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Complementi ed Esercizi di Geometria Differenziale - A. Sambusetti 1

12 Integrazione su sottovarieta riemanniane di Rn

Per la comprensione completa delle nozioni introdotte in questo foglio e necessaria la cono-scenza della teoria della misura di Lebesgue. Per capire gran parte di cio che diremo sarainvece sufficiente conoscere la teoria dell’integrale di Riemann e la misura di Peano-Jordan.Faremo inoltre uso delle seguenti notazioni: XbY significa “X e a chiusura compatta in Y ”,mentre fbY significa che “il supporto della funzione f e un compatto contenuto in Y ”.

Lo scopo di questo foglio e spiegare che ogni sottovarieta S ⊂ Rn, munitadella sua struttura riemanniana, e uno spazio di misura 1, e come tale e possibileparlare di misura (lunghezza, area, volume e, in generale, misura d-dimensionaleper sottovarieta di dimensione d) dei suoi sottoinsiemi (misurabili) e di integraledi funzioni su S.

Ricordiamo innanzitutto come si e proceduto per le curve differenziabili:

(i) si e prima definita la lunghezza per curve parametrizzate α : I→Rn,partendo dall’idea di approssimazione di α tramite poligonali, quindi mostrando(rigorosamente) che il procedimento di approssimazione convergeva alla formulaintegrale `(α) =

∫I|α′(t)|dt;

(ii) poi si e mostrato che tale lunghezza e invariante per riparametrizzazioneregolare di α (i.e. per composizione con un diffeomorfismo φ :I ′→I);

(iii) infine, per definire la lunghezza di una curva differenziabile C– si trovava un’unica carta globale α : I → C e si procedeva come in (i);– oppure si spezzava C in unione di curve Ci disgiunte (a meno degli estremi), og-nuna con una carta αi, quindi si poneva `(α) =

∑i `(αi); tale definizione2 risulta

indipendente dalla scelta delle parametrizzazioni αi a causa di (ii),ed anche indipendente dalla scelta dei possibili spezzamenti C =

⋃i Ci =

⋃i C′i

(per vederlo, basta fare un raffinamento comune dei due spezzamenti).

Questo “paradigma” funziona anche per sottovarieta di dimensione k, conun certo numero di complicazioni tecniche:

a. il procedimento di approssimazione tramite poligonali va modificato, e vannoconsiderate piuttosto delle “poligonali tangenti” (nell’Esercizio 12.6 vedremoche l’approccio tramite poligonali inscritte non funziona piu se d ≥ 2);

b. inoltre, se S non possiede una carta globale, lo spezzamento utile di unasuperficie, o d-varieta, come S =

⋃Si e piu difficile da definire, poiche il bordo

dei pezzi Si puo essere complicato da descrivere; vedremo che a questo problemasi ovvia con l’idea di partizione dell’unita.

1Al momento attuale, anche se avete gia studiato la teoria della misura, e probabile checonosciate ben pochi esempi di spazi di misura oltre ad Rn (con la misura di Lebesgue)e agli insiemi finiti (muniti della misura di conteggio): le sottovarieta di Rn costituisconoun’importante e vasta classe di nuovi esempi di tale teoria.

2Chiaramente, questo procedimento puo assegnare una lunghezza infinita a certe curve (segli indici i sono infiniti e la somma non converge), oppure, anche nel caso di infiniti indici i ecurve definite su tutto I = R, una lunghezza finita, come per la spirale logaritmica.


12.1 Misura di una sottovarieta parametrizzata

Richiami sull’integrale di Riemann. Ricordiamo alcune proprieta importanti dell’inte-grale di Riemann e della misura di Peano-Jordan che useremo in seguito (cf. un qualsiasi buonlibro di Analisi in piu variabili).

a. Una funzione limitata f su un pluri-intervallo limitato I ⊂ Rn e integrabile secondoRiemann se le somme superiori e inferiori di Riemann S(f, P ) ed s(f, P ), relative a qualsiasipartizione finita P di I in plurintervalli, tendono a un valore comune v, quando la taglia dellapartizione tende a 0; una funzione limitata f su un qualsiasi sottoinsieme limitato X ⊂ Rn sidice integrabile secondo Riemann se 1X · f e integrabile su un plurintervallo I ⊃ X.Chiameremo R∞` (Rn) lo spazio di tali funzioni e

∫Xf(x1, ..., xn)dx1 · dxn (oppure

∫Xf)

il valore dell’integrale.

b. Un insieme limitato X ⊂ Rn si dice misurabile secondo Riemann (o secondo Peano-Jordan)se 1X ∈ R∞` (Rn), e si dice un insieme di misura nulla secondo Riemann se puo essere coperto

da un’unione finita 3 di pluri-intervalli di misura totale arbitrariamente piccola.Chiameremo J`(Rn) la famiglia degli insiemi misurabili secondo Riemann, e m(X) =

∫X

1Xla misura (di Riemann, o Peano-Jordan) dell’insieme.

