statica vincoli
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CHAPTER 1
Statica delle Strutture
1.1 Analisi Cinematica di Sistemi Piani
I propositi dell’analisi Cinematica sono principalmente di accertare la presenza od assenza di labilitànelle strutture, intesa come possibilità di piccoli (infinitesimi) spostamenti rigidi dei componentidella stessa a partire dalla configurazione iniziale, e secondariamente di dare una guida alla scritturaefficiente delle equazioni di equilibrio.
Nel caso di un sistema piano di corpi rigidi, il numero dei gradi di libertà è pari a tre volte il numerodei componenti il sistema. Infatti ogni atto di moto nel piano può considerarsi come una rotazione
attorno ad un punto qualsiasi combinata con le due componenti di traslazione dello stesso. Nel casolimite di rotazioni infinitesime, lo spostamento uP di un generico punto P puo’ essere determinatoattraverso lo spostamento di un punto O di riferimento, uO, la rotazione Θ e il vettore che separa idue punti, (P −O), secondo la relazione
uP = uO + Θ ∧ (P −O) . (1)
Nel caso di rotazioni non nulle, quindi assenza di pura traslazione, la relazione sopra scritta puòessere usata per individuare un punto speciale, chiamato centro di istantanea rotazione (indicatocon la lettera Ω), che ha uno spostamento nullo. Tale punto non deve necessariamente appartenereal corpo rigido in esame ma può anche stare al di fuori dello stesso. In funzione delle coordinate delcentro di istantanea rotazione, gli spostamenti dei punti generici possono essere calcolati come
uP = Θ ∧ (P − Ω) . (2)
Dalle regole del prodotto vettoriale, lo spostamento del punto P risulta perpendicolare alla congiun-gente il punto stesso con il centro di istantanea rotazione. Da ciò si deduce la seguente regola pratica:
Se si conosce lo spostamento (o la possibilità di spostamento) di un punto di uncorpo rigido, il centro di istantanea rotazione deve stare sulla retta normale allospostamento condotta per il punto preso in considerazione.
La relazione Eq. 2 dice anche che gli spostamenti sono direttamente proporzionali (in modulo) alladistanza dal centro di istantanea rotazione. Nel caso di spostamenti nel piano, essendo la rotazioneΘ sempre perpendicolare al vettore (P − Ω), si può passare da una relazione vettoriale ad unarelazione tra i moduli,
|uP | = |Θ||(P − Ω)| . (3)
dalla quale si può trovare, oltre alla retta di appartenenza, la posizione di Ω sulla stessa, ovvero ladistanza di Ω da P :
|(P − Ω)| = |uP |
|Θ| (4)
Come si vede, se la rotazione tende a zero, la distanza tende all’infinito. E’ comune abitudine, inpresenza di traslazioni pure, parlare di un centro di istantanea rotazione all’infinito, includendo cosı̀questo caso speciale nella descrizione del moto data dalla Eq. 2.Nelle pagine che seguiranno, si adotterà la convenzione di designare con le lettere Ω e ω i centri dirotazione di moti assoluti o relativi rispettivamente; con Ω̄ e ω̄ gli insiemi di punti ai quali tali centripossono appartenere dipendemente dai vincoli ai quali un elemento strutturale è soggetto.
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1.2 Analisi della labilità strutturaleUna struttura o parte di struttura si dice non labile quando non sono possibili atti di moto di corporigido all’interno di essa. Questa condizione implica che, per ogni componente della struttura stessa,non esista un centro di istantanea rotazione assoluto o relativo ad altri componenti. La nonesistenza
dei centri di istantanea rotazione può essere provata solamente se si evidenziano delle condizioniincompatibili sulla loro posizione. Per prima cosa dunque è necessario andare ad esaminare lecondizioni sulla posizione del centro di istantanea rotazione che sono imposte dai vari tipi di vincolo.
I vincoli sono quegli strani oggetti che limitano le libertà di movimento di una struttura.Nella realtà possono essere cose abbastanza complesse (si pensi ai collegamenti tra le varie travi della struttura portante di un edificio in acciaio), dal nostro punto di vista tratte-remo soltanto delle idealizzazioni di questi oggetti. La semplificazione di un complicatovincolo reale ad una semplice entità astratta permette di fare delle analisi decentemente approssimate di strutture complesse, non considerando in dettaglio quello che accade nelle vicinanze dei vincoli stessi. L’analisi della situazione locale si può sempre effettuare dopoaver ottenuto informazioni sulla situazione globale della struttura.
1.2.1 Classificazione delle strutture
Una prima classificazione delle strutture si può fare in base al numero dei gradi di libertà, pari (nelpiano) a tre volte il numero dei corpi rigidi costituenti le stesse, e dei gradi di vincolo, che spiegheremopiù avanti come fare a valutare. Quando il numero dei gradi di libertà eguaglia il numero dei vincoli,la struttura si dice isostatica. Se il numero dei vincoli è maggiore o minore dei gradi di libertà,la struttura si definisce rispettivamente iperstatica o ipostatica. Se nella struttura possono esseretrovate possibilità di spostamenti di alcuni componenti delle stesse rispetto ad altri o rispetto ad unsistema di riferimento idealmente fisso, la struttura viene chiamata labile. Una struttura ipostatica èsempre labile, dato che il numero dei vincoli è inferiore al numero dei gradi di libertà; una strutturaisostatica o iperstatica può essere labile o non labile a seconda della distribuzione interna dei vincolistessi, come si vedrà più avanti.
