S U G L [ S P A Z I DI W E Y L

INTRODUZIONE GEOMETRICA. VETTORIALE ASSOLUTA

ALLA TEORIA DELLA RELATIVITA GEI~IEP~ALE

Memoria di MARIO ~A.NARINI (a Bologna).

S u n t o . - I n ques ta Memor ia viene i s t i tu i to u n calcolo vet tor iale assoluto in tr inseco helle varietal, a connessione a f f ine e ~ e t r i c h e del V~nYL e viene van tagg io samen te sos t i tu i to al Calcolo d i f ferenz iale assoluto hello s tudio degli spaz i di RIEMAN~ g e n e r a l i z z a t i da l ~rEyL per le app l i caz ion i al le teorie u n i t a r i e q'elativistiche.

In questo lavoro studio gli spazi del WEYL (nell ' indirizzo assiomatico

seguito dal WEYL stesso) con metodo vettoriale assoluto intrinseco, del quale

ne faccio nuove estensioni con applicazione di quelle da me fatte in una serie di recenti ricerche.

~el le variet/~ a connessione affine del WEYL ho introdotto la derivazione

intr inseca per vettori ed omografie, estensione di quella da me gih consi-

derata per varieth, r iemanniane. Con questa deriva~ione procedo allo studio

delle geodetiche per la varieth, ulla considerazione del vettore assoeiato (dal

BIA~C~I introdotto per le varieth riemanniane) al la definizione e svituppo

del l 'a lgori tmo metrico vettoriale differenziale hello spazio metrico di WEYL:

rotazionale di un campo vettoriale, gradiente di un 'omograf ia , divergenze di

un bivettore, ecc. Inoltre di tale derivazione intr inseca ~ conseguenza una

suggestiva interpretazione vettoriale assoluta della derivazione covariante

tensoriale helle varieth a connessione affine.

L 'es is tenza in ogni punto di una varieth a connessione affine di ~V]~YL

di un 'omograf ia del terzo ordine - - c u r v a t u r a di connessione a f f i n e - ca-

ratterizza il distacco di essa varietfi, dalle varieth plane o euclideamente

affini, per le quali detta omografia si annul la ovunque dando la. condizione d'integrabilit/~ del trasporto per parallelismo.

La connessione metriea, e h e s i impone alle varieth metriche amorfe per

passare da un punto ad uno vicino del suo intorno, dipende dall ' introdu-

zione, punto per punto, di una forma metrica tarata di vettore ed ancora

di un vettore O) - - vettore di connessione metrica --.

150 ~[. MANARI~ : Sugli spazi di Weyl

Nello spazio metrico di WEYL, fnsione di connessione metrica ed affine, per il quale il trasporto per parallelismo subordina il trasporto per con-

gruenza dei moduli dei vettori, I' esistenza dei bivettore ~ ~- ro t O) - - eurvatura 2

di connessione metrica - - caratterizza il distaeco dello spazio di WE¥~. dallo

spazio metrico r iemanniano per il quale detto bivettore r isul ta hullo in ogni

punto; nel caso della tara tura normale per 10 spazio riemanniano, risulta

pure hullo ovunque il vettore di connessione metr ica O).

Col metodo vettoriale intrinseco assoluto qui istituito, la chiarezza in-

tuitiva dei problemi b messa in piena luce; e credo con eib di aver assolto

un compito utile e non facile giacehb 10 stesso WEYL nel suo fondamentale

libro Rau¢~t, Zeit, Materie in cui tratta la geometria infinitesimale pura con l 'a lgor i tmo tensoriale, scrive (4. a' ed., traduzione francese, p. 119):

M. MAN~a:t~I: Sugli s)?(tzi di Weyl 151

§1.

D e r i v a z i o n e v e t t o r i a l e i n t r i n s e c a e c u r v a t u r a d i c o n n e s s i o n e p e r l e v a r i e t a a c o n n e s s i o n e a f f i n e s i m m e t r i c a d i W e y L

1. Varieth affini amorfe. I Data una variet~ n-dimensionale di punti

P(q , , q s , . . . , q,,), due punti P e P ' vicinissimi, per la qual cosa P ' si indica

con P'(q~ -+- dq~, q~ ~- dq.,., .... q,, + tiff,), definiscano un elemento tineare o vet-

tore infinitesimo per la varieth, in P, ehe potremo convenire di indicare serivendo

(1} P ' - - P ----- dP .

Ammettiamo che il vettore d P possa essere moltiplicato per un numero ).

ottenendosi un vettore k d P avente con d P in comune la direzione; il segno

di ). determiner~ l 'uguagl ianza o l 'opposizione del verso dei due vettori.

Possiamo anche dire che il rapporto dei due moduli 6 i~. [, mentre qui non

ha senso parlare di modulo in s6 di ciascuno dei due vettori. Potremo serivere :

(2) P " - - P : ~(P' - - P ) = kdP,

convenendo di r imanere nella variet'~ qualora si spicchino da P vettori infinitesimi.

Tirati in P i due vettori infini tesimi P ~ - P e P ~ - P, ammetteremo

che esista la loro (~ somma >> ehe rappresenteremo con

13) p~ - - p = (P , - - P ) + (P~ - P ) .

In tal maniera veniamo a postulare ehe per la variet'~ generale e per i

vettori infini tesimi in P valga la geometria vettoriale affine euclidea, costi.

tuendone (1}, (2) e (3) gli assiomi fondamentali .

Associando a direzione e verso nella varieth in P, determinati dai punti P

e P ..... P + dP, un numero finito, postuliamo il concerto di ,vettore finito in P tange~ziale calla varlet& Per vettori finiti proporzionali a quelli infi.

nitesimi che entrano nella relazione (3), ehe non potren~to perb indicaxe con

gli stessi simboli ma che indicheremo con a, b, e, converremo che continui

a valere la (3) stessa, la quale pertanto verr'h a costituire l 'ass ioma anche

per la somma dei vettori finiti. In altre parole si viene apc, stulare col WE~=L

la validith dell' algoritmo vettoriale affine euclideo per i vettori finiti tan- genziali alla varieti~ spiccati da P.

Questo algoritmo vettoriale affine pub essere completato con l 'a lgori tmo affine omografico ed iperomografico in P~ essendo le omografie ed iperomo-

grafie vettoriali, operazioni vettoriali affini dello spazio euclideo.

152 M. MA~AI~I~I: Sug l i spazi di W e y l

I n ta l m o d o si ~ p o s t u l a t o p e r la v a r i e t ~ l ' e s i s t e n z a in P d e l l a g e o m e t r i a

ve t~or ia le a f f i n e o g e o m e t r i a l i n e a r e : in q u e s t a ~ pos s ib i l e c o n f r o n t a r e d u e

ve t t o r i s p i c c a t i da P a v e n t i u g u a l i d i r ez ion i , a v e n t i cio~ in c o m u n e p u n t i

i n f i n i t a m e n t e v ic in i , m a n o n si pub c o n f r o n t a r e vet$or i di d i r e z i o n e d i v e r s a ;

n e m m e n o si pub p a r l a r e di m o d u l o di u n v e t t o r e in sb. I n a l t r e p a r o l e r e s t a

cos i a l l e g a t a ne l p u n t o P d e l l a v a r i e t h g e n e r a l e u n a var iet '~ v e t t o r i a l e a f f i n e

d i ve t t o r i t a n g e n z i a l i c o n la v a l i d i t h in e s s a , d e l l ' a l g o r i t m o v e t t o r i a l e a f f i n e

a l g e b r i c o , o m o g r a f i c o ed i p e r o m o g r a f i c o .

A s s o c i a n d o u n a s imi l e v a r i e t h v e t t o r i a l e ad ogn i p u n t o d e l l a v a r i e t h ge-

n e r a l e da ta , s i a m o ne l lo s t ad io di var i e t~ a f f i ne a m o r f a o di con t inuo a f f i ne

amor f o . N e s s u n l e g a m e i n t e r c e d e f r a i v e t t o r i de l l e varieti~ v e t t o r i a l i a f f in i

a s s o c i a t e ai s i ngo l i p u n t i .

