L’INTEGRABILITA SECONDO RIEMANN` · 2019. 12. 20. · `e integrabile secondo Riemann se e solo se...
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LrsquoINTEGRABILITA SECONDO RIEMANN
Tutto cio che ho sempre desiderato saperee non ho mai osato chiedere
prof Antonio Grecohttppeopleunicaitantoniogreco
Dipartimento di Matematica e Informatica
Universita di Cagliari
18-12-2019
Indice
Prefazione 3
Integrali semplici
Due impostazioni a confronto 5Vantaggi e svantaggi 5Equivalenza dimostrazione ele-
mentare 6Equivalenza dimostrazione col
teorema di Lebesgue-Vitali 8
Integrali doppi
Premessa 10Lrsquoimpostazione semplificata e-
quivale a quella usuale 11Integrabilita per rettangoli chiusi 12Integrabilita per successioni 13Limitatezza 13Definizione tramite la misura 14Il teorema di Lebesgue-Vitali 15
Appendice
La tesi di Riemann 18
Bibliografia 21
PREFAZIONE
Questa dispensa ancora nello
stato di bozza da verificare e com-pletare scaturisce da diverse esi-
genze
1) rispondere alla domanda ldquocosacrsquoe di male se divido lrsquointervallo
di integrazione in parti ugualirdquo
2) semplificare la vita agli stu-
denti che nel breve tempo con-
cesso al corso vogliono studia-re la definizione dellrsquointegrale di
Riemann
3) capire il teorema di Lebesgue-
Vitali enunciato dal prof Man-
dras quando ero studente
Sia chiaro che la vera ldquosempli-
ficazionerdquo consiste nel prendereper buona la definizione sempli-
ficata (con lrsquointervallo suddiviso
in parti uguali) e non leggere leprossime pagine
Integrali semplici
DUE IMPOSTAZIONI A CON-
FRONTO
Nel definire lrsquointegrabilita diuna funzione secondo Riemann si
possono seguire equivalentementele seguenti due impostazioni
Le illustriamo per semplicita
con riferimento ad una funzionelimitata f di una variabile reale x
Impostazione usuale si divide lrsquoin-
tervallo di integrazione (a b) in mintervalli tramite i punti
a = x0 lt x1 lt lt xm = b
non necessariamente equidistantie si fa tendere a zero la cosid-
detta norma della decomposizio-ne cioe la quantita δ data da
δ = maxh=1m
(xh minus xhminus1) (1)
Impostazione semplificata si divi-de lrsquointervallo (a b) in n intervalli
aventi tutti la stessa lunghezza esi fa tendere n allrsquoinfinito
In questo caso i punti di divisio-
ne sono
xi = a+ ibminus a
n i = 0 n (2)
Lrsquoimpostazione semplificata e la
sua equivalenza con quella usua-le vennero studiate in una classi-
ca opera del Dini v [4 sect184 pa-
gina 240]
VANTAGGI E SVANTAGGI DEL-
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-TA
Lrsquoimpostazione semplificata pre-
senta alcuni vantaggi
1) non crsquoe bisogno di studiarecosrsquoe la ldquonorma della decomposi-
zionerdquo
2) si fa un limite per n rarr +infin
che e piu congeniale del limite per
δ rarr 0 dato il particolare signifi-cato di δ
3) non si corre il rischio di direche ldquoil numero dei punti di suddi-
visione deve tendere allrsquoinfinitordquo
dimenticandosi di dire che δ rarr 0
Lrsquoimpostazione semplificata mo-
stra i suoi limiti quando si vogliadimostrare lrsquoadditivita dellrsquointe-
grale
Infatti dividendo gli interval-li (a b) e (b c) in parti uguali non e
detto che lrsquointervallo (a c) risultianchrsquoesso suddiviso in parti ugua-
li
Per dimostrare lrsquoadditivita del-lrsquointegrale conviene considerare
suddivisioni in parti non necessa-riamente tutte uguali fra loro
Tuttavia lrsquoimpostazione sempli-
ficata e la dimostrazione di equi-valenza rispondono alla natura-
le curiosita ldquocosa crsquoe di male sedivido lrsquointervallo in parti ugua-
lirdquo
Integrabilita secondo Riemann - pag 5 - prof Antonio Greco
Verifichiamo che le due imposta-
zioni sono equivalenti fra loro
Prima parte Supponiamo che f ri-sulti integrabile nellrsquoimpostazio-
ne usuale e poniamo
ℓ =
int b
a
f(x) dx
Preso ε gt 0 vogliamo dimostrareche esiste nε tale che per ogni n gt
nε risulta∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusn
sum
i=1
f(xlowasti ) (xi minus ximinus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε (3)
indipendentemente dalla scelta deipunti xlowasti isin (ximinus1 xi) dove gli xi sono
come nella (2)
Per ipotesi esiste δε gt 0 taleche comunque si prendano punti
di suddivisione xh soddisfacenti lacondizione
xh minus xhminus1 lt δε per h = 1 m
e comunque si scelga xlowasth isin (xhminus1 xh)si ha
∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusmsum
h=1
f(xlowasth) (xh minus xhminus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε
essendo m il numero degli inter-valli della suddivisione
Possiamo dunque prendere i punti
xi come nella (2) purche
n gt nε =bminus a
δε
e la (3) e soddisfatta concluden-
do cosı la prima parte della dimo-strazione
Seconda parte Supponiamo che
f risulti integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata Vogliamo di-
mostrare che f e integrabile nelsenso usuale
A tal fine indichiamo con D = a =x0 lt x1 lt lt xm = b una qualun-que suddivisione dellrsquointervallo di
integrazione (a b) in m parti nonnecessariamente uguali Posto
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) infIh
f
e
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) supIh
f
con Ih = (xhminus1 xh) e noto che i limi-ti di Sm e di Sm per δ rarr 0+ esistono
e coincidono rispettivamente con
supD
Sm e infD
Sm
dove gli estremi superiore e infe-
riore sono fatti al variare di mnellrsquoinsieme Z
+ ed al variare del-
la suddivisione D in tutti i modipossibili Si ha inoltre
supD
Sm le infD
Sm (4)
E noto inoltre che la funzione fe integrabile secondo Riemann se
e solo se sussiste lrsquouguaglianza
supD
Sm = infD
Sm (5)
Per dimostrare la (5) fissiamo in-nanzitutto un intero positivo n
e suddividiamo lrsquointervallo di in-tegrazione (a b) in n parti uguali
tramite i punti xi dati dalla (2)
Integrabilita secondo Riemann - pag 6 - prof Antonio Greco
Consideriamo ora una suddivi-
sione arbitraria D = a = x1 lt ltxm = b dellrsquointervallo (a b) in m
parti m ge 1
I corrispondenti intervalli Ih =(xhminus1 xh) sono di due tipi alcuni
contengono uno o piu punti xi con
i = 1 nminus1 altri non ne conten-gono alcuno
Dunque possiamo scrivere
Sm =sum
h=1mIhcapx1xnminus16=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
+sum
h=1mIhcapx1xnminus1=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
e i termini della prima sommatoriasono al piu nminus 1
Percio indicata con δ la norma (1)della decomposizione D e siccome
f e limitata la prima sommatoriatende a zero quando δ rarr 0
Inoltre un intervallo Ih che non
contiene punti xi e necessariamen-te incluso in Ii = (ximinus1 xi) per qual-
che i e si ha
infIh
f ge infIi
f
Quindi lrsquoultima sommatoria si puo
riscrivere come seguen
sum
i=1
sum
IhsubIi
(xh minus xhminus1) infIh
f
e si puo stimare per difetto conn
sum
i=1
infIi
fsum
IhsubIi
(xh minus xhminus1)
=n
sum
i=1
(maxxhlexi
xh minus minxhgeximinus1
xh) infIi
f
Dunque facendo tendere δ a zero
si conclude che
supD
Sm gen
sum
i=1
(xi minus ximinus1) infIi
f
Ora facciamo tendere n allrsquoinfini-
to Poiche per ipotesi il secondomembro tende ad un limite ℓ isin R
si hasupD
Sm ge ℓ
Drsquoaltro canto con un ragionamen-to analogo si giunge a concludere
che
infD
Sm le ℓ
Ma siccome in generale sussiste
la disuguaglianza (4) la (5) e di-
mostrata
Integrabilita secondo Riemann - pag 7 - prof Antonio Greco
Alternativamente la seconda
parte della dimostrazione si puoanche svolgere come segue
Supponiamo che f risulti inte-
grabile nellrsquoimpostazione semplifi-cata Allora f e limitata
Per proseguire invochiamo uncelebre risultato della teoria di
Lebesgue il teorema di Lebesgue-Vitalidagger
Per il teorema di Lebesgue-Vitali
la funzione limitata f e integra-bile nel senso usuale se e solo se
lrsquoinsieme dei punti di discontinuitadi f ha misura nulla Indicato con
ω(x) = limrrarr0+
(
sup(xminusr x+r)
f minus inf(xminusr x+r)
f)
il cosiddetto ldquosaltordquo della fun-zione in un punto x isin (a b) osser-
viamo che f e continua in x se esolo se ω(x) = 0
In virtu della numerabile addi-
tivita della misura e sufficientedimostrare che per ogni ε0 gt 0 ha
misura nulla lrsquoinsieme
Eε0 = x isin (a b) | ω(x) gt ε0
Posto m0 = |Eε0| consideriamo oragli n punti equidistanti dati dal-
la (2) Poiche si ha
|Eε0| =n
sum
i=1
|Eε0 cap (ximinus1 xi)|
e poiche la misura di Ii = (ximinus1 xi) e(bminusa)n il numero ν degli interval-
li Ii che intersecano Eε0 soddisfa
m0 lebminus a
nν (6)
Questa disuguaglianza ci servira
tra poco Ora osserviamo che inciascuno dei ν intervalli Ii che in-
tersecano lrsquoinsieme Eε0 esiste perdefinizione almeno un punto x ta-
le che ω(x) gt ε0
Quindi prendendo punti xlowasti xlowastlowasti isin
Ii sufficientemente vicini ad x pos-siamo far sı che
f(xlowastk)minus f(xlowastlowastk ) geε02
Negli intervalli Ii che non in-tersecano Eε0 prendiamo a piacere
xlowasti = xlowastlowasti Cosı facendo le somme diCauchy-Riemann
Slowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowasti )
e
Slowastlowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowastlowasti )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n gebminus a
nνε02
e quindi per la (6)
Slowastn minus Slowastlowast
n ge m0ε02 (7)
Quando n tende a +infin poiche Slowastn e
Slowastlowastn hanno un limite comune ℓ la lo-
ro differenza tende a zero e per-
cio risulta m0 = 0 come volevasidimostrare
Dunque lrsquoimpostazione semplifi-cata e equivalente a quella usua-
le
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Integrabilita secondo Riemann - pag 8 - prof Antonio Greco
Integrali doppi
PREMESSA
La dissertazione di Riemann [10]
riguarda solo lrsquointegrale sempli-ce
Secondo Kline [7] (pag 1122)
la teoria riemanniana dellrsquointe-grazione fu estesa alle funzioni
di due variabili da K J Thomaenella comunicazione breve [12]
La suddetta comunicazione fa
riferimento a sua volta al li-bro [13] dello stesso Thomae nel
quale il paragrafo 50 (pag 33)riguarda la definizione dellrsquointe-
grale doppio
Integrabilita secondo Riemann - pag 10 - prof Antonio Greco
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-
TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE
Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-
siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast
ij
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme di
Cauchy-Riemann definite come diconsueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-
gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast
hk) ge infRhkf ge infRij
f possiamo
scrivere
S ge o(1) +n
sum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| (8)
Quando la norma δ della decom-
posizione tende a zero si hasum
RhksubRij
|Rhk| rarr |Rij|
e quindi nella (8) risulta
nsum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| rarrn
sum
ij=1
|Rij| infRij
f
gt
nsum
ij=1
(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|
gt ℓminus ε (1 + |R|)
percio esiste δε tale che se δ lt δε si
haS gt ℓminus ε (2 + |R|)
Con un ragionamento analogo si
dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha
S lt ℓ+ ε (2 + |R|)
dunque per la definizione di limi-
te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 11 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
Indice
Prefazione 3
Integrali semplici
Due impostazioni a confronto 5Vantaggi e svantaggi 5Equivalenza dimostrazione ele-
mentare 6Equivalenza dimostrazione col
teorema di Lebesgue-Vitali 8
Integrali doppi
