Teoria dei circuti_prof Storace

Corso di Teoria dei Circuiti

Prof. Marco Storace

TRACCE DELLE LEZIONI DEL CORSO

2 Marco Storace–Teoria dei Circuiti

NOTE DEL DOCENTE

• Queste tracce sono il risultato della rielabo-

razione di appunti, dispense, libri di diver-

si autori. In particolare, le principali fonti

sono state le dispense del Prof. Amedeo

Premoli (Politecnico di Milano) e gli ap-

punti del Prof. Mauro Parodi (Universita

degli Studi di Genova). A entrambi va il

mio ringraziamento.

• Gli studenti che trovassero imprecisioni, er-

rori, lacune nelle tracce sono invitati a se-

gnalarmeli. Ringrazio in particolare i seguen-

ti studenti per le segnalazioni negli anni

scorsi: Massimiliano Mostes

3

Indice

1 Introduzione. 91.1 Componente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Variabili descrittive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Bipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Grafi 17

2.1 Elementi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Equivalenza tra grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Percorsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Sottografi, alberi e coalberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Grafi connessi e sconnessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Grafi planari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7 Maglie e cocicli (tagli) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.8 Basi di maglie e di tagli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.9 Matrice di maglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.10 Matrice di tagli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.11 Basi di anelli e tagli nodali e matrice di incidenza . . . . . . . 27

2.12 Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.13 Applicazione della teoria dei grafi ai circuiti . . . . . . . . . . 29

2.14 Legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL) (1847) . . . . . . . . . 30

2.15 Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL) (1847) . . . . . . . . . 322.16 Formulazioni alternative delle leggi di Kirchhoff . . . . . . . . 32

2.17 Riepilogo su matrici varie e leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . 34

2.18 Grafo di un componente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.19 Teorema di Tellegen (o delle potenze virtuali) (1952) . . . . . 38

2.20 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.20.1 Esercizio 2 foglio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.20.2 Esercizio 3 foglio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5

INDICE

3 Bipoli adinamici e circuiti elementari 413.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Base di definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Classificazione in termini energetici di un bipolo . . . . . . . . 443.4 Componenti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1 Resistore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.2 Generatore ideale di tensione (sorgente impressiva di

tensione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.3 Generatore ideale di corrente (sorgente impressiva di

corrente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 Modelli di Thevenin e Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.6 Connessione in serie e in parallelo di bipoli . . . . . . . . . . . 51

3.6.1 Connessione in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6.2 Connessione in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6.3 Partitori resistivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari 614.1 2-porte o doppi bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2 Rappresentazione dei 2-porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 Caso non omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Potenza in un 2-porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4 Simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.1 Matrici [R] e [G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.2 Matrice [H ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.3 Matrice [T ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5 Reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5.1 Teorema di reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6 Reciprocita nei 2-porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.6.1 Matrici [R] e [G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.6.2 Matrice [H ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.6.3 Matrice [T ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.6.4 Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.7 Le quattro sorgenti pilotate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.7.1 Generatore di tensione pilotato in corrente (CCVS –

Current Controlled Voltage Source) . . . . . . . . . . . 754.7.2 Generatore di corrente pilotato in corrente (CCCS –

Current Controlled Current Source) . . . . . . . . . . . 764.7.3 Generatore di tensione pilotato in tensione (VCVS –

Voltage Controlled Voltage Source) . . . . . . . . . . . 774.7.4 Generatore di corrente pilotato in tensione (VCCS –

Voltage Controlled Current Source) . . . . . . . . . . . 78


INDICE

4.7.5 Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.8 Nullore (amplificatore operazionale ideale) . . . . . . . . . . . 80

4.9 Trasferitori ideali di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.10 Connessione di 2-porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.10.1 Connessione in cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.10.2 Connessione in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.10.3 Connessione in serie (o serie - serie) . . . . . . . . . . . 89

5 Circuiti adinamici generici 91

5.1 Metodo del tableau (o metodo totale) . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Principio di sovrapposizione (degli effetti). . . . . . . . . . . . 93

5.3 Principio di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4 Rappresentazione equivalente di circuiti . . . . . . . . . . . . . 96

5.4.1 Teorema di Thevenin generalizzato . . . . . . . . . . . 96

5.4.2 Teorema di Norton generalizzato . . . . . . . . . . . . 100

5.4.3 Rappresentazioni ibride . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.5 Proprieta energetiche (riepilogo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6 Componenti e circuiti dinamici elementari 107

6.1 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.1.1 Modello equivalente di Thevenin di un condensatorecarico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.2 Funzioni generalizzate (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3 Modello equivalente di Norton di un condensatore carico . . . 1126.4 Induttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.5 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.6 Collegamenti in serie e in parallelo di condensatori e induttori(scarichi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.7 Stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.8 Soluzione generale dei circuiti dinamici del primo ordine . . . 117

6.8.1 Ingresso costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.8.2 Ingresso a gradino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.8.3 Ingresso impulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.8.4 Ingresso sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.8.5 Circuiti con interruttori . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.8.6 Variabili non di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.9 Induttori accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.9.1 Modelli degli induttori (mutuamenti) accoppiati . . . . 133

6.10 Frequenze libere nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Marco Storace–Teoria dei Circuiti 7

INDICE

6.11 Soluzione generale dei circuiti dinamici di ordine superiore alprimo (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.11.1 Altre note sui circuiti di ordine superiore al primo . . . 139

7 Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa 1497.1 Cisoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.1.1 Derivata e integrale delle cisoidi . . . . . . . . . . . . . 1517.2 Sinusoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.3 Relazioni tra fasori e sinusoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.4 Relazioni topologiche e relazioni costitutive nel dominio dei

fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.5 Impedenza e ammettenza di un bipolo . . . . . . . . . . . . . 1567.6 Connessione in serie e in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.7 Estensione di regole, proprieta e metodi dei circuiti adinamici

al regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.8 Funzioni di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.9 Analisi dei circuiti in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . 1617.10 Potenza in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.11 Potenza complessa di un bipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.12 Problema del rifasamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.13 Linee ad alta tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.14 Massimo trasferimento di potenza attiva (adattamento ener-

getico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8 Regime multifrequenziale 1838.1 Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1848.2 Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185


Capitolo 1

Introduzione.

I circuiti elettrici (o reti elettriche) che studieremo nell’ambito del corso sonoda intendersi come modelli di sistemi fisici:

1. Naturali (es. neurone)

2. Artificiali (es. apparati per la generazione, il trasporto e il consumodell’energia elettrica, apparati per la generazione, acquisizione, memo-rizzazione, trasmissione, elaborazione e utilizzo dell’informazione con-tenuta in segnali elettrici)

Modello ⇔ Astrazione matematica, sistema di equazioni in grado di ripro-durre (almeno in certe condizioni) il comportamento di altri sistemi ofenomeni.

Un buon modello e il risultato di un compromesso tra la fedelta al sistemada modellare e la semplicita del modello stesso ⇒ bisogna usare il “rasoio diOckham”.

Servono intuito, esperienza e conoscenza per ricavare il modello piu adegua-to alla situazione. In particolare, occorre conoscere:

• le grandezze fisiche misurabili (variabili “osservabili” del sistema)

• le leggi fisiche (→ equazioni matematiche) che legano tali grandezze(→ verifiche sperimentali)

Verifica del modello : simulazione al calcolatore o soluzione analitica delleequazioni ⇒ confronto con gli esperimenti ⇒ modifiche al modello.

Sistemi artificiali che piu ci interessano: sistemi elettrici fisici (linee elet-triche, motori, apparecchi, altoparlanti, strumenti musicali, ecc.)

9

1. Introduzione.

2 categorie di mod-elli per i fenomenielettrici

@@R

a parametri concentrati (→ teoria delle

reti elettriche o dei circuiti) ← NOI

a parametri distribuiti (→ teoria dellelinee)

Noi ci concentriamo sui circuiti a parametri concentrati. In altri corsi (re-lativi per esempio ai campi elettromagnetici) vedrete come trattare i modellia parametri distribuiti. Il ricorso a un tipo di modelli o all’altro dipende dalrapporto tra la lunghezza d’onda dei segnali elettrici in gioco e le dimensionidel circuito. Quasi tutto quello che diremo a proposito dei circuiti a parametriconcentrati NON VALE per quelli a parametri distribuiti.

I modelli a parametri concentrati di sistemi elettrici fisici (⇔ circuiti) siottengono da:

modelli dei componenti fisici o di loro insiemi: componenti+

modo in cui i componenti fisici sono collegati: topologia

1.1 Componente

Un componente e un oggetto limitato da una superficie chiusa, detta super-ficie limite del componente, da cui escono almeno 2 terminali, che hanno perestremo un morsetto.

I terminali hanno forma geometrica tale da facilitare la connessione conaltri componenti. Sono costituiti o almeno ricoperti da materiale conduttore(rame, stagno, oro, ...). I morsetti consentono di definire un collegamento.L’insieme “terminale+morsetto” si dice “polo”.

Un circuito piu complesso (⇒ costituito da piu maglie) rispetto a quellodi figura 1.1(b) si dice piu correttamente “rete elettrica”. Un componente adue terminali si dice bipolo, uno a tre tripolo, uno a quattro quadripolo, ecc.

Esistono anche dispositivi a un solo polo o monopoli (antenne), ma nonli includiamo nello studio dei circuiti (coinvolgono problemi di propagazioneelettromagnetica).

A noi non interessa cio che accade dentro la superficie limite: gli even-ti elettromagnetici che avvengono all’interno del componente non vengonostudiati in dettaglio, nell’ambito della teoria dei circuiti. Essi riguardano lateoria dei campi elettromagnetici e richiederebbero, per poter essere carat-terizzati, l’uso di variabili 1 appropriate, la conoscenza delle leggi fisiche che

1Campo elettrico E, campo magnetico H , induzione elettrica D, induzione magneticaB, densita di corrente di conduzione J , densita volumetrica di carica ρ.


1. Introduzione.

(a)

POLO

Superficielimite

TerminaliMorsetti

(b)

esiste un‘circuito’ (maglia)

Figura 1.1: (a) esempio di componente; (b) esempio di circuito.

Bipolo: Tripolo:

Figura 1.2:

governano il comportamento di tali variabili (leggi di Maxwell ed equazionicostitutive dei materiali) e la definizione di opportuni parametri che con-sentano di conoscere con precisione il comportamento dei materiali di cui ilcomponente e costituito (conducibilita σ, costante dielettrica ǫ, permeabilitamagnetica µ).

Da tutto questo⇒ modello semplificato2 (⇒ livello di descrizione diversoda quello utilizzato da chi studia i campi elettromagnetici).

1.2 Variabili descrittive

A noi interessano le grandezze fisiche misurabili che caratterizzano il com-ponente dall’esterno. Esse vengono dette variabili descrittive e tipica-

2Chi fosse interessato, puo leggere l’appendice del testo “Fondamenti di Elettrotecnica”,di Martinelli e M. Salerno, dove si mostra come nascono i modelli che noi usiamo.


1. Introduzione.

mente sono tensioni e correnti. Cariche3 e flussi4 andrebbero ugualmentebene in linea di principio, ma sono piu difficili da misurare.

Corrente: e una variabile reale i ∈ ℜ, funzione in generale del tempo t

(i = i(t)). E associabile a (⇔ misurabile in) ciascun terminale secondo unacerta convenzione (questo concetto sara precisato nel seguito).

A Bi

i

C D

-A

i +

B

+A

i -

B Amperometro

Figura 1.3: La corrente di un terminale si puo misurare con un amperometro.

La corrente si misura con un amperometro: si tratta di un componente(bipolo) con terminali collassati (→ si vedono solo i morsetti). Usando unamperometro ideale, la misura non altera il circuito (⇒ non fa cadere ten-sione). Un altro tipo di rappresentazione per la corrente associata a unterminale e la seguente:

Scala di valori tipica in circuiti “normali” (elettrodomestici, PC, etc.):µA (10−6 A) o mA (10−3 A).

Tensione : e anch’essa una variabile reale, in genere funzione del tempo

(v = v(t)). E associabile a (⇔ misurabile su) ogni coppia di morsetti secondouna convenzione da definire a priori.

La tensione si misura con un voltmetro (si tratta di un bipolo con termi-nali collassati); usando un voltmetro ideale la misura non altera il circuito(non assorbe corrente). Scala di valori tipici di tensione: V o mV.

3La carica e la corrente sono legate da una relazione differenziale: i = dq

dt. Unita di

misura S.I.: [q] = C; [i] = Cs= A.

4Il flusso e la tensione sono legate da una relazione differenziale: v = dΦdt. Unita di

misura S.I.: [Φ] = Wb; [v] = Wbs

= V .


1. Introduzione.

i

B

Figura 1.4:

D C

A B

vAB

vBA

+V

A

-

BvAB

- VA + B

vBA

Voltmetro

Figura 1.5: La tensione su ogni coppia di morsetti si puo misurare con unvoltmetro.

Un componente e caratterizzato dal legame che esiste tra le variabili de-scrittive, ossia dalla legge costitutiva o equazione descrittiva del componente.

1.3 Bipolo

Nel caso di un bipolo quali sono tutte e sole (→ indipendenza e com-pletezza⇒ Ockham e contento!) le variabili necessarie a caratterizzarlo?In altri termini, quali variabili servono per definire il modello (componente)?

Considero una superficie di Gauss che contenga solo il terminale superiore:

∑

qin =∑

qout

⇒∑ dqin

dt=

∑ dqoutdt⇔ i1 + i2 = 0⇔ i1 = −i2


1. Introduzione.

i1 i2

i4 i3

v1 v2

i1

i2

Figura 1.6:

Analogamente: i3 = −i4. Se la superficie (di Gauss) coincide con lasuperficie limite del componente → i1

︸︷︷︸

−i2

+i3 = i2 + i4︸︷︷︸

−i3

⇔ i2 = i3. Inoltre

v1 = −v2. Dunque, per avere variabili indipendenti (tutte e sole le variabiliche servono) bisogna scegliere una sola corrente e una sola tensione.

Le possibili convenzioni sono due:i

v

CONVENZIONE NORMALE (o conven-zione degli utilizzatori)

i

v

CONVENZIONE NON-NORMALE (o con-venzione dei generatori)

1.4 Potenza

A questo punto e possibile definire un’altra grandezza elettrica fondamentale,dopo i e v: la potenza.

p(t) = v(t) · i(t) =︷︸︸︷

dwenergia

dt[p] = V A = W

Se i e v rispettano la convenzione normale ⇒ la potenza assorbita dal bipo-lo e pA(t) = v(t) · i(t), mentre la potenza erogata dal bipolo e pE(t) =−v(t) · i(t) = −pA(t).


1. Introduzione.

Se invece rispettano la convenzione non-normale ⇒ la potenza erogatadal bipolo e pE(t) = v(t) · i(t), mentre quella assorbita dal bipolo e pA(t) =−pE(t).

Hp.: convenzione degli utilizzatori ⇒ in un tempo δt il bipolo assorbe

un’energia δw = p · δt che puo essere (in parte o in toto):

1. dissipata ⇒ non puo piu essere usata in senso elettrico (viene tipica-mente trasformata in calore, come nelle stufe elettriche);

2. accumulata;

3. scambiata (→ assorbita e ceduta).

Globalmente, l’energia assorbita dal bipolo e pari a:

w =

t∫

−∞

p(τ) dτ

Lo strumento utilizzato per misurare la potenza si chiama wattmetro.

1.5 Leggi di Kirchhoff

Anche in un circuito semplice, le tensioni e le correnti descrittive dei compo-nenti possono essere numerose. E necessario misurarle tutte?

Si consideri un circuito costituito da soli bipoli. Si consideri ora un per-corso chiuso (maglia) che coinvolga alcuni bipoli del circuito e gli si assegniun’orientazione (per esempio in senso orario):

Misurando con tre voltmetri le tensioni descrittive dei tre bipoli interes-sati dalla maglia indicata in figura, si trova che la somma algebrica delletensioni, definita rispetto all’orientamento della maglia (segno “+” se la ten-sione e concorde alla maglia, segno “−” se e discorde), e nulla. In altritermini, la somma delle tensioni concordi con la maglia e uguale alla sommadi quelle discordi: v1 + v3 = v2.

Esiste dunque un vincolo algebrico che limita il numero delle tensioni damisurare: tale vincolo prende il nome di Legge di Kirchhoff delle tensioni(KVL).

Un vincolo analogo esiste per le correnti: basta considerare le correntidescrittive dei bipoli incidenti uno stesso nodo:

Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL): la somma delle correnti entran-ti nel nodo coincide con la somma delle correnti uscenti dal nodo (e unaconseguenza del teorema di Gauss). Nell’esempio si ha: i4 + i7 = i1 + i2.

I grafi consentono di enunciare queste leggi in forma rigorosa.


1. Introduzione.

b5

b4

b1

b3

b2

b6

b7

V1-

+

V3+ -

V2

+

-

v1v2

v3

Maglia della rete elettrica(orientata in senso orario)

Figura 1.7:

b4 A4+ -

i4

b1

A1-

+

i1

b2

A2-

+

i2 b7

A7 +-

i7

Nodo della rete elettrica

Figura 1.8:


Capitolo 2

Grafi

Questo argomento non riguarda direttamente i circuiti elettrici, ma unsettore della matematica applicata (teoria dei grafi). Saranno introdotti glielementi essenziali di questa teoria utili nell’analisi dei circuiti.

Un circuito e costituito da diversi componenti interconnessi tra loro. Percapire come funziona il circuito nel suo complesso, ossia ricavare le espressionianalitiche di tutte le variabili descrittive, sara necessario conoscere due cose:

• la natura dei componenti (→ i legami tra le variabili descrittive diciascun componente preso di per se), ossia l’equazione descrittiva diciascun componente;

• il modo in cui tali componenti sono interconnessi tra loro, ossia latopologia del circuito.

Per quanto riguarda le equazioni descrittive, si vedranno in seguito quelledei componenti che ci interessano piu da vicino.

Per quanto riguarda l’analisi della topologia del circuito, invece, si puoricorrere alla teoria dei grafi: in tal modo il circuito viene “privato” del-la propria natura fisica e viene analizzato come pura interconnessione dielementi.

2.1 Elementi fondamentali

Un grafo e definito da un insieme di n nodi e da un insieme di l lati o rami.

17

2. Grafi

Esempio: n = 4, l = 6

b

b

b

b

(arco)=lato o ramo

(pallino nero)=nodo

Ciascun lato e associato a due nodi distinti (si veda la figura). Se non sie interessati all’ordine con cui i due nodi sono associati a un lato ⇒ grafonon orientato (come in figura).

Se, invece, si vuole dare un significato all’ordine dei nodi nella coppiaassociata a un lato ⇒ grafo orientato:

a

d

ef

b

c

1

2 3

4

Si associa un verso di per-correnza a ogni lato (⇒ siorienta) tramite frecce

N. B.: i versi di percorrenza dei rami sono scelti in modo arbitrario, ingenere, perche non dipendono dalla realta fisica. Una volta scelto il verso diun ramo ⇒ tutti gli sviluppi successivi devono rispettare questa scelta.

• Se piu rami (lati) collegano la stessa coppia di nodi ⇒ si dice che sonoin parallelo. Es.: i lati e e f dell’esempio.

• Un lato e associato a due nodi; un nodo e associato a un certo numerodi lati (# ≥ 2, a parte casi limite di nodi “appesi”). Il numero # sidice ordine del nodo.

2.2 Equivalenza tra grafi

Non bisogna farsi trarre in inganno dalla rappresentazione grafica di un grafo:bisogna astrarre le sole informazioni interessanti, lasciando da parte quellelegate alla geometria. Esempio:


2. Grafi

a

d

ef

b

c

1

2 3

4

a

d

fe

b

c

1

2 3

4

a

d

f e

b

c

1

23

4 Questi grafi sonotutti equivalenti

Definizione: due grafi non orientati vengono detti equivalenti se, stabilitauna corrispondenza biunivoca sia tra i nodi del primo e del secondo,sia tra i lati, i lati corrispondenti risultano associati a coppie di nodicorrispondenti.

La definizione si estende immediatamente anche ai grafi orientati: inquesto caso i rami corrispondenti devono essere orientati nello stesso verso.

2.3 Percorsi

Dati due nodi distinti di un grafo, viene detto percorso una catena di latiadiacenti (→ che hanno in comune un nodo) collegante i due nodi, dettiestremi del percorso ⇒ un percorso individua una successione alternata dinodi e lati. Ciascun nodo e ciascun ramo si incontrano una volta sola nelpercorso e non sono ammesse diramazioni (⇒ si incontrano k lati e k − 1nodi intermedi). L’orientazione non conta. Esempio (i percorsi sono segnaticon tratto discontinuo):


2. Grafi

a

d

ef

b

c

1

2 3

4

a

d

ef

b

c

1

2 3

4

Percorsoalternativo(piu breve)

Percorso 1→ 3 : a, 2, c, 4, f︸︷︷︸

3 lati, 2 nodi interni

Percorso 1→ 3 : b, 4, e︸︷︷︸

2 lati, 1 nodo interno

2.4 Sottografi, alberi e coalberi

Le definizioni che seguono prescindono dall’eventuale orientazione dei lati.

Un sottoinsieme degli elementi (nodi e lati) di un grafo viene detto sot-tografo. Per esempio, un percorso e un sottografo. Il resto del grafo vienedetto sottografo complementare.

Un sottografo che contenga solo nodi di ordine due e detto maglia (e unafigura chiusa). In altri termini, una maglia e un percorso con i due estremicoincidenti. Esempio (le maglie sono identificate da tratto discontinuo):

a

d

ef

b

c

1

2 3

4

Oppure a

d

ef

b

c

1

2 3

4

Albero : e un sottografo contenente uno e un solo percorso tra ogni cop-pia di nodi del grafo ⇒ e un sottografo contenente tutti i nodidel grafo e non contenente alcuna maglia (si veda il paragrafo 2.7).Alcuni esempi sono riportati in figura 2.1.

Il sottografo complementare di un albero e detto coalbero.

E facile verificare (si veda la definizione di percorso) che ogni albero diun grafo con n nodi e l lati e costituito da n − 1 lati (→ il coalbero ne hal − n+ 1). Nell’esempio, n = 4 e l = 6 ⇒ l’albero ha sempre tre lati.


2. Grafi

a. b.

c. d.

Figura 2.1: Esempi di albero. L’albero evidenziato nel grafo b. e detto alberoa stella: tutti i lati escono dallo stesso nodo.

2.5 Grafi connessi e sconnessi

Grafo connesso : grafo in cui esiste sempre un percorso che unisce duenodi qualsiasi.

1

2 3 4 5

Grafo sconnesso Grafo connesso

Nodo “appeso”

Grafo connesso incernierato in 3 e in 4

cerniere


2. Grafi

In caso contrario → grafo sconnesso ⇒ un grafo sconnesso e separatocompletamente in due o piu parti (→ e meno interessante: si riduce a due opiu casi piu semplici).

Un nodo si dice cerniera se, eliminandolo, restano due sottografi sconnes-si.

2.6 Grafi planari

Un grafo si dice planare quando puo essere tracciato su un piano senza incrocitra i lati (a parte i nodi). Altrimenti si dice non planare.

Esempio 2.6.1.

Sembra non planare, maesiste un grafo equivalentesenza incroci fra i lati ⇒ eplanare

Grafo non planare (non siriesce a “sbrogliarlo”)

2.7 Maglie e cocicli (tagli)

E gia stata definita una maglia (percorso chiuso con i nodi estremi coinci-denti); lungo una maglia si incontrano k nodi e k lati. Una maglia consentedue percorsi completamente distinti tra ogni coppia di nodi appartenenti allamaglia. Esempio:


2. Grafi

1

2 3

4b

d

efac

Verso di percorrenza(orario o antiorario)⇒ maglia orientata

3 nodi e 3 lati2 → 4: d, 3, foppure c

Anello esterno : maglia (unica) al cui esterno non esistono altri rami nenodi → a, d, e, b

Anello interno : maglia al cui interno non esistono altri rami ne nodi →e, f,d, f, c,a, b, c

A ogni maglia puo essere associato un verso di percorrenza (orario o antio-rario)⇒ maglia orientata (come la maglia c, d, f dell’esempio precedente).

Si dice taglio (o cociclo) di un grafo un qualsiasi sottoinsieme di raminecessari e sufficienti, se rimossi, a separare il grafo in due sottografi separati(ossia a rendere il grafo sconnesso). Ogni taglio partiziona in due l’insiemedei nodi del grafo. Se uno dei due insiemi contiene un solo nodo ⇒ si parladi taglio nodale (si veda il primo esempio in figura 2.2). A ogni taglio puoessere associato un verso (uscente dal taglio o entrante nel taglio) ⇒ taglioorientato (come il taglio a, c, e, f nel secondo esempio in figura 2.2).

2.8 Basi di maglie e di tagli

Per analizzare un grafo, non e necessario individuare tutte le maglie e tuttii tagli possibili. Basta individuare un sottoinsieme di maglie indipendenti eun sottoinsieme di tagli indipendenti. In generale, una maglia dipende daaltre due se contiene solo lati appartenenti a una o all’altra (un esempio emostrato in figura 2.3).

Come si possono trovare tutte le maglie indipendenti (⇒ base di maglie)e tutti i tagli indipendenti (⇒ base di tagli)? Si puo partire da un albero.Le maglie contenenti uno e un solo lato di coalbero costituiscono una base(maglie fondamentali) ⇒ l − n + 1 maglie fondamentali (= numero di latidi coalbero). Stesso discorso vale per i tagli contenenti uno e un solo lato dialbero (tagli fondamentali) ⇒ n− 1 tagli fondamentali (= numero di lati dialbero). A ogni base (di maglie e di tagli), e possibile associare una matricenel modo descritto nei paragrafi seguenti.


2. Grafi

a

d

ef

b

c

S1

togliendoi tre rami

ef

b

a

d

ef

b

c

S2

togliendoi quattro rami

d

b

taglio orientato

Sottografiseparati

Sottografiseparati

Figura 2.2: In questa illustrazione, S1 e S2 rappresentano superfici chiuse cheintersecano i rami di un taglio. Ciascuna di esse contiene un sottoinsieme deinodi del grafo corrispondente.

b

dca

Anello esterno: a, b, dAnello interno 1: a, b, cAnello interno 2: c, d

Figura 2.3: Esempio di grafo in cui l’anello esterno contiene solo latiappartenenti a quelli interni.


2. Grafi

2.9 Matrice di maglie

b

dca

linea continua: albero

linea tratteggiata: coalbero

In questo esempio l = 4 e n = 3, per cui il numero di maglie fondamentalie l−n+1 = 2. Si ordinano i lati partendo da quelli di coalbero: (⇒ a, d, b, c)e si orienta ogni maglia fondamentale come l’unico lato di coalbero in essacontenuto.

A questo punto si associa a ogni maglia fondamentale un vettore riga icui elementi sono tanti quanti sono i lati del grafo e il cui valore e:

-1 se il lato appartiene alla maglia e il suo ver-so e discorde rispetto al verso del lato dicoalbero contenuto nella maglia

0 se il lato non appartiene alla maglia1 se il lato appartiene alla maglia e il suo ver-

so e concorde con quello del lato di coalberocontenuto nella maglia

⇒ Nell’esempio, la matrice di maglie e:

B =

a d b ca 1 0 −1 1d 0 1 0 1

=[Il−n+1|Balb

]

Le colonne della matrice corrispondono a tutti i lati del grafo, ordinaticome specificato. Le righe corrispondono alle maglie fondamentali, ossia ailati di coalbero (presi nello stesso ordine delle prime l − n + 1 colonne).

Per come sono stai ordinati i lati, le prime l−n+1 colonne di B formanouna matrice identita. La conferma del fatto che le maglie considerate sono in-dipendenti e che le righe di B sono linearmente indipendenti (per la presenzadella matrice identita). Tutte le altre maglie dipendono da quelle considerate:infatti le maglie fondamentali coinvolgono tutti i lati del grafo (non esistonocolonne di B nulle)⇒ tutte le altre maglie dipendono da quelle fondamentali(si veda il paragrafo 2.8 per la definizione di maglie indipendenti).


2. Grafi

2.10 Matrice di tagli

b

dca

linea continua: albero

linea tratteggiata: coalbero

Per quanto riguarda i cocicli, si fa un ragionamento analogo. Nel casoraffigurato qui sopra, ci sono n− 1 = 2 tagli fondamentali. Si ordinano i laticome nel caso della matrice di maglie (ossia partendo da quelli di coalbero) e siorienta ogni taglio fondamentale come l’unico lato di albero in esso contenuto→ vettore costruito analogamente a prima.⇒ Nell’esempio, la matrice di tagli e:

A =

a d b cb 1 0 1 0c −1 −1 0 1

=[Acoa|In−1

]

In questo caso, le righe della matrice corrispondono ai tagli fondamentali,ossia ai lati di albero (ordinati come le ultime n− 1 colonne).

Per il resto valgono le stesse considerazioni fatte per B.

Proprieta:

BAT = 0 (sono matrici ortogonali)

Balb = − [Acoa]T

Esempio 2.10.1.

Cosa si puo dire di questo grafo?

1

2

3 4

5

6


2. Grafi

• E planare → grafo equivalente:

b

a

1

2

3 4

5

6

• E connesso.

• E incernierato (nel nodo 1).

• I lati a e b sono in parallelo.

