Quaderno Geotecnica

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile

Universit degli Studi di Trieste Facolt di Ingegneria

Corso di GeotecnicaProf.ssa Darinka Battelino A.A. 2003-2004

Quaderno EserciziStudente: Paolo Martinis

Degli

IndiceIndice I TERRENI Analisi granulometrica Esercizio 1.1 Relazione tra le fasi Esercizio 1.2 Esercizio 1.3 Esercizio 1.4 Prova geosismica Esercizio 1.5 Esercizio 1.6 TENSIONI LITOSTATICHE Tensioni Verticali Esercizio 2.1 Esercizio 2.2 Esercizio 2.3 Esercizio 2.4 Sovraccarichi Esercizio 2.5 PROVE DI LABORATORIO Stati tensionali Esercizio 3.1 Permeabilit Esercizio 3.2 Esercizio 3.3 Prova triassiale Esercizio 3.4 Esercizio 3.5 CONSOLIDAZIONE Consolidazione monodimensionale Esercizio 4.1 Dreni verticali Esercizio 4.2 OPERE DI SOSTEGNO Analisi limite Esercizio 5.1 Spinte Esercizio 5.2 Verifiche di stabilit Esercizio 5.3 2 3 4 4 6 7 7 7 8 9 10 12 12 13 14 17 19 21 22 25 25 25 26 27 27 28 28 29 30 30 32 34 36 40 40 40 42 43 45 45

Paolo Martinis

2

I TerreniI terreni costituiscono la parte pi superficiale della crosta terrestre e sono essenzialmente il prodotto dellalterazione delle rocce dovuta a fattori climatici e ambientali. Dal punto di vista fisico i terreni sono mezzi multifase: la fase solida costituita da granuli, in genere frammenti di roccia o particelle di argilla; le fasi liquida e gassosa, costituite da acqua, aria e vapore acqueo, occupano gli spazi tra i granuli solidi. Possiamo definire il terreno: saturo quando viene a mancare la fase gassosa; asciutto quando manca la fase liquida; parzialmente saturo o non saturo quando sono presenti entrambe le fasi liquida e gassosa. Le propriet meccaniche di un terreno, ossia resistenza e rigidezza, dipendono: dalla natura dei granelli, ossia dal materiale che li costituisce; dallo stato del terreno, ossia dalla mutua disposizione dei granelli. Dal punto di vista dellIngegneria Geotecnica, la classificazione dei terreni consiste nel raggrupparli in classi con comportamento meccanico omogeneo. Si visto che tale comportamento dipende dalle dimensioni dei granuli (granulometria), che variano in un intervallo piuttosto ampio (0.00260mm) e non sono mai uniformi nello stesso campione di terreno. Lassortimento granulometrico, ossia il rapporto tra il numero dei granuli di varie misure presenti nel terreno, ci permette di operare una prima distinzione: i terreni a grana grossa (ghiaie e sabbie) sono quelli costituiti da una frazione passante al setaccio 200 (maglia=0,074mm) minore del 50%; il loro comportamento meccanico molto simile a quello di un insieme di biglie di varie dimensioni: se asciutti, le forze di superficie sono trascurabili rispetto a quelle meccaniche derivanti dal peso proprio; i terreni a grana fine (limi e argille) sono quelli costituiti da una frazione passante al setaccio 200 maggiore del 50%; tali particelle possono subire significative variazioni di volume per effetto di applicazione di carichi o in seguito a variazioni del contenuto dacqua, e inoltre le forze di superficie assumono grande rilevanza nel loro comportamento meccanico. Esistono varie classificazioni dei terreni in base alla loro granulometria, il pi usato dei quali il Sistema Unificato (USCS):

Quaderno degli esercizi di Geotecnica

3

Nel caso dei limi e delle argille il comportamento meccanico maggiormente influenzato dal tipo di minerali che compongono i granuli piuttosto che dalla loro dimensione: si fa ricorso quindi al sistema di classificazione di Casagrande, basato sui limiti di Atterberg1, che prede in considerazione il limite liquido WL e lindice di plasticit PI (la differenza tra limite liquido e limite plastico). La classificazione si effettua osservando in quale campo della carta di plasticit cadono i valori ottenuti dal nostro provino:

