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M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1 1

Ingegneria dei Sistemi Elettrici

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria ElettricaFacoltà di Ingegneria-Università di Cagliari

A.A. 2009/2010 60 ore equivalenti a 6 crediti -II semestre

Docente: Prof.ssa Mariangela UsaiUltima modifica(01/03/2010)


Ing. Mariangela Usai

Assistant Professor Electrical and Electronics Engineering Dept. –University of Cagliari Piazza d'Armi - 09123 Cagliari - Italy Phone:+39 70 675 5898, Fax: + 39 (70) 675-5900 Mobile Phone : 320 4373026E_mail : [email protected]

Sito di riferimento:http://www.diee.unica.it/Elettrotecnica


Ingegneria dei Sistemi Elettrici_1

Teoria Teoria è la sintesi delle cognizioni acquisite mediante osservazioni, misure ed elaborazioni matematiche.

Storicamente le relazioni circuitali (come la legge di Ohm, principi di Kirchhoff, legge di Joule, teorema di Boucherot etc.) sono state introdotte prima e successivamente con metodo induttivo, esse sono state estese in modo da poterle applicare ai fenomeni più generali che descrivono i campi .

Ne consegue che:le relazioni circuitali sono semplicemente espressioni particolari delle equazioni dei campi e possono essere dedotte da esse.


Campo

In generale un campo è definito come la distribuzione spaziale di una quantità, che può essere o non essere funzione del tempo.

Esempi di campi:

Campo gravitazionale ad ogni punto del campo si associa l’energia immagazzinata ( grandezza scalare) in una massa unitaria, sollevata al disopra della superficie terrestre compiendo su di essa un lavoro.Campo termico espresso in funzione della temperatura (grandezza scalare) misurata in ciascun punto del mezzo. Campo di forze espresse attraverso un vettore definito con modulo direzione, verso e punto di applicazione.


La teoria elettromagnetica o l’elettromagnetismo è lo studio degli effetti delle cariche elettriche a riposo e in movimento.

Le cariche elettriche possono essere positive o negative e entrambe sono sorgenti di campi elettrici.

Le cariche in movimento producono una corrente, che fa nascere un campo magnetico.


La teoria elettromagnetica è indispensabile per comprendere i principi di diversi fenomeni fisici

Sono di seguito riportati alcuni esempi di applicazioni:•Oscilloscopi a raggi catodici,•Radar e Comunicazione satellitare,•Ricezione televisiva,•Telerilevamento,•Telecomunicazione,•Radio astronomia,•Dispositivi a microonde,•Comunicazione con fibre ottiche,•Transitori nelle linee di trasmissione,•Problemi di compatibilità elettromagnetica,•Sistemi di atterraggio strumentale per la guida del pilota in casi di visibilità limitata,•Atom smashers or particle accelerators (subatomic particles),•Conversione della energia elettromeccanica.•Studio del funzionamento del corpo umano e animale e così via.


Un campo elettrico variabile nel tempo è accompagnato da un campo magnetico e viceversa.

I campi magnetico ed elettrico tempo varianti sono accoppiatie costituiscono un campo elettromagnetico.

In certe condizioni, i campi elettromagnetici tempo dipendenti, producono onde che si irradiano dalla sorgente che li ha generati.

I concetti di campi e onde sono essenziali nella spiegazione di azioni a distanza.


Il concetto di circuito rappresenta una versione restrittiva

o un caso particolare del concetto di elettromagnetismo.

L’ ipotesi che sta alla base del modello circuitale è che:

le dimensioni d’interesse siano sufficientemente

piccole da poter essere trascurate.


L’ipotesi di • assenza di dimensioni è del tutto equivalente a quella di• velocità di propagazione del fenomeno elettromagnetico infinita

oppure a quella di• tempo nullo di trasmissione del fenomenoelettromagnetico da un punto all’altro della regionedi interesse.

