1

Teoria Cinetica dei gas

(Un’esposizione molto elementare)

La teoria cinetica stabilisce un collegamento tra il

comportamento macroscopico di un gas e il suo

comportamento microscopico.

Le grandezze macroscopiche Pressione e Temperatura sono

strettamente dipendenti dalle grandezze microscopiche N

Numero delle molecole e Velocità delle molecole.

2

Il modello meccanico di un gas

Al contrario di quel che avviene per i liquidi ed i solidi, il comportamento dei gas appare

indipendente dalla specie chimica. La bassissima densità, la capacità di espandersi

illimitatamente, il comportamento semplice e regolare al variare di temperatura e pressione

portano a concludere che, nello stato gassoso, le molecole siano sostanzialmente indipendenti e

libere, che le forze fra di esse agiscano, a breve distanza, solo nell’urto.

Ciò conduce a formulare un primo modello meccanico fondato sulle seguenti ipotesi:

• Le molecole sono assimilabili a sfere rigide piccolissime (punti materiali) di massa m

• Il loro numero N è così elevato da essere statisticamente significativo

• Le molecole si muovono in modo completamente casuale obbedendo alle leggi di

Newton

• L’urto delle molecole con le pareti del contenitore è elastico

(si conserva l’energia cinetica)

• Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza media fra esse; in altri

termini il volume complessivo delle molecole è trascurabile rispetto al volume totale

occupato dal gas

3

• Tutte le molecole sono di ugual massa

• il moto delle molecole non ha direzioni privilegiate

• * le molecole non si urtano fra loro

L’abbandono di quest’ultima ipotesi porta ad

un sostanziale raffinamento del modello, con

conseguenze estremamente significative

e infine:

• L’urto delle molecole contro le pareti rispetta le leggi della riflessione

il modello di gas

4

L’origine della Pressione

La pressione esercitata dal gas è dovuta agli urti delle molecole contro le pareti del contenitore.

Ricordiamo dalla meccanica che:

Δt

pΔF

Δt

vΔmF amF

v

L

L

L

Si pensi ad 1 sola molecola di massa m in moto

con velocità v entro una scatola cubica di lato L

Modello di gas

5

z y

x

v

L

L

L Nell’urto contro la parete di destra, perpendicolare all’asse X,

essa subisce una variazione della quantità di moto:

xxxif mvmvmvppp 2

v

v

vx

-vx

forza agente sulla particella in 1 urto:

forza agente sulla parete in 1 urto:

t

mvF x

x

2

t

mvF x

x

2

( 3° principio della dinamica)

La variazione della q. di moto della parete in 1 urto:

xmvp 2

6

Esaminiamo attentamente l’urto contro la parte 1

L’urto è elastico:

Ec iniziale = Ec finale Viniziale = V finale

La variazione della q. di moto della parete in 1 urto:

xmvp 2

L’urto rispetta le leggi della riflessione:

1- raggio incidente, raggio riflesso, normale alla sup. riflettente, nel punto d’ìncidenza, sono complanari,

2- angolo incidenza = angolo riflessione

ifififif vvvvmvmvEcEc 2222

2

1

2

1

Consideriamo la variazione della q. di moto della molecola:

x

z

v

v

vx

-vx

xzyxizyxf vmpvvvmpvvvmp 2 allora )( );(

Urto

7

Dopo l’urto la molecola si muove verso la parete opposta con

velocità vx, e, dopo un altro urto, torna indietro verso la parete 1

Quindi percorre la distanza 2L con velocità vx impiegando un

tempo t = 2L/vx

Pertanto la forza media esercitata dalla molecola contro la parete

1 è

L

vm

L

vm

v

L

vm

t

pF xx

x

x

22

2

2

2

2

V

vm

L

vm

L

F

A

FPressione xx

2

3

2

2

Che determina la pressione

v

L

L

L

8

La formula precedente fa riferimento ad una sola molecola. Per la pressione totale

dovremo tener conto del contributo di tutte le molecole che però hanno velocità diverse