Analisi granulometricaEsercizio 1.1La stacciatura di un campione di terreno del peso di 500g ha dato i seguenti risultati:Setaccio 4 16 30 40 50 60 80 100 120 170 200 Diametro Trattenuto mm g 4.7 20 1.19 50 0.59 45 0.42 75 0.297 60 0.25 20 0.177 20 0.149 50 0.125 65 0.088 35 0.074 35

1

I limiti di Atterberg determinano i passaggi tra gli stati solido, plastico e liquido del materiale e si ottengono con prove standardizzate: il limite liquido (passaggio plastico-liquido) il contenuto dacqua in corrispondenza del quale il terreno possiede una resistenza al taglio cos piccola che un solco praticato su di un campione rimaneggiato si richiude quando il cucchiaio che lo contiene sollecitato con 25 colpi; la sua determinazione si esegue ripetendo le prove sullo stesso campione con la progressiva aggiunta di acqua; il limite plastico (passaggio plastico-semisolido) il contenuto dacqua in corrispondenza del quale il terreno inizia a perdere il suo comportamento plastico; viene determinato formando con la mano dei bastoncini di spessore 3.2mm su una lastra di vetro che iniziano a fessurarsi una volta raggiunto il limite; il limite di ritiro (passaggio semisolido-solido) rappresenta il contenuto dacqua al di sotto del quale una perdita dacqua non comporta pi alcuna riduzione di volume. 4

Paolo Martinis

Determinarne il coefficiente di uniformit e disegnarne la curva granulometrica. Soluzione La prima cosa da fare trovare la percentuale del passante per ogni setaccio:Setaccio 4 16 30 40 50 60 80 100 120 170 200 Diametro Trattenuto mm g 4,7 20 1,19 50 0,59 45 0,42 75 0,297 60 0,25 20 0,177 20 0,149 50 0,125 65 0,088 35 0,074 35 Passante g % 480 96% 430 86% 385 77% 310 62% 250 50% 230 46% 210 42% 160 32% 95 19% 60 12% 25 5%

Possiamo poi inserire i valori trovato in un grafico del tipo:

Il coefficiente di uniformit : D 0,42 Cu = 60 = =5 D10 0,088


5

Relazione tra le fasiLe formule che mettono in relazione le diverse fasi del terreno sono:

Volume totale Volume dei vuoti Volume specifico Porosit

V = Vs + Vw + V g Vv = Vw + Vg

Indice dei vuoti

Grado di saturazione Contenuto dacqua

Peso specifico

V = 1+ e Vs V e n= v = V 1+ e V V Vs V V V n e= v = = 1 = 1 = 1 = Ws Ws 1 n Vs Vs Vs s wGs n ew = w 1 n ng eg = 1 n V n w Gw S = w 100 = w = s = s Vv n we e W VS S n S w= w = v =e = Ws GsVs G s 1 n Vs 1+ w W = = 1 w V + v=

s

w

Peso specifico del volume solido Peso specifico secco Peso specifico del terreno saturo Peso specifico del volume alleggerito Densit relativa totale Densit relativa dei grani

Ws Vs W G d = s = = s w = s = (1 n )Gs w V 1+ w 1+ e 1+ e G+e sat = (1 n )G w + n w = w 1+ e = sat w

s =

w Gs = s wG=6

Paolo Martinis

Esercizio 1.2Dato un campione con le caratteristiche: n = 30% Gs = 2,65S = 100% determinarne il contenuto dacqua. Soluzione W V VS V S n S 0,3 1 w= w = w w = w = v =e = = = 0,16 = 16% s Ws sVs GsVs Gs 1 n Vs 1 0,3 2,65 Vs

w

Esercizio 1.3Dato un campione con le caratteristiche: e = 1,2 S = 70% kN s = 26,5 3 m determinarne il contenuto dacqua, il contenuto dacqua alla saturazione e il peso specifico del terreno secco. Soluzione V W V VS 0,7 S = 1,2 = 0,31 = 31% w= w = w w = w = v =e s s s 26,5 Ws sVs Vs Vs 10 w w w 1,2 e = = 0,45 = 45% wsat = s 26,5 10 w e 1 1 kN d = s (1 n ) = s 1 = 26,5 = 12 3 =s 1+ e 1 + 1,2 m 1+ e