Con la teoria circuitale è possibile trattare i sistemi a parametri concentrati con una notevole semplificazione nella risoluzione dei problemi.


La formulazione delle ipotesi di “costanti concentrate “riguarda il tempo impiegato dal campo elettromagnetico per spostarsi da un punto all’altro della regione di interesse.

Affinché tale tempo possa essere considerato trascurabile, deve essere molto piccolo se confrontato con l’entità delle variazioni temporali delle grandezze elettriche tipiche della applicazione considerata.


Se fmax è la frequenza massima relativa alla banda di frequenza degli spettri delle grandezze elettriche, il minimo intervallo di tempo relativo a una variazione temporale di una grandezza elettrica, che è possibile apprezzare:

mentre il tempo impiegato dal campo per propagarsi da un punto all’altro del circuito risulta sempre:

L dimensione massima nella direzione d’interesse.velocità di propagazione nel mezzo della regione del campo

maxmin 2

1f

t =

vLt =

1v= µε


Il tempo impiegato dal campo per propagarsi da un punto all’altro del circuito, deve risultare minore del minimo intervallo di tempo relativo a una variazione temporale di una grandezza elettrica che èpossibile apprezzare:

t<< tmin, ossia

Se si considera la lunghezza d’onda relativa alla frequenza massimadeve essere:

12 2

1 maxmax

min <<⇒<<⇒<< fvL

fvLtt

maxmax

2 λ=<<f

vL


Esempi

PremessaIn una linea la velocità di propagazione del segnale dipende dal mezzo che circonda i conduttori e in cui si propagano il campo elettrico e magnetico.

Le costanti µ0 e ε0 del vuoto e la velocità di propagazione nel vuoto c sono rispettivamente uguali a:

[H/m] 10π4µ 7o

−×=

[F/m] 10854.81036

1c

1 129

o2o

−− ×≅×≅=πµ

ε

[m/s] 103µε

1c 8

oo×≅=


Esempi

Linee aereaLe costanti µ e ε dell’aria si possono considerare uguali a quelle del vuoto per cui la velocità v risulta di trasmissione è uguale a quella del vuoto co = 3*108 m/s

km 6000 50103 2

8==

⋅=<< aerealineaf

vL λ


Quindi, essendo

si ha che:

•una linea aerea lunga 100 m alimentata in regime sinusoidale a frequenza industriale (50 Hz), può essere studiata con un modello circuitale a parametri concentrati, mentre la stessa linea lunga 100 m, se utilizzata per trasmettere dei segnali a 6MHz deve essere studiata con un modello a parametri distribuiti , infatti:

km 6000 50103

8

50Hz fper aerea linea =⋅

=== fvλ

0m5 106103 6

8

6MHz fper aerea linea =⋅⋅

=== fvλ


Linea in cavomentre la lunghezza d’onda λ è un po più piccola per quelle con dielettrico diverso dall’aria v ≈ 2 *108 m/s. Infatti nei dielettrici, la permettività relativa εr varia tra 2÷5, mentre la permeabilità relativa µr=1

km 400050102

8=

⋅==

fv

cavoλ


Per un circuito audio ad alta fedeltà la frequenza più alta èfmax ≈ 25 kHz

Le dimensioni del circuito sono molto più piccole della lunghezza d’onda, si può utilizzare il modello a parametri concentrati

Per un circuito a microonde fmax =3 GHz÷300 GHz

Le dimensioni del circuito sono molto più grandi della lunghezza d’onda, per cui si deve usare il modello a parametri distribuiti.

km 12 1025103 3

8

=⋅⋅

==fv

audiocircuitoλ

m 001.01.0 10300103

103 99

8

microonde ÷=⋅÷⋅

⋅==

fvλ


Il concetto di circuito rappresenta una versione restrittiva o un caso particolare del concetto di elettromagnetismo.

La teoria circuitale tratta soprattutto i sistemi a parametri concentrati e le equazioni risolutive sono equazioni differenziali ordinarie.e

La teoria elettromagnetica tratta i sistemi a parametri distribuiti e le equazioni risolutive sono generalmente equazioni differenziali alle derivate parziali.