Premessa 10Lrsquoimpostazione semplificata e-
quivale a quella usuale 11Integrabilita per rettangoli chiusi 12Integrabilita per successioni 13Limitatezza 13Definizione tramite la misura 14Il teorema di Lebesgue-Vitali 15
Appendice
La tesi di Riemann 18
Bibliografia 21
PREFAZIONE
Questa dispensa ancora nello
stato di bozza da verificare e com-pletare scaturisce da diverse esi-
genze
1) rispondere alla domanda ldquocosacrsquoe di male se divido lrsquointervallo
di integrazione in parti ugualirdquo
2) semplificare la vita agli stu-
denti che nel breve tempo con-
cesso al corso vogliono studia-re la definizione dellrsquointegrale di
Riemann
3) capire il teorema di Lebesgue-
Vitali enunciato dal prof Man-
dras quando ero studente
Sia chiaro che la vera ldquosempli-
ficazionerdquo consiste nel prendereper buona la definizione sempli-
ficata (con lrsquointervallo suddiviso
in parti uguali) e non leggere leprossime pagine
Integrali semplici
DUE IMPOSTAZIONI A CON-
FRONTO
Nel definire lrsquointegrabilita diuna funzione secondo Riemann si
possono seguire equivalentementele seguenti due impostazioni
Le illustriamo per semplicita
con riferimento ad una funzionelimitata f di una variabile reale x
Impostazione usuale si divide lrsquoin-
tervallo di integrazione (a b) in mintervalli tramite i punti
a = x0 lt x1 lt lt xm = b
non necessariamente equidistantie si fa tendere a zero la cosid-
detta norma della decomposizio-ne cioe la quantita δ data da
δ = maxh=1m
(xh minus xhminus1) (1)
Impostazione semplificata si divi-de lrsquointervallo (a b) in n intervalli
aventi tutti la stessa lunghezza esi fa tendere n allrsquoinfinito
In questo caso i punti di divisio-
ne sono
xi = a+ ibminus a
n i = 0 n (2)
Lrsquoimpostazione semplificata e la
sua equivalenza con quella usua-le vennero studiate in una classi-
ca opera del Dini v [4 sect184 pa-
gina 240]
VANTAGGI E SVANTAGGI DEL-
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-TA
Lrsquoimpostazione semplificata pre-
senta alcuni vantaggi
1) non crsquoe bisogno di studiarecosrsquoe la ldquonorma della decomposi-
zionerdquo
2) si fa un limite per n rarr +infin
che e piu congeniale del limite per
δ rarr 0 dato il particolare signifi-cato di δ
3) non si corre il rischio di direche ldquoil numero dei punti di suddi-
visione deve tendere allrsquoinfinitordquo
dimenticandosi di dire che δ rarr 0
Lrsquoimpostazione semplificata mo-
stra i suoi limiti quando si vogliadimostrare lrsquoadditivita dellrsquointe-
grale
Infatti dividendo gli interval-li (a b) e (b c) in parti uguali non e
detto che lrsquointervallo (a c) risultianchrsquoesso suddiviso in parti ugua-
li
Per dimostrare lrsquoadditivita del-lrsquointegrale conviene considerare
suddivisioni in parti non necessa-riamente tutte uguali fra loro
Tuttavia lrsquoimpostazione sempli-
ficata e la dimostrazione di equi-valenza rispondono alla natura-
le curiosita ldquocosa crsquoe di male sedivido lrsquointervallo in parti ugua-
lirdquo
Integrabilita secondo Riemann - pag 5 - prof Antonio Greco
Verifichiamo che le due imposta-
zioni sono equivalenti fra loro
Prima parte Supponiamo che f ri-sulti integrabile nellrsquoimpostazio-
ne usuale e poniamo
ℓ =
int b
a
f(x) dx
Preso ε gt 0 vogliamo dimostrareche esiste nε tale che per ogni n gt
nε risulta∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusn
sum
i=1
f(xlowasti ) (xi minus ximinus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε (3)
indipendentemente dalla scelta deipunti xlowasti isin (ximinus1 xi) dove gli xi sono
come nella (2)
Per ipotesi esiste δε gt 0 taleche comunque si prendano punti
di suddivisione xh soddisfacenti lacondizione
xh minus xhminus1 lt δε per h = 1 m
e comunque si scelga xlowasth isin (xhminus1 xh)si ha
∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusmsum
h=1
f(xlowasth) (xh minus xhminus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε
essendo m il numero degli inter-valli della suddivisione
Possiamo dunque prendere i punti
xi come nella (2) purche
n gt nε =bminus a
δε
e la (3) e soddisfatta concluden-
do cosı la prima parte della dimo-strazione
Seconda parte Supponiamo che
f risulti integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata Vogliamo di-
mostrare che f e integrabile nelsenso usuale
A tal fine indichiamo con D = a =x0 lt x1 lt lt xm = b una qualun-que suddivisione dellrsquointervallo di
integrazione (a b) in m parti nonnecessariamente uguali Posto
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) infIh
f
e
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) supIh
f
con Ih = (xhminus1 xh) e noto che i limi-ti di Sm e di Sm per δ rarr 0+ esistono
e coincidono rispettivamente con
supD
Sm e infD
Sm
dove gli estremi superiore e infe-
riore sono fatti al variare di mnellrsquoinsieme Z
+ ed al variare del-
la suddivisione D in tutti i modipossibili Si ha inoltre
supD
Sm le infD
Sm (4)
E noto inoltre che la funzione fe integrabile secondo Riemann se
e solo se sussiste lrsquouguaglianza
supD
Sm = infD
Sm (5)
Per dimostrare la (5) fissiamo in-nanzitutto un intero positivo n
e suddividiamo lrsquointervallo di in-tegrazione (a b) in n parti uguali
tramite i punti xi dati dalla (2)
Integrabilita secondo Riemann - pag 6 - prof Antonio Greco
Consideriamo ora una suddivi-
sione arbitraria D = a = x1 lt ltxm = b dellrsquointervallo (a b) in m
parti m ge 1
I corrispondenti intervalli Ih =(xhminus1 xh) sono di due tipi alcuni
contengono uno o piu punti xi con
i = 1 nminus1 altri non ne conten-gono alcuno
Dunque possiamo scrivere
Sm =sum
h=1mIhcapx1xnminus16=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
+sum
h=1mIhcapx1xnminus1=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
e i termini della prima sommatoriasono al piu nminus 1
Percio indicata con δ la norma (1)della decomposizione D e siccome
f e limitata la prima sommatoriatende a zero quando δ rarr 0
Inoltre un intervallo Ih che non
contiene punti xi e necessariamen-te incluso in Ii = (ximinus1 xi) per qual-
che i e si ha
infIh
f ge infIi
f
Quindi lrsquoultima sommatoria si puo
riscrivere come seguen
sum
i=1
sum
IhsubIi
(xh minus xhminus1) infIh
f
e si puo stimare per difetto conn
sum
i=1
infIi
fsum
IhsubIi
(xh minus xhminus1)
=n
sum
i=1
(maxxhlexi
xh minus minxhgeximinus1
xh) infIi
f
Dunque facendo tendere δ a zero
si conclude che
supD
Sm gen
sum
i=1
(xi minus ximinus1) infIi
f
Ora facciamo tendere n allrsquoinfini-
to Poiche per ipotesi il secondomembro tende ad un limite ℓ isin R
si hasupD
Sm ge ℓ
Drsquoaltro canto con un ragionamen-to analogo si giunge a concludere
che
infD
Sm le ℓ
Ma siccome in generale sussiste
la disuguaglianza (4) la (5) e di-
mostrata
Integrabilita secondo Riemann - pag 7 - prof Antonio Greco
Alternativamente la seconda
parte della dimostrazione si puoanche svolgere come segue
Supponiamo che f risulti inte-
grabile nellrsquoimpostazione semplifi-cata Allora f e limitata
Per proseguire invochiamo uncelebre risultato della teoria di
Lebesgue il teorema di Lebesgue-Vitalidagger
Per il teorema di Lebesgue-Vitali
la funzione limitata f e integra-bile nel senso usuale se e solo se
lrsquoinsieme dei punti di discontinuitadi f ha misura nulla Indicato con
ω(x) = limrrarr0+
(
sup(xminusr x+r)
f minus inf(xminusr x+r)
f)
il cosiddetto ldquosaltordquo della fun-zione in un punto x isin (a b) osser-
viamo che f e continua in x se esolo se ω(x) = 0
In virtu della numerabile addi-
tivita della misura e sufficientedimostrare che per ogni ε0 gt 0 ha
misura nulla lrsquoinsieme
Eε0 = x isin (a b) | ω(x) gt ε0
Posto m0 = |Eε0| consideriamo oragli n punti equidistanti dati dal-
la (2) Poiche si ha
|Eε0| =n
sum
i=1
|Eε0 cap (ximinus1 xi)|
e poiche la misura di Ii = (ximinus1 xi) e(bminusa)n il numero ν degli interval-
li Ii che intersecano Eε0 soddisfa
m0 lebminus a
nν (6)
Questa disuguaglianza ci servira
tra poco Ora osserviamo che inciascuno dei ν intervalli Ii che in-
tersecano lrsquoinsieme Eε0 esiste perdefinizione almeno un punto x ta-
le che ω(x) gt ε0
Quindi prendendo punti xlowasti xlowastlowasti isin
Ii sufficientemente vicini ad x pos-siamo far sı che
f(xlowastk)minus f(xlowastlowastk ) geε02
Negli intervalli Ii che non in-tersecano Eε0 prendiamo a piacere
xlowasti = xlowastlowasti Cosı facendo le somme diCauchy-Riemann
Slowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowasti )
e
Slowastlowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowastlowasti )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n gebminus a
nνε02
e quindi per la (6)
Slowastn minus Slowastlowast
n ge m0ε02 (7)
Quando n tende a +infin poiche Slowastn e
Slowastlowastn hanno un limite comune ℓ la lo-
ro differenza tende a zero e per-
cio risulta m0 = 0 come volevasidimostrare
Dunque lrsquoimpostazione semplifi-cata e equivalente a quella usua-
le
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Integrabilita secondo Riemann - pag 8 - prof Antonio Greco
Integrali doppi
PREMESSA
La dissertazione di Riemann [10]
riguarda solo lrsquointegrale sempli-ce
Secondo Kline [7] (pag 1122)
la teoria riemanniana dellrsquointe-grazione fu estesa alle funzioni
di due variabili da K J Thomaenella comunicazione breve [12]
La suddetta comunicazione fa
riferimento a sua volta al li-bro [13] dello stesso Thomae nel
quale il paragrafo 50 (pag 33)riguarda la definizione dellrsquointe-
grale doppio
Integrabilita secondo Riemann - pag 10 - prof Antonio Greco
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-
TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE
Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-
siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast
ij
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme di
Cauchy-Riemann definite come diconsueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-
gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast
hk) ge infRhkf ge infRij
f possiamo
scrivere
S ge o(1) +n
sum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| (8)
Quando la norma δ della decom-
posizione tende a zero si hasum
RhksubRij
|Rhk| rarr |Rij|
e quindi nella (8) risulta
nsum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| rarrn
sum
ij=1
|Rij| infRij
f
gt
nsum
ij=1
(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|
gt ℓminus ε (1 + |R|)
percio esiste δε tale che se δ lt δε si
haS gt ℓminus ε (2 + |R|)
Con un ragionamento analogo si
dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha
S lt ℓ+ ε (2 + |R|)
dunque per la definizione di limi-
te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 11 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
PREFAZIONE
Questa dispensa ancora nello
stato di bozza da verificare e com-pletare scaturisce da diverse esi-
genze
1) rispondere alla domanda ldquocosacrsquoe di male se divido lrsquointervallo
di integrazione in parti ugualirdquo
2) semplificare la vita agli stu-
denti che nel breve tempo con-
cesso al corso vogliono studia-re la definizione dellrsquointegrale di
Riemann
3) capire il teorema di Lebesgue-
Vitali enunciato dal prof Man-
dras quando ero studente
Sia chiaro che la vera ldquosempli-
ficazionerdquo consiste nel prendereper buona la definizione sempli-
ficata (con lrsquointervallo suddiviso
in parti uguali) e non leggere leprossime pagine
Integrali semplici
DUE IMPOSTAZIONI A CON-
FRONTO
Nel definire lrsquointegrabilita diuna funzione secondo Riemann si
