Tabella Riassuntiva Scomposizione Di Polinomi

SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI PRIMO PASSAGGIO: FATTORIZZAZIONE TOTALE : Si vede se si può mettere qualche termine (monomio o polinomio) in evidenza tra tutti i termini del Polinomio. Esempi) 36a 2 b 2 xy – 18abx 2 y 2 + 30ab 2 x 2 y – 12 a 2 bxy 2 = 6abxy(6ab-3xy+5bx- 2ay); a 2 (a+2b) 2 - 3 a 2 (a 2 +2ab) + 2 a 3 b +4 a 2 b 2 = a 2 (a+2b) 2 -3 a 3 (a+2b) + + 2 a 2 b(a+2b) = (a+2b) [a 2 (a+2b) – 3 a 3 +2 a 2 b] = (a+2b) (4 a 2 b – 2 a 3 ) = 2 a 2 (a+2b)(2b-a) ALTRI PASSAGGI : Se il Polinomio è un BINOMIO: a) Si vede se è Differenza di quadrati – Ricordare che a 2 – b 2 = (a+b)(a-b); b) Si vede se è Somma di cubi – Ricordare che a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 - ab+b 2 ); c) Si vede se è Differenza di cubi – a 3 – b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2 ); Se il Polinomio è un TRINOMIO: a) Si vede se è un Quadrato di binomio (verificare se sono presenti 2 quadrati e il doppio prodotto delle 2 basi): a 2 -2ab+b 2 = (a-b) 2 ; b) Si vede se è un Trinomio notevole , cioè è del tipo x 2 -sx+p=(x-x1) (x-x2), dove x1 e x2 sono i due numeri la cui somma è s e il prodotto è p. Esempio) Sia 2x 2 -5x+2 il polinomio da scomporre. Esso si può scrivere 2(x 2 -5/2x+1)=2(x-2)(x-1/2) essendo 2+1/2=5/2=s e 2*1/2=1=p Se il Polinomio è un QUADRINOMIO: a) Si vede se è un Cubo di Binomio (verificare se sono presenti 2 cubi e 2 tripli prodotti). Es. a 3 +3 a 2 b+3ab 2 +b 3 = (a+b) 3 ; Altro esempio:8x 3 -36x 2 y+54xy 2 -27y 3 = (2x-3y) 3 ; b) Si vede se è una differenza tra un quadrato di binomio e un quadrato: Es. 4x 2 -12xy+9y 2 -z 2 = (2x-3y) 2 – z 2 = (2x-3y+z)(2x-3y-z); c) Raccoglimento parziale : a 5 +a 3 +a 2 +1 = a 3 (a 2 +1) +1(a 2 +1)= (a 2 +1)(a 3 +1)= (a 2 +1)(a+1)(a 2 -a+1); Se il Polinomio è composto da 6 termini :

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SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI

PRIMO PASSAGGIO: FATTORIZZAZIONE TOTALE: Si vede se si può mettere qualche termine (monomio o polinomio) in evidenza tra tutti i termini del Polinomio.

Esempi) 36a2b2xy – 18abx2y2 + 30ab2x2y – 12 a2bxy2 = 6abxy(6ab-3xy+5bx-2ay); a2(a+2b)2 - 3 a2(a2 +2ab) + 2 a3b +4 a2b2 = a2(a+2b)2 -3 a3(a+2b) + + 2 a2b(a+2b) = (a+2b) [a2(a+2b) – 3 a3 +2 a2b] = (a+2b)(4 a2b – 2 a3) = 2 a2(a+2b)(2b-a)

ALTRI PASSAGGI :Se il Polinomio è un BINOMIO:a) Si vede se è Differenza di quadrati – Ricordare che a2 – b2 = (a+b)(a-b);b) Si vede se è Somma di cubi – Ricordare che a3 + b3 = (a+b)(a2-ab+b2);c) Si vede se è Differenza di cubi – a3 – b3 = (a-b)(a2+ab+b2);

Se il Polinomio è un TRINOMIO:a) Si vede se è un Quadrato di binomio (verificare se sono presenti 2 quadrati e il doppio prodotto delle 2 basi): a2-2ab+b2 = (a-b)2;b) Si vede se è un Trinomio notevole, cioè è del tipo x2-sx+p=(x-x1)(x-x2), dove x1 e x2 sono i due numeri la cui somma è s e il prodotto è p. Esempio) Sia 2x2-5x+2 il polinomio da scomporre. Esso si può scrivere 2(x2-5/2x+1)=2(x-2)(x-1/2) essendo 2+1/2=5/2=s e 2*1/2=1=p

Se il Polinomio è un QUADRINOMIO:a) Si vede se è un Cubo di Binomio (verificare se sono presenti 2 cubi e 2 tripli prodotti). Es. a3+3 a2b+3ab2+b3 = (a+b)3; Altro esempio:8x3-36x2y+54xy2-27y3 = (2x-3y)3;b) Si vede se è una differenza tra un quadrato di binomio e un quadrato:

Es. 4x2-12xy+9y2-z2 = (2x-3y)2 – z2 = (2x-3y+z)(2x-3y-z);c) Raccoglimento parziale:

a5+a3+a2+1 = a3(a2+1) +1(a2+1)= (a2+1)(a3+1)= (a2+1)(a+1)(a2-a+1);

Se il Polinomio è composto da 6 termini: a) Si vede se è Quadrato di trinomio: (Verificare se sono presenti 3 quadrati e 3 doppi prodotti

delle basi). Es) a2+4ab+4b2-6ax-12bx+9x2 = (a+2b-3x)2 b) Si scompone a gruppi di 2 termini o a gruppi di 3 termini: Es) 4x2+3xy+3y+4x-2z-2xz = 4x2+4x+3xy+3y-2z-2xz = 4x(x+1) +3y(x+1)-2z(x+1)= =(x+1)(4x+3y-2z) ; Es) 20ax-15bx-16ay+12by+10cx-8cy = 5x(4a-3b+2c) -4y(4a-3b+2c) = (4a-3b+2c)(5x-4y);