TELECOMUNICAZIONI canale A -L Prof. Roberto...

1

3. Fondamenti sui segnali numerici3. Fondamenti sui segnali numerici

INFO-COM Dpt.

Dipartimento di Scienza e Tecnica

dell’Informazione e della Comunicazione

Università degli Studi di Roma La Sapienza

TELECOMUNICAZIONITELECOMUNICAZIONI

per Ingegneria Informatica (secondo anno)per Ingegneria Informatica (secondo anno)

canale Acanale A--LL

Prof. Roberto Cusani

2Sequenza numericaSequenza numerica -- DefinizioneDefinizione

� Una sequenza numerica è una stringa ordinata di numero reali o complessi il cui indice di posizione n può assumere solo i valori interi (positivi e/o negativi)

Esempio:

� La sequenza può essere rappresentata graficamente

� Una sequenza numerica è detta di durata finita N>0 se ammette valori diversi da zero solo in corrispondenza di N valori dell’indice n.

{ }, 0, 1, 2,...nx n= ± ±

21

-1-1 0 1

0 1 1{ 1, 1, 2}x x x−= = − =

n

R. Cusani - Fondamenti sui segnali numerici, Roma, Marzo 2009

3CampionamentoCampionamento

t

� Campionatore:

Trasmissione a distanza, o immagazzinamento)(tx )(nx

t

•

)1(x

)0(x TT

T2•

••

•• •

• . . . .

� Segnale analogico: � Sequenza dei suoi campioni:

≡T intervallo di campionamento (sec)T

fc

1= frequenza di campionamento (Hz)

nTttxnx

== )()()(tx


4Ricostruzione (1/3)Ricostruzione (1/3)

'( ) ( ) ( )n

x t x nT t nT+∞

=−∞

= δ −∑

'( )x t

t

)1(x

)0(x TT

T2

)1(−x

� Ricostruzione, con treno di impulsi matematici:

Filtro LP:)( fH

)(txR)(' txSegnale

ricostruito



∑ −=n

nTtnxtx )()()(' δ

� Ricostruzione ideale, con treno di impulsi matematici:

fT2

1 tTT2−

1/( ) ( )TH f T rect f=T

)/(sinc)( Ttth π=

•T2

1− T2T−•••• •



( ) ( )sinc( ( ) / )Rn

x t x nT t nT T+∞

=−∞

= π −∑

•

•

•

•

•)0(x)1(x

)2(x

)1(−x

)3(x


7Teorema del campionamento (1/4)Teorema del campionamento (1/4)

� Se è limitato in banda, con banda intorno all’origine, e se (criterio di Nyquist), allora il segnale ricostruito risulta uguale all’originale, ossia:

)(tx W±Wfc 2≥ )(txR

)()( txtxR = 2cper f W≥

� Spiegazione intuitiva: se varia lentamente, e se la si osserva abbastanza frequentemente, allora il suo andamento completo èperfettamente ricostruibile tramite interpolazione delle osservazioni

)(tx

{ ( ), 0, 1, 2,...}x nT n= ± ±



)(tx Filtro LP:)( fH

)(txR)(' txSegnale

ricostruito

1( ) ( )

n n

nFT t nT f

T T

+∞ +∞

=−∞ =−∞

δ − = δ − ∑ ∑

( )n

t nT+∞

=−∞

δ −∑� è un segnale periodico. La sua Serie di Fourier è:

21( )

nj t

T

n n

t nT eT

+∞ +∞ π

=−∞ =−∞

δ − =∑ ∑

� da cui risulta che la trasformata di Fourier di è:( )n

t nT+∞

=−∞

δ −∑



� Per la trasformata di Fourier del segnale campionato si ottiene:

{ }

{ }

'( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )*

1

n n

n n

n

FT x t FT x n t nT FT x t t nT

nFT x t FT t nT X f f

T T

nX f

T T

δ δ

δ δ

= − = − =

= ∗ − = − =

= −

∑ ∑

∑ ∑

∑

i

� Lo spettro del segnale campionato è dato da infinite repliche dello spettro del segnale di partenza per ogni multiplo intero della frequenza di campionamento 1/T


10

Teorema del campionamento (4/4)Teorema del campionamento (4/4)

f

X(f)