possono seguire equivalentementele seguenti due impostazioni
Le illustriamo per semplicita
con riferimento ad una funzionelimitata f di una variabile reale x
Impostazione usuale si divide lrsquoin-
tervallo di integrazione (a b) in mintervalli tramite i punti
a = x0 lt x1 lt lt xm = b
non necessariamente equidistantie si fa tendere a zero la cosid-
detta norma della decomposizio-ne cioe la quantita δ data da
δ = maxh=1m
(xh minus xhminus1) (1)
Impostazione semplificata si divi-de lrsquointervallo (a b) in n intervalli
aventi tutti la stessa lunghezza esi fa tendere n allrsquoinfinito
In questo caso i punti di divisio-
ne sono
xi = a+ ibminus a
n i = 0 n (2)
Lrsquoimpostazione semplificata e la
sua equivalenza con quella usua-le vennero studiate in una classi-
ca opera del Dini v [4 sect184 pa-
gina 240]
VANTAGGI E SVANTAGGI DEL-
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-TA
Lrsquoimpostazione semplificata pre-
senta alcuni vantaggi
1) non crsquoe bisogno di studiarecosrsquoe la ldquonorma della decomposi-
zionerdquo
2) si fa un limite per n rarr +infin
che e piu congeniale del limite per
δ rarr 0 dato il particolare signifi-cato di δ
3) non si corre il rischio di direche ldquoil numero dei punti di suddi-
visione deve tendere allrsquoinfinitordquo
dimenticandosi di dire che δ rarr 0
Lrsquoimpostazione semplificata mo-
stra i suoi limiti quando si vogliadimostrare lrsquoadditivita dellrsquointe-
grale
Infatti dividendo gli interval-li (a b) e (b c) in parti uguali non e
detto che lrsquointervallo (a c) risultianchrsquoesso suddiviso in parti ugua-
li
Per dimostrare lrsquoadditivita del-lrsquointegrale conviene considerare
suddivisioni in parti non necessa-riamente tutte uguali fra loro
Tuttavia lrsquoimpostazione sempli-
ficata e la dimostrazione di equi-valenza rispondono alla natura-
le curiosita ldquocosa crsquoe di male sedivido lrsquointervallo in parti ugua-
lirdquo
Integrabilita secondo Riemann - pag 5 - prof Antonio Greco
Verifichiamo che le due imposta-
zioni sono equivalenti fra loro
Prima parte Supponiamo che f ri-sulti integrabile nellrsquoimpostazio-
ne usuale e poniamo
ℓ =
int b
a
f(x) dx
Preso ε gt 0 vogliamo dimostrareche esiste nε tale che per ogni n gt
nε risulta∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusn
sum
i=1
f(xlowasti ) (xi minus ximinus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε (3)
indipendentemente dalla scelta deipunti xlowasti isin (ximinus1 xi) dove gli xi sono
come nella (2)
Per ipotesi esiste δε gt 0 taleche comunque si prendano punti
di suddivisione xh soddisfacenti lacondizione
xh minus xhminus1 lt δε per h = 1 m
e comunque si scelga xlowasth isin (xhminus1 xh)si ha
∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusmsum
h=1
f(xlowasth) (xh minus xhminus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε
essendo m il numero degli inter-valli della suddivisione
Possiamo dunque prendere i punti
xi come nella (2) purche
n gt nε =bminus a
δε
e la (3) e soddisfatta concluden-
do cosı la prima parte della dimo-strazione
Seconda parte Supponiamo che
f risulti integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata Vogliamo di-
mostrare che f e integrabile nelsenso usuale
A tal fine indichiamo con D = a =x0 lt x1 lt lt xm = b una qualun-que suddivisione dellrsquointervallo di
integrazione (a b) in m parti nonnecessariamente uguali Posto
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) infIh
f
e
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) supIh
f
con Ih = (xhminus1 xh) e noto che i limi-ti di Sm e di Sm per δ rarr 0+ esistono
e coincidono rispettivamente con
supD
Sm e infD
Sm
dove gli estremi superiore e infe-
riore sono fatti al variare di mnellrsquoinsieme Z
+ ed al variare del-
la suddivisione D in tutti i modipossibili Si ha inoltre
supD
Sm le infD
Sm (4)
E noto inoltre che la funzione fe integrabile secondo Riemann se
e solo se sussiste lrsquouguaglianza
supD
Sm = infD
Sm (5)
Per dimostrare la (5) fissiamo in-nanzitutto un intero positivo n
e suddividiamo lrsquointervallo di in-tegrazione (a b) in n parti uguali
tramite i punti xi dati dalla (2)
Integrabilita secondo Riemann - pag 6 - prof Antonio Greco
Consideriamo ora una suddivi-
sione arbitraria D = a = x1 lt ltxm = b dellrsquointervallo (a b) in m
parti m ge 1
I corrispondenti intervalli Ih =(xhminus1 xh) sono di due tipi alcuni
contengono uno o piu punti xi con
i = 1 nminus1 altri non ne conten-gono alcuno
Dunque possiamo scrivere
Sm =sum
h=1mIhcapx1xnminus16=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
+sum
h=1mIhcapx1xnminus1=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
e i termini della prima sommatoriasono al piu nminus 1
Percio indicata con δ la norma (1)della decomposizione D e siccome
f e limitata la prima sommatoriatende a zero quando δ rarr 0
Inoltre un intervallo Ih che non
contiene punti xi e necessariamen-te incluso in Ii = (ximinus1 xi) per qual-
che i e si ha
infIh
f ge infIi
f
Quindi lrsquoultima sommatoria si puo
riscrivere come seguen
sum
i=1
sum
IhsubIi
(xh minus xhminus1) infIh
f
e si puo stimare per difetto conn
sum
i=1
infIi
fsum
IhsubIi
(xh minus xhminus1)
=n
sum
i=1
(maxxhlexi
xh minus minxhgeximinus1
xh) infIi
f
Dunque facendo tendere δ a zero
si conclude che
supD
Sm gen
sum
i=1
(xi minus ximinus1) infIi
f
Ora facciamo tendere n allrsquoinfini-
to Poiche per ipotesi il secondomembro tende ad un limite ℓ isin R
si hasupD
Sm ge ℓ
Drsquoaltro canto con un ragionamen-to analogo si giunge a concludere
che
infD
Sm le ℓ
Ma siccome in generale sussiste
la disuguaglianza (4) la (5) e di-
mostrata
Integrabilita secondo Riemann - pag 7 - prof Antonio Greco
Alternativamente la seconda
parte della dimostrazione si puoanche svolgere come segue
Supponiamo che f risulti inte-
grabile nellrsquoimpostazione semplifi-cata Allora f e limitata
Per proseguire invochiamo uncelebre risultato della teoria di
Lebesgue il teorema di Lebesgue-Vitalidagger
Per il teorema di Lebesgue-Vitali
la funzione limitata f e integra-bile nel senso usuale se e solo se
lrsquoinsieme dei punti di discontinuitadi f ha misura nulla Indicato con
ω(x) = limrrarr0+
(
sup(xminusr x+r)
f minus inf(xminusr x+r)
f)
il cosiddetto ldquosaltordquo della fun-zione in un punto x isin (a b) osser-
viamo che f e continua in x se esolo se ω(x) = 0
In virtu della numerabile addi-
tivita della misura e sufficientedimostrare che per ogni ε0 gt 0 ha
misura nulla lrsquoinsieme
Eε0 = x isin (a b) | ω(x) gt ε0
Posto m0 = |Eε0| consideriamo oragli n punti equidistanti dati dal-
la (2) Poiche si ha
|Eε0| =n
sum
i=1
|Eε0 cap (ximinus1 xi)|
e poiche la misura di Ii = (ximinus1 xi) e(bminusa)n il numero ν degli interval-
li Ii che intersecano Eε0 soddisfa
m0 lebminus a
nν (6)
Questa disuguaglianza ci servira
tra poco Ora osserviamo che inciascuno dei ν intervalli Ii che in-
tersecano lrsquoinsieme Eε0 esiste perdefinizione almeno un punto x ta-
le che ω(x) gt ε0
Quindi prendendo punti xlowasti xlowastlowasti isin
Ii sufficientemente vicini ad x pos-siamo far sı che
f(xlowastk)minus f(xlowastlowastk ) geε02
Negli intervalli Ii che non in-tersecano Eε0 prendiamo a piacere
xlowasti = xlowastlowasti Cosı facendo le somme diCauchy-Riemann
Slowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowasti )
e
Slowastlowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowastlowasti )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n gebminus a
nνε02
e quindi per la (6)
Slowastn minus Slowastlowast
n ge m0ε02 (7)
Quando n tende a +infin poiche Slowastn e
Slowastlowastn hanno un limite comune ℓ la lo-
ro differenza tende a zero e per-
cio risulta m0 = 0 come volevasidimostrare
Dunque lrsquoimpostazione semplifi-cata e equivalente a quella usua-
le
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Integrabilita secondo Riemann - pag 8 - prof Antonio Greco
Integrali doppi
PREMESSA
La dissertazione di Riemann [10]
riguarda solo lrsquointegrale sempli-ce
Secondo Kline [7] (pag 1122)
la teoria riemanniana dellrsquointe-grazione fu estesa alle funzioni
di due variabili da K J Thomaenella comunicazione breve [12]
La suddetta comunicazione fa
riferimento a sua volta al li-bro [13] dello stesso Thomae nel
quale il paragrafo 50 (pag 33)riguarda la definizione dellrsquointe-
grale doppio
Integrabilita secondo Riemann - pag 10 - prof Antonio Greco
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-
TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE
Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-
siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast
ij
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme di
Cauchy-Riemann definite come diconsueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-
gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast
hk) ge infRhkf ge infRij
f possiamo
scrivere
S ge o(1) +n
sum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| (8)
Quando la norma δ della decom-
posizione tende a zero si hasum
RhksubRij
|Rhk| rarr |Rij|
e quindi nella (8) risulta
nsum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| rarrn
sum
ij=1
|Rij| infRij
f
gt
nsum
ij=1
(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|
gt ℓminus ε (1 + |R|)
percio esiste δε tale che se δ lt δε si
haS gt ℓminus ε (2 + |R|)
Con un ragionamento analogo si
dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha
S lt ℓ+ ε (2 + |R|)
dunque per la definizione di limi-
te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 11 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
Integrali semplici
DUE IMPOSTAZIONI A CON-
FRONTO
Nel definire lrsquointegrabilita diuna funzione secondo Riemann si
possono seguire equivalentementele seguenti due impostazioni
Le illustriamo per semplicita
con riferimento ad una funzionelimitata f di una variabile reale x
Impostazione usuale si divide lrsquoin-
tervallo di integrazione (a b) in mintervalli tramite i punti
a = x0 lt x1 lt lt xm = b
non necessariamente equidistantie si fa tendere a zero la cosid-
detta norma della decomposizio-ne cioe la quantita δ data da
δ = maxh=1m
(xh minus xhminus1) (1)
Impostazione semplificata si divi-de lrsquointervallo (a b) in n intervalli
aventi tutti la stessa lunghezza esi fa tendere n allrsquoinfinito
In questo caso i punti di divisio-
ne sono
xi = a+ ibminus a
n i = 0 n (2)
Lrsquoimpostazione semplificata e la
sua equivalenza con quella usua-le vennero studiate in una classi-
ca opera del Dini v [4 sect184 pa-
gina 240]
VANTAGGI E SVANTAGGI DEL-
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-TA
Lrsquoimpostazione semplificata pre-
senta alcuni vantaggi
1) non crsquoe bisogno di studiarecosrsquoe la ldquonorma della decomposi-
zionerdquo
2) si fa un limite per n rarr +infin
che e piu congeniale del limite per
δ rarr 0 dato il particolare signifi-cato di δ
3) non si corre il rischio di direche ldquoil numero dei punti di suddi-
visione deve tendere allrsquoinfinitordquo
dimenticandosi di dire che δ rarr 0
Lrsquoimpostazione semplificata mo-
stra i suoi limiti quando si vogliadimostrare lrsquoadditivita dellrsquointe-
grale
Infatti dividendo gli interval-li (a b) e (b c) in parti uguali non e
detto che lrsquointervallo (a c) risultianchrsquoesso suddiviso in parti ugua-
li
Per dimostrare lrsquoadditivita del-lrsquointegrale conviene considerare
suddivisioni in parti non necessa-riamente tutte uguali fra loro
Tuttavia lrsquoimpostazione sempli-