Alcuni risultati fondamentali da conoscere:

(i) Misurabilita. Un insieme e misurabile secondo Riemann se e solo se una qualsiasi delleseguenti condizioni e soddisfatta:– esistono approssimazioni superiori ed inferiori P+ e P− di X date da unioni finita di pluri-intervalli disgiunti, con m(P+)−m(P−) arbitrariamente piccolo;– la frontiera ∂X e misurabile secondo Riemann ed ha misura nulla m(∂X) = 0

(ii) Integrabilita. Ogni funzione continua e limitata su un insieme misurabile secondo Riemanne integrabile secondo Riemann. 4 Nel seguito ci limiteremo a considerare lo spazio Ckc (Rn)delle funzioni f : Rn → R di classe Ck a supporto compatto; dunque Ckc (Rn) ⊂ R∞` (Rn).

(iii) Invarianza degli insiemi misurabili. Sia X un insieme misurabile secondo Riemann(risp. di misura nulla): se X b U e φ : V → U e un diffeomorfismo tra aperti di Rn,allora φ−1(X) e misurabile secondo Riemann.

(iv) Formula del cambio di variabili. Sia f : X → R funzione continua su un compatto Xmisurabile secondo Riemann: se X b U e φ : V → U e un diffeomorfismo tra aperti di Rn,allora f ◦ φ e integrabile secondo Riemann e

∫Xf =

∫φ−1(X)

(f ◦ φ) · |det(dφ)|.

Definizione 12.1 (Jacobiano)Sia F : (V, g)→ (V ′, g′) un’applicazione lineare tra spazi euclidei.Lo jacobiano (assoluto) di F e |Jac(F )| = |det[F ]BB′ |, dove B = {bi}, B′ = {b′i}sono due qualsiasi basi ortonormali rispettivamente per V e V ′.Si noti che tale definizione non dipende dalle basi ortonormali scelte, in quanto prese altre

due basi ortonormali B, B′, la matrice [F ]BB′

differisce da [F ]BB′ per il prodotto di due matrici

ortogonali, dunque con determinante ±1.

Se F : S → S′ e una mappa tra sottovarieta, si definisce |JacP (F )| = |Jac(dPF )|(notare che tale definizione usa fortemente la struttura euclidea di TPS e TF (P )S)Dalle proprieta del determinante segue immediatamente che, date due mappeF : S → S′ e G : S′ → S′′, si ha |Jac(G ◦ F )| = |Jac(G)||Jac(F )|.

3Si dira invece di misura di Lebesgue nulla se puo essere ricoperto da un’unione numerabiledi pluri-intervalli di misura totale arbitrariamente piccola.

4Vale un teorema piu forte, noto come condizione di Lebesgue per l’integrabilita secondoRiemann: ogni funzione limitata definita su un insieme limitato e integrabile secondo Riemannse e solo se l’insieme dei punti di discontinuita ha misura di Lebesgue nulla.


Ricordiamo che la misura di Riemann di un parallelepipedo euclideo generatoda n vettori v1, ..., vn e dato da 5 : m(P(v1, ..., vn)) = |det ( [v1]B · · · [vn]B) |,dove i [vi]B sono i vettori numerici delle coordinate dei vi in una qualsiasi baseortonormale. Poiche la matrice [F ]BB′ ha per colonne le coordinate dei vettori{F (bi)} nella base ortonormale B′, segue immediatamente che, se F e lineare,

|Jac(F )| = m(P(F (b1), ..., F (bn)))

m(P(b1, ..., bn))

cioe rappresenta il rapporto tra la misura di un cubo in (V, g) ed il suo trasfor-mato in (V ′, g′) tramite F (e ovviamente tale rapporto e indipendente dalledimensioni del cubo scelto). Questa e la principale motivazione per dare aseguente definizione per una mappa F qualsiasi:

Definizione 12.2 (Misura di una parametrizzazione)Sia F : D ⊂ Rd → X = F (D) ⊂ Rn una parametrizzazione. Si definisce:

m(F ).=

∫D

|Jac(F )| dx1 · · · dxd (1)

(qualora tale integrale esista secondo Riemann), detta misura di F .A volte si parla, impropriamente 6, di misura di X. Per d = 1, 2, 3 tale misurasi chiama rispettivamente lunghezza `, area A o volume V di F .

Notiamo che tale integrale esiste se D e un dominio in J`(Rn) ed F ∈ C1(D) 7

(in particolare, se F ∈ Ckc (Rn)).

♥ Esercizio 12.3 Sia F : (V, g)→(V ′, g′) applicazione lineare tra spazi euclidei.Mostrare che, presa una qualsiasi base ortonormale B = {bi} di (V, g), si ha:

Jac(F ) =»det (F (bi) · F (bj)) (2)

Osservazione 12.4 (Jacobiano e prima forma fondamentale)Se X = F (D) e una sottovarieta S, allora si ha: |Jac(F )| =

√det [IS ]F

(ammesso che la parametrizzazione F sia regolare in P ; senno |JacP (F )| = 0).In particolare, se d = 2, allora |Jac(F )| =

√det [I]F =

√EG− F 2 = |Fx × Fy|.

Questo rende particolarmente evidente la dipendenza della nozione di misura diS dalla struttura riemanniana.

