Es. 1

Come prima cosa conviene calcolare le correnti di fase e diquadratura dei due carichi

If Iq

Carico 2 34,00 21,07

Carico 3 54,00 26,15

Totale 88,00 47,22La corrente totale della linea da 120 m è data daJ=√I ft2 + I qt2 =√882+47,222=99,87 A .

Per calcolare la distanza d che permetta di eguagliare i momenti aperometrici tra i due carichi ed un carico solo si deve procedere con una media pesata sulle distanze,

ovvero d=I f2 lB2+ I f3 lB3I f2+ I f3

=34⋅20+54⋅15

34+54=16,93m≈17m .

Il circuito può, adesso, essere rappresentato come segue.

Si possono così ottener i seguenti momenti aperometrici in fase e in quadratura.

M ft=I ft( lAB+d)=88,00(120+17)=12056,00 Am ,M qt=I qt (lAB+d)=47,22(120+17)=6469,14 Am

Mediante la formula Δ Et=ρ

SM ft+x lM qt , si può

determinare la sezione che permetterà di ottenere una caduta di tensione inferiore a quella consigliata dalla norma CEI 64/8.

La formula verrà così modificata S=ρM ft

Δ E t−x lM qt

.

Per poter utilizzare la formula precedente è necessario ottenere alcuni dati:

Δ E=ΔU

√3dove ΔU=

ΔU%100

U , nel caso specifico,

impostando ΔU%=4 % si ottiene ΔU=16V eΔ Et=9,24 V .

Il valore di ρ dovrà essere portato alla temperatura di funzionamento del cavo, che nel caso specifico risulta essere di 70°C.

ρ=ρ20

234,5+T f254,5

=0,0178234,5+70

254,5=0,0213

Ωmm2

m.

1 di 8

2

3

Non avendo informazioni in merito, si può ipotizzare che la reattanza unitaria di linea venga fissata a x l=0,1 Ω

kmin quanto dipendente in modo limitato dalla sezione del cavo.

Si ottiene così una sezione di S=ρM ft

Δ E t−xlM qt

=0,0213⋅12056,00

9,24−0,1⋅6,46914=29,9mm2 . Da porre

attenzione alle unità di misura utilizzate. Al numeratore le quantità sono state espresse in metri, mentre al denominate le quantità sono state espresse in chilometri.

La sezione commerciale disponibile risulta di 35 mm².

Da tabelle, un cavo da 35 mm² ha una portata di I 0=110 A , tale valore dovrà poi essere corretto con il fattore K1 e K 2 , rispettivamente per la temperatura e circuiti adiacenti. Nel caso specifico si ottengono i seguenti valori K 1=1 e K2=1 . Con valori unitari si ha che la portata finale del cavo risulta pari alla portata del cavo ricavata da tabella I z=I 0=110 A .

La verifica amperometrica si ottiene constando la veridicità della disequazione I z> I b . Il valore di I b , nel nostro caso, risulta essere uguale a I b=J quindi I z>J=110>99,87 , che risulta essere veritiera.

Per il dimensionamento delle linee derivate ai carichi si deve innanzitutto calcolare la caduta di tensione sul primo tratto di linea ( 120 m ). Per ottenere tale dato è necessario ricalcolare i momenti aperometrici M fAB=I ft lAB=88,00⋅120=10560,00 Am ,M qAB=I qt lAB=47,22⋅120=5666,40 Am .

Per un cavo di sezione 35 mm² i valori di resistività e induttanza risulta essere di rl20=0,514 Ω

km

L=0,322mHkm

che calcolati alle condizioni di funzionamento risultano di

rl=r l20

234,5+T f254,5

=0,514234,5+70

254,5=0,615 Ω

kme x l=Lω=0,322⋅10−3

⋅2π⋅50=0,101 Ωkm

.

La caduta di tensione alla prima derivazione risulta quindi diΔ EAB=rlM ft+xlM qt=0,615⋅10,56+0,101⋅5,67=7,07V .

La caduta di tensione totale è data dalla somma vettoriale Δ Et=ΔE AB+Δ EB2 . Considerando però che la differenza di fase tra le due cadute di tensione Δ EAB Δ EB2 risulta essere piuttosto piccola, si può valutare la somma vettoriale uguale ad una somma scalare ottenendo quindiΔ Et=ΔE AB+Δ EB2 che permette di calcolare la caduta di tensione disponibile sul tratto diramatoΔ EB2=Δ E t−Δ EAB=9,24−7,07=2,17V .