2W

Wfc 2≥

f

∑ −=k

TkfXT

fX )/(1

)('

cfcf−cf2− cf2

f

)()( fXfXR =

W− W

T

f c

21

2=

2cf−

2( ) ( )WH f T rect f= ⋅


11Aliasing da sottoAliasing da sotto --campionamento (1/2)campionamento (1/2)

f2W

f

)(' fX

cfcf−

f

)( fXR

2cf

2cf−

)( fX

Wfc 2<

� Sotto-campionamento:

Distorsioni:

� Manca una parte dello spettro

� La parte mancante si “ripiega” e si somma al resto c’è dell’altro (“alias”) nello spettro ricostruito


12Aliasing da sottoAliasing da sotto --campionamento (2/2)campionamento (2/2)

� Su l’alias si manifesta come una distorsione più o meno evidente

)(txR

� Esempio: campionamento di una sinusoide

Sinusoide originale

Ricostruzione con il sotto-campionamentoT

•

•••


13CampionamentoCampionamento realereale–– circuitocircuito sample & hold (1/2)sample & hold (1/2)

� Gli impulsi in uscita dal campionatore reale non sono impulsi matematici, sono realizzati tramite un circuito sample & hold (S&H), sono rettangoli

di durata finita τ


)(txS&H

( ) ( )'( ) ( ) * ( ) ( )Hn n

x t x nT rect t nT rect t x nT t nT+∞ +∞

τ τ=−∞ =−∞

= − = δ −∑ ∑

'( )Hx t

'( ) sinc( ) '( )HX f f X f= τ ⋅ τ ⋅

� Lo spettro del segnale campionato è distorto secondo un fattore

dipendente dalla frequenza τ sinc(fτ)

14CampionamentoCampionamento realereale–– circuitocircuito sample & hold (2/2)sample & hold (2/2)

� Per ricostruire il segnale nella realtà oltre al filtraggio passa-basso è

necessaria un’equalizzazione 1/[τ sinc(fτ)] che compensi la distorsione dovuta alla durata non nulla degli impulsi

� Funzione di trasferimento del filtro in ricezione:

� Il segnale ricostruito risulta in questo modo uguale al segnale di partenza:


2 ( )( )

sinc( )WT rect f

H ff

⋅=

τ ⋅ τ

( ) ( )2

' ( )

( )1sinc( )

sinc( )

( )

R H

W

n

X f X f H f

T rect fnf X f

T T f

X f

= =

⋅ = τ ⋅ τ ⋅ − ⋅ = τ ⋅ τ

=

∑

15Campionamento e Campionamento e quantizzazionequantizzazione(conversione A/D)(conversione A/D)

b bits,che rappresentano:

)n(x)n(x̂ ≅Q)(tx

0

1

Sampling Quantizer)n(x)n(q)n(x)n(x̂ ≅+=

� q(n): errore di quantizzazione si riduce all’aumentare di b, ovvero del numero di bit impiegati nella conversione A/D

ADC: Analog-to-Digital Converter

x(n)

� In realtà si hanno distorsioni anche se si evita il sottocampionamento, esi equalizza per compensare le distorsioni del circuito S&H.

� Il processo di conversione A/D introduce errore di quantizzazione


16Relazione ingressoRelazione ingresso --uscito di un quantizzatore uscito di un quantizzatore uniformeuniforme

-xmax xmax

xq(2)

xq(1)

-xmax=xq(0)

x(n)

ˆ( )x n

xmax= xq(L-1)

∆

�

∆

Passo di quantizzazione

Livello di restituzione

rappresentato con b digits

Numero dei livelli di quantizzazione

∆

xq(i)

L


17Ricostruzione (conversione D/A)Ricostruzione (conversione D/A)

Generatoredi livelli di

restituzione

Generatoredi forma d’onda

b bits

)nTt(rect)n(x̂ T −

tnT

T

DAC: Digital-to-Analog Converter

)n(x̂

)n(x̂


18Schema completo di campionamento e Schema completo di campionamento e ricostruzionericostruzione

