TELECOMUNICAZIONI canale A -L Prof. Roberto...

1

2. Fondamenti sui segnali analogici2. Fondamenti sui segnali analogici

INFO-COM Dpt.

Dipartimento di Scienza e Tecnica

dell’Informazione e della Comunicazione

Università degli Studi di Roma La Sapienza

TELECOMUNICAZIONITELECOMUNICAZIONI

per Ingegneria Informatica (secondo anno)per Ingegneria Informatica (secondo anno)

canale Acanale A --LL

Prof. Roberto Cusani

Segnali analogici (1/2)Segnali analogici (1/2)2

� Collegamenti analogici punto-punto unidirezionali (es. radiodiffusione)

SACanale di

Trasmissione

SorgenteAnalogica

DA

DestinazioneAnalogica

tt

S DTrasduttore diemissione

Trasduttore diricezione

Canale fisico (mezzo trasmissivo)

Esempi:Voce segnale di pressione acusticaTelefono segnale elettricoVideo segnale ottico

R. Cusani - Fondamenti sui segnali analogici, Roma, Marzo 2009

3

� Esempi di segnale continuo, tempo-continuo (analogico): Voce, temperatura ambiente, musica, televisione

� Studio dei segnali tramite funzioni matematiche reali o complesse

� Segnale: grandezza fisica variabile nel tempo che trasporta informazione ),(tx +∞<<∞− t

)(tx

t

SegnaliSegnali analogicianalogici (2/2)(2/2)


4

T0

)(tx

)cos()0( ϕAx =

Sinusoide:

A ampiezza; frequenza; fase (radianti);

To =1 / periodo (sec); = pulsazione (rad/sec);

)2cos()( 0 ϕπ += tfAtx

0f ϕ

0ω02 fπ0f

≡ ≡

≡≡

≡

t

Esempi di segnali analogici (1/3)Esempi di segnali analogici (1/3)


5

Esponenziale reale:

( ) ,tx t A e tβ= − ∞ < < + ∞

Rettangolo:

==0

1)()( trecttx T

/ 2

/ 2

t T

t T

≤

>

A.)(tx0<β 0>β

t2

T−2

T

1

)(tx

t

EsempiEsempi didi segnalisegnali analogicianalogici (2/3)(2/3)


6

11

−

+==0

/1

/1

)( Tt

Tt

ttri)(tx T

Tt

tT

Tt

><<−

≤≤0

0

== − 0

1)()( 1 tutx

0

0

<≥

t

t

)(tx )(tx

ttT− T

EsempiEsempi didi segnalisegnali analogicianalogici (3/3)(3/3)

Triangolo: Gradino:


7

(unità immaginaria); 1−=j

� Se b2 < 4ac si ha la radice quadrata di un numero negativo �le radici x1, x2 sono numeri complessi

=−±−=→=++a

acbbxcbxax

2

40

22

x1

x2

� Esempio:

12 −=j

I I numerinumeri complessicomplessi (1/4)(1/4)

� Radice di -1 e numeri complessi


8

� Numero complesso:

=

==

+=

−

22

αβ

αβϕ

βα

1arctanarg tgx

x

ϕβϕα

sin

cos

x

x

=

=Relazioni inverse

ϕβα jexjx =+=

.

α

β

ϕ

x

x



9

ϕβα jexjx −=−=*

)()()()( δβγαδγβα +++=+++=+ jjjyx

)()()( ϑϕαδβγβδαγ +=++−= jeyxjxy

� Somma e prodotto tra numeri complessi:

� Complesso coniugato:

,ϕβα jexjx =+= ϑδγ jeyjy =+=

� Reciproco di un numero complesso:

ϕϕβα

ββα

αβαβα

βαj

je

xexj

j

jxx −− ==

+−

+=

+−=

+== 1111

2222221



10

� Rapporto tra due numeri complessi:

