SULLE EQUAZIONI D'ONDA RELATIVISTIOHE DI DIRAO PER PARTIOELLE CON MOMENTO

INTRINSECO QUALSIASI

Nota di GIOV~,NNI GEN~rlLE (*)

S u n t o . - L'A. esposti i diversi criteri, che E. MAJORA~A e P. A. M. DmAC hanno seguito per istituire equazioni d~onda relativistiehe per particelle con spin, intero o mezzo, qualsiasi osserva la stretta analogia the esiste

tra gli spinori v? e vy di DI~AC e le funzioni d'onda a due componenti della teoria di PAULI dell'elettrone. Nella seconda parte l~A. mostra che si pu~ dare un operatore relativisticamente invariante che permette di ottenere immediatamente equazioni relativistiehe della forma di DrRAc. Ne fa un'applicc~zione all'equazione d'onda del mesotrone.

L'equazione di DIRAC dell 'elettrone per lungo tempo ~ stata, quasi universalmente, ritemJta come l 'unica equazione d 'onda ehe soddisfacesse ai due requisiti, dell ' invarianza relativistica e della linearits helle componenti del quadrivettore energia-impulso. Cosl si poteva anche dire che il fenomeno dello spin dell 'elettrone fosse una conseguenza neeessaria della simmetria spazio-temporale, rL chiesta per le leggi fisiche dalla teoria della relativitY. Una tale opinione, in realtY, non era che una presunzione, plausibile al pifi fino a tanto che non fosse dimostrato il contrario. 0 ra gi~ nel ]932 E. MAJORANA (1) mostr5 che si poteva costruire una teoria relativistica per particelle con momento intrinseco arbitrario. Per ottenere qu~esto, mentre DmAC prima dh l'espressione degli opert~- tori ~ e ~ che entrano nella sua equazione, e poi, per dimo- strare l ' invarianza relativistica, determina la legge di trasformn- zione delle ~ , relativa al pifi generale cambiamento del sistema di riferimento, !~r procede in senso inverso, in quanto de- termina a priori una rappresentazione per matrici infinite delle 6

(2) Comunicazione fatta al Congr. della 8oc. Italiana per il progresso dellc Sr tenuto in Pisa nell'Ottobre ]939-XVII.

(i) y. c Nuovo Cimento >>, 9, 335, 1932.

G. GEN~IIAE

t rasformazioni infinitesime di LOR:ENTZ a~, bt, eiob le matr ie i di tra- sformazione, indotte da questi operatori at, b~ sulle funzioni d 'onda ~r (con j intero, o mezzo, ed j ~ l m l ) , base di quella rappresen- tazione. E poich~ la richiesta del l ' invar ianza relativistiea impone delle relazioni di scambio t r a le at, b; e le ~;, ~ (~), la forma di queste ul t ime matrici ne r isul ta determinata a posteriori.

Bisogna aggiungere che MAJORANA, per togliere di mezzo la nota difficolfft degli stati d ' energ ia negativa, si pose l 'u l ter iore condizione della positivit~ degli autovalori di ~ e quindi non pot~ evitare che le a~ risultassero matr ici in generale non diagonali nei due indici j e m. Ne venne quindi una teoria a infinite componenti , per quanto MAJORANA riuscisse a dimostrare che, nell ' ipotesi di particelle con spin s, ci si poteva r idurre a considerare, in p r ima approssimazione soltanto 2s -~- 1 componenti.

Fu detto da PAULI c h e l a teoria dell 'elettrone a quat t ro compo- nenti - - tante quante sono le dimensioni dello spazio-tempo fosse da preferire, ma comunque rimase il fa t to che era stata dimo- s t ra ta l 'esistenza d 'equazioni d 'onda relativistiche pifi generali, di quella solita per l 'elettrone.

Nel 1936 DmAc r i torna sul l 'a rgomento con un lavoro (2) in cui riesce a ist i tuire equazioni relativistiche con un numero finito di componenti e che nel caso part icolare d i s = 1/2 si riducono alla equazione di DmAc ordinaria. Nella presente nota vogliamo appunto occuparci di queste equazioni relativistiche, date da DmAc.

1. - Senza entrare nell 'analisi del metodo, del resto molto astrat- to, seguito da DIRAC per ottenere le sue equazioni, vogliamo, fare

un'osservazione di carat tere elementare sugli spinori v~ e v~ che entrano in modo essenziale nella sua teoria, in quanto permettono di scrivere le equazioni d ' o n d a fondamental i :

40) I p~v~ ~PA ---- m'v~ ~PB (D, r pg~ v~ ~B---- ~"v~ ~A che, per la loro forma spinoriale, riflettono senz ' al tro i ' inva- r ianza relativistica. Questi spinori sono matr ici re t tangolar i e pre-

(i) Le relazioni di scambio (7) del lavoro di MAJORA~A coincidono sostan- zialmente con quelle analoghe date da PAULI in ~ Hand. d. Phys. ~, B. XXIV/I . zweite Aufl, pag. 222, eq. (A').

