£kovými sú£inmi:

S[φ] =

∫d4x

1

2

[∂µφ ? ∂

µφ+1

2m2φ ? φ+ Lint(.→ ?)

]. (1.19)

Ako sme videli, reálne polia môºeme zobrazi´ na hermitovské matice. Predcházajúci

integrál potom pri takomto zobrazení prejde na maticový integrál. Priestoro£asový

integrál v ú£inku, ktorý de�nuje skalárny sú£in v priestore funkcií na sfére:

⟨f, g⟩

=

∫d4x(f.g),

prejde na stopu matíc, ktorá zodpovedá skalárnemu sú£inu v priestore matíc:

⟨f, g⟩→

⟨M,N

⟩∼ Tr(M.N) (1.20)

7

a derivácia prejde na komutátor s Li, generátormi SU(2). Dostávame teda:

〈F [φ]〉 =1

Z

∫dMe−S[M ]F [M ], (1.21)

Z =

∫dMe−S[M ], (1.22)

kde integrujeme cez v²etky hermitovské matice. Máme teda N2 rozmerný integrál:

dM =n∏i=1

dMii

∏i<j

d(ReMij)d(ImMij),

kde (ReMij) zna£í reálnu zloºku mimodiagonálneho prvku Mij a (ImMij) jeho imagi-

nárnu zloºku. Ú£inok S prejde na:

S =4πR2

NTr

[− 1

2R2[Li,M ][Li,M ] +

1

2rM2 +

∑n>2

gnMn

], (1.23)

kde R ozna£uje polomer sféry. Kinetickú £as´ ú£inku e²te prepí²me nasledovným spô-

sobom:

Skin = constTr[− [Li,M ][Li,M ]

], (1.24)

= constTr[M [Li, [Li,M ]]

],

= constTr[MκM

],

kde sme ozna£ili:

κM = [Li, [Li,M ]]

Dostávame teda, ºe euklidovská skalárna teória po©a je ekvivalentná maticovému

modelu, t.j. ensámblu náhodných matíc s pravdepodobnostným rozdelením e−S[M ].

Preve¤me e²te integrál (1.21), kde integrujeme cez v²etky hermitovské matice, na

integrál cez vlastné hodnoty matíc a cez prvky unitárnych matíc. Kaºdú hermitovskú

maticu môºme privies´ na diagonálny tvar pomocou unitárnej matice:

M = UΛU †,

kde Λ je diagonálna matica s vlastnými hodnotami na diagonále:

Λ = diag(λ1, . . . , λn)

a U je N ×N unitárna matica. Zrátajme jakobián takejto substitúcie:

dM = JdΛdU, (1.25)

dM = dUΛU † + UdΛU † + UΛd(U+). (1.26)

8

Vyuºijúc platnos´:

d(UU †) = (dU)U † + U(dU †) = d(I) = 0,

dostaneme:

dM = dUΛU † + UdΛU † − UΛU †d(U)U.

Ke¤ºe integrujeme cez v²etky hermitovské matice, miera dM musí by´ invariantná vo£i

zámene M → UMU+. Jakobián, ktorý teda závisí iba od vlastných hodnôt, môºeme

ráta´ pre ©ubovo©né U . Zvo©me preto U rovné jednotkovej matici a dostaneme:

dM = dUΛ + dΛ− ΛdU.

Vyjadrené cez prvky matíc:

dMij = δijdλi + (λi − λj)dUij.

Vidíme teda, ºe zámena premenných:

Mii → λi,

ReMij → ReUij, pre i < j,

ImMij → ImUij, pre i < j,

je diagonálna a jakobián je tvorený iba sú£inom prvkov na diagonále. Máme teda:

dM =

(∏i<j

(λi − λj)2

)( N∏i=1

dλi

)dU. (1.27)

Jakobián môºeme vyhodi´ do exponentu:

(λi − λj)2 = e2 log(λi−λj)

a zahrnú´ do ú£inku S. Integrál (1.21) teda prejde do tvaru:

〈F 〉 =1

Z

∫ ∏dλiF (Λ)

∫dUe−N

2S, (1.28)

kde:

S =1

N

∑i

V (λi)−1

N2

∑i<j

log |λi − λj|+1

2Tr(MκM), (1.29)

s potenciálom V tvaru:

V (λi) =1

2rλ2

i +∑n>2

gnλni . (1.30)

9

Vo vz´ahu (1.28) predpokláme, ºe funkcia F [M ] závisí iba od vlastných hodnôt. De-

�nícia ú£inku (1.29) sa lí²i od ú£inku, ktorý bol de�novaný v (1.23). Ako sa spomína

vy²²ie do ú£inku (1.29) sme zahrnuli aj jakobián zámeny súradníc. Takisto sme pre-

²kálovali maticu M a parametre r a gn v potenciály V tak, aby v limite ve©kého N ,

ktorá nás bude zaujíma´, prispievali v²etky £leny v ú£inku. Ke¤ºe £len pochádzajúci

z jakobiánu obsahuje dve sumy cez vlastné hodnoty, rastie ako N2. Tento faktor sme

vytiahli v integráli (1.28) pred ú£inok, do de�nície ú£inku ho teda nezah¯¬ame. Spo-

mínaním pre²kálovaním rád N , v ktorom prispieva tento logaritmický £len nezmeníme,

iba pripo£ítame k ú£inku nezaujímavú kon²tanta, ktorá sa pri rátaní stredných hodnôt

aj tak vykráti, takºe ju nebudeme vôbec písa´. Potrebujeme dosiahnu´ aby aj zvy²né

£leny v ú£inku boli rovnakého rádu. �kálovaním:

M → MN θm ,

r → rN θr ,

gn → gnNθgn ,

1 + θr + 2θm − 1 = 2, 1 + θgn + nθm − 1 = 2, (1.31)

zabezpe£íme, aby £leny v ú£inku závisiace iba od vlastných hodnôt boli rádu N2.

�kálovanie (1.31) nie je jednozna£né. Správanie kinetického £lena v limite ve©kého N nie

je teraz vôbec jasné, ale o£akávame, ºe zahrnutím poºiadavky, aby aj tento £len bol rádu

N2 stratíme vo©nos´ v (1.31) a teda dostanme ²kálovanie, ktoré uº bude jednozna£né.

Takisto kon²tanty vystupujúce v (1.23) sa dajú odstráni´ pre²kálovaním, preto sa v

de�nícii ú£inku (1.29) uº nevyskytujú. �alej budeme pracova´ s touto de�níciou ú£inku

(1.29).

1.2.1 UV/IR mixing

Spome¬me e²te jednu dôleºitú vlastnos´ nekomutatívnych teórií. Túto vlastnos´ ¤alej

potrebova´ nebudeme, uvádzame ju v²ak pre úplnos´. V¤aka nelokálnosti nekomutatív-

nych teórií, procesy na krátkych vzdialenostiach ovplyv¬ujú procesy na dlhých ²kálach

a naopak. Toto sa nazýva UV/IR mixing. Kvôli tomuto mie²aniu ²kál sú nekomutatívne

teórie nerenormalizovate©né.

Zaujímavé je, ºe UV/IR mixing preºije aj komutatívnu limitu a teda dostávame

teóriu s ve©mi odli²nou limitou ako pôvodná teória, s ktorej sme vychádzali. To zna-

10

mená, ºe aj ke¤ nekomutatívny priestor prejde na pôvodný komutatívny, teória na ¬om

vybudovaná si nekomutativitu pamätá.

11

Kapitola 2

Rie²enie maticových modelov v limite

ve©kého N

V predchádzajúcej kapitole sme ukázali, ºe teória skalárneho po©a na nekomutatívnej

sfére zodpovedá maticovému modelu:

〈F [M ]〉 =1

Z

∫dMe−N

2S[M ]F [M ],

s ú£inkom S tvaru (1.29), pri£om uvaºujeme funkcie F [M ] závislé iba od vlastných

hodnôt.

K©ú£ovým problémom takéhoto maticového modelu je práve kinetický £len v ú£inku.

Bez tohto £lena je to dobre známy maticový model, ktorý je v limite ve©kého N ana-

lyticky rie²ite©ný. V tejto kapitole sa pozrieme na metódu, ktorou sa takýto maticový

model, zadaný ú£inkom (1.29) bez kinetickej £asti, rie²i, pri£om budeme vychádza´ z

[1], [3] a [4].

2.1 Aproximácia sedlového bodu

Máme teda maticový model zadaný ú£inkom:

S =

[1

N

∑i

V (Λi)−2

N2

∑i 6=j

log |λi − λj|]. (2.1)

V limite ve©kého N je integrál 〈F 〉, (1.28), dominovaný takou kon�guráciou vlastných

hodnôt λEi , ktorá minimalizuje ú£inok S. Pre funkciu vlastných hodnôt F , ktorá je

tvaru:

F =N∑i=1

f(λi),

12

bude potom stredná hodnota 〈F 〉 v limite ve©kého N daná vz´ahom:

〈F 〉 =1

N

N∑i=1

f(λEi )→∫dλρ(λ)f(λ). (2.2)

A na²im cie©om je ur£i´ extremálne rozdelenie vlastných hodnôt ρ(λ).

H©adáme teda extrém ú£inku S:

∂S

∂λi= 0, (2.3)

£o dáva rovnicu:

V ′(λEi ) =2

N

∑i 6=j

1

λEi − λEj. (2.4)

Ú£inok (2.1) zodpovedá 2D Coulomboskému odpudzovaniu £astíc v potenciály V .

Vlastné hodnoty si teda môºeme predstavi´ ako £astice v potenciáli V , ktoré sa vzá-

jomne odpudzujú a my h©adáme rovnováºnu kon�guráciu takýchto £astíc.

De�nujme teraz funkciu ω(z):

ω(z) =1

N

∑i

1

z − λEi→∫dλ

ρ(λ)

z − λ. (2.5)

Funkcia ω(z) má rez na supporte rozdelenia ρ(λ). Cauchyho identita nám dáva spôsob,

ako zisti´ toto rozdelenie, ak poznáme ω(z):

ω(λ+ iε)− ω(λ+ iε) = −2πiρ(λ), λ ∈ supp ρ(λ) (2.6)

Upravme teraz nasledovný výraz:

ω(z)2 =1

N2

∑i

∑j

1

z − λEi1

z − λEj

=1

N2

∑i

1

(z − λEi )2+

1

N2

∑i, jj 6=i

1

x− λEi1

z − λEj

= − 1

Nω′(z) +

1

N2

∑i, j,j 6=i

1

λEi − λEj

(1

z − λEi− 1

z − λEj

)

= − 1

Nω′(z) +

2

N2

(∑i

1

z − λEi

∑j 6=i

1

λEi − λEj

)= − 1

Nω′(z) +

1

N

∑i

V ′(λEi )

z − λEi

= − 1

Nω′(z) +

1

N

∑i

V ′(z)

z − λEi− 1

N

∑i

V ′(z)− V ′(λEi )

z − λEi

= − 1

Nω′(z) + ω(z)V ′(z)− P (z),

(2.7)

13

kde P (z) je polynóm tvaru:

P (z) =1

N

∑i

V ′(z)− V ′(λEi )

z − λEi. (2.8)

V limite ve©kého N môºme £len rádu 1Nzanedba´. Pre ω(z) potom dostávame kvadra-

tickú rovnicu s neznámym polynómom P (z):

ω2(z)− ω(z)V ′(z) + P (z) = 0 (2.9)

a rie²enie tejto rovnice je tvaru:

ω(z) =1

2

(V ′(z)±

√V ′(z)2 − 4P (z)

). (2.10)

Z de�nície funkcie ω(z) (2.5) je zrejmé, ºe v limite ve©kého |z| platí:

ω(z) ∼ 1

z. (2.11)

Rie²enie (2.10) dáva správnu limitu iba so záporným znamienkom pred odmocninou:

ω(z) =1

2

(V ′(z)−

√V ′(z)2 − 4P (z)

)∼ 1

2

(V ′(z)−

√V ′(z)2 − 4

V ′(z)

z

)∼

∼ 1

2

(V ′(z)− V ′(z)(1− 2

1

zV ′(z)

)∼ 1

z.

Máme teda rovnicu pre ω(z):

ω(z) =1

2(V ′(z)−

√V ′(z)2 − 4P (z)) (2.12)

s neznámym polynómom P (z). Nespojitos´ ω(z) pozd¨º supportu extremálneho rozde-

lenia vlastných hodnôt ρ(λ) je vo výraze (2.12) skrytá v £asti s odmocninou. Ke¤ºe

odmocnina má rez v na²ej konvencii pozd¨º zápornej reálnej osi, funkcia ω(z) moºe

ma´ viac rezov s okrajovými bodmi danými kore¬ami polynómu pod odmocninou.

Tieto rezy potom tvoria support rozdelenia ρ(λ). Maximálny po£et týchto rezov tvo-

riacich support je daný stup¬om potenciálu V . Ak máme potenciál V kvadratický, t.j.

len s jednou potenciálovou jamou, support musí by´ tvorený jedným súvislým interva-

lom [a, b]. V prípade, ºe potenciál má jám viac, support rozdelenia môºe by´ tvorený

viacerými intervalmi, maximálne v²ak to©kými, ko©ko je potenciálových jám.