Una giustificazione geometrica piu precisa per chiamare “area” (o volume,misura ecc.) di S il valore m(F ) definito dall’integrale (1) sta nel seguente:

5Questo dovrebbe esservi stato dimostrato quando avete studiato il comportamento dim rispetto a trasformazioni lineari (per mostrare in particolare che la misura di Riemann einvariante per rotazioni); segue comunque per induzione su n assumendo che che la misura diun n-parallelepipedo sia la misura della base per l’altezza.

6Impropriamente perche tale misura dipende da F , e non solo da Im(F ); si pensi allaparametrizzazione che descrive due volte una circonferenza, o al bendaggio dell’infermiera,che ricopre tutta la sfera con molteplici autointersezioni...

7Si dice che F ∈ C1(D), ovvero che F e C1 fin su D, se F si estende ad una funzione C1

su un aperto contenente D.


Teorema 12.5 Supponiamo che F :D⊂R2→ S = Im(F )⊂Rn sia un graficodefinito su un dominio misurabile secondo Riemann, di classe C2 fin su D.Sia P = {Ik} una famiglia disgiunta di pluri-intervalli aperti che copre D, convertici in Pk = (xk, yk), Qk = (xk+δk, yk), Rk = (xk, yk+δk), Sk = (xk+δk, yk+δk);sia quindi Qk il quadrilatero di vertici F (Pk), F (Qk), F (Rk), F (Sk) e Qk la suaproiezione ortogonale su TPkS. Per ogni ε > 0 esiste δ tale che, se δk < δ, si ha:∣∣∣∣∣∣m(F )−

∑Ik⊂D

area(Qk)

∣∣∣∣∣∣ < ε

Un risultato del tutto analogo vale per d-sottovarieta grafico. La famiglia di parallelogrammi

Qk si dice un’approssimante poligonale tangente di S. Il prossimo esercizio spiega perche si

considerano poligonali tangenti invece di poligonali inscritte ad S (come nel caso d = 1):

Dimostrazione. Denotiamo πk la proiezione sul piano tangente in Pk, e siano

vxk =−−−→PkQk, vyk =

−−−→PkRk. Poiche F e C2 sull’insieme compatto D (dunque con

derivate seconde limitate) abbiamo 8

vxk = Fxδk + ~o(δ2k) vyk = Fyδk + ~o(δ2

k)

I lati del quadrilatero Qk sono le proiezioni di vxk , vyk su TPkS, che coincidono

ovviamente con Fxδk e Fyδk a meno di ~o(δ2k). Infatti un campo unitario normale

a S e dato da N = (Fx × Fy)/|Fx × Fy|, dunque

πkvxk = vxk − (vxk ·N)N = Fxδk −

ÅFxδk ·

Fx × Fy|Fx × Fy|

ãN + ~o(δ2

k) = Fxδk + ~o(δ2k)

e analogamente πkvyk = Fyδk + ~o(δ2

k), dunque A(Qk) = |Fx × Fy|δ2k + o(δ3

k).D’altra parte, per ogni ε > 0 arbitrario, si ha o(δ3

k) < εδ2k, se δk e abbastanza

piccolo, e in tal caso∣∣∣∣∣∣ ∑Ik⊂D |Fx × Fy|δ2k −

∑Ik⊂D

A(Qk)

∣∣∣∣∣∣ ≤ ε ∑Ik⊂D δ2k ≤ εm(D)

Se δk → 0, il primo addendo nel modulo tende a∫D|Fx×Fy|dxdy per definizione

di integrale di Riemann; poiche ε e arbitrario, questo conclude la dimostrazione.2

♥ Esercizio 12.6 (Lampione di Schwarz)Consideriamo il cilindro circolare retto C, di asse z e raggio unitario, compresotra i piani z = 0 e z = 1. Tagliamo C inN fette orizzontali di eguale altezza 1/N ,ognuna delle quali avente per base un cerchio Ck. Inscriviamo nella base C2k−1

di ogni fetta “dispari” un poligono regolare ad n lati; analogamente inscriviamonella sua faccia superiore (la base della fetta pari C2k) lo stesso poligono regolare,ma con vertici sfasati di π/n. Infine uniamo, in ogni fetta, ogni vertice delpoligono inscritto sulla faccia inferiore con i due vertici piu vicini del poligonoinscritto sulla faccia superiore.Si ottiene in tal modo un poliedro Pn,N , unione di 2nN triangoli Ti, inscrittonel cilindro C, detto lampione di Schwarz.

8Dove ~o(δ2) indica sempre un infinitesimo per δ → 0 di ordine superiore o uguale a δ.


(i) Si verifichi che, se n → ∞ e N → ∞, il diametro di ogni triangolo Ti e ladistanza del poliedro Pn,N dal cilindro tendono entrambi a zero.(ii) Si mostri che, ponendo N = n, si ottiene limn→∞A(Pn,n) = 2π = A(C).(iii) Tuttavia, si mostri che variando la relazione tra n ed N , si puo ottenerelimn,N→∞A(Pn,N ) 6= 2π e addirittura limn,N→∞A(Pn,N ) = +∞ (!).(iv) Da un punto di vista qualitativo, cosa succede (geometricamente ed ana-liticamente) alla superficie poligonale iscritta, nei casi in cui A(Pn,N ) = +∞?