• l = 8 lati e n = 6 nodi

n− 1 = 5 lati di albero ⇒ 5 tagli fondamentali.

l − n+ 1 = 3 lati di coalbero ⇒ 3 maglie fondamentali.

Provare, per esercizio, a individuare un albero e a ricavare le corrispon-denti matrici di maglie e di tagli.

2.11 Basi di anelli e tagli nodali e matrice di

incidenza

E possibile definire basi di maglie costituite da soli anelli (solo per grafiplanari): basta scartarne uno qualsiasi ⇒ ne restano l − n + 1.

E anche possibile definire basi costituite da soli tagli nodali (per qualsiasigrafo): basta scartarne uno qualsiasi (il nodo scartato viene detto nodo diriferimento) ⇒ ne restano n− 1.

La matrice di una base di tagli nodali, molto usata nella pratica, prendeil nome di matrice di incidenza (ridotta), che e molto semplice da costruire.

Esempio 2.11.1.


2. Grafi

4

1

2

3

5

a b

c

g

f

e d

h

Nodo di riferimento

Nodi appartenentialla base di tagli nodali

La matrice si costruisce associando a ogni taglio della base un vettore riga(⇒ la matrice ha n − 1 righe). Le colonne sono associate a tutti i lati delgrafo, ordinati a piacere (⇒ l colonne). Gli elementi di ogni riga (identificatadal nodo corrispondente al taglio nodale) valgono:

1 se il lato corrispondente alla colonna entra nel nodocorrispondente alla riga

-1 se esce0 se non e coinvolto dal taglio nodale

Quindi tutti i tagli nodali hanno orientazione entrante ⇒ la costruzionedella matrice e piu semplice che nel caso generale.

Matrice di incidenza (ridotta):

M =

a b c d e f g h1 −1 0 0 0 0 1 0 02 1 1 0 −1 1 0 0 03 0 −1 −1 0 0 0 0 14 0 0 0 0 −1 −1 −1 −1

Proprieta di M :

Data M , si riesce a ricostruire il grafo! Basta disegnare i nodi e numerarlie ispezionare le colonne di M : i lati vanno disegnati collegando le coppie dinodi corrispondenti a elementi non nulli in ogni colonna, con la convenzionestabilita. Se in una colonna c’e un solo elemento non nullo, il lato in questionetermina nel nodo di riferimento.

La matrice di incidenza completa si ottiene aggiungendo la riga relativaal nodo di riferimento (→ linearmente dipendente dalle altre).

2.12 Riepilogo

• Base di maglie (l − n + 1 maglie fondamentali = numero di lati dicoalbero) ⇒ matrice di maglie B =

[Il−n+1 | Balb

]


2. Grafi

• Base di tagli (n − 1 tagli fondamentali = numero di lati di albero)⇒ matrice di tagli A = [Acoa | In−1]

• caso particolare: Base di tagli nodali ⇒ matrice di incidenza(ridotta) M

• Proprieta:

BAT = 0

Balb = − [Acoa]T

2.13 Applicazione della teoria dei grafi ai cir-

cuiti

Finora non si e fatto riferimento a grandezze elettriche: si introducono ora.A ogni nodo k di un grafo e possibile associare una variabile reale (fun-

zione del tempo) detta potenziale elettrico (uk(t)). Per ogni coppia di nodidistinti, la tensione elettrica viene definita dalla differenza dei potenziali neinodi.

Convenzione grafica:

u1(t)

u2(t)

1

2

v12(t) = u1(t)− u2(t)

u1(t)

u2(t)

1

2

+

v12(t) = u1(t)− u2(t)

-

u1(t)

u2(t)

1

2

Se i nodi 1 e 2 sonouniti da un lato:

(lato orientato come la tensione)

In generale, per un grafo di n nodi, sono dunque definibili n × (n − 1)tensioni. Per fortuna in genere non e necessario prenderle tutte in consid-erazione! Basta considerare le l ≤ n × (n − 1) tensioni (di ramo) definite


2. Grafi

tra nodi connessi da un lato ⇒ definiamo il vettore delle tensioni di lato

v(t) =

v1...vl

.

nota : siccome ogni tensione e definita come differenza tra due potenziali⇒le tensioni non cambiano se si somma una costante arbitraria a tutti ipotenziali.

A ogni lato j di un grafo e possibile associare una variabile reale (funzionedel tempo) detta corrente (elettrica) ij(t).

Convenzione grafica:

jij j ramo orientatocome la corrente

ij

Le correnti associate ai lati di un grafo vengono dette correnti di lato

e sono raggruppate nel vettore colonna i(t) =

i1(t)...

il(t)

.

2.14 Legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL)

(1847)

Dato un sottoinsieme qualsiasi dei nodi di un grafo, si definisce una sequenzaordinata e chiusa di coppie di nodi (per esempio, nel grafo di figura 2.4 si escelta la sequenza (3, 2), (2, 5), (5, 4), (4, 1), (1, 3)). La somma delle tensionidefinite su tale sequenza e nulla.

Le tensioni v32(t), v25(t), v54(t), v41(t), v13(t) sono orientate in modo che lafreccia di ciascuna tocca la coda della precedente⇒ percorso chiuso orientatoin senso orario.

Si verifica ora la validita della KVL:v32(t) + v25(t) + v54(t) + v41(t) + v13(t) = (u3 − u2) + (u2 − u5) + (u5 −

u4) + (u4 − u1) + (u1 − u3) = 0


2. Grafi

1

2

3 4

5

6

v13(t)

v32(t)

v54(t)

v41(t)

v25(t)

Figura 2.4: Esempio di sequenza ordinata e chiusa di coppie di nodi; il nodo 6e stato escluso dalla sequenza.

1 2

v12(t)

v21(t)

Caso particolare: ⇒ v12(t) = −v21(t)

N.B.: se la sequenza chiusa di coppie di nodi individua una maglia e Be la matrice di una qualsiasi base di maglie, si puo scrivere che B · v(t) = 0(l − n+ 1 KVL indipendenti), dove v(t) e il vettore delle tensioni di lato.

Ovviamente le KVL indipendenti che si ottengono in questo modo dipen-dono dalla scelta dell’albero.

Esempio 2.14.1.

a

b

c d Lati orientati come le tensioni


2. Grafi

Bv(t) =

a d b ca 1 0 −1 1d 0 1 0 1

vavdvbvc

=

[va − vb + vc

vd + vc

]

=

[00

]

︸︷︷︸

Leggi di Kirchhoff per le maglie fondamentali

2.15 Legge di Kirchhoff delle correnti (KCL)

(1847)

La somma algebrica delle correnti che attraversano un qualsiasi taglio di ungrafo e nulla. Se A e la matrice di una qualsiasi base di tagli ⇒ Ai(t) = 0(n− 1 KCL indipendenti) (i(t) e il vettore delle correnti di lato).

Esempio 2.15.1.

a

b

c d Lati orientati come le tensionie convenzione normale

ia

ib

idicic

Ai(t) =

a d b cb 1 0 1 0c −1 −1 0 1

iaidibic

=

[ia + ib

−ia − id + ic

]

=

[00

]

2.16 Formulazioni alternative delle leggi di

Kirchhoff

Si puo dare una formulazione alternativa delle equazioni di Kirchhoff sfrut-tando la proprieta in base alla quale per una qualsiasi scelta di albero (→base di tagli fondamentali e base di maglie fondamentali) si ha: BAT = 0.

Ma allora:B︸︷︷︸

adim.

v(t)︸︷︷︸

[V ]

= 0︸︷︷︸

[V ]

= BAT︸︷︷︸

adim.

vT (t)︸︷︷︸

[V ]

dove v(t) e il vettore delle tensioni di lato, mentre vT (t) rappresenta ilcosiddetto vettore delle tensioni di taglio (le cui componenti sonoarbitrarie).


2. Grafi

Dal confronto tra il primo e l’ultimo termine della sequenza di equazioni⇒ v(t) = ATvT (t).

Queste sono KVL in forma ridondante (l equazioni invece di l − n + 1).In generale, le tensioni di taglio non hanno un riscontro fisico immediato.

Discorso duale vale per le KCL. Base di maglie fondamentali

⇒ A︸︷︷︸

adim.

i(t)︸︷︷︸

[A]

= 0︸︷︷︸

[A]

= ABT︸︷︷︸

adim.

iC(t)︸︷︷︸

[A]

dove i(t) e il vettore delle correnti di lato, mentre iC(t) rappresenta il cosid-detto vettore delle correnti cicliche (le cui componenti sono arbi-trarie).

Dal confronto tra il primo e l’ultimo termine della sequenza di equazioni⇒ i(t) = BT iT (t).

Queste sono KCL in forma ridondante (l equazioni invece di n− 1).Nel caso particolare dellamatrice di incidenza (⇒ base di tagli nodali),

il vettore delle tensioni di taglio assume un significato fisico ben precisoe viene detto vettore delle tensioni di nodo (rispetto al nodo di

riferimento): e =

e1...

en−1

.

Dunque le leggi di Kirchhoff per la matrice di incidenza si possono es-primere cosı:

Mi(t) = 0

v(t) = MT e

nell’ipotesi di lati orientati come le tensioni.

Esempio 2.16.1.

b

b b

b

b

a

d

g

b e

c

h

f

1 2

3

04

e3

e2e1


2. Grafi

M =

a b c d e f g h1 1 1 1 0 0 0 0 02 0 0 −1 0 1 0 0 −13 0 −1 0 1 −1 1 0 04 −1 0 0 −1 0 0 −1 0

v =

vavbvcvdvevfvgvh

= MT

e1e2e3e4

=

1 0 0 −11 0 −1 01 −1 0 00 0 1 −10 1 −1 00 0 1 00 0 0 −10 −1 0 0

e1e2e3e4

=

e1 − e4e1 − e3e1 − e2e3 − e4e2 − e3

e3−e4−e2

2.17 Riepilogo su matrici varie e leggi di Kirch-

hoff

KVL: # equaz.

Bv(t) = 0, dove B e unamatrice di maglie e v(t)il vettore delle tensioni dilato.

l − n + 1 (maglie fondamentali ⇔ basedi maglie).

v(t) = ATvT (t), dove A euna matrice di tagli e vT (t)e il vettore delle tensioni ditaglio.

l (ridondanti. E possibile ripor-tarsi a l−n+1 equazioni elim-inando n − 1 componenti delvettore vT (t)).

v(t) = MT e(t), dove M e lamatrice di incidenza ridot-ta e e(t) e il vettore delletensioni di nodo (rispetto alriferimento).

l (idem).


2. Grafi

KCL: # equaz.

Ai(t) = 0, dove A e una ma-trice di tagli e i(t) il vettoredelle correnti di lato.

n− 1 (tagli fondamentali ⇔ base ditagli).

Mi(t) = 0 n− 1 (tagli nodali ⇔ base di taglinodali).

i(t) = BT iC(t), dove iC(t)e il vettore delle correnticicliche.

l (ridondanti. E possibile ripor-tarsi a n − 1 equazioni elimi-nando l−n+1 componenti delvettore iC(t)).

Il vettore e costituisce una particolare scelta delle tensioni di taglio nelcaso in cui la base di tagli sia costituita da tagli nodali.

In generale vT (t) (cosı come iC(t)) e arbitrario e non ha un significatofisico preciso.

2.18 Grafo di un componente

1

2 N − 1

N

generico N – polo

La scelta piu comune e quella relativa alla convenzione normale (degliutilizzatori), con le tensioni riferite a un nodo di riferimento (detto anchecomune):

Questa e la scelta standard, ma ne esistono altre. In generale va bene unqualunque albero, per esempio:


2. Grafi

1

2 N − 1

0

Comunev1

vN−1

v2

i1

i2 iN−1

⇒

01

2 N − 1

v1

v2vN−1

i1

i2 iN−1

Figura 2.5: Questo grafo si dice grafo a stella ed e orientato come letensioni.

1

2 N − 1

0

⇒

01

2 N − 1

In ogni caso si hanno N nodi e N − 1 lati ⇒ servono 2(N − 1) variabilidescrittive: N − 1 tensioni e N − 1 correnti (sono tutte e sole le variabilinecessarie e sufficienti a caratterizzare l’N -polo). Tutte le altre si ricavanocome combinazioni lineari di queste (tramite KCL e KVL). Ecco perche nelcaso dei bipoli (N = 2) bastano due variabili descrittive e perche non siconsiderano componenti a un polo:

i ≡ 0 non si puo definire una tensione, inoltrei ≡ 0 ⇒ ha senso studiare un’antennasolo dal punto di vista propagativo (→campi elettromagnetici).


2. Grafi

Curiosita:

Potenza assorbita da un N -polo?Per calcolarla bisogna riportare le tensioni e correnti descrittive alla scelta

convenzionale (→ grafo a stella):

v1

vN−1

v2

i1

i2 iN−1 p(t) =

N−1∑

k=1

vkik

potenza assorbita (quel-la erogata ha segno oppos-to).

Esempio 2.18.1.

Determinare la potenza assorbita dal (entrante nel) 4-terminali in figura.Esprimere il risultato in termini delle variabili descrittive in figura, ordinandorispetto alle tensioni v1, v2 e v3.


2. Grafi

v1 v2

v3

ib ic

ia

Per calcolare la potenza entrante bisogna riferirsi al grafo a stella (→ sisceglie un nodo di riferimento):

v1

v1 + v2 − v3

v1 + v2

i

ic

−ia

i = ia − ib − ic

Ora possiamo calcolare la potenza assorbita (grafo a stella e convenzionenormale) ⇒ p(t) = v1(ia − ib − ic) + (v1 + v2)ic + (v1 + v2 − v3)(−ia) =−v1ib + v2(ic − ia) + v3ia

2.19 Teorema di Tellegen (o delle potenze vir-

tuali) (1952)

Teorema 1. Dato un sistema di variabili (correnti di lato) i′ e un insiemedi variabili (tensioni di lato) v′′ compatibili 1 con uno stesso grafo, la

1Ossia tali da rispettarne la KVL per una base di maglie e la KCL per una base ditagli ⇔ ciascun insieme di per se soddisfa le equazioni topologiche di un qualsiasi circuito

associato a tale grafo, per cui i due insiemi possono anche riguardare due circuiti diversi.


2. Grafi

somma delle potenze virtuali associate a tali insiemi e assorbite (secondola convenzione normale) da tutti i lati del grafo e identicamente nulla:

l∑

h=1

i′hv′′h = 0 ⇔ i′T · v′′ = 0

Dimostrazione. Si usa la matrice di incidenza per esprimere KCL e KVL:

Mi′ = 0

v′′ = MT e′′

Bilancio delle potenze virtuali assorbite da tutti i lati del grafo:

i′T · v′′ = v′′T · i′ == e′′T Mi′

︸︷︷︸

0

= 0

N.B.: i′ e v′′ possono appartenere a due circuiti completamente diversitra loro: basta che i grafi corrispondenti siano equivalenti, anche nelle orien-tazioni. Inoltre il teorema di Tellegen non precisa se le componenti dei vettorii′ e v′′ debbano essere funzioni del tempo o costanti, reali o complesse: bastache siano insiemi di funzioni compatibili con lo stesso grafo. Si noti infine chel’unica ipotesi del teorema (oltre alla compatibilita di i′ e v′′ con uno stes-so grafo) riguarda il ricorso alla convenzione normale (o degli utilizzatori).Questo rende il teorema di Tellegen uno dei piu generali di tutta la teoria deicircuiti (lineari e non).

Corollario

La somma delle potenze assorbite dai lati di una rete elettrica e identica-mente nulla. In questo caso le tensioni e le correnti vengono associate a unostesso circuito e il corollario non fa che esprimere il principio di conservazionedell’energia.

Nota storica: il teorema di Tellegen e stato formulato un secolo piutardi rispetto alle leggi di Kirchhoff, pur essendovi strettamente legato. Inparte questo e dovuto al fatto che l’applicazione della teoria dei grafi aicircuiti e successiva alle due leggi di Kirchhoff.


2. Grafi

2.20 Esercizi

2.20.1 Esercizio 2 foglio 1

10 bipoli ⇒ ogni bipolo corrisponde a un lato1 tripolo ⇒ ogni tripolo corrisponde a due lati ⇒ ci sono 10 + 2 lati.Grafo:

l = 12 latin = 8 nodi

Servono l equazioni topologiche:l−n+1 = 5 equazioni di maglia (→ si possono considerare gli anelli, per

esempio quelli interni), n− 1 = 7 equazioni di nodo;Servono inoltre l equazioni dei componenti.

2.20.2 Esercizio 3 foglio 1

Si disegnano i due insiemi di variabili descrittive sullo stesso componente:

1

2

3

0

v1

v3

v2

va

vc

vb

ia

ib

ic

i2

i3

i1

Dalle KCL e KVL si ricavano le relazioni richieste:

ia = i1 va = v2 − v1

ib = −i2 vb = v2 − v3

ic = −i3 vc = −v3


Capitolo 3

Bipoli adinamici e circuitielementari

3.1 Generalita

Nelle lezioni precedenti sono stati introdotti in modo molto generale i compo-nenti di un circuito ed e stata definita un’astrazione matematica del circuito,detta grafo, tramite la quale ricavare tutte le informazioni possibili sullatopologia del circuito stesso.

In particolare, dato un circuito associato a un grafo con n nodi e l lati, epossibile individuare 2l variabili: l correnti (i(t)) e l tensioni (v(t)) di lato.Siccome risolvere un circuito significa determinare l’andamento nel tempodelle correnti e delle tensioni di lato, in totale si avranno 2l incognite.

Quante equazioni si hanno? La topologia del circuito fornisce le KVL(l−n+1) e le KCL (n−1), che in totale sono l⇒ mancano altre l equazioni,per rendere il problema determinato. Queste l equazioni vengono fornitedalla natura dei componenti che formano la rete e sono le equazioni costi-tutive dei componenti stessi. Le relazioni costitutive dei componenti fisicicomunemente usati suggeriscono una classificazione dei componenti stessi intre grandi classi, indipendenti l’una dall’altra:

41

3. Bipoli adinamici e circuiti elementari

componentedinamico (con memo-ria) o adinamico (o re-sistivo o senza memoria)

Un componente si dice adinamico se la suarelazione costitutiva non contiene derivate e/ointegrali delle variabili descrittive rispetto altempo.

tempo-variante otempo-invariante

Un componente si dice tempo-invariante se lasua relazione costitutiva non cambia nel tempo.Le variabili descrittive dipendono (in generale)dal tempo, ma il modo in cui sono legate tra lorono.

lineare o non lineare Un componente si dice lineare se, dati due vet-tori ammissibili (compatibili con il grafo) di vari-abili descrittive, anche una loro combinazionelineare e un vettore ammissibile.

Esempio 3.1.1.

iv

Relazione costitutiva (in forma implicita, cioe del tipof(i, v) = 0 e non v = f(i) o i = f(v)): αv(t)− βi(t) + γ = 0⇒ i(t) = α

βv(t) + γ

β(forma esplicita)

α, β e γ sistemano le dimensioni fisiche: αβ= g, conduttanza,

γβ= I0, corrente.

Non compaiono derivate e/o integrali rispetto al tempo delle variabilidescrittive⇒ adinamico. Il legame tra le variabili descrittive non cambia neltempo ⇒ tempo-invariante.

Il componente e lineare se:

v1 i1 e v2 i2

implica:

v1 + v2 i1 + i2

In questo caso:

i1 = gv1 + I0i2 = gv2 + I0

i1 + i2 = g (v1 + v2) + 2I0 6= i(v1 + v2)



⇒ Non e soddisfatta la relazione costitutiva ⇒ non lineare (a meno chenon sia I0 = 0).

Esempio 3.1.2.

iv

Relazione costitutiva (forma implicita): αt2v(t)+βetv(t)dvdt−

γi3(t)− δ d2idt2

+ ǫt= 0

Compaiono le derivate rispetto al tempo ⇒ dinamico. Illegame tra v e i cambia nel tempo (termini t2, et, 1/t) ⇒tempo-variante. Esiste un termine non lineare (i3(t)) ⇒ nonlineare.

Esempio 3.1.3.

v1 v2

i1 i2

3-polo → 2 equazioni descrittive:αv1 + βv2 + γv2 − δi1 − ǫı1 + ζi2 − η = 0θv1 + κv1 − λv2 + µi1 − ξi2 = 0Dinamico, tempo invariante (i coefficienti dellevariabili sono costanti), non lineare (la primaequazione e non lineare, la seconda e lineare).

I componenti degli esempi avevano relazioni costitutive piuttosto fan-tasiose! Prima di introdurre i componenti che saranno usati nel corso, sispecifica una quarta proprieta importante di un componente.

3.2 Base di definizione

Un bipolo puo essere definito su base tensione (se e possibile assegnare lib-eramente la tensione riuscendo a determinare univocamente la corrente), subase corrente (se e possibile assegnare liberamente la corrente riuscendo adeterminare univocamente la tensione), su nessuna base (se non e possibileassegnare liberamente ne la corrente ne la tensione), su entrambe le basi.



Piu in generale, un N -polo puo ammettere base tensione (→ assegnate tuttele tensioni ⇒ tutte le correnti), base corrente (viceversa), nessuna base obase mista (assegnando liberamente un po’ di tensioni descrittive e un po’ dicorrenti descrittive per un totale di N − 1 variabili descrittive → si ricavanounivocamente tutte le altre N − 1 variabili descrittive).

3.3 Classificazione in termini energetici di un

bipolo

Si e gia visto che, utilizzando la convenzione normale, il prodotto v(t)i(t) =p(t) e la potenza assorbita dal bipolo. Dunque:

i

v

Ivi > 0

IIIvi > 0

IIvi < 0

IVvi < 0

vi > 0 ⇒ p > 0 ⇒ il bipolo as-sorbe potenza (positiva)vi < 0 ⇒ p < 0 ⇒ il bipolo as-sorbe potenza negativa (⇔ erogapotenza positiva)

Sulla base di queste considerazioni generali e possibile classificare il compor-tamento energetico di un bipolo:

• inerte → p(t) ≡ 0 ⇔∫ t

−∞ p(τ)dτ ≡ 0 ∀t e ∀ situazione elettrica ⇔ lacaratteristica i-v giace su uno degli assi.

• dissipativo (o passivo) → p(t) ≥ 0⇔∫ t

−∞ p(τ)dτ ≥ 0 ∀t e ∀ situazione⇔ la caratteristica giace nel I e nel III quadrante (assi compresi)

• strettamente attivo → p(t) ≤ 0⇔∫ t

−∞ p(τ)dτ ≤ 0 ∀t e ∀ situazione ⇔la caratteristica giace nel II e nel IV quadrante (assi compresi)

• attivo → p(t) puo essere sia positiva sia negativa ⇔ la caratteristicagiace in almeno un quadrante dispari e almeno un quadrante pari.



i

v

inerte

inerte

dissipativo

strettamente attivo

attivo

attivo

3.4 Componenti notevoli

3.4.1 Resistore

Rv

i

legge costitutiva: v(t) = Ri(t)(legge di Ohm) R e un parametro detto re-sistenza.

[R] =[vi

]= V

A= Ohm (Ω)

Ordini di grandezza: dai µΩ ai MΩ.Graficamente:

i

v

α

R = tanα

Proprieta:

• Salvo diverso avviso, si supporra R > 0 ⇒ la caratteristica sta nelprimo e terzo quadrante ⇒ componente dissipativo. Se fosse R < 0⇒ componente strettamente attivo (assorbe potenza negativa⇔ erogapotenza positiva).



• Se R e indipendente dal tempo ⇒ la legge costitutiva non cambia neltempo ⇒ componente tempo-invariante. Tipicamente si supporra cheR sia costante (componente ideale). Nei componenti reali il valore diR puo cambiare con la temperatura, per usura, ecc.

• Se si assegna liberamente i⇒ si ricava univocamente v⇒ esiste la basecorrente. Ma e vero anche il viceversa ⇒ esiste anche la base tensione.Dunque, purche R 6= 0 e R 6→ ∞, esistono entrambe le basi.Sul piano v, i si ha:

v

i

90− α

α

i = Gv

tg (90− α) =sen (90− α)

cos (90− α)=

=cosα

senα=

1

tgα=

=1

R.= G (conduttanza)

[G] =1

Ω= S siemens

• Componente lineare:

v1 = Ri1v2 = Ri2

⇒ v1 + v2 = R (i1 + i2)

Si esaminano ora due casi particolari:

1. Se R = 0 (G→∞) ⇒ v(t) ≡ 0 ∀i(t)

i

v

→ bipolo limite detto corto circuito

v

i



• inerte;

• esiste base corrente (per ogni i si ha una sola v);

• non esiste base tensione (non e possibile assegnarla liberamente);

2. Se R→∞ (G = 0) ⇒ i(t) = limR→∞v(t)R≡ 0 ∀v(t)

i

v

→ bipolo limite detto circuito aperto

v

i

• inerte;

• esiste base tensione (per ogni v si ha una sola i);

• non esiste base corrente (non e possibile assegnarla liberamente);

3.4.2 Generatore ideale di tensione (sorgente impres-siva di tensione)

Si definisce generatore ideale di tensione un bipolo in cui sia nota la tensionetra i morsetti, qualsiasi sia la corrente che lo attraversa.

e(t)v

i

oppure e(t)

+

v

ilegge costitutiva:

v(t) = e(t)

dove e(t) e la tensioneimpressa [V ]

Esempi nel caso e(t) = costante: pile e accumulatori (finche non si scari-cano!).Esempio nel caso di e(t) variabile nel tempo: prese di tensione di uso domes-tico:



............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................

t

+E

−E

e(t)

T

e(t) = Ecos (ωt+ φ)ω = pulsazione = 2π

T= 2πf

f = 50Hz (rete elettrica italiana).

Graficamente:

v

i

e(t) i

v

e(t)

Si puo pensare al tempo come a un parametro che fa muovere orizzontalmente(o verticalmente) la caratteristica v = e(t).

Proprieta:

• attivo (un quadrante pari e uno dispari);

• in generale, tempo-variante;

• esiste solo base corrente (non e possibile assegnare liberamente v);

• non lineare:

i1 → v1 = ei2 → v2 = e

i1 + i2 → v = e 6= v1 + v2

• se e(t) ≡ 0⇒ v(t) ≡ 0⇒ corto circuito.



3.4.3 Generatore ideale di corrente (sorgente impres-siva di corrente)

Bipolo in cui e nota la corrente che lo attraversa, qualsiasi sia la tensione trai morsetti.

- a(t)v

i

oppure a(t)v

ilegge costitutiva

i(t) = −a(t)

dove a(t) e la corrente im-pressa [A]

Graficamente:

v

i

−a(t)

i

v

−a(t)

Proprieta:

• attivo;

• tempo-variante (in generale);

• esiste solo base tensione;

• non lineare;

• se a(t) ≡ 0⇒ i(t) ≡ 0⇒ circuito aperto.

3.5 Modelli di Thevenin e Norton

Un bipolo adinamico generico, che non sia ne impressivo ne lineare (→ nonricade in quelli visti finora), puo essere rappresentato tramite due modelliequivalenti: il modello di Thevenin (utilizzabile quando esista la base cor-rente) e quello di Norton (utilizzabile quando esista la base tensione). Igeneratori ideali e il resistore sono casi particolari.



Thevenin:v = eTH +RTHi

(KVL)eTH(t)

RTH

+

v

i

eTH v

RTHi

KVL

Norton:i = aNR +GNRv

(KCL) 1GNR

-aNR(t) v

i

GNRv

aNR iKCL

Figura 3.1: I grafi dei circuiti equivalenti sono orientati come le tensioni.

Se esistono entrambe le basi, allora e possibile passare da un modello all’altro:

RTH-− eTH

RTHv

i

v = eTH+RTHi⇔ i =v

RTH− eTH

RTH

− aNR

GNR

1GNR

+v

i

i = aNR+GNRv ⇔ v =i

GNR− aNR

GNR

Esercizio:Verificare per esercizio che la potenza minima assorbibile da un bipolo nonlineare e non impressivo con resistenza interna positiva e:

Pmin = − e2TH

4RTH= − a2NR

4GNR

Soluzione:thevenin

p = vi = v

(v

RTH− eTH

RTH

)

=

=v2

RTH− v

eTH

RTH=

(v√RTH

− eTH

2√RTH

)2

− e2TH

4RTH



.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

v

p

− e2TH

4RTH

eTH

2

norton

p = vi =i2

GNR− i

aNR

GNR=

(i√GNR

− aNR

2√GNR

)2

− a2NR

4GNR

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

i

p

− a2NR

4GNR

aNR

2

I modelli equivalenti di Thevenin e Norton possono essere visti anche comesorgenti non ideali di tensione e di corrente, rispettivamente (tengono contodi fattori resistivi interni ai dispositivi fisici).