Esercizio 1.4Da un terreno stato prelevato un provino con le caratteristiche: W = 895 g V = 426cm 3 Ws = 779 g Gs = 2,71 Determinarne il contenuto dacqua, il peso specifico secco e lindice dei vuoti. Si pensi poi di prendere un volume V1 = 276cm 3 di materiale asciutto del peso di Ws = 400 g e di misurare un volume V2 = 212cm3 a costipazione ultimata; determinare i valori minimo e massimo del peso specifico secco e dellindice dei vuoti.


7

Soluzione W W Ws 895 779 w= w = = = 0,15 = 15% Ws Ws 779 W 779 g d = s = = 1,82 3 V 426 cm V 426 e= 1 = 1 = 0,48 Ws 779 1 2,71 w Gs W 400 g d ,min = s = = 1,46 3 V1 276 cm W 400 g d ,min = s = = 1,89 3 V2 212 cm V 212 1 = 0,44 emin = 2 1 = 400 Ws 1 2,71 wGs

emin =

V1 276 1 = 1 = 0,87 400 Ws 1 2,71 wGs

Prova geosismicaLa prova geosismica consente di determinare lo spessore di pochi strati di terreno. La prova consiste nella misura degli intervalli di tempo impiegati dalle onde sismiche per raggiungere alcune stazioni di rilevamento poste a distanze note dalla sorgente. Le onde sono solitamente provocate da unesplosione, mentre le stazioni di rilevamento sono costituite da apparecchi detti geofoni. Esistono tre tipi di onde sismiche: onde primarie P, dette anche longitudinali o elastiche, ad alta velocit: + 2G E (1 ) vp = = (1 + )(1 2 ) E dove = (1 + )(1 2 ) E G= il modulo di taglio 2(1 + ) onde secondarie S, dette anche trasversali, con velocit: G E vs = = 2 (1 + ) onde di Rayleigh o di superficie S con velocit: vr = Kv s dove il coefficiente K pu essere calcolato a partire da considerazioni sulla geometria della trasmissione delle onde

Paolo Martinis

8

La prova si basa sul principio che, essendo le resistenze degli strati molto diverse tra loro, abbiamo diverse velocit di propagazione delle onde attraverso i vari terreni. Per ogni stazione si rilevano i tempi, solitamente espressi in millisecondi (ms), che intercorrono tra lesplosione e larrivo dellonda ai sensori del geofono. La velocit di propagazione quindi facilmente calcolabile a partire dai tempi rilevati e dalle distanze alle quali sono stati posti i geofoni.

Esercizio 1.5Una prova geosismica ha fornito i seguenti risultati:i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x m 10 20 30 40 60 80 100 150 200 250 300 t ms 19,23 38,4 51,71 76,9 115,4 120,71 125,82 138,72 152,61 166,81 178,31

Determinare la profondit del primo strato. Soluzione Innanzitutto inseriamo i dati della prova in un grafico distanza-tempo, dal quale: poter osservare la distanza alla quale la distribuzione dei valori cambia inclinazione, poich ci significher che le velocit di propagazione cambiano e quindi che siamo in presenza di uno strato diverso dal precedente; poter ottenere la quantit t 0i dallintercetta della retta ottenuta per interpolazione dei valori relativi al secondo strato con lasse tempo.200 180 160 140 Tempo (ms) 120 100 80 60 40 20 0 0 50 100 150 Distanze (m) 200 250 300


9

A partire dai dati possiamo poi costruire la tabella seguente:Tratto 0-1 0-2 0-3 0-4 0-5 5-6 5-7 5-8 5-9 5-10 5-11 x m 10 20 30 40 60 20 40 90 140 190 240 t ms 19,23 38,40 51,71 76,90 115,40 5,31 10,42 23,32 37,21 51,41 62,91 vp vp,media m/ms m/ms 0,5200 0,5208 0,5802 0,5322 0,5202 0,5199 3,7665 3,8388 3,8593 3,7896 3,7624 3,6958 3,8150

