Telaio metodo matriciale ( Fabio di Trapani )

7/25/2019 Telaio metodo matriciale ( Fabio di Trapani )

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RISOLUZIONE DI UN TELAIO CON IL METODOMATRICIALE

Si ringrazia lIng. Fabio Di Trapani per la collaborazione alla redazione del presente documento.

Universit degli Studi di PalermoFacolt di Ingegneria

Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica

a.a. 2005- 2006


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Dati e considerazioni preliminari

DATI

Aste di sezione rettangolare aventitutte le dimensioni:

mm300B mm600H Area

2180000mmAMomento dinerzia

43 mm540000000060030012

1I

Coeff. Dilatazione termica16 C00001,01010

Modulo Elastico

MPaRE CKc 312205700 2N/mm30CKR

Effettuata la numerazione dei nodi e delle

aste, si posiziona il sistema di riferimento

globale O(X,Y) e i sistemi di riferimento

locali i( y, ) in modo che questi possano

sovrapporsi al primo in verso attraverso una

rotazione oraria o antioraria.

Il posizionamento dei sistemi di riferimento

locali definito attraverso le seguenti tabelle

in cui sono denominati con i e k gli estremi

dellasta j

646

435

324

423

212

151

kestr.i.estrasta

l

EI4

l

EI60

l

EI2

l

EI60

l

EI6

l

EI120

l

EI6

l

EI120

00l

EA00

l

EAl

EI2

l

EI60

l

EI4

l

EI60

l

EI6

l

EI120

l

EI6

l

EI120

00l

EA00

l

EA

K

22

2323

22

2323

j

La risposta del sistema nota una volta noti gli spostamenti generalizzati

dei nodi 1, 2, 3, 4.Il telaio in esame costituito da aste canoniche ossia

aste che non presentano discontinuit interne, sono dunque gi note le

espressioni delle rigidezze.

La matrice di rigidezza della generica asta assume pertanto la formaseguente:

Valori di rigidezza assiale,flessionale, a taglio.

3kiik

kiik

ki,aik,a

lEI12VV

l

EI4

l

EA

5 6

1 2

3

4

P= 40 KN

F= 30 KN P

20C

40C

2500

2500

1000

2000 2000 4000

2500

1

2

3

4

5

6

X

Y

5 6

1 2

3

4

5 6

1=O 2

3

4


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La matrice di trasformazione)j(

della j-esima asta, che consente la rotazione del sistema di riferimento

globale a quello locale data da:

l00

0xx)yy(

0yyxx

l1 ikik

ikik

)j(

Calcolo delle matrici di rigidezza, delle matrici di trasformazione e delle forze diincastro perfetto.

Si calcolano la matrice di rigidezza e matrici di trasformazione, inoltre si calcolano i vettori delle forze di

incastro perfetto relative a ciascuna asta, al fine di definire il sistema risolvente finale.

Le matrici di rigidezza sono ottenute mettendo a fattor comune il modulo elastico Ec

Le calcolazioni hanno fornito i seguenti risultati.ASTA 1 (estremi 5-1)

mm3500l1

Matrice di rigidezza

57,6171428

9,264451,1

0043,51

29,30857149,2644057,6171428

89,264451,1089,264451,1

0043,510043,51

)1(

11

)1(

15

)1(

51

)1(

55)1(

SYM

EKK

KKK c

Matrice di trasformazione

100

001

010

3500

1

350000

003500

035000)1(

Lasta 1 non presenta carichi in campata e pertanto il vettore delle forze di incastro perfetto nullo.

ASTA 2 (estremi 1-2)mm4000l2


5400000

202501,1

0045

2700000202505400000

202501,10202501,1

00450045

)2(

22

)2(

21

)2(

12

)2(

11)2(

SYM

EKK

KKK c


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100

010

001

4000

1

400000

040000

004000)2(

II

Vettore delle forze dincastro perfetto

Convenzione della Scienza delle Costruzioni.

2

2lba

Nmm200000008Pl

l2

lP

lbPa

Nmm200000008

Pl

l

2

lP

l

Pab

2

2

3

2

2

2

2

21

2

2

3

2

2

2

2

12

Convenzione del Cross.

