“STATI DI TENSIONE NEL TERRENO” 

2/282/28

Essendo  il  terreno un materiale multifase,  il  suo  comportamento meccanico (compressibilità,  resistenza),  in  seguito  all’applicazione  di  un sistema  di sollecitazioni  esterne o, più  in generale,  ad una variazione delle  condizioni esistenti, dipende dall’interazione tra le diverse fasi

COMPORTAMENTO MECCANICO DEI TERRENI

Lo  studio  di  questa  interazione  può  essere  affrontato  seguendo  due  tipi  di approccio:

si analizza il comportamento della singola particella e si determina larisposta  di  un  elemento  di  terreno  a  partire  dalla  modellazione  del comportamento di un insieme di particelle;si analizza il comportamento globale del mezzo: un terreno saturo viene assimilato a due mezzi continui (uno solido, l’altro fluido) che occupano lo stesso volume1. le proprietà di un elemento di terreno sono le stesse a prescindere dalle dimensioni2. si estendono ai terreni i concetti di tensione e deformazione propri dei mezzi continui

3/283/28

È necessario stabilire una legge di interazione tra le fasi, ovvero tra i due continui (solido e fluido) che occupano lo stesso volume di terreno. Tale legge è il principio delle  tensioni efficaci (Terzaghi, 1923), che si compone di due parti: 

PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

I“Le tensioni in ogni punto di una sezione attraverso una massa di terreno possono essere calcolate dalle tensioni principali totali σ1, σ2 e σ3 che agiscono in quel punto. Se i pori del terreno sono pieni d’acqua ad una pressione u, le tensioni 

principali totali possono scomporsi in due parti. Una parte, u, agisce nell’acqua e nella fase solida in tutte le direzioni con eguale intensità, ed è chiamata pressione 

neutra (o pressione di pori). Le differenze σ1’ = σ1 – u, σ’2 = σ2 – u, e σ’3 = σ3 – u rappresentano un incremento rispetto alla pressione neutra ed hanno sede esclusivamente nella fase solida del terreno. Questa frazione della tensione totale principale sarà chiamata tensione 

principale efficace”.II

“Ogni effetto misurabile di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio è attribuibile 

esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci”. 

4/284/28

PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACIOsservazioni (I parte del Principio):

I. Terzaghi non attribuisce alcun significato fisico alle tensioni principali efficaci, ma le definisce semplicemente come differenza tra tensioni principali totali e pressione neutra (interstiziale);

II. le tensioni principali efficaci non sono dunque direttamente misurabili, ma possono essere desunte solo attraverso la contemporanea conoscenza delle tensioni principali totali e della pressione interstiziale;

III. il principio delle tensioni efficaci è una relazione di carattere empirico, sebbene sia stato finora sempre confermato dall’evidenza sperimentale

Per studiare il comportamento meccanico di un terreno saturo ci si riferisce a due mezzi continui sovrapposti e mutuamente interagenti, e si definiscono in ogni punto il tensore delle tensioni totali (desumibile dalle azioni esterne), il tensore delle pressioni interstiziali (isotropo) e, per differenza, il tensore delle tensioni efficaci. 

5/285/28

Implicazioni (II parte del Principio)PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

:

I. una variazione di tensione efficace comporta una variazione di resistenza;II. se non vi è variazione di tensione efficace non varia la resistenza; III. condizione necessaria e sufficiente affinché si verifichi una variazione di 

stato tensionale efficace è che la struttura del terreno si deformi, la deformazione può essere volumetrica, oppure di taglio o entrambe;

IV. una variazione di volume è sempre accompagnata da una variazione di tensione efficace;

V. una variazione di tensione efficace non comporta necessariamente una variazione di volume;

∆σ’ ∆(Resistenza)

∆σ’ ∆(εv) o ∆(εs) o ∆(εv)+∆(εs)

Variazione  di  volume,  ∆(εv), ma non di forma,  ∆(εs) = 0

Variazione  di  forma  ∆(εs), ma non di volume, ∆(εv) = 0

6/286/28

PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACIInterpretazione fisica:

At (area della superficie trasversale)

F2 F3 F4 F5 F6

F1

F7

Ac (area dei contatti intergranulari)u  (pressione dell’acqua nei pori)