N e l p u n t o P de l l a v a r i e t h e n e l l a v a r i e t h v e t t o r i a ] e a f f i n e t a n g e n t e re-

s t ano d e t e r m i n a t i i v e t t o r i f o n d a m e n t a l i

~P l i ra P ( q ' + $q') - - t ) (qd (i = 1, 2, ... n)

S e a i~ un vettore della varieth in P, posto

(5) u ---- ~ u,'e,,

abbiamo nolle u i le componenti conWavarianti di u; nel caso particolare del vettoro infini- tesimo d P z P ' - P s i ha: (6) dP ~- Y"i dq#o

per modo che le dql sono le sue componenti contravarianti. I n -P si possono introdurre nolla varleth vottorialo associata i bivettori e in gonerale

i plurivettori; due elementi lineari dP o ~P spiccati da z o determinano un bivettore semplice (infinitosimo) le cui componenti contravarianti sono

(7) Aq~k ~ dqi~q~ -- ~qidqk.

So x ~ un' omografia vottoriale in P (ciob operante sui vettori della varieth vettoriale mlle. gata a £P) ponendo

k (8) ~e~----- ~ . ~ el,,

k costituiscono un tensoro doppio misto con 1' indice i di coYa. abbiamo che lo compononti ~-i rianza o F indice k di contravarianza; per uu'omografia ~ di ordine m~ ponendo

(9) ~ei~e~' ... e~. - - -~m+l~i~i~...im ~m+i

abbiamo che le compononti ~i~i,~i'~+l ....,,~ ovo gli indici ill, z ,.. imis~+~ ~ariano soparatamente da 1 ad m~ costltuiscono un tonsore (m + 1)-plo con m indici di covarianza ed uno di contrava. rianza precisati net modo indiea¢o dalla (9) stessa.

2. V a r i e t k a c o n n e s s i o n e aff ine s i m m e t r i c a . - - C o n s i d e r a t a u n a v a r i e t ~

a f f i ne a m o r f a a v r e m o i n t a n t o che le due n - p i e f o n d a m e n t a l i (e~) e (e/) r i spe t -

t i v a m e n t e ne i p u n t i g e n e r i c i P e P~, f a t t e c o r r i s p o n d e r e o r d i n a t a m e n t e v e t t o r e

M. MANARIlgI: S~gli spazi di Weyl 153

a vettor% determinano una omografia vettoriale operante fra varieth vettoriali affini in punti diversi e che indicheremo con ~(P, P~).

Avremo dunque

(1o) e, = ~(P, P , ) e / (i = 1, 2, ... n)

e so consideriamo in P~ il ve~tore

r isulterh in P il vettore corr ispondente

(11) u , = ~(/', P j u = ~, u % ,

il quale, come si vede, possiede in P l e stesse componenti contravarianti del vettore u in P~.

Ora, introduciamo un ' a l t r a eorrispondenza fra i vettori u della varieth l ineare vettoriale in P ed i vet~ori u' della analoga variet~ in P ' = P - t - d P , indipendentemente dallc coordinate q~ introdotte; ossia consideriamo un 'omo-

grafia (ydP), non degenere, dipendente da d P in modo che si abbia

(12) u ' - - (TdP). ,

e assumiamo, per definizione, che il vettore u' in P' sia il ~( parallelo >> al veltore u in P.

In virtfi della (11) al vet$ore u' in P ' corrisponde in P il vettore

. ' , = ~(P, p'), , ' ,

distinto in generale dal vettore u che corrisponde ad u' per parallelismo. Consideriamo allora in P la differenza infinitesima

(13) du ----- u: - - u = [~(TdP) - - 1]u, da]la quale rieaviamo

u , = u -I- do.

Per la 03) si seorge in P una eorrispondenza lineare fra u e du che indicheremo con l 'omograf ia infinitesima (~tdP) dipendente da dP, subor- dinata al l ' introdotto parallel ismo e porremo

(14) a , = - (~dP)u ,

con la qual cosa si viene a por te

da cui (15)

ore ~-~

vettori in P ' delle due varieth vettoriali l ineari in P e in P ' .

Annal i di Matematiea, S e r i e I V , Tomo XJ[V.

~ d P - 1 - - 3(vd[')

vdP = 3-~[ i - - t ~ d P ] ,

l 'omograf ia inversa di ~, che farh corrispondere a vettori in P,

20

154 )/[. MA_I~iRINI: Sugli sl)azi di Weyl

Per sua natura il primo membro di (15) ~ in.dipendente dalle coordi- nate (q~) introdotte nella varieth affine amorfa eonsiderata; percib tale dovrh

risuItare anche il secondo membro, il quale pure servir~ per determinare la

corrispondenza vettoriale omografica (corrispondenza affine) fra i vettori in P

e quelli in P ' ossia, in altre parole, applieato ad u in P ci dar~ il vettore

parallelo u' in P' ~--- P-4- dP:

(15 ' ) u ' = -

Viceversa, per stabilire il parallelismo nel l ' in torno di P possiamo pensare di introdurre in P l 'opera tore vettoriale del secondo ordine ti da applicarsi ai vettori infinitesimi dP in P in guisa tale da dare l 'omograf ia infinitesima ~dP operante in P nel modo preeisato da (14).

Sottoporremo in pifi il parallel ismo che stiamo introducendo alle due

condizioni fondamental i di continuit~ e di commutabilit~ il the equivale a porre opportune condizioni per l ' opera tore vettoriale del secondo ordine ~.

A meno di infinitesimi del secondo ordine imporremo anzitutto, relativa-

mente agli spostamenti infinitesimi in P~ la condizione di l ineari th:

p(dP d- ~P) -~ pdP + p~P, p(mdP) ~ m. pdP, (m --- numero reale).

Per dP--~ 0 si ha allora in base alla (14)

d u - ~ 0 e per la (13), in P,

u ~ u', ~cdP - - 1.

Per tanto p, l imitatamente ai vettori infinitesimi in P, ha le caratteri- stiche di una ordinaria omografia vettoriale finita del secondo ordine. Si

discosta per6 dalle ordinarie omografie per it fatto che nella sua definizione

non rientra il caso del l 'appl icazione d i p a vettori finiti. S e a ~ un vettore finito in P, converremo che pa moltiplicato per un

infinitesimo dq paragonabile con gli infinitesimi principali dq~ dia pet" ri- sultato p(dq.a), r icevendo in tal modo significato la scri t tura pa:

p(dq.a) pa - - dq

Veniamo ora alla condizione di commutabili t~ a cui sottoporremo ancora

l 'opera tore vettoriale del secondo ordine ~. Essendo ~dP un 'omograf ia ordi- naria, infinitesima in P, supporremo di tenet conto degli infinitesimi del secondo ordine ~dP~P, essendo 8/) un attro spostamento infinite~imo spiecato da P ; il r isultato servir~ per il trasporto parallelo di ~/~ lungo dP, mentrc

~ P d t ) servir~ per il trasporto parallelo di d/) lungo ~P.

M. M A ~ _ ~ R I N I : S u g l i spazi d i Weyl ~[55

In virtfi delle (14} e (13} avremo quindi in P:

=

Aggiungiamo l'ipotesi che i punti terminali di questi vettori (~P)' e (dP)' spiccafi da P' "-= P + d P e P~ -~ P + ~P rispettivamente~ appartengano alla varieth e siano coincidenti, per il che deve valere 1' uguaglianza vettoriale in P:

5 P + d P - - ~ P d P ~-~ d P + ~ P - - ~ d P ~ P .

L'ipotesi fatta equivale a porte per l'operatore ~ la condizione (in P):

(16) ~tdP~P - - ~ P d P

ehe diremo condizione di commutabiliti~ per il parallelismo introdotto hel- l'interne di P, la quale pertanto risulta analiticamente espressa dalla (16).