ficata e la dimostrazione di equi-valenza rispondono alla natura-
le curiosita ldquocosa crsquoe di male sedivido lrsquointervallo in parti ugua-
lirdquo
Integrabilita secondo Riemann - pag 5 - prof Antonio Greco
Verifichiamo che le due imposta-
zioni sono equivalenti fra loro
Prima parte Supponiamo che f ri-sulti integrabile nellrsquoimpostazio-
ne usuale e poniamo
ℓ =
int b
a
f(x) dx
Preso ε gt 0 vogliamo dimostrareche esiste nε tale che per ogni n gt
nε risulta∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusn
sum
i=1
f(xlowasti ) (xi minus ximinus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε (3)
indipendentemente dalla scelta deipunti xlowasti isin (ximinus1 xi) dove gli xi sono
come nella (2)
Per ipotesi esiste δε gt 0 taleche comunque si prendano punti
di suddivisione xh soddisfacenti lacondizione
xh minus xhminus1 lt δε per h = 1 m
e comunque si scelga xlowasth isin (xhminus1 xh)si ha
∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusmsum
h=1
f(xlowasth) (xh minus xhminus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε
essendo m il numero degli inter-valli della suddivisione
Possiamo dunque prendere i punti
xi come nella (2) purche
n gt nε =bminus a
δε
e la (3) e soddisfatta concluden-
do cosı la prima parte della dimo-strazione
Seconda parte Supponiamo che
f risulti integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata Vogliamo di-
mostrare che f e integrabile nelsenso usuale
A tal fine indichiamo con D = a =x0 lt x1 lt lt xm = b una qualun-que suddivisione dellrsquointervallo di
integrazione (a b) in m parti nonnecessariamente uguali Posto
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) infIh
f
e
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) supIh
f
con Ih = (xhminus1 xh) e noto che i limi-ti di Sm e di Sm per δ rarr 0+ esistono
e coincidono rispettivamente con
supD
Sm e infD
Sm
dove gli estremi superiore e infe-
riore sono fatti al variare di mnellrsquoinsieme Z
+ ed al variare del-
la suddivisione D in tutti i modipossibili Si ha inoltre
supD
Sm le infD
Sm (4)
E noto inoltre che la funzione fe integrabile secondo Riemann se
e solo se sussiste lrsquouguaglianza
supD
Sm = infD
Sm (5)
Per dimostrare la (5) fissiamo in-nanzitutto un intero positivo n
e suddividiamo lrsquointervallo di in-tegrazione (a b) in n parti uguali
tramite i punti xi dati dalla (2)
Integrabilita secondo Riemann - pag 6 - prof Antonio Greco
Consideriamo ora una suddivi-
sione arbitraria D = a = x1 lt ltxm = b dellrsquointervallo (a b) in m
parti m ge 1
I corrispondenti intervalli Ih =(xhminus1 xh) sono di due tipi alcuni
contengono uno o piu punti xi con
i = 1 nminus1 altri non ne conten-gono alcuno
Dunque possiamo scrivere
Sm =sum
h=1mIhcapx1xnminus16=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
+sum
h=1mIhcapx1xnminus1=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
e i termini della prima sommatoriasono al piu nminus 1
Percio indicata con δ la norma (1)della decomposizione D e siccome
f e limitata la prima sommatoriatende a zero quando δ rarr 0
Inoltre un intervallo Ih che non
contiene punti xi e necessariamen-te incluso in Ii = (ximinus1 xi) per qual-
che i e si ha
infIh
f ge infIi
f
Quindi lrsquoultima sommatoria si puo
riscrivere come seguen
sum
i=1
sum
IhsubIi
(xh minus xhminus1) infIh
f
e si puo stimare per difetto conn
sum
i=1
infIi
fsum
IhsubIi
(xh minus xhminus1)
=n
sum
i=1
(maxxhlexi
xh minus minxhgeximinus1
xh) infIi
f
Dunque facendo tendere δ a zero
si conclude che
supD
Sm gen
sum
i=1
(xi minus ximinus1) infIi
f
Ora facciamo tendere n allrsquoinfini-
to Poiche per ipotesi il secondomembro tende ad un limite ℓ isin R
si hasupD
Sm ge ℓ
Drsquoaltro canto con un ragionamen-to analogo si giunge a concludere
che
infD
Sm le ℓ
Ma siccome in generale sussiste
la disuguaglianza (4) la (5) e di-
mostrata
Integrabilita secondo Riemann - pag 7 - prof Antonio Greco
Alternativamente la seconda
parte della dimostrazione si puoanche svolgere come segue
Supponiamo che f risulti inte-
grabile nellrsquoimpostazione semplifi-cata Allora f e limitata
Per proseguire invochiamo uncelebre risultato della teoria di
Lebesgue il teorema di Lebesgue-Vitalidagger
Per il teorema di Lebesgue-Vitali
la funzione limitata f e integra-bile nel senso usuale se e solo se
lrsquoinsieme dei punti di discontinuitadi f ha misura nulla Indicato con
ω(x) = limrrarr0+
(
sup(xminusr x+r)
f minus inf(xminusr x+r)
f)
il cosiddetto ldquosaltordquo della fun-zione in un punto x isin (a b) osser-
viamo che f e continua in x se esolo se ω(x) = 0
In virtu della numerabile addi-
tivita della misura e sufficientedimostrare che per ogni ε0 gt 0 ha
misura nulla lrsquoinsieme
Eε0 = x isin (a b) | ω(x) gt ε0
Posto m0 = |Eε0| consideriamo oragli n punti equidistanti dati dal-
la (2) Poiche si ha
|Eε0| =n
sum
i=1
|Eε0 cap (ximinus1 xi)|
e poiche la misura di Ii = (ximinus1 xi) e(bminusa)n il numero ν degli interval-
li Ii che intersecano Eε0 soddisfa
m0 lebminus a
nν (6)
Questa disuguaglianza ci servira
tra poco Ora osserviamo che inciascuno dei ν intervalli Ii che in-
tersecano lrsquoinsieme Eε0 esiste perdefinizione almeno un punto x ta-
le che ω(x) gt ε0
Quindi prendendo punti xlowasti xlowastlowasti isin
Ii sufficientemente vicini ad x pos-siamo far sı che
f(xlowastk)minus f(xlowastlowastk ) geε02
Negli intervalli Ii che non in-tersecano Eε0 prendiamo a piacere
xlowasti = xlowastlowasti Cosı facendo le somme diCauchy-Riemann
Slowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowasti )
e
Slowastlowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowastlowasti )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n gebminus a
nνε02
e quindi per la (6)
Slowastn minus Slowastlowast
n ge m0ε02 (7)
Quando n tende a +infin poiche Slowastn e
Slowastlowastn hanno un limite comune ℓ la lo-
ro differenza tende a zero e per-
cio risulta m0 = 0 come volevasidimostrare
Dunque lrsquoimpostazione semplifi-cata e equivalente a quella usua-
le
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Integrabilita secondo Riemann - pag 8 - prof Antonio Greco
Integrali doppi
PREMESSA
La dissertazione di Riemann [10]
riguarda solo lrsquointegrale sempli-ce
Secondo Kline [7] (pag 1122)
la teoria riemanniana dellrsquointe-grazione fu estesa alle funzioni
di due variabili da K J Thomaenella comunicazione breve [12]
La suddetta comunicazione fa
riferimento a sua volta al li-bro [13] dello stesso Thomae nel
quale il paragrafo 50 (pag 33)riguarda la definizione dellrsquointe-
grale doppio
Integrabilita secondo Riemann - pag 10 - prof Antonio Greco
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-
TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE
Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-
siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast
ij
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme di
Cauchy-Riemann definite come diconsueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-
gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast
hk) ge infRhkf ge infRij
f possiamo
scrivere
S ge o(1) +n
sum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| (8)
Quando la norma δ della decom-
posizione tende a zero si hasum
RhksubRij
|Rhk| rarr |Rij|
e quindi nella (8) risulta
nsum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| rarrn
sum
ij=1
|Rij| infRij
f
gt
nsum
ij=1
(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|
gt ℓminus ε (1 + |R|)
percio esiste δε tale che se δ lt δε si
haS gt ℓminus ε (2 + |R|)
Con un ragionamento analogo si
dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha
S lt ℓ+ ε (2 + |R|)
dunque per la definizione di limi-
te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 11 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
DUE IMPOSTAZIONI A CON-
FRONTO
Nel definire lrsquointegrabilita diuna funzione secondo Riemann si
possono seguire equivalentementele seguenti due impostazioni
Le illustriamo per semplicita
con riferimento ad una funzionelimitata f di una variabile reale x
Impostazione usuale si divide lrsquoin-
tervallo di integrazione (a b) in mintervalli tramite i punti
a = x0 lt x1 lt lt xm = b
non necessariamente equidistantie si fa tendere a zero la cosid-
detta norma della decomposizio-ne cioe la quantita δ data da
δ = maxh=1m
(xh minus xhminus1) (1)
Impostazione semplificata si divi-de lrsquointervallo (a b) in n intervalli
aventi tutti la stessa lunghezza esi fa tendere n allrsquoinfinito
In questo caso i punti di divisio-
ne sono
xi = a+ ibminus a
n i = 0 n (2)
Lrsquoimpostazione semplificata e la
sua equivalenza con quella usua-le vennero studiate in una classi-
ca opera del Dini v [4 sect184 pa-
gina 240]
VANTAGGI E SVANTAGGI DEL-
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-TA
Lrsquoimpostazione semplificata pre-
senta alcuni vantaggi
1) non crsquoe bisogno di studiarecosrsquoe la ldquonorma della decomposi-
zionerdquo
2) si fa un limite per n rarr +infin
che e piu congeniale del limite per
δ rarr 0 dato il particolare signifi-cato di δ
3) non si corre il rischio di direche ldquoil numero dei punti di suddi-
visione deve tendere allrsquoinfinitordquo
dimenticandosi di dire che δ rarr 0
Lrsquoimpostazione semplificata mo-
stra i suoi limiti quando si vogliadimostrare lrsquoadditivita dellrsquointe-
grale
Infatti dividendo gli interval-li (a b) e (b c) in parti uguali non e
detto che lrsquointervallo (a c) risultianchrsquoesso suddiviso in parti ugua-
li
Per dimostrare lrsquoadditivita del-lrsquointegrale conviene considerare
suddivisioni in parti non necessa-riamente tutte uguali fra loro
Tuttavia lrsquoimpostazione sempli-
ficata e la dimostrazione di equi-valenza rispondono alla natura-
le curiosita ldquocosa crsquoe di male sedivido lrsquointervallo in parti ugua-
lirdquo
Integrabilita secondo Riemann - pag 5 - prof Antonio Greco
Verifichiamo che le due imposta-
zioni sono equivalenti fra loro
Prima parte Supponiamo che f ri-sulti integrabile nellrsquoimpostazio-
ne usuale e poniamo
ℓ =
int b
a
f(x) dx
Preso ε gt 0 vogliamo dimostrareche esiste nε tale che per ogni n gt
nε risulta∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusn
sum
i=1
f(xlowasti ) (xi minus ximinus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε (3)
indipendentemente dalla scelta deipunti xlowasti isin (ximinus1 xi) dove gli xi sono
come nella (2)
Per ipotesi esiste δε gt 0 taleche comunque si prendano punti
di suddivisione xh soddisfacenti lacondizione
xh minus xhminus1 lt δε per h = 1 m
e comunque si scelga xlowasth isin (xhminus1 xh)si ha
∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusmsum
h=1
f(xlowasth) (xh minus xhminus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε
essendo m il numero degli inter-valli della suddivisione
Possiamo dunque prendere i punti
xi come nella (2) purche
n gt nε =bminus a
δε
e la (3) e soddisfatta concluden-
do cosı la prima parte della dimo-strazione
Seconda parte Supponiamo che
f risulti integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata Vogliamo di-
mostrare che f e integrabile nelsenso usuale
A tal fine indichiamo con D = a =x0 lt x1 lt lt xm = b una qualun-que suddivisione dellrsquointervallo di
integrazione (a b) in m parti nonnecessariamente uguali Posto
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) infIh
f
e
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) supIh
