SULLA DEFORMAZIONE DI UN TRIEDR0 TRIRETTANGOL0 E DI lIRA LASTRA INDEFINITA, ELASTICI, ISOTROPI.

Nota del Dr. Luo iano Orlando , in Messina.

Adunanza del 9 a g o s t o ,903 ,

I.

I. Sia S uno spazio isotropo limitato daUe tre facce x = o, y - - o , K - - o , che rispettivamente chiameremo %, %, %, d'un triedro triret- tangolo. Se M , di coordinate x,, y , , L , ~ un punto fisso nd triedro, posto :

y2 X 2 2 2 - - ( x - - ,) + ( y - - y , ) +(K--Z, ) ,

r 2 x = a a , - - ( q - x , ) -{-(y- l -Y,) +(K--K,) , 2 2 2 1 r s = ( x q - x , ) q - - ( y - - y , ) ' { - ( Z q - L ) ,

r a x = : ", = 7 - - ( - - x , ) --[-(y--{-y,) +( , , . - - I -L) ,

r : - - - (x - i - x , ) L l - ( y - - y , y - l - ( K - - ~ , ) ~,

r**--~(x--x , )Ll - (y-[-y , )L~(K--K,)=,

r~-- (x- I -x , )LI- (T-- I - -T , )Li - (K-I-L) ~, r ~ = ( x - - x ~ ) = q - ( y - - y ,)Lsr-(K+~,) ~,

le r~ indicano le distanze di un punto M, di coordinate x, y, Z, varia- bile in S, dai punti M~, i quali risultano in evidenti rdazioni di sim- metria con M, rispetto al triedro.

Si ha, quando M ~ rispettivamente sopra %, %, %:

( r ~ r : ~ r 3 - - r 4~ r 5 - - r 8~ r 6 - - - r T ) a z

( r , - - - r 4 , r a - - r 3~ r 5 - - r 6~ r 7 - - r 8 ) %

(r x - - - r 8, r z - - r 5, r 3 - - r 6~ r 4 - - - r7) % .

Risuka chiaro chela funzione di GRt~.~ relativa al polo M, , cio~ una

funzione armonica in S, che in superficie assuma il valore ! ~: r

G _ i ~q. I I + x i + ! " r z r 3 rr r 5 r 6 1" 7 r 8

336 L U C X A N O 0 R L~.NDO.

Ora, estendendo ci6 che si ~ fatto per il diedro *), troveremo alcune akre importanti funzioni. Nodamo che, quando M e rispettivamente so- pra a , e ,

r 2

"~x--

( 02- o?L rx r 4

( 02- OA- rx ~ gg

La funzione

~3' si ha :

r x T 3 r 4 F 5 __ F8 r 6 __ T7 ) Ox' Ox- - Ox' Ox Ox' Ox ~ ~

r~ r3 rs - - r6 . r7 - - - - r 8 l B y - - O y ' Oy O y ' O y - c)yJ~:

aZ @Z o-L aZ aZ aZ~ r B _ _ F~ ?'3 Y6 F4 /'7

G~-- I I + _ _ 1 21 - I

r a F 3 r 4 Y~

I si riduce a ~ quando M ~ sopra ~

r

d ~ 8G~ r~ c~ - - ~ ' cio~ la

sopra a . Per la funzione

I I

7"6 r 7

o sopra ~ ;

I

F 8

si ha invece

derivata di ! secondo la normale, quando M r~

G ~ = I l- I I I I I _ ! + F 2 7" 3 r 4 t'$ Y6 Y7

Per la funzione

( rz

I + i + I + G =_7; I I I I

t YS T6 Y7 r8

( si ha: G , = - ~ - ~,, e "d-n-n-- r I

d n qI"

*) MARCOLONCO, Accademia dei Lincei, 20 aprile r9o~.

SULLA DEFORM&ZIONE DI UN TRIEDRO TRIRETT&NGOLO~ ETC. J37

Per l'altra funzione

G s _. . I...[_ ~ I I ~ II_ _~ I I i

r2 r 3 r 4 r s r6 r 7 r8

si ha : (G s =

Per

( I ) r, d 0 5 = d n %,3" r--7 a ," d n

G6__ - 1 ~-3 I I F ! H I I - - r-- 7 + + r, r s r 6 r, r.

