AB C DE - annotazioni di Matematica Fisica Chimica ed ... · Edutecnica.it – Equazioni cardinali...

Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica

1

1

Esercizio no.1 ▄ soluzione a pag.10 Esegui il computo dei vincoli e definisci la struttura

C

D E

A B

R. [isostatica]

Esercizio no.2 ▄ soluzione a pag.10

Esegui il computo dei vincoli, dei gradi di libertà e definisci la struttura

A BR. [labile]


Esegui il computo dei vincoli, dei gradi di libertà e definisci la struttura

A D

C

B

R. [labile]


Esegui il computo dei vincoli e definisci la struttura

B

A

C

R. [una volta iperstatica]


2

2


Esegui il computo dei vincoli e definisci la struttura.

R. [isostatica]


Esegui il computo dei vincoli, dei gradi di libertà e definisci la struttura.

R. [due volte iperstatica] Esercizio no.7 ▄ soluzione a pag.12

p=50kN q=20kN Trova le reazioni vincolari .

[ ]kN36BkN34A0A.R yyx ===


Con q=450N. Determinare le reazioni vincolari sulla cerniera A e sull’appoggio B.

[ ]N1,159BAN2,318A.R yyx ===


3

3

Esercizio no.9 soluzione a pag.13


[ ]kN3,47BkN6,36AkN5,30A.R yyx ===


Considerando F=3kN e q=3kN/m calcola le reazioni vincolari

[ ] 9,75kNV,5,25kNV.R BA == Esercizio no.11 ▄ soluzione a pag.14

Essendo m/kN20qm = calcolare le reazioni vincolari.

[ ]kN6,16BkN3,33A0A.R yyx ===


Trova le reazioni vincolari dato q=25kN/m.

[ ]kN75BkN25A0A.R yyx =−==


4

4


Nello schema di figura le distanze sono espresse in metri, inoltre, p=2kN q=4kN f=3kN Trova le reazioni vincolari.

[ ]kN5,6BkN5,2A0A.R yyx === Esercizio no.14 ▄ soluzione a pag.16

Nella struttura illustrata con p=1kN e le dimensioni espresse in metri, trova le reazioni vincolari.

==−=−=

45F

165F

45A

1621A.R yxyx


Trova le reazioni vincolari con q=1kN/m e p=3kN.

[ ]m/kN8MkN2AkN3A.R yx ===


5

5


Assumendo le dimensioni in metri con q=3kN, calcola le reazioni vincolari.

=−=−= kN

43BkN

43AkN3A.R yyx


Trovare le reazioni vincolari nella struttura indicata, sapendo che F=4N.

==−== NHHNVNVR BAAB 2

23

23.


Trovare il valore delle reazioni vincolari nel sistema illustrato, assumendo F=1N.

=====−= N

22B0BN

42C0C

42AN

22A.R yxyxyx


6

6


Nella struttura dove le dimensioni sono espresse in metri e q=2N/m calcola le reazioni dei vincoli.

[ ]N5BN1A0BA.R yyxx =−===


Trova le reazioni vincolari con q=1N, considerando le dimensioni in metri.

==== N

21FA0FA.R yyxx


Nella struttura dove le dimensioni sono espresse in metri e q=2kN/m calcola le reazioni dei vincoli.

[ ]kN5,7BkN5,2BkN5,2AA.R yxyx =−===


7

7


Con q=10kN, trova le reazioni ai vincoli

[ ]kN1C0CkN5,3BkN5,2A.R yxyy −====


La trave in figura è lunga l=1 m, la sua forza-peso è P=600N; forma un angolo di 45° con l’orizzontale. Trova intensità e direzioni delle reazioni vincolari.

[ ]N13,212BN450AN150Ax.R y ===


La mensola di figura, incernierata agli estremi A , B e D è caricata al suo estremo libero C da una forza q=160N con l’angolo indicato di 30°. Calcolare intensità e direzione delle reazioni vincolari nelle cerniere A e .B

[ ]N9,424BN47,481A.R ==


8

8


Nel sistema illustrato q=15 kN/m p=60 kN ed f=60 kN, trova le reazioni vincolari.

−===

kN35,33AkN65,86A

kN17,47B.R

y

x


Calcolare i vincoli considerando q=2kN e le distanze in metri.

[ ]m/kN5,0A0AkN5,2B.R yx −===


Nell’arco a tre cerniere illustrato, con q=120 N p=80 N Trova le reazioni in A e B.