f
con Ih = (xhminus1 xh) e noto che i limi-ti di Sm e di Sm per δ rarr 0+ esistono
e coincidono rispettivamente con
supD
Sm e infD
Sm
dove gli estremi superiore e infe-
riore sono fatti al variare di mnellrsquoinsieme Z
+ ed al variare del-
la suddivisione D in tutti i modipossibili Si ha inoltre
supD
Sm le infD
Sm (4)
E noto inoltre che la funzione fe integrabile secondo Riemann se
e solo se sussiste lrsquouguaglianza
supD
Sm = infD
Sm (5)
Per dimostrare la (5) fissiamo in-nanzitutto un intero positivo n
e suddividiamo lrsquointervallo di in-tegrazione (a b) in n parti uguali
tramite i punti xi dati dalla (2)
Integrabilita secondo Riemann - pag 6 - prof Antonio Greco
Consideriamo ora una suddivi-
sione arbitraria D = a = x1 lt ltxm = b dellrsquointervallo (a b) in m
parti m ge 1
I corrispondenti intervalli Ih =(xhminus1 xh) sono di due tipi alcuni
contengono uno o piu punti xi con
i = 1 nminus1 altri non ne conten-gono alcuno
Dunque possiamo scrivere
Sm =sum
h=1mIhcapx1xnminus16=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
+sum
h=1mIhcapx1xnminus1=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
e i termini della prima sommatoriasono al piu nminus 1
Percio indicata con δ la norma (1)della decomposizione D e siccome
f e limitata la prima sommatoriatende a zero quando δ rarr 0
Inoltre un intervallo Ih che non
contiene punti xi e necessariamen-te incluso in Ii = (ximinus1 xi) per qual-
che i e si ha
infIh
f ge infIi
f
Quindi lrsquoultima sommatoria si puo
riscrivere come seguen
sum
i=1
sum
IhsubIi
(xh minus xhminus1) infIh
f
e si puo stimare per difetto conn
sum
i=1
infIi
fsum
IhsubIi
(xh minus xhminus1)
=n
sum
i=1
(maxxhlexi
xh minus minxhgeximinus1
xh) infIi
f
Dunque facendo tendere δ a zero
si conclude che
supD
Sm gen
sum
i=1
(xi minus ximinus1) infIi
f
Ora facciamo tendere n allrsquoinfini-
to Poiche per ipotesi il secondomembro tende ad un limite ℓ isin R
si hasupD
Sm ge ℓ
Drsquoaltro canto con un ragionamen-to analogo si giunge a concludere
che
infD
Sm le ℓ
Ma siccome in generale sussiste
la disuguaglianza (4) la (5) e di-
mostrata
Integrabilita secondo Riemann - pag 7 - prof Antonio Greco
Alternativamente la seconda
parte della dimostrazione si puoanche svolgere come segue
Supponiamo che f risulti inte-
grabile nellrsquoimpostazione semplifi-cata Allora f e limitata
Per proseguire invochiamo uncelebre risultato della teoria di
Lebesgue il teorema di Lebesgue-Vitalidagger
Per il teorema di Lebesgue-Vitali
la funzione limitata f e integra-bile nel senso usuale se e solo se
lrsquoinsieme dei punti di discontinuitadi f ha misura nulla Indicato con
ω(x) = limrrarr0+
(
sup(xminusr x+r)
f minus inf(xminusr x+r)
f)
il cosiddetto ldquosaltordquo della fun-zione in un punto x isin (a b) osser-
viamo che f e continua in x se esolo se ω(x) = 0
In virtu della numerabile addi-
tivita della misura e sufficientedimostrare che per ogni ε0 gt 0 ha
misura nulla lrsquoinsieme
Eε0 = x isin (a b) | ω(x) gt ε0
Posto m0 = |Eε0| consideriamo oragli n punti equidistanti dati dal-
la (2) Poiche si ha
|Eε0| =n
sum
i=1
|Eε0 cap (ximinus1 xi)|
e poiche la misura di Ii = (ximinus1 xi) e(bminusa)n il numero ν degli interval-
li Ii che intersecano Eε0 soddisfa
m0 lebminus a
nν (6)
Questa disuguaglianza ci servira
tra poco Ora osserviamo che inciascuno dei ν intervalli Ii che in-
tersecano lrsquoinsieme Eε0 esiste perdefinizione almeno un punto x ta-
le che ω(x) gt ε0
Quindi prendendo punti xlowasti xlowastlowasti isin
Ii sufficientemente vicini ad x pos-siamo far sı che
f(xlowastk)minus f(xlowastlowastk ) geε02
Negli intervalli Ii che non in-tersecano Eε0 prendiamo a piacere
xlowasti = xlowastlowasti Cosı facendo le somme diCauchy-Riemann
Slowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowasti )
e
Slowastlowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowastlowasti )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n gebminus a
nνε02
e quindi per la (6)
Slowastn minus Slowastlowast
n ge m0ε02 (7)
Quando n tende a +infin poiche Slowastn e
Slowastlowastn hanno un limite comune ℓ la lo-
ro differenza tende a zero e per-
cio risulta m0 = 0 come volevasidimostrare
Dunque lrsquoimpostazione semplifi-cata e equivalente a quella usua-
le
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Integrabilita secondo Riemann - pag 8 - prof Antonio Greco
Integrali doppi
PREMESSA
La dissertazione di Riemann [10]
riguarda solo lrsquointegrale sempli-ce
Secondo Kline [7] (pag 1122)
la teoria riemanniana dellrsquointe-grazione fu estesa alle funzioni
di due variabili da K J Thomaenella comunicazione breve [12]
La suddetta comunicazione fa
riferimento a sua volta al li-bro [13] dello stesso Thomae nel
quale il paragrafo 50 (pag 33)riguarda la definizione dellrsquointe-
grale doppio
Integrabilita secondo Riemann - pag 10 - prof Antonio Greco
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-
TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE
Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-
siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast
ij
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme di
Cauchy-Riemann definite come diconsueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-
gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast
hk) ge infRhkf ge infRij
f possiamo
scrivere
S ge o(1) +n
sum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| (8)
Quando la norma δ della decom-
posizione tende a zero si hasum
RhksubRij
|Rhk| rarr |Rij|
e quindi nella (8) risulta
nsum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| rarrn
sum
ij=1
|Rij| infRij
f
gt
nsum
ij=1
(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|
gt ℓminus ε (1 + |R|)
percio esiste δε tale che se δ lt δε si
haS gt ℓminus ε (2 + |R|)
Con un ragionamento analogo si
dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha
S lt ℓ+ ε (2 + |R|)
dunque per la definizione di limi-
te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 11 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
Verifichiamo che le due imposta-
zioni sono equivalenti fra loro
Prima parte Supponiamo che f ri-sulti integrabile nellrsquoimpostazio-
ne usuale e poniamo
ℓ =
int b
a
f(x) dx
Preso ε gt 0 vogliamo dimostrareche esiste nε tale che per ogni n gt
nε risulta∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusn
sum
i=1
f(xlowasti ) (xi minus ximinus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε (3)
indipendentemente dalla scelta deipunti xlowasti isin (ximinus1 xi) dove gli xi sono
come nella (2)
Per ipotesi esiste δε gt 0 taleche comunque si prendano punti
di suddivisione xh soddisfacenti lacondizione
xh minus xhminus1 lt δε per h = 1 m
e comunque si scelga xlowasth isin (xhminus1 xh)si ha
∣
∣
∣
∣
∣
ℓminusmsum
h=1
f(xlowasth) (xh minus xhminus1)
∣
∣
∣
∣
∣
lt ε
essendo m il numero degli inter-valli della suddivisione
Possiamo dunque prendere i punti
xi come nella (2) purche
n gt nε =bminus a
δε
e la (3) e soddisfatta concluden-
do cosı la prima parte della dimo-strazione
Seconda parte Supponiamo che
f risulti integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata Vogliamo di-
mostrare che f e integrabile nelsenso usuale
A tal fine indichiamo con D = a =x0 lt x1 lt lt xm = b una qualun-que suddivisione dellrsquointervallo di
integrazione (a b) in m parti nonnecessariamente uguali Posto
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) infIh
f
e
Sm =sum
h=1m
(xh minus xhminus1) supIh
f
con Ih = (xhminus1 xh) e noto che i limi-ti di Sm e di Sm per δ rarr 0+ esistono
e coincidono rispettivamente con
supD
Sm e infD
Sm
dove gli estremi superiore e infe-
riore sono fatti al variare di mnellrsquoinsieme Z
+ ed al variare del-
la suddivisione D in tutti i modipossibili Si ha inoltre
supD
Sm le infD
Sm (4)
E noto inoltre che la funzione fe integrabile secondo Riemann se
e solo se sussiste lrsquouguaglianza
supD
Sm = infD
Sm (5)
Per dimostrare la (5) fissiamo in-nanzitutto un intero positivo n
e suddividiamo lrsquointervallo di in-tegrazione (a b) in n parti uguali
tramite i punti xi dati dalla (2)
Integrabilita secondo Riemann - pag 6 - prof Antonio Greco
Consideriamo ora una suddivi-
sione arbitraria D = a = x1 lt ltxm = b dellrsquointervallo (a b) in m
parti m ge 1
I corrispondenti intervalli Ih =(xhminus1 xh) sono di due tipi alcuni
contengono uno o piu punti xi con
i = 1 nminus1 altri non ne conten-gono alcuno
Dunque possiamo scrivere
Sm =sum
h=1mIhcapx1xnminus16=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
+sum
h=1mIhcapx1xnminus1=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
e i termini della prima sommatoriasono al piu nminus 1
Percio indicata con δ la norma (1)della decomposizione D e siccome
f e limitata la prima sommatoriatende a zero quando δ rarr 0
Inoltre un intervallo Ih che non
contiene punti xi e necessariamen-te incluso in Ii = (ximinus1 xi) per qual-
che i e si ha
infIh
f ge infIi
f
Quindi lrsquoultima sommatoria si puo
riscrivere come seguen
sum
i=1
sum
IhsubIi
(xh minus xhminus1) infIh
f
e si puo stimare per difetto conn
sum
i=1
infIi
fsum
IhsubIi
(xh minus xhminus1)
=n
sum
i=1
(maxxhlexi
xh minus minxhgeximinus1
xh) infIi
f
Dunque facendo tendere δ a zero
si conclude che
supD
Sm gen
sum
i=1
(xi minus ximinus1) infIi
f
Ora facciamo tendere n allrsquoinfini-
to Poiche per ipotesi il secondomembro tende ad un limite ℓ isin R
si hasupD
Sm ge ℓ
Drsquoaltro canto con un ragionamen-to analogo si giunge a concludere
che
infD
Sm le ℓ
Ma siccome in generale sussiste
la disuguaglianza (4) la (5) e di-
mostrata
Integrabilita secondo Riemann - pag 7 - prof Antonio Greco
Alternativamente la seconda
parte della dimostrazione si puoanche svolgere come segue
Supponiamo che f risulti inte-
grabile nellrsquoimpostazione semplifi-cata Allora f e limitata
Per proseguire invochiamo uncelebre risultato della teoria di
Lebesgue il teorema di Lebesgue-Vitalidagger
Per il teorema di Lebesgue-Vitali
la funzione limitata f e integra-bile nel senso usuale se e solo se
lrsquoinsieme dei punti di discontinuitadi f ha misura nulla Indicato con
ω(x) = limrrarr0+
(
sup(xminusr x+r)
f minus inf(xminusr x+r)
f)
il cosiddetto ldquosaltordquo della fun-zione in un punto x isin (a b) osser-
viamo che f e continua in x se esolo se ω(x) = 0
In virtu della numerabile addi-
tivita della misura e sufficientedimostrare che per ogni ε0 gt 0 ha
misura nulla lrsquoinsieme
Eε0 = x isin (a b) | ω(x) gt ε0
Posto m0 = |Eε0| consideriamo oragli n punti equidistanti dati dal-
la (2) Poiche si ha
|Eε0| =n
sum
i=1
|Eε0 cap (ximinus1 xi)|
e poiche la misura di Ii = (ximinus1 xi) e(bminusa)n il numero ν degli interval-
li Ii che intersecano Eε0 soddisfa
m0 lebminus a
nν (6)
Questa disuguaglianza ci servira
tra poco Ora osserviamo che inciascuno dei ν intervalli Ii che in-
tersecano lrsquoinsieme Eε0 esiste perdefinizione almeno un punto x ta-
le che ω(x) gt ε0
Quindi prendendo punti xlowasti xlowastlowasti isin
Ii sufficientemente vicini ad x pos-siamo far sı che
f(xlowastk)minus f(xlowastlowastk ) geε02
Negli intervalli Ii che non in-tersecano Eε0 prendiamo a piacere
xlowasti = xlowastlowasti Cosı facendo le somme diCauchy-Riemann
Slowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowasti )
e
Slowastlowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowastlowasti )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n gebminus a
nνε02