( si ha: G 6 = 7 [ ~" d n ' - - dn %3"

Per la funzione

I I

G7 - - r= r 3

I ( d Gv si ha: ( G 7 ------)%, r, \ d ~

I + ! + ~ + i I r~ r~ ~6 7 ( + ~-7

rx

E, all'ultimo, per la funzione

G 8 -- I I I I I I I

ra r 3 r 4 r s r6 r 7 r s

( d O s =-77-n ~,,m" si ha: I k d n r,

Fra queste otto funzioni, solo le G,, G:, G5, G 8 differiscono so- stanzialmente. Le G 3 e G, sono analoghe aUa G2, e le G6, G 7 alia G s.

2. Supponiamo che di una funzione q~ sia noto nel campo S il a2, e che siano sui piani limiti noti i valori, subordinatamente alle condizioni di convergenza all'infinito. La formula, che fornisce ? in un punto ( x , y , , Z,) di S, 6:

4 ~ , ( x , , , , , ~ : , ) = f , ~ ( 7 7 ' - a o I o

Con rignardo aUe relazioni fra le derivate deUe r~, posto : R~d. Cir=, Ma~em. Palermo, t. XVII (x9o3). -- Stampato il =9 ottobrr ~9o3. 43

338 LUClANO ORLANDO.

risulta :

z rz r4 /'7

a r, r= r i rs ~? d %,

(I)3 "--" r r= r 3 r 4

~ o , 8r ar ~ = ~ 7 +-~7, + ~ ,

(1) 4~:~P(X" Y" Z')---- 2 - - d \-G[ • S.

Sia ancora noto • q~ nel campo, ma sia, sopra % e sopra %, noto,

in ogni punto, il valore di % e sopra r sia noto invece d-n'n ' sempre

colle solite condizioni di convergenza alt'infinito. Si ricava con un noto

metodo " d I d I

la quale formula, posto :

r , r 4 r 7

% = f ( i i i r__~_) r, q r~ + q~d%,

03 = r, r~ r~ r, d n d * 3 ,

---~7+-~7+ %, diventa :

Supponiamo the sopra ~, si conosca % e sopra % e ~3 si conosca

d j . La formula d n

i _ G i

f (I) f(i. ) + G---77 a%-- 77--G~ A=~pdS,

SULLA DEFORMAZIONE DI UN TRIEDRO TRIRETTANGOLO, ETC. 339

quando si ponga :

diventa :

(3)

r~

r x

(I) 3 - - - r t

I I

r 4 r 7

I) rs ~? d % ,

I

r 2 �9 r$

I

r 2 r 3

~ - o< + % + % '

dq~ Se ora sui piani limiti ~ noto ~ subordinatamente aUe condizioni

di convergenza all'infinito e alia

posto :

si ottiene :

(4)

f 7~nd*-{ - a 9 d S = o ,

f ( I I I _[_ I ) ~ _ ~ n

. _ f ( ~ + ! + ~ ~ ) ~

*, = f ( 5 + • ' r=

~ = * ~ + % + * , ,

J X t i /

3- Ci6 premesso, mi propongo di assegnare la deformazione del triedro in M , quando siano nulle le forze di massa (al quale caso pos-

siamo sempre ridurci senza restrizioni), e siano al conWrno date Ie com- ponenti normali delle forze e tangenziali degli spostamenti. La formula del

340 L U C I A N O O R L A N D O .

BETTI :

(~)

~- (~_3 4'~'~<x"Y"v')=T/[g(-a~7,-~)+~\ o,, /

' + ~ t _ r a . + '~ +"~'o.,

+. ~ o , _'+] ;~o . O

~*'"Oy, ~./+'\v+"" o~, ~ ~~

estende in questo caso i suoi due integrali ai piani %, %, r Nella (~) r ~ quello che chiamiamo r~ ; ie ~ , ~ , ~ sono le componenti ddla for<a superficiale, etc. Adopereremo il metodo BETx>CzRRUTr. Bisogner~t eliminate daIla (~) le quantifft (u, ~ , ~:~],)~, (~ , v, ~])~,~, (~ , ~ t , w)%. Le condizioni cui ~ soggetta la deformazione ausiliare sono dunque:

d 2 - ~ 02-. oi__ o - - 0 r t r x r x - - r t

c ~ ~ 1 7 6 dn - - 2 k 6 ~ ' ~ = Oy, - - - - Oy "