[ ]N65BN135AN3,43BA..R yyxx ===−=


9

9


Se q=500N indicare quanto deve valere p per tenere in equilibrio il sistema.

[ ]N5,216p.R =


10

10

Esercizio no.1 ▄ Esegui il computo dei vincoli e definisci la struttura

La struttura è complessivamente costituta da n=3 elementi, quindi i gradi di libertà sono l=3n=9. Il sistema è fissato tramite 1 carrello C che toglie 1 grado di libertà e 2 cerniere D ed E che tolgono ciascuna 2 gradi di libertà. Vi sono due cerniere interne

( )∑ −⋅+⋅+⋅+⋅= i maciv 12123

( ) ( ) 92214122122112203 =+++=−⋅+−⋅+⋅+⋅+⋅=v g=v il sistema è isostatico. Esercizio no.2 ▄ Esegui il computo dei vincoli, dei gradi di libertà e definisci la struttura

Il sistema è costituito da un solo elemento che ha 3 gradi di libertà. E’ presente, un appoggio che toglie un solo grado di libertà ed un carrello che toglie anch’esso un solo grado di libertà. quindi: 3=l>v=2 la struttura è labile. Esercizio no.3 ▄

La struttura è complessivamente costituta da n=3 elementi, quindi i gradi di libertà sono l=3n=9. I vincoli esterni sono; la cerniera D che toglie due gradi di libertà ed il carrello A che ne toglie solo uno; poi vi sono le due cerniere interne B e C.

( ) ( ) 72212122122111203v =+++=−⋅+−⋅+⋅+⋅+⋅=

9=l>v=7 la struttura è labile.


11

11

Esercizio no.4 ▄

La struttura è complessivamente costituta da n=2 elementi, quindi i gradi di libertà sono l=3n=6. I vincoli esterni sono: l’incastro B che toglie 3 g.l.; la cerniera A che toglie 2g.l. poi dobbiamo considerare la cerniera interna C in cui concorrono 2 elementi.

( ) 7223122011213v =++=−⋅+⋅+⋅+⋅= 6=l<v=7 la struttura è una volta iperstatica. Esercizio no.5 ▄

La struttura è complessivamente costituta da n=3 elementi, quindi i gradi di libertà sono l=3n=9. I vincoli esterni sono: la cerniera A che toglie 2g.l. il carrello B che toglie 1g.l.. e le tre cerniere interne in cui concorrono 2 elementi in ciascuna.

( ) ( ) ( ) 922212122122122111203v =++++=−⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅+⋅=

9=l=v=9 la struttura è isostatica. Esercizio no.6 ▄

La struttura è complessivamente costituta da n=2 elementi, quindi i gradi di libertà sono l=3n=6. I vincoli esterni sono: le due cerniere A ,B e Che tolgono 2g.l. ciascuna; poi dobbiamo considerare la cerniera interna D.

( ) 826122013203v =+=−⋅+⋅+⋅+⋅=

6=l<v=8 la struttura è due volte iperstatica.


12

12

Esercizio no.7 ▄

p=50kN q=20kN Trovare le reazioni vincolari .

per le forze orizzontali

0Ax = per le forze verticali

qpBA yy +=+

l’equazione dei momenti ottenuta fulcrando in A

kN365

1805

2045025

q4p2B0B5q4p2 yy ==⋅+⋅

=+

=→=−+

dalla seconda equazione scritta: kN343670A205036A yy =−=→+=+ Esercizio no.8 ▄

Con q=450N. Determinare le reazioni vincolari sulla cerniera A e sull’appoggio B.

[ ]N1,159BAN2,318A.R yyx ===

Dobbiamo decomporre le forze attive e quelle reattive nelle loro componenti orizzontali e verticali.

N2,31822450

22qqq yx ====

La reazione in B può essere solo verticale, dato che l’appoggio può reagire soltanto in senso ortogonale al piano.

evidentemente N2,318qA xx == con

==

=+

=

=+

159,1N2/qB

qBA

B2q

qBA

yy

yyy

yy

yyy ovviamente seguirà : 1,159

2q

qA yyy =−=


13

13

Esercizio no.9


=°⋅==°⋅=

kN2660sinqqkN1560cosqq

y

x

=°⋅==°⋅=

kN5875sinppkN5,1575cospp

y

x

=+

+=++=

yyy

yyyy

xxx

B6p4q2

pqBApqA

sulla prima eq. kN5,305,1515Ax =+=

sulla terza eq. kN3,476

5842626

p4q2B yy

y =⋅+⋅

=+

=

dalla seconda: kN6,363,475826BpqA yyyy =−+=−+= Esercizio no.10 ▄

F=3kN q=3kN/m Il carrello A ha un 1 g.v., la cerniera B ha 2g.v.

