INTEGRALI di una funzione di variabile reale

Prima Parte Anno Accademico 2003/2004

R. Argiolas

( ) ( ) ( )aGbGdxxfb

a

−=∫

2

Questa dispensa (prima parte) si propone come guida per la risoluzione di integrali indefiniti e definiti. Ci si è limitati alla risoluzione di integrali che richiedono l’utilizzo delle più comuni tecniche di integrazione ( integrazione per sostituzione, integrazione per scomposizione, integrazione per parti), dove spesso per diversi esercizi viene presentato più di un metodo di risoluzione, e dove soprattutto nell’integrazione per parti viene data una classificazione circa la scelta del fattore finito (o del fattore differenziale). Per un maggiore approfondimento il lettore può consultare un qualsiasi testo di analisi matematica. Volutamente in questa “prima parte” si è tralasciata la discussione dell’integrazione secondo Riemann e in senso generalizzato, che verrà invece affrontata nella “seconda parte”. Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno segnalarmi eventuali errori e consigli per rendere migliore il lavoro.

R.A.

3

INTEGRALI INDEFINITI Integrali immediati ∫ += cxdx

11

1 1 −≠++

=∫ + ncxn

dxx nn

∫ += cxdxx

log1

∫ += cedxe xx ∫ += ceadxa a

xx log ∫ +−= cxxdx cossin ∫ += cxxdx sincos

∫ += cxdxx

tancos

12

∫ +−= canxdxx

cotsin

12

cxcxdxx

+−=+=−

∫ arccosarcsin1

12

cgxarccxdx

x+−=+=

+∫ cotarctan1

12

4

Integrali di funzioni irrazionali Per il calcolo di integrali di funzioni irrazionali si utilizzano degli artifici che riconducono l’integrale assegnato ad un integrale immediato (come quelli descritti precedentemente). Di solito si opera una sostituzione che trasforma la funzione irrazionale in una funzione razionale o trascendente facilmente calcolabile. Descriviamo i tipi di sostituzione più frequentemente utilizzati.

1. Integrali di funzioni irrazionali della forma: ( )∫ + dxbaxxf mn ,

Si opera la seguente sostituzione: tbaxn m =+ da cui segue che:

dttandx

abtx n

n1 , −=

−=

Esempi

• Calcolare dxx

x∫ +

+−1

13

Svolgimento Operiamo la sostituzione tx =+1 da cui segue che:

tdtdxtx 2 ,12 =−= , si ottiene:

( ) cxxcttdttdttt

tdxx

x+−−+=+−=−=⋅

−=

++−

∫∫∫ 116632231

13 2 ,

5

oppure, posto tx =+1 si ha: dtxdx

=+12

,

quindi:

( ) cxxcttdttdxx

x+−−+=+−=−=

++−

∫∫ 1166321

13 2 .

• Calcolare dxx

x∫

−3 2

3 221

Svolgimento

Operiamo la sostituzione tx =3 2 da cui segue che: dttdxtx 21

23

23 , == ,

si ottiene:

( ) cxxcttdtttdttt

tdxx

x+−=+−=

−=⋅

−=

−∫∫∫

−3 232

321

21

21

21

3 2

3 2

2323223

232121

Si osservi che l'integrale poteva essere calcolato separando la funzione integranda:

( ) cxxcxxdxx

dxx

x+−=+−=

−=

−∫∫ 3 233

3 23 2

3 2

23232121

• Calcolare dxxx

x∫ +

+12

2

6

Svolgimento Operiamo la sostituzione tx =+12 da cui segue che:

tdtdxtx =−= ),1(21 2 , si ottiene:

( )

cxxx

ctdtt

dtttttdx

xxx

+++

+++=

=++

+=

−+=

−+

=+

+∫∫∫

1121-12 log212

1t1-t log2

141

13

124

22

2

• Calcolare dxx

xx∫ +

+++3

4

222

Svolgimento Attenzione ! Benchè i radicandi siano tutti uguali, gli indici sono differenti, quindi non si può utilizzare la sostituzione sopra illustrata, si opera una sostituzione simile alla precedente quindi del tipo

tbaxn m =+ dove però n è il m.c.m degli indici (minimo comune indice) dei radicali. Operiamo la sostituzione tx =+12 2 , dove ( )4,3,2...12 mcm= . Segue che: dttdxtx 1112 12 ,2 =−= , si ottiene:

( )

( ) ( ) cxxctt

dtttdttt

ttdxx

xx

+

+++=+

+

=+=⋅+

=+

+++∫∫∫

6 712 111411

103114

63

3

4

21412

11112

141

11112

112122

22

7

• Calcolare dxx

x∫ −

−+3 3

32

Svolgimento Operiamo la sostituzione tx =−6 3 , dove ( )3,2...6 mcm= . Segue che: dttdxtx 56 6 ,3 =+= , si ottiene:

( )

( ) ( ) cxxctt

dtttdttt

tdxx

x

+

−+−=+

+

=+=⋅+

=−−+

∫∫∫

6 73 274

3352

3

3

3713

216

71

216

26623

32

Esercizi Calcolare i seguenti integrali

1. dxx

x∫ +

+12

12sin3

porre tx =+1

2. dxxx

∫ ++

12

porre tx =

3. dx

xx∫ + 523

8

porre tx =+ 5

4. dxxx

x∫ +−+

++33

35

porre tx =+ 3

5.

( )∫ −− xxdx

2123

porre tx =− 21

2. Integrazione di funzioni della forma: ( )22, xaxf −

E` conveniente la sostituzione: asentx = quindi tdtadx cos= Esempio

• Calcolare ∫ − dxx 24

Svolgimento

Posto: sentx 2= si ottiene:

==

2cos2 xarcsenttdtdx

da cui segue che:

9

( )

( )

+−+

±=

+−+

±=++±=

=+±=+

±=±=⋅−=− ∫ ∫∫ ∫∫

cxxxarcsencxxxarcsenctsent

tdttdtttdttdttsendxx

22

222

422

24

12

22

222

2cos22

2cos14cos4cos2444

Esercizi Calcolare i seguenti integrali

1. dxx∫ − 29 porre tx sin3=

2. dxx∫ − 2916

porre tx sin

34

=

3. dxx

x∫

− 2

5

4

porre tx sin2=

4. dxxx

∫−

−265

23

porre tx sin65

=

10

Attenzione! La particolare sostituzione che ora descriveremo richiede la conoscenza delle funzioni iperboliche e delle loro funzioni inverse. Se lo studente, nel corso di analisi matematica 1, non avesse ancora incontrato queste funzioni può passare direttamente al paragrafo 4.

3. Integrazione di funzioni della forma:

( ) ( )2222 ,,, axxfxaxf −+

E` conveniente operare la sostituzione:

===

axsettsenhttadxasenhtx ,cosh,

Esempio

• Calcolare ∫+

dxx

x24

Svolgimento

Operando la sostituzione:

===

2,cosh2,2 xsettsenhttdxsenhtx

si ha:

cxcxsettsenhct

csenhtdttdttsenh

senhtdxx

x

++=+

=+

=+==⋅+

=+

∫∫∫

2

22

42

cosh2cosh2

2cosh244

24

11

Si osservi anche che l’integrale poteva essere facilmente ricondotto ad un integrale immediato. Esempio

• Calcolare ∫− 924 xx

dx

Svolgimento

Operando la sostituzione:

===

3cosh,3,cosh3 xsetttsenhtdtdxtx

si ha:

( ) ( )

( )c

xx

xxcttghtght

tghtdttghtghtddtt

tsenht

dtttt

senhtdtxxdx

+−

−−

=+−=

=⋅−==−

=

==−

=−

∫ ∫∫

∫∫∫

3

3223

24

22

42424

124311

811

2431

811

811

811

coshcosh

811

cosh1

811

9cosh9cosh813

9

Esercizi Calcolare i seguenti integrali, operando la sostituzione che si ritiene più opprtuna.

12

1. dxx

x∫

+ 2

2

4

2. dx

xx

∫−

+

165

2

3. ( )

dxx

x∫

+32

3

21

2

4. dx

xx∫ + 24 914

5. ( )

dxx

x∫

−32

2

1

7

6. dx

xx∫ −1163

25

4. Integrazione di funzioni della forma:

++

ndcxbaxxf ,

E` conveniente operare la sostituzione: ndcxbaxt

++

=

Esempio

• Calcolare ( )∫ −

+−

dxxx

x3

2 11

14

Svolgimento Operando la sostituzione:

13

311

−+

=xxt

si ottiene:

( )23

2

3

3

16,

11

−

−=

−+

=t

dttdxttx .