)(222222

))(( ϑϕ

δγαδβγ

δγβδαγ

δγδγβα

δγβα −=

+−+

++=

+−+=

++= je

y

xj

jj

j

j

y

x

� Formule di Eulero:

j

eeeeje

jjjjj

2sin,

2cossincos

ϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕ

−−± −=+=→±=

;j jx j x e y j x eϕ ϑ= α + β = = γ + δ =



11

� Coppia di segnali reali, associati come parte reale xR(t) e parte immaginaria xI(t) di un segnale complesso x(t) = xR(t) + j xI(t)

SegnaliSegnali complessicomplessi (1/2)(1/2)

2 2( ) ( ) ( )

( )arg( ( ))

( )

R I

I

R

x t x t x t

x tx t arctg

x t

= +

=

� In alternativa, può essere visto come una coppia di segnali reali, associati al modulo |x(t)| ed alla fase arg(x(t)) di un segnale complesso x(t) = |x(t)|·exp[j ·arg(x(t))]

� NB: Nel calcolo dell’argomento di x(t) devo tener conto del segno di

di xR(t) ed di xI(t) per calcolare un angolo tra 0 e 2π


12

Esponenziale complesso:

)2sin()2cos()( 00)2( 0 ϕπϕπϕπ +++== + tfjAtfAAetx tfj

)2sin()(

)2cos()(

0

0

ϕπϕπ

+=+=

tfAtx

tfAtx

I

R

)(txR

)(txI

SegnaliSegnali complessicomplessi (2/2)(2/2)

ϕt

arg[ ( )]x t

t

t

0

| ( ) |

arg[ ( )] 2

x t A

x t f tπ ϕ=

= +

A

t

( )x t


13

� Somma, Prodotto:

� Prodotto per costante:

� Ribaltamento:

),()()( tytxtz += )()()( tytxtz ⋅=

)()( tcxtz = (amplificazione, attenuazione)

)()( txtz −=

t t

)(tx )(tz

ribaltamento

OperazioniOperazioni suisui segnalisegnali (1/2)(1/2)


14

Traslazione )()( τ−= txtz

t tt

t

0τ < 0τ >

)(tz )(tz)(tx

Dilatazione e contrazione 0),()( >= ααtxtz

ttt

1α < 1α >

)(tz )(tz)(tx

τ τ

OperazioniOperazioni suisui segnalisegnali (2/2)(2/2)

dilatazione

anticipo ritardo

contrazione


15

xε 2( ) 0x t dt

+∞

−∞= ≥∫

Segnale “di energia”: xε +∞<

Segnale “impulsivo”: ∫+∞

∞−+∞<dttx )(

� Def:

0 <

Energia di un segnale (1/3)Energia di un segnale (1/3)

� Def:

� Def:


16

Esponenziale negativo unilatero:

xε ( ) →=−

===∞+−∞+ −∞+ −

∫∫ ααααα

22

2

0

22

0

22

0

2 Ae

AdteAdtAe ttt

di energia

→=−

==∞+−∞+

∞−

∞+ −∫ ∫ αα

αα Ae

AdtAedttx tt

00)( impulsivo

==−

−−

0)()( 1

tt Ae

tuAetxα

α t 0t< 0

≥

)(tx

t

0α >



17

Esponenziale decrescente bilatero:

0 ,)( >= − αα tAetx

→== ∫∞+

∞−

2)( ,

2

ααA

dttxA

xε Impulsivo e di energia

)(tx

t



18

0)(1

lim22/

2/≥

∆= ∫

∆

∆−+∞→∆dttx

tP

t

ttx

Segnali “di potenza”: +∞<xP

Segnale costante: ctx =)(

2222/

2/

1lim

1lim ct

tcdtc

tP

t

t

ttx =∆

∆=

∆=

+∞→∆

∆

∆−+∞→∆ ∫

0 <

Potenza di un segnalePotenza di un segnale

� Def:

� Def:


19

� Calcolo della potenza di un segnale periodico/ 2 2

/ 2

1( )

T

x TP x t dt

T −= ∫

( ) ( ) 0, 1, 2,... ( ) ( ) n

x t x t nT n x t g t nT T periodo+∞

=−∞

= + = ± ± → = − ≡∑

)(tg)(tx

T

t

(periodo principale)