il carico distribuito ha risultante kNlqQ 1234 =⋅=⋅= applicata sul punto medio del tratto su cui è collocato

per le forze orizzontali: 0HB =


14

14

per le forze verticali : BA VVQF +=+ momenti rispetto a B 0Q2F6V8 A =−−

da questa ultima avremo: kN25,58

24188

212368

Q2F6VA =+

=⋅+⋅

=+

= poi dalla

kN9,7525,515VV25,5123VVQF BBBA =−=→+=+→+=+

Esercizio no.11 ▄

m/kN20qm =

Per le considerazioni teoriche che caratterizzano il carico distribuito linearmente: 2lqQ m ⋅=

kN502520Q =⋅=

ovviamente si avrà 0Ax =

Eq. dei momenti al polo A: kN6,163

503QBB6Q2 yy ===→= poi:

kN3,336,1650BQAQBA yyyy =−=−=→=+


15

15

Esercizio no.12 ▄

q=25kN/m.

y

yy

x

B2Q3

QBA0A

kN50225qlQ

=

=+=

=⋅==

kN752503

2Q3By =

⋅== poi kN257550BQA yy −=−=−=

Questo vuol dire che yA ha in realtà verso opposto a quello indicato. Esercizio no.13 ▄

p=2kN q=4kN f=3kN

Come al solito consideriamo due reazioni per la cerniera e una per il carrello

0Ax = fulcrando in A:

kN5,67,4

247,239,57,4

pq7,2f9,5BB7,4pq7,2f9,5 yy =+⋅+⋅

=++

=→=++

le forze verticali: kN5,25,6342BfqpAfqpBA yyyy =−++=−++=→++=+


16

16

Esercizio no.14 ▄

Con p=1kN Scriviamo le eq. di equilibrio con i momenti calcolati rispetto al polo A. L’unica cose che otteniamo è:

4/5AF yy =−= Ci serve un’eq. ausiliaria che decidiamo di ottenere aprendo la cerniera in E, sottintendendo

=

='xx

'yy

EE

EE

=+++=+

=−

0E2E4F4F80E2F8

0E4E4

xyyx

xx

yx

La prima è l’eq. dei momenti di BE rispetto ad E. La seconda è l’eq. dei momenti di DF rispetto a D La terza è l’eq. dei momenti di CDF rispetto a C

=→=−+→=++

−=

=

165F0F245F80E6

454F8

F4E

EE

xxxxx

xx

yx

tornando alla prima eq. sistema iniziale:

1621A01

165A xx −=→=++


17

17

Esercizio no.15 ▄ Con q=1kN/m e p=3kN.

Le equazioni di equilibrio sono quelle indicate, con l’equazione dei momenti eseguita rispetto al polo A. Sviluppando questa ultima:

=−+

====

0p4q2M

kN2qAkN3pA

y

x

m/kN8412q2p4M =−=−=

Esercizio no.16 ▄

Dimensioni in metri con q=3kN.

Scrivendo le condizioni di equilibrio con eq. dei momenti con polo in A

==

−=−=→=+

−=−=

=−

=+=+

43

4qB

43BA0BA

3qA

0B4q

0BA0qA

y

yyyy

x

y

yy

x


18

18

Esercizio no.17 ▄

Sapendo che F=4N. Scriviamo le tre equazioni cardinali ordinarie aggiungendo come al solito un’equazione ausiliaria dei momenti al polo C riguardante solo il tratto AC:

=+

===

−=−=

+=

=+=−

=++=

04323

812

83

23

043083

0

AA

B

BA

BA

AA

B

BA

BA

VH

NFV

NVV

HHF

VHVF

VVHHF

dall’ultima si ha NVH AA 223

34

34

=

−⋅

−=−=

dalla prima: NHH BB 224 =→+= Esercizio no.18 ▄

Con F=1N.