3.6 Connessione in serie e in parallelo di bipoli

3.6.1 Connessione in serie

La regola esemplificata in figura 3.2 e del tutto generale: due bipoli sonoconnessi in serie se sono gli unici bipoli incidenti lo stesso nodo, cioe se da



ic ia ib

va vb

vc

va vb

vc

ia ib

icLati orientati

come le tensioni

tagli nodali ⇒ ia = ib = icmaglia ⇒ vc = va + vb

Figura 3.2: Connessione in serie di due bipoli.

soli costituiscono un taglio nodale (⇒ sono percorsi dalla stessa corrente).Esempio:

Bipolocomposito

1

A

B

Bipolocomposito

2

ia

ib

va

vb

v1 v2

I due bipoli A e B costituiscono un taglio non nodale, ma e possibile ricondursia una configurazione equivalente tenendo conto che i quattro bipoli formanouna maglia ⇒ sono attraversati dalla stessa corrente (ciclica):

Bipolocomposito

1

A BBipolo

composito2

ia ibva vb

v1 v2

L’estensione al caso di piu di due bipoli e immediata.La connessione in serie di due bipoli adinamici definiti su base corrente

e mostrata in figura 3.3(a). Il modello equivalente di Thevenin del bipolo erappresentato in figura 3.3(b), dove:

RTHc= RTHa

+RTHb

eTHc= eTHa

+ eTHb

E facile verificare queste espressioni, tenendo presente che:



RTHa

eTHa

+

RTHb

eTHb

+

ia ib

ic

va vb

vc

(a)

RTHc

eTHc

+

ic

vc(b)

Figura 3.3: (b) Modello equivalente di Thevenin del bipolo complessivo(a) costituito dalla connessione in serie tra due bipoli che ammettono basecorrente (e quindi ammettono il modello equivalente di Thevenin).

va = RTH ia + eTHa

vb = RTHib + eTHb

(Thevenin)

vc = va + vb

ic = ia = ib

(serie)

Verifica.

vc = va + vb = RTHaia + eTHa

+RTHbib + eTHb

⇔

vc = (RTHa+RTHb)

︸︷︷︸

RTHc

ic + eTHa+ eTHb

︸︷︷︸

eTHc

Esempi con bipoli notevoli. Esistono tre possibilita:a) entrambi i bipoli connessi in serie ammettono la base corrente ⇒ laconnessione e pienamente sensata.



Ra Rb ⇔Ra +Rb

ea(t)

+

eb(t)

+⇔

ea(t) + eb(t)

+

b) Uno solo dei due componenti ammette la base corrente ⇒ il bipolocomplessivo coincide con l’altro, dato che la tensione complessiva non e vin-colata (infatti quella del componente non definito su base corrente e libera),mentre la corrente ic e imposta dal componente stesso. Gli unici bipoli noti almomento non definiti su base corrente sono il circuito aperto e il generatoredi corrente.

ic

va vbvc

⇔vc = va + vb

ic = 0

I

a→ic

va vbvc

⇔ I

vc = va + vb

ic = a

In entrambi gli esempi ri-portati qui a lato va none vincolata ⇒ nemmenovc lo e.Le equivalenze valgonopurche non interessi de-terminare va o vb.

nota: il generico bipolo indicato nelle figure sovrastanti e un bipolonotevole diverso da un generatore di corrente e da un circuito aperto.

c) Se nessuno dei due componenti ammette la base corrente⇒ o non possonoessere connessi in serie (generano situazioni assurde) o generano situazioninon determinate.



I

aa←I

ab←assurdo (non ammissibile) per KCL

I

a←assurdo (non ammissibile) per KCL

va vb

vc

⇔vc

non determinata (non si riescono a determinare va e vb)

Nell’ultimo degli esempi, si hanno ia = 0 e ib = 0 come equazioni costitutive,mentre va e vb non sono vincolate. Dunque, supponendo di poter determinarevc sulla base di collegamenti con il resto del circuito, si puo solo dire chevc = va + vb ⇒ ci sono infinite coppie va, vb che soddisfano la relazione.

Caso particolare:ic

va = 0 vb

vc

≡ic

vc = vb

3.6.2 Connessione in paralleloic

ia ibvc va vb va

ic

ia

ib

vc vb

tagli nodali ⇒ ic = ia + ibmaglia ⇒ vc = va = vb

Questa e una regola del tutto generale (facilmente estendibile al caso di piubipoli in parallelo).Connessione parallelo di due bipoli adinamici definiti su base tensione: en-trambi ammettono il modello equivalente di Norton.



Ra-aa Rb-ab

ic

va vbvc ⇔ Rc-acvc

ic

Verificare, tenendo conto delle regole di connessione in parallelo e dei modelliequivalenti di Norton, che:

Rc =RaRb

Ra +Rb

⇔ Gc = Ga +Gb

e

ac = aa + ab

Esempi nel caso di bipoli notevoli.a) Quando entrambi i bipoli ammettono base tensione, non esistono problemi:

Rb

Ra

≡RaRb

Ra+Rb

I

aa←

Iab←

≡I

aa+ab←

b) Quando solo uno dei due bipoli non ammette base tensione (gli unici bipolifinora introdotti aventi questa caratteristica sono il generatore di tensione eil corto circuito) allora il bipolo equivalente coincide con esso (la correntecomplessiva non e vincolata, mentre la tensione e imposta da tale bipolo):

R

+e(t)

ib =eRia

≡+

e(t) ≡ - ↑ a(t)+

e(t)

ib = −aia

Queste equivalenze valgono soltanto se non interessa determinare ia o ib.



R

0i

0 ≡

i

≡ - ↑ a(t)icc = i+ a

i

0

Quest’ultimo e un caso meno ovvio; quello che conta e che la tensione ai capidel bipolo parallelo e nulla ⇒ il tutto equivale a un corto circuito (a menoche non si debba determinare icc)c) Quando entrambi i bipoli non ammettono base tensione ⇒ la connessioneparallelo non e ammissibile o crea situazioni non determinate.

i+

e(t) → incompatibili ←+eb(t)

+ea(t)

ia ib

non determinata (non si sannodeterminare ia e ib).

Caso particolare:

ia 0

ic

vc ≡

ic = ia

vc

3.6.3 Partitori resistivi

• Partitore (semplice) di tensione.

Ra

va

Rb vb

i

vv = i (Ra +Rb) &

va = Raiavb = Rbib

⇒ va = v · Ra

Ra+Rb& vb = v · Rb

Ra+Rb



La tensione viene ripartita tra i resistori in proporzione ai valori delleloro resistenze.

• Partitore (semplice) di corrente.

Ra

iaRb

ib

i

v

i = v (Ga +Gb) = v(

1Ra

+ 1Rb

)

&

ia = vGa

ib = vGb

⇒

ia = i Ga

Ga+Gb= i Rb

Ra+Rb

ib = i Gb

Ga+Gb= i Ra

Ra+Rb

La tensione viene ripartita tra i resistori in proporzione ai valori delleloro conduttanze, ossia in maniera inversamente proporzionale ai valoridelle loro resistenze.

• Partitori multipli.La regola si estende facilmente:

RN R4 R3 R2

R1 v1

i

v

vk = vRk

∑Nj=1Rj

, k = 1, · · · , N

RN R4 R3 R2 R1

i1

i

v

ik = iGk

∑Nj=1Gj

, k = 1, · · · , N

Esempio:



R1

R2

R2

+V

-R2

R2

E

+

Determinare il valore che deve avereR1 affinche l’indicazione del voltmetrosiaE

4

Nei rami in parallelo passa la stessa corrente (i resistori sono tutti uguali).

R1

v1

2R2 2R2 v2E

+

Ma per il partitore di tensione si ha:

v2 = EReq

R1 +Req

Req =4R2

2

2R2 + 2R2

=4R2

2

4R2

= R2

⇒ E

2= E

R2

R1 +R2

⇔ R1 +R2 = 2R2 ⇔ R1 = R2


Capitolo 4

Doppi bipoli adinamici ecircuiti elementari

Di un circuito elettrico puo essere utile avere rappresentazioni di tipo diverso,a seconda del tipo di analisi che si intende effettuare. Tra le altre, esistonodescrizioni che riguardano la capacita di una parte del circuito di interagire colresto: in tal caso, non occorre descrivere nel dettaglio la struttura interna ditale parte, ma basta caratterizzarne il comportamento in termini dei possibilicollegamenti con altre parti.

Definizione di N-porte Per N-porte si intende una rete nella quale sianomesse in evidenza N coppie di terminali (dette porte), destinate al collega-mento con altrettanti bipoli o reti di tipo bipolare (→ la corrente entrante inun terminale della porta deve coincidere con quella uscente dall’altro).

NN N1

N2Nk

N-porte

i2

(i2) v2

(i1)

i1v1

iN

(iN )vN

ik

(ik)vk

61

4. Doppi bipoli adinamici e circuiti elementari

Agli effetti del collegamento con altre reti, l’N-porte e descritto dalle Ntensioni di porta e da altrettante correnti di porta. Si esamina ora il caso dei2-porte.

4.1 2-porte o doppi bipoli

Un 2-porte si rappresenta (con la convenzione degli utilizzatori) in questomodo (configurazione propria):

i1

(i1) (i2)

i2

v1 v2

Esiste anche la configurazione tripolare, in alcuni casi:

v1 v2

i1 i2

Come si e visto, un bipolo puo ammettere base corrente e/o base tensione.Il 2-porte, nel suo complesso, puo ammettere:

• base corrente (→ date (i1, i2) qualsiasi ⇒ si determinano univoca-mente (v1, v2));

• base tensione (→ date (v1, v2) qualsiasi ⇒ si determinano univoca-mente (i1, i2));

• base mista (→ date (i1, v2) [o (v1, i2)] qualsiasi ⇒ si determinanounivocamente (v1, i2) [o (i1, v2)]);

• nessuna base.

N.B. (i1, v1) e (i2, v2) non sono basi perche non e possibile imporre contem-poraneamente tensione e corrente arbitrarie sulla stessa porta.

Che differenza c’e tra un 2-porte e un 4-terminali?



4-term.

1 2

30

v1

v2 v3

i1 i2

i3

i1 + i2 + i3

2-porte

i1

(i1) (i2)

i2

v1 v2

Il 4-terminali ha 6 variabili descrittive, mentre il 2-porte ne ha solo 4 (c’e unvincolo su ogni porta: corrente in ingresso = corrente in uscita).

Grafo di un 2-porte:i1 i2

v1 v2

1

2

3

4

→

1

2

3

4

Grafosconnesso

DBT B

Esempio:

→ vDB1vT2 vBvDB2

vT1

Grafo sconnesso

nota: Le equazioni costitutive dipendono dalle variabili descrittive di en-trambe le porte, in generale. La situazione raffigurata qui sotto e soloun caso limite di 2-porte.

v1 v2

i1 i2



4.2 Rappresentazione dei 2-porte

Si considerano circuiti, accessibili da due porte, che siano lineari e tempo-invarianti (→ privi di generatori indipendenti).

Lineare&

t.-inv.

i1 i2

v1 v2

Essendo lineare, ogni 2-porte puo essere descritto attraverso due equazionilineari omogenee nelle quattro variabili descrittive ⇒ e possibile esplicitaredue variabili in funzione delle altre due ⇒ le due equazioni risultanti sonocaratterizzate da quattro coefficienti, che costituiscono i parametri (costanti,perche il 2-porte e tempo-invariante) della rappresentazione. Ciascun in-sieme di parametri ha caratteristiche proprie, che lo rendono migliore di altriper specifiche configurazioni, anche se tutti (purche esistano) caratterizzanocompletamente la rete. In termini generici, le equazioni risultanti sono:

[u1

u2

]

=

[a bc d

] [w1

w2

]

dove a, b, c e d sono i parametri, mentre u1, u2, w1 e w2 sono la quaterna divariabili descrittive del 2-porte.Ci sono sei possibili scelte per la coppia di variabili indipendenti⇒ sei diversematrici:

• Matrice di resistenza [R]

[v1v2

]

=

[r11 r12r21 r22

] [i1i2

]

Esiste purche il 2-porte ammetta almeno la base corrente.Come si ricavano i parametri, dato un circuito? Direttamente dalleequazioni costitutive, se note, oppure in base alla rappresentazione:

r11 =v1i1

∣∣∣∣i2=0

r12 =v1i2

∣∣∣∣i1=0

r21 =v2i1

∣∣∣∣i2=0

r22 =v2i2

∣∣∣∣i1=0

Nel caso di r11, ad esempio, si impone i1 lasciando la porta 2 aperta(⇒ i2 = 0).

i2 = 0

v1 v2-i1



• Matrice di conduttanza [G]

[i1i2

]

=

[g11 g12g21 g22

] [v1v2

]

Esiste purche il 2-porte ammetta almeno la base tensione.Come si ricavano i parametri, dato un circuito?

g11 =i1v1

∣∣∣∣v2=0

g12 =i1v2

∣∣∣∣v1=0

g21 =i2v1

∣∣∣∣v2=0

g22 =i2v2

∣∣∣∣v1=0

• Matrice ibrida I [H ]

[v1i2

]

=

[h11 h12

h21 h22

] [i1v2

]

Esiste purche il 2-porte ammetta almeno la base mista (i1, v2).Come si ricavano i parametri, dato un circuito?

h11 =v1i1

∣∣∣∣v2=0

h12 =v1v2

∣∣∣∣i1=0

h21 =i2i1

∣∣∣∣v2=0

h22 =i2v2

∣∣∣∣i1=0

• Matrice ibrida II [H ′]

[i1v2

]

=

[h′11 h′

12

h′21 h′

22

] [v1i2

]

Esiste purche il 2-porte ammetta almeno la base mista (v1, i2).Queste prime quattro rappresentazioni si dicono cardinali e sonolegate a una base di definizione.Esistono poi altre due rappresentazioni (non cardinali):

• Matrice trasmissione diretta [T ]

[v1i1

]

=

[t11 t12t21 t22

] [v2−i2

]

In questo caso non si parla di base di definizione (non e possibile im-porre tensione e corrente alla stessa porta). Bisogna solo vedere se, daun punto di vista algebrico, assegnate v2 e i2 si possono determinareunivocamente v1 e i1. Questa rappresentazione e usata sovente per de-scrivere la “connessione in cascata” (si vedra meglio piu avanti) conaltri 2-porte:



i1

v1

−i2

v2

Come si ricavano i parametri, dato un circuito?

1

t11=

v2v1

∣∣∣∣i2=0

1

t12=−i2v1

∣∣∣∣v2=0

1

t21=

v2i1

∣∣∣∣i2=0

1

t22=−i2i1

∣∣∣∣v2=0

N.B.: Si ricavano gli inversi dei parametri (perche non sipossono imporre tensione e corrente alla stessa porta).

• Matrice di trasmissione inversa [T ′]

[v2−i2

]

=

[t′11 t′12t′21 t′22

] [v1i1

]

Rappresentazione poco usata (si definisce solo per completezza).

Esempio.i1→ R1

R3

R2 i2←

v1 v2

Si ricavano le equazioni costitutive:i1→ R1

R3

R2 i2←

v1 v2

Ri1 R2i2v1 − R1i1

⇒

v1 − R1i1 = v2 − R2i2i1 + i2 =

v2−R2i2R3

Due equazioni nelle quattro incognite ⇒ basta riordinare. Per esempio, siricavano (v1, v2) in funzione di (i1, i2) per avere la matrice [R]:

v2 = R3i1 + (R2 +R3)i2v1 = R1i1 − R2i2 +R3i1 + (R2 +R3)i2 = (R1 +R3)i1 +R3i2



[v1v2

]

=

[R1 +R3 R3

R3 R2 +R3

] [i1i2

]

Un altro modo di ricavare la matrice [R] e il seguente:

r11 =v1i1|i2=0 ⇒

i1→ R1

R3

R2 i2=0←

v1 v2 ≡

i1→ R1

R3v1 v2

⇒ v1 = (R1 +R3)i1 ⇒ r11 = R1 +R3

r12 =v1i2|i1=0 ⇒

i1=0→ R1

R3

R2 i2←

v1 v2 ≡

R2 i2←

R3v1 v2

⇒ v1 = R3i2 ⇒ r12 = R3

ecc.Provare per esercizio a ricavare le altre matrici.

4.2.1 Caso non omogeneo

Inizialmente sono stati considerati soltanto 2-porte lineari e tempo invari-anti, escludendo cosı la presenza interna di generatori. E possibile generaliz-zare i risultati ottenuti, tenendo conto che, in termini generici, le equazionidescrittive di 2-porte contenenti generatori sarebbero del tipo:

[u1

u2

]

=

[a bc d

] [w1

w2

]

+

[x1

x2

]

⇒ E possibile usare rappresentazioni equivalenti riportandosi a considerare2-porte lineari:



• [v1v2

]

= [R]

[i1i2

]

︸︷︷︸

v′1v′2

+

[e1e2

]

+e1

doppio bipololineare (e t. inv.)

associato

e2+

v1 v′1 v′2 v2

i1 i2

• [i1i2

]

= [G]

[v1v2

]

︸︷︷︸

i′1i′2

+

[a1a2

]

a1doppio bipolo

lineare (e t. inv.)associato

a2v1 v2

i1 i′1 i2i′2

• [v1i2

]

= [H ]

[i1v2

]

︸︷︷︸

v′1i′2

+

[ea

]



+e

doppio bipololineare (e t. inv.)

associato

av1 v′1 v2

i1 i2i′2

• [v1i1

]

= [T ]

[v2−i2

]

︸︷︷︸

v′1i′1

+

[ea

]

+e

adoppio bipolo

lineare (e t. inv.)associato

v1 v′1 v2

i1 i′1 i2

4.3 Potenza in un 2-porte

La potenza assorbita (con la convenzione degli utilizzatori) da un 2-porte epari alla somma delle potenze assorbite da ciascuna porta:

p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t)

In analogia a quanto visto per i bipoli, e possibile classificare anche i 2-portein base a criteri energetici:

• inerte → p(t) ≡ 0 ∀t (e in ogni situazione elettrica)(∫ t

−∞ p(τ)dτ = 0 ∀t)



• passivo (o dissipativo) → p(t) ≥ 0 ∀t (e in ogni situazione)(∫ t

−∞ p(τ)dτ ≥ 0 ∀t)

• strettamente attivo → p(t) ≤ 0 ∀t (e in ogni situazione)(∫ t

−∞ p(τ)dτ ≤ 0 ∀t)

• attivo → p(t) puo essere sia positiva sia negativa(∫ t

−∞ p(τ)dτ puo essere sia positiva sia negativa)

Discorso del tutto analogo vale per un N-porte:

p(t) =

N∑

k=1

vk(t)ik(t)

4.4 Simmetria

Un 2-porte si dice simmetrico se le due equazioni costitutive rimangono im-mutate scambiando le due correnti tra loro e le due tensioni tra loro. Altri-menti viene detto non simmetrico. Da un punto di vista circuitale, questadefinizione significa che se si scambiano le porte, le equazioni costitutive del2-porte non cambiano ⇒ in un circuito e possibile collegarlo senza preoccu-parsi di sapere la numerazione delle porte. Si vede ora quali sono i vincoliimposti dalla simmetria alle matrici che rappresentano un 2-porte.

4.4.1 Matrici [R] e [G]

A :

[v1v2

]

=

[r11 r12r21 r22

] [i1i2

]

[R]1 2v1 v2

i1 i2

Scambiando le porte, le equazioni costitutive non devono cambiare ⇒ resta[R]:

[v2v1

]

=

[r11 r12r21 r22

] [i2i1

]



[R]2 1v2 v1

i2 i1

Riordinando l’ultima espressione scritta, in modo da poterla confrontare conla A, si ha:

B :

[v1v2

]

=

[r22 r21r12 r11

] [i1i2

]

Confrontando le due rappresentazioni A e B, si deduce che il 2-porte e sim-metrico se e solo se r11 = r22 & r12 = r21 ⇒ non basta la simmetria di [R]!!Per la matrice [G] si ricavano condizioni analoghe (verificare per esercizio).

4.4.2 Matrice [H]

[v1i2

]

=

[h11 h12

h21 h22

] [i1v2

]

Ribaltando le porte si ha:[v2i1

]

=

[h11 h12

h21 h22

] [i2v1

]

Riordinando, per esempio con il metodo di Kramer, si ottiene:

[i2v1

]

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

v2 h12

i1 h22

∣

∣

∣

∣

∣

∣

|H|∣

∣

∣

∣

∣

∣

h11 v2h21 i1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

|H|

=1

|H|

[h22 −h12

−h21 h11

] [v2i1

]

⇔ [v1i2

]

=1

|H|

[h11 −h21

−h12 h22

] [i1v2

]

Le condizioni di simmetria sono dunque:

h11 =h11

|H| h12 = −h21

|H| h21 = −h12

|H| h22 =h22

|H|Una possibile soluzione e |H| = 1 & h12 = −h21, ma non e l’unica!



4.4.3 Matrice [T ]

Le condizioni di simmetria sono (verificare per esercizio):

t11 =t22|T | t12 =

t12|T | t21 =

t21|T | t22 =

t11|T |

4.5 Reciprocita

La reciprocita e una delle proprieta molto generali utili a caratterizzare uncomponente (oltre a linearita, tempo invarianza, passivita e base di defi-nizione). Si consideri un generico componente a N terminali e le variabilidescrittive in due possibili situazioni elettriche [v′T i′T ]T & [v′′T i′′T ]T .

N-terminale

1

2 N − 1

0v′1

v′N−1

v′2

i′1

i′2 i′N−1

N-terminale

1

2 N − 1

0v′′1

v′′N−1

v′′2

i′′1

i′′2 i′′N−1

Ora si introducono le potenze (virtuali) incrociate p′ e p′′:

p′ = [v′′]T i′ = [i′]Tv′′

p′′ = [v′]T i′′ = [i′′]T v′

Definizione: un componente adinamico contenente a sua volta componentilineari e tempo invarianti piu generatori indipendenti e detto reciproco sele due potenze incrociate coincidono per qualsiasi coppia di situazioni, ossiase

p′ = p′′ ∀ [v′Ti′T]T & [v′′

Ti′′

T]T

Altrimenti il componente si dice non reciproco.Esempio: resistore.

Ri′ v′ Ri′′ v′′ p′ = v′i′′ = Ri′i′′

p′′ = v′′i′ = Ri′′i′



⇒ p′ ≡ p′′ in qualsiasi situazione ⇒ il resistore e reciproco. Corto circuitoe circuito aperto sono componenti reciproci, mentre i generatori indipenden-ti non lo sono (verificare per esercizio), cosı come non sono lineari ne, ingenerale, tempo invarianti.

4.5.1 Teorema di reciprocita

Un componente composito i cui costituenti elementari siano reciproci e a suavolta reciproco.

Dunque, un circuito costituito da soli resistori, corti circuiti e circuitiaperti e sicuramente reciproco.N.B. : un componente composito che contenga almeno un componente nonreciproco in genere e a sua volta non reciproco, ma non lo e necessariamente.

4.6 Reciprocita nei 2-porte

Si ricavano i vincoli imposti dalla reciprocita alle varie matrici di rappresen-tazione di un 2-porte.

4.6.1 Matrici [R] e [G]

v = [R]i

p′ = [v′′]T i′ = ([R]i′′)T i′ = [i′′]T [R]T i′

p′′(= [v′]T i′′

)= [i′′]Tv′ = [i′′]T [R]i′

⇒ p′ = p′′ ⇔ [R] e simmetrica (⇔ r12 = r21) ⇒ un 2-porte che ammettabase corrente (ossia per il quale esista la matrice [R]) e reciproco purche lamatrice [R] sia simmetrica (⇒ se il 2-porte e simmetrico, e anche reciproco).Stesso discorso vale per un 2-porte che ammetta base tensione (ossia, per ilquale esista la matrice [G]): il 2-porte e reciproco ⇔ [G] e simmetrica.

Esempio di applicazione del teorema di reciprocita.

Il 2-porte in figura:

[R]

i1 i2

v1 v2 [R] =

[r −5rr 4r

]



e realizzabile con soli resistori lineari a due terminali?Siccome [R] non e simmetrica, il 2-porte non e reciproco ⇒ non puo essererealizzato con soli resistori lineari (componenti reciproci).

4.6.2 Matrice [H]

[v1i2

]

= [H ]

[i1v2

]

p′ = [v′′]T i′ = [v′′1 v′′2 ]

[i′1i′2

]

= v′′1 i′1 + v′′2 i

′2

p′′ = [v′]T i′′ = [v′1 v′2]

[i′′1i′′2

]

= v′1i′′1 + v′2i

′′2

p′ = p′′ ⇔ h11i′1i

′′1+h12v

′′2 i

′1+h21v

′′2 i

′1+h22v

′2v

′′2 = h11i

′1i

′′1+h12v

′2i

′′1+h21v

′2i

′′1+h22v

′2v

′′2

⇔ (h12 + h21)v′′2 i

′1 = (h12 + h21)v

′2i

′′1

per qualunque coppia di situazioni elettriche (v′′2 , v′2, i′1, i′′2 devono esserearbitrarie) ⇔ h12 = −h21 ⇔ [H ] e antisimmetrica.Stessa condizione si ricava per la matrice [H ′].

4.6.3 Matrice [T ]

[v1i1

]

= [T ]

[v2−i2

]

p′ = v′′1 i′1 + v′′2 i

′2 = (t11v

′′2 − t12i

′′2)(t21v

′2 − t22i

′2) + v′′2 i

′2

p′′ = v′1i′′1 + v′2i

′′2 = (t11v

′2 − t12i

′2)(t21v

′′2 − t22i

′′2) + v′2i

′′2

p′ − p′′ = −t11t22v′′2 i′2 − t12t21v′2i

′′2 + v′′2 i

′2 − (−t11t22v′2i′′2 − t12t21i

′2v

′′2 + v′2i

′′2) =

= (1− t11t22 + t12t21)(v′′2 i

′2 − v′2i

′′2) = 0

⇔ t11t22 − t12t21 = 1⇔ |T | = 1

per ogni coppia di situazioni elettriche (v′′2 , v′2, i

′1, i

′′2 devono essere arbi-

trarie).Stessa condizione si ricava per la matrice [T ′].



4.6.4 Riepilogo

Condizioni sufficienti per la simmetria o la reciprocita di 2-porte adinamicitempo invarianti e lineari:

simmetricoreciproco

[R] r12 = r21 r11 = r22[G] g12 = g21 g11 = g22[T ] |T | = 1 t11 = t22[T ′] |T ′| = 1 t′11 = t′22[H ] h12 = −h21 |H| = 1[H ′] h′

12 = −h′21 |H ′| = 1

Le quattro condizioni relative alla simmetria del 2-porte espressa tramite lematrici di trasmissione o ibride sono meno generali rispetto a quelle ricavatea pagina 71, ma vanno quasi sempre bene (→ esercizio 3 foglio 3 esercizi peraltra condizione).

4.7 Le quattro sorgenti pilotate

Sono tra i 2-porte piu importanti.

4.7.1 Generatore di tensione pilotato in corrente (CCVS– Current Controlled Voltage Source)

+ri1v1 v2

i1 i2

Porta pilotante(porta di ingresso)

Porta pilotata(porta di uscita)

Equazioni descrittive:

v1 = 0v2 = ri1

dove r e il parametro del componente (guadagno) [Ω].Basi di definizione? E ammessa solo la base corrente ⇒ esiste (tra le rap-



presentazioni cardinali) solo la matrice [R]: dalle equazioni descrittive siottiene:

[R] =

[0 0r 0

]

Matrice non simmetrica ⇒ 2-porte non reciproco (e non simmetrico).Esiste anche la rappresentazione (non cardinale) tramite matrice [T ]:

[T ] =

[0 01/r 0

]

Configurazione tripolare (se il riferimento per le tensioni di porta e lo stesso):

+ri1v1 v2

i1 i2

⇔ri1

+

v1 v2

i1 i2

Comportamento energetico?

p = v1i1 + v2i2 = ri1i2 ⋚ 0 ∀t

⇒ p(t) puo essere positiva, negativa o nulla, istante per istante e per ognisituazione elettrica (non ci sono vincoli) ⇒ 2-porte attivo.

4.7.2 Generatore di corrente pilotato in corrente (CCCS– Current Controlled Current Source)

βi1v1 v2

i1 i2





Equazioni descrittive: v1 = 0i2 = βi1

dove β e il parametro del componente (guadagno) [adimensionale].Basi di definizione? E ammessa solo la base (i1, v2) ⇒ esiste (tra le rappre-sentazioni cardinali) solo la matrice ibrida I [H ]; dalle equazioni descrittivesi ottiene:

[H ] =

[0 0β 0

]

Esiste anche la rappresentazione (non cardinale) tramite matrice [T ]:

[T ] =

[0 00 −1/β

]

Anche questo componente e attivo e non reciproco (ne simmetrico).

4.7.3 Generatore di tensione pilotato in tensione (VCVS

– Voltage Controlled Voltage Source)

+αv1v1 v2

i1 i2



Equazioni descrittive: i1 = 0

v2 = αv1

dove α e il parametro del componente (guadagno) [adimensionale].Basi di definizione? E ammessa solo la base (v1, i2) ⇒ esiste (tra le rappre-sentazioni cardinali) solo la matrice ibrida II [H ′]; dalle equazioni descrittivesi ottiene:

[H ′] =

[0 0α 0

]

Esiste anche la rappresentazione (non cardinale) tramite matrice [T ]. Lacorrente i2 non e vincolata ⇒ anche questo componente e attivo.



4.7.4 Generatore di corrente pilotato in tensione (VCCS– Voltage Controlled Current Source)

gv1v1 v2

i1 i2




i1 = 0i2 = gv1

dove g e il parametro del componente (guadagno) [Ω−1].Basi di definizione? E ammessa solo la base tensione ⇒ esiste (tra le rap-presentazioni cardinali) solo la matrice [G]; dalle equazioni descrittive siottiene:

[G] =

[0 0g 0

]

Esiste anche la rappresentazione (non cardinale) tramite matrice [T ]. Latensione v2 non e vincolata ⇒ anche questo componente e attivo.