rx ~=

r x _ _ - r t r,

~ - - 'o~x, O--x- ' ~ ~ 2 k~176 r, �9 y , d n - - 2 k ~

rx rx r, __ r,

Ox, - - Ox ' ~'--'Oy, Oy

o ! 0<,

0 r x 0<, dn - -

Tall condizioni si mutano facilmente nelle altre:

c~y 2

r~

�9 2 r x | �9 2 ~ "-- '~'--"5"-#

O< J~3

SULLA DEFORMAZIONE DI UN TRIEDRO TRIRETTANGOLO, ETC. 3 4 I

o'! 02- 02-) O ~ r, r, ~ r,

- ~ Ox ~ ' ~ - - Oy OK ~,

- - O ! - . __ r, c9~ r, ~__ r,

ox' Cy-- o/ o~ % ( o! o! O~!)~

r, r, c3~ r,

Ora la 0 relativa alla deformazione ausiliare ~, come ~ chiaro, ar- monica, perch~ le forze di massa sono nulle; ma, per le condizioni im- poste ~ nulla in superficie, dunque ~ nulla sempre. Per le equazioni in- definite risultano armoniche ~, ~, r ; inoltre, per dato, dev'essere in su- perficie :

o ! o ! o2-- F, r, ~ ___~ r t

- - Ox ' ~ = Oy ' O< '

ma questi valori in superficie rispettivamente competono alle funzioni armoniche

~G, OG, OG, Ox ' Oy ' OZ. '

dunque assumeremo la deformazione ausiliare

~ _ OGI OG, OO,

Ox ' Oy ' OZ.

Questa deformazione ausiliare elimina (u, , ~ , g ) ~ , , ( ~ , v, ~), ,~, ( ~ , ~]~, v)%. I coet~cienti di (~ , v, w)~,, (u, N , w)%, (u, v, ~)~ , si calcolano facilmente, e posto:

~ f (~ ~-t ~ ~)e.,, P' - - W ~ r, r 4 r 7 r 8

Q , - - 4 ~ v . r, r, t---~(-{- d , , ,

f ( i i i x) R,--4oP w ---~[+-~-4 + r7 r~, dG'

J42 LUCIANO ORLANDO.

P, "-- 4 o~" u r, r, r-" 7

Q" - - -k- r, r~ r s r s

& = 4 ~ ~ ~ - U + ~ - { ~ ~

f( , , + , P,=4co" u - - - - ~ + r-f r , r 4

f ( ' ' -I- ' + ~ ) , ~ , Q3 = 4 ~ v - - , T'x r2 f3

R 3 = - ~ r i f2 ~ t" 3 V 4

o (p +a& o&] v = ox ~L + ~-id

risulta : V

Ora determineremo nel punto ( x , y , , G) le componenfi u, v, w

di spostamento. Dalle equazioni ai limiti si ha :

- - - - ( a * - - 2 c o * ) O - - 2 0 ~ oh xJc, I '

- - - - ( a " - - 2 o : ) 0 - - 2 ~ F T v ! , Y _l~

[ "c~

k cio~

du a* - - 2 o: 0 ~ ~) d-nn - - 2 ~ ~ 2-U~ ~, '

d v fg ~

d n ~ 2 o: 2"-~ ~ '

- ~ 2 ~ 2kco ~ �9 ~3

La componente u ~ poi nota sopra % e ~3' l a v sopra ~ e ~3' l a w

SULLA DEFORMAZIONE DI UN TRIEDRO TRIRETTANGOLO~, ETC. 343

sopra % e %, di pi~ le equazioni indefinite, cio6

~ - - o+ 2 3 0 9 . = - - co 2 c) 0 ~ = - - co = 3 0 - - - - A = ' g O - - - ~ 2

A=u co = 3 x ' • co= ~y , O~

fanno conoscere il a 2 ; perci6 applicheremo per w la (2), e per v e d u due analoghe, le quali se ne ottengono mutandovi G 2 in G 3 ed in G 4 rispettivamente. Accenneremo con ~+ , ~ 3 , ~= le quantit~ analoghe ad

delia formula (2), e avremo :

a ' - ~ , " t '[ ~ ) O F aS 4 = u ( x " Y " Z' ) = - 2 ~ + + 4 ~ ~" d k r--7 - G4 -07

f { , (5) 4 = v ( x , , y , , z , ) = - - 2 ~ , q ~ j \ - / 7 - - G , ) clS

4. Ora supponiamo che si conoscano Ie componenti tangenziali &lle for~e e normati degli spostamenli sul piano ~ , e che si conoscano, come he! precedente caso, le componenti normali delle spostamenti sui due piani % e %.

