Statistica

Lezione 8

a.a 2011-2012

Dott.ssa Daniela Ferrantedaniela.ferrante@med.unipmn.it

Università degli Studi del Piemonte OrientaleCorso di Laurea in Infermieristica

Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Serviz i sanitari

22

Tabelle di contingenza

La tabella seguente presenta la frequenza di osservazioni, categorizzate secondo due variabili

Risultato

Farmaco Curato Non curato Totale

A a b a+b

B c d c+d

TOTALE a+c b+d a+b+c+d

33

La seguente notazione è più generale e si applica a tabelle di qualsiasi dimensione

Tabelle di contingenza

Risultato

Farmaco Curato Non curato Totale

A n11 n12 n1.

B n21 n22 n2.

TOTALE n.1 n.2 n..

44

Si noti che, una volta definito un valore per una delle quattro celle, resta definito anche il valore delle celle restanti, fissati i totali marginali.

In altri termini, in una tabella 2*2 una sola delle celle èlibera di assumere qualsiasi valore, le restanti sono fissate dai totali marginali.

Il numero di celle libere corrisponde al numero di gradi di libertà (g.l. o d.f.).

Tabelle di contingenza

55

Gradi di libertà

Il numero di gradi di libertà in una tabella r * c è dato da:g.l. = (n.righe-1) * (n.colonne-1)

Le tabelle 2*2 hanno quindi 1 grado di libertà.

66

L’analisi di una tabella di contingenza prevede:

� Il calcolo di indicatori di associazione tra le due variabili

� La valutazione della probabilità di osservare la tabella in esame data l’ipotesi nulla (test di significatività).

Tabelle di contingenza

77

Esaminiamo dapprima il caso delle tabelle 2*2

Malattia

Caso Controllo Totale

Esposizione Presente a b a+b

Assente c d c+d

Totale a+c b+d a+b+c+d

Tabelle di contingenza

88

Odds ratio

La misura di associazione usata più frequentemente è l’Odds Ratio (Rapporto Crociato), abbreviato con OR.

Come Odd intendiamo il rapporto: (probabilità a favore / probabilità contrarie).

99

L’odd di malattia tra i soggetti con esposizione è il rapporto tra le due probabilità condizionate: P(Malattia|Esposizione) e P(Non_malattia|esposizione).

Odd(M|E)= [a/(a+b)] / [b/(a+b)] = a/b

In modo analogo si ottiene l’odd di malattia tra i soggetti senza esposizione come rapporto tra le due probabilitàcondizionate P(Malattia|Non_Esposizione) e P(Non_malattia|Non_esposizione).

Odd(M|Non_E)=[c/(c+d)] / [d/(c+d)] = c/d

Odds ratio

1010

Odds Ratio (OR) è il rapporto tra i due odds:

OR = (a/b)/(c/d) = (a*d) / (c*b)

L’intervallo di valori validi per OR è:

0 <= OR <= ∞

Odds ratio

1111

Esempio 1

Un campione di 500 studenti ha partecipato ad uno studio volto a valutare il livello di conoscenza di un certo gruppo di malattie comuni da parte di studenti universitari dei primi anni di medicina

Tipo di facoltà Conoscenza delle malattie

Buona Scarsa Totale

Medicina 31 91 122

Altro 19 359 378

TOTALE 50 450 500

1212

OR (Medicina vs. Altro) = (31 * 359) / (91 * 19) = 6,4

Interpretazione:

Le due variabili sembrano associate: la probabilità di conoscere le malattie è 6,4 volte maggiore per gli studenti di medicina che per gli iscritti ad altre facoltà

Esempio 1

1313

Intervallo di confidenza dell’odds ratio

IC (ln(OR)) = ln(OR) ± Zα/2 * ES(ln(OR))

ln(OR) = logaritmo in base “e” dell’Odds Ratio

dcbaORES

1111))(ln( +++=

e ORESORORIC ))(ln(*)ln(2)( Ζ±= α

1414

Esempio 1

α = 0,05 da distribuire nelle due code poichè l' intervallo di confidenza è bilaterale

I.C.95%: e(1,86 - 1,96 * 0,31) ; e(1,86 + 1,96 * 0,31)

I.C.95%: (3,50; 11,79)

31,0359/119/191/131/1))(ln( =+++=ORES

1515

Test di ipotesi

Nell' analisi di tabelle di contingenza l'ipotesi di lavoro di solito corrisponde all'associazione tra le due variabili mentre l'ipotesi nulla corrisponde all'assenza di associazione.

H0: le variabili non sono associate (quindi OR=1)

1616

Test chi-quadro

Il test statistico misura la probabilità di osservare una tabella come quella data (o più estrema) se vale l'ipotesi nulla.