4.7.5 Note

• L’importanza dei generatori pilotati e dovuta alla semplicita del loromodello piu che all’aderenza a componenti fisici. Sono utilissimi percostruire (assieme ad altri componenti) modelli (si vedranno alcuni es-empi). In particolare vanno citati i modelli dei transistori (nonsaranno considerati nell’ambito di questo corso).

• Occorre sempre fare molta attenzione alle variabili pilotanti, che ingenere non vengono evidenziate su una porta:



gvv

(a)

i +

ri

(b)

iv ⇔ v

Caso (a).

iv ⇔ v = 0i

Caso (b).

Nei due casi, la porta pilotante resta “nascosta”

• Altre possibili notazioni:

Generatore dicorrente pilotato(in tens. o corr.)

−+

Generatore ditensione pilotato(in tens. o corr.)

Esempio circuitale:

E

+

R1

i2R2

i3R3 αi2v

Supponendo α < 1, si vuole determinare la tensione v. Si considera:



E

+

R1

R2//R3v αi2 = α vR2

Req = R2//R3 =R2R3

R2 +R3

⇔

E

+

R1

Reqv −R2

α

⇔

E

+

R1

Req(−R2/α)Req−R2/α

= RTOTv

⇒ v = ERTOT

RTOT +R1

RTOT = −R2

α

R2R3

R2 +R3

1R2R3

R2+R3− R2

α

= −R2

α

R2R3

R2 +R3

α(R2 +R3)

R2(αR3 − R2 − R3)=

R2R3

R2 +R3(1− α)⇒ v = E

R2R3

R2R3 +R1R2 +R1R3(1− α)

4.8 Nullore (amplificatore operazionale ide-

ale)

Il nullore e un 2-porte che (sotto opportune ipotesi) costituisce il modelloideale di un componente fisico molto diffuso: l’amplificatore operazionale.Il nullore si puo ottenere facendo riferimento a due bipoli “patologici”: ilnullatore e il noratore.Nullatore:



v

i

Equazioni descrittive (sono due per descrivere un bipolo ⇒ si tratta di uncaso “patologico”):

i = 0v = 0

v

i

Noratore:

v

i

Equazioni descrittive (nessun vincolo tra le variabili descrittive del bipolo⇒si tratta di un caso “patologico”):

i qualsiasiv qualsiasi



v

i

Il nullore ha su una delle due porte un nullatore e sull’altra un noratore ⇒le due patologie si compensano:

v1 v2

i1 i2

⇔ v1 v2

i1 i2

0 ∞

Equazioni descrittive (e un 2-porte descritto da due equazioni ⇒ non epatologico!):

v1 = 0i1 = 0

Basi di definizione? Nessuna. E ammessa solo la rappresentazione (noncardinale) tramite matrice [T ]:

[T ] =

[0 00 0

]

La potenza assorbita e p(t) = v1i1 + v2i2 = v2i2∀ ⇒ componente attivo.Vediamo sotto quali ipotesi il nullore puo costituire un modello equivalentedell’amplificatore operazionale:



+

−

+Vcc

−Vcc

GND

v1v2

i1

i2⇔ v1 v2

i1 i2

0 ∞

L’equivalenza vale sotto le seguenti ipotesi (relative all’amplificatore oper-azionale):- massa virtuale (⇒ v1 = 0);- impedenza di ingresso infinita (⇒ i1 = 0);- funzionamento in zona lineare.Rappresentazioni equivalenti di un nullore tramite generatori pilotati:

i

v ⇔v1

+

v

v1i

⇔ i1i1v

i

(VCVS con

guadagno unitario)(CCCS con

guadagno unitario)

v

i

⇔i

i

v ⇔+vv

i

(CCCS conguadagno unitario)

(VCVS conguadagno unitario)

Esempio.Determinare l’equazione descrittiva del bipolo composito sottostante:



R1 R2 A

R0i0

∞0

i∞

v0

v

i

v∞

i0 = 0 ⇒ su R1 cade una tensione R1i

i R1

R1i

v0 = 0 ⇒ su R0 si ha:

vR0

R0 v

Inoltre :R1i

v0 = 0

Grafo orientatocome le tensioni

⇒ su R2 cade −R1i e passa una corrente −R1

R2i.

Per la KCL al nodo A si ha −R1

R2i A

i0 = 0

vR0

⇒ vR0

= −R1

R2i ⇔ v = −R0R1

R2i ⇒ il bipolo composito e un resistore a

resitenza negativa (pari a −R0R1

R2).

4.9 Trasferitori ideali di potenza

In questo paragrafo si cerca di capire se e possibile definire 2-porte inerti(→ p(t) ≡ 0 ∀ t), ma in grado di assorbire o erogare potenza non nulla daciascuna porta (⇒ perche siano inerti occorre che la potenza assorbita da unaporta coincida istante per istante con quella erogata dall’altra). Se esistono,saranno definiti trasferitori ideali di potenza.Descrivendo il 2-porte tramite la matrice di trasmissione diretta (visto che



dobbiamo trasferire potenza da una porta all’altra e ragionevole supporre cheesista)

[v1i1

]

=

[t11 t12t21 t22

] [v2−i2

]

si ha che la potenza assorbita dal 2-porte e:

p(t) = i1v1 + i2v2 = t11t21v22 − (t12t21 + t11t22)v2i2 + t12t22i

22 + i2v2 =

= t11t21v22 + (1− t12t21 − t11t22)v2i2 + t12t22i

22

Pertanto p ≡ 0 ⇔

t11t21 = 0t11t22 + t12t21 = 1t12t22 = 0

Si e ottenuto un sistema non lineare di 3 equazioni e 4 incognite per il qualeesiste dunque un grado di liberta. La soluzione puo essere solo di due tipi:

t11 = 0t22 = 0t12t21 = 1

t12 = 0t21 = 0t11t22 = 1

Di queste due soluzioni, solo una definisce un 2-porte reciproco (|T | = 1),cioe la seconda:

[T ] =

[n 00 1

n

]

Questo 2-porte e detto trasformatore ideale e il parametro n e dettorapporto di trasformazione.

v1 v2n : 1

i1 i2


v1 = nv2i2 = −ni1

Si noti che il 2-porte e reciproco (|T | = 1), ma e non simmetrico (t11 6= t22).Simbolo alternativo (che ha alcune controindicazioni):



v1 v2

i1 i2

Il trasformatore ideale e inerte per definizione. Quali sono le sue basi didefinizione? (v1, i2) (⇒ [H ′]) e (i1, v2) (⇒ [H ]). Altre rappresentazioniammesse (non cardinali): [T ] e [T ′].Modelli equivalenti con i generatori pilotati:

+nv2 ni1v1 v2

i1 i2

oppure

i2n

+v1n

v1 v2

i1 i2

Se si ribalta un trasformatore ideale, si ottiene ancora un trasformatore idealecon rapporto di trasformazione inverso (infatti e un 2-porte non simmetrico!).Se n = 1 (e si usa la configurazione tripolare) si ottiene un connettore ideale:

v1 v2n : 1

i1 i2

v1 v2

i1 i2

configurazionetripolare

connettoreideale



Il trasformatore ideale e un’idealizzazione di un componente fisico (trasfor-matore reale) dinamico e passivo.Collegamento con bipoli:

v1 v2n : 1

i1 i2

i

b v

1) v1 = nv2 = nv2) i1 = − i2

n= i

n

⇒ se il bipolo b e descritto dalla generica equazione (in forma implici-ta) f(i, v) = 0, l’equazione descrittiva del bipolo composito risultante ef(ni1,

v1n) = 0.

Esempio: resistore.

v1 v2n : 1

i1 i2

i

R v

L’equazione del bipolo composito e v1 = nv = nRi = n2Ri1 ⇒ e ancora unresistore, ma con resistenza scalata.

4.10 Connessione di 2-porte

Presupposto necessario alla connessione e che le porte che si collegano ab-biano basi di definizione compatibili (per evitare situazioni assurde).

4.10.1 Connessione in cascata

[T1] [T2]v2v1 v3

i1 i2 −i2 i3



Quando si connettono 2-porte in cascata conviene descriverli mediante lamatrice di trasmissione (purche esista sia per i 2-porte da connettere sia peril 2-porte complessivo).

[v1i1

]

= [T1]

[v2−i2

]

;

[v2−i2

]

= [T2]

[v3−i3

]

⇒[v1i1

]

= [T1][T2]

[v3−i3

]

⇒ il 2-porte ottenuto mettendo in cascata i due di partenza e descritto dauna matrice di trasmissione [T ] = [T1][T2] (purche esista). Le strutture incascata sono piuttosto frequenti, specialmente in ambito elettronico (p. es.,stadi di amplificazione).

4.10.2 Connessione in parallelo

A

i1A i2A

B

i1B i2B

v1 v2

i1 i2i1A

i1B

i2A

i2B

Se i due 2-porte (attenzione: e fondamentale che A e B siano 2-porte, perpoter affermare che anche la loro connessione definisce un 2-porte) ammet-tono entrambi la matrice di conduttanza, allora la matrice [G] del 2-porterisultante, purche esista, e [G] = [GA] + [GB]. Infatti:

[i1i2

]

=

[i1A + i1Bi2A + i2B

]

=

[i1Ai2A

]

+

[i1Bi2B

]

=

= [GA]

[v1v2

]

+ [GB]

[v1v2

]

= [[GA] + [GB]]

[v1v2

]



4.10.3 Connessione in serie (o serie - serie)

A

i1 i2

v2Av1A

B

i1 i2

i1 i2

v2Bv1B

v1 v2

i1 i2

Se entrambi i 2-porte ammettono la matrice [R]⇒ la matrice [R] del 2-porterisultante, purche esista, e [R] = [RA] + [RB].

Considerazioni del tutto analoghe valgono per le connessioni serie - par-allelo (si sommano le matrici [H ]) e parallelo - serie (si sommano le matrici[H ′]).Esempi:

[T2]0 ∞v1 v3

i1 i2

[T ]

Poiche il nullore ha matrice di trasmissione tutta nulla, si ha

[T ] =

[0 00 0

]

(si ottiene ancora un nullore).



v1n1 : 1

i1

v2n2 : 1

i2

[T ]

Complessivamente si ottiene ancora un trasformatore:

[T ] =

[n1 00 1

n1

] [n2 00 1

n2

]

=

[n1n2 00 1

n1n2

]

(il rapporto di trasformazione diventa n1n2).


Capitolo 5

Circuiti adinamici generici

Un primo metodo di tipo “forza bruta” per analizzare un circuito consiste nelrisolvere il sistema di 2l equazioni che si ottiene tenendo conto delle equazionitopologiche (l − n+ 1 KVL indipendenti & n− 1 KCL indipendenti, per untotale di l equazioni indipendenti) e delle equazioni descrittive dei componenti(altre l equazioni indipendenti tra loro e dalle equazioni topologiche).

Poiche per ogni lato del grafo associato al circuito ho due variabili de-scrittive (corrente e tensione), il sistema ha 2l equazioni in 2l incognite ed ecompletamente determinato.

Questo metodo (metodo del tableau o metodo totale, che sara formaliz-zato nel paragrafo 5.1) vale sempre, per qualsiasi tipo di circuito (contenentecomponenti lineari o non lineari, tempovarianti o tempo-invarianti, dinamicio adinamici, ecc.). Per circuiti che soddisfino determinate caratteristiche,esistono metodi di analisi semplificati.

5.1 Metodo del tableau (o metodo totale)

In generale, se non si fanno ipotesi sul circuito, e sempre possibile costruireun sistema di equazioni mettendo insieme le equazioni topologiche (KCL &KVL) e le relazioni costitutive dei componenti. Nel caso di componenti adi-namici lineari e tempo-invarianti piu generatori assortiti, queste ultime pos-sono sempre essere espresse cosı (equazioni dei componenti in forma implicita,la piu generale possibile):

Hvv(t) +H ii(t) = u(t)

dove Hv e H i sono matrici di coefficienti reali e costanti di dimensionifisiche opportune (miste). Basandosi sulla matrice di incidenza M , il sistema

91

5. Circuiti adinamici generici

completo di equazioni diventa: KVL (l equazioni ridondanti):

v = MT e

KCL (n− 1 equazioni):

Mi = 0n−1

equazioni dei componenti (l equazioni):

Hvv +H ii = u

⇒

−MT Il×l 0l×l

0(n−1)×(n−1) 0(n−1)×l M0l×(n−1) Hv H i

︸︷︷︸

Q

evi

=

0l0n−1

u

Le incognite di questo sistema sono i vettori e, v e i. Se la matriceQ e invertibile, allora il sistema ammette un’unica soluzione. In caso con-trario (matrice singolare), si usa dire che il circuito e patologico, poiche nonammette soluzioni o ne ammette infinite. In entrambi i casi vuol dire chec’e stata qualche cattiva combinazione di topologia & equazioni costitutive(collegamenti non ortodossi di componenti).

5.1.1 Esempi

esempio a) Maglie di soli generatori di tensione (maglie E):v2

+

+v1 v3

+

KVL: v1 − v2 − v3 = 0 assurdo. Se percaso la somma fosse proprio 0 allora lecorrenti sarebbero indeterminate.

esempio b) Tagli (cocicli) di soli generatori di corrente (cocicli A):



ı2ı1 ı3

KCL: ı1 − ı2 + ı3 = 0 assurdo. Seper caso la somma fosse proprio 0, allorale tensioni di ramo del taglio sarebberoindeterminate.

esempio c) Connessioni tra bipoli o porte che non ammettono la stessa basedi definizione (generatori di tensione in parallelo a generatori ditensione; generatori di corrente in serie a generatori di corrente;trasformatore ideale chiuso su due generatori di tensione o su duegeneratori di corrente; ecc.).

5.2 Principio di sovrapposizione (degli effet-

ti).

Teorema 2. Dato un circuito non patologico contenente componenti adi-namici, lineari e tempo-invarianti e N generatori indipendenti, e possibilecostruire N circuiti ausiliari: ognuno di essi e ottenuto da quello originarioazzerando (passivando) tutti i generatori indipendenti tranne uno.

+

e(t)lo passivo

v = 0

a(t)lo passivo i = 0

Sotto queste ipotesi, la soluzione del circuito originario e uguale allasomma delle N soluzioni degli N circuiti ausiliari.

Dimostrazione. Scomponiamo il vettore dei termini noti (grandezze impresse)u(t) cosı:



u =

u1

u2...uN

=

u1

0...0

+

0u2...0

+ . . .+

00...uN

:= u(1) + u(2) + . . .+ u(N)

Applicando questa scomposizione alla matrice Q (invertibile, perche peripotesi il circuito non e patologico) ottenuta con il metodo totale si ha:

evi

= Q−1

0l0n−1∑Nk=1 u

(k)

=

N∑

k=1

Q−1

0l0n−1

u(k)

⇒ il vettore soluzione e dato dalla somma di N vettori, che sono a loro voltaciascuno soluzione di uno degli N circuiti ausiliari.

Esempio 5.2.1.

iR1

+

E1 E2

+

R2

I

Ipotesi soddisfatte ⇒ si puo applicare ilprincipio di sovrapposizione: i =?

a) Passiviamo E2 e I (lasciamo attivo solo E1):

E1

+

R1

ia R2 ⇐⇒E1

+ ia

v1

R1R2

v1 = E1r1

R1 +R2

⇒ ia =v1R1

=E1

R1 +R2

b) Passiviamo E1 e I (lasciamo attivo solo E2):

E2

+

R2ib

R1 ⇐⇒E2

+

R1

ibv1R2



ib = −v1R1

= − E2

R1 +R2

c) Passiviamo E1 e E2 (lasciamo attivo solo I):

R1

ic

R2 I

ic = −IR2

R1 +R2

Applicando il principio di sovrapposizione:

i = ia + ib + ic =E1 − E2 − R2I

R1 +R2

nota: il principio di sovrapposizione si basa sulla linearita ⇒ non valeper le reti non lineari.

5.3 Principio di sostituzione

Teorema 3. Si consideri una rete adinamica N che si possa decomporre indue sottoreti complementari S1 e S2 (lineari o non lineari, tempo - variantio tempo - invarianti) interpretabili come bipoli connessi in parallelo.

N S1

i

S2v

Siano v e i la tensione e la corrente ai morsetti di S1 e S2. Se N ammetteun’unica soluzione (v, i) e se S1 e definito su base corrente (tensione), alloraS2 puo essere sostituito da un generatore ideale di corrente (tensione) concorrente impressa i (tensione impressa v):

S1 iv oppure S1

i

v



Dimostrazione. Per ipotesi esiste un’unica soluzione (v, i). Tale soluzioneesiste anche per la rete modificata, perche

• se S1 e definito su base corrente, allora e possibile assegnare liberamentei e ricavare univocamente v. Inoltre il generatore di corrente e definitosu base tensione ⇒ ammette qualsiasi v.

• se S1 e definito su base tensione, allora vale il discorso duale.

5.4 Rappresentazione equivalente di circuiti

Il principio di sovrapposizione e quello di sostituzione possono essere utilizzatiper ricavare rappresentazioni equivalenti di circuiti.Si consideri un circuito costituito dalla connessione di una rete adinamica aN porte con N reti a una porta (bipoli compositi):

NN vN

iN

N v1

i1

N1

viii

Ni

L’N -porte contiene componenti adinamici lineari e tempo-invarianti piugeneratori indipendenti di tensione e corrente. Si suppone che non vi sianointerazioni di nessun tipo (escluse le porte) tra N e le reti Ni. Si esclude(almeno per il momento) la presenza di generatori pilotati.

5.4.1 Teorema di Thevenin generalizzato

Se N e definita alle porte su base corrente ⇒ si applica il teorema disostituzione:



iN vN

iN

N v1

i1

i1

viii

ii

Ora si applica il principio di sovrapposizione e si esprimono le tensioni diporta vi come somma di N + 1 contributi:

• un contributo vCAi dovuto ai generatori interni a Nquando si passivano

tutti i generatori di corrente alle porte (vCAi e una tensione di C ircuito

Aperto);

• N contributi, ciascuno dovuto al singolo generatore ik quando si passi-vano N e tutti gli altri generatori di porta.Ciascun contributo in tensione e:

vi

∣∣∣Npassivataij=0, ∀j 6=k

= ikviik


, rikik

dove rik ,viik


Per i = k si ha la resistenza rii che si misura alla porta i quando lealtre sono aperte e N e passivata.

In totale si ha:

vi = vCAi +

N∑

k=1

rikik, i = 1, . . . , N

⇒ v = vCA + [R]i

dove v e il vettore delle tensioni di porta, [R] la matrice di resistenza dellarete passivata e i e il vettore delle correnti di porta.Dunque la rappresentazione equivalente (alla Thevenin) del circuito di parten-za e:



NN vN

+vcaNiN

N passivata

(descritta tramite [R])

vca1+

v1

i1

N1

vcai+

vi ii

Ni

Cosa cambia se in N sono presenti generatori pilotati? Se la grandezzapilotante e esterna a N (e in una delle reti bipolari Ni, per esempio), alloratutto va come se i generatori fossero indipendenti ⇒ si passivano passivandoN . In caso contrario, si lasciano stare.

Esempio 5.4.1.

R1

R2

vCA1

R2

vca1 A

+E

R3

vca2R3

vca2

vCA1 = E + vCA

2

A =vCA2

R3+

vCA1

R2=

vCA2

R3+

E

R2+

vCA2

R2⇔

vCA2 =

R2R3

R2 +R3(A− E

R2) =

R3

R2 +R3(R2A−E)

⇒ vCA1 = E +

R3

R2 +R3

(R2A− E) =R2

R2 +R3

(R3A+ E)

Ora si passiva la rete interna e si calcolano gli elementi di [R]:

v1

i1 R1

R2 R3 v2

i2

⇐⇒ v1

i1 R1

R2R3

R2+R3v2

i2



⇒ r11 =v1i1

∣∣∣∣i2=0

= R1 +R2R3

R2 +R3

r11 e la resistenza vista dalla porta 1 quando la 2 e aperta.

r12 =v1i2

∣∣∣∣i1=0

=R2R3

R2 +R3

(R1 e appeso, quindi v1 ≡ v2).

r21 =v2i1

∣∣∣∣i2=0

=R2R3

R2 +R3

r22 =v2i2

∣∣∣∣i1=0

=R2R3

R2 +R3

⇒[v1v2

]

=

[ R2

R2+R3(R3A+ E)

R3

R2+R3(R2A−E)

]

+

[R1 +

R2R3

R2+R3

R2R3

R2+R3R2R3

R2+R3

R2R3

R2+R3

] [i1i2

]

⇒ Rete equivalente (rappresentazione “alla Thevenin”):

v1

i1+

vca1 R1

R2 R3

D.B. passivato

vca2+

v2

i2

Nel caso particolare in cui N = 1 (la rete N e un bipolo), si ottiene ilteorema di Thevenin nella sua formulazione classica.

Teorema di Thevenin (1883)

La resistenza e la tensione impressa del modello di Thevenin (esiste perche sisono supposte porte definite su base corrente) del bipolo N coincidono con laresistenza RTH = v

idella rete passivata e con la tensione a vuoto eTH = vCA

del bipolo N , rispettivamente.

eTH

+

NRTH

i

v N1 ⇐⇒RTH

Npassivata

eTH+

i

v N1



5.4.2 Teorema di Norton generalizzato

Se N e definita alle porte su base tensione, si possono fare considerazionianaloghe a quelle esposte nel paragrafo 5.4.1 ⇒ si applica il teorema disostituzione.

vN

+

iN

N

i1

+v1

ii

+vi

Innanzitutto si applica il principio di sovrapposizione e si esprimono le cor-renti di porta ii come somma di N + 1 contributi:

• un contributo icci dovuto ai generatori interni a N quando si cortocir-cuitano (passivano) tutti i generatori vk (k = 1, . . . , N)

• N contributi, ciascuno dovuto al singolo generatore vk quando si passi-vano N e tutti gli altri generatori di porta.

Ciascun contributo in corrente e:

ii

∣∣∣Npassivatavj=0, ∀j 6=k

= vkiivk


, gikvk

dove gik =iivk


Per i = k si ha la conduttanza che si misura alla porta i quando tuttele altre sono passivate.

In totale si ha:

ii = icci +

N∑

k=1

gikvk i = 1, . . . , N (5.1)

i = icc + [G]v (5.2)

Dunque la rappresentazione equivalente del circuito di partenza e



NN vN

iN

iccNN passivata

(descritta tramite [G])icc1 v1

i1

N1

icci

vi ii

Ni

Nel caso in cui siano presenti generatori pilotati, ci si comporta come descrittoa pagina 96 nel paragrafo 5.4.1.

Per N=1, si ottiene il teorema di Norton.

Teorema di Norton (1926)

Nota storica: il ritardo rispetto al teorema di Thevenin e dovuto al fatto chebipoli il cui modello fosse un generatore quasi ideale di corrente furono scop-erti piu tardi. La resistenza e la corrente impressa del modello di Norton (hosupposto porte definite su base tensione ⇒ esiste) del bipolo N coincidonocon la resistenza RNR = 1

gNRdella rete passivata e con la corrente di corto

circuito aNR = icc del bipolo N , rispettivamente.

aNR

N

RNR

i

N1 ⇔ RNR

Npassivata

aNR

i

N1

5.4.3 Rappresentazioni ibride

Se N e definito alle porte in base mista ⇒ si applica ad ogni porta lasostituzione opportuna ⇒ si procede analogamente (la rete passivata saradescritta tramite una matrice ibrida).



Esempio 5.4.2.

v1

i1 R1

R2 A

+E

R3 v2

i2

porte definite su base tensione (verificare che assegnando le tensioni si rica-vano univocamente le correnti).

R1

icc1 = − ER1

R2 A

+E

R3

icc2

≡ corto circuito

A Req =R1R2

R1+R2

EReq

+E

icc2 = ER1+R2

R1R2−A

v1

i1

icc1

R1

R2

rete passivata

R3 icc2 v2

i2

Le porte sono definite anche su base corrente ⇒ provare per esercizio a ri-cavare la rete equivalente alla Thevenin (cambiera solo la parta esterna allarete passivata)

Esempio 5.4.3. Ricavare i circuiti equivalenti di Thevenin e Norton.



E

+

R1

vi

v2R2

A ⇐⇒

eth

+

Rth

vi

anr Rnr vi

Cominciamo con Thevenin. Tensione di circuito aperto:

E

+

v1

R1

eth

0

v2R2

A

v1 = −R1A. In R2 non passa corrente ⇒ v2 = 0. Anello interno sinistro →KVL: E − v1 − eTH − v2

︸︷︷︸

=0

= 0⇔ eTH = E − v1 = E +R1A Rete passivata:

R1

Rth

R2

⇒ Rth = R1 +R2

Il modello equivalente di Norton si ricava immediatamente da quello diThevenin. Provare a verificarlo applicando il teorema.



5.5 Proprieta energetiche (riepilogo)

Potenza effettiva assorbita da un componente descritto con la convenzionenormale:

p(t) = vT (t)i(t) = iT (t)v(t) [W ] (5.3)

Lavoro elettrico effettivo di un componente in un intervallo di tempo [t0, t]:

w(t) =

t∫

t0

p(τ)dτ [Joule] (5.4)

Il corollario del teorema di Tellegen ci dice che la somma delle potenze effet-tive assorbite complessivamente da un circuito costituito da N componenti(di qualunque tipo) e nulla:

N∑

k=1

pk(t) = 0 (teorema della potenza effettiva) (5.5)

Idem, ovviamente, per i lavori effettivi:

N∑

k=1

wk(t) = 0 (5.6)

Corollario: la potenza effettiva assorbita da un multiporta o multiterminalecostituito da N componenti coincide con la somma delle potenze effettiveassorbite dagli N componenti. Idem per il lavoro.

N∑

k=1

pk(t) = 0N∑

k=1

wk(t) = 0 (5.7)

Entrambi i risultati consentono di individuare alcune proprieta.Proprieta:In un circuito costituito da soli N componenti passivi e/o inerti (⇒ pk ≥

0, k = 1, 2, . . . , N) che ammetta una soluzione, tutti i componenti non assor-bono potenza. Infatti, in base al teorema della potenza effettiva e all’ipotesisulle proprieta energetiche dei componenti, si ha:

N∑

k=1

pk = 0 ⇐⇒ pk = 0 (k = 1, 2, . . . , N) (5.8)

Corollario:In un circuito costituito da componenti adinamici sia passivi e/o inerti

sia attivi possono presentarsi due casi:



• le potenze effettive assorbite da tutti i componenti sono nulle (casopoco interessante)

• almeno uno dei componenti attivi eroga potenza

Proprieta:Un componente (multiporta o multiterminale) composto da soli N com-

ponenti passivi e/o inerti e a sua volta passivo o, in casi particolari, inerte.Infatti pk ≥ 0(k = 1, 2, . . . , N) e

∑Nk=1 pk ≥ 0. Se gli N componenti sono

tutti inerti ⇒ il componente complessivo e a sua volta inerte.Una proprieta analoga si dimostra nel caso in cui gli N componenti siano

tutti strettamente attivi e/o inerti.Questi risultati implicano che in un circuito adinamico privo di compo-

nenti attivi tutte le tensioni e correnti siano nulle ⇒ un circuito utile devecontenere almeno un componente attivo.

Il fatto che un componente fisico sia attivo (o strettamente attivo) implicache esso sia in grado, in opportune situazioni elettriche, di compiere versol’esterno un lavoro illimitato (in un intervallo di tempo infinito). Questo nonpuo essere vero: e soltanto una semplificazione dovuta al modello.

Nei circuiti fisici puo succedere una delle seguenti cose:

• il lavoro erogabile e finito benche il modello del componente non netenga conto. E il caso delle batterie usa e getta (tensione costante, maper un intervallo di tempo finito);

• il lavoro erogato dal componente attivo e a sua volta fornito al com-ponente stesso senza che il modello ne tenga esplicitamente conto. Eil caso degli alimentatori negli elettrodomestici, che ottengono, istanteper istante, la potenza da erogare dalla rete di distribuzione domesti-ca dell’energia elettrica. E anche il caso delle celle fotovoltaiche (→energia dalle radiazioni solari);

• caso intermedio: batterie ricaricabili (→ cellulari!), che erogano poten-za quando si usa l’elettrodomestico che la contiene e la assorbonoquando le si ricarica.


Capitolo 6

Componenti e circuiti dinamicielementari

Parliamo di componenti dinamici ⇒ la loro relazione costitutiva conterraderivate e/o integrali delle variabili descrittive rispetto al tempo.

Cominciamo introducendo i piu semplici e i piu importanti: condensatoree induttore.

6.1 Condensatore

Il condensatore e un bipolo la cui rappresentazione grafica

vi

richiama la struttura del condensatore fisico, costituito da due laminemolto sottili e di superficie ampia, di materiale conduttore (es. alluminio)separate da un sottile strato di materiale isolante (dielettrico):

dielettrico

lamine conduttrici(piastre)

107

6. Componenti e circuiti dinamici elementari

Equazione descrittiva? La carica che si accumula sulle piastre del conden-satore e q(t) = C · v(t). C e un parametro detto capacita. Questa potrebbeessere l’equazione descrittiva se usassimo come variabili descrittive tensione ve carica q. Ma q e misurabile meno semplicemente della corrente⇒ deriviamo(i(t) = dq

dt):

i(t) = Cdv

dt(6.1)

Nota la tensione v(t) ⇒ ricaviamo univocamente la corrente i(t) ⇒ es-iste base tensione. Nota la corrente i(t) ⇒ non ricaviamo univocamente latensione v(t)⇒ non esiste base corrente.

