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Cristian Secchi Pag. 1

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLOLaurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

STRUMENTI MATEMATICI PER L’ANALISI STRUMENTI MATEMATICI PER L’ANALISI DEI SISTEMI DISCRETIDEI SISTEMI DISCRETI

Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522235

e-mail: [email protected]://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

Richiami di Controlli AutomaticiRichiami di Controlli Automatici

Il comportamento ingresso-uscita dei sistemi a tempo continuo può essere descritto da equazioni differenziali, che in generale hanno la forma:

Molti sistemi di interesse possono essere descritti da equazioni differenziali lineari a parametri concentrati caratterizzate dalla seguente forma semplificata.

ITSC02 -- 2Cristian SecchiIngegneria e Tecnologie dei

Sistemi di Controllo

I sistemi descritti da queste equazioni sono detti sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI).

Se il sistema che si sta modellando è caratterizzato da un solo ingresso e una sola uscita, si parlerà di sistemi single input single output (SISO).



Nel corso di Controlli Automatici sono stati trattati sistemi LTI SISO.

E’ possibile passare da una rappresentazione nel dominio dei tempi a una nel dominio complesso e viceversa tramite le operazioni di Trasformata e Antitrasformata di LaplaceTrasformata e Antitrasformata di Laplace.



Il vantaggio principale nel passare al dominio complesso è che un’equazione differenziale viene trasformata in un’equazione algebrica più semplice da gestire.


Un sistema LTI-SISO può essere descritto nel dominio complesso tramite una Funzione di Trasferimento.



La rappresentazione mediante funzione di trasferimento è molto “comoda” e ha consentito di sviluppare un’analisi approfondita del comportamento del sistema, un’analisi delle specifiche e svariate tecniche per il progetto di controllori.



Gc(s) Gp(s)r(t) e(t) y(t)u(t)

Lo schema di controllo finale è:

-

Sia il plant che il controllore sono rappresentati da funzioni di trasferimento e, quindi, sono sistemi a tempo continuo. Ma l’azione di controllo deve essere implementata su un calcolatore che è un sistema a tempo discreto



discreto…

Occorre sviluppare un framework per la modellazione dei sistemi discreti in modo da poter costruire un’azione di controllo che sia implementabile su di un sistema a microprocessore.

Descrizione di Sistemi a tempo discretoDescrizione di Sistemi a tempo discreto

Equazioni

SISTEMI SISTEMI TEMPOTEMPO--CONTINUICONTINUI

Equazioni alle

SISTEMI SISTEMI TEMPOTEMPO--DISCRETIDISCRETI

Equazioni differenziali

Trasformata di

Equazioni alle differenze

Trasformata ZDD//AA

AA//DD



Laplace Trasformata Z


Equazioni alle differenzeEquazioni alle differenze

El b i

Si supponga di voler elaborare una sequenza di dati discreti ek=e(kT), con k=1,2,…, per ottenere una sequenza uk=u(kT).

Elaborazione

In generale:

Se la funzione f(·) è lineare e dipendente solo da un valore finito di valori i di d l’ l b i ò d



equazione lineare alle differenze di ordine n

passati di uk ed ek, l’elaborazione può essere rappresentata da:

Soluzione delle equazioni alle differenzeSoluzione delle equazioni alle differenze

Condizioni iniziali:

Trovare la soluzione delle equazioni alle differenze è semplice. Basta conoscere le condizioni iniziali. Si consideri ad esempio:

iniziali:

15

20

25

30

35



0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

5

10



Nel caso generale, si ipotizza che la sequenza soluzione sia nella forma:

Sostituendo la soluzione candidata nell’equazione si ottiene:q

Dividendo per czk si ottiene



Poiché l’equazione è lineare, si ha che la combinazione lineare di due soluzioni è ancora una soluzione. Quindi

è ancora una soluzione


Le costanti c1 e c2 si determinano imponendo specifiche condizioni iniziali.

da cui



da cui


Soluzione delle equazioni alle differenzeSoluzione delle equazioni alle differenzeL’equazione che si ottiene dopo la sostituzione uk=zk è detta equazione equazione caratteristicacaratteristica dell’equazione alle differenze.

Se una delle radici dell’equazione caratteristica ha modulo maggiore di 1, allora la corrispondente equazione alle differenze è instabile (cioè la sua soluzione divergerà al crescere del tempo per qualsiasi condizione iniziale finita).

Se tutte le radici dell’equazione caratteristica hanno modulo minore di 1, allora la corrispondente equazione alle differenze è stabile (cioè la sua soluzione convergerà a 0 al crescere del tempo per qualsiasi condizione iniziale finita).

instabileinstabile



1

stabilestabile

instabileinstabile

Equazione caratteristicaEquazione caratteristica

L’ equazione caratteristicaequazione caratteristica (associata all’equazione) è data da



L’equazione alle differenze è instabile. Infatti la soluzione è divergente


La trasformata ZLa trasformata Z

La trasformata Z è un metodo utilizzato per studiare i sistemi discreti. Essa rappresenta essenzialmente l'analogo della trasformata di Laplace per i sistemi continui.