Predpokladajme najprv, ºe suport rozdelenia ρ(λ) je tvorený jedným intervalom

[a, b]. Polynóm pod odmocninou vo vz´ahu (2.12) musí ma´ v takomto prípade dva

14

jednoduché (prípadne s nepárnou násobnos´ou) kore¬e a a b, zvy²né korene musia ma´

párnu násobnos´. Je teda tvaru:

V ′(z)2 − 4P (z) = M2(z)(z − a)(z − b), (2.13)

kde M(z) je polynóm. Pre ω(z) potom dostávame:

ω(z) =1

2

(V ′(z)−

√M2(z)(z − a)(z − b)

)(2.14)

s neznámym polynómom M(z) a takisto neznámymi okrajmi supportu a, b. Urobením

limity ve©kého |z| dostaneme z predchádzajúcej rovnice (2.14) tvar polynómu M(z):

1

2

(V ′(z)−

√M2(z)(z − a)(z − b)

)=

1

z+O(z−2) (2.15)

M2(z) = PolV ′2(z)

(z − a)(z − b), (2.16)

kde Pol zna£í polynomiálnu £as´. Okraje rezu a, b získame takisto z podmienky (2.15).

Nech potenciál V je stup¬a d+1, potom polynómM je stup¬a d−1 a teda podmienka

(2.15) nám dáva d+ 1 rovníc pre d+ 1 parametrov.

Z Cauchyho identity (2.6) a zo vz´ahu (2.15) dostaneme rozdelenie ρ(λ) v tvare:

ρ(λ) =1

2πi

√M2(λ)(λ− a)(λ− b) =

1

2π

√M2(λ)(λ− a)(b− λ). (2.17)

V prípade dvoch a viac rezov je situácia trochu zloºitej²ia. Rovnica (2.14) má v

prípade dvoch rezov tvar:

ω(z) =1

2

(V ′(z)−

√M2(z)(z − a)(z − b)(z − c)(z − d)

)(2.18)

a analogicky pre viac rezov. Teraz máme neznámych parametrov d+2 (v prípade n rezov

je parametrov d+n), ale z analogickej podmienky ako bola podmienka (2.11) v prípade

jedného rezu, dostaneme len d+ 1 rovníc. Zvy²né rovnice dostaneme minimalizovaním

vo©nej energie F0:

F0 = − 1

N2log(Z), (2.19)

kde Z je normaliza£ný faktor:

Z =

∫dλe−N

2S[λ].

15

V limite ve©kého N potom dostávame pre vo©nú energiu výraz:

F0 = − 1

N2log

[exp

(−N2

∫ b

a

dλV (λ)ρ(λ) + 2N2

∫ b

a

dλ

∫ b

a

dλ′ρ(λ)ρ(λ′) log |λ− λ′|)].

=

∫ b

a

dλV (λ)ρ(λ)−∫ b

a

dλ

∫ b

a

dλ′ρ(λ)ρ(λ′) log |λ− λ′|

A to rie²enie, ktoré minimalizuje vo©nú energiu F bude v limite ve©kého N dominova´,

ke¤ºe má najv䣲iu pravdepodobnos´. Dá sa ukáza´, ºe s touto dodato£nou podmienkou

uº máme jednozna£né rie²enie.

2.2 Príklady

2.2.1 Kvadratický potenciál

Uvaºujme v ú£inku (2.1) iba kvadratický potenciál V . Majme teda ú£inok tvaru:

S =1

N

∑i

1

2rλ2

i −2

N2

∑i 6=j

log |λi − λj| (2.20)

a nájdime rozdelenie vlastných hodnôt ρ(λ) pod©a postupu uvedenom v minulom pa-

ragrafe.

Zo vz´ahu (2.16) dostaneme polynóm M(z), ktorý je v tomto prípade rovný kon-

²tante r. Support rozdelenia ρ(λ) musí by´ teraz tvorený iba jedniným intervalom. Pre

ω(z) potom dosadením za M do (2.15) dostávame:

ω(z) =1

2

(rz − r

√(z − a)(z − b)

). (2.21)

A z podmienky (2.11) dostaneme pre okrajové body a, b rovnice:

r

4(a+ b) = 0, (2.22)

r

aab = 1, (2.23)

z ktorých dostávame:

a = −b =2√r. (2.24)

Dosadením do (2.17) získame rozdelenie vlastných hodnôt ρ(λ):

ρ(λ) =r

2π

√4

r− λ2 , λ2 <

4

r. (2.25)

16

Dostali sme symetrické rozdelnie vlastných hodnôt, £o nás vôbec neprekvapuje, ke¤ºe

máme symetrický potenciál.

Rozdelenie (2.25) sa nazýva Wignerovo polkruhové rozdelenie. Obrázok (obr. 2.1)

zachytáva toto rozdelenie pre hodnoty parametra r = 1, r = 4 a r = 16.

Obr. 2.1: Wignerovo polkruhové rozdelenie (£ervená súvislá £iara) spolu s príslu²ným poten-

ciálom (v modrej farbe) postupne pre r = 1, r = 4 a r = 16.

2.2.2 Kvartický symetrický potenciál

Majme teraz ú£inok v tvare:

S =1

N

∑i

1

2rλ2

i +1

N

∑i

gλ4i −

2

N2

∑i 6=j

log |λi − λj| (2.26)

Uvaºujeme teda kvartický symetrický potenciál V (λi).

Pozrime sa najprv na prípad kladného r. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade

aj teraz je support rozdelenia ρ(λ) tvorený jedným intervalom. Ke¤ºe máme symetrický

potenciál aj teraz bude plati´:

a = −b =√δ. (2.27)

17

Zo vz´ahu (2.16) dostaneme polynóm M :

M(z) = 4gz2 + r + 2δg. (2.28)

A podmienka pre ω(z) v limite ve©kého |z| (2.11) nám dá rovnicu pre δ:

3

4gδ2 +

1

4rδ = 1, (2.29)

odkia©:

δ =1

6g(√r2 + 48g − r). (2.30)

Funkcia ω(z) má teda tvar:

ω(z) =1

2

[4gz2 + rz − (4gz2 + 2gδ + r)

√z2 − δ

]a rozdelenie ρ(λ) vychádza zo vz´ahu (2.17) v tvare:

ρ(λ) =1

2π(r + 2gδ + 4gλ2)

√δ − λ2 , λ2 < δ. (2.31)

Uvaºujme teraz záporný parameter r. Potenciál V má v takomto prípade dve mi-

nimá, preto o£akávame aj rie²enia s dvoma rezmi tvoriacimi support rozdelenia ρ(λ).

Nie v²ak pre v²etky hodnoty parametrov v ú£inku r a g, ke¤ºe vlastné hodnoty sa od-

pudzujú. O£akávame teda, ºe pre plytké potenciálové jamy bude support ρ(λ) tvorený

jedným intervalom a rie²enie s dvoma intervalmi sa objaví od nejakej kritickej h¨bky

miním. Rozdelenie ρ(λ) pre prípad jedného rezu je dané tým istým vz´ahom, ako v

prípade r > 0 (2.31).

Pre ur£ité hodnoty r, g bude toto rozdelenie pre £as´ supportu záporné. To nazna-

£uje, ºe pre tieto hodnoty parametrov r s g, predpoklady, ktoré sme urobili o supporte

rozdelenia ρ(λ) nebudú správne. Kritická hodnota r(g) je daná:

M(0) = 0,

r +1

3(√r2 + 48g − r) = 0 ⇒ r = −4

√g. (2.32)

Nájdime teraz rie²enie pre prípad supportu tvoreného dvoma rezmi. O£akávame, ºe

v¤aka symetrii potenciálu je tento support znovu symetrický vo£i stredu λ = 0. Táto

symetria je dodato£ná podmienka, ktorá zodpovedá minimalizovaniu vo©nej energie F0.

Support rozdelenia teda môºeme parametrizova´ nasledovným spôsobom:

C =(−√D + δ,−

√D − δ

)∪(√

D − δ,√D + δ

),

18

kde musí plati´:

D − δ > 0. (2.33)

Z (2.16) dostaneme pre polynóm M :

M2(z) = 16g2z2. (2.34)

Podmienka (2.11) potom dáva:

4Dg + r = 0,

δ2 =1

g.

A z (2.33) dostávame:

r < −4√g, (2.35)

v zhode s (2.32). Rozdelenie vlastných hodnôt je potom dané vz´ahom (2.17) a vychá-

dza:

ρ(λ) =2g|λ|π

√δ2 − (D − λ2)2), (2.36)

pre λ ∈ C. Obrázok (obr. 2.2) zobrazuje rozdelenia vlastných hodnôt pre g = 1 a rôzne

hodnoty parametra r.

Poznamenajme e²te, ºe pre niektoré hodnoty parametrov r, g, pri ktorých dostá-

vame support tvorený dvoma rezmi, rovnice vyplývajúce z podmienky (2.11) umoº¬ujú

aj rie²enie, kde je support tvorený jedným asymetrickým rezom, teda vlastné hodnoty

sú v²etky v jednom z dvoch miním potenciálu. Takéto rie²enia má v²ak vºdy v䣲iu

vo©nú energiu.

Pre kvartický potenciál teda môºeme kresli´ fázový diagram s parametrami r, g,

(2.3), kde kritická £iara, zodpovedajúca fázovému prechodu je daná (2.32). Pre para-

metre r, g zodpovedajúce bodom pod touto £iarou máme rie²enie s dvoma rezmi, nad

touto £iarou máme rie²enie s jedným rezom.

19

Obr. 2.2: Rozdelenie vlastných hodnôt v prípade symetrického kvartického potenciálu. Roz-

delenie je zobrazené £ervenou súvislou £iarou a príslu²ný potenciál modrou £iarou. Parameter

g = 1. Hodnota parametra r je postupne r = 1, r = −1, r = −4, r = −5 a r = −8.

20

Obr. 2.3: Fázový diagram maticového modelu s kvartickým potenciálom. Nad kritickou kriv-

kou r = −4√g máme rie²enie s jedným rezom, pod touto krivkou s dvomi rezmi.

21

Kapitola 3

Skalárna teória po©a ako maticový

model

V prvej kapitole sme ukázali, ºe skalárna teória po©a na sfére je ekvivalentná matico-

vému modelu:

〈F 〉 =1

Z

∫ ∏dλiF (Λ)e−N

2( 1N

∑i V (λi)− 2

N2

∑i<j log |λi−λj |)

∫dUe−N

2 12Tr(MκM). (3.1)

Ozna£me najprv integrál cez unitárne matice v (3.1) nasledovne:∫dUe−N

2 12Tr(MκM) =

∫dUe−N

2Skin = e−N2Seff (Λ) (3.2)

Potrebujeme teda ur£i´ efektívny ú£inok Seff , ktorý uº závisí iba od vlastných hodnôt.

Ako sme spomínali v úvode predchádzajúcej kapitoly, maticový model (3.1) ne-

vieme, okrem prípadu kvadratického potenciálu, rie²i´ v limite ve©kého N analyticky.

Dokáºeme ho v²ak rie²i´ poruchovým prístupom a takisto poznáme metódu, ktorou

vieme zachyti´ ur£itú £as´ efektívneho ú£inku Seff neporuchovo.

3.1 Poruchové rie²enie maticového modelu zodpove-

dajúceho skalárnej teórii po©a

V tomto paragrafe si ukáºeme poruchový prístup k rie²eniu maticového modelu (3.1),

pri£om budeme vychádza´ z [1], [5]. Dopí²me ku kinetickej £asti ú£inku malú kon²tantu

22

ε. Potrebujeme teda zráta´ inegrál:

e−Seff =

∫dUe−ε

12Tr(MκM) =

=

∫dU

[∑n

1

n!

(− ε1

2Tr(MκM)

)n]= 1 +

∑n>0

εnIn. (3.3)

Takýto rozvoj zodpovedá vysokoteplotnému príblíºeniu v ²tatistickej fyzike, ke¤ºe ε

zodpovedá inverznej teplote β. Vidíme, ºe £ím vy²²í rád, tým máme v䣲í po£et sú£inou

medzi vlastnými hodnotami. Pre efektívny ú£inok Seff (Λ) môºeme písa´:

e−Seff (Λ) = e[εI1+ε2(I2−I212

)+ε3(I3−I1I

22

2+I16

)+...]

Seff (Λ) = −[εI1 + ε2(I2 −

I21

2) + ε3(I3 −

I1I22

2+I1

6) + . . .

](3.4)

Poruchový rozvoj (3.4) teda zodpovedá multistopovmu rozvoju efektívneho ú£inku

Seff (Λ):

Seff =[a2 Tr(M2) + a1,1Tr(M)Tr(M)

]+[a3 Tr(M3) + a2,1Tr(M2)Tr(M)+

+ a1,1,1Tr(M)3]

+[a4Tr(M4) + a3,1Tr(M3)Tr(M) + a2,2Tr(M2)2+

+ a2,1,1Tr(M2)Tr(M)2]

+ . . . . (3.5)

V rozvoji (3.5) sme poloºili ε = 1.

Ak sa nám teraz podarí nájs´ diferenciálny operátor, pre ktorý platí:

De−Skin = O(Λ)e−Skin , (3.6)

kde O(Λ) závisí iba od vlastných hodnôt matice M , potom bude takisto plati´:

D

∫dU[e−N

2Skin]

= O(Λ)

∫dU[e−N

2Skin]

De−Seff = O(Λ)e−Seff , (3.7)

a dostaneme podmienky na koe�cienty v rozvoji (3.5).