12.2 Misura di una sottovarieta

Una volta introdotta la misura di una parametrizzazione, e possibile introdurrela nozione di misura di un sottoinsieme D di una d-sottovarieta S ⊂ Rn e diintegrale di una funzione f : S → R. Per far cio, procederemo in due passi:prima definiamo queste nozioni su una carta, quindi le estenderemo a tutta S.

• Misura di insiemi e integrale di funzioni a supporto in una carta di S:sia φ : V → U = φ(V ) ⊂ S una carta. Se f b U oppure X b U definiamo∫

S

f.=

∫V

(f ◦ φ)|Jac(φ)|dx1 · · ·xde quindi

m(X).=

∫S

1X =

∫V

1φ−1(X)|Jac(φ)|dx1 · · ·xd

ammesso che le funzioni f ◦ φ e 1φ−1(X) siano integrabili secondo Riemann

(e.g.: se f ∈ Ckc (S) con spt(f) b U).Le proprieta (iii) e (iv) mostrano comunque che, se sono integrabili, lo sono anche rispetto aqualsiasi altra carta (φ′, V ′) che contenga il loro supporto; inoltre, considerato il diffeomor-fismo φ−1 ◦ φ′ : V ′ → V , per le proprieta dello jacobiano, si ha∫

V

(f ◦ φ)|Jac(φ)|dx1 · · ·xd =

∫V ′

[(f ◦ φ)|Jac(φ)| ] ◦ (φ−1 ◦ φ′)∣∣Jac(φ−1 ◦ φ′)

∣∣ dx′1 · · ·x′d=

∫V ′

(f ◦ φ′)|Jac(φ′)|dx′1 · · ·x′d

dunque tali definizioni non dipendono dalla carta utilizzata per integrare.


• Misura di insiemi e integrale di funzioni su tutta la sottovarieta S:per estendere la definizione di misura e integrale da insiemi/funzioni a supportoin una carta a tutta S, e necessario l’uso delle partizioni dell’unita

Definizione 12.7 (Partizioni dell’unita)Sia V = {Vα} un ricoprimento aperto di S. Una partizione dell’unita per Ssubordinata al ricoprimento V e una collezione di funzioni (λk) su S tali che:(i) per ogni λk esiste un Vα ∈ U tale che λk b Vα;(ii) per ogni P esiste solo un numero finito di λk tali che λk(P ) 6= 0;(ii) λk ≥ 0 per ogni k, e

∑k λk(P ) = 1 per ogni P .

Teorema 12.8 (Esistenza delle partizioni dell’unita)Per ogni ricoprimento aperto V = {Vα} di una sottovarieta S ⊂ Rn esiste unapartizione dell’unita (λk) subordinata a V.

Dato ora un sottoinsieme X o una funzione f su una sottovarieta S compatta,si prende una partizione dell’unita qualsiasi (λk) su S, subordinata ad un rico-primento localmente finito con carte locali V = {(Vα, φα)}, e si definisce:∫

S

f.=∑k

∫S

λkf e m(X).=

∫S

1X =∑k

∫S

λk1X

ammesso che gli integrali∫Sλkf e

∫Sλk1φ−1(X) esistano tutti 9; in tal caso

la funzione f si dice integrabile secondo Riemann su S, e X si dice misura-bile secondo Riemann; per esempio, ogni funzione continua su una sottovarietacompatta e integrabile secondo Riemann.

Di nuovo, le proprieta dell’integrale di Riemann mostrano che l’integrabilita di f (ovvero la

misurabilita di X) ed il valore dell’integrale∫Sf non dipendono dalla partizione dell’unita ne

dalla scelta del particolare ricoprimento con carte locali. Verifica: supponiamo V ′={(V ′β , φ′β)}

altro ricoprimento localmente finito con carte locali, e (λ′j) un’altra partizione dell’unita sub-

ordinata a V ′ (con λ′j b V ′β(j)

). Allora:∑i

∫Sλif =

∑i

∫S

(∑

jλ′j)λif =

∑i,j

∫Sλ′iλjf =

∑j

∫S

(∑

iλi)λ

′jf =

∑j

∫Sλ′jf .

Se S e non compatta, e possibile con lo stesso argomento definire l’integrale diRiemann di funzioni f ∈ C0

c (S), i.e. a supporto compatto. E anche possibiledefinire l’integrale “improprio” di funzioni qualsiasi: se f e positiva, f si pone∫Sf.=∑k

∫Sλkf , con le notazioni precedenti (dove ora la somma e una serie

infinita, ed il risultato puo essere finito o infinito, ma non dipende dalla parti-colare partizione dell’unita, essendo la serie a termini positivi); e se f ha segnoqualsiasi si dice assolutamente integrabile secondo Riemann se

∫Sf+ < ∞ ed∫

Sf− <∞, ed il suo integrale vale allora per definizione

∫S

=∫Sf+ −

∫Sf−.

9Notare che questi sono integrali di una funzione a supporto compatto in una carta Vα(k),quindi sono gia stati (ben) definiti.


