TEORIA EQUAZIONI

IDENTITÀ ED EQUAZIONI

Un’uguaglianza fra due espressioni di cui almeno una letterale, verificata ….

… per qualsiasi valore attribuito alla lettera o alle lettere che vi figurano, si chiama identità.

…. solo per particolari valori attribuiti alla lettera o alle lettere che vi figurano, si chiama equazione.

PRIMO E SECONDO MEMBRO

3x + 2 = x +6

A sinistra dell’uguale c’è il primo membro della equazione.

A destra dell’uguale c’è il secondo membro della equazione.

INCOGNITE E TERMINI NOTI

3 x + 2 = x + 6

Le lettere che compaiono nell’equazione sono le incognite.

Tutti i termini che non contengono le incognite sono detti termini noti.

NUMERO INCOGNITE

3x + 2y - z = x +6

In base al numero di lettere che compaiono in una equazione, si dice che è un’equazione a 1, 2, 3, ecc. incognite.

GRADO EQUAZIONE

3x3 + 2x2 = x +6

Il grado più elevato dei vari monomi che costituiscono la equazione si chiama GRADO DELL’EQUAZIONE.

Nel caso sopra il grado dell’equazione è 3°.

Il grado alcolico è un’altra cosa

EQUAZIONI INTERE O FRAZIONARIE

INTERA

8253 xx

Se l’incognita non figura al denominatore.

Se l’incognita figura al denominatore

FRAZIONARIA

5

4

3

2

3

1 xx

723

5

x

x

EQUAZIONI EQUIVALENTI

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Ne consegue che se ho due equazioni equivalenti mi conviene risolvere quella più semplice.

PRIMO PRINCIPIO EQUIVALENZA EQUAZIONI

Addizionando o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l’incognita si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Ne consegue la legge del trasporto: in un’equazione un termine qualsiasi può essere spostato da un membro all’altro purché lo si cambi di segno.

SECONDO PRINCIPIO EQUIVALENZA EQUAZIONI

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero (diverso da zero) si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Ne consegue che: cambiando il segno di ciascun termine di un’equazione se ne ottiene una equivalente a quella data (si moltiplicano i membri per -1)

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI

Quando un’equazione di primo grado (con una sola incognita) è scritta in questo modo:5x = 15 oppure -3x = 10 oppure 2x = -14, cioè nella forma ax = bsi dice che è ridotta in forma normale

A questo punto è facile risolverla: la soluzione di questa equazione si ottiene dividendo il termine noto per il coefficiente dell’incognita

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI

Allora per risolvere l’equazione è necessario compiere tutta una serie di “operazioni” fino ad arrivare ad un’equazione scritta in questo modo:5x = 15 oppure -3x = 10 oppure 2x = -14, cioè nella forma ax = b

EQUAZIONI DETERMINATE INDETERMINATE IMPOSSIBILI

La soluzione dell’equazioneax = b

è:

x = a

b

esempioesempio coefficienticoefficienti soluzionesoluzione l’equazione èl’equazione è

3x=153x=15 aa00 b b00 x=b\ax=b\a determinatadeterminata

5x=05x=0 aa00 b=0 b=0 x=0x=0 determinatadeterminata

00••x=4x=4 a=0a=0 b b00nessuna nessuna soluzionesoluzione impossibileimpossibile

00••x=0x=0 a=0a=0 b=0 b=0 infinite soluzioniinfinite soluzioniIndeterminataIndeterminata

= IDENTIT= IDENTITÀÀ

a = 0?NO

NO

L’equazione è determinata,

con la soluzione

a

bx

L’equazione è determinata,

con la soluzione

0x

SI

b = 0?NO

L’equazione è impossibile

L’equazione è indeterminata*.

b = 0?SISI

Data un’equazioneportata in forma normale

ax = b

IDENTITIDENTITÀÀ