I circuiti sono costituiti da• elementi a parametri concentrati come le resistenze, le

induttanze e le capacità, mentre • le tensioni e le correnti sono le variabili principali del sistema

(grandezze concrete o globali)

Nei circuiti in corrente continua (cc):le variabili del sistema sono costanti e risultano determinabili con equazioni algebriche.

Nei circuiti in corrente alternata (ac):le variabili del sistema sono tempo dipendenti: esse sono quantità

scalari e indipendenti dalle coordinate spaziali e le equazioni risolutive sono equazioni differenziali ordinarie.


La maggior parte delle variabili introdotte nella teoria elettromagnetica sono funzioni del tempo e delle coordinate spaziali.Per definire la maggior parte di queste variabili si utilizzano le grandezze vettoriali: i vettori e la loro trattazione richiede la conoscenza dell’algebra e del calcolo vettoriale.

Anche nei casi statici le equazioni risolutive sono generalmenteequazioni alle derivate parziali.

La finalità della teoria dell’elettromagnetismo consiste nel saper creare e trattare un modello elettromagnetico e le relative formule di risoluzione.


Equazioni di Maxwell

Le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo sono espresse dalle Equazioni di Maxwell, che descrivono analiticamente come:ogni variazione del campo elettrico o magnetico nello spazio

presuppone

l’esistenza o la variazione nel tempo, di un campo di altro tipo (magnetico o elettrico) nello stesso punto.


Le Equazioni di Maxwell, corredate • dalle equazioni di continuità che esprimono il principio di

conservazione della carica elettrica e • dalle relazioni costitutive consentono di studiare e risolvere

problemi inerenti i campi, di qualunque natura essi siano.

La risoluzione analitica di tale modello matematico presenta notevoli difficoltà per la complessità di risoluzione e l’entitàdei calcoli.

Attualmente si tende risolvere tali problemicon metodi numerici, mediante efficienti e accurati codici di

calcolo:(Maxwell, Ansys, FEM, COMSOL e altri).


Il modello matematico per la risoluzione dei campi può essere descritto mediante le seguenti Equazioni di Maxwell

in forma differenziale vettoriale e in forma integrale vettoriale

Legge di Faraday

Legge di Ampere

Legge di Gauss

tδB δE −=×∇

tδD δJH +=×∇

ρ=⋅∇ D

0B =⋅∇

t ddldE

C

Φ−=⋅∫

∫ ∫ ⋅∂∂

+=⋅C S

sdtDIldH

QsdDS

=⋅∫

0sdBS

=⋅∫


Le grandezze vettoriali basilari per lo studio dei campi

Campo elettrico [V/m]

Induzione magnetica [T]

Campo magnetico [A/m]

Spostamento elettrico [C/m2]

Densità di corrente [A/m2]

Tali grandezze sono grandezze puntuali ed esprimibili vettorialmente.

E

B

H

D

J


Tali grandezze vettoriali sono inoltre legate tra loro dalle seguenti equazioni costitutive del mezzo, determinate dalle proprietà del mezzo:

dove: permettività [F/m]

permeabilità magnetica [H/m]

conducibilità elettrica [S/m]

densità volumica [C/m3]

del mezzo della regione spaziale in cui si manifestano i campi.

ED ε=

HB µ=

EJ γ=

ε

µ

γ

ρ


ε = ε0 εr è la permettività assolutaεr permettività relativaε0 permettività nel vuoto ossia la costante di

proporzionalità fra la densità di flusso elettrico e l’intensità del campo elettrico nel vuoto:

µ= µ0 µr è la permeabilità magnetica assolutaµ R permeabilità relativaµ 0 permeabilità nel vuoto, ossia la costante di

proporzionalità fra la densità di flusso magnetico e l’intensità del campo magnetico nel vuoto:

DE

E εD o=

BH

oo

Bµ1H =


Nel modello elettromagnetico ci sono tre costanti universali:εo µo e c dove c è la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche (compresa la luce) e

I valori di εo e di µo sono:• definiti dalla scelta del sistema di unità di misura e• non sono indipendenti.