1.2.2 Tipi di vincolo
I vincoli si definiscono come tripli, doppi o semplici a seconda del numero dei gradi di libert à che laloro presenza sottrae ad una struttura. Un vincolo triplo, sottraendo tutti i gradi di libertà di unelemento piano, impone la non esistenza del centro di istantanea rotazione; i vincoli doppi, lasciandoun grado di libertà, impongono che tale centro abbia una posizione ben definita mentre i vincolisemplici definiscono un insieme di punti al quale tale centro pu ò appartenere.
Vincoli tripli
I tipi di vincoli tripli nel piano sono due. Il primo è quello che si definisce di solito come incastro
e collega un elemento di struttura al sistema di riferimento idealmente fisso, impedendo qualsiasimovimento relativo tra i due. Il secondo tipo compare quando elementi di struttura si ripiegano suse stessi formando dei circoli chiusi. In tal caso l’elemento è definito come doppiamente connesso e lapresenza di questa continuità al suo interno equivale a tre gradi addizionali di vincolo. Nell’esempioriportato in figura, il caso B) ha un totale di tre gradi di libert à e di sei gradi di vincolo (tredall’incastro a terra e tre dalla doppia connessione). Come detto in precedenza, i vincoli tripliannullano ogni possibilità di moto, quindi impongono la non esistenza del centro di istantanearotazione del corpo rigido ad essi collegato.Vincoli doppiI vincoli doppi nel piano possono sottrarre le due componenti di traslazione ad un punto di un ele-mento strutturale (cerniera) oppure una componente di traslazione e quella complessiva di rotazione
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Fig. 1.1 Vincoli tripli nel piano.
(pattino o manicotto). Cinematicamente pattino e manicotto sono molto simili, differenziandosi so-lamente per la direzione dello spostamento che essi impediscono rispetto alla dimensione prevalentedegli elementi strutturali, cioè l’asse delle nostre travi ideali. I vincoli doppi, sottraendo due deitre gradi di libertà di un elemento piano, lasciano solo una possibilità di movimento che può essereuna rotazione (assoluta o relativa tra due elementi) attorno ad una cerniera o una traslazione se sitratta di un pattino o un manicotto. La libertà di traslazione assoluta o relativa, come accennato inprecedenza, si può anche considerare come una rotazione intorno ad un centro che si trova a distanzainfinita sulla retta perpendicolare al piano di scorrimento del vincolo che impedisce la rotazione.
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4) Pattini a terra ointerni
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Fig. 1.2 Vincoli doppi nel piano, con indicazione dei possibili centri di istantanea rotazione, assoluti(Ω) o relativi (ω).
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8/20/2019 statica vincoli
4/8
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8/20/2019 statica vincoli
5/8
1–6
pattino o un manicotto, si può dedurre che il centro di rotazione del movimento relativo deve trovarsisulla retta passante per la cerniera e perpendicolare al piano di scorrimento dell’altro vincolo. Seentrambi i vincoli di estremità sono vincoli che impediscono la rotazione, la rotazione relativa deglielementi collegati dalla biella deve essere nulla, come se il centro relativo si spostasse a distanza
infinita dal collegamento stesso.
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Fig. 1.5 Asta collegata a terra da cerniera e carrello: labile o non labile?
Esempio di analisi cinematica n. 1, Fig. 1.5: Nel tipico esempio dell’asta collegata a terrada cerniera e carrello, la presenza del carrello richiede che il centro di istantanea rotazione dell’asta
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8/20/2019 statica vincoli
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sia posto sulla perpendicolare al proprio piano di scorrimento, mentre la cerniera richiede che essocoincida con la propria posizione. Se quindi il punto ove è applicata la cerniera non appartiene allaperpendicolare al piano di scorrimento del carrello, le due condizioni sono chiaramente incompatibilie quindi non esiste il centro di rotazione e la struttura non è labile; è labile se la perpendicolare
al piano di scorrimento passa per la cerniera, perch̀e tale punto può essere centro di istantanearotazione per l’asta.
1.2.3 Tipologie di strutture semplici e loro analisi cinematica
Oltre all’asta vincolata da cerniera e carrello, esiste tutta una lista di personaggi che possono entrarea far parte della analisi cinematica di una struttura. La lista può essere inizialmente schematizzatacome segue:
• aste incastrate;
• aste vincolate da tre vincoli semplici;
• aste vincolate da cerniera e carrello, manicotto o pattino e carrello;
• archi a tre cerniere;• quadrilateri articolati;
• circoli chiusi isostatici;
• appendici isostatiche.
1.2.3.1 Aste incastrateLe aste incastrate non hanno alcun grado di libertà e quindi non sono labili per definizione. Lautilità di individuare, all’interno di una struttura, delle aste incastrate sta nel fatto che tutte lealtre parti di struttura ad esse collegate possono essere considerate come direttamente collegate alriferimento fisso; questo perchè le aste incastrate non si possono muovere.
1.2.3.2 Aste con tre vincoli semplici
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