e in generale variabili nel tempo. Tuttavia la distribuzione delle velocità rimane costante

e, quindi, anche la velocità media rimane costante, pertanto invece della velocità vx

faremo riferimento alla velocità media

E tenendo conto di tutte le molecole

V

vm x

2

P

22

P xx vm

V

N

V

vmN

Distribuzione velocità

Da notare che:

mediavelocitàvdimediovalore 2

10

zyx vvvv

e le tre componenti vx, vy, vz sono mediamente equivalenti, cioè, ogni

direzione è ugualmente probabile,

2222

3

1vvvv zyx

(teorema di Pitagora)

avremo

Siccome vx è una delle tre componenti della velocità v

22222 3 xzyx vvvvv

2

2

3

1P vm

V

N

V

vmN x

vx

vy

vz

v

11

(ove è il valore medio del quadrato della velocità.

Indicando con Ec = l’energia cinetica media di una molecola )

2v

2

2

1vm

cEV

Nvm

V

NP

3

2

2

1

3

2 2

La pressione di un gas è direttamente proporzionale all’energia cinetica media delle sue molecole.

Allora, in un gas ideale, la pressione è direttamente

proporzionale al numero delle molecole,

inversamente proporzionale al volume e

12

cENvmNPV3

2

2

1

3

2 2

E portando al primo membro il volume V

cEV

Nvm

V

NP

3

2

2

1

3

2 2

13

Teoria Cinetica

(ipotesi teorica)

Equazione di stato dei gas

(risultato sperimentale)

cENPV3

2 NkTPV

TN

RkTE

AV

c2

3

2

3

Energia cinetica e temperatura

NkTEN c 3

2

14

La temperatura assoluta è (se la deduzione è corretta !),

direttamente proporzionale alla sola energia cinetica media

molecolare.

Scaldando un gas aumentiamo la velocità media delle sue molecole,

raffreddandolo diminuiamo la velocità media delle molecole.

kTEc2

3

Acquista un significato chiaro la nozione di temperatura assoluta !

Si ha anche: Energia di una mole

Energia totale gas

TRTNkE AVmol 2

3

2

3

TRnE gastot 2

3

Energia cinetica media di

una molecola

15

Calcolo delle velocità molecolari

A che velocità si muove, in media, una molecola di Ossigeno ( O2 )

alla temperatura di 27 °C ? (T=27 °C = 300 K)

kTvmkTEc2

3

2

1

2

3 2

M

RT

mN

TkN

m

kTv

Av

Avqm

333

vvv 22

se:

Massa di 1 molecola

Velocità quadratica media

(radice quadrata della media

dei quadrati delle velocità)

massa molecolare

M è il peso molecolare del gas espressa in chilogrammi/mol

16

per l’Ossigeno : 131032

2

molkgMO

m/svmolKg

K

qmO 4851032

30031,83

/

)(K))(J/(mol

32

…e una molecola d’Idrogeno ( H2 ) ?

(a parità di temperatura l‘energia cinetica media è la stessa, ma la

velocità media è inversamente proporzionale alla radice quadrata della

massa molecolare)

M

RTv

3

In una miscela di gas diversi (es. Azoto 14N e Ossigeno 16O) tutte le

molecole possiedono la stessa en. cinetica media, ma le molecole di

azoto, essendo più leggere, sono mediamente più veloci.