Ft,v = Σ Fi,v + u (At – Ac)Forza totale verticale 

σ = (Ft,v /At) = Σ Fi,v/At + u (1 – Ac/At)Tensione  verticale totale media

Posto σ’ = Σ Fi,v/AtTensione  efficace verticale

ed  essendo Ac<< At

si ha: σ = σ’ + u

N.B. σ’, rappresenta la somma delle forze intergranulari riferita all’area totale, At, e non la pressione in corrispondenza delle aree di contatto, molto maggiore di σ’

s 

At

7/287/28

Evidenze sperimentaliPRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

:

(a) (b)

∆h

Pallini di piombo

(c)

Condizione iniziale Incremento di tensione totale ∆σ∆σ = ∆σ’ e ∆u =0 ∆σ = ∆u e ∆σ’ =0

8/288/28

La  conoscenza  dello  stato  tensionale  iniziale in  sito  è  un  punto  di  partenza fondamentale per la soluzione di qualunque problema di natura geotecnica.

In  assenza  di  carichi  esterni  applicati,  le  tensioni  iniziali  in sito  sono rappresentate  dalle  tensioni  geostatiche (o  litostatiche) ovvero  le  tensioni presenti nel terreno allo stato naturale, indotte dal peso proprio. 

Le tensioni geostatiche sono legate a molti fattori:geometria del depositocondizioni della faldanatura del terreno (granulometria e  mineralogia, stato di addensamento o di 

consistenza, omogeneità, isotropia)storia tensionale 

Per   storia tensionale si  intende  la sequenza di  tensioni,  in  termini di entità e durata, che hanno  interessato  il deposito dall’inizio della sua  formazione fino alle condizioni attuali.

TENSIONI GEOSTATICHE

9/289/28

TENSIONI GEOSTATICHE

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

yzzy

xzzx

yxxy

ττττττ

EQUAZIONI INDEFINITEDI EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE EQUAZIONI INDEFINITE

DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+⋅⋅∂

∂+⋅⋅

∂∂

+⋅⋅∂

∂

=+⋅⋅∂

∂+⋅⋅

∂

∂+⋅⋅

∂

∂

=+⋅⋅∂

∂+⋅⋅

∂

∂+⋅⋅

∂∂

0dPdzdydxy

dzdydxx

dzdydxz

0dPdzdydxz

dzdydxx

dzdydxy

0dPdzdydxz

dzdydxy

dzdydxx

zyzxzz

yzyxyy

xzxyxx

ττσ

ττσ

ττσ

dPx, dPy, dPz = componenti delleforze di volume

dPz

dPydPxdz

dx

dyyx

z

O

σz

σy

σx

τzyτzx

τxy

τxz

τyx

τyzCONVENZIONE: Nella Meccanica dei Terreni sono assunte positive:i.  le  tensioni  normali  di  compressione  e  le tensioni  tangenziali  che danno  origine  ad  una coppia antioraria;ii.  le  diminuzioni di volume e di lunghezza

1010/28/28

Nell’ipotesi di:piano di campagna orizzontale ed infinitamente estesouniformità orizzontale delle proprietà del terreno eventuale falda orizzontale, in condizioni di equilibrio idrostatico

si realizza per ragioni di simmetria uno stato tensionale assial‐simmetricorispetto all’asse z.

Def. In ogni punto il piano orizzontale e tutti i piani verticali sono piani principali.  Le  tensioni  orizzontali  sono  tra  loro  uguali,  in  tutte  le direzioni. 

σx = σy = σh ;  σz = σv ; τxy = τyz = τzx = 0

STATO TENSIONALE ASSIAL‐SIMMETRICO

1111/28/28

dPz = γ dx dy dz

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂σ∂

=∂σ∂

γ=∂σ∂

0yx

zhh

v

z

zwσh

x

dPz

dzzv

v ∂∂

+σσ

σv

σhσh

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+⋅⋅∂

τ∂+⋅⋅

∂τ∂

+⋅⋅∂σ∂

=+⋅⋅∂

τ∂+⋅⋅

∂

τ∂+⋅⋅

∂

σ∂

=+⋅⋅∂τ∂

+⋅⋅∂

τ∂+⋅⋅

∂σ∂

0dPdzdydxy

dzdydxx

dzdydxz

0dPdzdydxz

dzdydxx

dzdydxy

0dPdzdydxz

dzdydxy

dzdydxx

zyzxzz

yzyxyy

xzxyxx

σx = σy = σh ;σz = σv ;τxy = τyz = τzx = 0

STATO TENSIONALE ASSIAL‐SIMMETRICO

1212/28/28

Tensioni verticali totaliIntegrando la 1a equazione:Nell’ipotesi di:

deposito omogeneo (γ costante con la profondità) assenza di carichi verticali sul piano di campagna (σv = 0 per z = 0) 