Campionatore +

quantizzatoreP/S

)(tx

Wfc 2=b bits

Convertitoreparallelo/serie

flusso binario

(bits/sec)cb bff =

Trasmissione

Convertitoreserie/parallelo

S/PConvertitore analogico-

digitale

Filtro LPCon banda

[-W,W]

flusso binario,bit/secbf

)(txR

b bitsWfc 2=


19Segnale Telefonico Digitale PCMSegnale Telefonico Digitale PCM

� Digitalizzazione del segnale telefonico (PCM, Pulse Code Modulation)

� No componenti alle basse frequenze, energia concentrata fino a 4-5 kHz

� Filtro telefonico (GSM, telefonia fissa):


)(tx

t

“C” “A” “S”

Intervallo di “stazionarietà”

sec 20T m≅

f

)(fH

Hz 300 4 kHz

300 - 4 Hz kHz→

2 campioni 4 8000 campioni/s

8 digit/campione

bit rate 64

cf kHz

kbps

= × =

20Rumore di Rumore di quantizzazionequantizzazione nel PCM (1/3)nel PCM (1/3)

• •• •

•• • • •

•• •

• ••

•

• • •• •

••

•

MAXx+

MAXx−

t

0

1L −L intervalli di quantizzazione,L valori (“livelli”) di quantizz.

(0) ( 1),..., Lq qx x −

)(tx

� b bit per campione L=2b livelli di quantizzazione

� Ampiezza di intervallo ∆ =2 xMAX / L = (2 xMAX)2-b

� L’i-esimo livello di quantizzazione xq(i) è posto al centro dell’i-esimo

intervallo


21

� Modello probabilistico: q è una variabile

aleatoria con “distribuzione” (densità di

probabilità) uniforme tra e , e a

media nulla

� L’errore di quantizzazione può assumere tutti i valori da a 2/∆

� Il valore massimo del modulo dell’errore q è: , e va a

zero al crescere di b

� Sul segnale ricostruito l’errore di quantizzazione viene percepito

come un disturbo (rumore) sommato al segnale originale

Rumore di Rumore di quantizzazionequantizzazione nel PCM nel PCM ––prestazioni del prestazioni del quantizzatorequantizzatore (2/3)(2/3)

qxx̂ +=campione

quantizzatocampioneoriginale

errore diquantizzazione

2/∆−

2/∆− 2/∆2

∆−2

∆

)(qp

q

bMAXx −=∆2

2

)2(

2


22Rumore di Rumore di quantizzazionequantizzazione nel PCM nel PCM ––prestazioni del prestazioni del quantizzatorequantizzatore (3/3)(3/3)

ˆ x x q= +

� Supponiamo che x possa assumere solo valori in [-xMAX, xMAX].

Supponiamo che l’intervallo [-xMAX, xMAX] sia suddiviso in L=2b intervalli

di quantizzazione di estensione

� Si può dimostrare che il valore medio E{q2} del quadrato dell’errore di

quantizzazione q vale

� Quindi E{q2} va a zero in maniera esponenziale al crescere di 2b

∆ 2 / 2 / 2bMAX MAXx L x= =

( )22max2 2∆

E{q } 212 3

bx −= =

R. Cusani - Fondamenti sui segnali numerici, Roma, Marzo 2009R. Cusani - Fondamenti sui segnali numerici, Roma, Marzo 2009

23Musica ad Alta FedeltMusica ad Alta Fedelt àà

� L’orecchio umano non percepisce suoni oltre i 20KHz

� Con un campionamento minimo a 40000 campioni al secondo non si avvertono differenze e significative tra segnale musicale di partenza e segnale ricostruito dal segnale campionato

� Distorsioni percepite dovute unicamente da errori di quantizzazioneche possono essere ridotti a piacere aumentando il numero di digitper campione

� Dimensione di un brano di 3 minuti

filtro 20k 40 k

12 digit/campione 480

3 minuti 480 180 480 86,4 10,8 (1byte=8 bit)

cHz f Hz

kbps

kbps k Mbit Mbyte

± → =→

× = × = =


TrattamentoTrattamento delledelle sequenzesequenze numerichenumeriche

{ }0, 1, 2,.., n nx = ± ±

� Può essere quantizzata oppure no

� Può essere la sequenza dei campioni

di un segnale analogico campionato, oppure può nascere proprio

come sequenza (esempio: caratteri inviati tramite tastiera ad un PC)