La misura istantanea di v non da alcuna informazione su i e viceversa.Per ricavare i o v occorre conoscere il modo di variare nel tempo dell’altravariabile ⇒ bisogna mantenerne memoria.

[C] =[q]

[v]=

Cb

V=

A s

V= F (Farad) (6.2)

Supporremo che sia C > 0 (se C = 0⇒ circuito aperto) e C costante (⇒componente tempo-invariante). Ordini di grandezza tipici:

µF (10−6 F)nF (10−9 F)pF (10−12F)

Il condensatore e un componente lineare e reciproco (la verifica non ebanale e richiede il ricorso al concetto di lavoro virtuale)

N.B.: Se v(t) =costante (il che accade, per esempio, in condizioni di“regime stazionario” ⇐⇒ d

dt≡ 0 o“regime costante” o “continua”) ⇒

i(t) ≡ 0⇒ il condensatore equivale a un circuito aperto.

E

+

R

vCin regime⇐⇒stazionario

E

+ R

i ≡ 0

v ≡ E

6.1.1 Modello equivalente di Thevenin di un conden-

satore carico

Supponiamo di voler determinare la tensione v(t) da un certo istante t0 inpoi. Per farlo, dobbiamo conoscere la condizione iniziale v(t0). Se infatti siintegra la relazione costitutiva, si ha:



t∫

t−0

i(τ)dτ = C

∫ t

t−0

dv

dτdτ = C ·

[v(t)− v(t−0 )

]

⇐⇒ v(t) =t≥t−0

1

C

t∫

t−0

i(τ)dτ + v(t−0 )︸︷︷︸

:=v0

(6.3)

Se si utilizza la “funzione gradino unitario”:

0 1 2 3−1−2−3

1

t

1(t)

discontinuita di prima specie

1(t) =

0 t < 01 t ≥ 0

⇒ si puo anche scrivere la (6.3) cosı:

v(t) =1

C

t∫

t−0

i(τ)dτ

︸︷︷︸

va(t)

+ v0 · 1(t− t0)︸︷︷︸

vb(t)

∀t (6.4)

Questa equazione corrisponde alla connessione in serie di due componenti:

va(t) =1

C

t∫

t−0

i(τ)dτ (6.5)

e l’equazione di un condensatore che in t = t−0 e scarico (condizioneiniziale nulla);

vb(t) = v0 · 1(t− t0) (6.6)

e l’equazione di un generatore di tensione impressivo a gradino.Dunque, la rappresentazione equivalente di Thevenin del condensatore

carico e:



v0 · 1(t− t0)+

v′(t)

v(t)

i(t)

dove v(t−0 ) = v0 e v′(t−0 ) = 0.Questa e la rappresentazione piu comunemente usata per condensatori

carichi.

6.2 Funzioni generalizzate (cenni)

La derivata del gradino unitario non e definita, nell’origine. Si puo definireuna funzione “generalizzata” (oggetto di corsi di matematica avanzata) checorrisponde esattamente alla derivata del gradino:

0 1 2−1−2 t

δ(t)

δ(t) ,d1(t)

dt

impulso ideale o delta di Dirac (discontinuita di seconda specie nell’origine).Si puo pensare l’impulso ideale come lim

T→0di:

t−T

1T

T t−T

12T

T

Quanto vale l’area di un impulso? E calcolabile come:

+∞∫

−∞

δ(t)dt =

0+∫

0−

δ(t)dt = 1 (6.7)



Se fosse una funzione continua o a gradino ⇒ il suo integrale tra 0− e 0+

sarebbe nullo.

Proprieta:

1. La delta di Dirac e anche nota come impulso di ordine 1 o δ(1)(t).Integrando rispetto a t ⇒ δ(0)(t) = 1(t) gradino unitario; se si integraancora ⇒ δ(−1)(t) = t · 1(t) (funzione a rampa, continua)

0 1 2 3−1−2−3

1

t

δ(−1)(t)

45

Se invece si deriva δ(1)(t) rispetto a t⇒ δ(2)(t) (doppietto, con discon-tinuita di terza specie nell’origine).

1 2−1−2 t

δ(2)(t)

2.

t3∫

t1

δ(t− t2) · f(t)dt

︸︷︷︸

integrale di convoluzione

=

t+2∫

t−2

δ(t−t2) · f(t)dt = f(t2) ∀t2 ∈ (t1, t3)

3. Impulso di tensione in t = t0:

v(t) = φ0 · δ(t− t0) ⇐⇒ φ0 =

t+0∫

t−0

v(t)dt

φ0: area dell’impulso di tensione (ha le dimensioni di un flusso [V · s])



4. Impulso di corrente in t = t0:

i(t) = q0 · δ(t− t0)⇒ q0 =

t+0∫

t−0

i(t)dt

q0: area dell’impulso di corrente (ha le dimensioni di una carica [A · s])

5. Se si ha un’equazione differenziale lineare non omogenea del tipo:

a0x(t) + a1dx

dt+ · · ·+ an

dnx

dtn= b0u(t) + b1

du

dt+ · · ·+ bm

dmu

dtm

Ogni volta che si deriva ⇒ si aumenta di 1 l’ordine di una eventualediscontinuita ⇒ affinche l’equazione abbia senso, i termini con gradodi derivazione piu elevato per l’ingresso noto u(t) e per la variabileincognita x(t) (nell’esempio bm

dmudtm

e andnxdtn

, rispettivamente) devonoavere lo stesso grado di discontinuita.

Esempio:

a0x(t) + a1dx

dt= b0δ(t)

L’ingresso e un impulso e non e derivato ⇒ dxdt

deve essere un impulso⇒ x(t) deve essere una funzione a gradino.

6.3 Modello equivalente di Norton di un con-

densatore carico

Bisogna esplicitare i(t) in funzione di v(t) ⇒ si deriva l’equazione (6.4) apagina 109:

dv

dt=

1

Ci(t) + v0 · δ(t− t0) ⇐⇒ i(t) = C

dv

dt− Cv0︸︷︷︸

q0

· δ(t− t0) (6.8)

⇒ il modello e:

q0δ(t− t0) CC dv

dtv(t)

i(t)



6.4 Induttore

L’induttore e un bipolo la cui rappresentazione grafica richiama la strutturadell’induttore fisico, costituito da un avvolgimento di filo conduttore attornoa un nucleo di materiale ferromagnetico.

L vi

i

v

Gli estremi del filo costituiscono i terminali fisici dell’induttore.Equazione descrittiva: φ(t) = L · i(t) e il flusso magnetico generato nel

materiale ferromagnetico da una corrente nel filo. L e un parametro dettoinduttanza. Derivando (v = dφ

dt):

v(t) = L · didt

(→ componente dinamico, con memoria) (6.9)

[L] =V · sA

=Wb

A= H (Henry) (6.10)

Tipicamente L = e dell’ordine dei µH o dei mH.In regime stazionario i e costante ⇒ v(t) = 0 ⇒ l’induttore equivale

a un corto circuito. L’induttore e un componente lineare e reciproco (ladimostrazione della reciprocita non e banale, come per il condensatore) eammette base corrente (non base tensione).

Modelli equivalenti di un induttore carico?

i01(t− t0) L v(t)

i(t)

Modello equivalente di Norton(e il piu usato)

φ0δ(t− t0)

L

v(t)

i(t)

Modello equivalentedi Thevenin

6.5 Energia

Potenza assorbita da condensatore e induttore:



p(t) = v(t)i(t) = Cvdv

dt(6.11)

p(t) = v(t)i(t) = Lidi

dt(6.12)

⇒ l’energia assorbita tra t0 e t e

12C (v2(t)− v2(t0))

∆w =t∫

t0

p(τ)dτ =

12L (i2(t)− i2(t0))

Il condensatore e l’induttore sono componenti conservativi : conservanol’energia assorbita e possono restituirla in un secondo momento (non ladissipano). Vediamo perche.

Supponiamo che nel tempo la tensione abbia una andamento qualsiasi:

t

v(t)

b bb

tA tC tB

∆w[tA,tB ]

=1

2C ·[v2(tB)− v2(tA)

]= 0 (6.13)

Questo non vuol dire che il condensatore non abbia assorbito energia in[tA, tB]. Semplicemente il bilancio e pari:

In [tA, tC ] il componente accumula energia:

∆w[tA,tC ]

=1

2C ·[v2(tC)− v2(tA)

]> 0

(v(tC) > v(tA)

)(6.14)

In [tC , tB] esso restituisce l’energia accumulata:

∆w[tC ,tB ]

=1

2C ·[v2(tB)− v2(tC)

]< 0

(v(tB) < v(tC)

)(6.15)

Il bilancio complessivo nullo. Quando v = 0⇒ energia nulla e condensatore(induttore) scarico.



In t0 = −∞ si suppone generalmente che i componenti siano scarichi, percui:

t∫

−∞

p(τ)dτ ≥ 0 (6.16)

⇒ componenti passivi (possono restituire solo l’energia assorbita, ma non neproducono di per se).

6.6 Collegamenti in serie e in parallelo di con-

densatori e induttori (scarichi)

v(t)

i(t)

C1

i1C2

i2 ⇐⇒ C1 + C2vi

L1i

v1

L2

v2

⇐⇒ i

v

L1 + L2

C1i

v1

C2

v2

⇐⇒C1C2

C1+C2

v

i

v(t)

i(t)

L1

i1L2

i2⇐⇒ L1L2

L1+L2v

i

Verificare per esercizio. Nel caso di condizioni iniziali non nulle? Bastausare il modello equivalente appropriato.



6.7 Stato

Lo “stato” di una rete elettrica in un dato istante t0 e l’insieme delle infor-mazioni che riassumono tutta la storia della rete antecedente a t0. Noti tuttigli ingressi (impressivi) da t0 in poi e noto lo stato in t0 ⇒ e determinabilelo stato ∀t > t0.

DEFINIZIONE: dato un circuito, il suo stato in un certo istante (iniziale)t0 e l’insieme delle condizioni iniziali indipendenti che il sistema puo avere.Note le condizioni iniziali e gli ingressi per t > t0, possiamo determinare lostato ∀t > t0.

Le variabili della rete elettrica cui si riferiscono le condizioni inziali in-dipendenti si dicono variabili di stato.

Proprieta: qualunque variabile non di stato della rete puo essere espressaalgebricamente in termini delle variabili di stato e degli ingressi (piu loroeventuali derivate) ⇒ per risolvere un circuito, basta determinarne lo stato.

L’analisi puo essere dunque semplificata separandola in due fasi distinte:determinazione dello stato (risolvendo equazioni differenziali) e determinazionedi tutto il resto (risolvendo equazioni algebriche).

Esempi:

• circuito adinamico (in cui sono poste in evidenza le sorgenti impressive,cioe gli ingressi)

Circuitoadinamico

+

+

Dati gli ingressi ⇒ tutto e determinato in ogni istante ⇒ rete priva distato

•

a(t) C v(t)



a(t) = Cdv

dt⇐⇒ v(t) = v(t0) +

1

C

t∫

t0

a(τ)dτ (6.17)

v(t0) e la condizione iniziale necessaria per risolvere ⇒ v(t) e unavariabile di stato.

Tipicamente si specificano, come condizioni iniziali, le tensioni sui con-densatori e le correnti negli induttori. In generale, pero, tali variabili sonosolo candidate a diventare variabili di stato, perche non e detto che sianoindipendenti. Esempi tipici (casi “patologici”):

+

maglie CE cocicli LA

In tutti questi casi esistono vincoli algebrici tra le candidate ⇒ una diesse non puo essere variabile di stato.

6.8 Soluzione generale dei circuiti dinamici

del primo ordine

Intendiamo studiare l’insieme delle soluzioni di un generico circuito conte-nente un solo componente dinamico o, meglio ancora, dotato di una solavariabile di stato ⇒ puo contenere un condensatore la cui tensione e effet-tivamente variabile di stato, o un induttore la cui corrente e effettivamentevariabile di stato, oppure N variabili candidate a diventare variabili di statoe N − 1 relazioni algebriche indipendenti che le legano.

Supponiamo per il momento di avere a che fare con circuiti che contenganoun solo condensatore o induttore e una variabile di stato (la candidata evariabile di stato).

Per esaminare in modo molto generale questi circuiti, conviene suddi-viderli in due bipoli complementari, il primo costituito da tutti i componentiadinamici (coincide con il circuito di partenza una volta rimosso il bipolodinamico) e il secondo dal bipolo dinamico (condensatore o induttore) ⇒ siparla di circuiti RC e RL, rispettivamente.

Il bipolo adinamico puo essere rappresentato mediante il corrispondentemodello equivalente di Thevenin e/o Norton:



Thevenin (se esiste base corrente) ⇒ v(t) = eTH(t) +RTHi(t)Norton (se esiste base tensione) ⇒ i(t) = aNR(t) +GNRv(t)Per distinguere i contributi di ciascun generatore indipendente interno al

bipolo adinamico (il che risulta conveniente per poter applicare il principiodi sovrapposizione), possiamo esprimere eTH(t) e aNR(t) nel modo seguente:

eTH(t) =

p∑

k=1

eTHk(t) =

p∑

k=1

bkuk(t) (6.18)

aNR(t) =

p∑

k=1

aNRk(t) =

p∑

k=1

bkuk(t) (6.19)

Ciascun termine nella sommatoria rappresenta il contributo al modelloequivalente di un solo generatore indipendente uk(t) interno al bipolo adi-namico. Poiche, come anticipato parlando delle variabili di stato, tutte levariabili elettriche del circuito si possono ottenere algebricamente una voltanote le variabili di stato (vedremo meglio come), conviene costruire primadi tutto l’equazione (differenziale) la cui incognita e proprio la variabile distato. Vediamo come (si omettono i pedici TH e NR).

• Modello controllato dalla variabile di stato

a) Condensatore → v ⇒ Norton:

a(t) R

iRv

iC

a(t) + iR + i = 0iR = v

R

i = C dvdt

(6.20)

⇒ Cdv

dt+

v

R= −a(t) (6.21)

Questa si dice equazione di stato o relazione ingresso/uscita [a(t)ingresso; v(t) uscita] per la variabile di stato v(t)

Forma canonica (isoliamo dvdt

al primo membro):

dv

dt= − v

RC− a(t)

C(6.22)



b) Induttore → i⇒ Thevenin:

e(t)+ R

vr

L vi

e(t) = vR + vvR = Riv = Ldi

dt

(6.23)

⇒ Ldi

dt+Ri = e(t) (6.24)

Questa equazione si dice equazione di stato o relazione ingres-so/uscita [e(t) ingresso; i(t) uscita] per la variabile di stato i(t).

Forma canonica (isoliamo didt):

di

dt= −R

Li+

e(t)

L(6.25)

• Modello controllato dalla variabile non di stato

e(t)+

R

iv a(t) R L

iv

Verificare per esercizio che le equazioni di stato in forma canonica sono

dv

dt= − v

RC+

e(t)

RCe

di

dt= −R

Li− R

La(t)

La struttura generale dell’equazione da risolvere e dunque:

dx

dt= x = ax(t) +

p∑

k=1

bkuk(t) (6.26)

x(t) e la variabile di stato; uk(t) sono gli ingressi (sorgenti indipendenti).Facendo il bilancio delle discontinuita, si vede subito che la variabile di sta-to e meno discontinua degli ingressi (o meglio, di quello piu discontinuo).Soluzione dell’equazione? Si puo ragionare in due modi:



1. Integriamo l’equazione tra t0 e t, operando un cambio di variabili:

x(t) = ea(t−t0)x(t)derivo=⇒ x(t) = aea(t−t0)x(t) + ea(t−t0) ˙x(t)

Sostituendo nell’equazione da risolvere, si ottiene:

ea(t−t0)(ax+ ˙x

)= aea(t−t0)x(t) +

p∑

k=1

bkuk(t)

⇐⇒ ˙x = e−a(t−t0)

p∑

k=1

bkuk(t)

Ora integriamo tra t0 e t:

x(t)− x(t0) =

p∑

k=1

bk

t∫

t0

e−a(τ−t0)uk(τ)dτ

Infine ritorniamo a x(t):

x(t) = ea(t−t0)x(t0)︸︷︷︸

α

+

p∑

k=1

bkeat

t∫

t0

e−aτ uk(τ)dτ

︸︷︷︸

β

Il termine α dipende solo da come e fatto il circuito (tramite il coef-ficiente a) e dalla condizione iniziale x(t0) della variabile di stato. Sidice risposta a ingresso nullo (ZIR: Zero Input Response).

Il termine β dipende solo da come e fatto il circuito (tramite i coeffi-cienti a e b) e dagli ingressi. Non dipende dallo stato iniziale. Si dicerisposta nello stato zero (ZSR: Zero State Response).

Per ogni possibile stato iniziale x(t0) si ha una e una sola soluzione.

2. Un modo molto piu adeguato ai circuiti consiste nel risolvere l’equazionedi stato sfruttando il principio di sovrapposizione:

x(t) = xOA(t) +

p∑

k=1

xpk(t)

xOA(t) e la cosiddetta soluzione omogenea associata (si ottiene passi-vando tutti gli ingressi).



I termini xpk sono detti integrali particolari (ciascuno corrisponde a uningresso quando gli altri sono passivati).

Cominciamo a vedere come si ricava la soluzione omogenea associa-ta. L’equazione omogenea associata all’equazione di stato si ottieneazzerando (cioe passivando) tutte le sorgenti impressive (non i genera-tori pilotati), ossia gli ingressi:

x(t) = ax(t) ⇐⇒ x(t)− ax(t) = 0

Sostituendo ora d(k)x

dtkcon λk, si ottiene la cosiddetta equazione carat-

teristica:λ− a = 0 ⇐⇒ λ = a

La soluzione omogenea associata e:

xOA(t) = Aeλ(t−t0) risposta transitoria

La costante A si ricava alla fine, una volta ottenuta la soluzione com-pleta x(t), imponendo la condizione iniziale x(t0) = x0 ⇒ la rispostatransitoria dipende anche dal valore iniziale dell’ingresso, per cui noncoincide con la risposta a ingresso nullo del metodo 1. La risposta tran-sitoria di un circuito viene anche detta risposta libera o modo naturaledel circuito perche non dipende dal tipo di ingresso: e il modo naturalecon cui il circuito “risponde” a qualsiasi sollecitazione esterna.

Il parametro λ viene detto frequenza libera del circuito e determina lastabilita:

b

b

A > 0

A < 0

t

xOA(t)

λ < 0

stabilita assoluta

b

b

A > 0

A < 0

t

xOA(t)

λ = 0

stabilita semplice

b

bA > 0

A < 0 t

xOA(t)

λ > 0

instabilita

Affinche la risposta transitoria possa esaurirsi, occorre che sia λ <0. In tal caso, a risposta transitoria esaurita, si dice che il circuitoraggiunge un regime. Il tipo di regime dipende dal tipo di ingresso,come vedremo. La quantita τ = 1

|λ| viene detta costante di tempo delcircuito. Graficamente:



τ t

xOA(t)

N.B.: la risposta libera (transitoria) puo considerarsi esaurita (nel casoλ < 0) dopo circa 5τ ⇒ la costante di tempo fornisce una misura deitempi di reazione del circuito a prescindere dagli ingressi.

Vediamo ora come si ricavano gli integrali particolari xpk(t) dovuti alk-esimo ingresso uk(t) per alcuni tipi significativi di ingresso.

6.8.1 Ingresso costante

Ci riduciamo al caso di un solo ingresso costante (mettiamo tutti gli altri azero per il principio di sovrapposizione).

x(t) = ax(t) + bu , con u costante (6.27)

L’integrale particolare deve soddisfare questa equazione. Per trovarlo, ci basi-amo su un criterio di similarita: visto che il sistema e lineare, ci aspettiamoche la soluzione sia simile all’ingresso che la determina ⇒ proviamo a sup-porre che anche l’integrale particolare xp(t) sia una costante: xp(t) = K ⇒sostituiamo nella (6.27) e ricaviamo K:

0 = aK + bu ⇐⇒ K = − b

au (purche a 6= 0) (6.28)

⇒ x(t) = Aeλ(t−t0) +K (6.29)

Ora ricaviamo A sfruttando l’informazione sulla condizione iniziale:

x(t0) = A+K ⇐⇒ A = x(t0)−K = x(t0) +b

au (6.30)

⇒ x(t) =

[

x(t0) +b

au

]

eλ(t−t0)

︸︷︷︸

risposta transitoria

− b

au

︸︷︷︸

integrale particolare

= (6.31)

= x(t0)eλ(t−t0)

︸︷︷︸

ZIR

+b

au[eλ(t−t0) − 1

]

︸︷︷︸

ZSR

(6.32)



Se il circuito e assolutamente stabile, allora l’integrale particolare si dicerisposta a regime.

Possiamo anche ragionare in modo diverso. L’integrale particolare indot-to da un ingresso costante e, come visto, una costante. Ma allora una voltaesaurita la risposta transitoria, ossia in condizioni di regime, tutte le vari-abili del circuito (di stato o ricavabili algebricamente da quelle di stato) sonocostanti ⇒ d

dt= 0 (regime stazionario) ⇒ posso risolvere un circuito equiva-

lente (adinamico) in cui il condensatore e sostituito da un circuito aperto el’induttore da un corto circuito.

Esempio 6.8.1. Circuito con ingresso costante.

E

+

E − v

R iv

Cdv

dt=

E − v

R(6.33)

⇐⇒ dv

dt+

v

RC=

E

RC(6.34)

⇒ λ = − 1

RC< 0

(6.35)

(⇒ circuito assolutamente stabile)

Integrale particolare: vp(t) = K ⇒ K

RC⇐⇒ K = E (6.36)

Oppure: regime stazionario ⇒

E

+

E − v

R i

vp(t)

i ≡ 0 (6.37)

vp(t) = E (6.38)

6.8.2 Ingresso a gradino

In questo caso l’analisi del circuito viene spezzata in due parti: una primaparte con ingresso costante nullo e una seconda parte con ingresso costantenon nullo e condizioni inziali calcolate sulla base della prima analisi.

Esempio 6.8.2. Circuito con ingresso a gradino.



e(t)+

E − v

R

v(t)C e(t) = E · 1(t) (6.39)

dv

dt+

v

RC=

e(t)

RC(6.40)

v(t) = vOA(t) + vp(t) (6.41)

vOA(t) = Aeλt (6.42)

Eq. caratteristica: λ+1

RC= 0 (6.43)

⇐⇒ λ = − 1

RC(→ costante di tempo RC) (6.44)

• Soluzione per t < 0

Calcoliamo l’integrale particolare e(t) = 0 e regime stazionario ⇒R

vp(t) ⇒ vp(t) = 0 (6.45)

⇒ v(t) = v(−∞)︸︷︷︸

=A

eλ

t0→−∞

︷︸︸︷

(t− t0)

(6.46)

Dunque, in 0− la tensione e nulla: v(0−) = 0

• Soluzione per t ≥ 0

Integrale particolare: e(t) = E e regime stazionario ⇒

E

+

R

vp(t) ≡ E ⇒ v(t) = A′eλt + E (6.47)

Per ricavare A′ serve la condizione iniziale, in t = 0+. Esaminiamo ilbilancio delle discontinuita:

dv

dt+

v

RC=

e(t)

RC(6.48)



e(t) ha un gradino a cavallo dell’origine⇒ anche dvdt

e un gradino⇒ v(t)e continua per t = 0.

⇒ v(0+) = v(0−) = 0 (6.49)

⇒ v(0+) = A′ + E = 0 ⇐⇒ A′ = −E (6.50)

⇒ v(t) = E(

1− e−t

RC

)

(6.51)

• Soluzione complessiva

v(t) = E(

1− e−t

RC

)

· 1(t) (6.52)

6.8.3 Ingresso impulsivo

In questo caso l’unica difficolta consiste nel calcolo della condizione iniziale.

Esempio 6.8.3. Circuito con ingresso impulsivo.

e(t)+ R

v(t)Ce(t) = Φ0δ(t) (6.53)

La risposta transitoria non cambia rispetto a prima (non dipende dal tipodi ingresso).

• Soluzione per t < 0: integrale particolare e(t):

e(t) ≡ 0⇒ vp(t) = 0⇒ v(t)t<0= v(−∞)eλ

t0→−∞

︷︸︸︷

(t− t0) (6.54)

⇒ v(0−) = 0 (6.55)

• Soluzione per t > 0: integrale particolare e(t):

e(t) ≡ 0⇒ vp(t) = 0 (6.56)

⇒ v(t) = Aeλt con A = v(0+) (6.57)

Bilancio delle discontinuita:

dv

dt+

v

RC=

e(t)

RC(6.58)



e(t) e un impulso ⇒ lo e anche dvdt⇒ v(t) e un gradino.

⇒ v(0+) 6= v(0−) (6.59)

Integriamo l’equazione di stato tra 0− e 0+:

0+∫

0−

dv

dtdt

︸︷︷︸

v(0+)−v(0−)

+

0+∫

0−

v

RCdt

︸︷︷︸

=0

=Φ0

RC

0+∫

0−

δ(t) dt

︸︷︷︸

=1

⇒ v(0+) =Φ0

RC(6.60)

• Soluzione complessiva:

v(t) =Φ0

RCe−

tRC · 1(t) (6.61)

6.8.4 Ingresso sinusoidale

x(t) = ax(t) + bu(t) u(t) = U cosωt (6.62)

Ci aspettiamo una soluzione particolare simile all’ingresso per il principio disimilarita⇒ l’integrale particolare sara una sinusoide con la stessa pulsazioneω, ma in generale con fase differente:

xp(t) = k1 cosωt+ k2 sinωt (6.63)

Sostituendo nell’equazione di stato ricaviamo k1 e k2:

−k1ω sinωt+ k2ω cosωt = ak1 cosωt+ ak2 sinωt+ bU cosωt (6.64)

⇐⇒

k2ω = ak1 + bU−k1ω = ak2

(6.65)

⇒ ottenendo k1 e k2. Come vedremo prossimamente, si puo anche ra-gionare in modo diverso (regime sinusoidale permanente e fasori).

6.8.5 Circuiti con interruttori

L’interruttore ideale e un componente tempo-variante:



it = 0 v

Equazione costitutiva: (circuito aperto)i = 0 per t < 0v = 0 per t ≥ 0

it = 0 v

Equazione costitutiva: (corto circuito)v = 0 per t < 0i = 0 per t ≥ 0

Per risolvere circuiti contenenti interruttori ideali, si spezza nuovamentel’analisi in due: circuito prima della commutazione⇒ condizioni immediata-mente prima della commutazione⇒ circuito dopo la commutazione. Il prob-lema fondamentale sta nel capire che cosa cambia durante la commutazionedel tasto.

Esempio 6.8.4. Circuito con interruttore

R

t = 0

C vi v(0−) = V0 (6.66)

Per t < 0 tutto resta com’e (i = 0)

Dopo la commutazione (per t ≥0) si ha:

Rv′

+V0 · 1(t)

v(t) −V0 · 1(t)+

R

C v′

Riprendendo l’esempio 6.8.2, ricaviamo immediatamente

v′(t) = −V0

(

1− e−t

RC

)

· (6.67)

⇒ v(t) =t≥0

v′ + V0 = V0e− t

RC (6.68)



bV0

t

v(t)

τ = RCRitorniamo a quanto detto all’inizio del paragrafo 6.8 a pagina 117 e

vediamo che cosa cambia se il numero delle candidate e diverso da quellodelle variabili di stato. Se nel circuito abbiamo N candidate e N − 1 vincolialgebrici, nell’equazione di stato compaiono anche derivate degli ingressi:

x(t) = ax(t) + b1u(t) + b2 ˙u(t) · · · (6.69)

Quindi non e piu vero che la variabile di stato e piu continua dell’ingresso,in questi casi, perche x va a bilanciare (in termini di discontinuita) il terminedi derivata massima di u.

Per il resto si procede come visto (le derivate di u vengono interpretatecome ingressi a se stanti, che avranno un proprio integrale particolare).

Esempio 6.8.5.

−v1C1

dv1dt

C1v1

i0

v2

C2C2

dv2dt

+E · 1(t)

A

−nC1dv1dt

− v1n

R

− v1nR

n : 1

KVL (anello esterno):

v2 + E · 1(t) = v1n

(6.70)

⇒ due candidate, ma una sola variabile di stato.KCL (nodo A):

C2dv2dt

= −nC1dv1dt− v1

nR(6.71)

ma

v2 =v1n−E · 1(t) (6.72)

⇒ C2

n

dv1dt− C2E · δ(t) + nC1

dv1dt

+v1nR

= 0 (6.73)

⇐⇒(C2

n+ nC1

)dv1dt

+v1nR

= C2E · δ(t) (6.74)



Questa e l’equazione di stato. Dal bilancio delle discontinuita si deduce chev1 ha un gradino tra 0− e 0+. L’ingresso vero (E · 1(t)) compare derivato, nel-l’equazione di stato⇒ la variabile di stato ha lo stesso grado di discontinuitadell’ingresso.

