Teoria dell’integrazione secondo Riemann

un’ introduzione

Analisi Matematica 2

Corso di Laurea in Fisica

Proff. M. Calanchi, F. Messina, C. Tarsi, C. Zanco

DEFINIZIONE E PRIME PROPRIETÀ

Motivazione: determinazione delle curve alle regioni sottese dalle quali è

possibile attribuire una misura (area) e, possibilmente, calcolo di tale misura.

La teoria dell’integrazione può essere introdotta in vari modi: alcuni sono tra

loro equivalenti. Noi ci focalizzeremo sull’integrazione di Riemann con le

somme di Darboux.

Sia [a, b] ⇢ R un intervallo chiuso e limitato.

Definizione (Partizione)

Una partizione P di [a, b] è un insieme ordinato di n + 1 punti

P = {x0, x1, . . . , xn} tali che

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b.Scriveremo �xi = xi � xi�1.

La partizione più grezza che si possa fare è quella ridotta a due punti: P = {a, b}.

1/???

Somme inferiori e somme superiori

Sia f : [a, b] ! R una funzione limitata su I = [a, b], i.e. 9K > 0: |f (x)| K ,o, equivalentemente

�1 < m := infx2I

f (x) M := supx2I

f (x) < +1.

Sia P = {x0, x1, ..., xn} una partizione di [a, b]. Scriviamo

Mi = supx2[xi�1,xi ]

f (x) mi = infx2[xi�1,xi ]

f (x)

e definiamo S(P, f ) =nX

i=0

Mi�xi e s(P, f ) =nX

i=0

mi�xi

rispettivamente somme superiori e somme inferiori relative alla part. P

Se f è non-negativa S(P, f ) e s(P, f ) hanno un chiaro significato geometrico.

2/???

Integrale inferiore e superiore

oss. Indichiamo con il corsivo P l’ insieme di tutte le partizioni di [a, b]. Allora,

M(b � a) � S(P, f ) � s(P, f ) � m(b � a), 8P 2 P

! le somme superiori e quelle inferiori sono limitate

È possibile passare all’estremo superiore rispetto a tutte le partizioni di [a, b]delle somme inferiori, e analogamente all’estremo inferiore delle somme

superiori ottenendo due quantità finite.

In simboli, definiamo Integrale Superiore e Integrale inferiore rispettivamenteZf (x) dx = inf

P2PS(f ,P);

Zf (x) dx = sup

P2Ps(f ,P).

In generale, Zf (x) dx �

Zf (x) dx

Può valere la disuguaglianza stretta, come mostra il seguente esempio

f (x) =⇢

1 se x 2 [a, b] \Q,0 se x 2 [a, b] \Q.

Zf (x) dx = b � a > 0 =

Zf (x) dx .

3/???

Integrale di Riemann

Definizione (Integrale di Riemann)

Sia f : [a, b] ! R limitata. Diremo che f 2 R([a, b]) i.e. è integrabile secondo

Riemann se Zf (x) dx =

Zf (x) dx =:

Z b

af (x) dx .

Come mostra l’esempio nella pag precedente, esistono funzioni che non

sono integrabili secondo Riemann.

Q. Come è possibile individuare le funzioni integrabili secondo Riemann?Evidentemente usare la definizione non è molto pratico. Urge un criterio che

sia più prét à porter.

Criterio di integrabilità

Sia f : [a, b] ! R limitata. Allora f 2 R([a, b]) se e solo se

8" > 0, 9P 2 P : S(P, f )� s(P, f ) < ".

Questa caratterizzazione può essere anche usata come definizione.

4/???

f 2 R([a, b]) , 8" > 0, 9P 2 P: S(P, f )� s(P, f ) < ".

Dimostriamo prima un risultato preliminare.

Una partizione P⇤ = P [ {⇠1, ..., ⇠m} che si ottiene aggiungendo punti a P, si

dice raffinamento di P.

Se P⇤è un raffinamento di P, allora

(⇤) S(P, f ) � S(P⇤, f ) � s(P⇤, f ) � s(P, f ).

È sufficiente mostrarlo per la partizione che si ottiene aggiungendo un solo

punto.

Basta osservare che se ⇠ 2 (xi�1, xi), allora

supx2[xi�1,xi ]

f (x) = max

(sup

x2[xi�1,⇠]f (x), sup

x2[⇠,xi ]f (x)

)

quindi

Mi�xi = supx2[xi�1,xi ]

f (x)�xi = supx2[xi�1,xi ]

f (x)(xi � ⇠ + ⇠ � xi�1)

� supx2[xi�1,⇠]

f (x)(⇠ � xi�1) + supx2[⇠,xi ]

f (x)(xi � ⇠).

Aggiungendo un punto le somme superiori decrescono e quelle inferiori

crescono.

f 2 R([a, b]) () 8" > 0, 9P 2 P : S(P, f ) � s(P, f ) < ". 4/???

Dimostrazione

Criterio di integrabilità secondo Riemann

f 2 R([a, b]) , 8" > 0, 9P 2 P : S(P, f )� s(P, f ) < ".