La dimostrazione dettagliata del Teorema 12.8 e tecnica ma le idee sonoelementari, e sono descritte qui di seguito. Il primo passo e la costruzione dellecosiddette “bump functions”:

Esercizio 12.9 (Bump functions)(i) Costruire f : R → [0, 1] di classe C∞ tale che f(x) = 1 per |x| ≤ 1, mentref(x) = 0 per |x| ≥ 2.(ii) Costruire F : Rn → [0, 1] di classe C∞ tale che F (x) = 1 su [−1, 1]n, mentreF (x) = 0 fuori di [−2, 2]n.Suggerimento: utilizzare la funzione g(x) = e−1/t, C∞ e tale che g(k)(0) = 0 ∀k.Notare che la stessa costruzione si puo fare su un n-cubo arbitrariamente piccolo.

Sketch di dimostrazione del Teorema 12.8.1. Esiste una famiglia numerabile di aperti (Ck) di S a chiusura compatta,

che costituiscono una base per S, e delle funzioni λk > 0 in Ck e λk b Ck.Infatti basta partire da un atlante 10 di S: per ogni carta φ : U → S e per ogni punto razionalePk ∈ U si prende una famiglia numerabile di cubetti aperti Ch,k centrati in Pk ed una bump

function come nell’Esercizio 12.9 a supporto in Ch,k, e si trasporta il tutto tramite φ su S.

2. Una sottofamiglia C di (Ck) da un raffinamento localmente finito di V.

Infatti basta selezionare una sottofamiglia (Cnk ) in modo che ogni Cnk sia contenuto inqualche Vα (e dia sempre una base). Per sceglierla localmente finita basta eliminare quelli

“in eccesso”: formalmente, si numerano in modo che gli insiemi CK =⋃Kk=1

Cnk formino

un’esaustione di S; questi CK sono insiemi relativamente compatti, quindi per ogni K si puoscegliere un numero finito di Ci che coprono CK \CK−1 (compatto) e non intersecano CK−2.La famiglia cosı ottenuta e localmente finita.

3. Infine si pone λ=∑k λk e le funzioni λk= λk

λ danno la partizione cercata.

Difatti le λk hanno supporto nei Ck, ognuno contenuto in un Vα; la famiglia dei supportie localmente finita, dunque vale (ii); quindi notare che, per ogni P , la somma

∑kλk(P ) e

finita; e la somma da 1 per costruzione in ogni punto.2

Nota 12.10 Allo scopo di definire l’integrale su S sarebbe stato sufficienteprovare il teorema di esistenza delle partizioni dell’unita con bump-functionsanche solamente C0. Abbiamo scelto (con poca fatica in piu) di fare il casogenerale perche le partizioni C∞ sono uno strumento utile in molte altre situ-azioni11, in cui serva incollare “oggetti C∞” (equazioni, metriche riemanniane,forme differenziali ecc.); Il seguente teorema ce ne da un esempio:

10Qui usiamo implicitamente che S ha un atlante costituito da un’infinita al piu numera-bile di carte. Cio e vero perche S, in quanto sottospazio di Rn, e paracompatto: ogni suoricoprimento aperto U = {Uα} ammette un raffinamento aperto U ′ = {U ′k} localmente finito(raffinamento vuol dire che ogni U ′k e contenuto in qualche Uα(k), mentre localmente finitosignifica che ogni punto P ∈ S ha un intorno che interseca solo un numero finito di U ′k.)

11In particolare ne faremo uso per dimostrare il teorema della divergenza.


Teorema 12.11 Sia S un’ipersuperficie chiusa di Rn. Allora esiste g : Rn → Rdi classe C∞ tale che S = g−1(0), cioe S ammette un’equazione globale C∞.

ATTENZIONE: la dimostrazione fatta in classe e sbagliata!!Dimostrazione. Poiche S e chiusa, per ogni P ∈ Rn esiste sempre un in-

torno UP che non interseca S oppure tale che S ∩ UP sia non vuoto e ammettaun’equazione C∞ (regolare) gP (x1, ..., xn) = 0 definita su UP (teorema inversodel Dini). Poiche Rn e paracompatto, e possibile selezionare un raffinamentoU = {U ′Pα} localmente finito della famiglia (UP )P∈S . Sia ora (λk) una par-tizione dell’unita subordinata a U , con λk b U ′Pα(k)

. Allora g =∑k λkgPα(k)

2 = 0

e un’equazione C∞ globale per S.2Notare che il teorema non asserisce l’esistenza di un’equazione regolare per S.

L’ipotesi “S chiusa” e necessaria?

♥ Esercizio 12.12 (Misura e integrazione sulla sfera)(i) Si calcoli l’area di S2 utilizzando almeno quattro tipi di atlanti differenti;(ii) Sia v un vettore non nullo, ed f : S2 → R definita come f(P ) = P · v.Calcolare

∫S2 f ed

∫S2 f

2.