……

� Un segnale periodico è un segnale di potenza

Segnali Periodici (1/3)Segnali Periodici (1/3)


20

Sinusoide:

00 /1 ),2cos()( fTtfAtx =+= ϕπ

2 nulla) area ha coseno (il 0

222

)24cos(22

1

)]24cos(1[2

1)2(cos

1

22

2/

2/

2/

2/ 0

22

2/

2/ 0

22/

2/ 022

ATT

T

A

dttfT

Adt

T

A

dttfT

AdttfA

TP

T

T

T

T

T

T

T

Tx

=+

+=

=++=

=++=+=

∫ ∫

∫∫

− −

−−

ϕπ

ϕπϕπ



21

Treno di “impulsi” rettangolari:

( ) ( )

/ "duty cycle" 1

n

n

x t rect t nT

T

=+∞

τ=−∞

= −

τ ≡ ≤

∑

t

)(tx

Tτ

TTdt

TdtnTtrect

TP

T

Tx

ττττ

ττ =

+==−= ∫∫ −− 22

11

1)]([

1 2/

2/

22/

2/

2



22

Segnali di energia

Segnali

impulsivi

Segnali di potenza

Segnali periodici

Relazione tra segnali di energia, di Relazione tra segnali di energia, di potenza e periodici (1/2)potenza e periodici (1/2)


23

Relazione tra segnali di energia, di Relazione tra segnali di energia, di potenza e periodici (2/2)potenza e periodici (2/2)

Segnale Energia Impulsivo Potenza Periodico

rettangolo SI’ SI’ NO NO

Impulso matematico

NO SI’ NO NO

1/(1+t )

0 ≤ t < +∞

SI’ NO NO NO

sen( t ) NO NO SI’ SI’

segnale vocale NO NO SI’ NO


24

LL’’ impulsoimpulso matematicomatematico

)(1

lim)(0

trectt

t tt

∆→∆ ∆=δ

area 1

≠=∞+

=0 0

0 )(

t

ttδ

2

t∆−2

t∆ t

)(1

trectt t∆∆

t

1

)(tδ

� E’ un segnale di durata brevissima (al limite, zero) e di ampiezza elevatissima (al limite, infinita) con integrale unitario in un intervallo comprendente l’origine unitario


25

ProprietPropriet àà fondamentalifondamentali delldell ’’ impulsoimpulso matematicomatematico

( ) 1t dt+∞

−∞

δ =∫

0 0( ) ( ) ( )x t t t dt x t+∞

−∞

δ − =∫

� (l’impulso matematico ha area unitaria)

�

� (proprietà di campionamento)

0

0

0( ) 1, per ogni 0t

t

t t dt+ε

−ε

δ − = ε >∫


26

ConvoluzioneConvoluzione –– DefinizioneDefinizione e e calcolocalcolo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )z t x t y t x y t dτ=+∞

τ=−∞

= ∗ = τ − τ τ∫

1. Graficare i due segnali x(.) e y(.) come funzioni di τ ottenendo così x(τ) ed y(τ)

2. Ribaltare il segnale y(τ) rispetto all’asse delle ordinate ottenendo y(- τ)3. Traslare y(- τ) della quantità t lungo l’asse τ. Quando t > 0 allora y(t- τ)

va traslato di t verso destra. Quando invece t < 0, h(- τ) va traslata di tverso sinistra

4. Per ogni valore di si calcola il prodotto 5. Si integra rispetto a la funzione e cioè si calcola

l’area sottesa dalla funzione . La suddetta area è proprio il valore z(t) assunto dalla convoluzione all’istante t.