Possiamo trovare lo spessore del primo strato dalla formula: v p1 v p 2 1 1 0,5322 3,7896 z = t 01 = 98 = 25,73m 2 v 2 2 v 21 2 0,5322 2 3,7896 2 p p

Esercizio 1.6Una prova geosismica ha fornito i seguenti risultati:i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x m 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 t ms 41,66 62,51 83,37 91,82 101,22 110,16 119,21 128,11 136,22 141,00 143,81 152,00

Determinare la profondit degli strati. Soluzione Inseriamo i dati della prova in un grafico distanza-tempo:

Paolo Martinis

10

200 180 160 140 120 100 80 60 40 0 50 Distanze (m) 100 150

A partire dai dati possiamo poi costruire la tabella seguente:Tratto 0-1 0-2 0-3 0-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9 4-10 10-11 10-12x t

Tempo (ms)

m 10 15 20 30 10 20 30 40 50 60 10 30

ms 41,66 62,51 83,37 91,82 9,40 18,34 27,39 36,29 44,40 49,18 2,81 11,00

vp vp,media m/ms m/ms 0,2400 0,2400 0,2617 0,2399 0,3267 1,0638 1,0905 1,0953 1,1163 1,1022 1,1261 1,2200 3,5587 3,1430 2,7273

Possiamo trovare lo spessore dei primi due strati dalla formula: v p1 v p 2 1 1 0,2617 1,1163 z1 = t 01 = 65 = 8,38m 2 2 2 v p 2 v p1 2 1,11632 0,2617 22 2 1 t 2 z1 v p 3 v p1 v p 3 v p 2 z 2 = 02 v p1 v p 3 v 2 3 v 21 2 p p 2 2 1 105 2 8,38 3,1430 0,2617 3,1430 1,1163 = 24,59m = 3,1430 2 1,11632 0,2617 3,1430 2


11

Tensioni litostaticheIl comportamento meccanico dei terreni pu essere visualizzato pensando ad uno scheletro solido con dei vuoti intergranulari riempiti dacqua e aria. Le tensioni di taglio, in condizioni di carico usuali, sono sopportate completamente dallo scheletro solido; le tensioni normali sono invece somma di due componenti: - quelle agenti sullo scheletro solido; - quelle del fluido che riempie gli spazi intergranulari. La legge di interazione tra scheletro solido e fluido nota come Principio degli sforzi efficaci di Terzaghi: Le tensioni in un punto possono essere determinate dalla conoscenza delle tensioni totali principali 1 , 2 , 3 . Se lo spazio intergranulare riempito con acqua avente pressione u , le tensioni totali possono scomporsi nella tensione u agente sullacqua (tensione neutra) e nelle differenze 1 u, 2 u, 3 u (tensioni parziali o efficaci) Lo stato tensionale esistente in un punto del terreno dipende dal peso proprio del terreno, dalla sua storia tensionale, dalle condizioni di falda e dai carichi esterni adesso applicati. Le tensioni dovute al peso proprio sono chiamate geostatiche o litostatiche, e la loro conoscenza fondamentale per interpretare correttamente le prove di laboratorio e le prove in sito. Esiste una precisa relazione tra le tensioni efficaci verticali z e orizzontali h rappresentata dal coefficiente di spinta a riposo K 0 , la cui determinazione uno dei pi complicati aspetti da risolvere nel campo dellIngegneria Geotecnica in quanto dipende dalla sequenza degli eventi che hanno interessato il deposito.