Frequenza libera:

λ = − 1

nR

n

C2 + n2C1= − 1

R(C2 + n2C1)(6.75)

v1(0+)? Integriamo l’equazione di stato tra 0− e 0+:

v1(0+)− v1(0

−)︸︷︷︸

=0

(C2

n+ nC1

)

+ 0 = C2E (6.76)

v1(0+) =

nC2E

C2 + n2C1

(6.77)

v1(t) per t > 0:v1(t) = vOA(t) + vp(t) (6.78)

vp(t) e l’integrale particolare dovuto all’“ingresso” C2Eδ(t) (secondo membrodell’equazione di stato) ⇒ e nullo (δ(t) ≡ 0 per t > 0)

⇒ v1(t) = vOA(t) = Aeλt (6.79)

v1(0+) = A =

nC2E

C2 + n2C1(6.80)

⇒ v1(t) =nC2E

C2 + n2C1eλt (6.81)

In effetti l’ingresso E · 1(t) tiene conto della condizione iniziale su C2:v2 E · 1(t)

con v2(0−) = 0 ⇐⇒

v2

con v(0−) = E⇒ tutto va come se non ci fossero ingressi effettivi e i condensatori si

scaricassero sulla parte resistiva del circuito.

6.8.6 Variabili non di stato

Finora ci siamo concentrati sulle variabili di stato, o meglio sulle candidate.Spesso interessa conoscere anche altre grandezze del circuito, cioe tensioni ecorrenti “nascoste” nel bipolo adinamico.

Per ottenerle, possiamo ragionare cosı:

1. risolviamo il circuito rispetto alla variabile di stato



2. nel circuito originario, sostituiamo l’unico bipolo dinamico con la cor-rispondente sorgente impressiva, in accordo con il teorema di sosti-tuzione.

3. risolviamo il circuito adinamico cosı ottenuto

Bip.

adin.

passo 1): circuitodinamico da risolvere

C v ⇒ v(t)

Bip.

adin.

i

L ⇒ i(t)

Bip.

adin.

passo 2): applichiamo ilprincipio di sovrapposizione

+v(t)

Bip.

adin.i(t)

passo 3) ⇒ ricaviamo le variabili non di stato risolvendo un circuitoadinamico.

Applicando il principio di sovrapposizione, la generica variabile (uscita)del circuito puo essere espressa cosı (con x(t) indichiamo v(t) o i(t), a secondadei casi):

y(t) = kx(t) + d1u1(t) + d2u2(t) + · · ·+ dpup(t) (6.82)

In termini vettoriali, si ha:

y(t) = kx(t) +Du(t) (6.83)

Questa e un’equazione puramente algebrica detta equazione di uscita.Nota: se le candidate sono variabili di stato effettive, mentre le variabili distato sono piu continue degli ingressi, le altre variabili possono avere lo stessogrado di discontinuita dell’ingresso piu discontinuo (basta vedere l’equazione(6.82)).

6.9 Induttori accoppiati

Tra i doppi bipoli dinamici e conservativi sono molto importanti gli induttoriaccoppiati (modello idealizzato di componenti fisici molto diffusi; p.es. iltrasformatore reale).



v1

i1

L1

Mi2

v2L2

i1

L1 L2

Mi2

v1 v2

Equazioni descrittive?

[Φ1(t)Φ2(t)

]

=

[L1 MM L2

] [i1(t)i2(t)

]

(6.84)

L1 si dice induttanza primaria, L2 secondaria ed M induttanza mutua(sono tutte espresse in Henry).

i1

Concatenamento mutuo del flusso dovuto a i1φ2m(t) = Mi1(t)

Flusso autoconcatenato(dovuto a i2)φ2a(t) = L2i2(t)

i2

⇒ Φ2(t) = Mi1(t) + L2i2(t) (idem per Φ1) (6.85)

L1 ed L2 sono positive. Segno di M : se i pallini nella rappresentazione delcomponente sono concordi ⇒M > 0 (altrimenti M < 0).

Per avere le equazioni descrittive vere e proprie (in termini di correnti etensioni), deriviamo:

[v1(t)v2(t)

]

=

[L1 MM L2

] [di1dtdi2dt

]

(→ doppio bipolo dinamico) (6.86)

Se ci sono condizioni iniziali non nulle? Possiamo “scaricare” ciascuninduttore come se fosse a se stante. N.B.: il modello di Thevenin (quellomeno usato) e definibile solo invertendo la matrice (⇒ deve avere det 6= 0).



Energia immagazzinata in [t0, t]:

∆w(t) =

t∫

t0

[

v1(τ)i1(τ) + v2(τ)i2(τ)]

dτ =

=

t∫

t0

[

L1i1di1dτ

+ L2i2di2dτ

+M

(

i1di2dτ

+ i2di1dτ

)

︸︷︷︸

=d(i1i2)

dτ

]

dτ =

=

[1

2L1i

21 +

1

2L2i

22 +Mi1i2

]t

t0

Se si suppone che in un istante infintamente remoto gli induttori fosseroscarichi, si ottiene

w(t) =1

2L1i

21 +

1

2L2i

22 +Mi1i2 =

=1

2[i1, i2]

[L1 MM L2

] [i1i2

]

(6.87)

Che cosa succede se in un certo istante t2 si ritorna nelle condizioni chec’erano in t0? Si verifica facilmente che l’energia accumulata tra t0 e t2 enulla ⇒ componente conservativo (puo solo restituire l’energia accumulata,non dissipa).

Abbiamo gia detto che L1 & L2 ≥ 0. Inoltre, per ragioni fisiche, M2

potra al massimo essere pari a L1L2 (nel caso in cui i due avvolgimenti sianotalmente vicini da poter essere considerati coincidenti)

⇒ L1L2 −M2 ≥ 0 ⇐⇒ det

[L1 MM L2

]

≥ 0 (6.88)

Dunque w(t) e una forma quadratica omogenea semidefinita positiva ⇒w(t) ≥ 0 ∀t (→ non puo generare energia, restituisce solo quella assorbita)⇒ il componente e passivo. Si puo verificare che gli induttori accoppiati sonoun componente reciproco (non banale).

Esempio 6.9.1.

i1L1

i2L2

M

REnergia dissipata da R in [0,+∞)?Hp: i1(0

−) = −i2(0−) = I0.



E l’energia inizialmente immagazzinata negli induttori:

w =1

2L1i

21(0

−) +Mi1(0−)i2(0

−) +1

2L2i

22(0

−) =

=1

2(L1 + L2 − 2M) I20

(6.89)

6.9.1 Modelli degli induttori (mutuamenti) accoppiati

Per misurare il grado di accoppiamento tra i due induttori, si introduce ilcoefficiente di accoppiamento:

k =M√L1L2

Poiche |M | ≤√

L1L2, k ∈ [−1, 1] (6.90)

• |k| = 1 ⇒ massimo accoppiamento possibile. Da un punto di vistafisico, cio significa che i due avvolgimenti sono cosı vicini che il flussomagnetico generato dalla corrente di uno qualsiasi di essi viene comple-tamente concatenato con l’altro⇒ ∃ legame algebrico tra le due corren-ti⇒ non sono entrambe variabili di stato. Questo puo avvenire solo se idue avvolgimenti sono coincidenti (condizione limite, non raggiungibilenella pratica, detta accoppiamento stretto o critico).

• k = 0 ⇒ accoppiamento nullo: i due induttori non interagiscono ⇒il doppio bipolo degenera in due induttori disaccoppiati, in quantoM = 0. Da un punto di vista fisico cio si ottiene o con avvolgi-menti sufficientemente lontani o con flussi concatenati che si elidonoreciprocamente (p.es., con avvolgimenti vicini, ma con assi ortogonali).

Introduciamo un primo modello equivalente molto usato:

v1

Lsi1

Lp

n : 1i2

v2 ⇐⇒ v1

i1

L1

Mi2

v2L2

Per identificare i parametri, ricaviamo le equazioni descrittive del due-porte:

v1

Lsdi1dt

Lsi1

nv2Lp

i2n

n : 1i2

v2



v1 = Lsdi1dt

+ Lp

(di1dt

+ 1ndi2dt

)

v2 =Lp

n

(di1dt

+ 1ndi2dt

) (6.91)

Ossia, ordinandole in modo da confrontarle con quelle degli induttoriaccoppiati:

v1 = (Ls + Lp)di1dt

+ Lp

ndi2dt

v2 =Lp

ndi1dt

+ Lp

n2di2dt

(6.92)

Dal confronto si deduce facilmente che:

L1 = Ls + Lp

L2 =Lp

n2

M = Lp

n

(6.93)

Relazioni inverse (ricavabili da queste):

n = k

√

L1

L2(6.94)

Lp = k2L1 (6.95)

Ls = (1− k2)L1 (6.96)

Nota: Ls = 0 ⇐⇒ k = ±1 (accoppiamento critico). Questo conferma

che la matrice[L1 MM L2

]=

[Lp

Lp

nLp

n

Lp

n2

]

e singolare, in tale condizione ⇒ le due

correnti sono legate da una relazione algebrica (non sono indipendenti) ⇒non possono essere entrambe variabili di stato (una sola lo e).

Un secondo modello equivalente (valido solo per la configurazione tripo-lare) e :

v1

i1 La

Lc

Lb i2

v2

Identificare i parametri per esercizio:

L1 = La + Lc (6.97)

L2 = Lb + Lc (6.98)

M = Lc (6.99)



6.10 Frequenze libere nulle

Da un’ispezione diretta del circuito e possibile valutare se esistono frequenzelibere nulle.

Basta vedere se esistono le seguenti configurazioni circuitali:

In entrambi i casi c’e un legame algebrico tra derivate delle variabili di sta-to⇒ ho una frequenza libera nulla per ciascuna configurazione indipendentedi questo tipo.

N.B.: non bisogna confondere queste configurazioni con maglie CE e co-cicli LA, in cui si ha un legame algebrico tra candidate ⇒ una variabile distato in meno.

Esempio 6.10.1.

a(t)

R

C1 C2

e(t)

L

1 maglia LE1 taglio CA

⇒ 2 f. l. nulle

La terza frequenza libera e − 1RC

(sitrova passivando il circuito).

6.11 Soluzione generale dei circuiti dinamici

di ordine superiore al primo (cenni)

Anche in questo caso si puo ragionare in termini di componente comple-mentare. Esiste una dimostrazione che generalizza quella vista per circuitidel primo ordine: il metodo parte dalla reinterpretazione del circuito dinam-ico come connessione di N tra condensatori e induttori e del componentecomplementare, ossia di un N -porte adinamico contenente tutti e soli i com-ponenti adinamici del circuito. Non consideriamo esplicitamente la presenzadi induttori mutuamente accoppiati: supponiamo di sostituirli con il loromodello equivalente (nel caso di accoppiamento critico ⇒ Ls = 0⇒ c’e unacandidata di meno).

In questo modo, si dimostra quanto segue.



• Se l’N -porte adinamico ammette la base di definizione formata da tuttee sole le candidate (tensioni sui condensatori di porta e correnti negliinduttori di porta), allora l’equazione di stato del sistema (in formacanonica) e:

x(t) = Ax(t) +Bu(t) (6.100)

con x vettore di stato (con N componenti), u vettore degli ingressi (conp componenti), A matrice di taglia N ×N e B matrice di taglia N × p.

• Se l’N -porte adinamico NON ammette la base di definizione formatada tutte e sole le candidate, vuol dire che esistono legami algebrici traalmeno due delle candidate ⇒ il circuito si dice degenere o patologi-co e il numero delle variabili di stato si riduce rispetto a quello dellecandidate. In questi casi, l’equazione di stato del sistema (in formacanonica) e:

x(t) = Ax(t) +B0u(t) +B1˙u+B2

¨u(t) + . . . (6.101)

con x vettore di stato (con N ′(< N) componenti), u vettore degli in-gressi (con p componenti), A matrice di taglia N ′ ×N ′ e Bk matrici ditaglia N ′ × p.

Se u(t) e nullo ⇒ il circuito si dice autonomo (altrimenti → non au-tonomo).

Esempio 6.11.1.

a(t)cdvdt

vC

vR1

R1

Av + v

R2

v(A+1)R2

Av

ia

L

i

a(t) = Q0δ(t) v(0−) = E (6.102)

i(0−) = 0 A 6= −1 (6.103)



• Equazioni di stato?

a(t) = Cdv

dt+

v

R1+

v(A+ 1)

R2︸︷︷︸

def= v

Req

(6.104)

Ldi

dt= −Av (6.105)

⇐⇒[dvdtdidt

]

=

[− 1ReqC

0

−AL

0

] [vi

]

+

[a(t)C

0

]

(6.106)

La seconda colonna e nulla ⇒ ∃ f.l. nulla.

• Relazione ingresso/uscita per le due variabili di stato?

Cdv

dt+

v

Req= a(t) (6.107)

E un’equazione del primo ordine ⇒ v dipende da una sola delle duefrequenze libere del circuito.

v = −L

A

di

dt(6.108)

dv

dt= −L

A

d2i

dt2(6.109)

⇒ sostituisco:

−LCA

d2i

dt2− L

RA

di

dt= a(t) (6.110)

Equazione del secondo ordine ⇒ i dipende da entrambe le frequenzelibere.

• v(0+)?

Cdv

dt︸︷︷︸

impulso

+v

Req︸︷︷︸

gradino

= Q0 · δ(t)︸︷︷︸

impulso

⇒ v(0+) 6= v(0−) (6.111)

Per ricavare v(0+) integro tra 0− e 0+:

⇒ C

v(0+)− v(0−)︸︷︷︸

=E

+ 0 = Q0 (6.112)

⇐⇒ v(0+) =Q0

C+ E (6.113)



• i(0+)?

− LC

A

d2i

dt2︸︷︷︸

impulso

− L

RA

di

dt︸︷︷︸

gradino

= Q0 · δ(t)︸︷︷︸

impulso

(6.114)

⇒ i(t) e continua ⇒ i(0+) = i(0−)

• Frequenze libere del circuito? Le ricavo dalla matrice di stato o dallerelazioni ingresso/uscita.

λ1 = 0 (6.115)

λ2 = −1

CReq

(6.116)

La presenza della frequenza libera nulla non poteva essere dedottaper ispezione perche la maglia LE, contiene un generatore di tensionepilotato, non indipendente.

• v(t) per t > 0

v(t) = voa + vp(t) = Aeλ2t + 0 =

v(0+)︷︸︸︷(

E +Q0

C

)

e− t

ReqC (6.117)

• i(t) per t > 0:

Si puo risolvere come i(t) = A1eλ1t+A2e

λ2t+0, ricavando A1 e A2 sullabase di i(0+) = i(0−) = 0 e di di

dt

∣∣0+

= −ALv(0+).

Oppure:

Av = −Ldi

dt(6.118)

⇐⇒ i(t) = i(0+)︸︷︷︸

=0

−AL

t∫

0+

v(τ) dτ = (6.119)

= −AL

(

E +Q0

C

) t∫

0+

e− τ

ReqC dτ = (6.120)

= +A

L

(

E +Q0

C

)

CReq

[

e− t

ReqC − 1]

(6.121)



• Il valore di CLper cui iA =costante per t > 0

iA =v(1 + A)

R2

− i = (6.122)

=A + 1

R2

(

E +Q0

C

)

e− t

ReqC +A

L

(

E +Q0

C

)

ReqC[

1− e− t

ReqC

]

=

(6.123)

= e− t

ReqC

[(A+ 1

R2

− AReqC

L

)(

E +Q0

C

)]

+A

L

(

E +Q0

C

)

ReqC

(6.124)

iA =costante ⇐⇒ l’espressione tra parentesi quadre si annulla

⇐⇒ A+ 1

R2

= AReqC

L(6.125)

⇐⇒ C

L=

A+ 1

AR2

Req (6.126)

6.11.1 Altre note sui circuiti di ordine superiore alprimo

Equazione di uscita

Come nel caso del primo ordine, tutte le variabili non di stato del circuitopossono essere individuate a partire dalle variabili di stato e dagli ingressimediante la cosiddetta equazione di uscita:

y(t) = Cx(t) +Du(t) (6.127)

Si dimostra applicando il principio di sostituzione, come nel caso del primoordine.

Relazione ingresso/uscita

Ogni sistema differenziale di n equazioni scalari del primo ordine contenenti len variabili di stato nel ruolo di incognite e equivalente a un’unica equazionescalare differenziale di ordine n (relazione ingresso/uscita) in un’unicagrandezza incognita, del tipo (applicando il principio di sovrapposizione ⇒consideriamo un solo ingresso per volta):

andnx

dtn+ an−1

dn−1x

dtn−1+ · · ·+ a1x+ a0 =

= bmdmu

dtm+ bm−1

dm−1u

dtm−1+ · · ·+ b1u+ b0

(6.128)



Questa equazione si dice relazione ingresso/uscita per ingresso u e uscitax(t). Bisogna sempre prestare attenzione al bilancio delle discontinuita(⇒ contano n e m).

Bilancio delle discontinuita

Dall’equazione di stato valida per casi non patologici

x(t) = Ax(t) +Bu(t) (6.129)

si desume che le variabili di stato sono sempre (per casi non patologici)“piu continue” degli ingressi, dato che le discontinuita devono bilanciarsi ele discontinuita su u vengono bilanciate da x: se per esempio u(t) contienedei gradini ⇒ li avremo anche su x ⇒ x sara analiticamente continua. Neicasi patologici bisogna stare molto attenti (→ valutare il bilancio dellediscontinuita). Dall’equazione di uscita si desume invece che le variabilinon di stato possono essere altrettanto discontinue degli ingressi.

Soluzione dell’equazione di stato e stabilita del circuito

Come nel caso del primo ordine, la soluzione dell’equazione di statosi ricava generalmente come somma della soluzione del sistema omogeneoassociato (risposta transitoria) e degli integrali particolari relativi ai singoliingressi.

Inoltre si considera l’equazione differenziale scalare di ordine n in una solaincognita, per non dover introdurre le funzioni di matrice. Dunque avremosempre a che fare con equazioni differenziali del tipo (6.128) (e con n ≤ 2).

Le soluzioni particolari si ricavano in base al principio di similarita, comenel caso del primo ordine.

La risposta transitoria, in generale, risulta espressa come somma di modinaturali:

xi(t) = eλ1t(k1 + k2t + k3t

2 + · · ·+ kLtL−1)

︸︷︷︸

modo naturale per la frequenza libera λ1, di molteplicita L

+ · · ·

(6.130)In questa espressione, sono state indicate con i termini λi le frequenze

libere del circuito.Le frequenze libere, in generale, sono numeri complessi. Dunque, se ne

ho una sola, come nel caso dei circuiti del primo ordine, essa deve esserereale. Ma se ne ho due o piu ⇒ possono esserci frequenze libere complesse econiugate.



+

+

+

+

+

+

Im

Re

Se supponiamo che λ1,2 siano complesse coniugate:

λ1, 2 = σ ± jω (6.131)

⇒ eσt · e±jωt = eσt (cos(ωt)± j sin(ωt)) (6.132)

Se Reλ1, 2 = σ < 0 ⇒ questo termine va a 0, nel tempo. Se σ = 0 ⇒per non avere divergenza, bisogna che sia L = 1 (altrimenti il polinomio fadivergere la soluzione) ⇒ tre tipi di comportamenti possibili:

• Un circuito si dice asintoticamente stabile se tutti i suoi modi nat-urali si esauriscono entro un certo tempo, ossia se tutte le frequenzelibere hanno parte reale strettamente negativa:

+

+

+

+

Im

Re

Figura 6.1: Quadro delle frequenze libere per un circuito del quarto ordineasintoticamente stabile.

• Un circuito si dice semplicemente stabile se almeno un modo nat-urale non si esaurisce e nessun modo naturale diverge, ossia nessunafrequenza libera ha parte reale positiva e almeno una ha parte reale



nulla. Quest’ultima deve essere semplice (cioe a molteplicita 1). In-fatti, come gia detto, ogni frequenza libera λ con molteplicita L de-termina, nella risposta libera di una variabile di stato, la presenzadi un addendo del tipo eλt

(k1 + k2t+ k3t

2 + · · ·+ kLtL−1). Poiche

λ = σ ± jω ⇒ eλt = eσte±jωt = eσt(cosωt ± j sinωt), se esiste lasoluzione con il + esiste anche quella con il - (complessa coniugata) ⇒la soluzione e reale.

Se la frequenza libera ha parte reale σ negativa ⇒ l’esponenziale eσt

porta tutto a zero entro un certo tempo.

Se σ = 0 (⇒ frequenza libera a parte reale nulla), i termini sinusoidalivengono moltiplicati per il termine polinomiale ⇒ crescono nel tempo,a meno che L non sia pari a 1. Ecco perche le frequenze libere aparte reale nulla possono avere al piu molteplicita 1, per avere stabilitasemplice.

• Un circuito si dice instabile se almeno un modo naturale diverge, ossiase almeno una frequenza libera ha parte reale positiva.

Caso particolare: circuiti del secondo ordine

Nel caso di sistemi del secondo ordine, in generale, la risposta libera sara deltipo:

xOA(t) = C1eλ1t + C2e

λ2t somma di due modi naturali (6.133)

• λ1 e λ2 sono le frequenze libere del circuito e non dipendono dagli ingres-si (→ le possiamo calcolare nel circuito passivato). Sono gli autovaloridella matrice di stato A e determinano i modi naturali di evoluzionedel circuito.

N.B.: Non e detto che tutte le variabili di stato siano sensibili a tutte lefrequenze libere del circuito (caso piu ovvio: se la matrice A e diagonale⇒ ogni variabile di stato evolve secondo una propria frequenza libera,senza risentire delle altre ⇒ le variabili di stato sono disaccoppiate).

• C1 e C2 sono coefficienti costanti che per (n = 2) si ricavano in basealle condizioni iniziali su x e su x (ossia x(0) e x(0)).

⇒ x(0)︸︷︷︸

nota

= xOA(0)︸︷︷︸

C1+C2

+ xp(0)︸︷︷︸

nota

(6.134)

x(0)︸︷︷︸

nota

= λ1C1 + λ2C2 + xp(0)︸︷︷︸

nota

(6.135)



2 equazioni in 2 incognite ⇒ si risolve. Notare che la risposta libera(→ C1+C2) dipende da xp(0)⇒ non coincide con la risposta a ingressonullo.

Esempio 6.11.2.

e(t)+

A C1

v1

R1v2C2R2

Bv3

C3

v1(0−) = v2(0

−) = v3(0−) = 0

(6.136)

e(t) = f(t) · 1(t), con f(0+) 6= 0(6.137)

C1 = C2 = C3 = C (6.138)

R1 = R2 = R (6.139)

Equazioni di stato? Ci sono tre candidate, ma c’e una maglia CE ⇒ solodue variabili di stato. Assumiamo che siano v1 e v2.

Nodo AKCL→

Cdv3dt

=v1R1

+ Cdv1dt

(6.140)

Nodo BKCL→

Cdv3dt

= Cdv2dt

+v2R2

(6.141)

Maglia CEKV L→

e(t) = v1 + v2 + v3 ⇐⇒dv3dt

=de

dt− dv1

dt− dv2

dt(6.142)

Sostituendo la (6.142) nelle prime due ⇒ ricaviamo le equazioni di stato:

2Cdv1dt

+ Cdv2dt

+v1R

= Cde

dt(6.143)

Cdv1dt

+ 2Cdv2dt

+v2R

= Cde

dt(6.144)

(6.143)-2(6.144)⇒ − 3Cdv2dt

+v1R− 2

v2R

= −Cde

dt(6.145)

⇐⇒ dv2dt

=v1

3RC− 2

3

v2RC

+1

3

de

dt(6.146)



Dalla (6.144):

dv1dt

= −2dv2dt− v2

RC+

de

dt= −2

3

v1RC

+

(4

3− 1

)v2RC

+1

3

de

dt(6.147)

[v1v2

]

=

[− 2

3RC1

3RC1

3RC− 2

3RC

] [v1v2

]

+

[1313

]de

dt(6.148)

N.B.: abbiamo scartato una candidata⇒ nell’equazione di stato c’e dedt. Con-

dizioni iniziali? In base al bilancio delle discontinuita abbiamo v(0+) 6=v(0−)⇒ integriamo l’equazione di stato tra 0− e 0+.

0+∫

0−

dv1dt

dt

︸︷︷︸

=v1(0+)−v1(0−)

= − 2

3RC

0+∫

0−

v1 dt +1

3RC

0+∫

0−

v2 dt+1

3

0+∫

0−

de

dtdt

︸︷︷︸

=e(0+)−e(0−)

(6.149)

Cosa sappiamo su v1 e v2? Dalla (6.148) vediamo che abbiamo lo stes-so ordine massimo di derivata sullo stato e sull’ingresso ⇒ stesso grado dicontinuita ⇒ al piu v1 e v2 possono avere un salto a gradino, a cavallo di 0

⇒∫ 0+

0−di v1 e v2 e nullo.

⇒ v1(0+) =

1

3f(0+) (6.150)

Stesso discorso per la seconda equazione di stato

⇒ v2(0+) =

1

3f(0+) (6.151)

Da queste e dalla (6.148) ricaviamodv1,2dt

∣∣t=0+

.Ora possiamo risolvere, per esempio, rispetto a v1(t). Dobbiamo eliminare

v2 dalla prima delle (6.148). Non abbiamo un’espressione di v2 in termini div1, e(t) e loro derivate, ma abbiamo la (6.143), da cui possiamo ricavaredv2dt

in termini di v1, v1 e ingresso ⇒ deriviamo la prima delle (6.148) e poisostituiamo la (6.143):

d2v1dt2

+2

3RC

dv1dt

=1

3RC

dv2dt︸︷︷︸

v.(6.143)

(6.152)

⇐⇒ d2v1dt2

+4

3RC

dv1dt

+v1

3(RC)2=

1

3RC

de

dt+

1

3

d2e

dt2(6.153)

⇒ v1(t) = C1eλ1t + C2e

λ2t + v1p(t) (6.154)



Provare a ricavare v1p(t), C1, C2, λ1, λ2, supponendo f(t) = E (costante)e f(t) = E

T· t.

Esempio 6.11.3.

R

+αv2

a(t)Li

v2C2

v1

C1

n : 1a(t) = A 1(−t) +Q0δ(t)

Circuito a regime per t < 0. Ricavare:

1. relazione ingresso/uscita per la tensione v2

2. frequenze libere, condizione per avere due frequenze libere complesseconiugate λ± = γ ± jΩ ed eventuale condizione di stabilita

3. tensione v2 per t < 0

4. condizioni iniziali (in t = 0+) necessarie per il calcolo di v2(t) per t > 0

5. tensione v2 per t > 0

SOLUZIONE

1) Relazione ingresso/uscita per la tensione v2.

Abbiamo 3 candidate. Si nota la presenza di una taglio CA (che coinvolgeC1 e a(t)), che corrisponde a una frequenza libera nulla.

Prime deduzioni sul circuito:

R

+αv2

i−an

a(t)

a− iLdi

dt+ v2

Li

v2C2

v1

C1a

in+ an−1

n

n : 1



Maglia di sinistra:

R

[i

n+ a

n− 1

n

]

+ αv2 + n

(

Ldi

dt+ v2

)

= 0 (6.155)

Ma i = C2dv2dt, per cui:

R

nC2

dv2dt

+ (α + n)v2 + nLC2d2v2dt2

= Ra1− n

n(6.156)

La relazione ingresso/uscita per la tensione v2 e quindi:

n2LC2︸︷︷︸.= T 2

d2v2dt2

+RC2︸︷︷︸.= τ

dv2dt

+ n(α + n)︸︷︷︸

.= β

v2 = (1− n)R︸︷︷︸

.= r

a (6.157)

2) Frequenze libere, condizione per avere due frequenze libere complesseconiugate λ± = γ ± jΩ ed eventuale condizione di stabilita

L’equazione caratteristica derivata dall’omogenea associata alla relazioneingresso/uscita appena ottenuta e:

T 2λ2 + τλ + β = 0 (6.158)

Dunque

λ± =−τ ±

√

τ 2 − 4βT 2

2T 2(6.159)

Per avere frequenze libere complesse coniugate, impongo τ 2 < 4βT 2, ossiaR2C2 < 4n3(α + n)L.

Per avere stabilita, in questa condizione, occorre imporre che la partereale delle frequenze libere sia negativa, ossia

−τ2T 2

< 0 (6.160)

Sostituendo i parametri circuitali, questa relazione risulta sempre soddis-fatta (dato che R,L > 0).

3) Tensione v2 per t < 0Per t < 0, a(t) = A e c’e l’ipotesi di regime (stazionario). Sostituendo

nella relazione ingresso/uscita la soluzione (integrale particolare) costante K,si ricava:

βK = rA (6.161)

da cui:

K =rA

β(6.162)



Quindi, per t < 0, si ha

v2(t) =rA

β= v2(0

−) (6.163)

4) Condizioni iniziali (in t = 0+) necessarie per il calcolo di v2(t) pert > 0

La relazione ingresso/uscita e del secondo ordine, per cui mi serviranno

due condizioni iniziali: v2(0+) e

dv2dt

∣∣∣∣0+.

Dal bilancio delle discontinuita nella relazione ingresso/uscita, si ricavache, a cavallo di t = 0, c’e un impulso sulla derivata seconda, quindi ungradino sulla derivata prima e continuita sulla variabile v2. Questo significache v2(0

+) = v2(0−) = rA

β.

Inoltre, dato che per t < 0, a regime, v2 e costante, la sua derivata rispetto

al tempo e nulla e quindidv2dt

∣∣∣∣0−

= 0.