Una ulteriore approssimazione può essere fatta considerando il fatto che, essendo una linea corta, la caduta di tensione dovuta alla reattanza della linea risulta essere piccola e quindi trascurabile. La formula della caduta di tensione risulta quindi Δ EB2=

ρ

SM f2 . Il momento amperometrico di fase

del carico 2 risulta pari a M f2=I f2 lB2=34⋅20=680 Am

Si ricava quindi la sezione per il tratto derivato del carico 2 mediante

SB2=ρM f2

ΔEB2=

0,0213⋅6802,17

=6,67mm2 , che porta ad una sezione commerciale di 10 mm².

Poiché la caduta di tensione del tratto AB risulta essere uguale ad entrambi i carichi si può dedurre

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che la caduta di tensione del tratto B3 dovrà essere uguale alla caduta di tensione del tratto 2BΔ EB3=Δ EB2 . Il momento amperometrico di fase del carico 3 risulta pari aM f3=I f3 lB3=54⋅15=810 Am che determina quindi un sezione del tratto derivato pari a

SB3=ρM f3

Δ EB3=

0,0213⋅8102,17

=7,95mm2 , la sezione commerciale utilizzabile risulta essere di 10

mm².

A questo punto è necessario procedere alla verifica amperometrica delle condutture derivate che risulta essere di I 0=50 A per il cavo; mantenendo i coefficienti ricavati precedentemente, si ottiene che la portata totale della conduttura risulta essere di I z=50 A .

Tale portata verifica la disequazione per il carico 2, mentre non è sufficiente per il carico 3. Per quest'ultimo carico sarà quindi necessaria una derivazione con cavo di sezione 16 mm². La verifica della caduta di tensione non risulta necessaria in quanto tale valore sarà sicuramente minore considerando che la resistività di un conduttore risulta essere inversamente proporzionale alla sezione, quindi, aumentando la sezione diminuisce la resistenza, la quale fa diminuire la caduta di tensione, verificando quindi il limite imposto all'inizio dei calcoli.

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Es. 2

Carico 1

Da tabelle si ricava

η cos(φ) Ku Kc

0,86 0,86 0,75 1Si ottiene quindi la potenza totale convenzionale mediante la formula

P1=NPnη KuK c=1

7,5⋅103

0,86⋅0,75⋅1=6,54kW

Dalla potenza convenzione si ottiene la corrente assorbita dal carico 1

I1=P1

√3U cos(ϕ1)=

6,54⋅103

√3⋅400⋅0,86=10,98 A .

Che trasformata in momento in fase e quadratura diventa

I f1=I 1 cos(ϕ1)=10,98⋅0,86=9,44 AI q1=I 1 sen (ϕ1)=10,98⋅0,51=5,60 A

Carico 2

La potenza è già stata espressa in potenza convenzionale totale; si deve quindi calcolare solamente la corrente in fase e in quadratura.

I2=P2

√3U cos(ϕ2)=

15⋅103

√3⋅400⋅0,75=28,87 A .

Che trasformata in momento in fase e quadratura diventa

I f2=I 2cos(ϕ2)=28,87⋅0,75=21,65 A I q2=I 2 sen(ϕ2)=28,87⋅0,66=19,05 A .

Carico 3

Da tabelle si ricava

η cos(φ) Ku Kc

0,79 0,76 0,75 0,7Si ottiene quindi la potenza totale convenzionale mediante la formula

P3=NPnη KuK c=5

3⋅103

0,79⋅0,75⋅0,7=9,97kW

Dalla potenza convenzione si ottiene la corrente assorbita dal carico 3

I3=P3

√3U cos (ϕ3)=

9,97⋅103

√3⋅400⋅0,76=18,93 A .

Che trasformata in momento in fase e quadratura diventa

4 di 8

I f3=I3 cos(ϕ3)=18,93⋅0,76=14,39 A I q3=I3 sen (ϕ3)=18,93⋅0,65=12,30 A .

Si devono quindi trasformare i carichi 2 e 3 in un unico carico a distanza d dalla barra di distribuzione C. La distanza d, media pesata sulle correnti, è data da

d=I f2 lC2+I f3 lC3I f2+I f3

=21,65⋅20+14,39⋅50

21,65+14,39=31,98m≈32m .

La corrente in fase e in quadratura del tratto BC risultano essereI fBC=I f2+ I f3=21,65+14,39=36,04 A I qBC=I q2+ I q3=19,05+12,30=31,35 A che porta ad una

corrente totale J BC=√I fBC2+ I qBC

2=√36,042

+31,352=47,77 A ; tale valore dovrà essere poi

utilizzato per la verifica amperometrica del cavo.

Essendo il carico 1 direttamente collegato alla barra B si deve procedere con il metodo dei momenti amperometrici.

M f1=I f1 lAB=9,44⋅150=1426 AmM q1=I q1 lAB=5,60⋅150=840 Am

M f23=I fBC(lAB+lBC+d)=36,04⋅(150+200+32)=13767,28 AmM q23=I fBC(lAB+lBC+d )=31,35⋅(150+200+32)=11975,70Am .