( , )τ∈ −∞ +∞ ( ) ( )x y tτ − ττ ( ) ( )x y tτ − τ

( ) ( )x y tτ − τ

� Def:


27

ConvoluzioneConvoluzione –– EsempioEsempio didi CalcoloCalcolo

( )x τ

τ-4 4

2

0 3

1

-3 0

1τ

τ

-3+t t

1

τ -3+t t

1

τ

-4 -1 4 7 t

( )y −τ

( )y τ

( ) 0y t t− τ >

( )z t

( ) 0y t t− τ <


6

28

ProprietPropriet àà didi base base delladella ConvoluzioneConvoluzione

� L’operazione di convoluzione è commutativa, ossia

� L’operazione di convoluzione è associativa, cioè

� L’operazione di convoluzione è distributiva rispetto alla somma di segnali

� La convoluzione di trasla di t0, ossia

� Dati due segnali , di durata ,la convoluzione dei due segnali ha durata

( ) * ( ) ( ) * ( )x t y t y t x t=

[ ( ) * ( )]* ( ) ( ) *[ ( ) * ( )]x t y t z t x t y t z t=

[ ( ) ( )]* ( ) [ ( ) * ( )] [ ( ) * ( )]x t z t y t x t y t y t z t+ = +

0( ) con ( )x t t tδ − ( )x t

0 0( ) * ( ) ( )x t t t x t tδ − = −

( ) x t ( ) y t e x y∆ ∆

x y∆ + ∆


29

S)(tx ( ) ( ( ))y t f x t=

� Un sistema S è un blocco che trasforma un segnale di ingresso: x(t) in uno di uscita: y(t) = f (x(t))

(sovrapposizione degli effetti)

� Sistema Lineare:

)()(

)()(

22

11

tytx

tytx

→→ )()()()( 2121 tbytaytbxtax +→+

� Sistema Permanente:

)()()()( ττ −→−⇒→ tytxtytx (invarianza nel tempo)

� Un sistema lineare e permanente (LP) è detto “filtro”

AttraversamentoAttraversamento didi un un sistemasistema tempotempo --continuo continuo dada parteparte didi un un segnalesegnale analogicoanalogico


30RispostaRisposta impulsivaimpulsiva didi un un sistemasistemalinearelineare e e permanentepermanente

Filtrox(t) = δ(t) y(t) = h(t)

Proprietà elementari di h(t)

� Permanenza

� Linearità

( )0 0( ) ( ) ( )x t t t y t h t t= δ − → = −

( ) ( )0 0( ) ( ) ( ) ( )x t a t b t y t ah t bh t= δ + δ → = +

� La risposta impulsiva h(t) di un sistema lineare e permanente (filtro) èdefinita come l’uscita y(t) del sistema quando all’ingresso è applicato un impulso matematico x(t)=d(t)


31

UscitaUscita dada un un sistemasistema LP (1/2)LP (1/2)

� Se il sistema è LP con risposta impulsiva h(t), allora l’uscita y(t) corrispondente ad un generico segnale di ingresso x(t) è pari a

� L’uscita è data dall’integrale di convoluzione tra l’ingresso x(t) e la risposta impulsiva h(t) del filtro.

h(t)x(t) y(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),y t x h t d x t h t tτ=+∞

τ=−∞

= τ − τ τ = ∗ − ∞ < < +∞∫


32

( ) ( ) ( ) ( )d x t d x h tτ τ δ − τ → τ τ − τ

( ) x t ( ) ( ) * ( )y t x t h t=Filtro h(t)

� campionamento dell’impulso matematico

� permanenza del sistema

� linearità del sistema

( ) ( ) ( )x t x t d+∞

−∞

= τ δ − τ τ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t x t d x h t d y t+∞ +∞

−∞ −∞

= τ δ − τ τ → τ − τ τ =∫ ∫

UscitaUscita dada un un sistemasistema LP (2/2)LP (2/2)

( ) ( ) ( ) ( )x t t y t h t= δ − τ → = − τ


33

CausalitCausalit àà e e stabilitstabilit àà didi un un filtrofiltro

� Def: il sistema “risponde” solo dopo che è stato “eccitato”

� Un filtro causale ha una risposta impulsiva nulla per t < 0

)(th

t

� Def: Filtro stabile:

Ad ingressi limitati corrispondono uscite limitate

')()( MtyMtx <→<


34

TrasformazioniTrasformazioni istantaneeistantanee ((senzasenza memoriamemoria ))