In queste eondizioni per ~ si ~ introdotto la connessione affine hel l ' interne di P, che sar~ detta simmetrica (connessione affine di W]~YL) per distinguerla da un' altra pifi generale dovuta al C~R~A~ per la quale manca la precedente restrizione, e ~, soddisfacente alle condizioni imposte, lo chiameremo 1' operatore vettoriale di connessione affine simmetrica in P per la variet~ affine amorfa; esso determina una speciale legge di parallelismo intrinseco hell'interne di P: in base alta (15') per ogni d P ed u spiccati da P si ottiene il paralleto u' in P ' - - P - 4 - d P ~ indipendentemente dalle coordinate introdotte.

Rdferendoci a queste coordinate qi , pos se

d P -~ E s dqs . % per le convenzioni fatte avremo

~dPer ::= ~(~s dqses)er ~-- Es dqs~eser ,

e dovendo essere il risultato un ~Tettore infinitesimo in P, potremo perle sot to ]a f o r m a

Eis I rsdqsei ~

i per la q u a l cosa si p o s s o n o chiamare le F+.s, componenti de]l'operatore ~t o c o m p o n e n t i di con+~essio~e affine simmetrica i l l P e s i ~dene a. porre~ col significato che la scrittura riceve dalle relazioni precedenti,

i ~os~" r ~ Ei F rs O i .

Se G~, sono le eomponenfi (infinitesime) dell' omografia infiniiesima ~tdP, confrontando cec i l

si ~delle ad avere

I n particolare abbiamo:

d l ~ P - ~ ~r {~dP)~qrer ~-- E r ~ q r ( ~ d P )er - ~ Ersi °qrdq,,'I" ~irsei"

156 M. MA~ARIiVI: S u g l i s p a z i d i W e y l

La condizione di eommutabiliti (16), per l 'arbitrarieti delle ~qr e dqs , in base alia precedente~ dh per le eomponenti F~s del]'operatore II le eondizioni di simmetria

07) ~ - - I~rs - - rsr.

Detta eondizione di commutabilit~ imposta all'operatore ~, ossia la condizione di sinlmetria imposta alla connessione affine in P, equivMe ad ammettere col W~YL l'esistenza a priori per ]a variet~ di un sistema di coordinate locahnente geodetiche in P per il quale le Firs e quindi ~ risulterebbero nulli. Per un sistema generico di coordinate q

M. M A ~ m ~ : S u g l i spaz i di l~%yl 157

d i e o n n e s s i o n e a f f i n e ~. P e r r i d u r c i poi ad o p e r a r e con v e t t o r i spicca. t i da P

ei s e r v i r e m o al so l i to d e l l ' o m o g r a f i a ~(P, P') .

I1 r i s u l t a t o , q u a n d o es is te , b u n v e t t o r e in P d e l l a va r i e th .

S o s t i t u e n d o il v e t t o r e a c o n i v e t t o r i m a ed a A - b si pub c o n s t a t a r e che

d u du m a --- m ~ a, (m ----- n u m e r o rea le)

du ( a + b ) = du d u d--P ~ - ~ a -+- ~ -~ b,

., d~i e p e r c m f ~ ~ u n ' o m o g r ~ f i u v e t t o r i a l e in P c h e c h i a m e r e m o d e r i v a t a i n t r i n .

seca d i , r a p p o r l o a P n e l l a v a r i e t h a c o n n e s s i o n e a f f i n e s i m m e t r i e a da ta .

Pos to u ~ ~,uiei le componen t i :¢~ de l t enso re doppio mis to co r r i sponden t e a l l ' o m o g r a f i a p recedence a s sumono ]a fo rma

i ~ u~' Er F~.s~r (18) % = - - + ~q~

ore il socondo membro ~ la derivafa covariante secondo ~VnYL del -vettore eontravariante u/. Invero b per definizione

du __ ~ ¢ d ~ es - - "~i % 0¢ ;

d ' a l t r a pa r t e si h a

du u i P + ~qses) - - , (P) u , ( P + ~q~e~) -- u(P) + l~(~q,e~)u(P) d p e ~ ' ~ lira - - lira . . . . .

~qs --* 0 ~qs ~q.~ ~ 0 ~qs

ond% essendo

~(~q~, es) ,(P) = ~ u~',~(~q8 e~.)e~. == ~.~.u~q.~ Fir~ e~,

considerando la componen/e secondo il vettore o i dei clue membri abbiamo

u i ( P "~- ~q~e.O - - u~(P) +sdr F~,s ~q~u ~" ~u i i " l im -~ t- ErF~rs n r. e. d. d.

~qs --" 0 ~qs ~qs

P o s t o d P = ha

con h, al sol i to , i n f i n i t e s i m o , p e r m o d o t h e r i s u l t a

d P a~_.~-..-- h '

s o s t i t u e n d o ~ b b i a m o d u du d P 1 d u

a = = - - ~ d P . d---P d- --P " - ~ hal l?

P r i m a del l im i t e p o s s i a m o s c r i v e r e in P

u , ( P + d P ) - - u',(P + d P ) d u - - ~ d P .-~ hv ,

158 M. MA~RI~I : Sugli spazi di Weyl

essendo v u n vettore finito in P. Passando al limite e ponendo

d P d P - - d+vu,

vediamo che esso rappresenta, trasportato in P mediante 1' omografia ~(P, P'), la parte principale del divario f r a i l vettore u(P + dP), valore del campo in P - 4 - d P e il parallelo u '{P=J-dP) ad u in P + dP.

Applicando all' espressione (19) la ~-'(P, P') si ottiene la stessa quantith in P ' . Se per ogni h infinitesimo, il vettore u ( P + ha) ~ senz 'al t ro il vettore

u(P) trasportato per parallelismo nella direzione de] vettore a, si ha in P

du h--pa = 0.

Quando cib avviene qualunque sia a, s i ha in P

du ----0, t2o d-P

ed il campo vettoriale n(P) pub dirsi stazionario in P.

La (~0) in coordinate d iv iene i] sis~ema di equazioni ai d i f ferenzia l i tofali

~qs +-

Assegnato a priori un vettore u in P, soddisfaeendo alla (20) od alle

equivalenti (20') si pub ottenere un campo stazionario in P avente quella

determinazione in P. Se la (20) ~ verificata ovunque nella variet~ il eampo u(P) pub chiamarsi uni forme: cib si pub realizzare soltanto in varieth eucl ideamente affini o plane (spazi lineari) di cui parleremo piil innanzi.

Se la (20) si verifica lungo una curva della varieth il vettore u si sposta

per parallelismo lungo quella curva. Una varieth a eonnessione affine simmetriea di assegnato ~ ~ o+nogenea

per quanto concerne la natura delia imposta connessione, come pure a questo r iguardo non vi ~ differenza fra le diverse varieth a connessione affine

simmetrica.

4. L i n e e g e o d e t i e h e . - - Consideriamo nella variet~ a eonnessione affine simmetrica la l inea P(s) rappresenta ta in coordinate dalle equazioni

(21) q~ ~--- ff,(s) (i~-~ 1, 2, ... n)

con s parametro numerico variabile in un certo intervallo che col WEYIJ

possiamo ehiamare >.

M. M a ~ a i N i : Sugli spazi di Weyl 159

d P Consideriamo in corrispondenza il vettore velocitfi, v - = ~ tangente alla

curva e funzione d i s . Se u(P) ~ un campo vettoriale definito uella varietfi. e quindi anche lungo la curva assegnata, possiamo considerate tungo questa il vettore

du du (22) v(s~ = h-P v = ~-~,

du ove naturalmente per d s ' affinch~ abbia senso: deve intendersi la derivata

di u(s} rispetto al parametro s fatta col solito criterio intrinsecoo Se u(s) ~ definito soltanto lungo la curva ed

du - - - - -~ 0 ds

in un punto P(s) della curva stessa, il campo vettoriale u(s )6 stazionario sulla, curva nell ' > s.