(~) V. r Proceed. of the Roy. So. of Lon. ~, u 155, pag. 477. (Nel testo indicheremo le equazioni dl questo lavoro, contrassegnandole con il loro nu- mero preeeduto dalla lettera D).

S ULLE EQUAZIONI D~ONDA RELATIVISTICItE DI DIIL4C

cisamente le vv di 2 k + 1 colonne e 2 k righe, le v~ di 2 1 + 1 colon- ne e 2 l r ighe e vengono ottenute considerando la matrice di 2(2 k + 1) righe e colonne:

Sl I ,~21 ] <D. 12) A - I s ~ s , ' l

e l 'analoga B d i 2(2 l + 1) righe e eolonne, e poi scomponendole nel prodotto di opportuni spinori mediante l 'equazione:

~(D, 14) A : U-1.D.U,

nella qt~ale U -~ ~ la matrice di trasform&zione ehe riduce A alla forma diagonale D.

Ora osserviamo c h e l a A si pub anehe serivere:

i=3 A = " T x ~ ' = x ~,o:,

i = t

dove le a~ sono le solite matriei di PAVLI, le a; definite dalle (D, 5) sono combinazioni l ineari delle matriei, rappresentat ive delle rota- zioni infinitesime dello spazio-tempo e ta]i che a 2 = k (k + 1), ed inol- t re ,a e z devono intendersi operare su variabili indipendenti. In a l t r i termini la A sta ad indieare il prodotto di due rappresenta- zioni r ispett ivamente di ordine k e 1/2. Se in partieolare seegliamo

( 1 ) il sistema di r iferimento in eui a. e a, sono diagonali ~, = m; ~ ~, ----- s

al lora la matrice (m, s I ~ x ~--~m', s') potr~t farsi coineidere con la (D, 12) bastando per questo ordinare le righe e le colonne, facendo percor- rere all ' indice m tu t t i i valori da + k a ~ k, da prima per s = 1/2 e poi di nuovo, per s = - 1/2. D 'a l t r a par te sono ben note le pro- priet~ dell 'operatore a X ~ come termine d 'accoppiamento di due vettori quantistici ed ~ pure noto che esso ~ diagonale nel sistema ,di r i fer imento degli osservabili:

ehe per J ' = k + l / 2 si ha:

(J', M

mentre per J " ~ k - - 1 / 2:

(J", MID

1

DIJ ' , M ) = k ;

J", M) = - - (k + 1).

Quindi un elemento della matrice di trasformazione che fa passare dallo schema (J, M) al l 'a l t ro (m, s) si serive

(J, M I U I m , s)

8 G. GF~TLLg

e nella U si potranno distinguere le due sottomatrici di 2 k + 2 ( 1

righe e 2 k ~ - 1 colonne, per cui J---- j1 e r ispett ivamente s - - ~

ed s - - - - - -~) :

e le altre due di 2k righe e 2 k -{ -1 colonne ( p e r cui J - -z j1 ed

s----- • ~):

v , : (J",M,U,m,-+-~) v , : ( J " ,M,U]m, - -2 )

risultando la U cosl composta:

b, b21 _~. a I u'[ U----- ] v, v, e analogamente U -1 a' uS["

Ora sono precisamente queste vl e v~ (a meno del 2attore ~ 2 k § le matrici che entrano nella (D, 40). Si pub aggiungere di pifi che queste matriei a~, b~, u ~, vv (nel easo di k intero) sono gis note ai fisici dalla equazione di PAULt dell 'elettrone, potendosi per es. scri- vere le 2~ k l 'autofunzione l~'x, M appartenente all ' autovalore J ~-~ k - - 1/2 come le seguenti combinazioni

= - +~]u Ik--~, +

delle 2 ( 2 k ~-1) autofunzioni di par tenza: T,~,•

2. - Vogliamo adesso mostrare che si pu~ definire un operatore invariante che permette di costruire agevolmente equazioni relati- vistiche nella forma di Dm~c. Pe r questo consideriamo la forma invariante dell ' equazione di DmAC dell ' elettrone, scritta perb con le autofunzioni di H. WF~m (1):

(i) Ricordiamo the le autofunzioni r di WEIL si ottengono da quelle di. 1

DI•AC mediante la relazione : r ~ ~ (~i -+- Ps)~. y~

S U I T E E Q U A Z I O N I D~0NDA R~I .ATIVISTIC~IE DI DIRAC

ehe distinguendo (per la loro diversa legge di trasformazione ri- spetto al gruppo di LoPmNTz (1) e le quat tro eomponenti della ~ nelle

due coppie a - - (a~, a~); b ~--- (b i, b;) diventa :

k ~ 3 k=3

k=O k : : 0

dove Po _ pO_ E ---- - e % ~ la matrice unit~.