Da cui segue che:

( ) ( )

cxx

xx

ctdttt

dttt

tt

dxxx

x

+−+

−+

−=

=+−=−=−

−⋅⋅

−

−+

=−+

− ∫∫∫

3

4323

2

2

3

33

2

11

11

23

236

16

111

411

14

Esercizi Calcolare i seguenti integrali

1. ( )

dxxx

x∫

−+ 42 112

2. dxxx

xx

∫ +−

+ 22

23

3. dxxx

∫ −+

53232

4. dxxxx∫ +−

1313

14

5. Integrazione di funzioni della forma: ( )cbxaxxf ++2, Supponiamo che 042 ≠− acb Distinguiamo i casi in cui 0,0 <> aa . Nel primo caso la cbxax ++2 e` definita in tutto il campo reale se

042 <− acb , mentre esiste per valori esterni alle radici se 042 >− acb . Nel secondo caso, la cbxax ++2 esiste solo se 042 >− acb ed ha come dominio l`intervallo chiuso [ ]21 , xx avente come estremi le radici dell`equazione 02 =++ cbxax . 1. Caso 0>a . E` conveniente la sostituzione: ( )txacbxax +=++2 Esempio

• Calcolare ( )∫

+−− 652 2 xxxdx

Svolgimento Operando la sostituzione: ( )txxx +=+− 652 da cui segue che:

( )( )

dtt

ttdxt

tx 2

22

52652,

526

+++−

=+−

=

si ha

15

( )( )( )

( )( )( )

( )c

xxxc

ttdt

dtt

tttt

tt

t

dtt

tt

tt

tt

txxxdx

++−−−

=++

−=+

=+

++−⋅

+++

⋅++

−

=+

++−⋅

+

+−

⋅

−

+−

=+−−

∫

∫

∫∫

6522

22

22

52652

6552

252

52652

526

1

252

61

652

22

2

2

22

2

2

222

Esercizi Calcolare i seguenti integrali

1. ∫++ 12 2 xxx

dx

2. ∫+− 13

22

2

xxdxx

3. dxxxx∫ ++ 222

2. Caso 0<a .

E` conveniente la sostituzione: ( )1

21

2

xxxxxxacbxax

−−

−−=++

Esempio

• Calcolare ∫−

dxxx 22

1

16

Svolgimento Risulta per . In tale intervallo si ha:

( )∫∫ −−=

−dx

xxdx

xx 121

21

2

Ponendo ( )x

xtx

xxxx −=

−=−−

2,212

Si trova:

( )

( ) cx

xctdtt

dtt

t

tt

dx

xxx

dxxx

+−

−=+−=+

−=

=+

−

⋅+

=−

=−

∫

∫∫∫

2arctan2arctan21

2

14

121

21

21

2

22

2

2

Presentiamo ora uno dei più importanti metodi di integrazione, che permette di calcolare l’integrale del prodotto tra due funzioni.

Integrazione per parti

Integrazione di dxex xn∫ con n intero positivo. E` conveniente scegliere come fattore differenziale dxe x .

17

Esempio

• Calcolare dxex x∫ 5

Scelto come fattore differenziale dxe x e applicando piu` volte la formula di integrazione per parti si ottiene:

( )( )

( )

( )ceexexexexex

dxeexexexexex

ppidxexexexexex

ppidxexexexexex

ppidxexexexex

dxexexexexppidxexexex

dxexexexppidxexexppidxex

xxxxxx

xxxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

xxxxxxx

xxxxxx

+−+−+−

=−+−+−

==+−+−

==−−+−

==−+−

=−+−==+−

=−−==−==

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

12012060205

12060205

...12060205

...260205

...60205

3205...205

45..5...

2345

2345

2345

2345

2345

2345345

345455

Esercizi Calcolare i seguenti integrali

1. dxex x∫ 234 2. dxex x∫ +1372

3. dxex x∫ 72

Integrazione di dxxxn∫ sin ( o dxxxn∫ cos ) con n intero positivo. E` conveniente scegliere come fattore differenziale :

( )xdxxdx cos osin .