N200002

PTT

Nmm200000008

Pl

1221

212

0NN

Nmm200000008

Pl

1221

221

Per le date condizioni di carico non sorgono sforzi normali

20000000

20000

020000000

20000

0

ff

)2(

2,0

)2(

1,0 [N-mm]

P= 40 KN

21

P= 40 KN

20002000

y

x

P/2 P/2

Pl/8 Pl/8

a b


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ASTA 3 (estremi 2-4)


68,4579181

17,145662,0

0016,38

84,228959017,1456068,4579181

17,145662,0017,145662,00016,380016,38

)3(

44

)3(

42

)3(

24

)3(

22)3(

SYM

EKK

KKK c


1000848,0530,0

0530,0848,0

4717

1

471700040002500

025004000)3(


Il carico P si viene scomposto nelle sue componenti Pne P t , rispettivamente normale e parallela allasse

della trave. Ci consente di calcolare le forze di incastro perfetto per sovrapposizione degli effetti

provenienti dai due schemi.

N21200sinPP

N33920cosPP

324000

2500arctg

t

n

Valutazione degli effetti di Pn

mm176929484717b

mm2948

cos

2500a

Convenzione della Scienza delle Costruzioni

Nmm49,14063947l

abP2

3

2

n24 Nmm40,234372622

3

2

42 l

baPn

Convenzione del Cross

Nmm49,1406394724 Nmm40,2343726242

mm4717yyxxl 2422

423

P

2500

2

4a

Pn

Pt

42

a

Pn = 33,92 KN

a b

4717 mm

4000

2500


6/17

Per la valutazione dei tagli dincastro perfetto si scrive unequazione di equilibrio alla rotazione con

riferimento ai momenti noti( vedasi figura seguente) seguita da unequazione di equilibrio alla traslazione

verticale.

049,140639474,234372622948339204717TaPb)(aT 424242n42

N24,23186T42

NPTTPTT nn 76,107333392024,231860 42244224

Alla Cross

N76,10733T42 N24,23186T42

Valutazione degli effetti di Pt

Pt

a b

2

Lo schema risulta una volta iperstatico per le date condizioni di carico.

Per determinare gli sforzi normali di incastro perfetto che sorgono agli estremi 2 e 4 si applica il metodo

delle forze, dopo aver svincolato uno dei due estremi.

Lequazione di congruenza allestremo 2 :

0)P()N( tx,224x,2

ed essendo:

EA

bP)P(

EA

)ba(N)N(

ttx,2

2424x,2

si ha:

N56,7950ba

bPN0

EA

bP

EA

)ba(N t24

t24

Per calcolare 42N sufficiente scrivere unequazione di equilibrio alla traslazione orizzontale:

N44,13243NPN0NPN 24t4242t24

42

a b

N 24

Y

X

P t= 21,20 KN

Pn42

T24 T42

24

a b


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Gli sforzi normali sopra calcolati sono gi alla cross per come sono state concepite le equazioni diequilibrio

Il vettore delle forze di incastro perfetto pertanto il seguente:

4,23437262

24,23186

44,13249

49,14063947

76,10733

56,7950

f

f)3(

4,0

)3(

2,0 [N-mm]



)3(

)4(

33

)4(

32

)4(

23

)4(

22)4(

KKK

KKK

Matrice di trasformazione [mm]

100

0848,0530,0

0530,0848,0

4717

1

471700

040002500

025004000)4(


La presenza di un carico termico trapezoidale induce al calcolo delle forze di incastro perfetto per

sovrapposizione degli effetti mediante due schemi, uno con un carico termico uniforme laltro con un

carico termico a farfalla ( vedasi figura sotto ).

40C

20C

2

3

l

2 3

30 C

30 C

+10 C

-10 C

32

a)

b)


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Schema (a)

Lo schema (a) per la presenza del carico termico uniforme, risulta una volta iperstatico a sforzo normale.

Si risolve utilizzando nuovamente il metodo delle forze con i versi positivi alla Cross.

Lequazione di congruenza allestremo 2 :

0)t()N( x,223x,2 ;e calcolando gli spostamenti:

tl)t(

EA

lN)N(

4x,2

42323x,2

N1685880tEAN0tlEA

lN234

423

Per il calcolo di 32N sufficiente scrivere unequazione di equilibrio alla traslazione orizzontale.

N1685880tEANN0NN 23323223

Schema (b)

Per risolvere lo schema (b) si utilizza lanalogia del Mohr abbinata al metodo delle forze.