� Ritardo

� Moltiplicazioneper costante

� Quadratore

� Lineare

� Segno

0 0( ) ( ) ( ) è LP con ( ) ( )x t y t x t t h t t t→ = − = δ −

( ) ( ) ( ) è LP con ( ) ( )x t y t cx t h t c t→ ⊗ → = = δ

2( ) ( ) no L, sì Py t x t=

c

( ) ( ) sì L, sì Py t ax t b= +

+1, se x(t) 0 ( ) sign[x(t)]= no L, sì P

-1, se x(t) < 0y t

≥=


35

SviluppoSviluppo in in serieserie didi Fourier (Fourier ( SdFSdF) ) per per segnalisegnali periodiciperiodici (1/7)(1/7)

� è una rappresentazione di x(t)

� Frequenza fondamentale:T

F1=

=+==

=

∫

∑

−

−

+∞

∞=

2/

2/

2

-n

2

)(1 T

T

jnnn

tfjn

tfjn

nn

n

eMjIRdtetxT

X

eXx(t)

ϕπ

π

� Segnale periodico di periodo T:

{ } { },...,,..., 101 XXXX n −=

� Sviluppo in serie di Fourier:

TnnFfn /==� Frequenza armonica n-esima:

∑ −=+=n

nTtgTtxtx )()()(


36


coniugata)(simmetria

(dispari)(dispari))2sin()(1

(pari)MM(pari))2cos()(

1

� segnale reale e periodico di periodo T

�

�

�

)(

*

2/2/ nn

2/

2/ nn

nn

TT nnn

T

T nnn

XX

IdttftxT

I

RdttftxT

R

tx

−

− −−

− −−

=

−=−=−=

===

∫

∫

ϕϕπ

π


37


� Un segnale periodico reale è esprimibile come somma di coseni con frequenze armoniche

)2(cos2

)(

)(� Ricostruzione reale e periodico di periodo T:

10

1

)2()2(0

1

220

nnn

n

n

tfjn

tfjn

n

tfjn

tfjn

tfMR

eMeMR

eXeXXtx

tx

nnnn

nn

ϕπ

ϕπϕπ

ππ

++=

=++=

=++=

∑

∑

∑

∞+

=

∞+

=

−−−

+

∞+

=

−−

−(

( )

)


38


2/ 2 / 22 2

/ 2 / 2

/ 22 2 ( )

/ 2

2

1 1( )

1

n

n m

T T j f tx nT T

n

T j f f t

n n mTn n m n

nn

P x t dt X eT T

X X X e dtT

X

π

π

− −

−

−≠

= = =

= + =

=

∑∫ ∫

∑ ∑∑∫

∑

� Teorema di Parseval per segnali periodici:

2

nX� è la potenza della armonica a frequenza n / T


39SviluppoSviluppo in in serieserie didi Fourier (Fourier ( SdFSdF) )

per per segnalisegnali periodiciperiodici (5/7)(5/7)

� Esempio di sviluppo in serie di Fourier

/ 2 / 22 2

/ 2 / 2

2 / 2 2 / 2

( ) ( )

1( ) 1

2 sin( )

2 2

sin( )sinc( )

sin( )sinc( )

n n

n n

n

T j f t j f tn T

j f j fn

n n

nn

n

x t A rect t nT

AX x t e dt e dt

T T

j fA e e A

T j f T j f

fA A f

T f T

xx

x

τ

τ− π − π

− −τ

− π τ π τ

= −

= = ⋅ =

π τ−= = =− π ππ ττ τ= = π τ

π τ

=

∑

∫ ∫

t

)(tx

Tτ

A

nX

n

•

• •

•

•

••••

• •• •

1X

2X

3X

4X5X

6X

1−X

2−X

3−X

4−X5−X

6−X

0X

τ1

τ2


40

nX

n

•

• •

•

•

••••

• •• •

1 2

1

TF = “fondamentale”

n

2

nn XP =

•

• •

•

•

••••

• •• •

1 2

Spettrodi ampiezza(complessa)

Spettrodi potenza

{ , 0, 1, 2,...}nP n = ± ±

SviluppoSviluppo in in serieserie didi Fourier (Fourier ( SdFSdF) ) per per segnalisegnali realireali e e periodiciperiodici (7/7)(7/7)