Jeden taký diferenciálny operátor je:

D1 =∑a

∂

∂Maa

, (3.8)

£o vyplýva z invariantnosti kinetického £lena vo£i transláciiM →M + aI. Ke¤ºe teda:

D1e−Skin = 0 ⇒ D1e

−Seff = 0, (3.9)

23

dostávame podmienky:

a1,1 = − 1

Na2, a1,1,1,1 = − 1

2Na2,1,1, a1,1,1,1,1,1 = − 1

3Na2,1,1,1,1,

a3,1 = − 4

Na4, a2,1,1 = − 1

2N(3a3,1 + 4a2,2), . . . . (3.10)

Pomocou operátorov vy²²ích rádov:∑a,b

∂

∂Mab

∂

∂Mab

∣∣∣∣M=0

,∑a,b

∂

∂Maa

∂

∂Mbb

∣∣∣∣M=0

,∑a,b,c,d

∂

∂Mab

∂

∂Mbc

∂

∂Mcd

∂

∂Mda

∣∣∣∣M=0

, . . . ,

(3.11)

dokázali autori v £lánku [5] ur£i´ koe�cienty v rozvoji (3.5) aº po ²tvrtý rád:

Seff =1

2

[1

2(c2 − c2

1)− 1

24(c2 − c2

1)2 +1

2880(c2 − c2

1)4

]− 1

432(c3 − 3c1c2 + 2c3

1)2−

− 1

3456

[(c4 − 4c3c1 + 6c2c

21 − 3c4

1)− 2(c2 − c21)2

]2

, (3.12)

kde

cn =1

N

∑i

(λi)n. (3.13)

Tieto funkcie vlastných hodnôt prejdu v limite ve©kého N na n-té momenty extremál-

neho rozdelenia ρ(λ):

cEn =1

N

∑i

(λEi )n →∫dλλnρ(λ). (3.14)

Efektívny ú£inok Seff teda môºeme aproximova´ jeho mutltistopovým rozvojom

do ²tvrtého rádu. Takéto maticové modely sa v limite ve©kého N dajú rie²i´ metódou

sedlového bodu zov²eobecnením postupu uvedeného v predchádzajúcej kapitole [1].

3.2 Aproximácia sedlového bodu pre multistopové mo-

dely

Máme maticový model zadaný nasledovným ú£inkom:

S =N∑i=1

1

NV (λi)−

∑i<j

2

N2log |λi − λj|+ f(c1, c2, . . .), (3.15)

kde potenciál V (λi) je tvaru:

V (λi) =1

2rλ2

i +∑n>2

gnλni . (3.16)

24

Rie²me takýto model v limite ve©kého N metódou sedlového bodu. H©adáme teda

extrém ú£inku S, (3.15):

∂S

∂λi= 0,∑

n

∂f

∂cn.∂cn∂λi

+ V ′(λi) =2

N

∑j 6=i

1

λi − λj,

∑n

∂f

∂cnnλn−1

i + V ′(λi) =2

N

∑j 6=i

1

λi − λj. (3.17)

Ak sa pozrieme na vlastné hodnoty ako na £astice v potenciáli danom ú£inkom S,

rovnica (3.17) potom ur£uje rovnováºnu kon�guráciu týchto £astíc. Vidíme, ºe multi-

stopové £leny v ú£inku zavádzajú novú interakciu medzi vlastnými hodnotami, ktorá

v²ak nie je ²tandartnou párovou interakciou ako interakcia pochádzajúca z logaritmic-

kého £lenu.

Prepí²me teraz rovnicu (3.17) nasledovne:

∂f

∂c1

+

(r + 2

∂f

∂c2

)λi +

∑n>2

n

(gn +

∂f

∂cn

)λn−1i =

2

N

∑j 6=i

1

λi − λj,

∂f

∂c1

+ reffλi +∑n>2

ngn,effλn−1i =

2

N

∑j 6=i

1

λi − λj. (3.18)

Prepísali sme teda extremálnu rovnicu pre multistopový maticový model na extre-

málnu rovnicu pre maticový model bez multistopových £lenov v ú£inku s koe�cientmi

reff , gn,eff a s koe�cientom ∂f∂c1

= g0,eff pred lineárným £lenom v ú£inku. Takýto mo-

del ¤alej vyrie²ime rovnakým postupom aký bol uvedený v predchádzajúcej kapitole,

pri£om koe�cienty reff , gn,eff povaºujeme za kon²tantné parametre. Dostaneme teda

extremálne rozdelenie vlastných hodnôt v limite va©kého N :

ρ(λ, reff , gn,eff ) = ρ(λ, r, g, cn). (3.19)

Zo selfkonzistentných rovníc, ktoré dostávame pre momenty rozdelenia:

cn =

∫λnρ(λ, r, g, cn)dλ, (3.20)

potom dokáºeme ur£i´ momenty rozdedelenia, a teda aj samotné rozdelenie vlastných

hodnôt, ako funkcie uº iba pôvodných parametrov r, g.

25

3.3 Neporuchový prístup k rie²eniu uvaºovaného ma-

ticového modelu

Ako bolo spomenuté v úvode kapitoly, je známa metóda, ktorou vieme zisti´ ur£itú £as´

efektívneho ú£inku Seff neporuchovo. Táto metóda vyuºíva fakt, ºe v prípade vo©nej

teórie, teda maticového modelu (3.1) s kvadratickým potenciálom, analytické rie²enie

v limite ve©kého N poznáme. V tomto paragrafe si toto rie²enie vo©nej teórie, ako aj

neporuchový prístup k rie²eniu v prípade v²eobecného potenciálu, ukáºeme. Najprv

sa v²ak bude uºito£né spomenú´ e²te jeden spôsob poruchového rie²enia maticových

modelov. Táto podkapitola vychádza z £lánkov [1], [3].

3.3.1 Feynmanové diagramy

Majme maticový model:

〈F 〉 =1

Z

∫dMF [M ]e−N

2S[M ] (3.21)

Z =

∫dMe−N

2S[M ] (3.22)

S[M ] =1

NTr(1

2rM2

)+

1

2Tr(MκM

)+

1

NTr(∑n>2

gnMn)

= S0 + Sint, (3.23)

kde:

S0 =1

NTr(1

2rM2

)+

1

2Tr(MκM

)(3.24)

Sint = NTr(∑n>2

gnMn)

(3.25)

Exponenciálu s interak£ným ú£inkom môºeme v integráli (3.22), respektíve (3.21), roz-

vinú´ do Taylorovho radu. Dostávame teda poruchový rad:

Z =∑n

∫dMe−N

2S0[M ] 1

n!(−1)n(N2Sint)

n (3.26)

Hermitovskú maticu M môºeme rozloºi´ do matíc Tlm zavedených v prvej kapitole:

M =∑l,m

clmTlm (3.27)

a túto substitúciu pouºijeme v integráloch (3.22), (3.21). Integra£ná miera teda prejde

na:

dM = J∏l,m

dclm ≡ Jdc, (3.28)

26

kde jakobián zámeny J je rovný iba sú£inami prvkov matíc Tlm, teda je to kon²tanta,

ktorú ¤alej nebudeme uvaºova´, ke¤ºe sa aj tak pri rátaní stredných hodnôt vykráti.

Integál (3.22) teda prejde na:

Z =∑n

∫dc e−N

2S0(c)] 1

n!(−1)n(N2Sint(c))

n =

=∑n

1

n!

∫dc(−1)n(N2Sint(c))

n e−[ 12Nr

∑l,m

∑l′,m′ clmcl′m′Tr(TlmTl′m′ )]×

× e−[ 12N2

∑l,m

∑l′,m′ clmcl′m′Tr(TlmκTl′m′ )]. (3.29)

A ke¤ºe pre matice Tlm platia vz´ahy:

κTlm = l(l + 1)Tlm, (3.30)

Tr(TlmTl′m′) = δll′δmm′ , (3.31)

dostávame:

Z =∑n

1

n!

∫dc(−1)n(N2Sint(c))

n e−[ 12Nr

∑l,m

∑l′,m′ clmδll′δmm′cl′m′ ]×

× e−[ 12N2

∑l,m

∑l′,m′ clml(l+1)δll′δmm′cl′m′ ]

Z =∑n

1

n!

∫dc(−1)n(N2Sint(c))

n e−[ 12

∑l,m

∑l′,m′ clmAlm,l′m′cl′m′ ], (3.32)

kde:

Alm,l′m′ = [Nr +N2l(l + 1)]δll′δmm′ . (3.33)

Z nasledovného integrálu:

Z0(b) =

∫dc e[− 1

2

∑l,m

∑l′,m′ clmAlm,l′m′cl′m′+

∑l,mBlmclm], (3.34)

potom vieme dosta´ v²etky nasledovné stredné hodnoty sú£inov 〈cl1m1 .cl2m2 . . . . .cl2km2k〉0.

Stredná hodnota sú£inu nepárneho po£tu c je nulová, pre párny po£et:

〈cl1m1 .cl2m2 . . . cl2km2k〉0 =

1

Z

∫dc(cl1m1 .cl2m2 . . . cl2km2k

)e−12

∑l,m

∑l′,m′ clmAlm,l′m′cl′m′ ) =

=∏i

∂

∂blimiZ0(b)

∣∣b=0

=∏i

∂

∂blimi(Z0(0)e

− 12

∑l,m

∑l′,m′ blmA

−1lm,l′m′bl′m′

∣∣b=0

=

=∑

cez v²etkyrozli£né

párovaniaP

A−1lP (1)mP (1),lP (2)mP (2)

A−1lP (3)mP (3),lP (4)mP (4)

. . . A−1lP (2k−1)mP (2k−1),lP (2k)mP (2k)

,

(3.35)

27

kde:

A−1lm,l′m′ =

1

Nr +N2l(l + 1)δll′δmm′ . (3.36)

Vyuºijúc, ºe pre polariza£né tenzory Tlm platí:∑m

(Tlm)ik(Tl′m)nj =2l + 1

N2δll′δijδkn, (3.37)

potom pre stredné hodnoty sú£inov prvkov matice 〈MijMkl〉0 dostávame:

〈MikMnj〉0 =∑l1,m1

∑l2,m2

〈cl1m1 .cl2m2〉0(Tl1m1)ik(Tl2m2)nj =

=∑l1,m1

∑l2,m2

A−1l1m1,l2m2

(Tl1m1)ik(Tl2m2)nj =

=∑l1,m1

∑l2,m2

1

Nr +N2l1(l1 + 1)δl1l2δm1m2(Tl1m1)ik(Tl2m2)nj =

=∑l1

1

Nr +N2l1(l1 + 1)

∑m1

(Tl1m1)ik(Tl1m1)nj =

=∑l1

2l + 1

N2(Nr +N2l1(l1 + 1))δijδkn (3.38)

a strednú hodnotu sú£inu rôzneho párneho po£tu prvkov dostaneme rovnako ako v

prípade clm Wickovou vetou.

Pre celkové stredné hodnoty 〈MijMkl . . .〉 potom dostávame poruchový rozvoj:

〈MikMnj . . .〉 =∑l1,m1

∑l2,m2

. . .1

Z

∑n

∫dc(cl1m1 .cl2m2 . . . )×

× e−N2S0(c)] 1

n!(−1)n(N2Sint(c))

n(Tl1m1)ik(Tl2m2)nj, (3.39)

ktorý môºeme gra�cky reprezentova´ pomocou tu£ných Feynmanových diagramov s

propagátorom:

= 〈MikMnj〉0 =N−1∑l1=1

2l1 + 1

N2(Nr +N2l1(l1 + 1))δijδkn, (3.40)

kde ²ípka ide vºdy od pravých indexov matíc k ©avým.

Dôleºitým postrehom je, ºe v limite ve©kého N prispievajú iba rovinné feynmanove

diagramy. Vezmime si ako príklad diagramy na obrázku (obr.3.1), ktoré tvoria príspevok

v prvom ráde strednej hodnoty 〈MikMnj〉. V²etky diagramy v rovnakom ráde majú aj

rovnaký po£et vertexov. Rovinné diagramy v²ak majú vºdy najvä£í po£et uzavretých

28

Obr. 3.1: Diagramy v prvom ráde 〈MikMnj〉. Obrázok a) zobrazuje rovinný diagram, obrázok

b) priestorový diagram.

slu£iek. Za kaºdú uzavretú slu£ku dostaneme vo faktore za diagram navy²e jedno N ,

kvôli kontrakcii δ. Takºe v limite ve©kého N v kaºdom ráde dominujú práve rovinné

diagramy.

3.3.2 Vo©ná teória

Pozrime sa teraz na rie²enie maticového modelu zodpovedajúcemu vo©nej skalárnej

teórii na nekomutatívnej sfére v limite ve©kého N . Máme teda maticový model zadaný

ú£inkom:

S(M) =1

2NrTr(M2) +

1

2(MκM) (3.41)

a pokusíme sa nás´ momenty rozdelenia vlastných hodnôt v limite ve©kého N . Zau-

jímajú nás teda stredné hodnoty 〈Tr(M2m)〉, pri£om vzh©adom na symetriu ú£inku

predpokladáme, ºe nepárne momenty rozdelenia budú v tomto prípade nulové. Ke¤ºe

uvaºujeme teóriu, kde Sint = 0, tieto stredné hodnoty sú rovno 〈Tr(M2m)〉0 z predchá-

dzajúceho paragrafu. Zrátame ich teda pomocou Wickovej vety.