Nel Sistema Internazionale (SI):

[H/m] 10π4µ 7o

−×=

[F/m] 10854.81036

1c

1 129

o2o

−− ×≅×≅=πµ

ε

[m/s] 103µε

1c 8

oo×≅=


Esistono due approcci fondamentali per lo studio dei campi e dell’elettromagnetismo:

• Approccio induttivo: si parte da leggi sperimentali che vengono generalizzate per essere poi sintetizzate nella forma delle equazioni di Maxwell,

• Approccio deduttivo: partendo dalle equazioni di Maxwell, si identifica ciascuna equazione con una appropriata legge sperimentale e si adattano le equazioni generali a condizioni o a situazioni statiche o tempo varianti


In generale per lo studio un fenomeno scientifico attraverso la definizione di un modello ideale, sono previsti tre fasi fondamentali:

•I° fase: definizione di alcune grandezze fondamentali pertinenti al fenomeno in studio;

•II° fase: specificazione delle formule matematiche di queste grandezze;

•III° fase : definizione delle relazioni fondamentali con postulati o leggi


Per lo studio della teoria dell’elettromagnetismo attraverso la definizione di un modello ideale elettromagnetico, sono previsti tre fasi fondamentali:

•I° fase: definizione delle grandezze fondamentali dell’elettromagnetismo;

•II° fase: specificazione delle formule matematiche che legano queste grandezze (algebra e calcolo vettoriale ed equazioni alle derivate parziali);

•III° fase : definizione dei postulati fondamentali per i campi magnetici statici, campi magnetici permanenti e campi elettromagnetici


I postulati e le leggi sono basati su numerose osservazioni sperimentali acquisite in condizioni controllate e efficacementesintetizzate.Le grandezze del modello matematico possono essere suddivise grossolanamente in due categorie:•Le grandezze sorgenti ( cariche elettriche invariabili: fisse o in movimento) e•Le grandezze del campo generato dalle sorgenti.

La carica elettrica si indica con la lettera q o Q.Essa è una proprietà fondamentale della materia ed esiste come multiplo positivo o negativo della carica elettrica elementare di un elettrone –e

[C] 1060.1e 19−×=


Il principio della conservazione della carica elettrica è un postulato o legge fondamentale della fisica che stabilisce che la carica elettrica è conservativa, cioè che non può essere ne creata ne distrutta.

Tale principio deve essere soddisfatto sempre e in qualunque circostanza ed è rappresentato matematicamente attraverso l’equazione di continuità.

Il primo principio di Kirchhoff della teoria circuitale afferma la proprietà di conservazione della carica elettrica, ossia che non c’è accumulo di cariche in una connessione.


Si definisce densità di carica volumica ρ:

dove ρ è la quantità di carica in un volume molto piccolo ∆v.

In alcune situazioni fisiche una quantità di carica ∆q può essere identificata con un elemento di superficie s o di linea l , in questi casi si definisce la densità di carica superficiale ρs :

o la densità di carica lineare ρl :

][C/m ∆v∆qlimρ 3

0∆v→=

[C/m] ∆l∆qlimρ

0∆ll

→=

][C/m ∆s∆qlimρ 2

0∆ss

→=


Le densità di carica definite variano generalmente da punto a punto con le coordinate spaziali.

La corrente I è velocità della variazione della carica rispetto al tempo, cioé:

In elettromagnetismo di definisce la densità di correnteche misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l’unità di superficie normale alla direzione del flusso di corrente.

è un vettore di ampiezza pari alla corrente per unità di superficie [A/m2] la cui direzione e verso sono quelle del flusso di corrente.

[A] o [C/s] dtdqI =

J

J

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