Telaio Spaziale

7/23/2019 Telaio Spaziale

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UNIVERSITA’ DELLA CALABRIA

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE

CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA EDILE - ARCHITETTURA

CORSO DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI

RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE-Telaio spaziale (metodo rigoroso)-

Prof. G. SPADEA A.A. 2013/2014

I Semestre

Tecnica delle Costruzioni - UNICAL - Dipartimento di Ingegneria Civile - Corso di Laurea in Ingegneria Edile - Architettura – AA 2013-14




TELAIO SPAZIALE

E’ necessario risolvere il problema spaziale quando ricorre una di queste circostanze:

Edifici complessi;

Distribuzione irregolare delle masse e delle rigidezze;

Edifici alti;

Controventi comunque orientati

Problema spaziale: 6 g.d.l. per ogni nodo

ESEMPIO: Edificio con 20 pilastri e 5 piani 6 x 20 x 5 = 600 incognite

Dimensione del problema anche proibita per edifici modesti




TELAIO SPAZIALE

Semplificazione del problema MODELLO PSEUDO-TRIDIMENSIONALE

Le ipotesi che si fanno sono:

Solai infinitamente rigidi nel proprio piano

Pilastri con rigidezza torsionale trascurabile

Consideriamo un impalcato generico:

i=1, N numero di piani

ui

, vi

, θi

componenti di spostamento

al piano i-esimo (impalcato rigido)

Fix, Fiy, mi componenti della forza

applicate all’impalcato i-esimo nel

baricentro delle masse




TELAIO SPAZIALE

Si definiscono i seguenti vettori:

N

Ny

Nx

i

iy

ix

y

x

m

F

F

m

F

F

m

F

F

F

...

...

1

1

1

3N componenti

Vettore delle forze

generalizzate di

piano

N

Ny

Nx

i

iy

ix

y

x

v

u

v

u

v

u

D

...

...

1

1

1

3N componenti

Vettore degli spostamenti

generalizzati di piano




TELAIO SPAZIALE

Consideriamo M telai o controventi comunque disposti

)1( )2(

)( s

)( s

y )( s

x

)( s

y )( s

x )( s

Individuiduano la posizione el’orientamento del controvento s

rispetto al riferimento generale

)()( cos s

x

s

x

)()( cos s y

s y




TELAIO SPAZIALE

Prendiamo in esame il controvento s nel suo piano (riferimento locale)

)(

1

s R

)( s

i R

)( s

N R

)(

1

sd

)( s

id

)( s

N d )( s

i R i= 1, N

Forse applicate al

controvento s in

corrispondenza di ogni piano

e parallele alla direzione s

)( s

id i= 1, N

Spostamenti di piano delcontrovento s paralleli alla

direzione s


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TELAIO SPAZIALE

Si definiscono quindi:

)(

)(

)(

1

)(

...

...

s

N

s

i

s

s

R

R

R

R

Vettore delle forze applicate al

controvento s nel suo piano

)(

)(

)(

1

)(

...

...

s

N

s

i

s

s

d

d

d

d

Vettore degli spostamenti di piano

del controvento s nel suo piano

Quindi ogni controvento può essere studiato come una struttura piana qualora

siano note le sue caratteristiche geometriche e le forze ad esso applicate


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TELAIO SPAZIALE

Se si impone al controvento s uno spostamento unitario al piano i-esimo e zero agli

altri piani, si può determinare il sistema di forze che provoca, per il controvento stale campo di spostamenti.

1)( s

id

)(

1

s

i R

)( s

ii R

)( s

Ni R

)( s

ji R

Si determinano assegnate le

caratteristiche delcontrovento, mediante un

metodo di risoluzione dei telai

piani

S=1,M – Indice controvento

j=1,N – Indice di piano

i=1,N – Indice del piano al quale si

impone lo spostamento unitario

- Coefficienti di influenza




TELAIO SPAZIALE

La forza risultante agente al piano i-esimo del controvento s può essere espressa come

somma dei prodotti dei coefficienti di influenza per i rispettivi spostamenti di piano.