29

Rozpí²me si 〈Tr(M2m)〉 nasledovne:

〈(M (2m−2−p′))ilMlr(Mp′)rjMji〉.

Zkontrahujme teraz druhý a posledný £len v predchádzajúcom sú£ine:

〈(M (2m−2−p′))ilMlr(Mp)rjMji〉.

V predcházajúcom paragrafe sme videli, ºe v limite ve©kého N prispievajú iba rovinné

diagramy. To znamená, ºe nemamé ºiadnu kontrakciu medzi maticou z prvého £lenu a

maticou z tretieho £lenu sú£inu. Dostávame teda:

〈(M (2m−2−p′))ilMlr(Mp′)rjMji〉 =

f

N〈Tr(Mp′)〉〈Tr(M2m−2−p′)〉, (3.42)

kde f je dané (3.40):

f =N−1∑l=1

2l + 1

N(Nr +N2l(l + 1)). (3.43)

Strednú hodnotu 〈Tr(M2m)〉 dostaneme sú£tom cez v²etky moºné kontrakcie, to zna-

mená sú£tom cez v²etky moºné hodnoty p′ v predchádzajúcom výraze. Máme teda:

〈Tr(M2m)〉 =2m−2∑p′=0

f

N〈Tr(Mp′)〉〈Tr(M2m−2−p′)〉 =

m−1∑p=0

f

N〈Tr(Mp)〉〈Tr(M2(m−1−p)〉,

(3.44)

kde p = 2p′. Pre zjednodu²enie výpo£tov pre²kálujme teraz maticu M : M → M2√f.

Momenty rozdelenia cE2m potom prejdu na:

cE2m =1

N

⟨Tr(

M

2√f〉

)2m⟩(3.45)

a vz´ah (3.44) moºeme prepísa´ nasledovne:

4cE2m =m−1∑p=0

cE2pcE2(m−1−p), m > 1. (3.46)

Dostali sme teda rekurzný vz´ah pre momenty cE2m s po£iato£nou podmienkou cE0 = Tr(I)N

,

v ktorom môºeme spozna´ rekurentný vz´ah pre pre²kálované Catalanove £ísla Cn = (2n)!n!(n+1)!

.

Momenty Wignerovho rozdelenia (2.25) sú dané práve pre²kálovanými Catalanovými

£íslami, takºe uº tu môºeme vidie´, ºe pridaním kinetického ú£inku nezmeníme tvar

výsledného extremálneho rozdelenia vlastných hodnôt, iba ho ur£itým spôsobom pre-

²kálujeme.

30

Pokra£ujme v²ak ¤alej. Zave¤me generujúcu funkciu momentov:

φ(t) =∞∑m=0

t2mcE2m. (3.47)

Prenásobením rekurzného vz´ahu (3.46) výrazom t2m a presumovaním cez index m

dostávame rovnicu pre φ(t):

4∞∑m=1

t2mcE2m = t2∞∑m=1

m−1∑p=0

t2pcE2pt2(m−1−p)cE2(m−1−p),

4∞∑m=0

t2mcE2m − 4 = t2∞∑s=0

s∑p=0

t2pcE2pt2(s−p)cE2(s−p),

4(φ(t)− 1) = t2φ2(t). (3.48)

Dostali sme teda kvadratickú rovnicu, ktorej rie²enie je:

φ(t) = 21−√

1− t2t2

, (3.49)

kde sme vybrali rie²enie so správnou limitou φ(t)→ 0 pri t→ 0.

Ke¤ si teraz spomenieme na de�níciu funkcie ω(z) z druhej kapitoly:

ω(z) =

⟨∑i

1

z − λi

⟩=∑m

1

z

⟨∑i

λmi1

zm

⟩=

1

z

∑m

〈Tr(Mm)〉 1

zm=∑m

1

z

cE2mz2m

(3.50)

vidíme, ºe:

ω(z) =1

zφ(1/z). (3.51)

Z Cauchyho identity (2.6) dostávame:

ρ(λ) =1

2π

√1− λ2 (3.52)

a po spätnom pre²kálovaní modelu:

ρ(λ) =1

2π

1

R2

√R2 − λ2, (3.53)

kde polomer rozdelenia R = 2√f . A teda, ako sme spomínali, dostávame znovu Wig-

nerovo polkruhové rozdelenie ako v prípade maticového modelu bez kinetického £lenu

v ú£inku, av²ak z odli²ným polomerom R. Zrátajme e²te faktor f v limite ve©kého N :

f =1

N

N−1∑l=1

2l + 1

Nr +N2l(l + 1). (3.54)

31

Zave¤me faktor x:

l = Nx,

potom v limite ve©kého N dostávame:

f =

∫ 1

0

dx2Nx

N4x2 +Nr=

1

N3log

(1 +

N3

r

)(3.55)

a polomer rozdelenia vlastných hodnôt R bude rovný:

R2 =4

N3log

(1 +

N3

r

). (3.56)

Vidíme, ºe aby sme dostali kone£né rozdelenie v limite ve©kého N , musíme pre²kálova´

parameter r → rN3 a maticuM →M− 32 . Toto ²kálovanie je uº, tak ako sme o£akávali,

jednozna£né.

Dostali sme teda Wignerovo polkruhové rozdelenie vlastných hodnôt (3.53) s polo-

merom:

R2 = 4 log

(1 +

1

r

). (3.57)

Porovnajme teraz toto rozdelenie s rozdelením (2.25), ktoré sme dostali, ke¤ sme ne-

uvaºovali kinetický £len v ú£inku. Polomer tohto rozdelenia bol daný vz´ahom:

R2 =4

r. (3.58)

Ke¤ rozvinieme nový polomer (3.57), ktorý sme dostali:

R2 = 4 log

(1 +

1

r

)≈ 4

r− 2

r2+ . . . (3.59)

vidíme, ºe tento nový polomer je men²í oproti polomeru rozdelenia bez kinetického

£lenu v ú£inku. Kinetický £len teda zavádza ur£itú prí´aºlivú silu medzi vlastnými

hodnotami. Na obrázku (3.2) je zobrazené rozdelenie vlastných hodnôt pre maticový

model s kinetickým £lenom aj bez tohto £lenu pre hodnotu parametra r = 1.

3.3.3 V²eobecný potenciál

V úvode kapitoly sme spomínali metódu, ktorou dokáºeme £as´ efektívneho ú£inku Seff ,

(3.2) zachyti´ analyticky. K©ú£ovou my²lienkou, ktorú táto metóda vyuºíva je práve

fakt, ºe v prípade vo©nej teórie zavedenie kinetického £lenu do ú£inku nezmení tvar

rozdelenia vlastných hodnôt, ale ho len pre²káluje ako sme videli v predchádzajúcom

paragrafe.

32

Obr. 3.2: Modrou farbou je zobrazené rozdelenie vlastných hodnôt pre maticový model bez

kineetického £lenu, zelenou pre model s kinetickým £lenom. Parameter v ú£inku je v oboch

prípadoch r = 1.

Efektívny ú£inok závisí uº iba od vlastných hodnôt matice, môºeme ho teda pí-

sa´ ako funkciu momentov cn = 1NTrMn. Ke¤ teraz zavedieme transla£ne invariantné

momenty:

tn =1

NTr(M − 1

NTr(M)

)n, (3.60)

efektívny ú£inok môºeme chápa´ ako funkciu týchto transla£ne invariantných momen-

tov. Ke¤ºe samotný efektívny ú£inok je transla£ne invariantný, o£akávame, ºe jeho

vyjadrenie pomocou momentov tn bude ma´ jednoduch²iu ²truktúru, ako vyjadrenie

cez cn (£o môºeme vidie´ aj v prípade multistopového rozvoja ú£inku Seff (3.5)).

Rozde©me efektívny ú£inok formálne na dve £asti:

Seff =1

2F (t2) +R, (3.61)

kde F (t2) je funkcia druhého momentu t2, ktorú ur£íme v limite ve©kého N analyticky

a zvy²ok R je funkcia momentov tn, o ktorej nám spomínaná metóda ni£ nepovie.

H©adaním extrému celkového ú£inku S v prípade vo©nej teórie:

S =1

N

∑i

1

2rλ2

i −2

N2

∑i 6=j

log |λi − λj|+ Seff (λ) (3.62)

33

dostaneme rovnicu:(r + F ′(tE2 )

)λEi +

∑m

∂R∂tm

∂tm∂λi

∣∣∣∣λi=λEi

=2

N

∑j 6=i

1

λEi − λEj(3.63)

Rie²ením (3.63) musí by´ Wignerovo polkruhové rozdelenie, ktoré sme dostali predchá-

dzajúcom paragrafe. Funkcia F (t2) pre²káluje polomer rozdelenia a výraz:

∂R∂tm

musí by´ v prípade vo©nej teórie nulový pre kaºdé m. Ke¤ºe v prípade vo©nej teórie

sú v²etky nepárne momenty c2m+1 nulové, tým pádom sú nulové aj t2m+1 a pre párne

momenty platí t2m = c2m. Pre momenty rozdelenia c2m platí v prípade vo©nej teórie

rekurzný vz´ah (3.46), v ktorom, ako sme spomínali, môºeme spozna´ pre²kálované

Catalanové £ísla:

Cn =(2n)!

n!(n+ 1)!. (3.64)

Dá sa ukáza´, ºe pre Catlanové £ísla platí rekurzný vz´ah:

Cn+1 =n∑i=0

CiCn−i, C0 = 1. (3.65)

Momenty rozdelenia c2m potom musia by´ rovné:

c2m = fmCm = cm2 Cm. (3.66)

Funkciu R teda musia tvori´ £leny, ktoré obsahujú minimálne dva medzi sebou vyná-

sobené výrazy, ktoré v prípade vo©nej teórie v limite ve©kého N zanikajú, teda výrazy

typu (c2m − Cmcm2 ), respektíve (t2m − Cmtm2 ) alebo nepárne momenty t2m+1.

Nový polomer rozdelenia dostaneme postupom uvedeným v £asti (3.2):

R2 =4

r + F ′(tE2 ). (3.67)

Druhý moment rozdelenia je daný:

tE2 =R2

4=

1

r + F ′(tE2 )(3.68)

a teda:

F ′(t2) =1

t2− r. (3.69)

Vyuºijúc fakt, ºe:

t2 = f = log(1 +

1

r

), (3.70)

34

dostávame nasledovnú rovnicu pre funkciu F (t2):

F ′(t2) =1

t2− 1

et2 − 1(3.71)

a po zintegrovaní predchádzajúcej rovnice získame:

F (t2) = log( t2

1− e−t2), (3.72)

£o ke¤ rozvinieme do Taylorovho radu dostaneme:

F (t2) =1

2t2 −

1

24t22 +

1

2880t42 + . . . (3.73)

v zhode s mulitstopovým rozvojom (3.5). Vidíme tieº, ºe ostatné £leny v multistopovom

rozvoju sú presne takého typu, akého musia by´ £leny v R.

3.4 Fázový priestor symetrickej kvartickej skalárnej

teórie

V druhej kapitole sme opísali fázový priestor maticového modelu s kvartickým poten-

ciálom bez kinetického £lenu v ú£inku, (2.3). V tejto £asti nás bude zaujíma´ najmä

ako sa zmení krivka fázoveho prechodu medzi rozdelením, ktorého support je tvorený

jedným symetrickým intervalom a rie²ením so supportom tvoreným dvomi rezmi, ke¤

uvaºujeme aj kinetický £len v ú£inku. Pre úplnos´ v²ak uvedieme ako sa zmení celková

²truktúra fázového diagramu teórie. Ke¤ºe v predchádzajúcich £astiach tejto kapitoly

sme zistili, ºe kinetický £len zavádza prí´aºlivú silu medzi vlastnými hodnotami λi, ne-

prekvapí nás, ak pre nejaké paramatre r, g dostaneme asymetrické jednorezové rie²enie.

Takéto rie²enie zodpovedá, ak si vlastné hodnoty predstavíme ako £astice vo vonkaj²om

potenciály V (λi) s interakciou medzi nimi danou zvy²nými £lenmi v ú£inku tomu, ºe

v²etky vlastné hodnoty sedia v jednom z dvoch miním potenciálu V (λi). Celá táto £as´

vychádza z [1].

3.4.1 Maticový model s efektívnym ú£inkom aproximovaným

funkciou druhého momentu F (t2)

Uvaºujme najprv maticový model s efektívnym ú£inkom Seff daným iba funkciu dru-

hého momentu F (t2), (3.69). Ke¤ºe nás zaujíma najmä zmena krivky fázového pre-

35

chodu medzi dvoma rozdielnymi symetrickými fázami, h©adajme najpv symetrické rie-

²enie s jednointervalovým supportom. Pre takéto rie²enie musí plati´, ºe transla£ne

invariantný moment t2 je rovný ²tandartne de�novanému momentu c2. Máme teda

maticový model zadaný ú£inkom:

S =1

2F (c2) +

[1

N

∑i

1

2rλ2

i +1

N

∑i

gλ4i −

2

N2

∑i 6=j

log |λi − λj|]. (3.74)

Takýto model môºeme rie²i´ postupom uvedenom v £asti (3.2) o rie²ení multistopových

modelov. Dostávame teda rozdelenie dané (2.36), kde namiesto parametra r dosadíme

efektívny parameter:

reff = r + F ′(c2). (3.75)

Druhý moment rozdelenia vychádza pre kvartickú teóriu:

cE2 =

∫ √δ−√δ

dλλ2ρ(λ) =δ

4+δ3g

16, (3.76)

s polomerom rozdelenia√δ daným vz´ahom (2.30) s efektívnym parametrom reff na-

miesto r. Systém rovníc (3.75), (3.76) nedokáºeme vyrie²i´ analyticky, nás v²ak zaujíma

najmä fázový prechod medzi týmto rie²ením a rie²ením s dvojintervalovým supportom,

ktorý je daný pod©a (2.32) daný:

reff = −4√g. (3.77)

Pre moment rozdelenia c2 dostávame v takomto prípade jednoduché vyjadrenie:

c2 =1√g

(3.78)

a teda pre fázový prechod máme:

r + F ′( 1√g

)= −4

√g,

r(g) = −5√g − 1

1− e1√g

. (3.79)

Rozvoj funkcie F (t2) v momentoch t2 je v prípade fázového prechodu rozvoj v 1√g.