F=0 “continua”

nF=0 “armonica n-esima”


41

TrasformataTrasformata didi Fourier (1/6)Fourier (1/6)

� Un segnale x(t) impulsivo ammette una trasformata di Fourier (FT)

FT : }{ +∞<<∞−== ∫+∞

∞−

− f,)t(xFTdte)t(x)f(X ftj π2

FT-1 : }{ +∞<<∞−== −+∞

∞−∫ tfXFTdfefXtx ftj ,)()()( 12π

� X(f) è una rappresentazione di x(t) nel dominio della frequenza (dominio “spettrale”) anziché del tempo


42

TrasformataTrasformata didi Fourier (2/6)Fourier (2/6)

f

M(f)

f

R(f)

f

(f)ϕ

f

I(f)

� FT[x(t)]=X(f) definita da due segnali reali:

� Segnale nel tempo somma di componenti frequenziali infinitesime:

X(f) = R(f) + j I(f) = M(f)e j

∫+=

f

fftj dfefMtx ))(2()()( ϕπ

(f)ϕ


43TrasformataTrasformata didi Fourier Fourier didi segnalisegnali realireali(3/6)(3/6)

)( tx� segnale reale:

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−−= dtfttxjdtfttxfX )2sin()()2cos()()( ππ

)()( fRfR −= )()( fIfI −−=

)()( fMfM −= )()( ff −−= ϕϕ)()( * fXfX −=

� Simmetria coniugata:


44TrasformataTrasformata didi Fourier Fourier didi segnalisegnali realireali(4/6)(4/6)

� Per segnali reali si può fare riferimento alle sole frequenze positive della X(f), che gode di simmetria coniugata

f

M(f)

f

M(f)

f

(f)ϕ

f

(f)ϕ


45TrasformataTrasformata didi Fourier Fourier –– Banda Banda didi un un segnalesegnale didi bandabanda base (4/6)base (4/6)

� Un segnale reale x(t) si dice limitato nella banda [-W,W] se la sua trasformata di Fourier X(f) è identicamente nulla per f ∉[-W,W]

� La quantità W si misura in Hz (o suoi multipli) e costituisce la “Larghezza di Banda” del segnale x(t)

� Poiché X(f)≠0 in un intorno [-W,W] di f=0, il segnale x(t) si dice “segnale di banda base”

-W W f

|X(f)|


46

� Un segnale reale x(t) si dice limitato in banda, con banda 2W centrata intorno alla frequenza f0 (in Hz=1/sec) se: � f0 >W;� X(f) è identicamente nulla per f ∉[- f0-W,- f0 +W]U [f0-W,f0 +W]

� La quantità 2W (Hz) costituisce la larghezza di banda del segnale x(t)

� Poiché X(f)≠0 in un intorno di ±f0 non adiacente all’origine f0, il segnale x(t) si dice “segnale in banda traslata ”.

TrasformataTrasformata didi Fourier Fourier –– Banda Banda didi un un segnalesegnale didi bandabanda base (6/6)base (6/6)

-f0-W -f0 W-f0 -W+f0 f0 f0+W f

|X(f)|


47TrasformataTrasformata didi Fourier e Fourier e TeoremaTeorema didi

ParsevalParseval

� E’ possibile calcolare l’energia di un segnale x(t) mediante la sua trasformata X(f).

� In particolare, vale il seguente risultato noto come “Teorema di Parseval per segnali di energia:

2X(f ) dfx

+∞

−∞

= ∫ε


48

TrasformataTrasformata didi Fourier: Fourier: esempiesempi (1/4)(1/4)