)()( cnTtn nTxtxxc

===

� Ci concentriamo su sequenze numeriche di durata finita (N elementi):

{ }, 0, 1, ..., 1nx n N= −11 ,0 ..., , −Nxxx

)t(x


24

� Sequenza numerica:

TrasformataTrasformata discretadiscreta didi Fourier per Fourier per sequenzesequenze didi duratadurata finitafinita (DFT)(DFT)

kN

njN

nnk ex

NX

π21

0

1 −−

=∑=

{ }0, 1 1,..., NX X X −

1 ...., ,1 ,0 −= Nk0 1 −N

k


25

� Per una sequenza discreta di può definire una rappresentazione nel

dominio della frequenza, tramite una trasformazione,

� Discrete Fourier Transform (DFT), sequenza di campioni nel dominio

discreto della frequenza

� Definita come

| |kX

TrasformataTrasformata discretadiscreta didi Fourier per Fourier per sequenzesequenze didi duratadurata finitafinita (DFT)(DFT)

� La DFT {Xk, k=0,…,N-1} costituisce una rappresentazione di

nel dominio k delle frequenze discrete. Infatti vale la seguente formula

di ricostruzione, antitrasformata discreta di Fourier

ovvero la sequenza è data dallo somma di N componenti nel

dominio della frequenza k

{ }nx

1-DFT1 2

0

1 0, ..., 1

kN j nN

n kk

x X e n NN

− + π

=

= = −∑


26

{ }nx

ProprietPropriet àà elementari della DFTelementari della DFT

� Linearità:

� Simmetria: se è a valori reali, allora

{ }n n k kDFT ax by aX bY+ = +

{ , 0,...,( 1)}nx n N= −

*

1 12,

11

2

N k k

Nk per N pari

X X doveN

k per N dispari−

≤ ≤ −= − ≤ ≤


27

Algoritmi FFT (Fast Algoritmi FFT (Fast FourierFourier TransformTransform ))

sequenza) della (lunghezza N

Complessitàdi calcolo

(FFT) log2 NN

(DFT) 2N

NN 2log2Nkn

Nj

eπ2

� Il calcolo di una DFT è spesso oneroso dal punto di vista

computazionale.

� Vi sono algoritmi per il calcolo veloce della DFT con complessità

ridottissima, dell’ordine di anziché

� Gli FFT sfruttano le proprietà di simmetria degli esponenziali


28

ImpulsoImpulso discretodiscreto

� Definiamo come impulso discreto la sequenza

numerica che vale 1 in n=0 ed è nulla altrove, ossia

� NB: Da non confondere con l’impulso matematico defi nito per i

segnali analogici

{ }, 0, 1, 2,...n nδ = ± ±

1, 0

0, 0n

n

n

=δ = ≠

nδ

n-4 -3 -2 –1 0 1 2 3 4

1


29

ConvoluzioneConvoluzione discretadiscreta (1/3)(1/3)

1. Graficare le due sequenze da convolvere come funzioni di m,

ottenendo {xm} e {ym}.

2. Ribaltare la sequenza {ym} rispetto all’asse delle ascisse, ottenendo

quindi la sequenza {h-m}

3. Traslare la sequenza {y-m} della quantità n lungo l’asse m, ottenendo

così {yn-m, m=0, ±1, ±2,…}.

3.1. quando n≥0, allora {y-m} va traslata di n verso destra

3.2. quando n<0, allora {y-m} va traslata di n verso sinistra

4. Calcolare per ogni valore di m il prodotto xm yn-m, m=0, ±1, ±2…

5. Sommare rispetto all’indice m tutti i prodotti {xm yn-m, m=0, ±1, ±2…}

ottenendo il valore zn delle sequenza convoluta al passo n.


