Teoria della relatività-2 7 gennaio 2013

Conseguenze cinematiche delle TdL

Dilatazione del tempo, muoni atmosferici

Contrazione delle lunghezze

Grandezze proprie

Relativita` della simultaneita` (approccio quantitativo)

222

Conseguenze cinematiche

• Dilatazione del tempo: supponiamo che un orologio a riposo nel sistema S’ in un punto di coordinata x’ misuri un intervallo di tempo

• Per trovare il corrispondente intervallo di tempo T in S, applichiamo l’eq. di trasformazione del tempo, ricordando che x’2 = x’1

• Sottraendo membro a membro

''' 12 ttT

t2 t2 'v

c 2x'

t1 t1'v

c 2x'

T t2 t1 t2 ' t1' T '

333

Dilatazione del tempo

• Quindi si ha cioè una dilatazione del tempo• Questo significa che se misuriamo il tempo caratteristico di un

sistema fisico (o biologico) che non sia in quiete nel nostro sistema di riferimento inerziale (SRI), la misura produce un valore maggiore di quella effettuata nel SRI in cui il sistema fisico (o biologico) e` in quiete

• Ovvero il ritmo del nostro orologio e` maggiore di quello dell’orologio nel sistema in moto, fatto che si esprime dicendo che l’orologio in moto ritarda

• A differenza degli orologi di uno stesso SRI, che hanno lo stesso ritmo, orologi in diversi SRI in moto relativo hanno ritmi diversi

'' TTT

4

Dilatazione del tempo

• Consideriamo un orologio in quiete in S’, il cui ritmo e` dato dal tempo di andata e ritorno T’ tra due specchi paralleli distanti h’

4

x’

y’

S’ h’

• Nel sistema S, rispetto a cui S’ e gli specchi si muovono con velocita` v, i due specchi distano h=h’ e il cammino ottico del raggio luminoso e`

• ove x e` lo spazio percorso dagli specchi nel tempo in cui il raggio percorre l

c

hT

'2'

x

2222 xhl

hlv

S

5

• Valgono le relazioni

• Risolvendo per h

• e quindi T , il ritmo dell’orologio misurato nel sistema S, risulta

• Ma poiche’

• Ne concludiamo che

Dilatazione del tempo

5

21

22 2

22222 Tc

c

vTcvc

Txlh

2

Tvx

c

hT

2

x

hlv

S

'TT

c

h

c

hT

2'2'

2

Tcl

6

Muoni atmosferici

• I raggi cosmici sono formati da particelle che, provenienti dallo spazio, interagiscono con i nuclei delle molecole d’aria dell’atmosfera, dando origine a sciami di particelle, alcune delle quali raggiungono terra

• Tra queste c’è il muone, una particella instabile di massa pari a 106 MeV e vita media ’ = 2.2 s

• I muoni vengono prodotti ad un’altezza di circa 15 km da terra, con un’energia media di 4 GeV

• Qual è la distanza che un muone percorre in media prima di decadere? Siccome a questa energia la velocità del muone è circa c, la risposta sembrerebbe semplicemente

6

L v 'c '660m

7

Muoni atmosferici

• Ma se così fosse, come potremmo osservare muoni a terra?• Il punto è che ’ è la vita media nel sistema di riferimento S’ in cui il

muone è a riposo, non nel sistema S in cui si trova l’osservatore• Noi osserviamo una vita media dilatata del fattore e quindi lo

spazio percorso dai muoni è

• Per muoni di 4 GeV di energia il fattore vale circa 40, per cui la vita media nel sistema S risulta

• e la lunghezza di decadimento è

• più che sufficiente per raggiungere terra

7

L v 'c '

L40660m26km

'402.2 88s

888

Conseguenze cinematiche

• Contrazione delle lunghezze: siano x1’ , x2’ le estremità di un regolo disposto lungo x’ fermo nel sistema S’, la cui lunghezza in S’ vale

• Per trovare la corrispondente lunghezza L in S, applichiamo l’eq. di trasformazione di x, x’ tenendo conto che t2 = t1

• Sottraendo membro a membro

e invertendo

L'x2 ' x1'

x2 ' x2 vt

x2 ' x1' x2 x1

x1' x1 vt

L x2 x1 x2 ' x1'

L'

999

Contrazione delle lunghezze

• Quindi si ha cioè una contrazione della lunghezza

• Ovvero: se misuriamo la lunghezza di un oggetto che non sia in quiete nel nostro sistema di riferimento, la misura produce un valore minore di quella effettuata nel sistema di riferimento in cui l’oggetto e` in quiete