DEFINIZIONE: Sia data una sequenza di valori xk ∈ R definita per k =DEFINIZIONE: Sia data una sequenza di valori xk ∈ R, definita per k = 0, 1, 2,… e nulla per k < 0. La Z-trasformata (unilatera) della sequenza xk è la funzione di variabile complessa z definita come:



La Z-trasformata è definita in una regione del piano complesso zdetta dominio di convergenza, cioè nell'insieme dei punti z per i quali la serie converge.

La trasformata ZetaLa trasformata Zeta

Nel caso in cui la sequenza di valori xk sia ottenuta campionando uniformemente con periodo T un segnale continuo descritto dalla funzione x(t), t ≥ 0, si avrà che xk = x(kT) (o più semplicemente xk = x(k), k = t/T = 0, 1, 2, … ) e corrispondentemente si scriverà

DIPENDE DAL PERIODO (T) DIDIPENDE DAL PERIODO (T) DI



DIPENDE DAL PERIODO (T) DI DIPENDE DAL PERIODO (T) DI CAMPIONAMENTOCAMPIONAMENTO


La ZLa Z--trasformatatrasformata

Nei casi di interesse ingegneristico, X(z) ha una espressione razionale fratta

p1, p2, …, pn sono i poli di X(z) mentre z1,z2,…,zm sono gli zeri di X(z)




Raccogliendo zn sia al numeratore che al denominatore si ottiene una rappresentazione più utilizzata nelle applicazioni controllistiche in cui compaiono solo potenze di z-1:

Il termine z-k è interpretabile come un ritardo



zz--kk →→ ritardo di t = kTritardo di t = kT


La ZLa Z--trasformata trasformata –– Funzioni elementariFunzioni elementari

• Impulso discreto unitario. Sia data la funzione, detta anche funzione delta di Kronecker δ0(t):

• Gradino unitario. Sia data la funzione



Serie convergente per |z| > 1


• Rampa unitaria. Si consideri la funzione rampa unitaria:

Poichè x(kT) = kT, k = 0, 1, 2, …, la Z-trasformata è



Serie convergente per |z| > 1



• Funzione potenza ak. Sia data la funzione:

a costante reale o complessa

Dalla definizione si ha



Serie convergente per |z| > a


• Funzione esponenziale. Sia data la funzione:

a costante reale o complessa

Poichè x(kT) = e-akT, k = 0, 1, 2, …, si ha



Convergente per |z| > e-Re(a)T



• Funzione sinusoidale. Sia data la funzione:

Dalle formule di Eulero:



Convergente per |z| > 1


• Funzione cosinusoidale. Sia data la funzione:

Analogamente a prima, con le formule di Eulero



Convergente per |z| > 1



Le trasformate delle funzioni di maggior interesse sono solitamente riportate in tabelle che vengono consultate per la determinazione di Z-trasformate di funzione generiche, in modo analogo a quanto avviene per le tabelle delle trasformate di Laplace.

Tramite le tabelle si possono determinare le Z-trasformate di funzioni di maggior complessità, scomponendo tali funzioni in somme di funzioni più semplici e ricomponendo successivamente le corrispondenti Z-trasformate.

Esempio: Determinare la Z-trasformata di



Tabelle delle ZTabelle delle Z--TrasformateTrasformate




Tabelle delle ZTabelle delle Z--TrasformateTrasformate




• Dato un segnale x(t) e il periodo di campionamento T, si ottiene una unica X(z)

• A una X(z) possono corrispondere molte funzioni continue x(t)• Questa ambiguità non sussiste se sono verificate le condizioni

restrittive su T del teorema di Shannonrestrittive su T del teorema di Shannon

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0,

y1

x x x x x x



0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

y0

t (s)


La ZLa Z--trasformata trasformata –– Teoremi e proprietTeoremi e proprietàà

• Linearità: La Z trasformata è un operatore lineare

• Moltiplicazione per ak: Siano X(z) la Z-trasformata di x(t) e a una costante. La Z-trasformata di akx(k) è data da X(a-1z):




• Teorema della traslazione nel tempo: Sia dato un segnale x(t), nullo per t<0, e sia X(z) = Z[x(t)]. Per n = 0, 1, 2, … si ha che:

ritardo

anticipo

In pratica spesso si scrive, con un certo abuso di notazione:



CS1

Diapositiva 28

CS1 Fare le dimostrazione del ritardo se c'è tempo. Ripassarla a pagina 26 del libroCris; 21/12/2005



Teorema del valore iniziale: Se X(z) = Z[x(t)] ed esiste

allora il valore iniziale x(0) di x(t) è dato da:



Infatti si ha che:


Teorema del valore finale: Sia X(z) = Z[x(t)] e siano tutti i poli di X(z) entro al cerchio unitario, con al più un polo semplice in z =1. Allora il valore finale di x(k), cioè il valore di x(k) per k→∞ è dato da:



CS2

Diapositiva 30

CS2 Se c'è tempo fare la dimostrazione (pagine 27-28)Cris; 21/12/2005



• Esempio: Si consideri il segnale descritto da



X(kT) = 0, 0.5000, 1.2500, 1.6250, 1.8125, 1.9063, 1.9531, 1.9766, 1.9883,1.9941, 1.9971, 1.9985, 1.9993, 1.9996, 1.9998, 1.9999, 2.0000, 2.0000, ….