La deformazione ausiliare OG= c~G= 3 x " Oy '

forze e tangenziali degli

3G2

ha, come la precedente, la 0 nulla e le rotazioni nulle. Elimina, come facile vedere, dalla formula del BETT~ le incognite (u, , ~ , ~ ) = , , (~, v, ~)~=, (u, v, ~)~,. I coefficienti detle altre componenti si cal- colano senza diificolt~t, e, posto:

,

Px --" g r , r 4 r 7

rx "r 4 r 7 r 8

f( R, = 4 ~2 I I I jr_ w d : , ,

--;7, q "4 "7

r~ r a r~ r 8

Q = = T r , G r5

"2 4 ~ 2 / ( I I I 0l__.~8) -77 -~ r r ~

t44 LUCIANO O R L A N D O .

" f ( 5 ' ' ' ) ~ ' , ' P,=T +,2 ,, ;,

"-f(, , ' ~_~)~, , Q, = -#- r , G r,

= - - w d % , ~+;2 ,-,

+ a-~,- \ ax, + Q" + Q, + F-~, \ T~, + a y, +--a-E/ si ottiene :

F 0 - -

4~f~2 �9 La determinazione di w dipende senz'altro dalla formula (i) . Per (~.) determinate u e v bisogna dalle equazioni ai limiti ricavare ~ ~ ,

du dv ( ~ n ) % " Lequantifft (Tn)~, e ( T n ) ~ si rica-

dv ""~ ( & \ d n / ~ ' }

vano subito da

( W - - 2 ~ : ) 0 - - 2 0 : Ou|"l # ~ a v 7

= - - ( a 2 - - 2 ~ 2 ) 0 - - 2 . , - - 0y ] ~ "

Circa le akre due osserveremo che 5: ( [ ~ ~,, l~, , 2 F a y a w

(~) (~) e } M a w ~ n o t o s u l p i a n o z - - o , ed ~ dunquenoto O-x ~3 %

r (~) ; poi s'applicheranno due si ricava dunque facilmente ~-~ % e ~ ~

formule come la (3), le quali conterranno le G 6 e G~. E avremo:

~-~'/(~, ) ~ 4 ~ u (x , , y, , Z.,) --- - - 2 ~6 -t 4 ~ , W - - G , dS

(6) 4~v(x, , y,, Z.,)"---- 2 ~ - 1 - ~

4~w(x, , y , ,Z, ,)---- 2~,- t " ~

~ 2 ~ ~

4~o'W / ( ~ _ o,) ~ ~ ~s

f(~_ ~,)~ds.

SULL& DEFORMAZIONE Dr UN TRIEDRO TRIRETTANGOLO} ETC. 345

5" Si abbiano sopra ~, le componenti normati delle for(e-e tangenzjali degli spostamenti, e, invece, sopra % e % Ie componenti tangenz~iali delle forz: e normaIi 'degli spostamenti.

La deformazione ausiliare

r 0Gs 0G~ OGs Ox Oy ' O:(

elimina dalia (~), come facilmente si vede, (u, ~ , ~) ,~ , (u, , ~ , w):~, (u, v, ~)~3" Per i coeiticienr.i delie altre componenfi risukano tali va- lori che, pos to :

~/(~ ~ + I +8) P,=T +T T + ~do,,

' f ( ) -~ 4 { ~ I I -7- I -~s ) ~ d a i , R

I

P~

Q2

R~

P3

Q~

R 3

~f(~ ~ , +~) :~o = T + ~ + rT '

- - ; 7 + ~ + r, ,8 - / { )-, 2 I I I I 8 d q 2 '

T r, r, r s r 8

~/(, i i + , ) = T T+-;7 + ~T T ~ "

= T r x r 2 r 3 ' r 4

- - - - - 4 ~ 7 7 I I I ' I ) w d . ] , - . , + . ~ r, r, ": 0

V = 0 X I ('PI + "Pff, + P!~)

o [oQ, oQ~ ) 0 [oR, o~,

si ottiene : V

4 = fl~ �9 Ora si ha, come prima:

(~ ~_ ~o~_ ~)o_ ~ ~) Rend. Cite. Matem. Palermo, t. XVll (x9o3). --Stampato il 29 ottobre tgo 3. 44

346 LUCIANO O R L A N D O .

( ~ = _ :ra. av __,o: l -~ o,qN

Ow o~w (r _ + ' ~ Si ricava :

4~. (x,, y,, ~,)= - ,~N~ + - -

4r~v(x, , y, , ~ , ) = - - 2~= +

a'-~" f ( ~ ) 0 z - - -7-a7 - - - - G 8 dS 4w, co a ,J \ r I

(7) -4-~ ~ -~ d \ r,-- - G: d S

4=o~:a , ~ - - 0 3 ~--~dS.