Sapendo che NFF yx 22

== useremo le seguenti:


19

19

=−

=−−

+==++

02lFlA

0lClC2lF

CAF0FCA

xy

xyy

yyy

xxx

l’equazione dei momenti per l’intera struttura è stata ottenuta fulcrando in A; L’equazione ausiliaria riguarda i momenti per il tratto AB con polo in B. Dall’ultima abbiamo:

42A

2lFlA yxy =→= poi dalla seconda

42

4222CC

42

22

yy =−

=→+=

dalla terza 0CC42

42lClC

2lF xxxyy =→+=→+= poi dalla prima

22FCA0FCA xxxxxx −=−−=→=++

Le forze che si scambiano le aste attraverso i vincoli interni sono essenzialmente azioni e reazioni. Soppressa la cerniera B, la struttura acquista 2 gradi di libertà, facendo le equazioni dei momenti in A e in C:

=

=

xx

yy

B'B

B'B poi avremo:

==

==

=−=

22FB

0B'B

0lFlB0'B

yy

xx

yy

x


20

20

Esercizio no.19 ▄

Il carico distribuito q=2N/m si trasforma nel carico concentrato q=4N. Dalle condizioni di equilibrio: con polo dei momenti in B:

=++

=+=+

0A4qA4

qBA0BA

yx

yy

xx

3 eq. con 4 incognite; per procedere sganciamo la cerniera C

=⋅==→=−

−=−=−=→=+

N5445q

45C0C4q5

N154CqAqCA

yy

yyyy

adesso considerando Ay= -1N possiamo tornare a considerare il sistema scritto inizialmente.

=

==

=−+

=+−=+

=++

=+=+

0A

5B0B

044A4

4B10BA

0A4qA4

qBA0BA

x

y

x

x

y

xx

yx

yy

xx


21

21

Esercizio no.20 ▄

Ricordando che q=1N; possiamo, ovviamente scrivere le condizioni di equilibrio considerando i momenti rispetto ad A:

=

=−=

=+

=−

=+=+

21F

21

211A

0FA

0q2F4

qFA0FA

y

y

xx

y

yy

xx

ma sappiamo già che esse non sono sufficienti, Apriamo il sistema sulla cerniera D, dove valgono le:

=

='yy

'xx

DD

DD

Facendo il momento rispetto al polo C:

0DD0D4 y'y

'y ==→=

considerando questo fatto, scriviamo le eq. dei momenti del tratto opposto, con polo in E e rispetto a B:

=−−⋅+

=

=−−+=−

0F182214F2

F3D

0D6q2F4F20D2F6

xx

xx

xyx

xx

quindi: 0F0F160F1822F2 xxxx =→=−→=−−+ sulla prima delle eq. scritte: 0A0FA xxx =→=+


22

22

Esercizio no.21 ▄

Sapendo che q=2kN/m Le condizioni si equilibrio con eq. dei momenti con polo in A:

=−=+

=+

0B10q5,70BA

qBA

y

xx

yy

dall’ultima:

kN5,7q75,0By == dalla prima:

kN5,2A105,7A yy =→=+ Considerando il tratto CB l’eq. del momento col polo in C:

kN5,25,72

10Bq21BB5B5q5,2 yxxy −=−=−=→+= poi essendo:

kN5,2ABA xxx =→−=

Esercizio no.22 ▄

Con q=10kN.


23

23

+==

=++

yy

x

yyy

C9B4q0C

qCBA

ma se facciamo l’eq. del momento del tratto AD con polo in D:

kN5,22qAqA2 yy ==→= quindi rimaniamo col sistema:

( )

+−⋅=

−=

+=

=+

+=

=++

yy

yy

yy

yy

yy

yy

C9C5,245

C5,2B

C9B45

5,2CB

C9B45

5CB5,2 ne segue:

kN1CC55C9C4105 yyyy −=→=−→+−= quindi

( ) kN5,315,2By =−−=

Esercizio no.23 ▄ Considerando che l’asta è lunga l=1 m con p=600N e forma un angolo di 45° con l’orizzontale

La struttura può essere indicata nel modo illustrato, con la reazione B che deve essere ortogonale al piano dell’appoggio. In questa configurazione è possibile immediatamente, eseguire il calcolo dei momenti rispetto ad A.

N13,21242600

42pB

22

21p1B ===→⋅⋅=⋅


24

24

Questa forza si può decomporre nelle sue due componenti ortogonali

N1502213,212BB yx ===

=+==

pBAN150BA

yy

xx

ne segue:

N450150600Ay =−=

Esercizio no.24 ▄ Con q=160N.

