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La rivoluzioneRiemanniana

Nicole Bussolae Emilia

Ramazzotti

PREMESSE

DA GAUSS ARIEMANN

CURVATURA

THEOREMAEGREGIUM

RIEMANN ELE VARIETA

CURVEELLITTICHE

La rivoluzione Riemanniana

Nicole Bussola e Emilia Ramazzotti

FOUNDATION OF GEOMETRY

Anno Accademico 2014/2015

Ramazzotti

PREMESSE

DA GAUSS ARIEMANN

CURVATURA

THEOREMAEGREGIUM

RIEMANN ELE VARIETA

CURVEELLITTICHE

SOMMARIO

1 PREMESSE

2 DA GAUSS A RIEMANN

3 CURVATURA

4 THEOREMA EGREGIUM

5 RIEMANN E LE VARIETA

6 CURVE ELLITTICHE

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PREMESSE

DA GAUSS ARIEMANN

CURVATURA

THEOREMAEGREGIUM

RIEMANN ELE VARIETA

CURVEELLITTICHE

SOMMARIO

1 PREMESSE

3 CURVATURA

4 THEOREMA EGREGIUM

6 CURVE ELLITTICHE

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DA GAUSS ARIEMANN

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THEOREMAEGREGIUM

RIEMANN ELE VARIETA

CURVEELLITTICHE

SOMMARIO

1 PREMESSE

3 CURVATURA

4 THEOREMA EGREGIUM

6 CURVE ELLITTICHE

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DA GAUSS ARIEMANN

CURVATURA

THEOREMAEGREGIUM

RIEMANN ELE VARIETA

CURVEELLITTICHE

SOMMARIO

1 PREMESSE

3 CURVATURA

4 THEOREMA EGREGIUM

6 CURVE ELLITTICHE

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DA GAUSS ARIEMANN

CURVATURA

THEOREMAEGREGIUM

RIEMANN ELE VARIETA

CURVEELLITTICHE

SOMMARIO

1 PREMESSE

3 CURVATURA

4 THEOREMA EGREGIUM

6 CURVE ELLITTICHE

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DA GAUSS ARIEMANN

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THEOREMAEGREGIUM

RIEMANN ELE VARIETA

CURVEELLITTICHE

SOMMARIO

1 PREMESSE

3 CURVATURA

4 THEOREMA EGREGIUM

6 CURVE ELLITTICHE

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RIEMANN ELE VARIETA

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1 PREMESSE

3 CURVATURA

4 THEOREMA EGREGIUM

6 CURVE ELLITTICHE

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PREMESSELa vita di Riemann

1826 - Bernhard Riemann nasce a Breselenz

1846 - Studia teologia e filologia a Gottinga

1847 - Studia matematica all’Universita di Berlino

1854 - Tiene la sua prima lezione”On the hypotheses which lie at the foundation of geometry”

1859 - Pubblica un saggio contenente l’”Ipotesi di Riemann”

1866 - Muore in Italia di tubercolosi

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PREMESSEAmbiente matematico

Euclide, 300 a.C., ”Elementi”

Cartesio, 1637, ”Discorso sul metodo” e ”La Geometrie”

Gauss e le geometrie non euclidee

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DA GAUSS A RIEMANNSuperfici cartesiane

Paraboloide di equazione

f (x, y) = x2 + y2

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Ellissoide di equazione

4+ y2 + z2 = 1

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Piano immerso in R3

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DA GAUSS A RIEMANNImmersione

L’immersione e una relazione tra due strutture che collega laprima alla seconda in modo che la seconda contenga ”una copia”della prima al suo interno.Esempi

f : A ↪→ B

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DA GAUSS A RIEMANNProprieta estrinseche

Circonferenza in una sfera Circonferenza in un piano

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CURVATURACurvatura di una curva piana

La curvatura di una curvapiana in un punto p e ilreciproco del raggio dellacirconferenza osculatrice

kp(C) =1r

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CURVATURACurvatura di una superficie

Le curvature principali di una superficie S in un punto p sono:

k1(S) = max{kp(C)}

k2(S) = min{kp(C)}

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THEOREMA EGREGIUMLa curvatura come proprieta intrinseca

Curvatura di Gauss

K = k1k2

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THEOREMA EGREGIUMClassificazione dei punti

K > 0: lasuperficie e dettaavere un puntoelittico

K < 0: lasuperficie e dettaavere un punto disella

K = 0: lasuperficie e dettaavere un puntoparabolico

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THEOREMA EGREGIUMIl Teorema

TeoremaSe una superficie curva si sviluppa su una qualsiasi altrasuperficie, la misura della curvature in ogni punto non varia.

La curvatura Gaussiana e un’invariante intriseca.

Non cambia rispetto a deformazioni isometriche dellasuperficie.

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THEOREMA EGREGIUMEsempi

Alcuni esempi di diverse curvature:

Una superficie puo essere determinata interamente misurandoangoli, distanze e i loro rapporti sulla superficie stessa.

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THEOREMA EGREGIUMLa pizza

Per vedere il video della pizza usate il seguente link:

La pizza

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Outline

1 PREMESSE

3 CURVATURA

4 THEOREMA EGREGIUM

6 CURVE ELLITTICHE

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CURVEELLITTICHE

RIEMANN E LE VARIETAChe cos’e una varieta?

secondo numerabile

Hausdorff

carte (atlante)

Localmente omeomorfo allo spazio Euclideo

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CURVEELLITTICHE

secondo numerabile

Hausdorff

carte (atlante)

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CURVEELLITTICHE

secondo numerabile

Hausdorff

carte (atlante)

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secondo numerabile

Hausdorff

carte (atlante)

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CURVEELLITTICHE

secondo numerabile

Hausdorff

carte (atlante)

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RIEMANN E LE VARIETACome incollare

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RIEMANN E LE VARIETAClassificazione delle varieta

DefinizioneLa dimensione di una varieta e la dimensione dello spazioEuclideo mappato dalle carte

Varieta 1-dimensionali:retta e cerchio.

Varieta 2-dimensionali:superfici.

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RIEMANN E LE VARIETAVarieta 1-dimensionali

Connessenon compatta: rettacompatta: cerchio

Non connesse: unione disgiunta di retta e cerchio.

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RIEMANN E LE VARIETAIl poligono fondamentale

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RIEMANN E LE VARIETAClassi di varieta

Varieta Riemanniane: introduco una metrica che mipermette di definire nozioni come angoli, lunghezze, aree.

Varieta differenziabili (lisce): le mappe di transizione sonoinfinitamente differenziabili.

Varieta complesse: le mappe di transizione sono olomorfe.Un esempio sono le varieta complesse 1-dimensionali dettesuperfici di Riemann.

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Outline

1 PREMESSE

3 CURVATURA

4 THEOREMA EGREGIUM

6 CURVE ELLITTICHE

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CURVEELLITTICHE

Curva ellitticay2 = ax3 + bx + c

Curva elittica di Weierstrass℘(z)′2 = 4℘(z)3 − g2℘(z)− g3

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CURVEELLITTICHE

Curva ellitticay2 = ax3 + bx + c

Curva elittica di Weierstrass℘(z)′2 = 4℘(z)3 − g2℘(z)− g3

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CURVE ELLITTICHEIl toro

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