Ivi le ~ sono composte nel solito modo, come le corrispondenti dei problemi di DIRmUL~.T.

6. Siano ora sui piani limiti date le componenti tangenziali delle forz.e e normaIi degli spostamenti.

La deformazione ~ = _ _ c~G8 OG8 ~ = OGs

Ox ' ~ - Oy " OZ. elimina, come e facile vedere, ( ~ , v, w) , , , (u, ~ w):2, (u, v, [~)~3, Poi, posto :

P, = 4 o : / ( I r x

r x r 4

,~f(~ I R,= T -t r~ 2 / ( I r

P= "-- T r, r,

Q: =4c~

R = = T + r=

~f(~ ' P ] = T -+ r-~

Q ' = T -t q

R , = 4 . ' f ( ' r x

x

I I I .)~ u d ~ i ,

r 4 r7 r 8

I I ) Q ~ d ~, ,

r 7 /'8

I I t r7 r8 ~ d ~ ,

r 5

I I I N v d m a , ! r2 r 5 r8

r 5 r8

r 3 I I ) # ! i t d ~ ,

r 3 r 4

I I I N

! r2 r 3 r 4

S U L L A D E F O R M A Z I O N E D I U N T R I E D R O T R I R E T T A N G O L O I E T C . 347

O lOP, ) v = ~x, \ -~ , + v: + I,, OR, "l

+ ~-~, (Q, +-~7 +Q, +~-~,, o~,]' risulta :

V

4 ~ 2 , d u dv

e ricavando col sdito metodo ~ sopra % e a3' ~ sopra % e r

dw dn sopra r e %, avremo:

4r~u(x,, y,, Z , ) = - - 2 ~ + - -

(8) 4=v(x , ,y~ , Z,) = _ _ 2 ~ 6 - ~

4 = ~ (~,, y,, ~ i ) = - ~ + - -

4~o'=~ 2 ~ sI -6x dS

'"-+f(# 4 ~ o ~ ~ -- G 6 dS

a = - - ~ = j ' ( I _ _ G ~ V

-[.

I. Indichi ora S uno spazio isotropo interposto ffa due piani pa- ralldi % e r distami 2h fra di loro *). Si chiami M, un punto fisso nell'interno di S, si chiami % il simmetrico di M, rispetto a %, poi % il simmetrico di % rispetto a %, poi % qudlo di % rispetto a r �9 �9 ", ed invertendo l'uflicio di r e di % si ricavino in modo analogo da M z i punfi ~x, ~=, ~3, " '" Se M ~ un punto variabile di S, di coordinate x, y, Z, preso il piano x, y a metal distanza ira % e % e l'asse delle normale e positivo dalla parte di %, dette x , , y~, K~ le coordinate di Mz, e indicata con r la distanza M M,, con r; la M ~;, con r~ la M ~i, si ha:

r 2 - - (.x - - x~) ' --~ (y - - y i) 2 + (Z - - Z~)2,

r~ - - ( x - - x , ) = 2 7 (y - - y~)~ 2 7 (~ - - 2 h + Z,) 2,

r: - - ( x - - x i ) ~ + (y - - y , )2 + (Z 2r" 4 b - - Z~i)',

r~ = ( x x,)~ + (y __ y , )2 _~_ (Z - - 6 h 2/- Z~) ~,

�9 �9 �9 . o ~ �9 �9 . ~ . �9 ~ �9 ~ ~ �9 �9 ~ ~ ~ �9 . ~ �9 ~ , �9

*) I1 CERRUTI (Accademia dei Lintel, serie IV, voL I) fa di questo problema un notevole cenno. Vedi anche SOMIGLIANA, i'quovo Cimento, 1885-86.