Takýto rozvoj je asymptotický v okolí g = 0, iba z prvých £lenov rozvoja preto okolo

po£iatku nedostaneme spo©ahlivú krivku fázového prechodu. Obrázok (obr. 3.3) zobra-

zuje na porovnanie fázový prechod maticového modelu bez kinetického £lenu (2.32),

36

modelu s uvaºovanou aproximáciou kinetického £lenu (3.79) a modelu s rozvojom fun-

kcie F (t2) v t2 do ôsmeho rádu:

F (c2) ≈ c2

2− c2

2

24+

c42

2280− c6

2

181440+

c82

9676800+ . . .

r = −4√g − 1

2+

1

12√g− 1

720g32

+1

30240g52

− 1

1209600g72

(3.80)

Obr. 3.3: Fialovou farbou je zobrazený fázový prechod modelu bez kinetického £lenu (2.32),

modrou farbou fázový prechod uvaºovaného modelu s efektívnym ú£inkom aproximovaným fun-

kciou F (c2) (3.79) a hnedou farbou fázový prechod modelu s efektívnym ú£inkom aproximova-

ným rozvojom F (c2) do ôsmeho rádu (3.80).

Mimo krivky fázového prechodu nie sme schopný vyrie²i´ model analyticky. Nu-

merickým rie²ením rovníc analogických k (3.75), (3.76) v prípade úplnej nesymetrickej

funcie F (t2) = F (c2 − c21) a pre príslu²né momenty dvojintervalovho, prípadne asymet-

rického jednointervalovho rozdelenia, sa ale ukázalo [1], ºe uvaºovaný model (3.74) má

aj stabilné asymetrické jedno£asticové rie²enie a toto rie²enie má niº²iu vo©nú energiu

ako symetrické dvoj£asticové rie²enie pre v²etky parametre r, g, pre ktoré je moºné. Fá-

zový diagram teda obsahuje tri fázy a krivky fázových prechodov sa stretajú v trojnom

bode, ktorý bol v uvedenom £lánku ur£ený:

gc ≈ 0, 02 rc ≈ −0, 7. (3.81)

Takýto fázový diagram je v kvalitatívnej zhode s diagramami, ktoré sa dostali nume-

rickými prístupmi k rie²eniu skalárnej teórii po©a v [6], [7], ktoré v²ak ur£ili trojný bod

37

v [6]:

gc = 0, 13± 0, 005 rc = −2, 3± 0, 2 (3.82)

a v [7]:

gc = 0, 145± 0, 025 rc = −2, 49± 0, 07. (3.83)

3.4.2 Maticový model s efektívnym ú£inkom aproximovaným

známymi £lenmi multistopového rozvoja

Majme maticový model zadaný ú£inkom:

S =1

2F (t2)− 1

432t23−

1

3456(t4−2t22)2 +

[1

N

∑i

1

2rλ2

i +1

N

∑i

gλ4i −

2

N2

∑i 6=j

log |λi−λj|]

(3.84)

a teda efektívny ú£inok Seff aproximujeme v²etkými známymi £lenmi jeho multistopo-

vého rozvoja. Znovu nás bude zaujíma´ najmä zmena krivky fázového prechodu medzi

symetrickými fázami a teda nám sta£í uvaºova´ ú£inok v tvare:

S =1

2F (c2)− 1

3456(c4−2c2

2)2+

[1

N

∑i

1

2rλ2

i +1

N

∑i

gλ4i−

2

N2

∑i 6=j

log |λi−λj|]. (3.85)

Aj v tomto prípade budeme postupova´ pod©a paragrafu 3.2, máme teda efektívne

parametre:

reff = r + F ′(c2) +1

216c2(c4 − 2c2

2), geff = g − 1

1728(c4 − 2c2

2). (3.86)

A pre momenty pre symetrické jednointervalové rozdelenie dostáveme:

c2 =δ

4+δ3g

16, (3.87)

c4 =δ2

8+

3δ4g

64. (3.88)

Spolu so vz´ahom reff = −4√g z (3.86) aº (3.88) získame kritickú krivku:

r(g) = − 1

1− e4√3√

24g+√

1+576g2

+2

√3(24g +

√1 + 576g2

) 32

−5√

24g +√

1 + 576g2

4√

3.

(3.89)

Zrátajme e²te fázový prechod v prípade, ke¤ funkciu F (t2) v efektívnom ú£inku

rozvinieme do ²tvrtého rádu. V takomto prípade dostaneme konzistentný poruchový

rozvoj v parametri ε zavedenom v (3.5). Funkciu F (t2) teda aproximujeme:

F (t2) ≈ t22− t22

24+

t422280

(3.90)

38

a z (3.86) aº (3.88), spolu s reff = −4√g v takomto prípade dostaneme:

r(g) = −4√g − 1

2+

1

12√g

+7

5760g32

+29.

1935360g52

(3.91)

Krivky (3.89), (3.91) sú zobrazené na obrázku (obr. 3.4), spolu s kritickou kriv-

kou, ktorú sme dostali v predchádzajúcom paragrafe (3.79) a s kritickou krivkou pre

maticový model bez kinetického £lenu (2.32). Vidíme, ºe v oboch prípadoch, aj ke¤

Obr. 3.4: Hnedou farbou je zobrazený fázový prechod modelu bez kinetického £lenu (2.32),

modrou farbou fázový prechod uvaºovaného modelu s efektívnym ú£inkom aproximovaným

známymi £lenmi multistopového rozvoja (3.89), zelenou farbou model s efektívnym ú£inkom

aproximovaným multistopovým rozvojom konzistentne do ²tvrtého rádu a �alovou farbou fá-

zový prechod modelu s efektívnym ú£inkom aproximovaným funkciou druhého momentu F (t2)

(3.79).

uvaºujeme F (t2) poruchovo a aj ke¤ analyticky, krivka fázového prechodu, ktorú sme

dostali, neprechádza po£iatkom, tak ako to o£akávame od skuto£nej úplnej kritickej

krivky uvaºovanej skalárnej teórie, ke¤ºe z analytického rie²enia v £asti 3.3.2 vidíme,

ºe pre parameter g = 0 a r ≤ 0 nemáme stabilné rie²enie (pre r → 0 polomer rozdele-

nia R (3.57) diverguje). To nazna£uje, ºe multistopový rozvoj efektívneho ú£inku Seff ,

aj ke¤ zoberieme £as´ F (t2) analyticky, nie je dobrým nástrojom na skúmanie fázovej

²truktúry skalárnej teórie po©a.

Mimo krivky fázového prechodu medzi dvoma symetrickými fázami nie sme znovu

schopný postupova´ analyticky a v prípade úplného nesymetrického ú£inku (3.84) a

39

dvojintervalovho, respektíve asymetrického rie²enia dostávame príli² komplikované rov-

nice aj pre numerický prístup. Model s úplným ú£inkom sa v²ak dá analyzova´ poru-

chovo:

Seff ≈ εA1(c2 − c12) + ε2A2(c2 − c21)2 + ε3A3(c3 − 3c1c2 + 2c3

1)2+

+ε4[A4(c2 − c2

1)4 +B4

[c4 − 4c3c1 + 6c2c

21 − 3c4

1)− 2(c2 − c21)2]]

(3.92)

a krivka fázového prechodu medzi dvojintervalovým a asymetrickým rie²ením sa potom

nájde z takéhoto modelu poruchovo do ²tvrtého rádu v ε a na záver sa poloºí ε = 1. V

[1] túto krivku ur£ili:

r(g) = −2√

15√g − 2

5− 19

18000√

15√g

+29

1125000g− 7886183

4374000000000√

15g32

. (3.93)

Ke¤ teraz zobrazíme kritické krivky (3.89), (3.91) a (3.93), (obr. 3.5), vidíme, ºe takýto

poruchový model nemá trojný bod. Z výsledkov tohto paragrafu vyplýva, ºe ²truktúra

Obr. 3.5: Modrou farbou je zobrazený neporuchová krivka fázového prechodu medzi symetric-

kými fázami (3.89), �alovou farbou poruchová krivka toho fázového prechodu (3.91) a hnedou

farbou fázový prechod medzi symetrikým dvojintervalovým a asymetrickým rozdelením (3.93).

fázového diagramu je ve©mi citlivá na £leny multistopovho rozvoja a bez poznania

celého tohto rozvoja do v²etkých rádov toho o fázovom priestore kvartickej skalárnej

teórii na nekomutatívnej sfére nevieme ve©a poveda´. Videli sme, ºe neporuchový model

s efektívnym ú£inkom aproximovaným funkciou druhých momentov F (t2) kvalitatívne

40

zreprodukoval numerické výsledky, narozdiel od poruchového modelu. Neúplný multis-

topový rozvoj teda nie je dobrým nástrojom na analýzu fázového priestoru spomínanej

skalárnej teórie a jej zodpovedajúceho maticového modelu a môºe by´ úºito£né h©ada´

iné spôsoby neporuchovej aproximácie kinetického £lenu v ú£inku.

41

Kapitola 4

Aproximácia efektívneho ú£inku

párovou interakciou vlastných hodnôt

V tejto kapitole aproximujeme efektívny ú£inok Seff , de�novaný v (3.2), párovou inte-

rakciou vlastných hodnôt, teda funkciou typu:

Seff ≈∑i

∑j

f̃(λi, λj) (4.1)

a maticový model, ktorý dostaneme sa pokúsime rie²i´ v limite ve©kého N metódou

sedlového bodu, pri£om nás bude zaujíma´ najmä krivka fázového prechodu medzi

dvoma symetrickými fázami kvartického modelu.

4.1 Párová aproximácia efektívneho ú£inku

H©adáme teda funkciu f̃(λi, λj) tak, aby rozvoj tejto funkcie v λi, λj sedel s príslu²nými

£lenmi v multistopovom rozvoji efektívneho ú£inku (3.5). Na²a aproximácia efektívneho

ú£inku obsahuje iba dve stopy, to znamená, ºe pokrýva iba také £leny multistopového

rozvoja, ktoré obsahujú sú£in najviac dvoch momentov cn. �as´ multistopového roz-

voja, ktorá nás teda zaujíma je:

Seff ≈1

4c2 −

1

4c2

1 −1

48c2

2 −1

432c2

3 −1

3456c2

4. (4.2)

Ke¤ºe vidíme, ºe takýto rozvoj obsahuje iba druhé mocniny momentov a prvú mocninu

druhého momentu c2, skúsme funkciu f̃(λi, λj) h©ada´ v tvare:

f̃(λi, λj) =1

N2

1

4c2 +

1

N2f(λi, λj). (4.3)

42

Ke¤ºe efektívny ú£inok je de�novaný:

e−Seff =

∫dUe−Skin = f0(Λ) = elog(f0(Λ)), (4.4)

prirodzene o£akávame, ºe vo funkcii, ktorou aproximujeme ú£inok, by sa mohol vyskyt-

nú´ nejaký logaritmus. Skúsme teda funkciu f(λi, λj) h©ada´ v tvare:

f(λi, λj) = a log(1− bλiλj). (4.5)

Rozvojom f dostaneme:

f(λiλj) = −abλiλj −ab2

2λ2iλ

2j −

ab3

3λ3iλ

3j −

ab4

4λ4iλ

4j − . . .

a rozvoj takto aproximovaného ú£inku Seff bude teda tvaru:

Seff =1

4c2 − abc2

1 −ab2

2c2

2 −ab3

3c2

3 −ab4

4c2

4 − . . . (4.6)

Ke¤ teraz porovnáme koe�cienty pri c21, c

22 v rozvoji (4.6) s rozvojom (4.2) dosta-

neme:

ab =1

4,

ab2

2=

1

48,

a =6

4, b =

1

6. (4.7)

S prekvapením zis´ujeme, ºe s takto ur£enými parametrami a, b sedia aj zvy²né dva

koe�cienty rozvoja pri c23 a c2

4:

ab3

3=

1

3

6

4

1

63=

1

432,

ab4

4=

1

4

6

4

1

64=

1

3456.

To znamená, ºe len pomocou dvoch parametrov vo funkcii f sme dostali správne v²etky

²tyri koe�cienty v multistopovom rozvoji. Ak by takto ur£ená funkcia f dávala sku-

to£nú párovú £as´ efektívneho ú£inku, dostávame z nej aj ¤al²ie, doposia© neznáme,

koe�cienty v multistopovom rozvoji efektívneho ú£inku a to koe�cienty stojace pri

£lenoch typu (t2n − Cntn2 )2.