Esercizio 12.13 (Una delle piu belle costruzioni di Archimede)Mostriamo qui il calcolo dell’area della sfera eseguito da Archimede.(i) Si mostri, con metodo elementare, che l’area della superficie laterale C di untronco di cono circolare retto con basi due cerchi di raggi r,R e lunghezza del

lato meridiano uguale a ` e data da A(C) = 2π` (r+R)2 ;

(ii) supponiamo che C sia inscritto in S2: mostrare che A(C) = 2πdh dove h el’altezza del tronco di cono e d = d(O,C);Suggerimento: utilizzare il fatto che i due triangoli in figura sono simili...

(iii) tagliare ora la sfera S2 con piani paralleli tutti a distanza h = 1n tra loro,

e inscrivere in S2 tanti tronchi di cono circolari retti di base i paralleli cosıottenuti: mostrare che la somma delle superfici laterali Ck di tali tronchi e∑

k

A(Ck) =2π

n

2n∑k=1

dn

(iv) far tendere ora n→ +∞ nella formula trovata, e dedurre che A(S2) = 4π.Che succede, geometricamente, nel lampione di Schwarz (per certi Nk, nk →∞),che non succede invece nell’approssimazione di Archimede per n→ +∞?


12.3 Integrazione di Lebesgue su una sottovarieta

Richiami sull’integrale di Lebesgue.

a. Rn e uno spazio di misura boreliano e completo: cioe, e dotato di una σ-algebra A (unafamiglia non vuota di sottoinsiemi, chiusa per unioni numerabili e per passaggio al comple-mentare) contenente tutti gli aperti e tutti gli insiemi di misura di Lebesgue nulla.

b. Esiste un’unica misura boreliana (cioe una funzione σ-additiva µn : A → R≥0 ∪ {+∞}),regolare (cioem(A) e il sup delle misure dei compatti contenuti in A), invariante per traslazionie uguale alla misura di Riemann su ogni insieme misurabile secondo Riemann; tale misura edetta misura di Lebesgue di Rn.

La teoria degli spazi di misura mostra allora che esiste una classe di funzioni f : Rn → R (detteintegrabili secondo Lebesgue), denotata L1(Rn), per le quali ha senso parlare di integrale∫

Rnfµn

detto integrale di Lebesgue di f . Tale classe contiene, tra l’altro, tutte le funzioni integrabilisecondo Riemann, per le quali l’integrale di Lebesgue coincide con l’integrale di Riemann.Ogni sottoinsieme misurabile X ⊂ Rn eredita quindi la struttura di spazio di misura completo,una classe di funzioni integrabili su X (l’insieme delle funzioni per le quali 1Xf e integrabile

secondo Lebesgue) denotate L1(X), ed un integrale definito come∫Xfµn =

∫Rn

(1Xf)µn.

Riportiamo inoltre alcuni risultati generali di teoria della misura da conoscere bene.Supponiamo che X sia uno spazio topologico di Hausdorff localmente compatto, e che siaanche uno spazio di misura completo con una misura boreliana regolare e localmente finita µ;abbiamo dunque un integrale

∫Xfµ sullo spazio delle funzioni L1(X,µ), con le proprieta:

(i) Linearita, lipschitzianita, positivita: l’integrale e un funzionale lineare, 1-lipschitziano epositivo su L1(X,µ), cioe per ogni a1, a2 ∈ R e per ogni f, f1, f2 ∈ L1(X,µ) vale∫

X

(a!f1 + a2f2)µ = a1

∫X

f1µ+ a2

∫X

f2µ,

∣∣∣∣∫X

fµ

∣∣∣∣ ≤ ∫X

|f |µ, f ≥ 0⇒∫X

fµ ≥ 0

inoltre si ha∫Kfµ = 0 per ogni insieme compatto K se e solo se f = 0 quasi ovunque su X

(cioe l’insieme degli x per cui f(x) 6= 0 ha misura di Lebesgue nulla).

(ii) Insiemi di misura nulla:∫Xfµ =

∫X\A

fµ per ogni insieme A di misura nulla.

(iii) Convergenza dominata: se delle funzioni fk ∈ L1(X,µ) sono tutte dominate in modulo

da una funzione positiva g ∈ L1(X,µ) ed fk → f , allora f ∈ L1(X,µ) e∫Xfkµ→

∫Xfµ.

(iv) Formula del cambio di variabile: supponiamo che X e X′ (T2, N2, localmente compatti)siano entrambi spazi di misura completi con misure boreliane regolari e localmente finite µ, µ′

e sia φ : X → X′ una mappa continua, propria, che manda insiemi di misura nulla in insiemidi misura nulla: allora esiste una funzione misurabile J : X → R tale che se f ∈ L1(X′, µ′)allora (f ◦ Φ)J ∈ L1(X,µ), e vale ∫

X′fµ′ =

∫X

(f ◦ Φ) J µ

Per esempio, se Φ : U → U ′ e un diffeomorfismo tra aperti di Rn, si ha J = |Jac(Φ)| ef ∈ L1(U ′) se e solo se (f ◦ Φ)|Jac(φ)| ∈ L1(U).

(v) Teorema di Riesz. Sia X uno spazio T2, localmente compatto. Se L : Cc(X) → R e unfunzionale lineare sullo spazio delle funzioni continue a supporto compatto su X, allora Xammette una struttura di spazio di misura completo ed un’unica misura (boreliana, regolare,localmente finita) µ tale che

L(f) =

∫X

fµ

Tutti questi risultati si possono trovare su un qualsiasi buon libro di teoria della misura

(e.g. W. Rudin, Analisi Reale e Complessa).