e quindi per la (6)
Slowastn minus Slowastlowast
n ge m0ε02 (7)
Quando n tende a +infin poiche Slowastn e
Slowastlowastn hanno un limite comune ℓ la lo-
ro differenza tende a zero e per-
cio risulta m0 = 0 come volevasidimostrare
Dunque lrsquoimpostazione semplifi-cata e equivalente a quella usua-
le
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Integrabilita secondo Riemann - pag 8 - prof Antonio Greco
Integrali doppi
PREMESSA
La dissertazione di Riemann [10]
riguarda solo lrsquointegrale sempli-ce
Secondo Kline [7] (pag 1122)
la teoria riemanniana dellrsquointe-grazione fu estesa alle funzioni
di due variabili da K J Thomaenella comunicazione breve [12]
La suddetta comunicazione fa
riferimento a sua volta al li-bro [13] dello stesso Thomae nel
quale il paragrafo 50 (pag 33)riguarda la definizione dellrsquointe-
grale doppio
Integrabilita secondo Riemann - pag 10 - prof Antonio Greco
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-
TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE
Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-
siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast
ij
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme di
Cauchy-Riemann definite come diconsueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-
gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast
hk) ge infRhkf ge infRij
f possiamo
scrivere
S ge o(1) +n
sum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| (8)
Quando la norma δ della decom-
posizione tende a zero si hasum
RhksubRij
|Rhk| rarr |Rij|
e quindi nella (8) risulta
nsum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| rarrn
sum
ij=1
|Rij| infRij
f
gt
nsum
ij=1
(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|
gt ℓminus ε (1 + |R|)
percio esiste δε tale che se δ lt δε si
haS gt ℓminus ε (2 + |R|)
Con un ragionamento analogo si
dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha
S lt ℓ+ ε (2 + |R|)
dunque per la definizione di limi-
te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 11 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
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[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
Consideriamo ora una suddivi-
sione arbitraria D = a = x1 lt ltxm = b dellrsquointervallo (a b) in m
parti m ge 1
I corrispondenti intervalli Ih =(xhminus1 xh) sono di due tipi alcuni
contengono uno o piu punti xi con
i = 1 nminus1 altri non ne conten-gono alcuno
Dunque possiamo scrivere
Sm =sum
h=1mIhcapx1xnminus16=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
+sum
h=1mIhcapx1xnminus1=empty
(xh minus xhminus1) infIh
f
e i termini della prima sommatoriasono al piu nminus 1
Percio indicata con δ la norma (1)della decomposizione D e siccome
f e limitata la prima sommatoriatende a zero quando δ rarr 0
Inoltre un intervallo Ih che non
contiene punti xi e necessariamen-te incluso in Ii = (ximinus1 xi) per qual-
che i e si ha
infIh
f ge infIi
f
Quindi lrsquoultima sommatoria si puo
riscrivere come seguen
sum
i=1
sum
IhsubIi
(xh minus xhminus1) infIh
f
e si puo stimare per difetto conn
sum
i=1
infIi
fsum
IhsubIi
(xh minus xhminus1)
=n
sum
i=1
(maxxhlexi
xh minus minxhgeximinus1
xh) infIi
f
Dunque facendo tendere δ a zero
si conclude che
supD
Sm gen
sum
i=1
(xi minus ximinus1) infIi
f
Ora facciamo tendere n allrsquoinfini-
to Poiche per ipotesi il secondomembro tende ad un limite ℓ isin R
si hasupD
Sm ge ℓ
Drsquoaltro canto con un ragionamen-to analogo si giunge a concludere
che
infD
Sm le ℓ
Ma siccome in generale sussiste
la disuguaglianza (4) la (5) e di-
mostrata
Integrabilita secondo Riemann - pag 7 - prof Antonio Greco
Alternativamente la seconda
parte della dimostrazione si puoanche svolgere come segue
Supponiamo che f risulti inte-
grabile nellrsquoimpostazione semplifi-cata Allora f e limitata
Per proseguire invochiamo uncelebre risultato della teoria di
Lebesgue il teorema di Lebesgue-Vitalidagger
Per il teorema di Lebesgue-Vitali
la funzione limitata f e integra-bile nel senso usuale se e solo se
lrsquoinsieme dei punti di discontinuitadi f ha misura nulla Indicato con
ω(x) = limrrarr0+
(
sup(xminusr x+r)
f minus inf(xminusr x+r)
f)
il cosiddetto ldquosaltordquo della fun-zione in un punto x isin (a b) osser-
viamo che f e continua in x se esolo se ω(x) = 0
In virtu della numerabile addi-
tivita della misura e sufficientedimostrare che per ogni ε0 gt 0 ha
misura nulla lrsquoinsieme
Eε0 = x isin (a b) | ω(x) gt ε0
Posto m0 = |Eε0| consideriamo oragli n punti equidistanti dati dal-
la (2) Poiche si ha
|Eε0| =n
sum
i=1
|Eε0 cap (ximinus1 xi)|
e poiche la misura di Ii = (ximinus1 xi) e(bminusa)n il numero ν degli interval-
li Ii che intersecano Eε0 soddisfa
m0 lebminus a
nν (6)
Questa disuguaglianza ci servira
tra poco Ora osserviamo che inciascuno dei ν intervalli Ii che in-
tersecano lrsquoinsieme Eε0 esiste perdefinizione almeno un punto x ta-
le che ω(x) gt ε0
Quindi prendendo punti xlowasti xlowastlowasti isin
Ii sufficientemente vicini ad x pos-siamo far sı che
f(xlowastk)minus f(xlowastlowastk ) geε02
Negli intervalli Ii che non in-tersecano Eε0 prendiamo a piacere
xlowasti = xlowastlowasti Cosı facendo le somme diCauchy-Riemann
Slowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowasti )
e
Slowastlowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowastlowasti )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n gebminus a
nνε02
e quindi per la (6)
Slowastn minus Slowastlowast
n ge m0ε02 (7)
Quando n tende a +infin poiche Slowastn e
Slowastlowastn hanno un limite comune ℓ la lo-
ro differenza tende a zero e per-
cio risulta m0 = 0 come volevasidimostrare
Dunque lrsquoimpostazione semplifi-cata e equivalente a quella usua-
le
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Integrabilita secondo Riemann - pag 8 - prof Antonio Greco
Integrali doppi
PREMESSA
La dissertazione di Riemann [10]
riguarda solo lrsquointegrale sempli-ce
Secondo Kline [7] (pag 1122)
la teoria riemanniana dellrsquointe-grazione fu estesa alle funzioni
di due variabili da K J Thomaenella comunicazione breve [12]
La suddetta comunicazione fa
riferimento a sua volta al li-bro [13] dello stesso Thomae nel
quale il paragrafo 50 (pag 33)riguarda la definizione dellrsquointe-
grale doppio
Integrabilita secondo Riemann - pag 10 - prof Antonio Greco
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-
TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE
Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-
siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast
ij
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme di
Cauchy-Riemann definite come diconsueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-
gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast
hk) ge infRhkf ge infRij
f possiamo
scrivere
S ge o(1) +n
sum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| (8)
Quando la norma δ della decom-
posizione tende a zero si hasum
RhksubRij
|Rhk| rarr |Rij|
e quindi nella (8) risulta
nsum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| rarrn
sum
ij=1
|Rij| infRij
f
gt
nsum
ij=1
(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|
gt ℓminus ε (1 + |R|)
percio esiste δε tale che se δ lt δε si
haS gt ℓminus ε (2 + |R|)
Con un ragionamento analogo si
dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha
S lt ℓ+ ε (2 + |R|)
dunque per la definizione di limi-
te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 11 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
Alternativamente la seconda
parte della dimostrazione si puoanche svolgere come segue
Supponiamo che f risulti inte-
grabile nellrsquoimpostazione semplifi-cata Allora f e limitata
Per proseguire invochiamo uncelebre risultato della teoria di
Lebesgue il teorema di Lebesgue-Vitalidagger
Per il teorema di Lebesgue-Vitali
la funzione limitata f e integra-bile nel senso usuale se e solo se
lrsquoinsieme dei punti di discontinuitadi f ha misura nulla Indicato con
ω(x) = limrrarr0+
(
sup(xminusr x+r)
f minus inf(xminusr x+r)
f)
il cosiddetto ldquosaltordquo della fun-zione in un punto x isin (a b) osser-
viamo che f e continua in x se esolo se ω(x) = 0
In virtu della numerabile addi-
tivita della misura e sufficientedimostrare che per ogni ε0 gt 0 ha
misura nulla lrsquoinsieme
Eε0 = x isin (a b) | ω(x) gt ε0
Posto m0 = |Eε0| consideriamo oragli n punti equidistanti dati dal-
la (2) Poiche si ha
|Eε0| =n
sum
i=1
|Eε0 cap (ximinus1 xi)|
e poiche la misura di Ii = (ximinus1 xi) e(bminusa)n il numero ν degli interval-
li Ii che intersecano Eε0 soddisfa
m0 lebminus a
nν (6)
Questa disuguaglianza ci servira
tra poco Ora osserviamo che inciascuno dei ν intervalli Ii che in-
tersecano lrsquoinsieme Eε0 esiste perdefinizione almeno un punto x ta-
le che ω(x) gt ε0
Quindi prendendo punti xlowasti xlowastlowasti isin
Ii sufficientemente vicini ad x pos-siamo far sı che
f(xlowastk)minus f(xlowastlowastk ) geε02
Negli intervalli Ii che non in-tersecano Eε0 prendiamo a piacere
xlowasti = xlowastlowasti Cosı facendo le somme diCauchy-Riemann
Slowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowasti )
e
Slowastlowastn =
bminus a
n
nsum
i=1
f(xlowastlowasti )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n gebminus a
nνε02
e quindi per la (6)
Slowastn minus Slowastlowast
n ge m0ε02 (7)
Quando n tende a +infin poiche Slowastn e
Slowastlowastn hanno un limite comune ℓ la lo-
ro differenza tende a zero e per-
cio risulta m0 = 0 come volevasidimostrare
Dunque lrsquoimpostazione semplifi-cata e equivalente a quella usua-
le
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Integrabilita secondo Riemann - pag 8 - prof Antonio Greco
Integrali doppi
PREMESSA
La dissertazione di Riemann [10]
riguarda solo lrsquointegrale sempli-ce
Secondo Kline [7] (pag 1122)
la teoria riemanniana dellrsquointe-grazione fu estesa alle funzioni
di due variabili da K J Thomaenella comunicazione breve [12]
La suddetta comunicazione fa
riferimento a sua volta al li-bro [13] dello stesso Thomae nel
quale il paragrafo 50 (pag 33)riguarda la definizione dellrsquointe-
grale doppio
Integrabilita secondo Riemann - pag 10 - prof Antonio Greco
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-
TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE
Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-
siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast
ij
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme di
Cauchy-Riemann definite come diconsueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-
gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast
hk) ge infRhkf ge infRij
f possiamo
scrivere
S ge o(1) +n
sum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| (8)
Quando la norma δ della decom-
posizione tende a zero si hasum
RhksubRij
|Rhk| rarr |Rij|
e quindi nella (8) risulta
nsum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| rarrn
sum
ij=1
|Rij| infRij
f
gt
nsum
ij=1
(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|
gt ℓminus ε (1 + |R|)
percio esiste δε tale che se δ lt δε si
haS gt ℓminus ε (2 + |R|)
Con un ragionamento analogo si
dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha
S lt ℓ+ ε (2 + |R|)
dunque per la definizione di limi-
te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 11 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
Integrali doppi
PREMESSA