Aproximujme teda ú£inok Seff funkciou:

Seff =1

4c2 +

1

N2

∑i,j

6

4log

(1− λiλj

6

). (4.8)

43

Vidíme, ºe takáto aproximácia má dobrý zmysel jedine pre dostato£ne úzke rozdelenia,

kde:

−√

6 < λi <√

6, (4.9)

kedy argument logaritmu nebude nadobúda´ záporné hodnoty. Ke¤ sa pozrieme na

vz´ah pre polomer rozdelenia v prípade kvartickej teórie bez kinetického £lenu v ú£inku

(2.30) a pre predstavu v akej £asti fázového diagramu je takáto aproximácia pouºite©ná

budeme povaºadova´ δ <√

6 dostaneme:

1

6g(√r2 + 48g − r) <

√6,

g >2

9−√

6

18r. (4.10)

Ke¤ºe kinetický £len v ú£inku zavádza prí´aºlivú silu medzi vlastnými hodnotami,

o£akávame, ºe aj v na²om aproximovanom modeli bude polomer rozdelenia men²í ako

v prípade modelu baz tohto £lena. Výraz pre efektívny ú£inok tak bude ma´ rozumný

zmysel v trochu v䣲ej oblati ako nad krivkou (4.10). Táto krivka je spolu s krivkou

fázového prechodu modelu bez kinetického £lena, pre predstavu, zobrazená na obrázku

(obr. 4.1).

Obr. 4.1: Modrou farbou je zobrazený fázový prechod modelu bez kinetického £lenu (2.32),

�alovou farbou, nad ktorou má dobrý zmysel funkcia, ktorou aproximujeme efektívny ú£inok

Seff (4.10).

Ke¤ si e²te pripomenieme, ako vy²li trojné body kvartickej teórie v numerických

44

simuláciách [6], [7]:

gc = 0.13± 0.005 rc = −2.3± 0.2,

gc = 0.145± 0.025 rc = −2.49± 0.07 (4.11)

a v prípade numerického rie²enia rovníc, ktoré sa dostanú metódou sedlového bodu pre

model s efektívnym ú£inkom aproximovaným funkciou druhých momentov F (t2) v [1]:

gc ≈ 0.02 rc ≈ −0.73, (4.12)

vidíme, ºe tieto body leºia mimo uvaºovanej oblasti, av²ak nie ve©mi ¤aleko.

Máme teda celkový ú£inok S tvaru:

S =1

N

∑i

V (λi)−1

N2

∑i 6=j

log |λi−λj|+1

N

1

4

∑i

λ2i +

1

N2

∑i,j

6

4log(1− λiλj

6). (4.13)

Pre zjednodu²enie nasledujúcich výpo£tov e²te pre²kálujme model nasledovne:

λi →√

6λi. (4.14)

Takéto ²kálovanie posúva ú£inok o kon²tanru 2 log(√

6). Jedna polovica tejto kon²tanty

pochádza zo ²kálovania logaritmického £lenu v ú£inku a druhá polovica z pre²kálovania

integra£nej miery:

dλ→√

6dλ, (4.15)

kde rovnako ako v prvej kapitole, jakobián vyhodíme do exponenty.

Ú£inok S (4.13) potom prejde na:

S =1

N

∑i

V (λi)−1

N2

∑i 6=j

log |λi− λj|+1

N

3

2

∑i

λ2i +

1

N2

∑i,j

3

2log(1− λiλj), (4.16)

kde parametre v potenciály V (λi):

V (λi) =1

2rλ2

i +∑n>2

gnλn, (4.17)

pre²li na:

r → r

6, (4.18)

gn →gn

6n2

. (4.19)

45

H©adaním extrému tohto ú£inku dostaneme rovnicu:

∂S

∂λi= 0,

V ′(λi) + 3λi =1

N

(∑j 6=i

2

λi − λj+

3

2

∑j

λj1− λiλj

). (4.20)

Zahr¬me druhý £len na ©avej strane do derivácie potenciálu V ′(λi). Namiesto para-

metra r teda budeme písa´ r̃ = r + 3. Prepí²me e²te posledný £len na pravej strane v

predchádzajúcej extremálnej rovnici v prípade λj 6= 0 nasledovne:

λj1− λiλj

=1

1λj− λi

. (4.21)

Vidíme, ºe efektívny £len zavádza medzi silu 2D Coulombovkého typu, akurát, ºe v

tomto prípade nemáme odpudzovanie medzi vlastnými hodnotami, ale prí´aºlivú silu

medzi jednou vlastnou hodnotou λi a inverznou hodnotou druhej vlastnej hodnoty 1λj.

Výraz pre efektívny ú£inok má teda dobrý zmysel len vtedy, ke¤ sa intervaly, v kto-

rých sa nachádzajú vlastné hodnoty neprekrývajú s intervalmi, v ktorých sa nachádzajú

ich inverzné hodnoty. V²imnime si e²te, ºe logaritmická £as´ efektívneho ú£inku bude

rozdelenie roz´ahova´, efektívne tak bude pôsobi´ ako odpudivá sila medzi vlastnými

hodnotami, výslednú prí´aºlivú silu kinetického ú£inku teda musí zabezpe£i´ nelogarit-

mický £len 14c2.

4.2 Extremálne rovnice predchádzajúcich maticových

modelov ako Riemann-Hilbertov problém

V predchádzajúcej £asti sme pre extrém ú£inku S, (4.13) dostali rovnicu:

V ′(λEi ) =1

N

(∑j 6=i

2

λEi − λj+

3

2

∑j

λj1− λEi λj

), (4.22)

kde:

V ′(λEi ) =1

2(r + 3)(λEi )2 +

∑n>2

gn(λE)ni . (4.23)

Teraz nás bude zaujíma´ rie²enie tejto rovnice v limite ve©kého N , konkrétne rie²enie

zodpovedajúce symetrickému rozdeleniu vlastných hodnôt ρ(λ) so supportom tvoreným

jedným súvislým intervalom. Z tvaru tohto rie²enia budeme potom schopný ur£i´ fázový

46

prechod medzi dvoma symetrickými fázami kvartického modelu, ke¤ºe tento prechod

musí nasta´ práve pre také parametre kvartického modelu r, g, pre ktoré platí:

ρ(0) = 0. (4.24)

Rovnicu (4.26) v²ak nie sme schopný rie²i´ rovnakým spôsobom ako extremálne

rovnice, ktoré sme dostali pre maticové modely v predchádzajúcich kapitolách, kde

sme zaviedli funkciu ω(z):

ω(z) =∑i

1

z − λEi(4.25)

a úpravou výrazu pre druhú mocninu tejto funkcie sme pre ¬u dostali rovnicu, v ktorej

sme v²etky neznáme parametre ur£ili zo správania ω(z) v limite |z| → ∞, pri konkrét-

nom tvare supportu rozdelenia ρ(λ). Tieto extremálne rovnice sme v²ak schopný rie²i´

e²te iným spôsobom a to ich prevedením na Riemann- Hilbertov problém. Zov²eobecne-

ním tejto cesty potom dokáºeme nájs´ aspo¬ poruchové rie²enie rovnice (4.26) v limite

ve©kého N .

Majme teda najprv extremálnu rovnicu typu:

V ′(λEi ) =1

N

(∑j 6=i

2

λEi − λj

), (4.26)

kde vo V ′ môºu namiesto skuto£ných parametrov maticového modelu r, gn vystupova´

efektívne parametre, ako sme to videli v prípade maticových modelov s multistopovými

£lenmi. Extremálna rovnica (4.26) teda zodpovedá modelom takých typov, aké sme

uvaºovali v predchádzajúcich kapitolách. Pozrime sa teraz na spomínaný druhý spôsob

jej rie²enia, pri£om h©adajme jednointervalové rie²enie so supportom daným intervalom

(a, b).

V limite ve©kého N rovnica (4.26) prejde na:

V ′(x) = 2P.V.∫ b

a

ρ(λ)dλ

x− λ, pre λ ∈ (−a, a), (4.27)

kde P.V. ozna£uje Cauchyho hlavnú hodnotu daného integrálu de�novanú:

P.V.

∫ b

a

ρ(λ)dλ

x− λ= lim

ε→0

∫ x−iε

a

ρ(λ)dλ

x− λ+

∫ b

x+iε

ρ(λ)dλ

x− λ. (4.28)

Uváºením, ºe v limite ve©kého N prejde funkcia ω(z) (4.25) na:

ω(z) =

∫ b

a

ρ(λ)dλ

z − a, (4.29)

47

potom dostávame vz´ah:

ω(x± iε) = P.V.

∫ b

a

ρ(λ)dλ

x− λ∓ πiρ(x). (4.30)

Tento vz´ah sa nazýva Plemejlova formula a platí v²eobecne pre ©ubovo©nú funkciu

de�novanú (4.29), kde ρ(λ) sp¨¬a Hölderovu podmienku na intervale (a, b):

∃C > 0, 0 < α ≤ 1 |ρ(λ)− ρ(λ1)| ≤ C|λ− λ1|α, pre∀λ ∈ (a, b). (4.31)

Rovnicu (4.27) teda môºeme prepísa´ nasledovným spôsobom:

ω(x+ iε) + ω(x− iε) = V ′(x), pre λ ∈ (a, b). (4.32)

Rovnice typu (4.32) sa nazývajú Riemann- Hilbertove problémy a na ich rie²enie exis-

tuje ²tandartná metóda, ktorá sa dá nájs´ napr. v [9] a teraz si ju uvedieme aj tu.

4.2.1 Homogénny Riemann- Hilbertov problém

Pozrime sa najprv na rie²enie homogénneho Riemann- Hilbertovho problému (4.32):

ω(x+ iε) + ω(x− iε) = 0. (4.33)

Ke¤ predchádzajúcu rovnicu trochu upravíme a zlogaritmujeme, dostaneme:

ω(x+ iε)− (−ω(x− iε)) = 0,

logω(x+ iε)− logω(x− iε) = log (−1). (4.34)

Vyuºitím Plemejlovej formuly (4.29), (4.30) potom získame rie²enie v tvare:

ω(z) = Γ(z)F (z), (4.35)

kde:

Γ(z) = e[u(z)], (4.36)

u(z) = − 1

2πi

∫ b

a

Log(−1)dλ

z − λ= −

(1

2+ n

)∫ b

a

dλ

z − λ, (4.37)

kde n závisí od vo©by rezu logaritmu, ako v²ak uvidíme, rie²enie bude nezávislé od

tejto vo©by. F (z) je ©ubovo©ná funkcia, analytická na intervale (−a, a), ke¤ºe o£ividne

48

prenásobením rie²enia analytickou funkciou platnos´ rovnice (4.33) nezmeníme. Z Ple-

mejlovej formuly (4.29), (4.30) dostaneme takisto platnos´ vz´ahu, ktorý vyuºijeme

neskôr:

Γ(x± iε) = exp

[f(x)± iπ

(1

2+ n

)], (4.38)

kde:

f(x) = P.V.

(1

2+ n

)∫ b

a

dλ

λ− x=

(1

2+ n

)log

(b− x−a+ x

). (4.39)

Nás bude zaujíma´ len rie²enie ω(z), ktoré je ohrani£ené v koncových bodoch in-

tervalu (a, b), pretoºe inak by sme nedostali rozdelenie vlastných hodnôt ρ(λ) v týchto

bodoch nulové. Pre ω(z) (4.29) platí:

ω(z) = ρ(b) log1

z − b+ Φb(z) pri z → b, (4.40)

ω(z) = −ρ(−a) log1

z − a+ Φa(z) pri z → a, (4.41)

kde funkcie Φa(z), Φb(z) sú ohrani£ené v z s kone£nou limitou pri z → a, b. Dôkaz tohto

tvrdenia je vcelku obsiaºny a dá sa nájs´ napríklad v [11], tu ho uvádza´ nebudeme.

Vidíme teda, ºe v prípade ρ(a) = 0, ρ(b) = 0 musí by´ funckia ω(z) v koncových bodoch

a, b ohrani£ená. Poºadujeme teda:

ω(z) = O((z − a)k) k > 0 ke¤ z → a (4.42)

a obdobne aj pre hornú hranicu b. Ke¤ºe vz´ahy (4.40), (4.41) platia v²eobecne pre

funkciu de�novanú (4.29) s ρ(λ) ©ubovo©nou funkciou sp¨¬ajúcou Hölderovu podmienku

(4.31), pre funkciu u(z) (4.37) musí plati´:

u(z) = −(

1

2+ n

)log[(z − a)) + ua(z)

]ke¤ z → a, (4.43)

u(z) =

(1

2+ n

)log[(z − b)) + ub(z)

]ke¤ z → b, (4.44)

kde ua(z), ub(z) sú znovu ohrani£ené funkcie s kone£nou limitou pri z → a, b. Pre

funkciu Γ(z) (4.36) potom dostaneme:

Γ(z) = O((z − a)−12−n) ke¤ z → a, (4.45)

Γ(z) = O((z − b)12

+n) ke¤ z → b. (4.46)

Rie²enie homogénneho Riemann- Hilbertovho problému ω(z) môºeme teda vyjadri´ v

tvare:

ω(z) = P (z)X(z), (4.47)

49

kde P (z) je ©ubovo©ný polynóm a X(z) je tvaru:

X(z) = (z − a)n+1(z − b)−nΓ(z), (4.48)

s Γ(z) danou (4.36).