m/s 20004316

16

1

33

16

1vv

22 O

22

2

H22

MMMMM

OO

H

OH

RTRTRT

17

Energia interna di un gas ideale

kTvm2

1 kTvm

2

1

kTvm2

1 kTE

xx

c

2

1

2

33

2

3

2

3

22

2

L’energia interna di una sostanza è la somma di tutte le

energie: potenziali, cinetiche, rotazionali, delle molecole

che la compongono

Ad ogni grado di libertà “componente dell’energia” di una

molecola è associata un’energia pari a ½ kT

18

NkT

kTN

ternaenergiaU

molecoletotalenumerolibertàdigradi

2

3

2

1)()(3

in

In un gas ideale (monoatomico) le uniche interazioni sono gli

urti perfettamente elastici, non c’è energia potenziale e le

molecole hanno solo energia traslazionale nelle tre direzioni

dello spazio. L’energia totale del sistema è la somma

dell’energia cinetica nelle tre direzioni di moto, 3 gradi di libertà

oppure

nRTkTnNNkTU A2

3

2

3

2

3

vx

vy

vz

19

NkT

kTN

ternaenergiaU

molecoletotalenumero

2

5

2

1)()(5

in

libertà di gradi

Nel caso di un gas biatomico si hanno 5 gradi di libertà

complessivi: 3 traslazionali nelle tre direzioni dello spazio e 2

rotazionali.

quindi

nRTkTnNNkTU A2

5

2

5

2

5

vx

vy

vz

20

1a considerazione

•La velocità di fuga dalla Terra 11,2 km/s

• la velocità vqm di H2= 1,93 km/s 1/6 velocità di fuga

•Composizione dell’aria azoto 78%, ossigeno 21%, altri gas tra cui l’idrogeno 0,0062%

Alcune considerazioni sulle velocità molecolari

Distribuzione maxwelliana delle velocità molecolari

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0 200 400 600 800 1000

velocità (m/s)

dN

/dv p

er

mole

T=300 kIdrogeno

21

una molecola 100 volte più

pesante di quella di ossigeno

avrebbe comunque la rispettabile

velocità di circa 50 m/s e

percorrerebbe un locale di 5

metri di lunghezza ben 10 volte

in 1 secondo !!!!…………che sia

proprio così ?

Se le cose

stanno così

allora ….

Allora,……

2a considerazione:

Abbiamo calcolato che la velocità media dell’ossigeno a

27 °C è di circa 485 m/s

22

L’esperienza ci dice che il

profumo del caffè non ci

arriva così in fretta !!

[prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni]

Come si possono conciliare queste osservazioni con le previsioni

della teoria cinetica ?

Fai clic sulla

foto

Rinunciando all’ipotesi che le

dimensioni delle molecole siano

infinitamente piccole , tanto

piccole da rendere trascurabile la

probabilità di un urto fra esse

Questo fenomeno di propagazione di un gas in

un altro (diffusione) appare in realtà

decisamente più lento.

23

Se si assume che le dimensioni delle molecole siano finite , per esempio

sfere di raggio r , allora il percorso di ciascuna molecola sarà una

successione casuale di moti rettilinei uniformi, di lunghezza e direzione

differenti, tra un urto e l’altro, percorsi ciascuno con velocità diversa,

dipendente dalle modalità con cui avviene l’urto con un’altra molecola.

Più grandi

sono le

molecole, più è

probabile

l’urto

reciproco !

24

r = raggio molecolare

n = numero di molecole

per unità di volume

= velocità media

Si può dimostrare che

la frequenza d’urto

(numero di collisioni

al secondo) è data da: vnπrf 24

e che il libero cammino

medio (distanza media

percorsa tra un urto e il

successivo) è : nπrf

vl

24

1

v

Nel 1856 R.Clausius determinò, proprio in base alle velocità

di diffusione dei gas e ad altri dati sperimentali, l’ordine di

grandezza delle dimensioni molecolari:

m 10 10 -109 rSi tratta della prima misura indiretta delle dimensioni di particelle

microscopiche, fino ad allora solamente ipotizzate !

25

Negli urti tra molecole si hanno continui scambi di energia cinetica ma il valore

medio per molecola di tale energia e quello complessivo restano costanti.

Si deve a J.C.Maxwell il calcolo della distribuzione statistica delle velocità

molecolari in un gas, il cui andamento dipende solo dalla temperatura :

Distribuzione maxwelliana delle velocità molecolari

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0 200 400 600 800 1000

velocità (m/s)

dN

/dv p

er

mole

T=300 kOssigeno