Il metodo di integrazione descritto nel paragrafo precedente serve ad assi-curarci di poter effettivamente definire una nozione di integrale e di misura suqualsiasi sottovarieta S, ma e ben poco effettivo: nessuno integra sulla sferacercandone una partizione dell’unita!

Nella pratica, si utilizza il fatto che e possibile trascurare gli insiemi di misuranulla di S (di Riemann e di Lebesgue): si prende allora una carta φ che copra Smeno un insieme di misura nulla A, e si esegue il calcolo di m(X \A) o di

∫S\A f

nella carta φ. Si osservi pero che tale modo di procedere e ingiustificato12,almeno per quanto abbiamo visto sin qui. Si pensi per esempio ad integrareuna funzione f su S2: il metodo piu comodo, spesso, e in coordinate sferiche,che danno una carta φ su S2 meno un meridiano A; ma l’integrale e statodefinito da noi 13 solo per funzioni a supporto compatto in una carta (o conpartizioni dell’unita), e in genere f non sara a supporto compatto in S2 \A !La giustificazione formale a tale modo (naturale) di procedere esiste, e risiedenella teoria dell’integrazione secondo Lebesgue.

Teorema 12.14 Ogni sottovarieta S ⊂ Rn e uno spazio di misura completo, edammette un’unica misura (boreliana, regolare, localmente finita) dS compatibilecon la sua misura di Riemann. L’integrale di una funzione f su S rispetto atale misura viene denotato

∫SfdS oppure, piu semplicemente,

∫Sf .

Dimostrazione del Teorema 12.15. Ogni sottovarieta S ⊂ Rn e uno spazioT2, N2, e localmente compatto. Nei paragrafi precedenti abbiamo mostratoche ogni funzione f continua e limitata su S e integrabile secondo Riemann; inparticolare, per ogni f ∈ Cc(S) e definito l’integrale

∫Sf , che e lineare in f .

Il teorema di Riesz implica allora l’esistenza e unicita della misura dS.2

Possiamo dunque parlare dello spazio L1(S) delle funzioni integrabili secondoLebesgue su S (indipendentemente dalla loro regolarita!) ed usare i risultatigenerali di teoria della misura per funzioni su S. Per esempio:

Proposizione 12.15 (Cambio di variabile su sottovarieta)(i) Sia Φ : U → S una carta: f ∈ L1(Φ(U)) se e solo se (f ◦Φ)|Jac(Φ)| ∈ L1(U),e in tal caso: ∫

Φ(U)

fdS =

∫U

(f ◦ Φ) |Jac(Φ)| dx1 · · · dxd

(ii) Sia Φ:S → S′ diffeomorfismo: f ∈L1(S′) se e solo se (f◦Φ)|Jac(Φ)| ∈ L1(S),e in tal caso: ∫

S′fdS′ =

∫S

(f ◦ Φ) |Jac(Φ)| dS

12Avete usato le coordinate polari per calcolare A(S2) e∫S2 f nel paragrafo precedente...?

13E un nostro difetto dell’integrale di Riemann: infatti, la formula del cambio di variabilevista in (iv) (che assicura che l’integrale calcolato in una carta venga uguale all’integralecalcolato in una quasiasi altra carta) vale solo per funzioni a supporto compatto in una carta.


Si possono dunque trascurare gli insiemi di misura nulla ed usare il teoremadel cambio di variabile sopra descritto per giustificare in modo del tutto rigoroso,per esempio, il calcolo dell’area della sfera o qualsiasi altro integrale sferico incoordinate polari (ammesso che su tali coordinate l’integrale esista finito).

Dimostrazione della Proposizione 12.15.Il primo punto segue dalla formula generale (iv) di cambio di variabile su spazi dimisura: la misura dS verifica tutte le ipotesi, e inoltre per ogni compatto K ⊂ Usi ha, per definizione

∫K|Jac(Φ)|dx1 · · · dxd = m(Φ(K)) =

∫kJdx1 · · · dxd,

dunque J = Jac(Φ) (quasi ovunque). Per (ii), si prende un ricoprimento local-mente finito con carte V ′={(V ′α, φ′α)} per S′ e V={(Vα=Φ−1(Vα), φα=φ′α◦Φ)}per S, quindi partizioni dell’unita subordinate (λ′i) e (λi = λ′i ◦ Φ), quindi∫S′f =

∑i

∫S′λ′if =

∑i

∫Sλif |Jac(Φ)| =

∫Sf .2

♥ Esercizio 12.16 Calcolare:1) l’area del toro di rivoluzione Ta,b ed il volume del suo interno;

2) il volume dell’ellissoide x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1;(e possibile fare il calcolo in “coordinate ellittiche”? spiegare bene perche.)

3) l’area della porzione di paraboloide x2 + y2 + z = 16 limitata da z = 0;4) l’area della porzione di paraboloide z = x2−y2 limitata dal cilindro x2+y2 =1.