)()( trecttx T=

)(sin)sin(

22)(

22

22

2

2

22

2

2 fTcTfT

fTT

fj

ee

fj

edtefX

Tfj

TfjT

Tt

ftjT

Tftj π

ππ

ππ

ππππ ==

−−=

−==

+−

=

−

−

−∫

essendo )sin(2

zj

ee jzjz

=− −

t2

T−2

T

1

)(tx

)( fX

fT

1−T

1••• •T

2

T

2−

Esempio 1


49


)()( ttx δ= 1)( =fX

t

1

)( fX

f

Esempio 2

ctx =)( )()( fcfX δ=

t

)(txc

f

)( fXc

)(tx

Esempio 3


50


)(2

)(2

)2cos()( 2oo

ftjo ff

Aff

AdtetfAfX ++−== −∞+

∞−∫ δδπ π

t

)(tx )( fX

fof−of

2

A

2

A

( )tfcosA)t(x oπ2=

Esempio 4


51


)()( 1 tuetxt

−

−= τ

τπτ

fjfX

21)(

+=

22241)(

τπτ

ffM

+=

)2()( τπϕ farctgf −=

)(txt

)(tx

t

τ piccolo

f

)()( fXfM =

f)( fM

Esempio 5

τ grande


52

RelazioniRelazioni tempo/tempo/ frequenzafrequenza

� Segnali brevi (in t) banda larga (in f)

� Segnali lunghi (e lenti) banda stretta (in f)

� Segnali rapidamente varianti in t

f

f

t

t

banda larga (in f)


)(tx

)(tx ( )M f

( )M f

53

ProprietPropriet àà delladella trasformatatrasformata didi FourierFourier

� Linearità:( ) ( )x t X f⇔( ) ( )y t Y f⇔

{ ( ) ( )} (linearità)

( ) ( )

FT x t y t

X f Y f

α + β == α + β

� Ritardo: ( ) ( )x t X f⇔ 2{ ( )} ( ) (sfasatura)j fFT x t X f e− π τ− τ =

� Modulazione: ( ) ( )x t X f⇔ 2

0{ ( ) } ( ) (modulazione)oj f tFT x t e X f fπ = −

� Derivazione:

( ) ( ) /y t dx t dt= ( ) 2 ( )Y f j f X f= π


54

TdFTdF didi un un segnalesegnale periodicoperiodico

∑ −=+=n

nTtgTtxtx )()()(

tfj

nn

neXtx π2)( ∑∞+

−∞=

=� SdF:

� TdF: )()( ∑ −=n

nn ffXfX δ

| ( ) |X f

n

| |nX

f

•

•

•• • •• • •

•

� Segnale periodico:


55

ProprietPropriet àà fondamentalefondamentale delladella convoluzioneconvoluzione

� La trasformata di Fourier della convoluzione

� è pari al prodotto delle trasformate

� dove

( ) ( ) * ( )y t x t h t=

( ) ( ) ( )Y f X f H f=

( ) { ( )}Y f FT y t=( ) { ( )}X f FT x t=( ) { ( )}H f FT h t=


56

RispostaRisposta in in frequenzafrequenza didi un un sistemasistema LP (LP (filtrofiltro ))

� Prodotto (in frequenza):

( ) ( ) ( )Y f H f X f=

)( fX )( fY)( fH

∫∞+

−∞=−=

ττττ dthxty )()()(

� Convoluzione (nel tempo):

)(ty)(tx )(th

dfefXfHdfefYtyf

ftj

f

ftj

∫∫ ⋅== ππ 22 )()()()(

)(th : risposta impulsiva del filtro : risposta in frequenza del filtro o funzione di trasferimento del filtro

)( fH


57

FiltraggioFiltraggio analogicoanalogico (1/2)(1/2)

� Meccanismo di filtraggio:

f

)( fX

f

f

)( fH

)( fY

1

� Filtro passa-basso:

� Filtro passa-alto

� Filtro passa-banda

(LP, low-pass)

(HP, high-pass)

(BP, band-pass)

f

)( fH

f

)( fH

f

)( fH

� Filtro


58

FiltraggioFiltraggio analogicoanalogico (2/2)(2/2)

)(th reale )()( fHfH −= ∗� (simmetria coniugata)

� E’ sufficiente conoscere solo per le frequenze positive, perché le f negative si deducono dalla simmetria coniugata

)( fH

f

)( fH

f

)( fϕ


59RispostaRisposta didi un un filtrofiltro al al segnalesegnale

sinusoidalesinusoidale

� Le sinusoidi sono largamente impiegate nelle trasmissioni (esempi: fax, tastiera telefono, GSM, …)