N

j

j

s

ij

s

i d R R1

)()(

)()(1)()(1)(1)(11)(1 ...... s N s N si si s s s d Rd Rd R R

)()()()()(

1

)(

1

)( ...... s

N

s

iN

s

i

s

ii

s s

i

s

i d Rd Rd R R

)()()()()(

1

)(

1

)( ...... s

N

s

NN

s

i

s

Ni

s s

N

s

N d Rd Rd R R

...

...




TELAIO SPAZIALE

Il precedente sistema di equazioni con notazione matriciale diventa:

)()()(

1

)()()(

1

)(

1

)(

1

)(

11

)(

......

...............

......

...............

......

s

NN

s

Ni

s

N

s

iN

s

ii

s

i

s

N

s

i

s

s

R R R

R R R

R R R

K

Matrice di rigidezza laterale della struttura s (controvento) per spostamenti nel suo

piano. Tale matrice è da interdersi nel riferimento locale del controvento

N x 1 N x N N x 1

)()()( s s s d K R




TELAIO SPAZIALE

Vettore delle componenti delle forze applicate al controvento s nel riferimento globale.

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

1

)(

1

)(1

...

...

s

N

s

Ny

s

Nx

s

i

s

iy

s

ix

s

s

y

s x

m

F

F

m

F

F

m

F

F

F

3N componenti

)(

1

)()(

1

s s

x

s

x R F

)(

1

)()(

1

s s

y

s

y R F

)(

1

)()(

1

s s s Rm

...

)()()( s

i

s

x

s

ix R F

)()()( s

i

s

y

s

iy R F )()()( s

i

s s

i Rm

)()()( s

N

s

x

s

Nx R F

)()()( s

N

s

y

s

Ny R F )()()( s

N

s s

N Rm

...

)( s

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x

)( s

)( s

i R)( s

iy F

)( s

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)( s

im



)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

0...00

0...00

0...00

0...00

0...00

0...00

...............

00...0

00...0

00...0

00...0

00...0

00...0

s

s

y

s

x

s

s

y

s

x

s

s y

s

x

s

s

y

s

x

S A

Relazione che fornisce il vettore

a 3N componenti come

prodotto della matrice

di 3N righe ed N colonne per il

vettore a N componenti.


TELAIO SPAZIALE

Definiamo la matrice di trasformazione del controvento s:

)(

)(

)(

)(

)(

0000

0000

...............

0...00

00...0

S

S

S

S

S A

3N x N

)(

)(

)(

)(

s

s

y

s

x

s

Si può scrivere quindi:

)( s F )( s A

)()()( s s s R A F

)( s R




TELAIO SPAZIALE

Per quanto riguarda gli spostamenti, è necessario, assegnati gli spostamenti di piano u i,

vi, θi (nel riferimento globale), calcolare gli spostamenti dsi nella direzione del

controvento s (nel riferimento locale).

)( s

)( s

y )( s

x

)( s

i

iv

iu

)( s

xi

u

)( s yiv

ui, vi, θi – Sono uguali per ogni

punto del piano, essendo i solai

infinitamente rigidi nel proprio

piano (ipotesi di base).

1

)(

1

)(

1

)()(

1 s s

y

s

x

s vud

i

s

i

s

yi

s

x

s

i vud )()()()(

N

s

N

s

y N

s

x

s

N vud )()()()(

...

...




TELAIO SPAZIALE

Indichiamo con:

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)(

000...00

0000...0

...........................

0...0000

0......000

s s

y

s

x

s s

y

s

x

s s

y

s

x

s s y

s x

T S A

Matrice a N

righe ed 3N

colonne

Si può scrivere: D Ad T s s

)()()(

)( sd

D

)()( T s A

Vettore a N componenti

Vettore degli spostamenti dell’impalcati (3N componenti)

Matrice ad N righe e 3N colonne




TELAIO SPAZIALE

)(1)()( s s s F A R

D A K d K R T s s s s s )()()()()(

D A K F A T s s s s

)()()(1)(

D A K A F T s s s s )()()()(

T s s s s A K A K )()()()( matrice di rigidezza

del controvento s

nel riferimento globale

M

j

s F 1

)( )( s F M vettori, ciascuno a 3N componenti

D K F M

j

s

1

)(




TELAIO SPAZIALE

Quindi: D K F

M

j

s

1

)(

Indicando con:

M

j

s

K K 1

)( Matrice di rigidezza dell’edificio.