Tensioni VerticaliIl caso pi frequente nella realt un deposito stratificato con piano campagna orizzontale per il quale le variazioni della natura del terreno in direzione orizzontale sono trascurabili. Tale situazione relativamente semplice da analizzare, poich: ogni sezione verticale pu considerarsi di simmetria; le tensioni verticale z e orizzontale h sono principali; le tensioni verticali nel terreno ad una data profondit sono dovute al peso della colonna di materiale (terreno, acqua e fondazioni) sovrastante lelemento di terreno alla profondit in esame. Detta z la profondit del terreno e il peso dellunit di volume totale (grani ed acqua) avremo lespressione per la tensione verticale totale nel terreno omogeneo: z = z e stratificato z = i z i La pressione dellacqua contenuta negli spazi interparticellari chiamata pressione idrostatica o interstiziale e, detta la profondit rispetto al livello di falda, si ricava dalla formula: u = w

Paolo Martinis

12

Il comportamento meccanico di un terreno dipende dal valore della tensione efficace o parziale, definita come: =z u z

Esercizio 2.1Abbiamo un terreno con il seguente profilo stratigrafico: kN 4m di sabbia con peso specifico = 19 3 ; m kN 6m di limo con peso specifico = 19,6 3 ; m kN 8m di argilla con peso specifico = 16,7 3 . m Sapendo che la falda posta a 6m di profondit, determinare le pressioni parziali per i punti di profondit 4m, 6m, 10m e 18m e disegnare i profili delle pressioni. Soluzione La situazione la seguente:

Possiamo costruire la tabella:Punto 1 2 3 4 5 z m 0 4 6 10 18 m kN/m2 ' u 2 2 kN/m kN/m kN/m2 0 0 0 76 0 76 115,2 0 115,2 193,6 40 153,6 327,2 120 207,2

0 0 0 4 12

19 19 19,6 19,6 16,7

ed inserire i valori nel grafico:


13

Tensioni (kN/m2) 0 100 200 300 400 1 -2 2 -6 Profondit (m) 3 Punti

-10

4

-14

Tensioni totali Tensioni parziali

-18

5

Esercizio 2.2Consideriamo un terreno con il seguente profilo stratigrafico: kN kN ML 6m di limo ML con peso specifico = 19 3 e modulo edometrico Eed = 1000 2 ; m m kN kN SW 10m di sabbia SW con peso specifico = 20 3 e modulo edometrico Eed = 8000 2 ; m m Analizzare lo stato tensionale del terreno nelle configurazioni: a) terreno asciutto (assenza di acqua); b) livello di falda posto al livello del piano campagna; c) livello di falda posto a profondit 6m; d) livello di falda posto 2m sopra il piano campagna per la costruzione di un bacino di raccolta delle acque. Determinare inoltre i cedimenti superficiali dovuti al passaggio dalla configurazione b) alla configurazione c) e confrontare le configurazioni b) e d). Soluzione Possiamo riassumere le quattro configurazioni con lo schema:

Paolo Martinis

14

Per la configurazione a) abbiamo la tabella:Punto 1 2 3 z m 0 6 16 m kN/m2 kN/m2 ' u 2 kN/m kN/m2 0 0 0 114 0 114 314 0 314

0 0 0

19 19 20

e il grafico:Tensioni (kN/m2) 0 100 200 300 400 1 -2

Profondit (m)

-6

2 Punti

-10

Tensioni totali Tensioni parziali

-14 3

Per la configurazione b) abbiamo la tabella:Punto 1 2 3 z m 0 6 16 m kN/m2 ' u 2 2 kN/m kN/m kN/m2 19 0 0 0 19 114 60 54 20 314 160 154

0 6 16

Per la configurazione c) abbiamo la tabella:Punto 1 2 3 z m 0 6 16 m ' u kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 0 19 0 0 0 0 19 114 0 114 10 20 314 100 214

Inseriamo ora nello stesso grafico i valori delle tensioni nelle configurazioni b) e c):


15

Tensioni (kN/m2) 0 100 200 300 400 1 -2

Profondit (m)

-6

2 Punti

-10

Tensioni totali Tensioni parziali c) Tensioni parziali b)