18

Esempio

• Calcolare dxxx∫ 2cos3 Svolgimento Si ottiene:

cxxxxxxx

dxxxxxxxx

dxxxxxxxdxxxxxdxxx

+−−+

=

−−+

=

+−−=−=

∫

∫∫∫

2cos832sin

432cos

432sin

21

2sin212sin

21

232cos

432sin

21

2cos2cos21

232sin

212sin

232sin

212cos

23

23

23233

Esercizi Calcolare i seguenti integrali

1. dxxx∫ 3sin2 2. dxxx∫ 4cos4

3. ( ) ( )dxxx∫ ++ 1sin1 2

Integrazione di 1log −≠∫ ndxxxn . E` conveniente scegliere come fattore differenziale dxxn .

19

Esempio

• Calcolare dxxx∫ log4 Svolgimento Si ottiene:

cxxxdxx

dxxx +−=⋅= ∫∫ 55554

251log

511x

51-logx x

51log

Esercizi Calcolare i seguenti integrali

1. dxxx∫ 3log2

2. dxxx∫ 2log6 3. ( ) ( )dxxx∫ ++ 12log12 2

Esempio

• Calcolare dxxx∫ arctan3

Svolgimento Si ottiene:

20

cxxx

dxx

xx

dxx

dxx

+−+=

=

++−−

=+

⋅=

∫

∫∫

arctan41

412x-arctanx

41

111

41arctanx

41

11x

41-arctanx x

41xarctan

34

224

2443

Esempio

• Calcolare dxxx∫ 3arcsin

Svolgimento Si ottiene:

dxx

xxxdxxx ∫∫−

−=2

22

91233arcsin

213arcsin

per calcolare l`ultimo integrale conviene porre xt 3sin = da cui segue che:

( ) ( ) cxxxcttttdtdxx

x+−−=+−==

−∫∫ 22

2

2

913arcsin541cossin

541sin

271

91

in conclusione si ha:

( ) cxxxxx

dxx

xxxdxxx

+−−−=

=−

−= ∫∫

22

2

22

913arcsin3613arcsin

21

91233arcsin

213arcsin

21

• Calcolare dxxe x∫ 2cos3 Svolgimento Si ottiene:

cxsenxedxxe

cxsenexedxxe

dxxexsenexe

dxxexsenexe

dxxsenexedxxe

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

+

+=

⇒++=

−+

=

−+

=+=

∫

∫

∫

∫

∫∫

2322cos

1332cos

2922cos

312cos

913

:che segue

;2cos942

922cos

31

2cos322

31

322cos

31

2322cos

312cos

33

333

333

333

333

Esempio

• Calcolare dxx

xxarcsen∫

− 2412

Svolgimento

22

cxxarcsenx

dxx

xxarcsenx

xdxarcsendxx

xxarcsen

++−−=

=−

⋅−+−

−

=

−−⋅=

−

∫

∫∫

2241

41

41241

412

441

4412

412

2

2

22

2

2

Lo stesso esercizio poteva essere svolto operando la sostituzione:

txarcsen =2 . Esercizi Calcolare i seguenti integrali

1. ∫ xdx3arcsin 2. ( )∫ + dxx 35log

3. ∫ xdxe x 4sin5

4. ∫ dx

xx2log

5. ∫

+dx

xxx

142arctan

2

6. ( )∫ + dxx 3tan 2 7. ( )∫ + dxx 34log 2

23

Integrazione di funzioni razionali della forma ( )

( )xQxP

Esempio

• Calcolare dxx

xx∫ −

+−4

132

24

Svolgimento Poiche` il numeratore ha un grado maggiore del denominatore e` lecita la divisione polinomiale, si ha:

dxx

xxdxx

xdxx

xx∫∫∫ −

++=

−++=

−+−

415

31

451

413

23

22

2

24

calcoliamo separatamente ∫ − 42x

dx

si ottiene:

( )( )∫∫ +−=

− 2242 xxdx

xdx

vogliamo decomporre la frazione in somma di frazioni, per far questo e` necessario determinare due costanti A e B tali che sia verifica la seguente identita`:

( )( ) ( )

−=

=⇒

=−=+

⇒

⇒−++=⇒+

+−

=+−

41

41

1220

2212222

1

B

A

BABA

BAxBAx

Bx

Axx

24

da cui segue che:

( )( )

cxxxx

xdx

xdx

xxdx

xdx

++−

=+−−=

=+

−−

=+−

=− ∫∫∫∫

22log

412log

412log

41

241

241

2242

si ha, in definitiva:

cxxxxdx

xxx

++−

++=−

+−∫ 2

2log45

31

413 3

2

24

Esempio

• Calcolare dxxxx∫ −−+ 652

123

Svolgimento Scomponendo in fattori si ottiene:

( )( )( )∫∫ +−+=

−−+dx

xxxdx

xxx 3211

652123

vogliamo determinare delle costanti A, B, C tali che:

25

( )( )( )

=

=

−=

⇒

=−+−=−+=++

⇒

⇒+

+−

++

=+−+

101

151

61

123604

0

3213211

C

B

A

CBACBA

CBA

xC

xB

xA

xxx

da cui segue che:

( )( )( )

cxxx

xdx

xdx

xdx

dxxxx

dxxxx

+++−++−=

=+

+−

++

−=

=+−+

=−−+

∫∫∫

∫∫

3log1012log

1511log

61

3101

2151

161

3211

652123

Esempio

• Calcolare ( )

dxx

x∫

−

+22 9

12

Svolgimento

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫−

+−

=

−+

−=

−

+ dxx

dxx

xdxxx

xdxx

x2222222222 9

19

29

19

2912

26

risolviamo separatamente i due integrali. Il primo e` immediato infatti:

( )( ) c

xdxxxdx

xx

+−

−=−=−

−

∫∫ 9192

92

2

2222

per calcolare il secondo integrale dobbiamo determinare quattro costanti A, B, C, D, tali che:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

=

==

−=

⇒

=+++−=+−+

=++−=+

⇒

⇒=−+−+++++−

⇒+

++

+−

+−

=−

1081

361

1081

192792702233

0330

1333333

333391

2222

2222

C

DB

A

DCBADBCA

DBCACA

xDxxCxBxxA

xD

xC

xB

xA

x

si ha:

27

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) cx

xxx

cx

xx

x

xdx

xdx

xdx

xdxdx

x

+−

−−+

=

=++

−++−

−−−=

=+

++

+−

+−

−=−

∫∫∫∫∫

91833log

1081

33613log

1081

33613log

1081

3361

31081

3361

31081

91

2

2222

in conclusione si ha:

( )dx

xx

∫−

+22 9

12 = ( ) cx

xxx

+−

+−

−+

91818

33log

1081

2

Esempio

• Calcolare ( )dxxx

x∫ +

+2

123

4

Svolgimento Conviene separare l`integrale come segue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxx

dxx

xdxxx

dxxxxdx

xxx

∫∫∫∫∫ ++

+=

++

+=

++

21

221

221

2322323

4

23

4

calcoliamo separatamente i due integrali. Il primo e` immediato:

28

( ) ( ) ( ) cxdxx

xdxx

x++=

+=

+ ∫∫ 2log21

22

21

22

22

Calcoliamo il secondo integrale. Dobbiamo determinare delle cstanti A,B,C,D,E tali che:

( )

( ) ( ) ( )

=

=

==

−=

⇒

==

=+=+=+

⇒

⇒=+++++++

⇒++

+++=+

4121

041

1202

0200

1222

221

342222

23223

D

C

EB

A

CB

CAEBDA

ExDxxCxBxxAx

xEDx

xC

xB

xA

xx

da cui segue che:

( )

cxx

x

dxx

xxdx

xdxdx

xx

+++−−

=+

++−=+ ∫∫∫∫

2log81

41log

41

241

21

41

21

22

2323

in conclusione si ha:

29

( )

cxx

x

cxx

xxdxxx

x

+++−−

=+++−−+=++

∫

2log85

41log

41

2log81

41log

412log

21

21

22

22

223

4

Esercizi Calcolare i seguenti integrali

1. ∫ +++ dx

xxx

31

2

2

2. ∫ ++ dx

xx

15

2

2

3. ∫ +++ dx

xxx2

132

4. ∫ −

+ dxx

x414

2

5.