30

* , 0, 1, 2,...n m n m n nm

z x y x y n+∞

−=−∞

= = = ± ±∑� Def:

CalcoloCalcolo delladella convoluzioneconvoluzione DiscretaDiscreta (2/3)(2/3)

m

xm2

m

ym

1

m

y-m

1-2 –1 0 1 2 0 1

-1 0

m

yn-m

1

n-1 n

n

zn4

m

yn-m

1

-1+n n

0n ≥ 0n ≤


31

2 2

ProprietPropriet àà delladella convoluzioneconvoluzione discretadiscreta (3/3)(3/3)

� La convoluzione discreta è commutativa, ossia: xn*hn=hn*xn

� La convoluzione discreta è associativa, ossia [xn*hn]*zn=xn*[hn*zn]

� La convoluzione discreta è distributiva rispetto alla somma, ossia

[xn+yn]*hn=(xn*hn)+(yn*hn)

� Se {xm, m=0,..,M-1} è una sequenza lunga M e {hn, n =0,…,L-1} è una

sequenza lunga L, allora la convoluzione discreta yn=xn*hn è una

sequenza lunga L+M-1


32

FiltraggioFiltraggio digitaledigitale (1/3)(1/3)

� Un sistema numerico S è un sistema che trasforma una sequenza di

ingresso in una di uscita in

accordo ad una specifica relazione ingresso-uscita .

� Un sistema numerico è lineare se vale il principio di sovrapposizione

degli effetti, ossia

� Un sistema numerico è permanente se il suo comportamento non

varia nel tempo, ossia

{ }0, 1, 2,.., n nx = ± ± { }0, 1, 2,.., n ny = ± ±( )n ny f x=

Snx ( )n ny f x=

(1) (1)(1) (2) (1) (2)

(2) (2)

n nn n n n

n n

x yax bx ay by

x y

→ ⇒ + → +

→

0 00, 1, 2, ..,n n n n n n nx y allora x y− − = ± ±→ →


33


� Un sistema numerico lineare e permanente è un filtro numerico

� Si definisce come risposta impulsiva del filtro

numerico la sequenza di uscita dal filtro quando all’ingresso è applicata

la sequenza impulso discreto

� Un filtro numerico è causale se hn=0 per ogni n<0

� Un filtro numerico è FIR (Finite Impulse Response) se {hn} è diversa da

zero solo per un numero finito di valori di n.

� Un filtro numerico è IIR (Infinite Impulse Response) se {hn} è diversa da

zero per un numero infinito di valori di n

{ , 0, 1, 2,..}nh n= ± ±

{ , 0, 1, 2,..}n nδ = ± ±

Filtro Numerico

nδ nh


34


Filtro hn

nx ny

� Dato un filtro numerico con risposta impulsiva {hn}, la sequenza di

uscita {yn} ottenuta in corrispondenza di una generica sequenza di

ingresso {xn} si ottiene mediante la convoluzione discreta di {xn} e {hn},

ossia

* , 0, 1, 2,...n m n m n nm

y x h x h n+∞

−=−∞

= = = ± ±∑


35

FiltriFiltri FIR (Finite Impulse Response) (1/2)FIR (Finite Impulse Response) (1/2)

Ritardo di1 passo(delay)



∑

0h1h 1−Lh

nx 1−nx 1−−LnxLinea di ritardo digitale

∑−

=−=

1

0

L

mmnmn xhy

� L’uscita all’ ”istante” n è pari alla combinazione lineare di L valori di

ingresso immagazzinati nella linea di ritardo digitaleny

1 ..., , −−Lnn xx

…..

� Def: un filtro numerico è detto FIR se la sua risposta impulsiva {hn,

n=0,…,L-1} ha lunghezza finita L<+∞


36

FiltriFiltri FIR (Finite Impulse Response) (2/2)FIR (Finite Impulse Response) (2/2)

Esempio di filtro FIR“media mobile” su 2 istanti:

=→+=+= −−

2

1,

2

1

2

1

2

1

2 11

nnnnn

n hxxxx

y

• • • •• • •

2 2 25.2

1 0

5.0−

5.22•

•

• • • •

••

•

• •

2 2 23

1−

1

4

0

1−

nx

ny


37

FiltriFiltri IIR (Infinite Impulse Response)IIR (Infinite Impulse Response)

n

nnh a=

0

1<a

� Un filtro è detto IIR (Infinite Impulse Response) se la sua risposta

impulsiva {hn} è non nulla in un numero infinito di istanti.

� Ha almeno un ramo di controreazione


38

D

nx1−+= nnn ayxy

a

1−ny

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