La dissertazione di Riemann [10]
riguarda solo lrsquointegrale sempli-ce
Secondo Kline [7] (pag 1122)
la teoria riemanniana dellrsquointe-grazione fu estesa alle funzioni
di due variabili da K J Thomaenella comunicazione breve [12]
La suddetta comunicazione fa
riferimento a sua volta al li-bro [13] dello stesso Thomae nel
quale il paragrafo 50 (pag 33)riguarda la definizione dellrsquointe-
grale doppio
Integrabilita secondo Riemann - pag 10 - prof Antonio Greco
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-
TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE
Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-
siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast
ij
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme di
Cauchy-Riemann definite come diconsueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-
gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast
hk) ge infRhkf ge infRij
f possiamo
scrivere
S ge o(1) +n
sum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| (8)
Quando la norma δ della decom-
posizione tende a zero si hasum
RhksubRij
|Rhk| rarr |Rij|
e quindi nella (8) risulta
nsum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| rarrn
sum
ij=1
|Rij| infRij
f
gt
nsum
ij=1
(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|
gt ℓminus ε (1 + |R|)
percio esiste δε tale che se δ lt δε si
haS gt ℓminus ε (2 + |R|)
Con un ragionamento analogo si
dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha
S lt ℓ+ ε (2 + |R|)
dunque per la definizione di limi-
te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 11 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
PREMESSA
La dissertazione di Riemann [10]
riguarda solo lrsquointegrale sempli-ce
Secondo Kline [7] (pag 1122)
la teoria riemanniana dellrsquointe-grazione fu estesa alle funzioni
di due variabili da K J Thomaenella comunicazione breve [12]
La suddetta comunicazione fa
riferimento a sua volta al li-bro [13] dello stesso Thomae nel
quale il paragrafo 50 (pag 33)riguarda la definizione dellrsquointe-
grale doppio
Integrabilita secondo Riemann - pag 10 - prof Antonio Greco
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-
TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE
Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-
siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast
ij
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme di
Cauchy-Riemann definite come diconsueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-
gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast
hk) ge infRhkf ge infRij
f possiamo
scrivere
S ge o(1) +n
sum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| (8)
Quando la norma δ della decom-
posizione tende a zero si hasum
RhksubRij
|Rhk| rarr |Rij|
e quindi nella (8) risulta
nsum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| rarrn
sum
ij=1
|Rij| infRij
f
gt
nsum
ij=1
(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|
gt ℓminus ε (1 + |R|)
percio esiste δε tale che se δ lt δε si
haS gt ℓminus ε (2 + |R|)
Con un ragionamento analogo si
dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha
S lt ℓ+ ε (2 + |R|)
dunque per la definizione di limi-
te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 11 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
LrsquoIMPOSTAZIONE SEMPLIFICA-
TA EQUIVALE A QUELLA USUA-LE
Supponiamo che una funzione f Rrarr R sia integrabile nellrsquoimposta-zione semplificata e poniamo
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
Preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-
siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus εper ogni scelta dei punti plowast
ij
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme di
Cauchy-Riemann definite come diconsueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
Gli intervalli (xhminus1 xh) che conten-
gono qualche xi sono al piu n minus 1come pure gli intervalli (ykminus1 yk)che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si haf(plowast
hk) ge infRhkf ge infRij
f possiamo
scrivere
S ge o(1) +n
sum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| (8)
Quando la norma δ della decom-
posizione tende a zero si hasum
RhksubRij
|Rhk| rarr |Rij|
e quindi nella (8) risulta
nsum
ij=1
infRij
fsum
RhksubRij
|Rhk| rarrn
sum
ij=1
|Rij| infRij
f
gt
nsum
ij=1
(f(plowastij)minus ε) |Rij| = Sn minus ε |R|
gt ℓminus ε (1 + |R|)
percio esiste δε tale che se δ lt δε si
haS gt ℓminus ε (2 + |R|)
Con un ragionamento analogo si
dimostra che esiste δprimeε tale che seδ lt δprimeε si ha
S lt ℓ+ ε (2 + |R|)
dunque per la definizione di limi-
te si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 11 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
INTEGRABILITA PER RETTAN-GOLI CHIUSI
Nel testo [2] le somme di Cauchy-
Riemann si costruiscono prenden-do il punto p
lowasthk nel rettangolo
chiuso Rhk
In tal modo e legittimo prende-
re ad esempio plowasthk = p
lowasthk+1 per un
k lt my
Verifichiamo che se una funzio-
ne limitata f R rarr R e integrabileper rettangoli aperti allora lo e
anche per rettangoli chiusi Po-sto
ℓ =
intint
R
f(x y) dx dy
e preso ε gt 0 piccolo a piacere fis-siamo un intero positivo n e di con-
seguenza i punti di suddivisione
xi = a+ ibminus a
n
yj = c+ jdminus c
n
in modo tale che risulti Sn gt ℓ minus ε
per ogni scelta dei punti plowastij isin Rij =
(ximinus1 xi)times (yjminus1 yj)
In tale suddivisione andiamo a fis-
sare i punti plowastij in modo tale che
f(plowastij) lt inf
Rij
f + ε
Confrontiamo con Sn le somme diCauchy-Riemann definite come di
consueto
S =
mxsum
h=1
mysum
k=1
f(plowasthk)(xhminus xhminus1) (ykminus ykminus1)
dove questa volta si intende plowasthk isin
Rhk = [xhminus1 xh]times [ykminus1 yk]
Gli intervalli [xhminus1 xh] che con-
tengono qualche xi sono al piu nminus1 come pure gli intervalli [ykminus1 yk]che contengono qualche yj
Quando la norma δ della decom-posizione tende a zero la somma
delle aree dei loro prodotti car-tesiani tende a zero dunque
S = o(1) +n
sum
ij=1
sum
RhksubRij
f(plowasthk) |Rhk|
Poiche per ogni Rhk sub Rij si ha
f(plowasthk) ge infRhk
f ge infRijf giungiamo
nuovamente alla (8)
Procedendo come a pagina 11
si deduce che S rarr ℓ e percio lafunzione f e integrabile nel senso
usuale ed il suo integrale coinci-de con ℓ
Integrabilita secondo Riemann - pag 12 - prof Antonio Greco
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
INTEGRABILITA PER SUCCES-SIONI
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R
Per ogni n isin Z+ ed ogni i j =
1 n scegliamo un punto plowastij isin
Rij cosicche rimane individuata laldquosuccessione di Cauchy-Riemannrdquo
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Se tutte le successioni di Cauchy-
Riemann ammettono lo stesso li-mite ℓ allora f e integrabile e si
haintint
R
f(x y) dx dy = ℓ
Per la dimostrazione supponiamoche f non sia integrabile nellrsquoim-
postazione semplificata
Per ogni n le somme di Cauchy-
Riemann corrispondenti alle diver-
se scelte dei punti plowastij costituisco-
no un insieme Yn incluso in un in-
tervallo [mM ] indipendente da n
Siccome f non e integrabile per
ipotesi lrsquoinsieme Yn non converge
ad un punto dunque esistono al-meno due successioni Snk
e Snprime
kcon-
vergenti a limiti ℓ 6= ℓprime contro lrsquoi-potesi
Dunque lrsquointegrabilita per suc-
cessioni e equivalente allrsquointegra-bilita nel senso usuale
LIMITATEZZA
Lrsquoipotesi che la funzione inte-
granda f R rarr R sia limitata puoessere omessa purche ci si ricor-
di di precisare che le somme diCauchy-Riemann devono avere li-
mite finito
Dimostriamo che se Sn rarr ℓ isin R
allora f e limitata
A tal fine verifichiamo che se
f non e superiormente limitata epossibile costruire una particola-
re successione di Cauchy-RiemannSn rarr +infin
Basta procedere come segue Per
ogni n isin Z+ il dominio di integra-
zione R risulta suddiviso in n2 ret-
tangoli ed in almeno uno di essiche indichiamo con Ri0j0 la funzio-
ne f non e superiormente limitata
Innanzitutto scegliamo a piace-re i punti plowast
ij negli altri n2minus 1 ret-
tangoli
Poi sfruttando il fatto che f
non e superiormente limitata in
Ri0j0 prendiamo plowasti0j0
in modo taleche Sn gt n
Ne segue che Sn rarr +infin come vo-levasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 13 - prof Antonio Greco
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
DEFINIZIONE TRAMITE LA MI-
SURA DI PEANO-JORDAN
Nel testo [5] la definizione del-lrsquointegrale di Riemann compare in-
cidentalmente a pag 424 e si basasulla misura di Peano-Jordan
In sintesi si considerano le somme
s(P ) =msum
h=1
|Xh| infXh
f
S(P ) =msum
h=1
|Xh| supXh
f
dove P = X1 Xm e una qua-
lunque partizione del dominio Rcostituita da insiemi Xh misurabili
secondo Peano-Jordan
La funzione limitata f R rarr R sidice integrabile secondo Riemann
sul rettangolo R se
supP
s(P ) = infP
S(P ) (9)
Tale definizione riformula in mo-
do preciso quella di Thomae [13sect50 pag 33]
Thomae considerava ldquoelementi
di superficierdquo τh al posto degli in-siemi Xh misurabili secondo Peano-
Jordan e la loro area al postodella misura di Peano-Jordan
Osserviamo che i rettangoli Rij
costituiscono una partizione P delrettangolo R quindi lrsquointegrabi-
lita nel senso usuale (5) implicala (9)
Verifichiamo allora che se f e
integrabile nel senso (9) alloralo e anche in quello usuale
Fissata una partizione P = X1
Xm per ogni n isin Z+ la somma
superiore
Sn =|R|
n2
nsum
ij=1
supRij
f
si puo ripartire in m sommatorie
piu un termine infinitesimo per n rarr+infin raccogliendo i rettangoli Rij
inclusi in Xh per h = 1 m einfine tutti quelli che contengo-
no punti della frontiera partXh perqualche h si ottiene
Sn =|R|
n2
msum
h=1
sum
RijsubXh
supRij
f + o(1)
Lrsquoultimo termine e infinitesimo
perche f e limitata e gli insiemiXh sono misurabili secondo Peano-
Jordan e quindi le loro frontierehanno misura nulla Ma siccome
|R|
n2
sum
RijsubXh
supRij
f le|R|
n2
sum
RijsubXh
supXh
f
ed il secondo membro tende alprodotto |Xh| supXh
f ne segue che
limnrarr+infin
Sn le S(P )
Per lrsquoarbitrarieta di P si ha
limnrarr+infin
Sn le infP
S(P )
Con un ragionamento analogo si
dimostra che
limnrarr+infin
Sn ge supP
s(P )
e siccome per ipotesi vale lrsquougua-
glianza (9) ne segue che
limnrarr+infin
Sn = limnrarr+infin
Sn
dunque f e integrabile nel senso
usuale come volevasi dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 14 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI dagger
Il teorema di Lebesgue-Vitali
afferma che una funzione limita-ta f R rarr R e integrabile secondo
Riemann se e solo se lrsquoinsieme deisuoi punti di discontinuita e misu-
rabile ed ha misura nulladagger
Equivalentemente f non e inte-grabile secondo Riemann se e so-
lo se lrsquoinsieme dei suoi punti di di-scontinuita o non e misurabile op-
pure lo e ma ha misura positiva
Consideriamo una funzione limi-
tata f R rarr R integrabile secon-do Riemann
Verifichiamo che lrsquoinsieme dei
suoi punti di discontinuita e misu-rabile ed ha misura nulla
Procediamo come a pag 8 Indi-cato con
ω(x y) = limrrarr0+
(
supBr(xy)
f minus infBr(xy)
f)
il salto della funzione in un punto(x y) isin R osserviamo che f e conti-
nua in (x y) se e solo se ω(x y) = 0Posto
Eλ = (x y) isin R | ω(x y) gt λ
lrsquoinsieme E0 dei punti di disconti-
nuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Eλ = limλrarr0+
Eλ