Il test adottato è il Chi-quadro (χ2).

Questo test fornisce la probabilità (data l’ipotesi nulla) di osservare una tabella come quella in esame o una tabella più ‘estrema’.

1717

( )∑

−=

attattoss

2

2χ

χ2= (a-E(a)) 2 + (b-E(b))2 + (c-E(c)) 2 + (d-E(d)) 2

E(a) E(b) E(c) E(d)

Test chi-quadro

1818

Calcolo del numero di osservazioni attese

Conoscenza delle malattie

Facoltà Buona Scarsa Totale

Medicina E(a) = (a+b)*(a+c)/T E(b)=(a+b)*(b+d)/T a+b

Altro E(c ) = (c+d)*(a+c)/T E(d)=(c+d)*(b+d)/T c+d

TOTALE a+c b+d T

Test chi-quadro

1919

Come si usa il valore χ2 ?

Il valore di probabilità corrispondente al valore della statistica χ2 si legge su apposite tabelle, dato il valore di χ2 ed il numero di gradi di libertà.

Ponendo alfa=0.05 e considerando 1 grado di libertà(essendo la tabella 2x2) otteniamo:

Test chi-quadro

2020

Distribuzione Chi quadrato

Probabilità 0,001 0,01 0,025 0,05 0,1

gradi libertà 1 10,83 6,64 5,02 3,84 2,71

2 13,82 9,21 7,38 5,99 4,61

3 16,27 11,35 9,35 7,82 6,25

4 18,47 13,28 11,14 9,49 7,78

5 20,52 15,09 12,83 11,07 9,24

6 22,46 16,81 14,45 12,59 10,65

7 24,32 18,48 16,01 14,07 12,02

8 26,13 20,09 17,54 15,51 13,36

9 27,88 21,67 19,02 16,92 14,68

10 29,59 23,21 20,48 18,31 15,99

11 31,26 24,73 21,92 19,68 17,28

12 32,91 26,22 23,34 21,03 18,55

13 34,53 27,69 24,74 22,36 19,81

14 36,12 29,14 26,12 23,69 21,06

15 37,70 30,58 27,49 25,00 22,31

16 39,25 32,00 28,85 26,30 23,54

17 40,79 33,41 30,19 27,59 24,77

18 42,31 34,81 31,53 28,87 25,99

19 43,82 36,19 32,85 30,14 27,20

20 45,32 37,57 34,17 31,41 28,41

per numeri di g.l. superiori a 20 usate la riga corrispondente a 20

2121

Tipo di facoltà Conoscenza delle malattie

Buona Scarsa Totale

Medicina 31 91 122

Altro 19 359 378

TOTALE 50 450 500

2222

Calcolo i valori attesi:

Conoscenza delle malattie

Facoltà Buona Scarsa Totale

Medicina E(a) = 12,2 E(b) = 109,8 122

Altro E(c) = 37,8 E(d) = 340,2 378

TOTALE 50 450 500

2323

58,422,340

)2,340359(

8,37

)8,3719(

8,109

)8,10991(

2,12

)2,1231(2222

2 =−+−+−+−=χ

42,58 > 3,84 quindi rifiuto H0

P value < 0,001

2424

Distribuzione chi-quadro

3,841,98

0,050,05

2525

Tabelle R x C

L’estensione del calcolo di χ2 a tabelle con un maggior numero di righe e di colonne è semplice e si basa sulla formula:

Il numero di gradi di libertà si calcola come: (righe-1)*(colonne-1).

( )∑

−=

attattoss

2

2χ

2626

χχχχ2 esatto

La formula approssimata è valida quando il numero di osservazioni non è troppo piccolo

Quando la tabella ha un valore atteso minore di 5 in qualche

cella, si suggerisce di utilizzare la formula del χ2 esatto, sviluppata da Fisher.

Il test si basa sul calcolo della probabilità associata alla tabella osservata ed a ciascuna delle tabelle ‘più estreme’(cioè con indicatore di associazione maggiore di quello osservato nella tabella data)

2727

χχχχ2 esatto

Uso casco e traumi facciali negli incidenti con bicicletta

Con casco Senza casco Totale

Traumi facciali 2 (3) 13 (12) 15

Altri traumi 6 (5) 19 (20) 25

TOTALE 8 32 40

Fisher's Exact TestH0: π1 - π2 = 0

H1: π1 - π2 ≠≠≠≠ 0p-value = 0.69924

≠Alternative

> <

2828

Posso anche calcolare il valore di probabilità utilizzando una funzione di Excel: