SULLE FUNZIONI ANALITICHE SOPRA LE SUPERFICIE

DI RIEMANN.

Nota di 6iuseppe Vitali, a Pisa.

Adunanza del 2 7 maggio 19oo.

I. Sia R una qualunque superficie di R i e m a n n e

I una trascendente intera di g . - - a "

Supponiamo inoltre che .4 sia un punto della superficie R nel quale

la variabile principale assuma il valore a. Per un noto teorema *) noi sappiamo che esiste sopra la superficie R

una funzione analirica 0 a la quale gode delle seguenti proprietY: z ~ Che essa ~ regolare'su tutta la superficie di R i e m a n n fuori

che nel punto .4. 2 ~ Che in un intorno dd punto e/ e regolare la differenza

3 ~ Che 0 a ammette dei periodi costanti ai tagli a i e b; della super-

ficie di R i e m a n n . N d libro ~ Tbedrie des Fonctions Alggbriques, etc., par P. A p p e l l

et E. G o u r s a t . Paris, I895, pag. 397-398 ~ ~ data la effettiva costru-

zione di una tale funzione mediante l'espressione

*) Yorlesungen ~ber R i e m a n n ' s Tbeorie der d bel'schcn Integral~ yon

Dr. C. N e u m a n n. Zwdte Auflage. I884. Seite 465.

S U L L E F U N Z I O N I A N A L I T I C H E S O P R A L E S U P E R F I C I E D I R I E M A N N . 2 0 [ 3

n

n - - I ) .

dove Z[~ -x indica l'integrale abdiano normale di seconda specie che nei punto A si comporta come

(n - ~)! (;( - - a)" -{- funzione regolare,

Q uesta espressione r fornisce una funzione O~ che gode detl'ulte- riore propriet~ di avere nulli i periodi ai tagli a~.

Indichiamo con B; i periodi di quests funzione ai tagli b~, la cui espressione fi data anch'essa nel libro citato di A p p e l l e G o u r s a t .

Poi consideriamo un punto B della superficie R e poniamo che gli ordini mancanti in B siano

kx, k = , . . , kp.

Allora siamo certi che indicando con opt(B) il valore dells derivata k e~" delia nota funzione ~?~ *) al punto B, il determinante

C y ' ( B ) ~ , - ' - ' ( B ) . . . ~,P-'(B)

~ , ( B ) = < , - ' ( B ) ~ y ' ( B ) . . . r �9 . . �9 . . . . . , . . . . . . ~ , �9

~ / - ' ( B ) ~ ? - ' ( B ) . . . ~ , - ' ( B )

diverso da zero. Dunque il sistema d'equszioili

~ - " B " . . . ~ y ' ( B ) = )',~k,'-'( B ) + ~% k ) + q- B , ~-, . . . b ~ , - ' ( B ) = )., ~?~,-'(B) + ) , % (B) -[- -i t- B=,

. . . . . . . ~ ~ ~ , . . ~ . . . . . . ~ , ~ ~ . . ~ , ~ �9

~2- , . . . b r = ),, ~?~,-"(B) + X=% (B) + o r- Bp,

risolvibile. Se X , ) . , o.. ),p sono i valori che risolvono questo sistema, la

funzione

_ = _ "-' 7~,-, ~- ' . . . ~ , Z ~ F ' ) o ~ ~ - ( n c " O ! z ~ + ( L ~ + L Z ~ + +

*) A scanso d'equivoci osservo che con ~,, ~2 . . . . ~p indico le derivate degli integrali abeliani normali che il B r i o t nella sua c~ Tb~ori~ des ]bnclions abeliennes ~,

indica con u,, u 2, ... u/,.

2 0 4 G. V I T A L L

senza periodi e non ha altre singolarit~t che un polo in B e una sin-

golarit~t in A , tale che

a)'*

regolare in un intorno di A.