4.2.2 Nehomogénny Riemann- Hilbertov problém

Vyrie²me teraz nehomogénny Riemann- Hilbertov problém, ktorý nás zaujíma (4.32).

Rie²enie takejto rovnice je dané vz´ahom:

ω(z) = X(z)(P (z) + Φ(z)), (4.49)

kde funkcia Φ(z) je daná:

Φ(z) =1

2iπ

∫ b

a

dλV ′(λ)

(λ− z)X(λ+ iε). (4.50)

Tvrdenie (4.49) dokáºeme nasledovným spôsobom. Vyuºijúc, ºe X(z) je rie²ím homo-

génneho Riemann- Hilbertovho problému (4.33) môºeme nehomogénny problém (4.49)

prepísa´:

X(x+ iε)−X(x− iε) = 0 ⇒ X(x+ iε)/X(x− iε) = −1, (4.51)

ω(x+ iε)

X(x+ iε)− ω(x− iε)X(x− iε)

=V ′(x)

X(x+ iε), (4.52)

Φ(x+ iε)− Φ(x− iε) =V ′(x)

X(x+ iε). (4.53)

a pouºitím Plemejlovej formuly (4.29), (4.30) dostávame (4.50).

Vyuºitím (4.38) dostaneme:

X(x± iε) = ±i(−1)n√

(b− x)(−a+ x)i(−1)n = ∓√

(b− x)(−a+ x) (4.54)

a teda máme rie²enie na²ej extremálnej rovnice pre maticové modely ω(z) v tvare:

ω(z) = −X(z)

[1

2πi

∫ b

a

V ′(λ)√(b− λ)(−a+ λ)(z − λ)

dλ+ P (z)

]. (4.55)

Pre rozdelenie vlastných hodnôt ρ(x) vyuºitím (4.30), (4.54) dostaneme:

ρ(x) = − 1

2π2

√(−a+ x)(b− x)P.V.

∫ b

a

V ′(λ)dλ√(b− λ)(−a+ λ)(λ− x)

+1

iπP (x)

√(b− x)(−a+ x).

(4.56)

50

Ke¤ teraz e²te vyuºijeme, ºe ω(z) musí sp¨¬a´:

ω ∼ 1

zpri |z| → ∞, (4.57)

ako vidno z de�nície tejto funkcie (4.29), vidíme, ºe polynóm P (z) musí by´ nulový.

Dostaneme teda rie²enie v tvare:

ρ(x) = − 1

2π2

√(−a+ x)(b− x)P.V.

∫ b

a

V ′(λ)dλ√(b− λ)(−a+ λ)(λ− x)

(4.58)

s podmienkami, ke¤ºe funkcia Γ(z) ∼ 1, pri |z| → ∞:

− 1

2πi

∫ b

a

V ′(λ)√(b− λ)(−a+ λ)

dλ = 0, (4.59)

− 1

2πi

∫ b

a

λV ′(λ)√(b− λ)(−a+ λ)

dλ = 1. (4.60)

Dá sa ukáza´, ºe tieto vz´ahy sú presne tie isté, ktoré sme dostali v druhej kapitole, len

zapísané v inej forme.

4.3 Poruchové rie²enie rovnice pre model s párovou

aproximáciou efektívneho ú£inku

Prejdime teraz k maticovému modelu, ktorý nás zaujíma, teda k modelu s efektívnym

ú£inkom Seff aproximovaným párovou interakciou (4.16). Máme extremálnu rovnicu:

ω(x+ iε) + ω(x− iε) = V ′(x)−∫ b

a

K(x′, x)ρ(x′)dx′, (4.61)

kde K(x′, x) ozna£uje integrálne jadro:

K(x′, x) =3

2

x′

1− xx′. (4.62)

Túto integrálnu rovnicu prevedieme vyuºitím rie²enia Riemann- Hilbertových prob-

lémov uvedeného v predchádzajúcej kapitole na Fredholmovu integrálnu rovnicu dru-

hého druhu, ktorú budeme rie²i´ poruchovo. My²lienka tohto prechodu od rovnice tvaru

(4.61) k Fredholmovej integrálnej rovnici sa dá nájs´ v [12].

Zahr¬me teda integrál∫ baK(x′, x)ρ(x′)dx′ do pravej strany nehomogénneho Riemann-

Hilbertovho problému:

ω(x+ iε) + ω(x− iε) = W ′(x), (4.63)

W ′(x) = V ′(x)−∫ b

a

K(λ, x)ρ(λ)dλ. (4.64)

51

Pod©a predchádzajúceho paragrafu potom pre funkciu ω(z) dostávame:

ω(z) = −X(z)1

2πi

∫ b

a

W ′(λ)√(λ− a)(b− λ)(z − λ)

dλ. (4.65)

Rozdelenie ρ(λ) dostaneme znovu vyuºitím (4.30):

ρ(x) = − 1

2π2

√(x− a)(b− x)P.V.

∫ b

a

V ′(λ)√(λ− a)(b− λ)(λ− x)

dλ−

− 1

2π2

√(x− a)(b− x)P.V.

∫ b

a

dλ

[ ∫ baK(λ′, λ)ρ(λ′)dλ′√

(λ− a)(b− λ)(λ− x)

]. (4.66)

Prehodením poradia integrálov cez λ a λ′, £o pre uvaºované rie²enia, pre ktoré |a|, |b| < 1

môºeme urobi´, dostaneme rozdelenie ρ(λ) v tvare:

ρ(x) = ρ0(x) +

∫ b

a

N(x, x′)ρ(x′)dλ′, (4.67)

ρ0(x) = − 1

2π2

√(x− a)(b− x)P.V.

∫ b

a

V ′(λ)√(λ− a)(b− λ)(λ− x)

dλ, (4.68)

N(x, x′) =1

2π2

√(x− a)(b− x)P.V.

∫ b

a

dλ

[K(x′, λ)√

(λ− a)(b− λ)(λ− x)

]. (4.69)

Rozdelenie ρ0(x) má rovnaký tvar ako v prípade modelu bez kinetického £lenu, len s

inými okrajmi rezu a, b. Integrálna rovnica tvaru (4.67) sa nazýva Fredholmova integ-

rálna rovnica druhého druhu a dá sa rie²i´ postupnými aproximáciami [10]:

ρ1(λ) = ρ0(x) +

∫ b

a

N(x, x′)ρ0(x′)dλ′, (4.70)

ρn(λ) = ρ0(x) +

∫ b

a

N(x, x′)ρn−1(x′)dλ′, (4.71)

kde sa dá ukáza´ (dokazuje sa napríklad v [10]), ºe rad (4.71) ur£ite konverguje pre

M(b− a) < 1, kde M je ohrani£enie:

|N(x, x′)| ≤M pre ∀x, x′.

Pre okraje supportu rozdelenia a, b dostaneme podmienky:

− 1

2πi

∫ b

a

W ′(λ)√(b− λ)(−a+ λ)

dλ = 0, (4.72)

− 1

2πi

∫ b

a

λW ′(λ)√(b− λ)(−a+ λ)

dλ = 1. (4.73)

52

4.3.1 Kvadratický potenciál

Pozrime sa teda na konkrétne príklady maticového modelu daného ú£inkom S (4.16).

Ako prvý príklad uvaºujme v ú£inku kvadratický potenciál:

V (λi) =1

2rλ2

i . (4.74)

V takomto prípade v limite ve©kého N analytické rie²enie úplného maticového modelu

zodpovedajúceho skalárnej teórii po©a na nekomutatívnej sfére poznáme, bude preto

zaujímavé porovna´ toto rie²enie s na²ou aproximáciou tejto teórie danou maticovým

modelom (4.16). Ke¤ºe v²ak výrazy vystupujúce vo Fredholmovej rovnice (4.67) sú

zna£ne zloºité zrátame rozdelenie vlastných hodnôt iba do prvej aproximácie ρ1(λ)

(4.70).

Ke¤ºe uvaºujeme symetrický potenciál aj výsledné extremálne rozdelenie ρ(λ) bude

ma´ symetrický support (−a, a). Pre rozdelenie vlastných hodnôt tak v prvej aproxi-

mácii dostávame:

ρ1(x) = ρ0(x) +

∫ a

−aN(x, x′)ρ0(x′)dλ′, (4.75)

kde:

ρ0(x) = − 1

2π2

√(a2 − x2)P.V.

∫ a

−a

r̃λ√(a2 − λ2)(λ− x)

dλ =1

2πr̃√

(a2 − x2), (4.76)

kde r̃ = r + 3 ako bolo zavedené v £asti 4.1 a integrálne jadro N(x, x′) dostávame:

N(x, x′) =3

4π2

√a2 − x2P.V.

∫ a

−adλ

[x′√

a2 − λ2(λ− x)(1− xx′)

]=

= − 3

4π

x′2√a2 − x2

√1− a2x′2(1− xx′)

. (4.77)

Pre rozdelenie ρ1(λ) potom dostávame:

ρ1(x) =1

2πr̃√

(a2 − x2)− 3

8π2

√a2 − x2

∫ a

−a

r̃x′2√a2 − x′2√

1− a2x′2(1− xx′)dx′ =

=1

2πr̃√

(a2 − x2)− 3r̃

4π2

√a2 − x2×

×[

(−1 + a4)a2x2E(

a4

−1+a4

)+ (a4 + x2a2 − a6x2)K

(a4

−1+a4

)a4x4√

1− a4−

−a4Π

(a2x2

−1+a2x2, a4

−1+a4

)a4x4√

1− a4

], (4.78)

53

kde funkcia E(m) zna£í úplný eliptický integrál druhého druhu:

E(m) =

∫ π2

0

dθ√

1−m2 sin2 θ, (4.79)

K(m) úplný eliptický integrál prvého druhu:

K(m) =

∫ π2

0

dθ1√

1−m2 sin2 θ(4.80)

a Π(n,m) úplný eliptický integrál tretieho druhu:

Π(n,m) =

∫ π2

0

dθ1

(1− n sin2 θ)√

1−m2 sin2 θ. (4.81)

Pozrime sa teraz na podmienku pre konvergenciu tejto metódy:

2aM < 1. (4.82)

Jadro N(x, x′) zrejme dosahuje najv䣲iu hodnotu pre x′ = a a pre také x, pre ktoré

platí:

d

dx

(√a2 − x2

1− ax

)= 0, (4.83)

1√a2 − x2(1− ax)2

[a3 − x] = 0, ⇒ x = a3. (4.84)

Podmienka (4.82) teda prejde na:

3

2

a4√

1− a√1− a4(1− a)

< 1, (4.85)

z £oho pribliºne dostaneme a < 0, 95.

Hodnotu okraja a v prvej aproximácii dostaneme z podmienok (4.72), (4.73), dosa-

dením za hustotu rozdelenia na pravej strane nultú aproximáciu ρ0(λ). Prvá z týchto

podmienok nám vyjde splnená automaticky vo©bou symetrického supportu rozdelenia

(−a, a), z druhej dostaneme hodnotu okraja rezu a. Túto hodnotu sme neboli schopní

ur£i´ analyticky ako funkciu a(r), numericky ju v²ak vieme dosta´ pre konkrétnu hod-

notu parametra r v potenciály.

Obrázok (obr. 4.2) zobrazuje výsledné rozdelenie pre r = 1, pri£om rozdelenie, ktoré

sme dostali sme spätne pre²kálovali, zobrazujeme teda 1√6ρ(6r, λ√

6), aby sme na²e roz-

delenie porovnali so známym presným analytickým rie²ením modelu skalárnej teórie

po©a v limite ve©kého N , ako aj s maticovým modelom bez kinetického £lenu v ú£inku.

54

Na obrázku (obr. 4.2) zobrazujeme aj maticový model daný efektívnym ú£inkom len

tvaru:

Seff =1

4c2, (4.86)

teda efektívnym ú£inkom, ktorý sme uvaºovali len bez logaritmického £lenu. Porovna-

ním s takýmto modelom potom vidíme, ºe tak ako sme o£akávali, celý efektívny ú£inok

daný (3.2) zavádza medzi vlastné hodnoty ur£itú prí´aºlivú silu, jeho logaritmická £as´

v²ak zodpovedé odpudivej interakcii. Zdôraznime v²ak, ºe na²e rie²enie je len porucho-

vým rie²ením modelu s efektívnym ú£inkom Seff aproximovaným párovou interakciou

medzi vlastnými hodnotami.

Obr. 4.2: Modrou farbou je zobrazené poruchové rie²enie modelu s efektívnym ú£inkom apro-

ximovaným párovou interakciou, zelenou farbou rozdelenie pre maticový model bez kinetického

£lenu (2.25), hnedou farbou presné rozdelenie modelu zodpovedajúceho komutatívnej limite

skalárnej teórie po©a na nekomutatívnej sfére (3.53) a £ervenou farbou rozdelenie modelu s

efektívnym ú£inkom bez logaritmickej £asti (4.86). V²etky rozdelenia sú pre parameter v po-

tenciály r = 1.