Si ha ancora dalla (22)

du (23) V{s}ds ~ ~ d P = d~,u

ed il primo membro rappresenta, in P, il divario f r a i l vettore u(s~-ds} ed

il parallelo u'(sA-dsi ad u(s) nel punto P(s t= ds). Con una locuzione introdotta

dal BIA~cHI nel caso delle varieth r iemanniane, si pub chiamare ¥(s} vellore associato al vettore u(s) lungo la curva o con denominazione pig felice dovuta

al LEV1-CIvITA~ vettore derivato lungo la curva ; ques t 'u l t ima ~ giustif icata pienamente dalla (22).

Se il vettore ¥(s) ~ nullo qualunque sia F istante s il vettore u(s)si sposta invariabi lmente seguendo il punto mobile P(s) sulla curva, cio~ si sposta per parallelismo. In queste circostanze si ha quindi lungo la curva

d s = 0,

Questa, come si verifica facilmente, compendia le n equazioni differenziali del ealcolo tensoriale (2~') dui vl ~ dq~

d--~ ÷ "~ r ~ us-ds ~ 0. (i .... 1, 2,.. ~)

(25)

Se per vettore u(s) prendiamo proprio il vettore velocith v(s) = d P -ds abbiamo

dv d~P V(s) = ~ s = d s ~ '

t60 M. MA~xRI~I: S u g l i spaz i di W e y l

ore na tura lmente la seconda derivazione del punto P deve essere eseguita

col solito cr i ter io; pub chiamarsi ve t to re c u r v a t u r a geode t i ca per la curva P(s)

re la t ivamente al parametro s.

Con linguaggio cinematico detto vet tore pub chiamarsi ancora ve t tore

a c c e l e r a z i o n e rappresentando il divario della velocith dallo spostamento per

paral lel ismo e per unit~ di tempo.

P e r le sue component i eontTavarianti , abbiamo

(25 ~) V i d v i - + . ~ r ~ v~v~ -d '2q i ~ ~ dqa dq~ = -d-~ ~ ~ - - ~ + ~ r ~ -d[ " -3~ '

essendo

V --~ ~ vlei ~ v i dqi

Se in ogni is tante s il suddetto vettore ~ nullo significa c h e l a velocit~ v

r imane invariabi le e il moto di P dato dalla curva P(s) pub logicamente

essere chiamato ~( t r a s l a l o r i o >) o dire che costi tuisce una ~ t r a s l a z i o n e >>.

La t ra ie t tor ia di una traslazione ~ quindi una curva che conserva la

sua direzione e pub essere chiamata l i n e a ge~de t i ea o l i n e a re t t a della varieth.

Cib ~ conforms al cri terio di dedurre il concetto di ret ta da quello di

traslazione basandosi sulla propriet~ essenziale di venire conservata la di-

rezione : autoparal lel ismo.

Per tan to l ' equaz ione vet toriale di una geodetica della varieth a connes-

sione affine

(26) d2P --~ O. d8~

I n base alle t24') ques ta corr isponde in coordinate alte n equazioni d i f ferenzia l i

(26') d2qi .~ - i dq_~ dq~ ~_.0. ds 2 -V a~ l'a~ (18 d8

in~eressante notare che anche nello spazio euc!ideo ad n dimensioni

l ' equaz ione della re t ta (geodetica) ~ pure

d ~ p - - 0

ds 2

ore s ' in tends , la derivazione ~ quel la ordinar ia che del resto ne ~ la deri-

vazione int r inseca che gli compete.

I n coordinate eu rv i l inee qua lunque e sempre hel lo spazio euel ideo Sn, le sue equazioni

sono del la forma (2if) sa lvo la sosti tuzione del ls component i di connessione aff ine F ~ a~ con i

s imboli di CttRISTOFFEL di seconda specie.

M. 5IA~ARI~'I: Sugli spazi di Weyl 161

Vedialno cosi dal punto di vista assoluto e da quello delle coordinate una

forma delle equazioni della tetra invariante rispetto alla natura della varieth.

5. De,'ivazione intr inseca per le omografie e per le iperomografie vet-

tor ial i . - - Dato un campo omografico vettoriale qualunque a(P) nella varieth

a connessione affin% per il quale presupponiamo soddisfatte le condizioni

analit iche necessarie affinchb abbiano senso le operazioni che eseguiremo su

esso nel seguito~ sia a un vettore funzione di .P~ b u n vettore generico in P,

e consideriamo in P l 'operazione su a e b~ dipendente da :¢:

d(~a} da d P b - - ~'-d-P b'

ore le derivazioni vanno intese al solito nel senso intrinseco. L 'operazione

che applicata ad a e b d~ il vet~ore soprascritto ~ una omografia del secondo

ordine, natura lmente funzione di P.

Si possono invero verificare le condizioni necessarie di linearith.

Verrh indicata con

da d P '

e porremo per definizione

( ~ ) d(~a) da (27) d~ ba---~ d P b - - z c ~ b

d~ chiamando ~ derivata intr inseca di ~.

Analoghe definizioni valgono per te derivate intr inseche delle iperomo-

grafie vettoriali di ordine via via maggiore.

]~ interessante vedere la relazione ehe intercede fra questa operazione vettoriale as- dz soluta ~-~ e la derivazione covariante dei tensori.

Siano ~v le componenti de] tensore misto rappresentato dall'omografia data ~.:

d~ Poniamo per d-~:

ossia

~e k ~ X i z ~ e i ,

dz d(~ek) e l - - d% . a p =

~qz aqz

Arsnal~ d~ Maten*atica, S~ri~ I V , Tomo XI~¢ -. 21

162 M. M ~ a z ~ z : Sugli spazi di Weyl

P e r le fo rmule (t8) abbiamo

• i ~ ~ ,~ ~) .

da cui per le eomi)onenti ~ : di d ~ r icav iamo le esl~ressioni notevol i

le qua]i oosti tuiscono un campo tensor ia le del ~erzo ordine covar ian te in k~ l e contrava . r iante in i ehe chiamasi deriva.ta co~=ariante seeondo ~VnYL del tensore doppio misto z~.

Facendo in part icolare nella (27) b ~ d P si ha

d~ da d P d r ' . a = d(~a) d P - - ~ c l P , - - - - d P ~ P

ossia, con simbolismo gi~ introdotto:

Dal ta (18), che permet te di se r ive re

? /

abbiamo in par t icolare ~ek e ~ek r

(i) L ' ope raz ione ~ si potrebbe in t rodnr re senza l ' u so del gener ico vet tore b in P,

ponendo per def inizione in P :

(27") d P ~ ~ - - - k a,

essendo k i l noto opera tore di BOGGIO e BURALI-~ORTI per le omograf ie del terzo ordine che per m e d n ve t to r i gener ic i in P dh

_ dz \ dz

du dz d~ Neg l i spazi euctidei, come ~ noto, se ~ u = = ~ si ha k ~ - ~ ; qui invece ci6 non av.

• dz ~-iene come lo dimostrano ad es. le component i (~r) l di d-~ o~e non si pub scambiare k

con l nemmeno quando in part ieolare ~ ~ ~ ~u--~i=+ -Zsusi~k, r isul tando in genera le ~qk

~, 4 ~I'~ ~qk ~qz

M. ?¢I~tN~tRI~I: SugH spazi di Weyl 163

da cui per lu simmetria di F~:

ed avendo posto

dal confl'onto abbianlo l'identit'~

~ e ~ e ~ _ ~ P

~q~ ~qk ~qI~q~'

~q~ ~qk ~q~qk

che potrh essere utile per altre considerazioni.

6. C u r v a t u r a di c o n n e s s i o n e af l ine . - - Siano P e P ' due punt i della varieth~ a connessione affine collegati mediante una eurva; consideriamo in P

il vettore u e spostiamolo paral le lamente lungo la curva: otterremo un vet-

tore u(s) soddisfacente all' equazione

du d-s = O,

per la quale r isulta determinato in P ' il vettore u' parallelo ad u in P. In

generale il vettore u' dipende dalla curva lungo la quale si compie lo spo-

stamento, ossia in generale questo trasporto non b integrabile. Nel easo speeiale in eui abbia luogo l ' integrabil i t~ si pub parlare dello

vettore nei punti P e P ' , giacch~ qualunque sia iI eammino ehe

eollega i due punt i si ottiene sempre il medesimo risultato.