L L'

L'

101010

Grandezze proprie

• La lunghezza di un regolo nel sistema in cui è fermo si dice lunghezza propria L0

• La misura di una lunghezza e` sempre minore o uguale alla lunghezza propria L<L0

• Il tempo segnato da un orologio nel sistema in cui è a riposo si dice tempo proprio T0

• La misura di un tempo e` sempre maggiore o uguale al tempo proprio T>T0

111111

Contrazione delle lunghezze (2)• Un altro modo di ottenere il risultato si basa sulla

dilatazione del tempo

• Supponiamo di essere solidali al sistema S’ in moto con velocita` v rispetto al sistema S

• Sia L0 la lunghezza propria di un oggetto in quiete in S (cioe` quella misurata in S)

• Ora, invece di misurare le due estremita` dell’oggetto in moto allo stesso tempo, le misuriamo nello stesso luogo x’ in due istanti diversi t1’, t2’ corrispondenti al nostro passaggio davanti alle estremita` dell’oggetto

v(x’, t1’)S’ v(x’, t2’)S’

121212

Contrazione delle lunghezze (2)• Noi transitiamo da un’estremita` all’altra nell’intervallo

• Ove L’ e` la lunghezza da determinare e t’ e` un intervallo di tempo proprio, in quanto misurato con un solo orologio

• Un osservatore in S, solidale con l’oggetto, ci vede transitare da un’estremita` all’altra in un intervallo di tempo

• Intervallo non proprio, in quanto misurato con due orologi, uno per ciascuna estremita`

t 'L' v

vLt 0

131313

Contrazione delle lunghezze (2)• La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi

e`• E per conseguenza la lunghezza misurata in S’ vale

L'vt 'vt

L0

'tt

14

Relatività della simultaneità (2)

• Riprendiamo la discussione: ricordiamo che (in S)

e AB=L e` una lunghezza propria • S giudica che per S’ i due fulmini non siano

simultanei ma siano separati temporalmente da un intervallo di tempo che in S vale

14vS’O’

SOA B

vS’O’

SOA B t1

t2

12 ttt

2/LOBAO

15

Relatività della simultaneità (2)

• Ove t1 e` il tempo che la luce impiega (in S) per andare da B=B’ a O’ e t2 quello per andare da A=A’ a O’

• t1 e` tale per cui mentre la luce percorre lo spazio BO’=ct1, O’ si muove a destra di O della quantita` vt1 ovvero e quindi

15

vS’O’

SOA Bt1

2/11 LOBvtct vc

Lt

21

vS’O’

SOA Bt2

16

Relatività della simultaneità (2)

• Similmente t2 e` tale per cui mentre la luce percorre lo spazio AO’=ct2, O’ si muove a destra di O della quantita` vt2 ovvero

• E quindi

16

vS’O’

SOA B t2

222 2/ vtLvtAOct

vc

Lt

22

17

Relatività della simultaneità (2)

• Tra i due fulmini intercorre dunque il tempo

• Questo tempo non e` proprio, in quanto in S gli istanti di tempo vengono registrati da due orologi diversi: ciascuno in corrispondenza della posizione occupata dal punto O’ rispetto ad S quando O’ riceve i due segnali

17

22

22

2

222

v

L

vc

vL

vc

L

vc

Lt

18

Relatività della simultaneità (2)

• Come descrive i fatti l’osservatore in S’?• Innanzitutto se per S

• allora S’, a causa della contrazione delle lunghezze, concludera` che la lunghezza di A’B’ (propria in S’) vale

• mentre per AB misurera` la lunghezza

18

LBAl '''

/' LABl

LABlBAl ''

19

Relatività della simultaneità (2)

• L’intervallo di tempo tra i due fulmini (in S’) si puo` calcolare notando che esso e` uguale al tempo impiegato dal regolo in S per spostarsi dalla posizione in cui B=B’ a quella in cui A=A’ e quindi

19

222 1''''

'v

L

v

L

v

LL

v

ABlBAlt

v

O’

OA B

B’A’

O’

SOA B

B’A’

v

t’2

t’1

''' 12 ttt

S’

S

S’

20

Relatività della simultaneità (2)

• Questo intervallo e` proprio perche’ gli istanti di tempo in cui i segnali dei fulmini arrivano in O’ vengono registrati da un solo orologio, quello in O’

• La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi deve dunque essere

• Che, riscrivendo le formule trovate, e` proprio quel che accade

20

22

'v

Lt

tt '

22v

Lt