Adottando ora la ser i t tura del cosidetto calcolo spinoriale di

VAN I)ER WAERDEN e ricordando ehe per k ---- 1, 2, 3 ~ : an, ~ -~ - - aZk~

mentre: %, X~ ~ a0 x~ otteniamo infme al posto della 11) la :

(2) F - ~ - a ' ~ p ~ a § ~ �9 i b p~x b - - mc(a'~ b i § b ~ a~)

nella quale si ~ posto �9 �9

(3) p ~ : : p ~ (4) Px~ ~ P~%, x~

e si ~ convenuto, come d 'ordinario, ehe se un indiee ~ r ipetuto due volte in uno stesso termine, questo termine va sommato per tut t i i valori di quell ' indice (2).

Sin qui siamo aneora rimasti all 'equazione di DmAC dell'elet- t rone; ma, evidentemente, la forma serit ta r imane un invariante

qualunque siano le funzioni a'~, a x ; b i , b x essendo essenziale soltanto

il modo come esse si eomportano rispetto al gruppo di LORENTZ.

In part icolare potremo seegliere al posto delle a [ e b ~ due cop-

pie di variabili v [ e u ~ con la sola condizione che ogni v~ (oppure

u ~) si t rasformi come la eorrispondente a[ (0 b ~) cio~:

(a~, b ~) ~ ( v ~ , u~).

Conseguentemente potremo ident if icare le a~ e bi~ rispettivamente

con gli operatori differenziali ~ul~ e Ov~' dalla legge di trasforma-

(i) V. VAN DER WAERDEN. Die gruppentheor.-Methode in der Quantenmech., pag. 78 e seg., Spr inger 1932, oppure anehe G. GENTILE, 8ulla rappresentazione del gruppo di Lorentz, c Nuovo Cimento )~, 16, 181, 1939, (A questo proposi to osserviamo che per una svis ta nel la correzione de l le bozze gli indici 1, 2 delle

var iabi l i v], v~ non sono s ta t i s t ampa t i punteggiati) .

(~) P e r X, X e ~, ~, e in genera le per t u t t i gli indici ehe ser iveremo come l e t t e re greehe i valori possibi l i sono ] e 2. P e r k invece: 0, 1, 2, 3.

zione delle u ~ e v~ discendendo immediatamente ehe b:

a l ~ c ~ - - ~ - - �9 ~ ~ - - .

~b ~ au ~' Oa. z Ov[

Otteniamo quindi l 'opera tore invar iante :

5 ~ a) (5) [F] : v i pZ~ + u~p~ i ~ - - mc v[ ~-~ -+- u ~

oppure a l ternat ivamente (prendendo come variabili indipendenti le:

(u i , v~) -~ (b i~ , a~)) l ' a l t ro operatore invar iante :

(5') [F*] = p ~ v ~ ~u ~ + p~iu~ ~ - - m c u i ---: - - v~ . ,, Ou ~.

3. - Ora ~ appunto [F] , (oppure l ' a l t ro F*) l 'opera tore che per- mette di costruire equazioni d 'onda , lineari e relat ivist icamente invarianti . Difa t t i consideriamo il pifi generale tensore (di sp/n)

~ 1 7 6

a~.. . s immetrico cosl nei 2J indici punteggiat i k, p, z .... come nei 2 J t indici non punteggiat i a, ~ ... e definito dalla forma inva- r iante :

. , ,

(61 fl - ' - ar u upvxvev~ ...

nelle 4 ( J + J ' ) v a r i a b i l i indipendenti u~, v[ ... (Esso, come ~ noto, d~ luogo a una rappresentazione Dj , j , irriducibile del g ruppo di

LOR~NTZ). Inol t re consideriamo il tensore (di spin) b ~ . . . . anch'esso simmetrico nei suoi 2 J - 1 indici punteggiat i e 2 J ' -~- ] indici non punteggiat i e definito analogamente dalla forma invar ian te-

, ~

(6') f , ~ b~ ' . . .u~ u~u~ v'pv . . . .