Svincolando lo schema che si presenta il seguente:

X1

2 3

-10C

+10C

X2

Lequazione di congruenza :

0)t()X()X(22212

Che sufficiente a risolvere il problema poich per simmetria di carico si ha:

XXX 21

E noto che:

EI6

Xl)X(

EI3

Xl)X(

422

412

Le rotazioni prodotte dal carico termico si valutano attraverso lanalogia di Mohr. Le curvature che sigenerano sono negative, costanti e pari a 2aDt/H, pertanto il carico sulla trave ausiliaria positivo e

costante (vedasi figura).

X

Y

N23

23

30

30


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2 3

32

( - ) 2 t/H

l t/Hl t/H

Il valore della rotazione allestremo 2, coincidente con il taglio sulla trave di Mohr :

HEI

tl)t( 42

Infine:

H

tEI2X0

H

tl

EI6

Xl

EI3

Xl3223

444

Secondo la convenzione del Cross:

Nmm5619600H

tEI223 ; Nmm5619600

HtEI2

32

Il momento costante lungo la trave e pertanto non sorgono sforzi di taglio.

Il vettore delle forze di incastro perfetto allora il seguente:

56196000

0

1685880

56196000

0

1685880

f

f)4(

3,0

)4(

2,0 [N-mm]


Matrice di rigidezza [N-mm]

4320000

129652,00036

2160000129604320000

129652,00129652,0

00360036

)5(

44

)5(

43

)5(

34

)5(

33)5(

SYM

E

KK

KKK c


100

001

010

5000

1

500000

005000

050000)5(

Lasta 5 non presenta carichi in campata e pertanto il vettore delle forze di incastro perfetto nullo.


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Matrice di rigidezza [N-mm]

21600000

3240080,64

00180

1080000032400021600000

3240080,6403240080,64

0018000180

)6(

66

)6(

64

)6(

46

)6(

44)6(

SYM

EKK

KKK c


100

001

010

1000

1

100000

001000

010000)6(

Anche lasta 6 scarica in campata e non sorgono forze di incastro perfetto.


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Sistema risolvente

Il sistema risolvente che rappresenta in forma matriciale unequazione di equilibrio nella quale sono

incogniti gli spostamenti generalizzati ha la forma:

fFK

ed cos composto:

)3(

4,0

)4(

3,0

)4(

2,0

)3(

2,0

)2(

2,0

)2(

1,01

4

3

2

1

)6(

44

)5(

44

)3(

44

)5(

43

)3(

42

)5(

34

)5(

33

)4(

33

)4(

32

)3(

24

)4(

23

)4(

22

)3(

22

)2(

22

)2(

21

)2(

12

)2(

11

)1(

11

f

f

fff

f

0

0

0

F

KKKKK0

KKKK0

KKKKKK

00KKK

4

3

2

1

Tale sistema ha valore nel sistema di riferimento globale e pertanto necessario convertire le grandezze

in precedenza calcolate e riferite ai sistemi locali delle aste.

I sottoblocchi da cui composta la matrice di rigidezza globale sono prelevati dalle matrici di rigidezza

locali delle aste e vengono inseriti dopo la conversione che avviene tramite le rispettive matrici di

trasformazione nel seguente modo (es. sottoblocco)1(

11K ):

)1()1(

11

T)1()1(

11KK

Anche i vettori delle forze di incastro perfetto locali devono essere riferiti al sistema globale, ad esempio

per il vettore)2(

1,0f si ha :

)2(

1,0

T)2()2(

1,0 ff

Il vettore dei carichi nodali invece direttamente valutato nel sistema di riferimento globale:

0

0

0

F

F

1

;

0

0

30000

F1

Attraverso linversione della matrice di rigidezza globale si risale al vettore degli spostamenti incogniti.

000013,0

009905,0

029403,0

000062,0

000661,0

025834,1

000141,0

562204,0

269681,0000064,0

015157,0

236610,0

)fF(K 1

4

3

2

1


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Calcolo delle sollecitazioni di estremit. Verifica dellequilibrio

Una volta ricavati gli spostamenti nel sistema di riferimento globale necessario, valutare le loro

componenti nei singoli sistemi locali. Ci allo scopo di determinare le sollecitazioni)j(

iS , )j(

kS di

estremit di ciascuna asta in funzione dei suoi spostamenti, valutati nel sistema locale attraverso

lespressione:

)j(

k,0

)j(

i,0

)j(

k

)j(

i)j(

kk

)j(

ki

)j(

ik

)j(

ii)j(

k

)i(

i

f

f

KK

KK

S

S

Ad esempio per lasta 1 si ha:

0

00

KK

KK

S

S)1(

1

)1(

11

)1(

15

)1(

51

)1(

55)1(

1

)1(

5

per lasta 2 :

)2(

2,0

)2(

1,0

)2(

2

)2(

1)2(

22

)2(

21

)2(

12

)2(

11()2

2

)2(

1

f

f

KK

KK

S

S

e cosi via per le altre aste.