Per calcolaredv2dt

∣∣∣∣0+, integro tra 0− e 0+ la relazione ingresso/uscita:

T 2

[dv2dt

∣∣∣∣0+− dv2

dt

∣∣∣∣0−

]

= rQ0 (6.164)

da cui si ricavadv2dt

∣∣∣∣0+

=rQ0

T 2

5) Tensione v2 per t > 0L’ingresso per t > 0 e nullo, per cui non c’e risposta forzata (l’integrale

particolare e nullo a sua volta). La soluzione per t > 0 e dunque

v2(t) = K+eλ+t +K−e

λ−t (6.165)

con λ± = γ ± jΩ.Sfrutto le condizioni iniziali:

v2(0+) = K+ +K− =

rA

β(6.166)

dv2dt

∣∣∣∣0+

= K+λ+ +K−λ− =rQ0

T 2(6.167)

Risolvendo il sistema, si ricava

K+ =rA

2β+ j

r

2Ω

(γA

β− Q0

T 2

)

.= a+ jb (6.168)

K− = K∗+ = a− jb (6.169)



Quindi:

v2(t) = K+eλ+t +K∗

+eλ∗

+t = (a + jb)eλ+t + (a− jb)eλ∗

+t = (6.170)

= eγt [(a + jb)(cosΩt + j sinΩt) + (a− jb)(cosΩt− j sinΩt)] =(6.171)

= 2eγt [a cosΩt− b sinΩt] = (6.172)

= eγt[rA

βcosΩt +

r

Ω

(γA

β− Q0

T 2

)

sinΩt

]

(6.173)

ossia la soluzione e una sinusoide smorzata (γ < 0).


Capitolo 7

Circuiti in regime sinusoidalecon frequenza fissa

7.1 Cisoidi

Le cisoidi sono una classe di funzioni reali di argomento reale. La lorodefinizione richiede pero di sconfinare dall’asse dei numeri reali nel pianodei numeri complessi.

Il nome deriva dall’acronimo di coseno+i seno. Ciascuna cisoide u(t) ecaratterizzata da una coppia di parametri scalari complessi chiamati fasoree pulsazione complessa:

u(t) = Ueσt cos(ωt+ φ) (7.1)

fasore: U = Uejφ

pulsazione complessa: s = σ + jω(7.2)

⇒ la cisoide puo anche essere espressa come:

u(t) = ReUest(= ReUeσtej(ωt+φ) = Ueσt cos (ωt+ φ)

)(7.3)

Proprieta:

u1(t) ↔ (U , s)

u2(t) ↔ (U∗, s∗)

⇒ u1(t) ≡ u2(t) (7.4)

Altra espressione equivalente: u(t) = 12(Uest + U∗es

∗t)

Interpretazione geometrica: Uest e una funzione complessa della variabilereale t ⇒ la possiamo interpretare come vettore che varia col tempo nelpiano dei numeri complessi. Se la coda del vettore e centrata nell’origine, la

149

7. Circuiti in regime sinusoidale con frequenza fissa

punta del vettore descrive una curva parametrica nel piano complesso, il cuiparametro e il tempo t.

In generale, per σ 6= 0 e ω 6= 0, questa curva e una spirale logaritmica,la cui proiezione sull’asse reale e proprio la cisoide. ω stabilisce la velocita(in rad/sec) del punto che descrive la spirale, mentre σ stabilisce la velocitadi espansione (σ > 0) o di contrazione (σ < 0) del punto stesso (rispettoall’origine).

Quadro delle cisoidi con s reale (ω = 0): Hp: U > 0

bU

ReUest

ImUest

t

bU

ReUest

ImUest

bU

ReUest

ImUest

t

b

b

U > 0

U < 0

t

u(t)

σ < 0, u(t) = Ueσt

b

b

U > 0

U < 0

t

u(t)

σ = 0, u(t) = U

b

bU > 0

U < 0 t

u(t)

σ > 0, u(t) = Ueσt

Quadro delle cisoidi con s complessa:

ReUest

ImUest

Ueσt

ReUest

ImUest

U

ReUest

ImUest

Ueσt



t

u(t)

σ < 0, ω 6= 0

u(t) = Ueσt cos(ωt+ φ)

Ueσt

t

u(t)

σ = 0, ω 6= 0

u(t) = U cos(ωt+ φ)

t

u(t)

σ > 0, ω 6= 0

u(t) = Ueσt cos(ωt+ φ)

Ueσt

7.1.1 Derivata e integrale delle cisoidi

La derivata di una cisoide u1(t) con fasore U e pulsazione complessa s e unacisoide u2(t) con la stessa pulsazione complessa (→ isofrequenziale) e confasore sU . Dimostrazione:

u2(t) =du1

dt=

1

2

(

sUest + s∗U∗es∗t)

(7.5)

Analoga proprieta vale per l’integrale di una cisoide: l’integrale di unacisoide u1(t) con fasore U e pulsazione complessa s e a sua volta una cisoide

u2(t) con la stessa pulsazione complessa e con fasore Us:

t∫

t0

u1(τ)︸︷︷︸

↔U

dτ = u2(t)⇒U

s(7.6)

7.2 Sinusoidi

Tra le cisoidi, si incontrano spesso le sinusoidi, che sono cisoidi con pulsazioneimmaginaria pura s = jω (σ = 0). Sono le uniche cisoidi periodiche (→particolarmente importanti) e servono inoltre come base per rappresentarequalunque soluzione periodica mediante serie di Fourier.

Nel caso in cui un circuito sia soggetto a ingressi di tipo sinusoidale confrequenza fissa, e particolarmente utile studiare l’integrale particolare dellesoluzioni facendo riferimento ai fasori.



7.3 Relazioni tra fasori e sinusoidi

Abbiamo visto che la risposta forzata a un ingresso di tipo sinusoidale1 eancora una sinusoide con la stessa frequenza della forzante. Dunque, unavolta esauritasi la risposta libera del circuito (→ dopo 5τmax, dove τmax

e la massima costante di tempo), tutte le variabili elettriche di un circuitoevolvono oscillando sinusoidalmente con la stessa frequenza.

Poiche l’informazione sulla frequenza e la stessa per tutte le variabilidel circuito, in tali condizioni (regime sinusoidale) possiamo condensare leinformazioni relative a ogni variabile in due soli parametri: ampiezza e fase⇒ basta conoscere il fasore.

Consideriamo una generica sinusoide:

u(t) = U cos(ωt+ φ) (7.7)

U ampiezza (valore massimo); ω pulsazione (ω = 2πf = 2πT

con f frequenzae T periodo).

Associamo l’informazione interessante al fasore:

U , Uejφ [= U (cos φ+ j sinφ)] (7.8)

dove U e il fasore riferito al valore massimo della sinusoide; U e il modulodi U ; φ e fase di U . A volte si usano i fasori riferiti ai valori efficaci ⇒ in talcaso |U | = ueff = U√

2.

Rappresentazione grafica:

b

bU cos(φ)U sin(φ)

Uφ

σ = Res

ω = Ims

Il vettore U ruota nel piano complesso con velocita angolare ω (sensoantiorario). Come si ritorna a u(t) dato il suo fasore (cioe come si passa daldominio dei fasori al dominio del tempo)?

1supponiamo che ci sia un solo ingresso; se sono di piu, basta applicare il principiosovrapposizione



In generale:

u(t) = Re

Uejωt

= ReUejφejωt

= Re

Uej(ωt+φ)

= Re U [cos(ωt+ φ) + j sin(ωt+ φ)]= U cos(ωt+ φ)

(7.9)

Caso particolare:

U sin(ωt) = U cos(ωt− π

2)

= ImUejωt

= Re Ue−j π2

︸︷︷︸

=−jU⇒il fasore di un seno e imm. puro

ejωt = ImUejωt

(7.10)

Esiste dunque una corrispondenza biunivoca tra una generica variabile di uncircuito in condizioni di regime sinusoidale e un fasore.

Interpretazione grafica: la proiezione del vettore U sull’asse reale forniscel’andamento nel tempo della variabile u(t).

b b b

u(t)

t2πωU cos(φ)

( 2π−2φω )

T

b

U cos(φ)

φ

σ = Res

ω = ImsA

N.B.: poiche il coseno e una funzione pari (→ cos(−α) = cos(α))



φ

ωuejφ

Re

Im

φ

ω

uejφ

Re

Im

⇒ possiamo limitarci a vedere cosa succede nel primo caso (assumopulsazione positiva)

Proprieta:

• il fasore associato a dudt

e jωU . Dimostrazione:

du

dt= −ωU sin(ωt+ φ) (7.11)

= −ωU cos(

ωt+ φ− π

2

)

(7.12)

↔ fasore− ωUejφ e−j π2

︸︷︷︸

=−j

= jωUejφ = jωU (7.13)

• Se si rappresentano piu fasori sullo stesso diagramma fasoriale:

Re

Im

Ua

Ub

φa

φb

Se φa = φb ⇒ Ua e Ub si dicono in fase.

Se φb + π > φa > φb ⇒ Ua e in anticipo rispetto a Ub (ricordarsi che larotazione e antioraria).



Re

Im

U b

Ua

φb

φa

φb+π

Se φb − π < φa < φb ⇒ Ua e in ritardo rispetto a Ub.

Se |φa − φb| = π2⇒ Ua e Ub sono in quadratura.

Se |φa−φb| = π ⇒ Ua e Ub sono in opposizione di fase (o in controfase).

7.4 Relazioni topologiche e relazioni costitu-

tive nel dominio dei fasori

• Leggi di Kirchhoff

Le due leggi di Kirchhoff restano valide: basta sostituire ai vettoridelle tensioni (di lato o nodali) e delle correnti (di lato o cicliche) icorrispondenti vettori di fasori.

Il perche e ovvio: le leggi di Kirchhoff non dipendono dai componentipresenti nel circuito ⇒ non possono dipendere dal fatto che esiste uningresso sinusoidale!

• Relazioni costitutive (dominio del tempo) (dominio dei fasori)

– Corto circuito

v(t) = 0 V = 0 (7.14)

– Circuito aperto

i(t) = 0 I = 0 (7.15)

– Generatore indipendente di tensione

v(t) = ReV ejωt = E cos(ωt+ φV ) V = EejφV (7.16)

– Generatore indipendente di corrente

i(t) =ReIejωt = A cos(ωt+ φI) I = AejφI (7.17)



– Resistore

v(t) = Ri(t) V = RI (7.18)

– CCVS (idem per gli altri)

v2(t) = Ri1(t) V2 = RI1 (7.19)

v1(t) = 0 V1 = 0 (7.20)

– Trasformatore ideale

v1 = nv2 V1 = nV2 (7.21)

i1 = −i2n

I1 = −I2n

(7.22)

– Condensatore

i(t) = Cdv

dtI = jωCV (7.23)

– Induttore

v(t) = Ldi

dtV = jωLI (7.24)

– Induttori accoppiati

v1(t) = L1di1dt

+Mdi2dt

V1 = jω(L1I1 +MI2

)(7.25)

v2(t) = Mdi1dt

+ L2di2dt

V2 = jω(MI1 + L2I2

)(7.26)

Componenti adinamici ⇒ la relazione resta invariata.

Componenti dinamici ⇒ ddt→ jω

7.5 Impedenza e ammettenza di un bipolo

L’impedenza Z di un bipolo e una funzione complessa razionale della pul-sazione complessa s = σ + jω (→ nel caso di regime sinusoidale avremoσ = 0), definita dal rapporto dei fasori della tensione e della corrente:

Z(s) =V

I= |Z|ejφz (7.27)



e un numero complesso, ma non e un fasore (⇒ non ci va il puntino).Definizione analoga vale per l’ammettenza Y di un bipolo:

Y (s) =I

V(7.28)

Impedenza e ammettenza hanno lo stesso ruolo, rispettivamente, della re-sistenza e della conduttanza di un bipolo adinamico (→ Z(s) e definita seesiste base corrente e Y (s) e definita se esiste base tensione).

Nel caso di regime sinusoidale:

Z(jω) = R(ω) + jX(ω) (7.29)

Y (jω) = G(ω) + jB(ω) (7.30)

R(ω) resistenza; X(ω) reattanza; G(ω) conduttanza; B(ω) suscettanza. Losfasamento tra i fasori della tensione e della corrente di un bipolo coincidecon la fase dell’impedenza:

Re

Im

I

V∠Z

(jω)=φ z

• Condensatore:

⇒

Z(jω) = VjωCV

= 1jωC

[

= j(− 1

ωC

)= 1

ωCe−j π

2 ⇒ φz = −π2

]

Y (jω) = jωC(7.31)

Per analogia, un bipolo si dice puramente capacitivo se ∠Z(jω) =−∠Y (jω) = −π

2(→ I anticipa in quadratura V ).

• Induttore

⇒

Z(jω) = jωLI

I= jωL

[

= ωLejπ2 ⇒ φz =

π2

]

Y (jω) = 1jωL

(7.32)

Un bipolo si dice puramente induttivo se ∠Z(jω) = −∠Y (jω) = π2

(→ V anticipa in quadratura I).



• Resistore

⇒

Z(jω) = R = Rej0

Y (jω) = 1R

(7.33)

Un bipolo si dice puramente resistivo se ∠Z(jω) = −∠Y (jω) = 0 (→ Ve I sono in fase).

• Bipolo resistivo-induttivo → 0 < ∠Z(jω) < π2(→ V anticipa I).

• Bipolo resistivo-capacitivo → 0 > ∠Z(jω) > −π2(→ I anticipa V ).

7.6 Connessione in serie e in paralleloZ1(s) =

1Y1(s)

Z2(s) =1

Y2(s)

≡Z(s) = Z1(s) + Z2(s)

Y (s) = Y1(s)Y2(s)Y1(s)+Y2(s)

Z1(s) Z2(s)≡Y (s) = Y1(s) + Y2(s)

Z(s) = Z1(s)Z2(s)Z1(s)+Z2(s)

Esempio 7.6.1.

Z(jω)

L

C R

Nell’esempio si ha C||R⇒

Z(jω)

jωL

Zeq(jω)

Zeq(jω) =R · 1

jωC

R + 1jωC

=R

1 + jωRC(7.34)

⇒ L e in serie a Zeq:



Z(jω) = jωL+ Zeq(jω) = jωL+R

1 + jωRC=

= jωL+R

(1− jωRC

)

1 +(ωRC

)2 =

=R

1 +(ωRC

)2

︸︷︷︸

R(ω) [Ω]

+j ω[

L− R2C

1 +(ωRC

)2

]

︸︷︷︸

X(ω) [Ω]

(7.35)

Al variare di ω, il bipolo cambia tipo di comportamento. Poiche R(ω) ≥0 ∀ω, il bipolo e di tipo:

• resistivo-capacitivo se X(ω) < 0

• resistivo se X(ω) = 0

• resistivo-induttivo se X(ω) > 0

7.7 Estensione di regole, proprieta e meto-

di dei circuiti adinamici al regime sinu-

soidale

La maggior parte delle definizioni e dei risultati dimostrati nel caso dei circuitiadinamici possono essere facilmente estesi al caso di circuiti dinamici operantiin regime sinusoidale.

• Per esempio, i modelli equivalenti di Thevenin e Norton di un bipolosono:

ETH(jω)+

ZTH(jω).

I .

V ANR(jω)1

YNR(jω)

.

I

.

V

Entrambi i modelli possono essere calcolati mediante i rispettivi teore-mi.

Esempio 7.7.1.



.

E

+

R1

R2 C

.

I

.

V

ETH = tensione di circuito aperto: si calcola con la regola del partitoredi tensione, tenendo conto del fatto che

R2||C = Zeq =1

Yeq=

11R2

+ jωC

⇒ ETH = E · Zeq(jω)

R1 + Zeq(jω)

(7.36)

ZTH si calcola passivando il generatore di tensione e calcolando l’impe-denza equivalente al parallelo R1||R2||C:

ZTH(jω) =1

YTH(jω)=

11R1

+ 1R2

+ jωC(7.37)

Conviene ragionare sull’ammettenza, dato che ci sono bipoli in paral-lelo.

• Rimane ovviamente valido il teorema di Tellegen (riguarda la topologia,come le leggi di Kirchhoff).

• Le rappresentazioni di doppi bipoli possono essere facilmente general-izzate:

– matrice (reale) di resistenza [R] → matrice (complessa) di impe-denza [Z]

– matrice (reale) di conduttanza [G]→ matrice (complessa) di am-mettenza [Y ]

Le altre matrici (ibride e di trasmissione) mantengono lo stesso sim-bolo, ma i loro elementi sono funzioni complesse di s (o jω in regimesinusoidale), dette funzioni di rete.

N.B.: come nel caso adinamico, ciascuna matrice e definibile se il doppiobipolo ammette la relativa base di definizione (→ base corrente per [Z],base tensione per [Y ], ecc.).



• Le condizioni di simmetria e reciprocita si estendono immediatamenteal dominio dei fasori.

• Valgono il principio di sostituzione e quello di sovrapposizione⇒ teore-ma di rappresentazione di N-porte (→ all’interno sono ammessi anchecomponenti dinamici, purche lineari e tempo-invarianti, oltre a quelliadinamici e alle sorgenti impressive).

• Vale il teorema di reciprocita: un circuito composto da soli componen-ti reciproci (→ inclusi condensatori, induttori, induttori mutuamenteaccoppiati) e ancora reciproco.

• Valgono i metodi di analisi

• Valgono le regole di connessione di bipoli e doppi bipoli.

7.8 Funzioni di trasferimento

Data una relazione ingresso/uscita che, nel dominio del tempo, lega unagrandezza di uscita x(t) e una di ingresso u(t), passando al dominio deifasori e’ possibile ricavare il rapporto T (ω) tra il fasore di x e quello diu. In generale, T (ω) e una funzione dal dominio reale a quello complesso.Nel caso particolare in cui x e u siano una corrente e una tensione su unbipolo e rispettino la convenzione normale, T (ω) coincide con l’impedenza ol’ammettenza del bipolo stesso.

Esempio 7.8.1. Data la relazione ingresso/uscita:

RCdv

dt+ αv = ra(t) (7.38)

la corrispondente funzione di trasferimento e:

T (ω) =V

A=

r

α + jωRC=

r(α− jωRC)

α2 + (ωRC)2(7.39)

7.9 Analisi dei circuiti in regime sinusoidale

Essendo in condizioni di regime, non abbiamo piu da considerare rispostetransitorie ne condizioni iniziali.

Dato il circuito da analizzare, esprimiamo tutte le grandezze elettrichenel dominio dei fasori ⇒ ricaviamo il fasore della variabile che ci interessaottenere ⇒ ritorniamo nel dominio del tempo.



Esempio 7.9.1.

e(t)+

R i

vC

vx

αi L

e(t) =

E cos(ωt) t < 00 t > 0

α 6= −1 (7.40)

Regime sinusoidale per t < 0:Esiste una relazione algebrica tra candidate:

i =e− v

R⇒ iL = −αe− v

R(7.41)

⇒ 1 sola variabile di stato.

i = e−v

R

i(α + 1) = C dvdt

⇒ RC

α+ 1

dv

dt+ v = e(t) eq. di stato (7.42)

La frequenza libera e λ = −α+1RC

. La condizione di stabilita (necessaria perconseguire un regime) e dunque α + 1 > 0 ⇔ α > −1. Per t < 0 ho regimesinusoidale ⇒ passo al dominio dei fasori:

RC

α + 1

dv

dt+ v = e(t)⇒ V

(

jωRC

α+ 1+ 1)

= E (7.43)

Con V ↔ v;jωV ↔ dvdt

e E = Eej0 = E ↔ e(t).

⇐⇒ V =E(α + 1

)

(α + 1

)+ jωRC

=E(α + 1

)[(α + 1

)− jωRC

]

(α+ 1

)2+(ωRC

)2 (7.44)

⇒ v(t) = ReV ejωt =

=E(α + 1

)

(α+ 1

)2+(ωRC

)2Re

[(α + 1

)− jωRC

](cos(ωt) + j sin(ωt)

)

=E(α + 1

)

(α+ 1

)2+(ωRC

)2

[(α + 1

)cos(ωt) + ωRC sin(ωt)

]

(7.45)



⇒ v(0−) =E(α + 1

)2

(α + 1

)2+(ωRC

)2 = v(0+) (7.46)

Per t > 0 l’ingresso e nullo ⇒ c’e solo la risposta libera:

v(t) = Aeλt = v(0+)eλt (7.47)

Esempio 7.9.2.

e(t)+

RiR

C

i1 i2

v1 v2

[i1i2

]

=

[g1 gM0 g2

] [v1v2

]

(7.48)

R, g1, g2, gM , C > 0; e(t) = E sin(ωt) · 1(t) + φ0 · δ(t); v2(0−) = 0.

v2 +R

(i2 + C dv2

dt

)= e(t)

i2 = g2v2(7.49)

v2(1 + g2R

)+RC

dv2dt

= e(t) eq. di stato (7.50)

⇒ Frequenza libera: λ = −1+g2RRC

(⇒ circuito stabile); ricaviamo v2(0+)

integrando l’equazione di stato tra 0− e 0+ ⇒ v2(0+) = φ0

RC

v2(t)t>0= Aeλt + v2p1(t) + v2p2(t) (7.51)



v2p1 si ricava tramite i fasori; v2p2 = 0 (impulso nullo per t > 0). Dall’e-quazione di stato:

V2 =E

(1 +Rg2

)+ jωRC

, con E = −jE

⇐⇒ V2 =

−jE[(1 +Rg2

)− jωRC

]

(1 +Rg2

)2+(ωRC

)2 =

= −E

[

ωRC + j(1 +Rg2

)]

(1 +Rg2

)2+(ωRC

)2

⇒ v2p1(t) = Re

V2ejωRC

=

= − E(1 +Rg2

)2+(ωRC

)2Re[ωRC + j(1 +Rg2)](cos(ωt) + j sin(ωt)) =

=

E

[(1 + Rg2

)sin(ωt)− ωRC cos(ωt)

]

(1 +Rg2

)2+(ωRC

)2

⇒ v2p1(0+) = − EωRC

(1 +Rg2

)2+(ωRC

)2

(7.52)

Ora si ricava il coefficiente A utilizzando la condizione iniziale:

⇒ v2(0+) = A+ v2p1(0

+) =φ0

RC

⇐⇒ A =φ0

RC+

EωRC(1 +Rg2

)2+(ωRC

)2

(7.53)

Corrente iR a regime? Variabile non di stato ⇒ la si ricava algebrica-mente:

iRv2≡v2p1=

e− v2p1R

=1

R

[

E sin(ωt)−E

[(1 +Rg2

)sin(ωt)− ωRC cos(ωt)

]

(1 +Rg2

)2+(ωRC

)2

]

(7.54)

Esempio 7.9.3.



a(t) L1

i1 R

i2L2

i

t = 0vn : 1

Con a(t) = A sin(ωt). Determinare:

• i1, i2, i per t < 0

• frequenze libere per t > 0

• stato del circuito in 0+ e tensione v(0+)

• i2(t) per t > 0

Per t < 0 il circuito equivale a

a(t) L1

i1 R

i2L2

i

⇒ la corrente tende a passare nel ramo a impedenza minima, per cuii1(t) = i2(t) = 0 e i(t) = a(t). Valore delle candidate in 0−: i1(0

−) =i2(0

−) = 0.Per t > 0 il circuito equivale a:

a(t) L1

i1 R

i2L2

nv v

Ho un taglio LA ⇒ una sola variabile di stato.

a(t) = i1 + i2 legame algebrico dovuto al taglio LAL1

di1dt

= Ri2 + L2di2dt

(7.55)

⇒(L1 + L2

)di2dt

+Ri2 = L1da

dteq. di stato (7.56)

N.B. Ho “perso” una candidata⇒ nell’equazione di stato compare la derivatadell’ingresso.

Frequenza libera λ = − RL1+L2

.



i2(t) e continua nell’origine ⇒ i2(0+) = i2(0

−) = 0

v(0+) =1

n

[

R i2(0+)

︸︷︷︸

=0

+L2di2dt

∣∣∣∣0+

]

(7.57)

Dall’equazione di stato si ricava che

(L1 + L2

)di2dt

∣∣∣∣0+

+R2 i2(0+)

︸︷︷︸

=0

= L1da

dt

∣∣∣∣0+

⇒ v(0+) =1

nL2

di2dt

∣∣∣∣0+

=1

n

L1L2

L1 + L2

da

dt

∣∣∣∣0+

(7.58)

Ma dadt

= Aω cos(ωt)⇒ dadt

∣∣0+

= Aω ⇒ v(0+) = 1n

L1L2

L1+L2Aω.

Ora ricaviamo i2(t) per t > 0:

i2(t) = Keλt + i2p(t) (7.59)

i2p(t) la si ricava usando i fasori; dall’equazione di stato si ha:[

jω(L1 + L2

)+R

]

I2 = jωL1A

⇐⇒ I2 =jωL1A

R + jω(L1 + L2

) =jωL1A

[R− jω

(L1 + L2

)]

R2 + ω2(L1 + L2)2

(7.60)

Ma A = −jA⇒ I2 =

ωL1A[R − jω(L1 + L2)]

R2 + ω2(L1 + L2)2(7.61)

⇒ i2p(t) = Re

I2ejωt

=

=ωL1A

R2 + ω2(L1 + L2

)2Re

[

R − jω(L1 + L2)

](cos(ωt) + j sin(ωt)

=

=ωL1A

R2 + ω2(L1 + L2

)2

[

R cos(ωt) + ω(L1 + L2

)sin(ωt)

]

(7.62)

Ora troviamo K imponendo la condizione in 0+:

i2(0+) = K +

ωL1AR

R2 + ω2(L1 + L2

)2 = 0

⇒ i2(t)t>0=

ωL1A

R2 + ω2(L1 + L2

)2

[

−Reλt +R cos(ωt) + ω(L1 + L2

)sin(ωt)

]

(7.63)



Esempio 7.9.4.

E+

v1

C1

R1

v2C2

a(t)R2

i2

E costante; a(t) = A sin(ωt) circuito a regime. Determinare v1(t) e v2(t).

E = v1 +R2i2 (anello esterno)v1R1

+ C1dv1dt

+ a(t)− i2 = 0(7.64)

⇒ v1

(1

R1+

1

R2

)

+ C1dv1dt

=E

R2− a(t) (7.65)

Applichiamo il principio di sovrapposizione:

• Termine di regime stazionario (dovuto all’ingresso costante): v1pe(t) =K ⇒ (sostituisco nell’equazione di stato) K = ER1

R1+R2. Potevamo

vederlo anche considerando il circuito equivalente “in continua” cona(t) = 0:

E+

v1PE

R1R2

• Termine di regime sinusoidale (dovuto ad a(t)):

[

jωC1 +R1 +R2

R1R2

]

V1 = −A = jA

⇐⇒ V1 =jAR1R2

(R1 +R2

)+ jωC1R1R2

=

=

AR1R2

[

j(R1 +R2

)+ ωC1R1R2

]

(R1 +R2

)2+(ωC1R1R2

)2

(7.66)



⇒ v1ps(t) = Re

V1ejωt

=

=

AR1R2Re

[

ωC1R1R2 + j(R1 +R2

)](cos(ωt) + j sin(ωt)

)

(R1 +R2

)2+(ωC1R1R2

)2 =

=AR1R2

(R1 +R2

)2+(ωC1R1R2

)2

[

ωC1R1R2 cos(ωt)−(R1 +R2

)sin(ωt)

]

(7.67)

Quindi v1(t) = v1pe(t) + v1ps(t) (a regime).

Per v2(t) ho: C2dv2dt

= −a(t) (taglio CA ⇒ frequenza libera nulla)

jωC2V2 = −A = jA

⇐⇒ V2 =A

ωC2

⇒ v2(t) = Re

V2ejωt

=A

ωC2cos(ωt)

(7.68)

7.10 Potenza in regime sinusoidale

• Potenza istantanea e potenza attiva

Siano v(t) = V cos(ωt + φV ) e i(t) = I cos(ωt + φI) la tensione e lacorrente ai capi di un generico bipolo (o della porta di un N-porte)operante in regime sinusoidale:

Z(jω).

V

.

I

V = Z(jω)I (7.69)

⇐⇒ V ejφV = |Z|ejφZIejφI (7.70)

= |Z(jω)|Iej(φZ+φI) (7.71)

Uguagliando moduli e fasi, si ottiene:

V = |Z(jω)|I (7.72)

φV = φZ + φI ⇐⇒ φZ = φV − φI (7.73)



La potenza istantanea assorbita dal bipolo e:

p(t) = v(t)i(t) = V cos(ωt+ φV )I cos(ωt+ φI) (7.74)

Sapendo che cos(α) cos(β) = 12cos(α−β)+ 1

2cos(α+β), si puo riscrivere:

p(t) =V I

2cos(φV − φI) +

V I

2cos(2ωt+ φV + φI) (7.75)

Il termine costante e, in modulo, ≤ V I2

(ampiezza della sinusoide).

Tenendo conto della (7.73), si puo scrivere:

p(t) =V I

2cos(φZ) +

V I

2cos [(2ωt+ 2φI) + φZ ] (7.76)

Infine, poiche cos(α+ β) = cos(α) cos(β)− sin(α) sin(β), si ha:

p(t) =V I

2cos(φZ) [1 + cos(2ωt+ 2φI)]−

V I

2sin(φZ) sin(2ωt+ 2φI)

, patt(t) + preatt(t) (7.77)

Definiamo

P =V I

2cos(φZ)=potenza attiva (7.78)

Q =V I

2sin(φZ)=potenza reattiva (7.79)

patt(t) potenza attiva istantanea: potenza istantanea dissipata dal bipo-lo (→ e quella misurata dal contatore di casa). Il suo valore medio e lapotenza attiva P .