( Il tensore b ~ ;'" d'~ a sua volta una t~ p... j,+

Se adesso applichiamo l 'opera tore [F] alla somma f~ + f~, ugua- gliando identieamente a zero il risultato, ot teniamo:

(7) O = l p'X~bi~'~".. - - mc ar l

+ t �9 p ~ a ~ . . . - - mc ~ ~...

S U I ~ ]~QUAZIONI D~0NDA RE~ATIVISTICIt~ DI DIRAC 11

r icaviamo cio~ le equazioni, evidentemente , re la t ivis t icamente inva-

r iant i :

(8) I p'X~bi~... >.'e'~... ---- mc a a ~ ...

t �9 ~~; ~; pexaa~ ... = mc b~a~...

e ehe eoineidono con le equazioni di DmAc pe r part ieelte di massa m e di sp in: s - - J - ~ - J " ( J e J" interi , o mezzi). Bas ta per questo sost i tuire alle p* i eor r i spondent i opera tor i quant is t ie i e eonsiderare

i diversi elementi dei due tensori aa... e b~::: - - the sono funzioni delle coordinate di posizione della par t ice l la ~ come a l t re t tan te component i della funz ione d ' o n d a ~. Di fa t t i ognuna di queste per suo eonto soddisfa l ' equaz ione di SCn-RSmNOER rela t iv is t ica :

come si vede subito in base alle (8) e alia re laz ione:

pX~ p ~ __ ~, " ~: ,, ,,, ~v

che per le note p ropr ie th delte o , di PAVLI d iven ta :

= p~-- = [] = ~ 4.~ ~ ; �9

P e r quel che r i g u a r d a l ' a l t ro opera tore [F*] il caso ovvio di 1 ( 1 )

spin ~ J - - ~, J ' = 0 quindi 4 eomponent i della ~ ei dice senz 'a l -

t ro come [F*] ei dia l ' equazione a cui soddisfa la ~.

4. - Equaz ion i d ' onda per il mesotrone (caso di sp in 1). Voglia- mo i l lustrare i r i su l ta t i o t tenut i nel caso di s - - - 1 (1), che essendo il caso del mesotrone ~ quello che a t tua lmente pifi interessa i fisici.

Pe r s - - - - ] dobbiamo scegliere J ~ ] e J ' : O , cosl che le (8)

d ivengono :

I p'X~b i - - mca "x'~ (8')

I p ~ a [ ' ~ = mcb~

(~) Questo easo ~ stato gii~ trattato da KEMMER (V. r Proceed. Roy. Soc. of Lond. )~, V. 166, pag. 127), da YUK~VA-SAKaTA (V. Proc. Phys.-Nat. Soc. Japon ~, 19 (1937)) e implicitamente da M. FISRZ (V. ~ Helvetica Physica Acta ,, V. XII, 1, 1939).

12 G. GEN~

dove il tensore a ~ (essendo simmetrieo in ), e a) ha t re compo-

nenti, ment re b~ ne ha quattro. Quest 'u l t imo quindi deve poter essere r icondotto ad un vettore (quadr id imensionale)b ~ . Difa t t i per ]a regola d 'abbassamento degli indici d ' uno spinore e per la (4),

esiste t ra b a e b~ la seguente relazione:

b~ ~ - - b~ ~ - b ~. ~k, ~ (4') i i

b~ = b~i = b ~. ~ , ~i

da eui intanto ~ evidente ehe eiaseuna eo.mponente b ~, eombina-

zione lineare a eoeffieienti eostanti delle b ~ ~, come queste soddisfa l 'equazione di SCI~SDING~R :

(I) [ ] b ~ - (2~------~C)'b, = 0.

Inol t re la condizione a i i = a ~ i insieme alla p r ima della (8') e alle (4') e (3) ~ornisce:

i~7~. f i % i " "

-~ ~k, k, p~b ~' ~ , ~i --I- ~ ~k, ~1 o

vale a dire essendo z~ ~2 ~ matr ici a t raecia nulla

k=3 ih ~-a Ob ~ ( I I ) 0 - 2 E p ~ b ~ - - - - ~ - -

dove xo ~ uguale a ct. Questo r isul tato ci dice the delle b ~ solo tre sono indipendenti

e bastano a descrivere lo stato del mesotrone completamente, anehe in r iguardo alle tre possibili orientazioni dello spin. Inol t re ~ evi- dente che le (I) e ( I I ) sono per~et tamente equivalenti alle (8").

Questa conelusione ~ stata ot tenuta da M. F~ERZ del tu t to in generale, per qualunque valore intero d ello spin.

Milano, Istituto di Fisica dell' Universitd.