σvo (z) = γsat ⋅ zdove γsat = peso di volume saturo del terrenosuperficie piezometrica non coincidente col piano di campagna:

σvo (z) = γ sat z + γw ⋅ Hσvo (z) = γsat ⋅( z ‐ zw) + γ ⋅ zw

σvo (z) = Σi γi ⋅ ∆zi

nell’ipotesi di terreno stratificato:

zw

x

z

H xz

x

∆zi, γi

z

γ=∂σ∂zv

superficie piezometrica coincidente col piano di campagna (zw = 0)

∫ γ=σz

0v dZ)Z()z(

x

z

1313/28/28

Pressione interstiziale

In condizioni di falda in quiete, la pressione dell’acqua, u, può essere ricavata una volta nota la posizione della superficie piezometrica (luogo dei punti in cui la pressione dell’acqua è uguale alla pressione atmosferica, ua)

Convenzionalmente si assume ua = 0, per cui, all’interno di un deposito reale:u > 0 sotto la superficie piezometricau < 0 sopra la superficie piezometrica (risalita capillare nei terreni coesivi)

N.B. Essendo la determinazione dei valori u <0 molto incerta, si assumeu = 0 al di sopra della superficie piezometrica.

1414/28/28

Pressione interstiziale

In ciascun punto al di sotto della superficie piezometrica, e in assenza di moto di  filtrazione,  la  pressione  dell’acqua,  uguale  in  tutte  le  direzioni (stato tensionale isotropo) , è pari al valore idrostatico, ovvero: 

u(z) = 0  per  0 < z ≤ zwu(z) = γw⋅ (z‐zw) per  z > zw

Falda al di sotto del piano di campagna

Falda al di sopra del piano di campagna:

u(z) =  γw ⋅ (z+H)

zw

xz1

γw

H x

z

γw1

1515/28/28

Tensioni verticali efficaci

La  tensione  efficace  verticale si  ricava  per  differenza,  una  volta  nota  la pressione interstiziale, utilizzando il principio delle tensioni efficaci:

σ’v0 = σv0 ‐ u

σ ’vo (z) = σvo ‐ u = σvo = Σi γi ⋅ ∆zi per  z < zwσ ’vo (z) = σvo ‐ u = Σi γi ⋅ ∆zi – γw⋅(z‐zw) per  z ≥ zw

In definitiva le tensioni efficaci verticali risultano:

1616/28/28

Tensioni orizzontali

OSS. Dalle  equazioni  di  equilibrio  non  si  ha  nessuna  informazione  utile  sul valore  della  tensione  orizzontale,  pertanto  è  necessario  ricorrere  ad  evidenze sperimentali 

0yx

hh =∂

∂=

∂∂ σσ

Integrando la 2a equazione: σh = cost (∀x, ∀y)

L’osservazione  condotta  sperimentalmente  su  depositi  di  differente  origine  e composizione, ha evidenziato che il valore di σ’h dipende:

dalla geometria del deposito, dalle condizioni della falda, dalla natura del terreno 

e inoltre: 

dalla storia tensionale del deposito

come la tensione verticale}

1717/28/28

Influenza della storia tensionale sulle tensioni orizzontali

0z H

H∆=ε

a) Si consideri il caso di sedimentazione in ambiente lacustre su un’areamolto estesa in direzione orizzontale:

εx = εy = 0 per ragioni di simmetria

00

10

sss0v

s1vs0v

s0v

s1vs0v

0v e1

ee1ee

V/VV/VV/VV/V

VV)VV()VV(

VV

+∆

−=+−

=+−

=+

+−+=

∆−=ε

0zzyxv H

H∆==++= εεεεε

00 1 ee

HH

+∆

=∆

IMP. Per convenzione εv>0 quando V diminuisce e ∆V = Vfin ‐ Vin

P

e

σ’ (log)v

∆σ’v

∆e

(A)

A

BC

a) b)

(B)(C)

Linea di compressione vergine (NCL)

σv cresce, u rimane costante         ∆σ’v = ∆σv

1818/28/28

Influenza della storia tensionale sulle tensioni orizzontali

In  tale  situazione  di  deformazioni  orizzontali  impedite (consolidazione monodimensionale) l’incremento delle tensioni efficaci orizzontali è proporzionale al  corrispondente  incremento  delle  tensioni  efficaci  verticali,  secondo  un coefficiente detto coefficiente di spinta a riposo :

'

'

vo

hooK

σσ

=

Durante la fase di deposizione del materiale, tale coefficiente rimane costante al variare della tensione efficace verticale raggiunta e dipende solo dalla natura del terreno.