Si riportano di seguito i valori di sollecitazione delle aste accompagnati da una verifica di equilibrio.

I valori delle sollecitazioni di estremit, che nei vettori di sollecitazione sono espressi in [N-mm], sono

espressi nelle figure e nei calcoli di verifica in in [KN-m] per questioni di spazio.

ASTA 1

31900933

16463

24336

25719406

16463

24336

S

S)1(

1

)1(

5 [N-mm]

Verifica:

Equilibrio alla rotazione attorno al punto 5:

01,050,346,1690,3172,25 OK

1

5

X

Y

24,33

16,46

31,90

25,72

16,46

24,33

[KN-m]


13/17

ASTA 2

14556451

15664

46461

31900923

24336

46461

S

S

)2(2

)2(

1[N-mm]

Verifica

Equilibrio alla traslazione verticale: 4099,3966,1533,24 OKEquilibrio alla rotazione attorno al punto 1: 01,0466,1555,142409,31 OK

ASTA 3

63838810

42255

59826

35480082

8335

38626

)3(

4

)3(

2

S

S [N-mm]

Verifica

Equil. alla trasl. X : 1310cos83,59sin25,42sin33,8cos63,38 OK

Equil. alla trasl. Y : 5108sin83,59cos25,4240cos33,8sin63,38 OKEquil. alla rotaz. attorno al punto2 : 026,072,425,4284,6350,24048,35 OK

40 KN

X

Y

1 2

46,46

24,33

31,90

15,66

46,46

14,55

[KN-m]

[KN-m]

4

2

XY

40 KN

32

38,63

8,33

35,48

42,2563,84

59,83


14/17

ASTA 4

47844086

46521664

50036543

465

21664

S

S)4(

3

)4(

2 [N-mm]

Verifica

Equilibrio alla rotazione attorno al punto 2: 03,0717,446,084,4704,50 OK

ASTA 5

42778281

18124

11876

47844076

18124

11876

S

S)5(

4

)5(

3 [N-mm]

Verifica

Equilibrio alla rotazione attorno al punto 3: 02,0512,1878,4284,47 OK

ASTA 6

25401317

46462

5566421060520

46462

55664

)6(

6

)6(4

S

S [N-mm]

Verifica: Equilibrio alla rotazione attorno al punto 4

0146,4640,2506,21 OK

3

2

X

Y32

0,46

21,66

50,04

0,4621,6

47,84

[KN-m]

[KN-m]

[KN-m]

3

4

X

Y

11,87

47,84

18,12

18,12

11,87

42,78

25,40

55,66

46,46

46,46

21,06

55,66

Y

X

6

4


15/17

DIAGRAMMI DELLE SOLLECITAZIONI

SFORZO NORMALE [KN]

-Compressione+Trazione

TAGLIO [KN]

Convenzione per itagli positivi

-46,46

-24,

34

-38,63

-59,83

-21,6

6

+11,8

7

-55,66

+46,46

+18,

12

+0,46

-42,25

-8,33

-16,

46

-15,66

+24.33


16/17

MOMENTO FLETTENTE [KNm]

Convenzioneper i momentipositivi

Verifica di equilibrio ai nodi

NODO 2

01,055,1448,3504,50 OK

NODO 4

006,2178,4284,63 OK[KN-m]

[KN-m]

31,90

3

5,40

25,72

14,55

50,0

4

4

7,84

42,78

63

,84

21,06

25,40

2

50.04

14,55

35,48

4

42,78

63,84

21,06


17/17

Verifica dellequilibrio globale

F= 30 KN

P= 40 KN

P= 40 KN

16,46

24,34

25,72

5 6

25,40

46,46

55,66

Equil. alla trasl.lungo X: 046,4646,1630 OK

Equil. alla trasl.lungo Y: 066,5534,244040 OK

Equil. rotaz. att.al p.to 5: 004,040,25866,555,6402405,33072,25 OK

Deformata

3'3

4'

4

6

2'

2

5

1' 1

Telaio metodo matriciale ( Fabio di Trapani )

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