Somma delle matrici di rigidezzadei singoli controventi nel

riferimento globale

F K A K D A K R T s sT s s s 1)()()()()(

Determinato si possono ricavare le forze da applicare al controvento s: D

D K F F K D 1

Può essere portato fuori dal

segno di sommatoria, essendo

il vettore degli spostamenti

generalizzati di piano uguale

per gli M telai

D




TELAIO SPAZIALE

Definiamo: 1)()()( K A K T s s s )( s matrice diripartizione delle

forze esterne per la

struttura s. Dipende

dalle caratteristiche

di rigidezza del

controvento s, dalla

sua posizione rispettoal riferimento e dalla

rigidezza totale della

struttura

F R s s

)()(

F Vettore delle forze

sismiche

generalizzate




RIPARTIZIONE DELLE FORZE SISMICHE-Telaio spaziale (applicazione)-




TELAIO SPAZIALE

Per calcolare il baricentro

delle masse (Gm) si fa

riferimento all’effettiva

distribuzione delle masse.

xj

j xj

k

yi

i yik

k

yk y

k

xk x

yik Rigidezza dell’i-esimo

telaio diretto secondo y

xjk Rigidezza del j-esimo

Telaio diretto secondo x

i x Distanza dell’i-esimo

telaio rispetto ad y

j y Distanza del j-esimo

telaio rispetto ad x

O j ,1

V i ,1

Consideriamo il generico piano p

mk y y ye

mk x x xe

Baricentro delle rigidezze (Gk)

i

ii

mW

xW x

i

ii

mW

yW y




TELAIO SPAZIALE

La forza da applicare a ciascuna massa della costruzione è:

N iii

iihi

W z

W z F F

,1

Fh tagliante alla base

Wi peso dell’i-esima massa di piano

zi quota rispetto al piano fondale

Fi forza da applicare all’i-esima

massa di piano

E’ applicata nel baricentro

delle masse di ogni impalcato

Va considerata in ambo i versi.

Il valore è analogo in

entrambe le direzioni essendo

lo spettro orizzontale uguale

W g

T S F d h

)(1

Fh tagliante alla base

λ coefficiente pari a 0,85 se la costruzione ha

meno di tre orizzontamenti e se T1 < 2TC,pari ad 1,0 in tutti gli altri casi

W peso complessivo della costruzione

Sd (T1) ordinata dello spettro di progetto




TELAIO SPAZIALE

Taglianti di piano:

11 N N N

N N

F T T F T

A ogni piano prendiamo l’origine degli assi coincidente con il baricentro delle rigidezze,

applichiamo alternativamente i taglianti in direzione x ed in direzione y e valutiamo

separatamente gli effetti. Quando applichiamo il tagliante in direzione x, il tagliante al p-esimo

piano, del j-esimo telaio in direzione x è:

)(

)()(

)()(

p X c

KY c

KX

y j xj

xj

xj p xj T

I I

e y K

K

K T

il tagliante al p-esimo piano, al j-esimo telaio in direzione y è:

)()()(

)( )( p X c

KY c

KX

yi yi p yi T

I I

e x K T

Noti i taglianti ci ricaviamo le forze di piano che sono pari ai gradini del diagramma di taglio.

Quando applichiamo il tagliante in direzione y, i taglianti ai vari piani si ottengono dalle formule

appena viste, scambiando tra loro gli indici x e y.

i

T Tagliante al piano i-esimo

i F Forza al piano i-esimo

2)(

j xj

c

KX y K I

2)(

i yi

c

KY x K I

Telaio Spaziale

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