)2cos()( θπ += tfAtx o ))(2cos()()( ooo ftffHAty ϕθπ ++=

)( fH )(ty)(tx

t

of

1

)(2 ofHAA2

t

of

1


60

ProprietPropriet àà dualeduale delladella FTFT

)()()( thtxty = ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )Y f H X f d X f H fσ

= σ ⋅ − σ σ =∫

� Proprietà della FT: alla convoluzione in t corrisponde il prodotto in f

� Proprietà duale: al prodotto in t corrisponde la convoluzione in f

( ) ( ) ( )Y f H f X f=∫∞+

−∞=−=

ττττ dthxty )()()(

� La convoluzione in t aumenta la durata temporale del segnale

� Il prodotto in t aumenta la banda (occupazione in frequenza) delsegnale


61

SpettroSpettro didi un un segnalesegnale didi potenzapotenza

� Spettro di un segnale periodico

� Serie di Fourier o Trasformata di Fourier generalizzata con impulsi matematici

� Spettro di un segnale di energia� Trasformata di Fourier

� Spettro di un segnale di potenza non periodico

� Trasformata di Fourier non definita, neanche generalizzata in termini di sequenza di impulsi matematici

� Necessità di una modalità alternativa per definire lo spettro nel caso di un segnale non di energia e fare una analisi spettrale dei segnali di energia

�Si introduce la funzione di autocorrelazione per un segnale di potenza e lo spettro di densità di potenza


62FunzioneFunzione didi autocorrelazioneautocorrelazione e e spettrospettrodel del segnalesegnale (1/2)(1/2)

� Segnali di energia: reppresentazione alternativa� Funzione di autocorrelazione

� Funzione reale pari con massimo in 0� Per t=0 si ottiene l’energia del segnale x(t)� Trasformata di Fourier è lo spettro di densità di energia

� Dato un filtro con funzione di trasferimento H(f) con ingresso x(t) ed uscita y(t). Lo spettro di densità di energia dell’uscita è dato dalla relazione


/ 2* *

/ 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )limT

xT T

t x t x t x x t d→∞ −

ρ = ∗ − = τ + τ τ∫

{ } 2( ) ( ) ( )x xE f FT t X f= ρ =

2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y xE f Y f H f X f H f E f= = ⋅ = ⋅

63FunzioneFunzione didi autocorrelazioneautocorrelazione e e spettrospettrodel del segnalesegnale (2/2)(2/2)

� Segnali di potenza� Funzione di autocorrelazione

� Funzione reale pari con massimo in 0� Per t=0 si ottiene la potenza del segnale x(t)� Trasformata di Fourier è lo spettro di densità di potenza

� Dato un filtro con funzione di trasferimento H(f) con ingresso x(t) ed uscita y(t). Lo spettro di densità di potenza dell’uscita è dato dalla relazione


/ 2*

/ 2

1( ) ( ) ( )lim

T

xT T

t x x t dT→∞ −

ρ = τ + τ τ∫

{ } 2( ) ( ) ( )x xP f FT t X f= ρ =

2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y xP f Y f H f X f H f P f= = ⋅ = ⋅

64

SegnaleSegnale aleatorioaleatorio ((GaussianoGaussiano ))

� Funzione densità di probabilità di una variabile: esprime la probabilità che la variabile

assume un valore nell’intorno di x

)(xpx

� Densità di probabilità gaussiana:(media nulla, varianza )2σ

2

2

2

22

1)( σ

πσ

x

x exp−

=

� Sono più probabili i valori piccoli e meno probabili i valori grandi (positivi e negativi in ugual misura)

x

)(xpt

)(tx� Segnale aleatorio:


65

SegnaleSegnale aleatorioaleatorio ((GaussianoGaussiano ): ): esempiesempi

� Esempi di segnale con “distribuzione” Gaussiana:� Voce umana � Suoni

� “rumore” caotico (voci da stadio, radio fuori sintonia, …)

� I segnali aleatori sono tipicamente segnali di potenza


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