della famiglia monotona degli in-siemi Eλ decrescente al crescere
di λ
daggerVedere ad esempio [8] oppure [6] Teorema 1912pag 271 o anche [11] Chapter 5 Theorem 8 pag104
Mostriamo che lrsquoinsieme Eλ ha
misura di Peano-Jordan nulla perogni λ gt 0 ne segue che Eλ ha mi-
sura di Lebesgue nulla e per lanumerabile additivita |E0| = 0
Fissato λ0 gt 0 osserviamo che in
ciascuno dei ν rettangoli (aperti)
Rij che intersecano Eλ0esiste per
definizione almeno un punto (x y)tale che ω(x y) gt λ0
Quindi prendendo punti plowastijp
lowastlowastij isin
Rij sufficientemente vicini ad (x y)possiamo far sı che
f(plowastij)minus f(plowastlowast
ij ) geλ0
2
Nei rettangoli Rij che non inter-secano Eλ0
prendiamo a piacere plowastij
= plowastlowastij Cosı facendo le somme di
Cauchy-Riemann
Slowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastij)
Slowastlowastn =
|R|
n2
nsum
ij=1
f(plowastlowastij )
soddisfano
Slowastn minus Slowastlowast
n ge|R|
n2νλ0
2= |P |
λ0
2
dove P e un plurirettangolo cheunito alla griglia Γn = (x y) isin R |(xminus xi)(y minus yj) = 0 i j = 0 n laquale ha misura di Peano-Jordan
nulla ricopre Eλ0
Quando n tende a +infin poiche
Slowastn e Slowastlowast
n hanno un limite comune ℓla loro differenza tende a zero
e percio lrsquoinsieme Eλ0ha misura di
Peano-Jordan nulla come voleva-
si dimostrare
Integrabilita secondo Riemann - pag 15 - prof Antonio Greco
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
IL TEOREMA DI LEBESGUE-
VITALI (SEGUE)
Consideriamo un rettangolo chiu-so R ed una funzione limitata f R rarr R i cui punti di discontinuitacostituiscano un insieme E0 di mi-
sura nulla secondo Lebesgue
Verifichiamo che f e integrabi-le secondo Riemann
1 Per gli insiemi chiusi e limi-
tati la misura esterna di Peano-Jordan coincide con la misura di
Lebesgue Conviene quindi defini-re
Fλ = (x y) isin R | ω(x y) ge λ
ed osservare che Fλ e chiuso per
ogni λ ge 0 Lrsquoinsieme E0 dei punti
di discontinuita e lrsquounione
E0 =⋃
λgt0
Fλ = limλrarr0+
Fλ
della famiglia monotona degli in-siemi Fλ decrescente al crescere
di λ
Poiche per ipotesi |E0| = 0 si ha|Fλ| = 0 per ogni λ gt 0 e anche la
misura esterna di Peano-Jordan diFλ e nulla per ogni λ gt 0
2 Fissato λ0 gt 0 lrsquoinsieme Fλ0 in
quanto insieme chiuso e lrsquointer-sezione dei plurirettangoli Pn co-
struiti riunendo per ogni n i ret-tangoli chiusi Rij che intersecano
Fλ0
Fλ0=
+infin⋂
n=1
Pn = limnrarr+infin
Pn
Essendo |Fλ0| = 0 per il punto 1 per
la continuita della misura di Le-besgue si ha |Pn| rarr 0
Dunque preso ε gt 0 piccolo a
piacere esiste nε tale che |Pnε| lt ε
Inoltre per ogni (x y) isin RPnεsi ha
ω(x y) lt λ0 e siccome f e limitatarisulta
Sn minus Sn le (supR
f minus infR
f) ε+ |R|λ0
Per lrsquoarbitrarieta di λ0 e di ε lrsquoin-
tegrabilita di f segue
Nel pannello n 15 della ldquoPic-cola storia del calcolo infinite-
simalerdquo esposta al Palazzo delleScienze sono ritratti Emile Borel
Henri Lebesgue e Giuseppe Vitali
Integrabilita secondo Riemann - pag 16 - prof Antonio Greco
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
Appendice
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
di
B Riemann
[omissis]
Sul concetto di integrale definito ed il suo ambito di validita
4
Lrsquoincertezza che ancora regna in alcuni punti fondamentali della teoria degli integrali de-finiti ci impone di premettere qualcosa sul concetto di integrale definito ed il suo ambitodi validita
Quindi innanzitutto cosa si deve intendere con
int b
a
f(x) dx
Per stabilire questo prendiamo fra a e b una successione crescente di valori x1 x2 xnminus1 e denotiamo la differenza x1minus a con δ1 x2minus x1 con δ2 bminus xnminus1 con δn e con ε
una frazione propria positiva Allora il valore della somma
S = δ1 f(a+ ε1 δ1) + δ2 f(x1 + ε2 δ2) + δ3 f(x2 + ε3 δ3) + + δn f(xnminus1 + εn δn)
dipendera dalla scelta degli intervalli δ e delle grandezze ε Se essa comunque si scelganoδ ed ε ha la proprieta di avvicinarsi indefinitamente ad un limite fissato A quando le δ
diventano tutte infinitamente piccole quel valore si indica conint b
af(x) dx
Se essa non ha tale proprietaint b
af(x) dx non ha alcun significato Si e tuttavia cer-
cato in molti casi di dare anche allora un significato a quel simbolo ed una fra questegeneralizzazioni del concetto di integrale definito e accettata da tutti i matamatici Pre-cisamente quando la funzione f(x) diventa infinitamente grande allrsquoavvicinarsi del suoargomento verso un unico valore c nellrsquointervallo (a b) allora ovviamente la somma S
puo assumere qualunque valore si voglia quale che sia il grado di piccolezza che si vo-glia assegnare alle δ essa inoltre non ha alcun valore limite e
int b
af(x) dx non avrebbe
nessun significato dal di sopra Se pero quando α1 e α2 diventano infinitamente pic-coli
int cminusα1
af(x) dx +
int b
c+α2f(x) dx si avvicina ad un limite fissato allora si intende con
int b
af(x) dx tale limiteAltre posizioni di Cauchy sul concetto di integrale definito nei casi in cui non avviene
qualcosa del genere secondo il concetto fondamentale possono essere idonee per ricer-che di particolari tipologie tuttavia non essendo sviluppate in generale e soprattutto acausa della loro notevole arbitrarieta sono ben poco opportune
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Ora per seconda cosa studiamo lrsquoambito di validita di questo concetto ovvero la do-manda in quali casi una funzione e suscettibile di integrazione e in quali no
Consideriamo il concetto di integrale nel senso stretto cioe supponiamo che la som-ma S converga quando le δ diventano collettivamente infinitamente piccole Indichiamocon D1 la massima oscillazione della funzione tra a e x1 cioe la differenza fra il suo piugrande ed il suo piu piccolo valorelowast in questo intervallo con D2 quella fra x1 e x2 con Dn quella fra xnminus1 e b cosicche
δ1D1 + δ2D2 + + δnDn
deve diventare infinitamente piccola con le grandezze δ Ammettiamo inoltre che quandole δ rimangono tutte piu piccole di d il piu grande valore che tale somma puo assumeresia ∆ ∆ sara quindi una funzione di d che decresce insieme a d e insieme a questagrandezza diventa infinitamente piccola Se ora la lunghezza complessiva degli intervallidove lrsquooscillazione e piu grande di σ e = s allora il contributo di questi intervalli allasomma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn e evidentemente ge σ s Da qui si ottiene
σ s le δ1D1 + δ2D2 + + δnDn le ∆ quindi s le∆
σ
Quando σ e dato ∆σpuo essere reso piccolo a piacere mediante unrsquoopportuna scelta di d
lo stesso vale quindi per s e se ne deduce cheSe la somma S converge quando le δ diventano tutte infinitamente piccole risulta
anche per la limitatezza della funzione f(x) che la lunghezza complessiva degli intervallinei quali lrsquooscillazione e gt σ o anche σ puo essere resa arbitrariamente piccola medianteunrsquoopportuna scelta di d
Di questa proposizione vale anche il viceversaSe la funzione f(x) e sempre finitadagger e la lunghezza complessiva s degli intervalli nei
quali lrsquooscillazione della funzione e piu grande di una data grandezza σ diventa infinita-mente piccola al ridursi indefinito di tutte le grandezze δ allora la somma S convergequando le δ diventano tutte infinitamente piccole
Infatti gli intervalli nei quali lrsquooscillazione e gt σ danno alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un contributo piu piccolo di s moltiplicato per la massima oscillazione dellafunzione tra a e b la quale (per ipotesi) e finita gli altri intervalli danno in contributo lt
σ (bminusa) Chiaramente si puo prendere innanzitutto σ piccolo a piacere e poi determinare(per ipotesi) la lunghezza degli intervalli in modo tale che anche s sia piccolo a piaceree con cio dare alla somma δ1D1 + δ2D2 + + δnDn un valore piccolo a piacere edi conseguenza il valore della somma S puo essere racchiuso fra limiti arbitrariamentevicini
lowast Qui Riemann avrebbe dovuto dire ldquola differenza fra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiorerdquodagger Si intende ldquolimitatardquo
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
B Riemann Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una serie trigonometrica
Abbiamo dunque trovato condizioni necessarie e sufficienti affinche la somma S con-verga al decrescere indefinito delle grandezze δ e si possa parlare in senso stretto di unintegrale della funzione f(x) fra a e b
Se ora il concetto di integrale viene ampliato come sopra e chiaro che lrsquoultima delledue condizioni trovate e ancora necessaria affinche sia possibile lrsquointegrazione al postodella condizione che la funzione sia sempre finitadagger subentra pero la condizione che lafunzione diventi infinita allrsquoavvicinarsi dellrsquoargomento a singoli valori e che esista undeterminato limite quando gli estremi di integrazione si avvicinano indefinitamente atali valori
[omissis]
dagger Si intende ldquolimitatardquo
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Appendice
-
- La tesi di Riemann
-
- Bibliografia
-
Bibliografia
[1] L Amerio Analisi matematica con elementi di analisi funzionale Vol 2UTET 1977
[2] V Barutello M Conti D Ferrario S Terracini G Verzini Analisi ma-tematica con elementi di geometria e calcolo vettoriale Vol 2 ApogeoMaggioli 2008
[3] G Darboux Memoire sur les fonctions discontinues Annales scientifiquesde lrsquoEcole Normale Superieure 2e serie 4 (1875) 57ndash112
[4] U Dini Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali Nistri1878
[5] N Fusco P Marcellini C Sbordone Analisi matematica due Liguori1996
[6] E Giusti Analisi matematica 2 Boringhieri 2003
[7] M Kline Storia del pensiero matematico Vol 2 Einaudi 1996
[8] M Muger Lebesguersquos characterization of Riemann integrable functionshttpwwwmathrunl~muegerLebesguepdf
[9] C D Pagani S Salsa Analisi matematica Vol 2 MassonZanichelli1998
[10] B Riemann Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono-metrische Reihe (Sulla rappresentabilita di una funzione mediante una se-rie trigonometrica) Dissertazione per il conseguimento dellrsquoabilitazione adocente universitario presentata nel 1854
[11] H L Royden P M Fitzpatrick Real analysis Prentice Hall 2010
[12] K J Thomae Zur Definition des Bestimmten Integrals durch den Grenz-werth einer Summe (Sulla definizione dellrsquointegrale definito tramite il li-mite di una somma) Zeitschrift fur Mathematik und Physik 21 (1876)224ndash227
[13] K J Thomae Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (Intro-duzione alla teoria degli integrali definiti) Nebert 1875
[14] V Volterra Sui principii del calcolo integrale Giornale di Matematica di-retto dal prof G Battaglini 19 (1881) 333ndash372
- Indice
- Prefazione
- Integrali semplici
-
- Due impostazioni a confronto
- Vantaggi e svantaggi
- Equivalenza dimostrazione elementare
- Equivalenza dimostrazione col teorema di Lebesgue-Vitali
-
- Integrali doppi
-
- Premessa
- Limpostazione semplificata equivale a quella usuale
- Integrabilitagrave per rettangoli chiusi
- Integrabilitagrave per successioni
- Limitatezza
- Definizione tramite la misura
- Il teorema di Lebesgue-Vitali
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- Appendice
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- La tesi di Riemann
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- Bibliografia
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