-14 3

Possiamo notare come le tensioni totali rimangano invariate sia tra le due configurazioni sia rispetto alla configurazione a). Osserviamo inoltre che le tensioni efficaci sono aumentate nel passaggio dalla configurazione b) alla c): ci comporta maggiori deformazioni, e quindi ad un abbassamento di falda corrisponde un cedimento superficiale. Tale cedimento pu essere calcolato in ogni punto mediante lespressione: dh d d = E dove dh laltezza (intorno del punto) nella quale si ha lincremento di tensione parziale; d lincremento di tensione parziale; E il modulo edometrico del terreno nel punto. Nellevidente impossibilit di eseguire unanalisi infinitesima, calcoleremo il cedimento in uno strato di terreno con lespressione: h = E dove h lo spessore dello strato nel quale si ha lincremento di tensione parziale; lincremento medio di tensione parziale; E il modulo edometrico medio del terreno nello strato. La quantit h sar, con riferimento al grafico, larea compresa tra le due rette delle tensioni parziali nelle diverse configurazioni. Nel nostro caso abbiamo dunque: per lo strato di limo un cedimento pari a: kN 6m 60 2 1 h 2 1 m = 0,18m = 18cm ML = = ML 2 Eed 2 1000 kN m2 poich lincremento della tensione parziale va da 0 (punto 1) a 60 (punto 2); lincremento medio quindi la met di quello del punto 2 (possiamo anche dire che le due rette formano un triangolo di base 60); per lo strato di sabbia un cedimento pari a:

Paolo Martinis

16

kN 10m 60 m 2 h 2 SW = SW = = 0,075m = 7,5cm kN Eed 8000 2 m poich lincremento di tensione parziale costante lungo tutto lo strato (possiamo anche dire che le due rette formano un parallelepipedo di base 60) Il cedimento superficiale (punto 1) sar ovviamente la somma dei cedimenti di ogni strato sottostante: 1 = ML + SW = (18 + 7,5)cm = 25,5cm Per la configurazione d) abbiamo invece la tabella:Punto A 1 2 3 z m 0 2 8 18 m ' u kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 10 0 0 0 10 20 20 0 19 134 80 54 20 334 180 154

0 2 8 18

Confrontando i valori delle tensioni parziali nelle configurazioni b) e d) possiamo osservare che esse non cambiano. La costruzione del bacino di cui alla configurazione d) in un terreno con lo stato tensionale in b) non produrrebbe quindi alcun effetto meccanico nel terreno, nonostante lincremento delle tensioni totali. Se invece si alzasse la falda a partire da una profondit minore di quella del piano campagna, come ad esempio nel passaggio dalla c) alla b), avremmo una diminuzione delle tensioni parziali: ci non comporta alcuna deformazione nel nostro caso. Avremmo degli effetti unicamente se nel terreno fosse presente uno strato di argilla rigonfiante, che produrrebbe un innalzamento superficiale.

Esercizio 2.3Abbiamo un terreno con il seguente profilo stratigrafico: kN kN SW 10m di sabbia SW con peso specifico SW = 20 3 e modulo edometrico Eed = 10000 2 ; m m kN 10m di argilla CH con peso specifico CH = 20 3 e modulo edometrico determinato con m una prova di laboratorio su di un provino di altezza iniziale H = 4cm che ha dato il seguente risultato:Tensione applicata (kPa) 0 0 0.02 0.04 0.06 Cedimento (cm) 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.185 0.21 0.121 0.084 0.044 0 50 100 150 200 250 300

0.155


17

Il livello di falda inizialmente alla superficie. Determinare il cedimento superficiale se la falda si abbassa di 10 m. Soluzione Calcoliamo innanzitutto le tensioni nella configurazione iniziale:Punto A 1 2 3 z m 0 10 15 20 m ' u kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 20 0 0 0 20 200 100 100 20 300 150 150 20 400 200 200 ' u kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 20 0 0 0 20 200 0 200 20 300 50 250 20 400 100 300

0 10 15 20

e dopo labbassamento della falda di 10m:Punto A 1 2 3 z m 0 10 15 20 m

0 0 5 10

Inseriamo poi i valori delle sole tensioni parziali per le due configurazioni nello stesso grafico:Tensioni (kN/m2) 0 0 -2 -4 -6 Profondit (m) -8 -10 -12 -14 2 -16 -18 -20 3 1 Punti 100 200 300 A