Quando eib si verif ica qualunque siano le eoppie di punti P e P ' ehe

si considerano, la varietfi b detta euclideamente affine o p iana; in essa si pub parlare quindi di uno stesso vettore in ogni punto quaIora venga tra- spmtato per parallel ismo ed ancora in essa si potrh parlare di (< traslazione >> d ' ins ieme per una figura.

La variet~ nella predet ta condizione costituir/~ uno spazio affine o lineare o p iano contraddist inguendosi dalla generiea variet/~ a connessione affine per

il fatto di valere la propriet~ geometriea differenziale del l ' integrabil i th del trasporto dei vettori per parallelismo.

Nel easo di una varieth generica a connessione affine per la non inte-

grabilit~ del parallelismo, spostando un vettore u paral le lamente a sb stesso

lungo una curva chiusa ehe parte da P e r i torna in P, si ritorneri~ in P con un vettore u' diverso da u {parallelismo non monodromo).

Pe r contorno chiuso infinitesimo limitiamoei a considerare il parallelo- gramma determinato dai vettori d P e $P spiceati da P. Poniamo in P

(29) hu ~-- u' - - u

ed avremo per i earat teri s tessi del trasporto, che f r a i l divario hu ed il

164 M. MA~VAUI~I: Sugli spazi di Weyl

vettore iniziale u interceder~ una corrispondenza lineare, ossia esistera, un ~ omo-

grafia infini tesima Ap funzione di P, dipendente dalla faeeetta (dP, ~P) tale

the dia in P

(30) ~u = (Arm.

Avendosi AiT---O in P la varieth r isul ta piana in P rispetto alla con-

siderata faceetta (dP, ~P); se cib accade per tutte le faccette elementari di

una superficie finita contenuta nella varieth, l imitata da un contorno s che

parte da P e r i torna in P, evidentemente ogni vettore u c h e percorre una

qualunque curva posta in essa, come ad es. la s stessa, r i torna he1 suo punto

di partenza senza divario (parallelismo intrinseco monodromo).

Inol tre l 'omograf ia infini tesima hP dipende l inearmente dal l 'e lemento

superficiale (dP, ~P) e quindi dal bivetmre infinitesimo a ~ - ( d P , ~P) che lo

determina. Pertanto si avri~ in P un 'omograf ia del terzo ordine F~ funzione

di P, tale che per i bivettori semplici infinitesimi a - - ( d P , ~ P ) s p i c c a t i da P, 2

si abbia (31) F3a ~ = P f l P ~ P = 5F.

Per la linearit~ rispetto ai bivettori dovri~ essere

(32) F3(-- a) ---~ - - F~a ossia P f l P ~ P ~ - - F3~PdP. 2 2

Concludendo, si ha in P l 'omograf ia de1 teJ'zo ordine F 3 funzione di P

tale che il divario Au relativo al trasporto parallelo de1 vettore lungo il pa-

ra l le logramma (dP, ~P) ha in P l 'espressione

(33) Au - - P f l P ~ P . ,

Con questa omografia de1 terzo ordine Y~ si viene a caratterizzare me-

diante la ~¢atutazione del Au lo scostamento in P fra la varietfi, considerata

ed una varieti~ che sia piana o euclideamente affine in P rispetto a tutte le

giaciture bidimensionali o direzioni superficiali che passano per P. Chiameremo pertanto detta omografia I~ curva lura di connessione a/ f ine

per la varietb~.

Passando alle coordinat% ponendo

dP~-Eidqie¢, ~P==~i~qiel, a ~--- (dP~ ~P) -~ ~ Aq+k(eiek), '2 ( ~k )

~OD-

h q i k ~ ~q idqk - - clqi~qk abbiamo

__~ ~il~dqi~qkF~e#ke~-- d~. q~ qk ~k

M. M A ~ A a ~ : Sugli spazi di ~4reyl 165

eve le I'~i/. sono manifestamente le componeuti di F3; onde dal confronto con

o r e AF~ sono le componenti dell'omografia infinitesima 5]?, risulta

Essendo u =~$u~e~ ne segue

(34) all =- ~ P~i z u~ dq~ql,.e~ ,

la quale mostra the le componenti F~i ~. di Fs costituiscono le componenti di un tensore misto del quarto ordine contravariante in z e covariante in ~, i, k,

Dal EISENHART ~ appunto chiamato ,~ curvature tensor of the space with symmetric connection )~.

La proprieth (32) dell'omografia F~ si traduce per i] tensore F~k i nell'emisimmetria ri- spetto agli indici i e k: (.%) r ~ k - r ~

I n o l t r e pe r l ' o m o g r a f i a F 3 va le la s i m m e t r i a c i c l i c a :

{36) F . f l P ~ P ~ P + F3OPctP~P ÷ I' f i P ~ P d P : O,

esser~do ~ P un terzo ve t to re i n f i n i t e s i m o sp icca to da P d is t in to da d P e ~P.

I n v e r o c o m i n c i a m o col r i e o r d a r e che nel t r a s p o r t o pe r p a r a t l e l i s m o del

ve t t o r e u in P ~ - ~ P - t - d P l ungo d P sp ieca to da P, l ' i n c r e m e n t o co r r i spon-

dente , in P, ~ da to da (cfr. (14))

du . . . . ~tdPu.

Cons ide ra to lo s p o s t a m e n t o ~P, a p p l i c a n d o la t r a s l az ione ~ alF e l e m e n t o d P

p o r t a n d o l o in P 3 - - P _ . , e s sendo P~ ~ - P - ~ - 5P, l a sc i ando i ve t to r i u in P e

u' in P , l ega t i da l le r e l az ion i del pa r a l l e l i smo , il du sub i rh u n a v a r i a z i o n e

che t r a s p o r t a t a in P m e d i a n t e l ' o m o g r a f i a ~(P, P:) sari~ i n d i c a t a con ~dn.

A m e n o di i n f in i t e s imi di o rd ine s u p e r i o r e a v r e m o la t i nea r i t h delF o p e r a t o r e

d i f f e renz ia l e ~ r i spe t to a i t r e c o n t r i b u t i che possono d i p e n d e r e da ~t, dP, u;

pe rc ib p o s s i a m o s e r i ve r e in P

~du - - - - (~F)dPu - - i t~dPu - - ~.dP~u.

Es s endo d ~al t ra pa r t e , a n e o r a p e r ]a (14)

~ u = - - F~Pu, sos t i tuendo v iene

~du = - - (~l~)dPu - - F~dPu + t~dPF~Pu.

S c a m b i a n d o 3 con d a b b i a m o in P

An = ~du --~ d~u .-= (-- ~ltdP + d~t~P -+- FdP . ~ P - - FSp . FdP)u.

166 M, ) / [£NkRI}~I : ~t.~gli spazi di Weyl

Confrontando con la (33):

Au = F3dP~Pu risulta

P~dP$P == i F - - - - ~ t d P + d ~ P -~- ~dP. i~P - - ~ P . ~dP.

Considerando al posto di u il terzo vettore infinitesimo ~,P

da d P e ~P, per esso abbiamo in P

h ~ p = F~dP~P~P =- ~ d P ~ P + d ~ P ~ P + ~dP. ~ P . ~ P - ~ P . ~dP. ~P.

Scambiando eicl icamente i tre spostamenti dP, ~P, ~ P e sommando

teniamo la (36).

distinto

or-

La (36) corrisponde, per il ¢ensore F~iT~ alla proprieta

(.~6') r ~ + r ~ + r ~ = o.

L' annullarsi in P della omografia curvatura di connessione affine F s

porta di conseguenza la euclidiciti~ affine della ~ariet~ in P ; l~annullarsi

ovunque d~ la condizione di integrabili t~ del trasporto per parallelismo e

determina la circostanza che ta variet~ sia uno spazio lineare, o piano, o

euclideamente affine.