( )∫−

dxx

x22 9

3

6. ∫ +−

+ dxxx

x209

122

7. ( )∫ +−

dxxxx 127

12

8. ∫ ++

dxxx 132

12

30

9. ( )∫ +−−+ dx

xxxxx

12712

2

2

INTEGRALI DEFINITI Il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che:

( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a

−=∫

dove ( )xF e` una primitiva di ( )xf , con ( )xf continua in un intervallo [ ]ba, . Calcolare un integrale definito non e` difficile. Infatti il calcolo di questo tipo di integrali e` ricondotto al calcolo dell`integrale indefinito e il risultato ottenuto viene valutato negli estremi di integrazione. Vediamo alcuni esempi che permettono di comprendere meglio questo concetto. Esempio Calcolare dxex x∫

2ln

0

5

Osservazione Abbiamo gia` calcolato questo integrale come integrale indefinito, vediamo come gli estremi non influenzino in alcun modo il calcolo dell`integrale se non nella parte conclusiva, dove stavolta troveremo come risultato un numero! Infatti ricordiamo che mentre l’integrale indefinito è l’insieme di tutte le primitive della funzione integranda,

31

l’integrale definito è un numero. Nel caso particolare in cui la funzione integranda è non negativa, l’integrale definito, geometricamente rappresenta l’area della regione di piano delimitata dal grafico della curva (la funzione ( )xfy = ) e dall’asse delle ascisse. Si ha:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

1202ln2402ln1202ln402ln102ln2

12012060205

12060205

...12060205

...260205

60205

3205...205

45..5...

2345

2345

2345

2ln

0

2345

2ln

0

2345

2ln

0

2345

2ln

0

23452ln

0

345

2ln

0

3452ln

0

452ln

0

5

2ln

0

2ln

0

2ln

0

2ln

0

2ln

0

2ln

0

2ln

0

2ln

0

2ln

0

2ln

0

2ln

0

2ln

0

2ln

0

++−+−=

=−+−+−=

=

−+−+−=

==+−+−=

==

−−+−=

=−+−=

=

−+−==+−=

=

−−==−==

∫

∫

∫

∫

∫∫

∫∫∫

xxxxxx

xxxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

xxxxxxx

xxxxxx

eexexexexex

dxexeexexexex

ppidxexexexexex

ppidxexexexexex

dxexexexex

dxexexexexppidxexexex

dxexexexppidxexexppidxex

32

Attenzione! Se si calcola un integrale definito utilizzando una sostituzione e` necessario modificare anche gli estremi di integrazione. Esempio

• Calcolare ∫+2

13

31 dxx

x

Svolgimento Operando la sostituzione tx =3 si trova dttdxtx 23 3, == inoltre bisogna modificare gli estremi come segue:

1122 3

=⇒==⇒=

txtx

infine si ottiene:

( ) ( )14321

2313311 3

23

22

1

2

1

22

13

33

1

33

−=

+=+⋅=⋅

+=

+∫∫∫ ttdtttdtt

ttdx

xx

Esempio

• Calcolare ∫ +2

4

2cos1π

π

dxx

Svolgimento Operando la sostituzione tx =2cos si trova

dtt

dxtx212

1,arccos21

−−==

33

inoltre bisogna modificare gli estremi come segue:

14

02

−=⇒=

=⇒=

tx

tx

π

π

infine si ottiene:

2112

1

12112cos1

0

1

2

0

1

2

4

+−=−

=−

−⋅+−=+

∫

∫∫

−

−

tdt

dtt

tdxxπ

π

Esercizi

Calcolare ∫ +3

0

2641 dxx

svolgimento

34

( )

( )[ ]103log103161

161

81641

:ha si 81

81 posto

3

0

3

0

23

0

2

++

=+==+=

==

∫∫SettSh

ShtChtttdtChdxx

ChtdtdxShtx

SettSh

Calcolare: ∫−

+4

2

2361 dxx

svolgimento

( )

+−+

++=

=+==+

==

−−−∫∫

52174log52174

121

121

61361

:ha si 61

61 posto

4

)2(

4

)2(

24

2

2 SettSh

SettSh

SettSh

SettSh

ShtChtttdtChdxx

ChtdtdxShtx

Calcolare: ∫− −

2

229

3x

dx

35

svolgimento

−−

==

−

==

∫∫

−− 3

23233

9

3

cos33 posto

32

32

2

22

arcsenarcsendtx

dx

tdtdxsentx

arcsen

arcsen

Calcolare: ∫ −+2

1

02

2

22 dx

xx

svolgimento

[ ] 3log22

12log2log22

1

22

22

21

241

22

21

0

21

0

21

0

21

02

21

02

2

+−=++−−+−

=+

+−

+−=

−+−=

−+

∫∫∫∫

xx

xdx

xdxdx

xdx

xx

Calcolare: ∫ +π3

0

23 12 dxx

svolgimento

36

( )