2. Supponiamo the la superficie R che si considera sia ad m fogli.

Se w h una funzione algebrica irreducibile sopra questa superficie,

quatunque funzione v analitica monodroma sulla superficie R si pub met-

tere sotto la forma:

v = % + % w + o~,w~ + . . . + ~ _ w "-~ ,

dove 0~o~ ~ ' i~ ~'2~ �9 �9 " ~m--1

sono funzioni analitiche monodrome nel piano e viceversa. Naturalmente la v avr~ al pifi le sue singolarit~ dove le ha l a w e

nei punti di R in cui la variabile principale ha i valori che ha la varia-

bile dd piano nei punti di singolaritk delle

~0 ) ~I) ~Z ~ " " " ~---I "

3. Consideriamo la funzione Qs~ del n ~ I. Per ci6 chc si a detto

nel n ~ 2 si pu6 porre

+ + + "'" + ... .

c o n

~ O 1 ~ l 1 ~r :l * �9 �9 O C m - - x

funzioni analitiche monodrome dd piano. Queste funzioni saranno manifestamente sviluppabili per serie di

L a u r e n t in un intorno del punto ~ - - a.

Indichiamo con O~t r t p t

0 1 ~ I 1 ~ 2 I~ " " " m - - i

le parti di questi sviluppi procedenti per potenze negative e con tr r162 rr t l

~0 I ~" I 1 ~"2 1 " " " ~ " m - - x

le parti che procedono per potenze positive di ~ - a.

Le t t t r

I saranno trascendenti inrere di ~ .

S U L L E F U N Z I O N I A N A L I T I C H E S O P R A L E S U P E R F I C I E D I R I E M A N N . 2 0 ~

La funzione r r t

~2~ = ~ o + ~i~ + ~ , ' 2 + . . . + ~,m_ ~,m_~ una funzione analitica monodroma ddla superficie R ed ha le sue sin-

golarifft tutt'ai pifl nei punti in cui la variabile principale assume i valori

che assume nei poll di w e nel punto A.

Indichiamo con

' W x ~ ' W 2 ~ �9 . . W m

le m determinazioni di w sopra gti m piani che costituiscono la super- ficie R e supponiamo che il valore a sia diverso dai valori che assume

su R la variabile principale nei poll di w e nel punto B. In questa ipotesi le

r x ~ ' W 2 ~ �9 . . ' W m

sono regolari in Z = a e quindi in un intorno di Z =--a si sviluppano

in serie di potenze positive di ( < - a) che indicheremo con

R~, R2, . . . Rm.

Allora negli intorni dei punti di R in cui la variabile principale as-

sume il valore a, la funzione

O ~ - ~2~ si comporta come

0 �9 �9 . ~ ( P r ~ ) m - - I ~ + < & + ~ R ~ + + ~ 1 ~ ,

t t t t �9 �9 �9 ~ W ~ r a - - I

. . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . .

~" + ~'; R,, + x" R~ + . . . -+. ~r R2- ' ,

e quindi ~ regolare in tutti i punti delia R in cui la variabile principale

ha il valore a. Ma la Q~B ~ regolare in tutti questi punti tranne che neI punto d

dove si comporta come

2 Q. ~a)" + funzione regolare.

Segue il teorema:

Se " i ~ w ~ una funzione aIgebrica irreducibile sopra una qualunque super-

ficie R di R i e m a u n ad m fogii; 2 ~ d ~ un punto di questa superfide nel quale il valore a della va-

206 Q. VITALI.

riabiIe principale ~ diverso dai valori assmzti da qmsta variabiIe nei poll di w;

3 ~ G(~. - - I -~a)~unatrascendente in teradi I ~ ~ - - a '

esiste una funzione analitica monodroma su R, cbe nel punto A si comporta come

G I ( - ~ - - ~ ) + funzione regolare,

cbe ~ altrove dappertutto regolare, eccezion falta al piit nei poll di w, e che data da un'espressione

. . .

nella quale le

~o~ ~x~ 0~2~ " *" O~m--x

I sono trascendenti intere di - -

4. Siano A~, A~, . . . A , . . .

infiniti punti della superficie R aventi un unico punto limite L, ed indi- chiamo con

a x ~ a 2 , . . . a n , . . .

i valori che la variabile win@ale assume in quei punti. Siano poi

G , G~, . . . G, , . . .

delle trascendenti intere arbitrarie di

I I I

z - - a ~ ' ~ - - a ~ ' "'" ~ - - a . ' . . . .