(T = 1 sec)


• Differenziazione complessa

Da cui si deduce che:



Questa relazione permette di calcolare Z-trasformate di funzioni a partire da Z-trasformate già note.



Esempio: Gradino unitario. La Z-trasformata del gradino unitario è

Si può usare il teorema della differenziazione complessa per calcolare la Z-trasformata della rampa unitaria x(kT) = kT:




Integrazione complessa: Si consideri la sequenza

dove x(k)/k è finito per k=0 e sia Z[x(k)]=X(z). La Z-trasformata di x(k)/k è data da:





Teorema della convoluzione reale: Siano date due funzioni x1(t) e x2(t), con x1(t) = x2(t) = 0 per t< 0, e siano X1(z) e X2(z) le corrispondenti Z-trasformate. Allora:



La antitrasformata ZLa antitrasformata Z

X(z) x(k)

La relazione tra X(z) e x(k) è biunivoca: è possibile ottenere la sequenza di dati x(k) a partire dalla X(z) e viceversa.

L’antitrasformata Z permette di passare da una Z-trasformata X(z) alla corrispondente sequenza x(k).

Esistono diversi metodi per antitrasformare una funzione X(z)

Metodo della lunga divisione



• Metodo della lunga divisione• Metodo computazionale• Metodo della scomposizione in fratti semplici• Metodo dell’integrale di inversione


La antitrasformata ZLa antitrasformata Z

x(k) x(t)

La corrispondenza tra la sequenza campionata xk e il segnale originale

1 .4

1 .6

1 .8

2

La corrispondenza tra la sequenza campionata xk e il segnale originale x(t) NON è biunivoca. Se è soddisfatto il Teorema di Shannon sul campionamento, la funzione continua x(t) può essere determinata univocamente a partire dalla sequenza xk.



0 2 4 6 8 1 0 1 20

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

y0

, y

1

t (s )

x x x x x x

La antitrasformata Z La antitrasformata Z –– Il metodo computazionaleIl metodo computazionale

Si consideri ad esempio la seguente Z trasformata:

Essa può essere riscritta come:

D U( ) è l Z t f t d ll’i l it i di t l 1



Dove U(z) è la Z-trasformata dell’impulso unitario discreto e vale 1



Considerando l’operatore z-1 come un ritardo unitario possiamo riscrivere l’espressione precedente sotto forma di equazione alle differenze:

da cui

Le condizioni iniziali, necessarie per risolvere l’equazione alle differenze, sono:




La soluzione dell’equazione alle differenze ci dà i termini della sequenza x(kT)

Si tt li t i i lt ti i i tt ti il t d d ll l



Si ottengono gli stessi risultati numerici ottenuti con il metodo della lunga divisione. Il vantaggio di questo metodo è che l’equazione alle differenze da risolvere per trovare la sequenze può essere facilmente scritta in forma ricorsiva in qualsiasi linguaggio di programmazione.


La antitrasformata Z La antitrasformata Z –– fratti semplicifratti semplici

E’ l’analogo nel discreto della tecnica della scomposizione in fratti semplici utilizzate con le trasformate di Laplace. Infatti, poichè la Z-trasformata è un operatore lineare, è possibile scomporre l'espressione di una X(z) in termini elementari, dai quali si può ricavare l'antitrasformata tramite

ìtabelle, e sommare i vari elementi così ottenuti.

In gerale, sia data una Z-trasformata:



Per prima cosa occorre calcolare i poli, le radici del polinomio A(z) e riscrivere X(z) come:


CASO 1: Tutti i poli di X(z) sono semplici

In questo caso si pone:

dove i coefficienti ci sono detti residui e sono dati da:





• Se in X(z) vi è almeno uno zero nell’origine, si usa X(z)/z:

• Quando sono presenti poli complessi coniugati, i coefficienti ci sono anch'essi complessi. In questo caso si ricorre alle formule di Eulero per ottenere funzioni trigonometriche a coefficienti reali.

L’espressione della sequenza x(k) è in forma chiusa ed è data da:




CASO 2 – Vi sono poli multipli in X(z) o in X(z)/zSiamo nella situazione in cui si ha:

Possiamo scrivere

Dove i residui si calcolano mediante la seguente formula:



Dove i residui si calcolano mediante la seguente formula:



• Esempio: Calcolare l'antitrasformata della funzione

• I due poli risultano z1 = 1 e z2 = 0.6. Inoltre, la X(z) puo` essere scritta come

• Si utilizza quindi la X(z)/z

da cui

• Dalle tabelle si ha quindi che



q


• Esempio: Antitrasformare la funzione

• Si ha che

e quindi



e


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