55

4.3.2 Kvartický potenciál

Pozrime sa teraz na zaujímavej²í príklad, ke¤ v ú£inku (4.16) uvaºujeme symetrický

kvartický potenciál:

V (λi) =1

2rλ2

i + gλ4i . (4.87)

H©adajme symetrické jednointervalové rie²enie. V prvej aproximácii tak pre rozdelenie

ρ1(λ) dostaneme:

ρ1(x) = ρ0(x) +

∫ a

−aN(x, x′)ρ0(x′)dλ′, (4.88)

ρ0(x) = − 1

2π2

√(a2 − x2)P.V.

∫ a

−a

(r̃λ+ 4gλ3)√(a2 − λ2)(λ− x)

dλ =

=1

2π(2a2g + r̃ + 4gx2)

√a2 − x2, (4.89)

N(x, x′) = − 3

4π

x′2√a2 − x2

√1− a2x′2(1− xx′)

, (4.90)

kde znovu r̃ = r + 3. Zintegrovaním (4.88) potom dostaneme rozdelenie ρ1(λ) v tvare:

ρ1(λ) =1

2π(2a2g + r + 4gx2)

√a2 − x2 − 3

4π2

√a2 − x2(2a2g + r)×

×[

(−1 + a4)a2x2E(

a4

−1+a4

)+ (a4 + x2a2 − a6x2)K

(a4

−1+a4

)a4x4√

1− a4−

−a4Π

(a2x2

−1+a2x2, a4

−1+a4

)a4x4√

1− a4

]−

− 3g

2π2

√a2 − x2.

[2a2x2(1− a4)

[− 3a4 + a2x2(−2 + a4)

]E(

a4

−1+a4

)3a8x6

√1− a4

+

+

[6a8 + 6a6x2(1− a4) + 4a4x4(1− a4)

]K(

a4

−1+a4

)3a8x6

√1− a4

−

−6a8Π

(a2x2

−1+a2x2, a4

−1+a4

)3a8x6

√1− a4

], pre x ∈ (−a, a). (4.91)

Podmienka na konvergenciu tejto metódy ostáva rovnaká, ke¤ºe integrálne jadroN(x, x′)

nezávisí od konkrétneho tvaru potenciálu V (λ). Okraj supportu rozdelenia v prvej ap-

roximácii dostaneme znovu z podmienok (4.72), (4.73) dosadením za rozdelenie na

pravej strane nulté priblíºenie ρ0(λ), pri£om rovnako ako v predchádzajúcej £asti je

prvá podmienka splnená automaticky uvaºovaním symetrického supportu rozdelenia

(−a, a) a z druhej podmienky ur£íme okraj a. Ani v tomto prípade sa nám nepodarilo

ur£i´ okraj analyticky ako funkciu parametrov potenciálu a(r, g), numericky ho v²ak

vieme dosta´ pre konkrétne hodnoty týchto parametrov. Obrázok (obr. 4.4) zobrazuje

56

znovu spätne pre²kálované rie²enie 1√6ρ(6r, 36g, λ√

6), spolu s rozdelením pre maticový

model bez kinetického £lenuv ú£inku (2.36) a rozdelením pre model s efektívnym ú£in-

kom daným (3.2) bez logaritmickej £asti pre parametre r = −2, g = 0.3. Podotknime,

ºe kvôli numerickej nestabilite rie²enia ρ1(λ) v okolí nuly, kde sme pre niektoré hodnoty

λ dostávali nezmyselné výsledky ako 0 alebo nekone£no, sme v tejto oblasti vykreslili

parabolickú aproximáciu rie²enia ρ1(λ) (4.88).

Obr. 4.3: Modrou farbou je zobrazené poruchové rie²enie modelu s efektívnym ú£inkom apro-

ximovaným párovou interakciou, zelenou farbou rozdelenie pre maticový model bez kinetického

£lenu (2.36) a £ervenou farbou rozdelenie modelu s efektívnym ú£inkom bez logaritmickej £asti

(4.86). V²etky rozdelenia sú pre parametre v potenciály rovné r = −2, g = 0.3 .

Získajme e²te krivku fázového prechodu medzi symetrickým jednointervalovým a

symetrickým dvojintervalovým rie²ením ná²ho modelu v prvej aproximácii. Fázový

prechod zrejme nastáva pre také parametre r, g, pre ktoré dostávame:

ρ1(0) = 0. (4.92)

Tento fázový prechod sme rie²ili numericky spôsobom, ºe pre konkrétnu hodnotu pa-

rametra g sme postupne h©adali parameter r, pri ktorom s ur£itou presnos´ou nastáva

fázový prechod a takto sme potom postupovali pre rôzne hodnoty g. Obrázok (obr. ??)

57

zachytáva krivku fázového prechodu, ktorú sme dostali spolu s fázovým prechodom

modelu bez kinetetického £lenu v ú£inku, fázovým prechodom v prípade efektívneho

ú£inku aproximovaného funkciou druhého moment F (c2) z £asti 3.4.1 a fázovým pre-

chodom modelu s efektívnym ú£inkom aproximovaným celým známym multistopovým

rozvojom, £as´ 3.4.2, na porovnanie.

Obr. 4.4: Modrou farbou je zobrazený fázový prechod modelu s efektívnym ú£inkom aproximo-

vaným párovou interakciou v prvej aproximácii pre g ∈ (0, 2; 1), zelenou farbou fázový prechod

pre maticový model bez kinetického £lenu (2.32) a hnedou farbou fázový prechod modelu s

efektívnym ú£inkom aproximovaným funkciou druhého moment F (c2) (3.80).

4.4 Nekomutatívne CP n priestory

Skalárnu teóriu po©a môºeme de�nova´ aj na nekomutatívnych komplexných projek-

tívnych priestoroch CP n. Aj v týchto prípadoch sa ukáºe by´, rovnako ako v prípade

nekomutatívnej sféry S2 = CP 1, ekvivalentná hermitovským maticovým modelom s

kinetickou £as´ou ú£inku zachytenou v efektívnom ú£inku Seff (λ). V prípade n = 2, 3

je známy multistopový rozvoj efektívneho ú£inku Seff do tretieho rádu, uvedený je

58

napríklad v [1]:

pre n = 2 : Seff =2

3(c2 − c2

1)− 1

18(c2 − c2

1)2−

− 4

405(c2 − c2

1)3 − 1

162(c3 − 3c1c2 + 2c3

1)2, (4.93)

pre n = 3 : Seff =6

23 3

4(c2 − c2

1)− 643 3

160(c2 − c2

1)2−

− 3

40(c2 − c2

1)3 − 9

400(c3 − 3c1c2 + 2c3

1)2. (4.94)

Ke¤ sa teraz pokusíme aproximova´ efektívny ú£inok Seff párovou interakciou vlast-

ných hodnôt rovnakým spôsobom ako pre nekomutatívnu sféru v paragrafe 4.1, teda

funkciou:

Seff = a0c2 +1

N2

∑i,j

a log(1− bλiλj), (4.95)

zistíme, ºe aj teraz dostaneme ya�xovaním dvoch parametrov a, b správne v²etky tri

príslu²né koe�cienty v multistopových rozvojoch (4.93), (4.94). Párová aproximácia pre

efektívny ú£inok vychádza:

pre n = 2 : Seff =2

3c2 +

1

N2

∑i,j

4 log(1− λiλj6

), (4.96)

pre n = 3 : Seff =3.6

23

4c2 +

1

N2

∑i,j

15 log(1− 323

10.213

λiλj)., (4.97)

V prípade v²eobecného n je známa funkcia druhého momentu F (t2), dá sa nájs´ tieº

v [1], a teda poznáme práve dva koe�cienty, ktoré potrebujeme na ur£enie parametrov

a, b v logaritme (4.99). Rozvoj funkcie F (t2) do druhého rádu je pre nekomutatívny

CP n priestor daný:

F (c2) =n(n!)

2n

n+ 1(c2 − c2

1)− n(n!)4n

2(n+ 1)2(2 + n)(c2 − c2

1)2. (4.98)

Párová aproximácia potom vychádza:

Seff =n(n!)

2n

n+ 1c2 +

1

N2

∑i,j

n(n+ 2)

2log

[1− (n!)

2n

(n+ 1)(n+ 2)λiλj

]. (4.99)

Poruchové rie²enie takýchto modelov môºeme nájs´ úplne rovnako ako v prípade

nekomutatívnej sféry.

59

Záver

V práci sme uviedli ²tandartné techniky na rie²enie maticových modelov v limite ve©-

kého N a ich následnú aplikáciu na rie²enie modelu zodpovedajúcemu aproximácii ska-

lárnej teórie po©a na sfére v komutatívnej limite. Po zreprodukovaní známych prístupov

k aproximácii uvedenej teórie a ich výsledkov, sme uviedli nový spôsob neporuchovej

aproximácie, kde sme v efektívnom ú£inku uvaºovali iba £leny zodopovedajúce páro-

vým interakciám medzi vlastnými hodnotami. Taktieº sme uviedli poruchovú metódu

rie²enia maticového modelu, ktorý sme získali, pre prípad jednointervalovho supportu.

V práci sme ur£ili analytický tvar rozdelenia vlastných hodnôt do prvého rádu v prí-

pade vo©nej a kvartickej teórie. Tieto výsledky sme porovnali so známymi výsledkami

predchádzajúcich prístupov.

Cie©om práce bolo najmä ²tudova´ fázovú ²truktúru symetrickej kvartickej skalárnej

teórie, pri£om sme sa zamerali hlavne na fázový prechod medzi dvoma symetrickými

fázami kvartickej teórie. V na²om novom modeli sme túto kritickú krivku ur£ili poru-

chovo do prvého rádu a porovnali s predchádzajúcimi výsledkami. V závere poslednej

kapitoly sme e²te uviedli zov²eobecnenie spomínanej párovej aproximácie pre prípad

vy²²ích nekomutatívnych CP n priestorov.

Spome¬me e²te nieko©ko otvorených problémov, ktoré na prácu nadväzujú a ktorým

sme sa nevenovali. Na²a aproximácia má rozumný zmysel iba v ur£itej £asti fázového

priestoru, v ktorom dostávame dostato£ne úzke rozdelenia vlastných hodnôt. Ur£ite

je zaujímavá otázka, £i sa nedá nejako zov²eobecni´ aj na zvy²ok fázového priestoru,

najmä preto, ºe predpokladaný trojný bod kvartickej skalárnej teórie sa nachádza mimo

na²ej prípustnej oblasti. Tým sa dostávame k otázkam dvojintervalových a asymetric-

kých rie²ení, ktorým sme sa v práci vôbec nevenovali. Moºno by sa teda numericky

mohla dosta´ aj krivka druhého fázového prechodu tohto maticového modelu. Takisto

by bolo uºito£né pozrie´ sa multistopové varianty tohto maticového modelu a ich rie-

60

²enie, ke¤ºe potom by sme mohli zahrnú´ do aproximácie aj ¤al²ie známe £leny mul-

tistopovho rozvoja efektívneho ú£inku, najmä neporuchovú £as´ F (t2). Táto funkcia

druhých momentov navy²e zodpovedá prí´aºlivej interakcii vlastných hodnôt, takºe ob-

las´ vo fázovom priestore, kde môºeme uvaºova´ spomínanú párovú aproximáciu, by sa

roz²írila.

61

Literatúra

[1] J. Tekel. 2015. Phase structure of fuzzy �eld theories and multitrace matrix models.

In: Acta physica slovaca, vol.65, p.369-468

[2] S. Doplicher, K. Fredenhagen, J. E. Roberts. 1995. The quantum structure of space-

time at the Planck scale and quantum �elds. In: Communications in Mathematical

Physics, vol. 172, p.187-220

[3] J.-B. Zuber. 2012. Introduction to random matrices. [online]

http://www.lpthe.jussieu.fr/ ∼zuber/RMT_ 2012.pdf

[4] B. Eynard. 2000. Random Matrices. [online] http://www-spht.cea.fr/cours-

ext/fr/lectures_ notes.shtml

[5] C. Sämann. 2015. Bootstrapping Fuzzy Scalar Field Theory. [online] arXiv: hep-

th/1412.6255

[6] F. García-Flores, X. Martin, D. O'Connor. 2009. Simulation of a scalar �eld on a

fuzzy sphere. In: International Journal of Modern Physics A 24, p.3917-3944

[7] B. Ydri. 2014. New algorithm and Phase Diagram of Noncommutative Φ4 on the

Fuzzy Sphere. [online] arXiv: hep- th/1401.1529

[8] B. Eynard, T. Kimura, S. Ribault. 2015. Random Matrices. [online], arXiv: math-

ph/1510.04430

[9] M. J. Ablowitz, A.S. Fokas. 2003. Complex variables: Introduction and application.

Cambridge texts in applied mathematics. Cambridge University Press. ISBN-13

978-0-511-07582-7

[10] S. M. Zeynman. 2012. The Classical Theory of Integral Equations: A Concise

Treatment. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-8348-1

62

[11] N. I. Muskhelishvili. 1953. Singular integral equations: Boundary problems of func-

tion theory and their application to mathematical physics. Translation by J.R.M.

Radok. Groningen: P. Noordho� ltd.

[12] R. Omnès. 1958. On the Solution of Certain Singular Integral Equations of Quan-

tum Field Theory. In: Il nuovo cimento, vol. VIII, p. 316-326

[13] V. P. Nair. 2005. Quantum Field Theory: A Modern Perspective. New York: Sprin-

ger. ISBN 978-0-387-25098-4

[14] M. Fecko. 2004. Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Bratislava:

Iris. ISBN 80-89018-10-6

63