Si ottiene la distanza 61,430cos

4AD =°

= mentre 3.230sin61,4AB =°=

L’equazione dei momenti per l’intero sistema con polo in B:

N3,417q3,2

6A0q6A3,2 xx −=⋅−=→=+

sempre per l’intero sistema : N3,417AB0BA xxxx =−=→=+

Si apre la cerniera D considerando le reazioni interne '

yy DD = e 'xx DD =

−=−==

=

=+

=

240q23DD

D3,2D4

0D4q6

D3,2D4

y'y

xy

'y

xy ne segue N4,417240

3,24Dx −=⋅−=

Per la sola asta AD: N240DA0DA yyyy =−=→=+


25

25

Per l’intero sistema N80240160AqBqBA yyyy −=−=−=→=+ Il reale orientamento delle reazioni vincolari è:

N47,4812403,417AAA 222y

2x =+=+= °=

= 30

AA

atgx

yθ

N9,424803,417BBB 222y

2x =+=+= °=

= 8,10

BB

atgx

yβ

Viene qui messo in evidenza come la struttura si comporti come un sistema tirante-puntone con l’asta AC sollecitata a compressione e l’asta AD sollecitata a trazione (secondo la direzione della stessa asta). Esercizio no.25 ▄ Ricordando che q=15 kN/m p=60 kN ed f=60 kN. Il carrello in B reagisce con un’unica reazione, ortogonale al piano di appoggio e di scorrimento del carrello stesso, quindi, con una inclinazione di 45° rispetto l’orizzontale. Una eventuale equazione dei momenti rispetto ad A ci permetterebbe di avere come unica incognita la reazione B, ma dobbiamo individuare il braccio che intercorre fra il polo A e la reazione B .

il carico laterale, viene ricondotto ad un’unica sollecitazione kN120815q =⋅=


26

26

il braccio fra il polo A e la reazione B è dato dalla lunghezza AK della retta perpendicolare alla direzione del vettore B (che ha coeff.angolare -1) passante per il punto B(5,4). Quest’ultima è individuata dall’equazione canonica qxy +−= che deve passare per il punto di coordinate B(5,4)

9qq54 =→+−= . La distanza AK (il braccio) può essere individuato se è nota l’intersezione fra le due rette:

29yx9xx

9xyxy

==→+−=→

+−==

il braccio fra la reazione in B e il polo A vale m6,3629

29b

22

=

+

=

L’eq. dei momenti con polo in A vale:

kN17,4736,6

603120436,6

f3q4Bq4B36,6f3 =⋅−⋅

=−

=→=+

per il calcolo delle reazioni in A, ci avvaliamo della possibilità di decomporre nelle due direzioni ortogonali xy la reazione in B : kN33,352/BBB yx ===

−==−=

=++=+

=++=+

35,33AkN86,6535,33120A

6035,33A6035,33A120

pBAfBAq

y

x

y

x

yy

xx


27

27

Esercizio no.26 ▄ Considerando q=2kN, la condizione di equilibrio solo per l’asta a destra di C, calcolata con eq. deli momenti con polo in C:

kN5,2245q

45Bq5B4 =⋅==→=

L’eq. dei momenti per l’intero sistema con polo in A:

m/kN11415275,26q7B6MB6q7M =−=⋅−⋅=−=→=+ notiamo che 0Ax = per le forze verticali, potremo dire:

kN215,22BqAqBA yy −=−=−=→=+


28

28

Esercizio no.27 ▄ Ricordando che è q=120 N p=80 N

Per le condizioni di equilibrio:

+=

=+

+=+

p25

2qB4

0BA

qpBA

y

xx

yy

con polo dei momenti in A. Da quest’ultima:

N658

p5qBy =+

=

dalla prima

N135BqpA yy =−+= deve essere aperta la cerniera interna C e viene di seguito applicata al tratto AC l’equazione dei momenti con polo in C

xy

xxy BN3,433

603

13532

q3

AA0A3A

2q

−==−=−=→=+−


29

29

Esercizio no.28 ▄

Con q=500N. Per le condizioni di equilibrio:

=−=

=+

0q3A4pA

qBA

y

x

yy

Con polo dei momenti in B. Da quest’ultima:

N375q43Ay ==

Se per la sola asta AC si esegue l’eq. dei momenti con polo in C:

03AA xy =− ne seguirà:

pN5,2163

3753

AA y

x ====

AB C DE - annotazioni di Matematica Fisica Chimica ed ... · Edutecnica.it – Equazioni cardinali...

Documents

Transcript of AB C DE - annotazioni di Matematica Fisica Chimica ed ... · Edutecnica.it – Equazioni cardinali...