A questo punto è possibile sommare i momenti amperometrici, in quanto risultano essere orientati nella stessa direzione.

M ft=M f1+M f23=1426+13767,28=15193,28 AmM qt=M q1+M q23=840+11975,70=12815,7 Am .

Mediante la formula Δ Et=ρS ABM ft+x lM qt , si può determinare la sezione, del tratto AB, che

permetterà di ottenere una caduta di tensione inferiore a quella consigliata dalla norma CEI 64/8.

La formula verrà così modificata S AB=ρM ft

Δ E t−xlM qt

.

Per poter utilizzare la formula precedente è necessario ottenere alcuni dati:

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Δ E=ΔU

√3dove ΔU=

ΔU%100

U , nel caso specifico, impostando ΔU%=4% si ottiene

ΔU=16V e Δ Et=9,24 V .

Il valore di ρ dovrà essere portato alla temperatura di funzionamento del cavo, che nel caso

specifico risulta essere di 90°C. ρ=ρ20

234,5+T f254,5

=0,0178234,5+90

254,5=0,0227

Ωmm2

m.

Non avendo informazioni in merito, si può ipotizzare che la reattanza unitaria di linea venga fissata a x l=0,1 Ω

kmin quanto dipendente in modo limitato dalla sezione del cavo.

Si ottiene così una sezione di S AB=ρM ft

Δ E t−x lM qt

=0,0227⋅15193,28

9,24−0,1⋅12,8157=43,34mm2 . Da porre

attenzione alle unità di misura utilizzate. Al numeratore le quantità sono state espresse in metri, mentre al denominate le quantità sono state espresse in chilometri.

La sezione commerciale disponibile risulta di 50 mm².

Da tabelle, un cavo da 50 mm² ha una portata di I 0=130 A , tale valore dovrà poi essere corretto con i fattori K1 e K 2 , rispettivamente per la temperatura e circuiti adiacenti. Nel caso specifico si ottengono i seguenti valori K1=1,04 e K2=1 , quindiI z=I 0 K1K2=130⋅1,04⋅1=135,2 A .

La verifica amperometrica si ottiene constando la veridicità della disequazione I z> I b . Il valore di I b , nel nostro caso, dovrà essere ricavato sommando, in prima battuta, le correnti in fase e in quadratura del carico 1 dei carichi 23 e poi applicando il teorema di Pitagora,I ft=I f1+ I fBC=9,44+36,04=45,48 A e I qt=I q1+ I qBC=5,60+31,35=36,95 A che portano ad

una corrente I b=J t=√I ft2 + I qt2 =√45,482+36,952

=58,60 A .

Quindi I z> I b→135,2>58,60 risulta verificata.

Per un cavo di sezione 50 mm² i valori di resistività e induttanza risulta essere di rl20=0,379 Ω

km

L=0,248mHkm

che, calcolati alle condizioni di funzionamento, risultano di

rl=r l20

234,5+T f254,5

=0,379234,5+90

254,5=0,483 Ω

kme x l=Lω=0,248⋅10−3

⋅2π⋅50=0,078 Ωkm

.

Dovranno però essere ricalcolati i momenti amperometrici relativi al solo tratto AB,M fAB=I ft lAB=45,48⋅150=6837 Am M qAB=I qt lAB=36,95⋅150=5542,5 Am

La caduta di tensione alla prima derivazione risulta quindi diΔ EAB=r lM fAB+xlM qAB=0,483⋅6,837+0,078⋅5,5425=3,73V .

La caduta di tensione totale è data dalla somma vettoriale Δ Et=ΔE AB+Δ EB23 . Considerando però che la differenza di angolo tra le due cadute di tensione Δ EAB Δ EB23 risulta essere piuttosto piccola, si può valutare la somma vettoriale uguale ad una somma scalare ottenendo quindiΔ Et=ΔE AB+Δ EB23 che permette di calcolare la caduta di tensione disponibile sul tratto restante

da B Δ EB23=Δ Et−Δ E AB=9,24−3,73=5,51V .

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Per la determinazione della sezione dovranno però essere ricalcolati i momenti amperometrici relativi al solo tratto BC,

M fBC=I fBC lBC=36,04⋅200=7208 Am M qBC=I qBC lBC=31,35⋅200=6280 Am .

Utilizzando quindi la formula S=ρM ft

Δ E t−x lM qt

opportunamente corretta al caso specifico, e posto

x l=0,1 Ωkm

in quanto dipendente in modo limitato dalla sezione del cavo, si ottiene

SBC=ρM fBC

Δ EB23−xlM qBC

=0,0227⋅7208

5,51−0,1⋅6,280=33,51mm2 .

La sezione commerciale disponibile risulta di 35 mm².

Per un cavo di sezione 35 mm² i valori di resistività e induttanza risulta essere di rl20=0,514 Ω

km

L=0,249mHkm

che calcolati alle condizioni di funzionamento risultano di

rl=r l20

234,5+T f254,5

=0,514234,5+90

254,5=0,655 Ω

kme x l=Lω=0,249⋅10−3

⋅2π⋅50=0,078 Ωkm

.

La caduta di tensione nel tratto BC risulta quindi diΔ EBC=rlM fBC+x lM qBC=0,655⋅7,208+0,078⋅6,280=5,21V .

La caduta di tensione disponibile per i tratti diramati risulta dalla differenza tra la caduta di tensionedisponibile per il tratto B23 e la caduta di tensione del tratto BCΔ EC23=Δ EB23−Δ EBC=5,51−5,21=0,3V .

Una ulteriore approssimazione può essere fatta considerando il fatto che, essendo una linea corta, la caduta di tensione dovuta alla reattanza della linea risulta essere piccola e quindi trascurabile. La formula della caduta di tensione risulta quindi Δ EC2=

ρ

SC2M f2 . Il momento amperometrico di

fase del carico 2 risulta pari a M f2=I f2 lC2=21,65⋅20=433 Am

Si ricava quindi la sezione per il tratto derivato del carico 2 mediante

SC2=ρM f2

Δ EC2=

0,0227⋅4330,3

=32,76mm2 , che porta ad una sezione commerciale di 35 mm².

Analogo discorso può essere fatto per il carico 3. La formula della caduta di tensione risulta quindiΔ EC3=

ρ

SC3M f3 . Il momento amperometrico di fase del carico 3 risulta pari a

M f3=I f3 lC3=14,39⋅50=719,5 Am

Si ricava quindi la sezione per il tratto derivato del carico 3 mediante

SC3=ρM f3

ΔEC3=

0,0227⋅719,50,3

=54,44mm2 , che porta ad una sezione commerciale di 70 mm².

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Si evince che una tale situazione non è accettabile in quanto la distribuzione sarebbe così eseguita:

Tratto Sezione

A -B 50 mm²

B-C 35 mm²

C-2 35 mm²

C-3 70 mm²Per mantenere una caduta di tensione inferiore a quella suggerita dalla norma CEI 64/8 è necessario,nel tratto C-3, utilizzare una sezione superiore a quella del tratto A-B. Per risolvere questa situazione si può impostare la sezione del tratto B-C uguale al tratto A-B, guadagnando quindi un certo margine sulla caduta di tensione nei tratti finali.

Per un cavo di sezione 50 mm² i valori di resistività e induttanza risulta essere di rl20=0,379 Ω

kme

L=0,248mHkm

che calcolati alle condizioni di funzionamento risultano di e

rl=r l20

234,5+T f254,5

=0,379234,5+90

254,5=0,483 Ω

kme x l=Lω=0,248⋅10−3

⋅2π⋅50=0,078 Ωkm

.

La caduta di tensione nel tratto BC risulta quindi diΔ EBC=rlM fBC+x lM qBC=0,379⋅7,208+0,078⋅6,280=3,22V .

La caduta di tensione disponibile per i tratti diramati risulta dalla differenza tra la caduta di tensionedisponibile per il tratto B23 e la caduta di tensione del tratto BCΔ EC23=Δ EB23−Δ EBC=5,51−3,22=2,29V .

Si ricava quindi la sezione per il tratto derivato del carico 2 mediante

SC2=ρM f2

Δ EC2=

0,0227⋅4332,29

=4,29mm2 , che porta ad una sezione commerciale di 6 mm².

Si ricava quindi la sezione per il tratto derivato del carico 3 mediante

SC3=ρM f3

ΔEC3=

0,0227⋅719,52,29

=7,13mm2 , che porta ad una sezione commerciale di 10 mm².

La verifica amperometrica del carico 2 viene effettuata partendo dalla portata del cavo pari aI 0=38 A , che, utilizzando i coefficienti ricavati precedentemente, ad una portata complessiva

della conduttura pari a I z=I 0 K1K2=38⋅1,04⋅1=39,52 A , quindi I z> I b→39,52>28,87 risulta verificata.

La verifica amperometrica del carico 3 viene effettuata partendo dalla portata del cavo pari aI 0=51 A , che, utilizzando i coefficienti ricavati precedentemente, ad una portata complessiva

della conduttura pari a I z=I 0 K1K2=51⋅1,04⋅1=53,04 A , quindi I z> I b→53,04>18,93 risulta verificata.

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