♠ Esercizio 12.17 (Tubi)Consideriamo una curva embedded α : I → C = α(I) ⊂ R3 di lunghezza `.Sia T (C, r) il tubo (o intorno tubulare di C) costituito dall’unione di tutti i dischidi raggio r centrati nei punti P ∈ C ortogonali a C, e sia ∂T (C, r) il suo bordo:(i) dare parametrizzazioni Fr, Gr rispettivamente per T (C, r) e ∂T (C, r);(ii) dimostrare che, se F e G sono embeddings, allora valgono le formule:

V(T (C, r)) = πr2` A(∂T (C, r)) = 2πr`

Nota 1. Il teorema di Guldino, qui, non funziona: il tubo non e una superficie/volume dirotazione! Tantomeno si puo applicare il principio degli indivisibili di Cavalieri14, che e unprincipio euristico: “se due figure possono essere tagliate in sezioni tutte di ugual misura, chevariano in intervalli di ugual lunghezza, allora le due figure sono equivalenti”. Tale principiovale in genere per sezioni tutte parallele (con le dovute ipotesi di regolarita e un caso particolaredel teorema di integrazione di Fubini), ma fallisce per sezioni qualsiasi; il problema e saperese la carta che descrive la figura per fette ha Jacobiano costante uguale a 1.

Nota 2. E possibile mostrare che, se α e un embedding e C e compatta, allora Fr e Gr sonoanch’essi degli embeddings per r sufficientemente piccolo. La regolarita di Fr e Gr per rpiccolo e facile (dimostrarla). L’iniettivita e piu fastidiosa: si usa il teorema inverso del Diniper mostrare l’iniettivita locale, quindi un ragionamento di tipo “topologico” sulla funzioned(t, t′) = minu,v∈D(r) d(Fr(t, u, v), Fr(t′, u, v′)) per t, t′ “distanti” (provarci).

14Bonaventura Cavalieri, 1598-1647: molto prima di Newton e Leibnitz.


12.4 Equivalenze

Definizione 12.18 Un diffeomorfismo tra sottovarieta F : S → S′ si diceun’equivalenza se preserva la misura, i.e. m(F (X)) = m(X) per ogni X ⊂ S.Una mappa F : S → S′ e un’equivalenza locale se ogni P ∈ S ha un intorno UPtale che F |UP e un’equivalenza.

Teorema 12.19 (Criterio per equivalenze)Un diffeomorfismo (risp. un diffeomorfismo locale) F : S → S′ e un’equivalenza(risp. un’equivalenza locale) se e solo se |Jac(F )| = 1.In particolare, ogni isometria preserva l’area.

Dimostrazione. Sia U un qualsiasi aperto su cui F e un diffeomorfismo: per laformula del cambio di variabile, si ham(F (K))−m(K)=

∫K

(|Jac(F )|−1) dS=0per ogni K contenuto in U se e solo |Jac(F )| = 1 quasi ovunque su U , dunquesu S; ma essendo F di classe C1, cio implica |Jac(F )| = 1 ovunque. L’ultimaasserzione segue dal fatto che se F e un’isometria, la matrice di dF su duequalsiasi basi ortogonali e una matrice ortogonale, con determinante ±1.2

Data F : S → S′, l’insieme E dei punti P su cui |Jac(F )| = 1 e detto insiemedi equivalenza della mappa (interessante dal punto di vista geografico perche,per sottoinsiemi “vicini” ad E, le misure vengono deformate poco da F ).

♠ Esercizio 12.20 (Carta di Eratostene e di Lambert, o Archimede)Longitudine e latitudine (λ, ϑ) sulla sfera S2 corrispondono ad una mappaφ : R2 → S2 detta di Eratostene:

L’Antartide e davvero cosı esteso come appare dalla carta di Eratostene? E l’Italia, rispettoall’Africa, e piu grande o piu piccola di come risulta dalla carta?

(i) mostrare che la carta di Eratostene non e un’equivalenza (ne lo e una suarestrizione iniettiva), ne un’equivalenza locale, e trovare l’insieme di equivalenza.

La carta di Lambert (o di Archimede) e ottenuta da quella di Eratostene es-eguendo una riparametrizzazione (crescente, non lineare) z = z(ϑ) dell’asse ϑ,in modo che le aree vengano conservate:(ii) Trovare z(ϑ) e scrivere esplicitamente la carta di Lambert ψ : R2 → S2.

(iii) Mostrare che la carta di Lambert e ottenuta proiettando ogni punto P ∈ S2

sul cilindro C tangente a S2 lungo l’equatore, nella direzione della retta per Portogonale all’asse z, quindi sviluppando il cilindro sul piano: essa corrispondecioe a prendere su S2 coordinate cilindriche (longitudine e altezza λ, z).


(iv) Mostrare che l’area di una calotta sferica di altezza h (porzione di sferatagliata da due piani paralleli a distanza h) dipende solo da h; utilizzare questaosservazione per capire intuitivamente (cioe senza usare il calcolo di |Jac(ψ)|)perche ψ preserva le aree.

La proprieta di equivalenza rende la carta di Lambert adatta a studi geografico-statistici.

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