(() Per ogni partizione P abbiamo

s(P, f ) Z

f Z

f S(P, f ), da cui S(P, f )� s(P, f ) �Z

f �Z

f .

8" > 0 esiste P tale che

" > S(P, f )� s(P, f ) �Z

f �Z

f )Z

f =

Zf .

()) Sia f 2 R([a, b]). Allora

Z b

af =

Zf =

Zf .

Poichè

Zf è estremo inferiore, per ogni " > 0,

Zf + "/2 non è minorante:

esiste una partizione P1 tale che S(P1, f ) <R

f + "/2.

Analogamente esiste una partizione P2 tale che s(P2, f ) >R

f � "/2.

Prendendo P = P1 [ P2, raffinamento sia di P1 che di P2 e usando il risultato

preliminare (⇤) si ha l’asserto.

5/???

Classi di funzioni in R([a, b])Il criterio appena dimostrato è utile per mostrare il seguente

Teorema

Sia f : [a, b] ! R una funzione limitata.

(1) f è continua ) f 2 R([a, b]);

(2) f è monotona ) f 2 R([a, b]);

(3) f ha un numero finito di punti di discontinuità ) f 2 R([a, b]).

Oss. Se f è una funzione continua, non è necessario specificare l’ipotesi di

limitatezza (l’immagine è compatta e quindi limitata).

dim. (1). f è continua su [a, b] compatto ) uniformemente continua:

8✏ > 0 9� > 0: 8x , y : |x � y | < �, |f (x)� f (y)| < ✏/(b � a).Sia P = {x0, ..., xn} una partizione dell’intevallo [a, b] tale che �xi < �.

Poiché f è continua, per ogni sottointervallo [xi�1, xi ] esistono si , ti tali che

Mi = f (si), mi = f (ti) (sup e inf sono assunti, Weierstrass!!!). In particolare

|si � ti | < � ) |Mi � mi | < ✏/(b � a).

Allora

S(P, f )� s(P, f ) =nX

i=0

(Mi � mi)�xi <✏

b � a

nX

i=0

�xi = ✏.

6/???

(2) f è monotona ) f 2 R([a, b]).

Supponiamo che f sia monotona crescente non costante

Sia P = {x0, ..., xn} una partizione dell’intevallo [a, b] tale che �xi <✏

f (b)�f (a) .

Poiché f è monotona, Mi = f (xi) e mi = f (xi�1). Allora,

S(P, f )� s(P, f ) =nX

i=0

(Mi � mi)�xi <✏

f (b)� f (a)

nX

i=0

[f (xi)� f (xi�1)] = ✏.

(3) f è continua tranne in un numero finito di punti ) f 2 R([a, b]).

Idea: prendere una partizione che abbia tra i suoi punti i punti discontinuità e

nel resto dell’intervallo usare la continuità.

Per semplicità supponiamo che ci sia solo un punto di discontinuità c 2 (a, b).Sia M = sup

x2[a,b]|f (x)|. Fissato ✏ > 0, sia �✏ = ✏/6M, e

E = [a, b] \ (c � �✏, c + �✏), che risulta l’unione di due intervalli disgiunti

chiusi e limitati: E = [a, c � �✏, ] [ [c + �✏, , b] = I1 [ I2.

Su ciascuno di questi intervalli f risulta Riemann integrabile (continua!!),

quindi, se consideriamo le restrizioni f1 e f2 di f rispettivamente in I1 e I2,

esistono una partizione P1 di I1 e P2 di I2, tali che

S(Pi , fi)� s(Pi , fi) < ✏/3, i = 1, 2.

Ora è sufficiente prendere come partizione

P = P1 [ {c � �✏} [ {c + �✏} [ P2.7/???

Quanti punti di discontinuità?

Una funzione Riemann integrabile può avere un numero infinito di punti di

discontinuità

-0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75

0,25

0,5

0,75

1

1,25

La funzione ritratta in figura (una funzione a scala i cui gradini si

infittiscono/assottigliano sempre più ) è Riemann integrabile (perchè?)

7/???

Una caratterizzazione significativa

Diamo adesso la seguente caratterizzazione delle funzioni

Riemann-Integrabili. Non ne daremo la dimostrazione, ma risulterà molto

utile.

Teorema

Sia f : [a, b] ! R una funzione limitata. Allora f 2 R([a, b]) se e solo sel’insieme dei suoi punti di discontinuità ha L-misura nulla.

Def. Diciamo che un insieme S ⇢ R ha misura di Lebesgue (L-misura) nulla

e si scrive µ(S) = 0 se per ogni ✏ > 0 esiste una successione {In}n2N di

intervalli tale che

S ⇢+1[

n=1

In,+1X

n=1

`(In) < ✏

dove `(In) denota la lunghezza (diametro) di In

Esempi:

1 Ogni punto ha L-misura nulla;

2 Ogni insieme al più numerabile ha L-misura nulla.

3 ...(cfr Appunti prof. Zanco)

8/???