J 4 8 ~-UCIANO -ORLANDO,

r; ~ - - (x - - x,) ~ + (y - - y,)= .-{--, (X 71- 2 h + Z,) =, t l ) 2 _ : .. l

r,~ --- (x - - x ) [ q - ( y - - y, -}- (V .-7 4 b - - a~,),

r 7 = (x - x,) = + 0 - y,)= + (~ + 6,~ + <7, �9 �9 . . �9 �9 , o . ~ , �9 �9 �9 , ~ . , �9 �9 , �9 , ~ �9 �9 o �9

Quando M ~ rispettivamente sopra % e %, si ha :

�9 II r - - r t ( r . = r,, r, - - r 3, . . r, . =, . . . ) , , , ! r t

( r - - r , , r ~ - - r 3, . . . , r , - - r = , . . . ) , ,a .

La funzione di GRv.ES relativa al polo M , , cioe la funzione armonica

che in superficie assume il valore ! ~ qui evidentemente: r

G = A - + I I i ~ _ s ~ i i t ; - ' 7 " - - " * ~ +

T I : r t E l r a r 3 ~ '3 / ' t2 k - ~ r = k

Ora vogliamo trovare una funzione armonica G~ tale che sia in su- .... a !

d G~ r perficie ~ - - - " - d ~ n " Perci6 esaminiamo la serie

l a2~,h2h._k ~ ' ~'+" 22-~" a2' - ~- X q - 4 h - - K~

( I ) r3' -or- r'3 r'3

- - " 7 ] ~3 + " ' ' ~ " g l 3 77 , r 3 �9 r 3

Questa 6 uniformemente convergente quando M varia in S. E infatti la somma di quattro serie

~-2h+z ,+ z -6h+~ ,+ . - . , 3 F 3 ( 2 ) r, 3

r" Jr- r'," -I- " " ,

Z - l - 4 b - - Z, t__ ~('qt- 8 h - - z, ~_ . . . , 3 r 3

(3) q - - 4 b - - ~ , z ~ - - 8 h " g2,

r~ + r '4 ' + ' " '

ed ~ facile vedere the ognuna di queste quattro serie ~ uniformemente convergente. Ogni termine infatti, se prescindiamo da un fattore come

~.-1"- 2rib+._+__ ~ ' , il quale ~ un coseno che ~ compreso fra - - x e x, ci

appare della forma _~r r~ , ma le varie r sono per ognuna delle quattro

SULLA DEFORMAZIONE DI UN TRIEDRO TRIRETTANGOLO~ ETC. 349

serie almeno uguali ai termini d'una progressione aritmetica di :ragione 4 b, dunque,, per un teorema noto, le quattro serie sono uniiormemente convergenti, quando M varia in S. Ognuna ~ perci6 integrabile termine a termine rispetto a Z., a partire da un valore di ~L compreso fra - - h e b. Per x ed y in quest'integrazione non si hanno restrizioni di sorta. La serie

r, 2-/; + ' " + r~ r ,

si ottiene integrando a partire dal punto M, le due serie (3) ,e dal sim- metrico di M, rispetto al piano xy le due serie (2), termine a termine, poi sommando. La G= e dunque una serieconvergente (il che, per ahro,

agevole a vedersi in modo diretto) ed ha per derivata rispetto" a Z la serie (I). Si ha, per M rispetdvamente sopra % e sopra % :

P3 t d n ,:3 Z r, r 2

o.'-- d ! + - 3 h - z 1 - - s h + ~ x 1 b - - Z , �9 r r .

r,: + 7: + . r, = = an ,

cln - - O : ( - - k rl - - r 3 - - r', - - r 1

_4 - - T b -~- Z, _~ 5 b -lt- Z, , "i b -~" Z, O ~ d I ~ : - - r j - q • = 7 r = -8-i = -a~ ]s

2. Supponiamo che di una funzione ~ sia noto nel campo il • e i valori al contorno, compatibilmente coile condizioni di convergenza al- l'infinito. Si ha :

) ) 4r~(x"YI'~a) 'Tn --G, dr 7 - - G , A2~dS.