§'2.

Lo s p a z | o m e t r i c o di Wey l .

7. l )eterminazione metriea. - - Consideriamo una variet~ affine amorfa e

introduciamo in ogni punto una particolare omografia simmetrica del terzo

ordine che faccia corrispondere ad ogni coppia di vettori un numero reale,

cib che equivale, in altre parole ad introdurre, con altri Autori, punto per

punto, una forma quadratica di vetfore non degenere che chiameremo forma metrica c~morfa o semplice designandola con X (da altri Autori ~ chiamata

con I'APPnL forma metrica bruta). Converremo che con essa si possano paragonare le lunghezze dei vettori

spiccati da P. Se u e v sono due vettori in P, la loro uguaglianza in modulo compor-

ter/~ per eonvenzione l' uguaglianza

o pifl semplicemente

e vieeversa.

×(u, u ) = ×(v, v),

×(.) = ×(v),

M. M~.xRI~I: Sugli spazi di Weyl 167

Viene cosi introdotto tin criterio di eonfronto per i moduli di due vettori

in P~ ma non ancora riceve significato il modulo di un vettore in s~. Per

quanto precede la forma X pub essere determinata a meno di un fattore non

hullo di proporzionalith h.

Assegnando in P il fattore h di proporzionalith, detto fatlore di taratura, la variet~ 6 detta tarata in P e in tali condizioni assumiamo come lunghezza o modulo del vettore u il numero

u = V h x ( u ) ,

dipendente soltanto dal segmento determinato da u.

La forma metr ica

(37) = hx

detta forma metrica tarata. Estendendo cib ad ogni punto P della varietY, questa vieue ad ammettere in ogni punto una delerminazione metrica e, oltre che variet~t affine amorfa, potr~ essere chiamata varlet& metrica amorfa.

Cambiando il fattore di ta ra tura k in

(38) h --- kh,

con k detto ralgporto di taralura, il modulo u del vcttore u diviene evidentemente

u = V ~ u .

Si noti ancora che il rapporto dei moduli dei due vettori in un punto indipendente dal fattore h di taratura.

L ' in t roduz ione in P della forma metrica tarata X permette di costruire con i vettori in P una geometria metrica analoga a quella ordinaria, ma non

permette ancora di paragonare, anche se estesa a tutt i i punti della varieth,

l e lunghezze di due vettori in punti diversi.

Si pub sviluppare in ogni punto l 'ordinar io atgoritmo vettoriale ed omo-

grafieo: prodotto scalare e vettoriale di due vettori, coniugata, dilatazione,

assiale di un 'omograf ia , bivettore di una omografia eec. Per quanto r iguarda

1' analisi differenziale metrica dei campi vettoriali, bivettoriali, omografici ecc.

ricorreremo ad una connessione met~ica mentre per ora r imane determinato il concerto di gradiente di uno scalare f(P), come vettore normale alla ipersu- perficie f = cost. passante per P.

Assegnando in P soltanto la forma metr ica semplice X per i vettori in P~ sono lecite soltanto le solite definizioni angoiari :

cos 0 - - )~(u, v)

168 ~ . M ~ n ~ : S u g l i s t~azi d i W e y l

e t u t t e l e c o n s e g u e n z e g e o m e t r i c h e d i p e r p e n d i c o l a r i t ~ t . I n a l t r e p a r o l e b

p o s s i b i l e s o t t a n t o l a g e o m e t r i a c o n f o r m e .

8. Riferhnento alle coordinate . - - I n coordinate ta forma metr ica semplice X r isul ta de te rmina ta dai humer i

gik - - X(ei ~ e~.) ~ gki , (i, k .-~ 1, 2, ... n.) essendo al solito

~.P ~1 ~

Non assegnare la t a ra ta ra in /)~ ossia cons idera te in / : la geometr ia conform% eqn iva le ad in t rodur re concerti metr ic i d ipendent i dai rappor t i d~i coeff ieient i gik. Cosi la perpendi . colarith eli due ve t to r i u ~-Zi~+2"e i e v - - N i v i e i in P r isul ta espressa da

X(u, v) = ~¢~gik,dvl~ = O,

ind ipenden temente dal la tara tura . P e r la re la t iv i t~ in teressa t he la forma metr ica semplice -Z da associarsi alia var ie th

a connessione aff ine sia indefini ta .

l~a forma metr ica tara ta X in coordinate ~ raplaresentata dai numer i

gik ~- hgik - - gki~

e in corrisloondenza il modulo u in _P del ve t tore

u .... ~ uiei

date da

~(~ ~- hx(u) ~-~ X(n) ~ Y~ik hgik uiu~ =: ~i~ gik u~uk "

I n queste condizioni~ dal punto di v is ta tensoriale~ si pub passare dal le component i cont ravar ian t i alle covar ian t i in P per un medes imo ve t t o r e ; lo stesso dicasi pe r un pluri- vettore~ per una iperomograf ia e in genera le pe r un tensore qua]unque tenendo presente la formula

P i --~ ~iJ giJP j•

Sono es tendibi l i a ques te var ie th di ~VEYL a doterminazione metrica~ le considerazioni da me fatte per le var ie t~ r i emann iane nel ta mia ~ e t a : S o p r a i s i gn i f i ca t i geometr ic i della componen t i c o v a r i a n t i c c o n t r a v a r i a n t i d i u n ve t tore o ph~rive t tore i n unce var l e t& +'ieman- n iana:

M. Mx~AnlNI: Sugli s2azi di Weyl 169

Inoltre abblamo -.- $

g e c o n s e g u e n t e m e n t o eli

170 M. MANAm~J:: Sttgli spazi di Weyl

Essendo P ' un punto infini tamente vicino a P, faremo in modo che questa > rispett i le seguenti condizioni:

1) I1 congruente in P ' di un vettore di lunghezza nulla in P ha pure

lunghezza nulla. 2) Se un vettore in P ha hnghezza uguale alla somma delle lunghezze

di due altri vettori in P, anche per i vettori r ispet t ivamente eongruenti in P '

vale la stessa relazione. 3) Por tando il punto P ' in P, la metr iea in P ' viene a coineidere con

quella in P : h(P')-- h(P) per P ' - - P .

I1 tipo pifl generale di trasporto o rappresentazione per congruenza

in P e P ' che r isponda alle condizioni precedenti /~ subordinato dalla legge

ehe assoggetta i moduli dei vettori congruenti ad essere proporzionali. Detto u(P) il modulo in P e d u(P') qnello congruente in P ' - ~ - P ÷ dP si

porrh tale legge di proporzionalitit sotto la forma

(39)

od unehe

(39')

1 @(p, p,)], u(P') --- u(P) [1 - -

1 u(P).O(P, P'), d u : - -

dove @(P, P'} ~ un numero infinitesimo indipendente dal modulo u spostato, dipendente invece da P e P ' in guisa da r ispettare le condizioni imposte al

trasporto per congruenza. Queste condizioni sono evidentemente soddisfatte ponendo, a meno di

infinitesimi di ordine superiore,

• (P, P') = 7,(0), dP) = 0) x dP,

essendo 0) un vettore dato arbi t rar iamente in P al fine di subordinare nel-

l ' in torno di P una connessione metr ica la eui legge allora assume la forma

' " [1 - - 1 0 ) X d P t , u ( P ) = u(P) ~ (40)

o l ' a l t ra equivalente

(4o'} 1 u ( P ) . 0 ) X d P . d u = - -

I1 vettore 0) ehe rispetto ad una determinata tara tura pub essere preso arbi t rar iamente in P per stabitire una connessione metr iea nel l ' in torno di P.

lo ehiameremo veltore di connessione metrica in P.

M. 5~IA~ARI~¢I: Sugli spazi di Weyl 171

Procediamo ora ad un cambiamento di taratura ponendo, al solito,

~--- ~.h,

ore ~. ~ un rapporto di taratura positivo funzione di P che supporremo con- t inua e derivabile.