Quando  la  tensione  efficace  verticale  geostatica,  σ’v0,  coincide  con  la  tensione efficace verticale massima sopportata dal deposito  in quel punto durante  la  sua storia, si parla di terreno normalconsolidato (NC).

1919/28/28

Influenza della storia tensionale sulle tensioni orizzontali

Linea di scarico

b) Supponiamo ora che alla fase di sedimentazione segua una fase di erosione(scarico):

L’entità della sovraconsolidazione è rappresentata dal grado di sovraconsolidazione, OCR (OverConsolidation Ratio):

0v

p

''

OCRσσ

=

P

e

σ’ (log)v

D C

(C)

(D)

Al procedere dello scarico tensionale il coefficiente di spinta a riposo, K0(OC),aumenta al  diminuire  della  tensione  efficace  verticale  raggiunta  (ovvero all’aumentare di OCR)

2020/28/28

c) Supponiamo ora che alla  fase di erosione  segua una  fase di  sedimentazione(ricarico):

P

e

σ’ (log)v

D C

E(C)

(D)

(E)

Linea di scarico‐ricarico

Al  procedere  del  ricarico  tensionale  (fino  al  raggiungimento  della  pressione  di preconsolidazione σ’p =  σ’v(C))  il  coefficiente  di  spinta  a  riposo,  K0(OC),diminuisce all’aumentare  della  tensione  efficace  verticale  raggiunta  (ovvero  al diminuire di OCR)

Influenza della storia tensionale sulle tensioni orizzontali

2121/28/28

Tensioni orizzontali efficaci e totali

In  definitiva  il  calcolo  delle  tensioni  efficaci  orizzontali è  subordinato  alla conoscenza del coefficiente di spinta a riposo:

σ’h0 = K0 σ’v0Il valore della tensione orizzontale totale, σh0, può essere ricavato sfruttando  il principio delle pressioni efficaci (ricordando che la pressione dell’acqua, u, è  un tensore sferico, isotropo):

σh0 = σ’h0 + uRiassumendo, sotto opportune ipotesi semplificative (p.c. orizzontale,..) noti:

il peso di volume sopra e sotto falda,la posizione della superficie piezometrica,il coefficiente di spinta a riposo,

è possibile definire completamente lo stato  tensionale geostatico all’interno di un deposito (che normalmente coincide con lo stato tensionale iniziale). 

2222/28/28

COEFFICIENTE DI SPINTA A RIPOSOIl coefficiente di spinta a riposo K0, può essere valutato a partire dai risultati di alcune prove in sito.Frequentemente viene  stimato per mezzo di  relazioni empiriche a partire da parametri di più  semplice determinazione  (p.  es. dalla densità  relativa per  i terreni a grana grossa o dall’indice di plasticità per terreni a grana fine). 

TERRENI NORMALCONSOLIDATI 

K0 per  i  terreni normalconsolidati  (solitamente  indicato  col  simbolo K0(NC)) non dipende dalla  tensione efficace verticale  raggiunta ma solo dalla natura del terreno; varia generalmente tra 0.4 e 0.8; in genere si hanno valori più bassi per terreni granulari, più alti per limi e argille. 

In  generale,  per  tutti  i  tipi  di  terreno,  viene  spesso  utilizzata  la  seguente relazione di Jaky semplificata:

K0 ≅ 1‐ sin ϕ’ dove ϕ’ è l’angolo di resistenza al taglio.