Tensioni iniziali Tensioni finali

Prima di passare al calcolo dei cedimenti necessario determinare il modulo edometrico medio dello strato di argilla. Per fare ci consideriamo i valori delle tensioni parziali nella met dello strato (punto 2) e cerchiamo, nel grafico della prova edometrica fornitoci, il corrispondente cedimento h . Il modulo edometrico sar poi dato dalla formula: h 2 CH Eed = h dove h laltezza del provino nella condizione di carico iniziale i . kN kN Nel punto 2 abbiamo i = 150 2 e f = 250 2 ; a tali valori corrisponde un cedimento m m h = (0,185 0,121)cm = 0,064cm = 6,4 10 4 m

Paolo Martinis

18

ed unaltezza del provino nella condizione di carico iniziale pari a: h = H h0150 = (4 0,12)cm = 3,88cm = 0,0388m Abbiamo allora kN 0,0388m 100kPa CH Eed = = 6000 2 4 m 6,4 10 m Possiamo ora calcolare i cedimenti: kN 10m 100 2 1 hSW 1 1 m = 0,05m = 5cm = SW = SW kN 2 Eed 2 10000 m2 kN 10m 100 m 2 hCH 2 = = 0,167 m = 16,7cm CH = CH kN Eed 6000 2 m A = SW + CH = (5 + 16,7 )cm = 21,7cm

Esercizio 2.4kN e modulo edometrico m3 determinato con una prova di laboratorio che ha dato il seguente risultato:Abbiamo uno strato di limo MH alto 10m con peso specifico MH = 201.2 1.192 1.19 1.184 Indice dei vuoti e 1.18 1.176

1.17 1.165 1.16 1.157 1.15 1.143 1.14 0 50 100 150 200 250 300

1.15

Tensione applicata (kPa)

Il livello di falda alla profondit di 4m. Determinare il cedimento superficiale dovuto alla kN costruzione di un terrapieno alto 6m di materiale con peso specifico = 22 3 . m Soluzione Calcoliamo innanzitutto le tensioni nella configurazione iniziale:Punto A 1 2 3 z m 0 5 10 m kN/m2 kN/m2

u kN/m2 0 10 60

' kN/m2

0 1 6

20 20 20

0 100 200

0 90 140

e dopo la costruzione del terrapieno:Quaderno degli esercizi di Geotecnica 19

Punto A 1 2 3

z m 0 6 11 16

m

kN/m2

kN/m2

0 0 1 6

22 22 20 20

0 132 232 332

' u 2 kN/m kN/m2 0 0 0 132 10 222 60 272

necessario determinare il modulo edometrico medio dello strato di limo. Per fare ci consideriamo i valori delle tensioni parziali nella met dello strato (punto 2) e cerchiamo, nel grafico della prova edometrica fornitoci, la corrispondente variazione dellindice dei vuoti e . Il modulo edometrico sar poi dato dalla formula: (e + 1) 2 MH Eed = i e dove ei il valore dellindice dei vuoti nella condizione di carico iniziale i . kN kN Nel punto 2 abbiamo i = 90 2 e f = 222 2 ; a tali valori corrisponde una variazione m m dellindice dei vuoti pari a: e = 1,177 1,154 0,023 ed un valore dellindice dei vuoti nella condizione di carico iniziale pari a: e1 1,177 come possiamo osservare dal grafico:

Abbiamo allora 2,177 132kPa kN CH Eed = 12500 2 0,023 m Possiamo ora calcolare il cedimento: kN 10m 132 m 2 hMH 2 = = 0,1056m = 10, 6cm = MH kN Eed 12500 2 m