Le derivate dei termini di G, sono, a meno del segno, i termini della serie (I). Ora si ha:

o ! o I r r

I O x r 2

r~ __ r~ r~ . C~r U r 2

O-L O ! 0 i 0 i r3 r3 7 --7-r3

aI_.L r=

OZ,

350 LUCIANO ORLANDO.

perci6 ~ :

o~G, o ~ [ I I I I 1 ' ,

costimendo le c un sistema di costanti che assicurino la derivabifit.~ della serie in parentesi. In particolare abbiamo :

(7) 0 G, _ ~ G= 0< 0Z,

e, sui piani limiti:

Notiamo che nella (7) pu6 scambiarsi O~ con O~. Intanto si ricava:

4 " a g ( x " Y " Z ' ) = - ~ F ~ ( - 7 - - - - a k r (8)

-f(§ Le quantit~t 2b, 4 b, 6b, . . . , che entrano in G= come denomina-

tori sono le distanze dalle %, }~ ai punfi (x, , y, , Z,), (x~, y, , -- Z~), e precisamente % dista 2b dal punto (x, , y~, --Z=), }, dista 2b dallo stesso punto, % e ~3 ne distano 6b, . . . , ~ e ~= distano 4 b da (x~, y~, Z,), % e }4 ne distano 8b .... GHntegrali della (8) si scindono in due serie di integrali. Vi figurano le derivate di funzioni potenziali di strato semplice diminuite di funzioni potenziali relative a masse con- centrate nei due punti ( x , , y , , Z,), (x , , y~, - -Z, ) .

d~? (colle solite condizioni), si ha: Noto al contorno Tn

4 ~ ? ( x , , y=, Z , ) - - f ( G , - - @ - ) - ~ n d % (9)

G i + f ( < - - § 1 7 6 f ( , - - V - ) " = ' ~s"

3- Ora, procedendo come per il triedro, vogliamo risolvere il pro- blema di determinare gli spostamenti u, v, w in Mz, date sui piani limiti te componenti normaZi delIe forze e tangenziali degli spostamenti.

La deformazione ausiiiare: 0Gz 0GI 0G, Ox ' Oy ' Oz

SULLA DEFORMA.ZIONE DI UN TRIEDRO TRIRETTANGOLO~ ETC. 35I

elimina, come si vede con facili calcoli: ( ~ , ~ l , w) . . Posto:

Q--" 2~ f ( I'-~--- G=)vd%-- f ( ~ - - G=)vd%] r

' f ( + ) ~ = T ~ -G d~, v = S Z _ aQ risulta :

0-- 4 ~ a 2 0~, "

Ora si ha :

e, posto :

- - (a~ - - 2~o')0 + 2k~o ~

jo~- 1 = - - (a'-- 2~~ 2k azJ,, '

normali defli spostamenti e tangenziaIi deIIe forze. La deformazione ausiliare :

Ox ' Oy ' 0 K

applicando per u e v la formula (8), e per w la (9), si ricava:

0 u " I 4~<*,,,,, ~a:~l-f (+- ~=)~o,-f~(7-<)<] + ~ d \ 7 - -gT~ as

) f ( i ) ] -~r f 4a--< <- 4 r ~ v ( x " Y * ' G)--OZ, Lj s r r--G, d% 0o)

f( f l~- - ca ~ I G, dS

,.~<x,, ~,, ~,,= f (<- +),,.,- f(~.-§ ) ~- 4~o~=g2 = 7 " - G= OZ-----v-

4- Trattiamo it r che siano date sui piani Iimiti Ie componenti

~2 LUC~IANO ORLANDO.

elimina.(u, v, ~ ) ~ . Pos to :

'fa(+-Q +f ('--<)~o, P = - F - d~, Q = ~ r

~ = ,o,. F f( '--- <) ~o. -/(§ <) ~o.] . ~ , , r oP oQ + o'R

- Sx~ + - F U o~: ' risulta :

g

4 ~ a ~ Ora si ha :

(~= k~.P ~ 0~

= . . r a u , Ow

( avremo

C~V

Ov

Anche qui le .derivate di w rispetto a x e ad y sono da ritenersi note sui piani Z = b e Z - - - - h , sat quali 6 nora w. Pos to :

' - - Y ' k~ = 8y ~, - a x e . ' :

__. , i G x 4~r f(o.--7)Y.d~,--f( , - - - 7 - ) Y , d %

a ' - - ~ " ~ ( I ) 3Vds

a'-~" r )or + 4~.~,ga. j\7---G: --0-7 a s

-k4~co'a-----~ = 7 - - G, ~ S .

Messina, 26 luglio ~9o3.

LUCIANO ORLANDO.