( )[ ]223

)3(

0

323

3

0

23

913log91322

22212

Chzdzd Shz posto

3(

0

ππππ

πππ

++++=

=+==+

==

∫∫SettSh

ShzChzzzdzChdxx

xx

SettSh

Calcolare: senxdxx⋅

−∫

2

0 22cos1

π

svolgimento

( ) 61 coscos

32

21-1 cos

21 1

2cos21 1

22cos1

2

0

32

0

22

2

0

2

0

=

−−=−−

=−=⋅

−

∫

∫∫

ππ

ππ

xxsenxdxxsenx

senxdxxsenxdxx

Calcolare: senxdxxsenx ⋅

−∫

2

0 22

π

svolgimento

37

32

31cos

2 21

22

2

0

3

2

0

2

0

2

0

=

−+−

=−=⋅

− ∫∫∫

π

πππ

xsensenxxx

senxdxxsensenxdxxsenxdxxsenx

Calcolare: ∫2

0

32

2337

π

xdxsenex

svolgimento

( )

1e20373 2cos32

20372

337 2

2

0

322

0

32

+=

−=∫

πππ

xx

exxsenxdxsene

Calcolare: ∫2

0

32

2cos337

π

xdxex

svolgimento

( ) 1e2037 2cos23

20372cos

337 3

2

0

322

0

32

+−=

+=∫

πππ

xx

exxsenxdxe

38

Calcolare: dx 2sen1cos2x 24/

0

x+∫π

svolgimento

( )( )21log2811

41

dx 2sen1cos2x21dx 2sen1cos2x

1

0

2

22/

0

24/

0

++=+

=+=+

∫

∫∫

dzz

xxππ

Calcolare: dxx

x 41 3

6

2

2

∫+

π

π

svolgimento

( )

+−++

++−

++

=+==+

∫∫

9213

941

23

921

3log

941

32log2

coth2coth2 41

22

3

6

23

6

2

23

6

ππ

ππ

ππππ

π

π

π

π

π

π

SettSh

SettShzzzdzdx

xx

SettSh

SettSh

39

Calcolare: 41 3

6

2 dxx∫ +

π

π

svolgimento

( )

+−

++−++

++

=+==+ ∫∫

361

6361

6log

91

391

3log

21

21 41

2222

3SettSh3

SettSh

6SettSh

23

6

2

6SettSh

ππππππππ

ππ

π

π

ππ

ShzChzzzdzChdxx

Calcolare: ( ) 913log 2 dxxx∫ ++

svolgimento E’ conveniente integrare per parti, si ha:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) cxxxxdxx

xxxx

dxx

xxxxdxx

xxxx

dxx

xxxxxxxdxxx

++−++=

+−++

=

+−++=

+−++

=

++++−++=++

∫

∫∫

∫∫−

22

2

2

2

2

2

2

2

1222

9131913log

9118

61913log

9118

61913log

913913log

91

93913913log 913log

40

Calcolare: ( )( )

1

2log 2 dxx

x∫ +

+

svolgimento

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

cxxxdx

xxxdx

xx

BAx

Bx

Axx

dxxx

xdxx

x

+++

+++

−=

+−

+++

+−=

++

−==⇒+

++

=++

++++

+−=

++

∫∫

∫∫

21log2log

1x1

21

11 2log

1x1

12log

:quindi

1 1 21

21

1 :posto

211 2log

1x1

12log

2

2

Calcolare: ( ) 12log7log 2∫ ++ xxx

dx

svolgimento

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

cxxc

tt

dttttt

dttt

dtxxx

dx

tx

+++

=+++

=

=

+

−+

=++

=++

=++

=

∫∫∫∫

4log3loglog

43log

41

31

43127

12log7log

:ha si log posto

22

41

Calcolare: ( ) dx sin

sinlogcos 2∫ xxx

svolgimento

( )

cxx

xctt

t

ttt

tt

xxx

tx

+−−=+−−=

=+−==

=

∫∫∫

sin1

sinsinlog1log

dt 1logdt logdx sin

sinlogcos

:ha si sin posto

222

Calcolare dx3 42

1

xex

xsen∫

porre tx = e poi integrare per parti.

Calcolare ( ) dx1xlog1x 1

0

3++∫

porre tx =+1 e poi integrare per parti.