2P

P

2πω

patt(t)

t

preatt(t) potenza reattiva istantanea: potenza scambiata dall’alimenta-tore con il campo elettromagnetico del bipolo. Ha valor medio nullo eampiezza Q (potenza reattiva).



−Q

Q

2πω

preatt(t)

tb

Vediamo cosa si puo dire per bipoli notevoli:

• Resistore: Z(jω) = R. E reale ⇒ φZ = 0 ⇒ assorbe solo potenzaattiva (e un dissipatore puro, non immagazzina energia).

p =RI2

2=

V 2

2R(7.80)

• Condensatore: Z(jω) = 1jωC

= −j 1ωC⇒ φZ = −π

2⇒ assorbe solo

potenza reattiva (e un componente conservativo: non dissipa energia,puo solo immagazzinarla per poi restituirla).

Q = −V I

2= −ωCV 2

2= − I2

2ωC(7.81)

Quando p(t)(= preatt(t)) > 0⇒ il condensatore assorbe energia dall’al-imentatore; quando p(t) < 0 ⇒ il condensatore si comporta da gen-eratore (p e la potenza assorbita) e restituisce energia all’alimentatore(essendo passivo non puo mai cedere piu energia di quella accumulata).Questo palleggio di energia avviene due volte in un periodo 2π

ω.

• Induttore: Z(jω) = jωL⇒ φZ = π2⇒ assorbe anch’esso solo potenza

reattiva.

Q =V I

2=

ωLI2

2=

V 2

2ωL(7.82)

Valgono le stesse considerazioni fatte per il condensatore, ma nei quartidi periodo in cui l’induttore assorbe energia, il condensatore la resti-tuisce e viceversa. Anche in questo caso l’energia immagazzinata esempre ≥ 0 (componente passivo).

Dunque, l’informazione sul segno di Q e data da sin(φZ). Se un’impedenzae di tipo reattivo-induttivo ⇒ φZ ∈ [0, π

2] ⇒ Q ≥ 0; se e di tipo reattivo-

capacitivo ⇒ φZ ∈ [−π2, 0]⇒ Q ≤ 0.



7.11 Potenza complessa di un bipolo

E un numero complesso definito come P + jQ:

Re

Im

P

QP+jQ

φz

Q

P=

sin(φz)

cos(φz)= tan(φz) (7.83)

⇒ l’angolo del vettore P + jQ rispetto all’asse reale e φz (ossia, la fase diP + jQ e φz). Il modulo di P + jQ e V I

2.

Siamo in condizioni di regime sinusoidale⇒ la potenza complessa proverradal prodotto tra il fasore della tensione e quello della corrente. So chei(t)↔ I = IejφI e V = ZI = |Z|I

︸︷︷︸

V

ej(φz+φI ).

Proviamo a considerare il prodotto piu ovvio:

V I = V ej(φz+φI)IejφI = V Iej(φz+2φI) (7.84)

La fase non e quella che vorremmo (φz)⇒ consideriamo quest’altro prodotto:

V I∗ = V ej(φz+φI)Ie−jφI = V Iejφz = V I(cos(φz) + j sin(φz)

)= 2(P + jQ)

(7.85)Dunque possiamo concludere che la potenza complessa e:

P + jQ =V I∗

2=

V I

2ejφz = VeffIeffe

jφz (7.86)

Se consideriamo fasori legati ai valori efficaci ⇒ non compare il fattore 12.

Esempio 7.11.1. n > 1;R, g > 0; v(0−) = 0

e(t)+ R

e− nv

i1 n : 1

vxi2

gvx C v



vx = v(n− 1)

i2 = −gvx − Cdv

dt=

= −g(n− 1)v − Cdv

dt

• Relazione ingresso/uscita per v (equazione di stato):

ni1 = g(n− 1)v + C dvdt

e(t) = Ri1 + nv⇒ ne(t) = [Rg(n− 1) + n2]v +RC

dv

dt(7.87)

• Frequenza libera

λ = −Rg(n− 1) + n2

RC(7.88)

• v(t) per e(t) = E · 1(t) e per t > 0.

Dalla (7.87) (bilancio delle discontinuita) si ha che v(0+) = v(0−) = 0;integrale particolare: e una costante K ⇒ sostituendo nella (7.87)ricaviamo K = nE

Rg(n−1)+n2 .

v(t) = Aeλt +K

⇒ v(0+) = A+K = 0 ⇐⇒ A = −K

v(t) =nE

Rg(n− 1) + n2(1− eλt)

(7.89)

• v(t) per e(t) = φδ(t) per t > 0. Dalla (7.87) ricaviamo v(0+) 6= v(0−)e integrando la (7.87) tra 0− e 0+ si ha v(0+) = nφ

RC. L’integrale

particolare e nullo ⇒ v(t) = nφRC

eλt

• per e(t) = E cos(ωt), in regime sinusoidale, determinare la poten-za reattiva assorbita dal condensatore e quella complessa assorbitadal generatore pilotato. Dalla (7.87) (passando ai fasori) ricaviamo:Condensatore:

V =nE

[Rg(n− 1) + n2] + jωRC(7.90)

QC = Im

V I∗

2

=1

2Im

|V |2(

1jωC

)∗

= −12ωC|V |2 =

= −ωC2

(nE)2

[Rg(n− 1) + n2]2 + (ωRC)2< 0 OK, perche e un condensatore

(7.91)



Generatore pilotato:

Px + jQx =1

2V (gVx)

∗ =

=V

2g(n− 1)V ∗ ≡ Px

g

2(n− 1)|V |2

(7.92)

Esempio 7.11.2.

v(t)+ i(t)

v(t) = Vc cos(ωt)↔ VC

i(t) = Is sin(ωt) + Ic cos(ωt)↔ −jIs + ICVc, Is, Ic > 0

Determinare la potenza complessa assorbita dal bipolo e dire se e di tipoinduttivo o capacitivo.

P + jQ =V I∗

2=

VC

2(Ic + jIs) ⇐⇒

P = VcIc

2

Q = VcIs2

(7.93)

Q > 0 (Vc e Is sono positivi per ipotesi) ⇒ bipolo di tipo induttivo(resistivo-induttivo).

Teorema 4 (Boucherot). Si dimostra a partire dal teorema di Tellegen:dati due insiemi di grandezze compatibili con uno stesso grafo (→ tali dasoddisfarne le leggi di Kirchhoff) ⇒ i vettori corrispondenti a tali insiemisono ortogonali.

Unica ipotesi: convenzione normale (degli utilizzatori). Se le variabilisono tensioni e correnti di lato ⇒ v · i = 0 ⇐⇒ ∑l

h=1 vhih = 0.In condizioni di regime sinusoidale abbiamo a che fare con i fasori, che

come visto rispettano le leggi di Kirchhoff come le grandezze reali cui sonoassociati. Dobbiamo verificare se anche i complessi coniugati dei fasori dellecorrenti rispettano le KCL. Per lati incidenti un taglio, dalla KCL abbiamo:

∑

h

Ih = 0 ⇐⇒ ∑

h ReIh = 0∑

h ImIh = 0⇐⇒

∑

h

I∗h = 0 (7.94)

Dunque anche i complessi coniugati dei fasori sono compatibili con ilgrafo. Applichiamo il teorema di Tellegen agli insiemi Vh e I∗h:

1

2

l∑

h=1

VhI∗h = 0 ⇐⇒

l∑

h=1

(Ph + jQh

)= 0 (7.95)



⇐⇒

l∑

h=1

Ph = 0

l∑

h=1

Qh = 0

← Teorema di Boucherot (7.96)

Ph potenze attive assorbite dai lati; Qh potenze reattive assorbite dai lati.Il primo risultato e un po’ scontato (la potenza attiva e legata alla potenza

effettivamente dissipata dal circuito). Il secondo e meno intuitivo e costituisceil cuore del teorema di Boucherot.

Esempio 7.11.3.

.

E

+R1

R2C

Potenza reattiva erogata dal generatore di tensione? QE + QC + QR1 +QR2 = 0 per Boucherot (potenze assorbite) ⇒ poiche QR1 = QR2 = 0,la potenza reattiva erogata dal generatore coincide con QC . Calcoliamol’equivalente Thevenin del bipolo connesso al condensatore:

.

E R2

R1+R2

+

R1R2

R1+R2

.

I .

VC

⇒ Qc = −ωC|V |2

2= −ωC

2

(ER2

R1+R2

)2

(ωCR1R2

R1+R2

)2+ 1

(7.97)

Esempio:

.

AC

R L+

.

E

• Determinare la potenza attiva P e la potenza reattiva Q erogate daigeneratori.

Applichiamo il teorema di Boucherot (convenzione normale): la poten-za complessa assorbita e uguale alla potenza complessa erogata daigeneratori. Applichiamo il principio di sovrapposizione:



– passiviamo E ⇒

.

A C

PA + jQA =1

2

A

jωCA∗ = −j |A|

2

2ωC⇒

PA = 0

QA = − A2

2ωC

(7.98)

– passiviamo A⇒

R L

+.

E

Possiamo gia distinguere PE e QE , dato che L assorbe solo potenzareattiva e R solo potenza attiva:

PE + jQE =E2

2

(1

R+ j

1

ωL

)

⇒ PE =1

2

|E|2R

jQE =1

2E

E∗

−jωL = j|E|22ωL

(7.99)

Complessivamente, dunque, si ha:

P = PA + PE =1

2

E2

R

Q = QA +QE = − A2

2ωC+

E2

2ωL

(7.100)

• Determinare, se esiste, la relazione fra E e A che fa comportare il tripolocome puramente resistivo. Basta che sia

Q = 0 ⇐⇒ A2

2ωC=

E2

2ωL⇐⇒ A =

√

C

LE

7.12 Problema del rifasamento

E un’applicazione del teorema di Boucherot. Supponiamo di avere un gen-eratore di tensione sinusoidale in parallelo a un’impedenza Z(jω) e di esserein condizioni di regime (→ possiamo usare i fasori):



.

V

+

.

Ig

Z(jω)

Supponiamo che l’impedenza sia di tipo resistivo induttivo (⇒ φz > 0):e la situazione piu frequente (la maggior parte degli utilizzatori domesticipresenta un’impedenza di tipo resistivo-induttivo).

Potenza complessa assorbita dal generatore:

Pg + jQg =V (−I∗g )

2(7.101)

Potenza complessa assorbita dal carico Z(jω):V I∗g2

(come ovvio, in base alteorema di Boucherot).

Il rifasamento consiste nel modificare il circuito in modo tale che sianulla Qg, ossia la potenza reattiva assorbita dal generatore. Aggiungiamoun componente la cui natura fisica sia complementare rispetto a quella delcarico: avendo supposto Z di tipo resistivo-induttivo ⇒ aggiungiamo uncondensatore in parallelo:

.

V

+

.

IgR.

ICC

.

IZZ(jω)

Dobbiamo determinare il valore di C tale che Qg = 0. Per il teoremadi Boucherot: Qg + QC + QZ = 0. Imponiamo Qg = 0 ⇒ deve essereQC +QZ = 0. Potenza reattiva assorbita dal condensatore?

IC = jωCV ⇒ jQC =V I∗C2

= −jωC |V |2

2⇐⇒ QC = −ωC|V |

2

2(7.102)

Potenza reattiva assorbita dal carico?

IZ =V

Z(jω)(7.103)

⇒ V I∗Z2

=V

2

(

V

Z(jω)

)∗

=|V |22

(

1

|Z|ejφZ

)∗

=

=|V |22|Z|e

jφZ = PZ + jQZ

⇐⇒ QZ =| ˙V |22|Z| sin(φZ)

(7.104)



Vogliamo QC +QZ = 0

⇐⇒ − ωC|V |22

+|V |22|Z| sin(φz) = 0

⇐⇒ C =sin(φz)

ω|Z|

(7.105)

Questo e il valore di capacita da imporre per rifasare il carico. Tutti gli utiliz-zatori domestici (solitamente resistivo-induttivi) possiedono un condensatoredi rifasamento tale per cui la potenza assorbita dal carico e effettivamentesolo quella che serve per farli funzionare (potenza attiva istantanea).

Esempio 7.12.1.

.

E

+A

C

B

Ri

L vL αi

Determinare C tale da rifasare Z(jω).

.

V

R.

I.

I

L

.

I(α+ 1)

α.

I

Z(jω) =V

I= R + jωL(α+ 1) (7.106)

.

E

+

.

IE

C

.

I

Z(jω)

IE = E

(

jωC +1

R + jωL(α + 1)

)

=

= E

(

jωC +R− jωL(α+ 1)

R2 + ω2L2(α + 1)2

) (7.107)

Per rifasare, se e(t) e un coseno (⇒ E = E), imponiamo ImIE = 0 (dato

che la potenza complessa assorbita dal parallelo di C e Z(jω) eEI∗

E

2= PE +

jQE e QE = 0 ⇐⇒ EI∗E e un numero reale):

ωC =ωL(α+ 1)

R2 + ω2L2(α+ 1)2⇐⇒ C =

L(α + 1)

R2 + ω2L2(α + 1)2(7.108)



In generale, basta imporre che il carico rifasato sia puramente resistivo(⇒ abbia parte immaginaria nulla). In realta, un modello piu realistico dilinea di carico sarebbe:

.

Vg

+

r.

Ir

C

.

ICZ

.

IZ

con r “molto piccola”.Dunque, di tutta la potenza attiva erogata da V , una parte viene dissipata

da r:

Ir = IC + IZ ⇒ Pr =r|Ir|22

=r|IC + IZ |2

2(7.109)

All’Enel conviene (per ragioni di manutenzione della linea e di costi digestione), far si che Pr sia minima ⇒ che |Ir| sia piu piccolo possibile ⇒ ilcondensatore di rifasamento serve anche a questo:

Re

Im

IC Vg

IZ

IZ +IC

|IC + IZ| < |IZ | ⇒ Pr si riduce. Inoltre Vg e Ir sono in fase ⇒ il caricocomplessivo e puramente resistivo (non assorbe potenza reattiva).

Dunque il rifasamento e importante per due motivi: l’utente evita diassorbire potenza che non e in grado di usare e l’Enel evita sprechi (⇒ lalegge impone il rifasamento dei carichi). Questo e importante per i contratti:se con l’Enel sottoscriviamo il contratto per un assorbimento massimo di3 kW ⇒ vogliamo poterli sfruttare tutti al meglio.

7.13 Linee ad alta tensione

In una stazione elettrica i valori delle tensioni che vengono prodotte conver-tendo in energia elettrica energia termica (centrali termoelettriche), poten-ziale (centrali idroelettriche) o di altro genere sono dell’ordine di 105 V. Negliimpianti domestici o industriali, le tensioni sono dell’ordine del centinaio diVolt. Perche allora si trasporta l’energia elettrica su linee ad alta tensione,dell’ordine di 104 V?



.

V

+

Zl.

Im

Z.

V m

L’impedenza di linea, in generale, sara Zl = R+ jX . Il carico dissipa unapotenza attiva Pm = 1

2VmIm cosϕ. Poiche si vuole mettere a disposizione del-

l’utente una certa quantita di potenza attiva, supponiamo che Pm sia fissata,cosı come R (dipende dal materiale usato per la linea). Per ridurre al minimoi costi di manutenzione, conviene rendere minima la potenza dissipata sullalinea. Vediamo quanto vale:

Pl =1

2RI2m (7.110)

Ma Im si ricava dall’espressione della potenza attiva dissipata dal carico:Im = 2Pm

Vm cosϕ. Sostituendo, si ottiene:

Pl =1

2R

4P 2m

V 2m cos2 ϕ

=2RP 2

m

V 2m cos2 ϕ

(7.111)

Dunque, fissate Pm e R, la potenza dissipata sulla linea e minima secosϕ → 1 (per cui e obbligatorio rifasare i carichi) e se Vm e piu elevatopossibile, il che spiega l’utilizzo delle alte tensioni sulle linee.

7.14 Massimo trasferimento di potenza atti-

va (adattamento energetico)

Questo e un problema duale rispetto al rifasamento. Consideriamo una lin-ea di distribuzione dell’energia elettrica o un oscillatore o un qualunque al-tro circuito elettronico rappresentabile mediante un circuito equivalente diThevenin fatto cosı:

.

V g

+

Zg

A

B

Questo e un modello ancora piu accurato di una linea di distribuzione elet-trica.



Il problema del massimo trasferimento di potenza attiva riguarda l’impe-denza di carico ZC da collegare a questo bipolo: si vuol fare in modo che ZC

assorba la massima potenza attiva. In altri termini, si considerano Vg, Zg eω fissi e ci si chiede dunque quanto deve valere Zc in modo da assorbire lamassima potenza attiva. Vogliamo cioe trovare la Zc ottimale.

Per ipotesi l’impedenza ZC e in serie e la rete funziona in condizioni diregime sinusoidale.

Con la convenzione normale (degli utilizzatori), chiamiamo I e V i fasoridella corrente e della tensione ai capi del carico ⇒ si ha:

.

V g

+

Zg

.

I

Zc.

V

V = VgZc

Zc + ZgI =

V

Zc=

Vg

Zc + Zg

⇒ la potenza complessa assorbita da Zc e

V I∗

2=

VgZc

2(Zc + Zg)· V ∗

g

(Zc + Zg)∗=

V 2g Zc

2|Zc + Zg|2(7.112)

La potenza attiva e

P = Re V 2

g Zc

2|Zc + Zg|2

=V 2g

2|Zc + Zg|2ReZc

(7.113)

In generale si puo scrivere Zc = Rc + jXc e Zg = Rg + jXg

⇒(Zc + Zg

)=(Rc +Rg

)+ j(Xc +Xg

)

⇒|Zc + Zg|2 =(Rc +Rg

)2+(Xc +Xg

)2 (7.114)

Percio

P =V 2g

2

1(Rc +Rg

)2+(Xc +Xg

)2Rc (7.115)

Il sistema di distribuzione e noto ⇒ Rg e Xg sono “dati di targa”. Bisognatrovare Rc e Xc tali che la potenza P sia massima ⇒ occorre risolvere unproblema di massimo rispetto a due variabili.



Il massimo rispetto a Xc si individua subito (il denominatore di P deveessere minimo ⇒ imponiamo che (Xc +Xg)

2 (≥ 0) sia nullo): basta imporreXc = −Xg

⇒ P =V 2g

2· Rc(Rc +Rg

)2 (7.116)

Ora deriviamo rispetto a Rc per trovare la condizione di massimo:

dP

dRc=

V 2g

2

(Rc +Rg

)2 − 2Rc

(Rc +Rg

)

(Rc +Rg

)4 =V 2g

2

Rc +Rg − 2Rc(Rc +Rg

)3 =

=V 2g

2

Rg − Rc(Rc +Rg

)3 = 0

⇐⇒ Rc = Rg

(7.117)

• Se Rc < Rg ⇒ dPdRc

> 0 (⇐⇒ P cresce)

• Se Rc > Rg ⇒ dPdRc

< 0 (⇐⇒ P decresce)

⇒ Rc = Rg e un massimo per P : Pmax =V 2g

8Rg. Dunque la Zc ottimale e data

da Zc = Rg − jXg = Z∗g ⇒ data una certa Zg, l’impedenza di carico Zc che

consente di ottenere la massima potenza attiva assorbita e pari al complessoconiugato della Zg stessa.

Questo vuol dire che anche il generatore e in condizioni ottimali, poichevede un carico “rifasato” (un puro resistore):

.

V gZc + Zg = Rc +Rg = 2Rg

Zc = Z∗g e la condizione di adattamento energetico.


Capitolo 8

Regime multifrequenziale

Spesso occorre studiare circuiti dinamici lineari le cui sorgenti impressivesono sinusoidi con pulsazioni ω1, ω2, . . . diverse tra loro. Se i transitorisi sono esauriti, si usa dire che un circuito in questa situazione opera inregime multifrequenziale. Lo studio di questo regime si basa sul principio disovrapposizione.

La presenza di sorgenti impressive costanti e sinusoidali di frequenzediverse puo essere dovuta a:

1. presenza effettiva di tali sorgenti

2. presenza di una (o piu) sorgente impressiva periodica non sinusoidale,che puo essere scomposta, mediante la cosiddetta “serie di Fourier”,nella somma di sorgenti sinusoidali di frequenze una multipla interadell’altra.

Valuteremo entrambi i casi.

Nota: il regime stazionario o costante (“continua”) si puo conseguire (atransitori esauriti) solo se il circuito dinamico e asintoticamente stabile1 (→tutte le frequenze libere hanno parte reale < 0) e tutte le sorgenti impressivesono costanti. Lo si puo vedere come nel caso particolare di regime sinusoidaleper s = jω = 0. Nel caso di regime costante tutte le impedenze, ammettenzee rapporti di tensione e corrente sono necessariamente reali.

Nota: nel caso di ingresso periodico non sinusoidale, la soluzione a regimesara una forma d’onda con lo stesso periodo, ma con profilo diverso. L’unicaforma d’onda di cui si mantiene anche il profilo (→ a parte ampiezza e fase)e la sinusoide, come visto.

1condizione da soddisfare per conseguire qualunque tipo di regime

183

8. Regime multifrequenziale

8.1 Caso 1

Si risolve applicando il principio di sovrapposizione

Esempio 8.1.1. e(t) = E sin(ωt) a(t) = A cos(2ωt)

e(t)+

RiR

C a(t)

Corrente iR “di regime”:

iR(t) = IC1 cos(ωt) + IS1 sin(ωt) + IC2 cos(2ωt) + IS2 sin(2ωt)

Determinare le costanti IC1, IS1, IC2, IS2. Usiamo il principio di sovrappo-sizione:

e(t)

e(t)+ Ri1

v1

C

E = Ee−j π2

I1 =V1

R=

E

R

R

R + 1jωC

=jωCE

1 + jωRC=

ωCE(1− jωRC

)

1 +(ωRC

)2

⇒ i1(t) = Re

I1ejωt

=

=ωCE

1 +(ωRC

)2Re(

1− jωRC)(cos(ωt) + j sin(ωt)

)=

=ωCE

1 +(ωRC

)2

(cos(ωt) + ωCR sin(ωt)

)

(8.1)

a(t)

Ri2

C a(t)



R.

I2

1j2ωC

.

V A

a(t) = ReAej2ωt

↔ A = A

Partitore di corrente:

−I2 =1

j2ωC

R + 1j2ωC

==1

1 + j2ωRC⇐⇒ I2 =

−A(1− 2ωRC

)

1 +(2ωRC

)2 (8.2)

⇒ i2(t) = Re

I2ej2ωt

=

= Re

− A

1 +(2ωRC

)2

(1− j2ωRC

)(cos(2ωt) + j sin(2ωt)

)

=

= − A

1 +(2ωRC

)2

(cos(2ωt) + 2ωRC sin(2ωt)

)

(8.3)

Sovrapponiamo gli effetti ⇒ iR(t) = i1(t) + i2(t)

⇒ IC1 =ωCE

1 +(ωRC

)2 IS1 =

(ωC)2RE

1 +(ωRC

)2 (8.4)

IC2 = −A

1 +(2ωRC

)2 IS2 = −2ωARC

1 +(2ωRC

)2 (8.5)

8.2 Caso 2

Valutiamo ora il secondo caso, ossia quello relativo alla presenza di una (opiu) sorgente impressiva periodica.

Una qualsiasi funzione periodica f(t) di periodo T (→ pulsazione ω = 2πT

e frequenza 1T) puo essere descritta tramite il cosiddetto sviluppo in serie di

Fourier:

f(t) = a0 +

+∞∑

k=1

[ak cos(kωt) + bk sin(kωt)] =

= a0 ++∞∑

k=1

Ak cos(kωt+ φk) =

=1

2

+∞∑

k=−∞Ake

jkωt

(8.6)



dove:

a0 =< f >=1

T

T∫

0

f(t) dt (8.7)

Lo sviluppo in serie di Fourier consente di analizzare qualunque cir-cuito lineare con grandezze impresse periodiche, applicando il principio disovrapposizione.

Valor medio di una funzione periodica x(t) di periodo T :

< x >=1

T

T∫

0

x(t) dt

=1

T

t+T∫

t

x(τ) dτ

(8.8)

Valore efficace di una funzione periodica x(t) di periodo T :

xeff =

√√√√√

1

T

T∫

0

x2(t) dt definizione generale (8.9)

(⇒ nel caso di x(t) sinusoidale di ampiezza X , si ha xeff = X√2)

Teorema 5 (Valore efficace). Applichiamo lo sviluppo in serie di Fourier perx(t):

xeff =

√√√√< x >2 +

+∞∑

k=1

[(ak√2

)2

+

(bk√2

)2]

=

√√√√< x >2 +

+∞∑

k=1

(Ak√2

)2

=

=

√√√√< x >2 +

+∞∑

k=1

( |Ak|√2

)2

(8.10)

Esempio 8.2.1.

e(t)+ R

iR

a(t)Cvc



t

t

a(t)

e(t)

E

−A

T4

T2

T

Circuito a regime con e(t) e a(t) periodici. Determinare:

• valor medio < vc > (sul periodo)

• valor medio < iR > (sul periodo)

• valore di A (se esiste) per cui (fissato E) si ha < vc >= 0

Dallo sviluppo in serie di Fourier deduciamo che il solo contributo ai val-ori medi delle variabili (a regime) viene dal valor medio di ogni ingresso(applicando il principio di sovrapposizione e considerando un termine pervolta dello sviluppo in serie di Fourier, tutti i termini sinusoidali fornisconoun contributo nullo). Tale valore e costante ⇒ essendo a regime possiamoconsiderare un circuito equivalente in regime stazionario fatto cosı:

< e >+

< vR >R< iR >

< a >< vc >

⇒< iR >= − < a >, < vC >=< e > − < vR >=< e > −R < iR >=<e > +R < a >. Calcoliamo < e > e < a >:

< e > =1

T

T∫

0

e(t) dt =1

T

(T

2+

T

4

)E

2=

3E

8

< a > =1

T

T∫

0

a(t) dt =1

T

T (−A)2

= −A2

(8.11)



⇒< iR >=A

2< vC >=

3

8E − AR

2

< vC >= 0 ⇐⇒ A =3

4

E

R

(8.12)

Esempio 8.2.2.

e1(t)+

i1 i2

+e2(t)v1 v2

v1 = Ri1 i2 = αi1 + gv2

e1(t) = E1 cos(ωt) e2(t) = E2 cos(2ωt)

T =2π

ω

Determinare:

• i1eff e i2eff

• Potenza media assorbita nel periodo T dal tripolo

i1 =v1R

=e1R

=E1

Rcos(ωt)

⇒ i1eff =

√√√√√

1

T

T∫

0

i21(t) dt =1

Re1eff =

E1√2R

i2 = αi1 + ge2(t) = αE1

Rcos(ωt) + gE2 cos(2ωt)

(8.13)

Sfruttiamo il teorema del valore efficace:

I2eff =

√(

αE1√2R

)2

+

(gE2√2

)2

Potenza istantanea assorbita dal tripolo:

p(t) = v1i1 + v2i2 = Ri21 + αv2i1 + gv22 =

=e21R

+ αe2e1R

+ ge22(8.14)



Potenza media:

< p > =1

T

[ T∫

0

e21R

dt+α

R

T∫

0

e1e2 dt+ g

T∫

0

e22 dt

]

=

=1

T

[E2

1T

2R+ 0 + gE2

2

T

2

]

=E2

1

2R+

gE22

2

(8.15)

Esempio 8.2.3.

i1(t) = I1 sin(ωt)

i2(t) = I2 cos(2ωt)

i3(t) = I3 sin(3ωt)

(8.16)

i1 i2 i3 v(t)C

Determinare il valore efficace veff della tensione v(t) nel periodo T .Applichiamo il principo di sovrapposizione

1.

i1 ↔ I1 = I1e−j π

2 = −jI1 ⇒ V1 =I1

jωC

2.

i2 ↔ I2 = I2 =⇒ V2 =I2

j2ωC

3.

i3 ↔ I3 = −jI3 =⇒ V3 =I3

j3ωC

⇒ v(t) = v1 + v2 + v3 = −I1ωC

cos(ωt) +I2

2ωCsin(2ωt)− I3

3ωCcos(3ωt)

Sovrapponiamo i contributi, dunque il valore efficace e

V = V1 + V2 + V3 =I1

jωC+

I2j2ωC

+I3

j3ωC

Oppure:

veff =

√

|V1|22

+|V2|22

+|V3|22

=

=1√2

√(

I1ωC

)2

+

(I2

2ωC

)2

+

(I3

3ωC

)2(8.17)



Esempio 8.2.4.

E0

+L

vR I sin(ωt)

Rete a regime, valore efficace di v(t)?Applichiamo il principio di sovrapposizione:

1. Passiviamo il generatore di corrente

E0

+v0R

⇒ v0 = E0

2. Passiviamo il generatore di tensione

L v1R I sin(ωt)

I sin(ωt)↔ I = −jIv1(t) = Re

V1ejωt

V1 = −jIjωLR

R + jωL= |V1|ejφ

→ |V1| =|ωLR||R+ jωL|I =

ωLR√

R2 +(ωL)2I

Dunque, per il teorema del valore efficace, si ha

veff =

√

E20 +

1

2|V1|2 =

√√√√E2

0 +1

2

(ωLRI

)2

R2 +(ωL)2


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