Diciamo O) il vettore di connessione metr ica in P corrispondente al

nuovo fattore di tara tura h ; per la legge di connessione metr ica in P avremo nella nuova tara tura

(41) u ( P ' ) - - - u ( P ) 1 - - ~ ¢ o x d ,

essendo u{P') ed u(P) le nuove misure delle lunghezze in P e P ' rispettiva-

mente de1 vettore u spostato per congruenza; possiamo porla sofia la forma equivalente (41') u~(P ') = u~{P)(1 - - ~ X clP).

D'a l t r a par te abbiamo in P

(42) uS(P) =- h z ( . ) = ~h×( . ) = ~(Piu~(P) ,

ed analogamente in P '

(42') u~(P ') = ),(p')u~(p'}.

Per le ipotesi fatte su )~(P), a meno di infinitesimi di ordine superiore, avremo

),(P') ~ ~(P) -t- grad k X dP,

con la qual cosa (42') diviene

(43) u~(P ') = [k(P) + grad ), X dP]u~(P').

Tenendo conto di (42) e (43) la (4i') diviene:

~ ( P ' ) [ ~ ( p ) + grad X X 4 P ] = ~u:(P).(1 - - ~ X dP} e per essere

u~(P ') - - u~(P)(1 - ~) x d;p),

sostituendo, nella approssimazione adottata r isul ta:

- - ),. 0,) X d P -I- grad ), X d P ~ ~ ?4a) >< dP.

Dovendo valere per ogni d P dell ~ intorno di P . r icaviamo la relazione

(44} O) -~ tat - - grad log ),,

la quale esprime la legge di variazione a cui deve essere sottoposto il vettore

t72 M. MA~it I INI: SugIi spazi di Weyl

di c o n n e s s i o n e m e t r i c a (a) in c o r r i s p o n d e n z a del c a m b i a m e n t o di t a r a t u r a

a f f inch6 la r e l a z i o n e di c o n n e s s i o n e m e t r i c a in P r i su l t i i n v a r i a n t i v a .

D u n q u e , c a m b i a n d o il f a t to re di t a r a t u r a h nel :L'apporto k funz ione po-

s i t iva c o n t i n u a e d e r i v a b i l e del posto, la f o rmu m e t r i c a t a r a t a X d iv iene )'X

m e n t r e il ve t to re di c o n n e s s i o n e m e t r i c a ~0 r i s u l t a d i m i n u i t o di g r a d l o g k.

L a f o r m a m e t r i c a t a r a t a X ed il v e t t o r e di c o n n e s s i o n e m e t r i c a (~0 do-

v r a n n o e v i d e n t e m e n t e e n t r a r e in tu t t e le g randezze e in tn t t e le r e laz ion i

che e s p r i m o n o dei r a p p o r t i m e t r i c i ; a f f inch~ la legge di connes s ione me-

t r i ca in P r i m a n g a i n a l t e r a t a di f ron te ad un c a m b i a m e n t o g e n e r a l e del

f a t to re di t a r a t u r a h:

X e O) devono m u t a r s i r i s p e t t i v a m e n t e in

~X. e O) - - g r ad log ~.

I n ques t e condiz ion i s i amo pe r la v a r i e t h m e t r i c a a m o r f a in uno s tadio

di c o n n e s s i o n e me~r ica c o m p l e t a m e n t e i n d i p e n d e n t e da l l a c o n n e s s i o n e af f ine .

In coordinate, posto oJ = ~ % b i 9

ore o) i sono ]e componenti covarianti del vettore di connessione metrica o) (cfr. n. 8), la legge (~:~) si traduce in

¢o i ~ m~ ~ ~¢°i

e ]a legge di connessione metrica (40), invariabile rispetto al cambiamento del fattore di taratura, assume ]a forma

( -- 21 Eio) idq~), u'(P) = u(P) 1.

I1 sistema di coordinate e taratura metrica fusi insieme per determinare le componenti di connessione metrica ~)¢ costituiscono per fl ~¢VEYL un • Bezugssystera >> (t).

10. V a r i e t ~ a eonness ione m e t r i c a ed affine. Spaz io di Wey l . C u r v a t u r a

di conness ione m e t r i c a . Spaz io di R i e m a n n . - - S u p p o n i a m o ora c h e l a da t a

va r i e t~ a m o r f a sin ad u n t empo do ta t a d i u n a connes s ione a f f ine p e r quan to

r i g n a r d a il con f ron to de l le d i rez ioni dci ve t to r i p r e s c i n d e n d o da l l a l unghezza

in s6 del m o d u l o e di u n a connes s ione m e t r i c a p e r q u a n t o r i g u a r d a il con.

f ron to dei s e g m e n t i o m o d u l i dei ve t tor i .

(i) Cfr. K. ~7EYL, Raw,m, Zeit, Materie, loc. cir., pag. 111.

3I. M~A~'ARINI: S u g l i 8pazi di W e y l 173

Col WEYL faremo l ' ipotesi ehe lo spostamento parallelo della eonnes- sione affine subordini la eongruenza dei moduli dei vettori, ossia, in altre

parole, postuleremo the lo spostamento pa~allelo dei vettori nella connessione

affine realizzi lo spostamento dei lore moduli per congruenza nella eonnes-

sione metriea.

Natura lmente intereederh una dipendenza fra gli elementi ehe definiseono

le due connessioni e si pub verif icare ehe la connessione affine r imane uni- voeamente determinata dalla eonnessione metriea.

In tale fusione di connessione affine con la connessione metr ica siamo

nello stadio finale di s p a z i o m e t r i c o del W e y l ed in esso un vettore potri~

essere trasportato per parallel ismo e per eongruenza di modulo lunge una certa curva dando in generale un risuttato dipendente dalla eurva trasporto.

Preeedendo alcune considerazioni osserviamo ehe per Io spazio inteso nel sense di RIE~A~N tale dipendenza dal trasporto non r iguarda i moduli ma soltanto le direzioni.

Nello spazio metrico di "WE¥I~ possiamo estendere 1 algoritmo differenziale metrico dei campi vettoriali, plurivettoriali , ed omografiei.

In eorrispondenza alla derivazione intr inseea del campo vettoriale u(/~)

du (cfr. n. 3) r isultano allora pre- con la conseguente omografia vettoriale d P

cisati in t r inseeamente alla variet~ il numero div u, il bivettore rot u, il gra- diente di un' omografm~" 1' omografia del terzo ordine divergenza di un campo bivettoriale (*), eee.

In questo lavoro abbiamo oeeasione di fare applicazione di questo algo. ri tmo metrico vettoriale assoluto per esprimere la eosidetta eurvatura seg- mentar ia dello spazio di WEYL

Consideriamo a lFuopo il punto P della varieth e ealeoliamo la varia. zione au della misura del segmento u, modulo del vettore u(P), t rasportando

per parallel ismo il vettore u e eonseguentemente per congruenza i! sue

modulo lunge il paral le logramma iufinitesimo costruito sui due ~ettori d P e 5P spieea.ti da P.

Per Io spostamento d P si ha:

1 d u ~ - - 2 u . O ) X d P

ed apptieando 1' operatore differenziale intr inseco ~ relative allo sposta-

(i) Cfr. M. ~.[ANARINI, [nte.rpretazione vettoriale assoluta dei te+~sori lineari del terzo ordi+~e e applicazione al campo elettromag~etico stazionario~ ,< I{end. Ace. Lincei ),, V. XXI~ 1 ° sere., pp. 173-178~ ":76-283~ 1935.

t74 M. MANARINI: Sugli spazi di Weyl

mento 8P, si ha

1 i u . 8(0) X dP) . 8du = - - ~ 8u. O) X d P ~

Per essere a sua volta 1

8u --" ~ ~ u . o) X 8P,

si ricava

1 1 u . (O) X dP) (o ) X 8P) - - 2 u . 8(0) X dP) . ~du --~ V~

Analogamente si ottiene

1 u. (O) X 8P)(O) X d P) - - ~ u . d(o) X ~P). d~u =

Abbiamo pertanto

1 (45) hu - - 8du -- d~u -~- ~ u . [d(o) X ~P) - - ~(o) X dP)] =

1 --= ~ u. rot o) X d P A ~P,

ore 6

do) rot O) = 2 ~ ' ~ p ,

do) do) doppio del bivettore del l 'omograf ia ~ , con diP- omografia vettoriale fun.

zione di P ot tenuta con la derivazione intrinseca relat ivamente alla connes-

sione affine assegnata.

