Tensore Di Rotazione Rigida
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Esercitazione 3 – Tensore di rotazione rigida
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3.1 Introduzione
I moti rigidi fondamentali sono:
Rotazione
Traslazione
In generale un moto rigido segue la seguente legge vettoriale:
( ) ( ) ( )tcXtXQtXx +•= ,, (1)
Dove:
Q(X,t) è il tensore di rotazione rigida;
c(t) è il vettore di traslazione rigida.
N.B: Ogni moto rigido si otterrà dalla combinazione di rotazione e traslazione.
Un moto rigido di rotazione seguirà la seguente legge vettoriale:
( ) ( ) XtXQtXx •= ,, (2)
ed assumerà la seguente rappresentazione grafica:
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Il tensore di rotazione rigida assume la seguente espressione:
( ) NsennnIIQ ⋅+⊗−+⋅= ααα coscos (3)
Esprimendolo in componenti si otterrà:
( )−
−−
⋅+−+⋅=0
00
cos1cos
12
13
23
232313
322
212
31212
1
nnnn
nnsen
nnnnnnnnnnnnnnn
IQ ααα
(4)
x
x
x
e2
ee3
N P
Poxn
cn
y
yo
x(X,t)
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3.2 Svolgimento
3.2.1 Rotazione attorno ad n = e2
Il tensore di rotazione rigida sarà:
( )−
=−
⋅+−+=αα
αααα
αα
α
cos0010
0cos
001000100
000010000
cos1cos
coscos
sen
sensenQ
3.2.2 Rotazione attorno ad n = e3
Il tensore di rotazione rigida sarà:
( )−
=−
⋅+−+=1000cos0cos
000001010
100000000
cos1cos
coscos
αααα
ααα
αα
sensen
senQ
3.2.3 Rotazione attorno ad n = (e1 + e2) / 2
Il tensore di rotazione rigida sarà:
( )
−
−+−
−+
=
−
−⋅+−+=
ααα
ααα
ααα
ααα
αα
cos22
22cos1
2cos1
22cos1
2cos1
02
12
12
1002
100
000
021
21
021
21
cos1cos
coscos
sensen
sen
sen
senQ
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3.2.4 Rotazione attorno ad n = (e1 - e2) / 2
Il tensore di rotazione rigida sarà:
( ) −++−
−+−+
=−
−
⋅+−
−
−+=
ααα
ααα
ααα
ααα
αα
cos22
22cos1
2cos1
22cos1
2cos1
02
12
12
1002
100
000
021
21
021
21
cos1cos
coscos
sensen
sen
sen
senQ
3.2.5 Rotazione attorno ad n = (e1 + e2 + e3) / 3
Il tensore di rotazione rigida sarà:
( )++−−−
−−++−
+−−−+
=
−
−
−
⋅+−+=
31cos2
33cos1
33cos1
33cos1
31cos2
33cos1
33cos1
33cos1
31cos2
03
13
13
103
13
13
10
31
31
31
31
31
31
31
31
31
cos1cos
coscos
ααααα
ααααα
ααααα
ααα
αα
sensen
sensen
sensen
senQ
3.3 Considerazioni ed approfondimento
Dallo svolgimento dell’esercizio de quo si è constatato che il tensore di rotazione rigida assume una
formulazione differente a seconda della variazione di due elementi:
(t) ampiezza della rotazione;
n(t) versore dell’asse di rotazione.
Inoltre, risulta dimostrato dalla teoria che se considero la rotazione che mi porta da “P” a “Po” vale
la seguente legge:
( ) ( ) xtxQtxX •= − ,, 1 (5)
Da ciò ne scaturisce una proprietà fondamentale del tensore di rotazione rigida: esso risulta
appartenere alla classe dei tensori ortogonali, questo poiché in base alla correlazione tra la (2) e la
(5) il suo inverso coincide col suo trasposto.
Q-1 = QT (6)
Una diretta conseguenza di ciò sarà che il determinante del tensore di rotazione rigida sarà pari
all’unità ( tensore propriamente ortogonale ):
detQ = 1 (7)
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La verifica consisterà allora nell’appurare che il determinante del tensore di rotazione sia unitario.
A titolo qualitativo, è stato scelto di eseguire la verifica su uno solo dei casi precedentemente
espletati; nello specifico la scelta è ricaduta sul punto 2:
• il tensore di rotazione rigida era individuato dalla seguente matrice:
−=
1000cos0cos
αααα
sensen
Q
(8)
Il determinante si otterrà grazie all’applicazione , ottenendo:
( ) ( ) 1coscoscosdet 22 =+=⋅+⋅= αααααα sensensenQ
La verifica risulta quindi soddisfatta.