Supponendo che nessuno dei punti A. sia equivalente ad un polo di w e d al punto L, noi possiamo, per il teorema del n ~ 3, costruire sopra R una funzione v. che si comporti nel punto A come

G. ~t_ funzione regolare,

che non abbia ulteriori singolaritA che nei punti che sono poli di w e che si possa mettere sotto la forma

. . . . . . . . . . . . . . ,

SULLE FUNZIONI ANALITICHE SOPRA LE SUPERFIGIE DI RIEMANN. 20 7

COIl

I trascendenti intere di - -

Ora come dimostra il signor M i t t a g - L e f f l e r , supponendo che non vi siano tra i punti A degli equivalenti fra loro, noi possiamo costruire delle funzioni analitiche monodrome del piano, che indicheremo con M~ (i - - o, I, 2, . . . m - - I), the nei punti Z = a. si comportino

come %,i q- funzione regolare

e che siano fuori di questi punti regolari, eccezion fatta pel loro punto

limite. La funzione

p . = M o - ~ M w-.l- M=w=-S r- . . . . q t - M , , _ w " - '

una funzione analitica sulla superficie R the si comporta nei punti A

com e G, -~- funzione regolare,

ed altrove ~ sempre regolare, eccezion fatta pei punti equivalenti al punto s e pei poll di w, nei quali la o. pu0 avere delle singolarit.~ essenziali

isolate. Questi punti sono in un numero finito. Indichiamo questi punti con

.,4( ~1, A( =~, . . . +4 (~) , con

o, (0, a,(2) . . . t2 (r)

i valori che ha in essi la variabile principale e con

I I G I ( ~ 2 - ~ } ' G2 ( ~ _ _ a,{2, t ' ' ' ' gr ( ~ _ _ a(r))

le trascendenti intere di I I I

_ _ at q , ~ __ g(2)~ . . - :~ __ a t r ) ,

che dAnno la singolarit~ delia funzione P. nei detti punti.

Indicando con _.0.,, �9 _o_,

delle funzioni analitiche monodrome sopra R che si comportino rispetti-

vamente nei punti AI'~, AI=I, . . . A I~l

2 0 8 G . V I T A L I .

c o m e

G, + funz. reg., G= --}- funz. reg., . . . G', + funz. reg.

�9 ~or �9 i e che non abbiano inoltre altre sm~olanta che un polo nd punto L, le quali funzioni noi abbiamo visto che si possono costruire, la funzione

... --Q.

gode della propriet.4 che nei punti A,, 0l = I, 2, 3,...)

si comporta come

G, -+- funzione regolare,

monodroma su R e d ~ fuori dei punti A e del punto L dappertutto regolare.

Cosi risuka dimostrato un celebre teorema del sig. M i t t a g - L e f - fl e r , generalizzato per le superficie di R i e m a n n.

Potrebbe darsi che alcuni dei punti A fossero equivalenti ad L o

ai poll di w o anche fra loro, ma supponendo sempre the L non sia un punto di diramazione, questi punti sono in numero finito.

Escludendoli dapprincipio noi arriveremo dapprima ad una funzione �9 "r " ~ come ~ che manca delle smgolanta fissate in questo numero finito di punti.

Perch'~ acquisti anche queste singolarit~t, bastedt aggiungere un ugual numero di funzioni analitiche e monodrome di R, che abbiano rispetti-

�9 Or " vamente queste smoolanta in quei punti e un polo in L.

Infine quando L fosse un punto di diramazione e fra i punti ve ne fossero infiniti sistemi di equivalenti, noi potremo spezzarli in un numero n ~ m di gruppi non contenenti punti fra loro equivalenti.

Costruiremo per ciascuno di questi gruppi una funzione monodroma �9 o r �9 i di R che abbia nei punti del gruppo le date smoolanta e che sia altrove

regolare, eccetto che nel punto L. La somma di queste funzioni godrk delia proprietor di essere monodroma su R e di non avere altre singo- larit~ che una in L e quelle fissate nei punti d *).

Pisa, maggio I9oo.

G. VITALI.

*) Un'altra dimostrazione del teorema di M i t t a g - L e f fl e r esteso alle superficie

di R i e m a n n si trova nella Memoria del signor A p p e l l : Sur Ies fonctions unifor- rues d'un point analitiqur (Acta Mathematica, t. I, pp. Io9-I3I ). Essa ~ una genera-

lizzazione del processo the si segue nel caso del piano.