N.B.: per terreni NC   K0 < 1)

2323/28/28

COEFFICIENTE DI SPINTA A RIPOSO

Indice di plasticità, Ip

Indisturbato

Disturbato o ricostituito in laboratorio

Coef

ficie

nte

di sp

inta

a ri

poso

, K0

Terreni coesivi 

Terreni incoerenti

2424/28/28

COEFFICIENTE DI SPINTA A RIPOSOTERRENI SOVRACONSOLIDATI 

Per  terreni sovraconsolidati, K0 può raggiungere valori anche maggiori di 1, e può essere stimato mediante una relazione del tipo: 

K0 (OC) = K0 (NC)⋅OCR α

α = coefficiente empiricolegato alla natura del terreno:

– per terreni coesivi viene spessoassunto α ≅ 0.5 oppure si ricorre acorrelazioni  del tipo α = a⋅ Ip‐b , incui α risulta una funzionedecrescente di Ip

– per terreni incoerenti esistono alcune relazioni empiriche diletteratura  tra a e DR

2525/28/28

1

11

1

sat

w

wsat

γ’

γ , φ’

γ

γγ

K ’0 v

σ

ANDAMENTO DELLE TENSIONICON LA PROFONDITÀ

p.c

z

σv

H

z

u σ’v

z

1

σ’h

z

CASO 1 (terreno omogeneo, NC e falda sopra il piano di campagna)

Hz wsatv ⋅+⋅= γγσ

)Hz(u w +⋅= γ

z''v γσ =z'K' 0h γσ ⋅=

γ’

γsat, φ’

= f (ϕ’)

2626/28/28

CASO 2 (terreno omogeneo, NC e falda sotto il piano di campagna)

p.c

zw

z

1 11

11

1

sat

wsat

σv

γ, φ’

γ’

γ γγ , φ’

γγ

z

u σ’v

K 0

γ

z

σ’h

z

⎩⎨⎧

≥⋅+−⋅=<⋅=

wwwsatv

wv

zzperz)zz(zzperz

γγσγσ

⎩⎨⎧

≥−⋅=<=

www

w

zzper)zz(uzzper0u

γ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅+−=⋅+−−=≥−−⋅+−=<⋅=

wwwwwsat

wwwwwsatv

wv

z)zz('z)zz)((zzper)zz(z)zz('zzperz'

γγγγγγγγσ

γσ

⎩⎨⎧

≥⋅⋅+−⋅=<⋅⋅=

ww0w0h

w0h

zzperzK)zz('K'zzperzK'

γγσγσ

27/2827/28

CASO 3 (deposito stratificato e falda coincidente con il piano di campagna)

K01K02

p.ch

z

11 1

1

11

1

1

112

22

w

σv

γ , φ

γ’

γ γ’

γ

γ

z

u σ’v

z

γ , φ2

σ ’h

z

⎩⎨⎧

≥⋅+−⋅=<<⋅=

11112v

11v

hzperh)hz(hz0perz

γγσγσ { 0zperzu w ≥⋅= γ

⎩⎨⎧

≥⋅−−⋅=<<⋅=

11122v

11v

hzperh)(z''hz0perz''

γγγσγσ

⎩⎨⎧

≥⋅−⋅−⋅⋅=≤<⋅⋅=

111202202h

1101h

hzperh)(Kz'K'hz0perz'K'

γγγσγσ

ϕ1 < ϕ2

 28/2828/28

OSSERVAZIONI1.  L’andamento  delle  tensioni  verticali  (totali)  è  continuo  e  cresce 

linearmente con la profondità, con pendenze diverse in strati caratterizzati da peso  di  volume  differenti  (per  effetto  dello  stato  di  saturazione  o  delle differenti caratteristiche geotecniche)

4.  Le  tensioni  orizzontali  (efficaci  e  totali)  hanno  un  andamento  lineare crescente  all’interno  di  ciascun  strato  omogeneo,  mentre  presentano discontinuità in  corrispondenza  del  contatto  tra  strati  di  differenti caratteristiche geotecniche5. Un abbassamento del livello di falda (quando tale livello rimane al di sotto del  piano  di  campagna)  comporta  un  incremento  delle  tensioni  efficaci  (e quindi un  incremento della  resistenza  ed una  compressione del  terreno  con conseguente cedimento)

2. L’andamento delle pressioni  interstiziali è continuo e cresce  linearmente con la profondità, a partire dal livello di falda verso il basso, mentre si assume nullo al di sopra3.  L’andamento  delle  tensioni  verticali  (efficaci)  è  continuo  e  cresce linearmente con la profondità, con pendenze diverse in strati caratterizzati da peso  di  volume  differenti  (per  effetto  dello  stato  di  saturazione  o  delle differenti caratteristiche geotecniche) o nell’attraversare la superficie di falda