Chiameremo curva tura di connessione meh'ica in P per lo spazio di WEYL

il bivettore

(46) ~ ~ rot o). 2

Esso va associato alia curvatura di connessione affine rappresentata dalla

omografia del terzo ordine P~ introdotta al n. 6. Si pub verificare che la curvatura di connessione metr ica 6 indipendente

dalla tara tura h per lo spazio, ossia che cambiando questa h detta curvatura

r imane inalterata.

Infatt i , osserviamo anzitutto che 6 sempre

rot grad f - - 0

e procediamo al cambiamento di ta ra tura in P ponendo al solito

h = ~ h .

M. M~ARI~I : Sugli spazi di Weyl 175

Per il nuovo vettore di conuessione metrica corrispondente (cfr. il ,n. ° 9),

abbiamo :

e pertanto risulta

il che dimostra F asserto.

Affineh~ un bivettore

_ N _

O) -~ t.O -- grad log )~

rot O) -~ rot 0),

possa, rappresentare la curvatura di connes- 2

sione metrica di uno spazio di WEYL, deve soddisfare alla condizione

(47) div ~ = 0 :2

eve div ~ ~ Fomograf ia del terzo ordine introdot~a in altro lavoro per gli 2

spazi di RIEMANN ed estendibile, come dieemmo, agli spazi di WEYL (cfr. F ul- tima citazione in ealce).

Riprendiamo allora l 'espressione delFincremento du del modulo di un

vottore u(P) dello spa.zio di WEYL allorch~ il veitore stesso passa da P

a P + d P : 1

du = - - ~ u . (tD X d P )

e consideriamo una curva della varieth congiungente P con un altro punto P~.

Spostando u(P) tungo questa curva per parallelismo e quindi il modulo per congruenz% si ottiene la variazione totale D u del modulo di u integrando la precedente.

Questa variazione in generale dipende dal eammino che si percorre per collegare i punti P e P~.

Se O ) X d P risulta un differenziale esatto derma variazione Du risulta

in eorrispondenza indipendentemente dal cammino percorso ed altora il tra.

sporto per congruenza del modulo pub dirsi integrabile in analogia al case

della integrabili th del trasporto per parallelismo.

La eondizione necessaria e sufficiente affineh~ risulti integrabile lo spo-

stamento per congruenza del modulo di un vettore b ehe risulti hullo in

ogni punto il bivettore curvatura di connessione metrica ~ = rot O). 2

Siamo allora helle circostanze degli spazi di R I ] ~ A ~ ed in particolare euelidei, con in pifi l ' a rb i t rar ie th della taratura.

In questo case il vettore di connessione metrica O) b il gradiente di una funzione ~.

Naturalmente il vettore O) b relative ad una prefissata tara tura in P di fattore h.

176 M. MA~'ARINI: Sugli spazi di ~Veyl

Nelle circostanze metriche r iemanniane suaccennate espresse analitiea-

mente da O) ~--- grad ~,

eseguiamo un cambiamento di ta ra tura h ponendo

---)~h con k ~ e ~ .

hTella nuova ta ra tura il vettore O) di connessione metrica risulta dato da

tO - - grad ~ - - grad log k ~- grad ~ - - grad ~ = O,

ossia pub risultare hullo in tutti i pu.nti dello spazio di ~/eyl che hoe carattere metrico riemctnnictno ed in pqrticolare euctideo.

Qaesta particolare tara tura a cui possiamo sempre ridurci nel caso che

la curvatura di connessione metrica sin nulla in ogni punto, ~ detta taratura~ norJuale ed ~ quella che ordinariamente si viene ta,citamente a considerare helle circostanze metriche degli spazi r iemanniani ed in particolare degIi

spazi euclidei la cui na tura metrica globale ~ comune a quelli r iemanniani .

In tal modo si vede come uno spazio di WEYL contiene come casi par-

ticolari gli spazi di R I E ~ A ~ e conseguentemente gli spazi euclidei.

L ' annu l l a r s i della curvatura di connessione metrica in ogni punto dello

spazio di WEYL che ammetta non nul la la curvatura di connessione affine F 3

caratterizza in detto spazio uno spazio di RInehArt ; annullandosi anche la

curvatura di connessione affig.e si ~ nel caso delle varieth euclidee, o tineari

ordinarie, cio~ euclideamente affini ed euclideamente metriche.

Per la tara tura normale dello spazio di R I E ~ A ~ la forma metrica fon-

damentale X ~ de~erminata a meno di un fattore qualunque, tu t t ' a l pifi

positivo, che si pub determinare una volta per tutte con la scelta del l 'uni t~

(eampione) per i moduli dei vettori che pub essere fat ta in nn punto qualsiasi.

I1 vettore O) che scelto a priori serve con X a caratterizzare la metrica

di uno spazio di WEYL ha notevole impo~ctanza nella teoria deI campo uni-

tario del ~VEYL stesso, con ta quale l ' i l lus t re Autore ha creduto di inter-

pretare geometricamente sin il campo gravitazionale, sin il campo ele~troma-

gnetico, completando la taoria della relativith generale di EIxs~EI~. Lo spazio quadridimensionale Universo in presenza di masae elettriche

stato inteso dat WEYL non semplicemente riemanniano, ma uno spazio

metrico della na tura di quelli studiati per il quale il vettore di connessione

metrica tO ad esso relativo compendia il potenziale scalare della distribuzione

di cariche ed il potenziale vettore: una componente di esso vale il primo e le

altre tre determinano il secondo.

M. MAXARI~ ' I : Sugli spazi di Weyl 177

I n coord ina te i l b i v e t t o r e % c m w a t u r a di conness ione m e t r i c s ~ d e t e r m i n a t o dal t ensore 2

l i nea re del seeondo o rd ine

Z i k - - ~qk ~qi '

essendo o~ i ] e componen t i c o v a r i a n t i del ve t t o r e di conness ione met r ica ~)~ de f in i t e come s i n . 8.

Si t ra t t a del t ensore ch iamato col WEYL dagl i Mtri A u t o r i curvatura segmentaria. L e condiz ioni a f f ineh~ u n t enso re doppio l i n e a r e r app re sen t i la c u r v a t u r a s e g m e n t a r i a

di uno spazio di Wm%~ sono da te dal le equaz ion i

Oqi eqk ~qz

che si dedueono t r a d u c e n d o in coord ina te la (47).

A n n a i i d i M a t e m a t i e a , S e r i e I V , Tomo X I ¥ , 23

I | Consiglio 5[azionale delle Ricerche comunica:

]~ prorogata al 31 Matzo 1936-XIV la scadenza del concorso a premio

gi~t bandito dal Comitato per l 'Astronomia, la ~[atematica Applicata e la Fi-

siva del Consiglio 5Ta~ionale delle Ricerche sul seguente tema:

~ App l i caz ione concreta di metod i m a t e m a t i c i ai f e n o m e n i fisici ed al le

~ at tuetz ioni tecniche in cui en trano in gioco f enomen i di eredi tar ie t~ e di

>.

Possono concorrere a detto premio cittadini i tal iani (d ,ambo i sessi) con

un lavoro stampato o datti lografato, in l ingua italiana, da inviarsi entro il

3[ Marzo 1936-XIV alla Segreteria Generale del Consiglio Nazionale delle

Ricerche (Ministero de l l 'Educazione Nazionale, Viale del Re - Roma}.

L ' a m m o n t a r e del premio ~ di L. 5.000.

P. S. - I manoscritti gia inviati I)otranno essere ritirati dagli Autori.