Paolo Martinis

20

SovraccarichiLanalisi delle tensioni del terreno in campo elastico discende dalla pi generale Teoria dellelasticit in mezzi omogenei. Nella Meccanica delle terre uno dei casi di pi largo utilizzo di tale teoria costituito dalla determinazione dello stato tensionale prodotto allinterno del terreno da carichi applicati in superficie. Abbiamo soluzioni diverse in base alla natura ed allapplicazione del carico: nel caso di un carico lineare infinitamente esteso in direzione verticale abbiamo: 2Q z v = x2 + z 2 2

x

( ) 2Q = ( cos sin ) z2 2

2Q cos3 sin z nel caso di un carico puntiforme abbiamo la soluzione di Boussinesq: 3P z 3 v = 2 R 5 ( 2R + z ) x2 z 3P x 2 z 1 2 1 x = + 3 5 2 3 2 R 3 R(R + z) R (R + z) R

x =

(

)

( 2R + z ) y 2 z 1 3 2 3 R R(R + z) R (R + z) 3P xz 2 3P yz 2 3P xyz 1 2 ( 2 R + z ) xy zx = ; yz = ; xy = 5 2 5 5 3 2 R 2 R 2 R 3 R (R + z) nel caso di aree di carico, ossia nei casi di maggiore interesse applicativo, si integrano le soluzioni del caso precedente. Vista la notevole difficolt pratica di integrare le funzioni piuttosto complesse di Boussinesq vari autori hanno diagrammato le soluzioni principali. La pi comune la soluzione di Steinbrenner, che permette di valutare la tensione verticale sotto lo spigolo di unarea rettangolare:

3P x 2 z 1 2 y = + 2 R 5 3


21

Esercizio 2.5Con riferimento alla figura si determinino i cedimenti della casa negli assi verticali A, B, C e D, assunti q1=100kN/m2, q2=50kN/m2 e q3=0

Soluzione Partiamo con lanalisi del cedimento nel punto A. Per il calcolo delle tensioni verticali secondo la teoria di Boussinesq dovremo effettuare una sovrapposizione dei rettangoli che hanno come spigolo il punto A:Rettangolo A1D4(+) AC34(+) AC25(-) A1D4(-) A1B5(+) Carico q1 q2 q2 q2 q2 a 10 10 10 10 5 b 5 10 5 5 5 a/b 2 1 2 2 1

Utilizzeremo poi il diagramma di Steinbrenner per valutare le tensioni nei punti verticali sottostanti A in profondit diverse:Rettangoli b q Variabili 1 0 2 2 3 5 4 10 5 20 z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00 A1D4 5 100 z/q z 0.25 25.00 0.24 24.00 0.20 20.00 0.12 12.00 0.05 5.00 z/b 0.00 0.20 0.50 1.00 2.00 AC34 10 50 z/q 0.25 0.25 0.23 0.17 0.08 z 12.50 12.50 11.50 8.50 4.00 z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00 AC25 5 50 z/q 0.25 0.24 0.20 0.12 0.05 z 12.50 12.00 10.00 6.00 2.50 z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00 A1D4 5 50 z/q 0.25 0.24 0.20 0.12 0.05 z 12.50 12.00 10.00 6.00 2.50 z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00 A1B5 5 50 z/q 0.25 0.24 0.17 0.08 0.03 z 12.50 12.00 8.50 4.00 1.50 z

25.00 24.50 20.00 12.50 5.50

Calcoleremo infine i cedimenti lungo lasse A con la formulaEed dove il pedice i si riferisce agli strati di terreno delimitati dai punti verticali. Abbiamo quindi: h 1 25 + 24.5 24.5 + 20 20 + 12.5 12.5 + 5.5 2+ 3+ 5+ 10 = 0.1606m = 16cm = i i = 2000 2 2 2 2 Eed Ripetiamo il procedimento per lasse B:Paolo Martinis 22

=

ihi

Rettangolo A1B5(+) 5BD4(+) B23D(+)Rettangoli b q Variabili 1 0 2 2 3 5 4 10 5 20

Carico q1 q1 q2

a 5 5 5

b 5 5 5

a/b 1 1 15BD4 5 z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00 100 z/q z 0.25 25.00 0.24 24.00 0.17 17.00 0.08 8.00 0.03 3.00 z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00 B23D 5 50 z/q 0.25 0.24 0.17 0.08 0.03 z 12.50 12.00 8.50 4.00 1.50 z

A1B5 5 z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00 100 z/q z 0.25 25.00 0.24 24.00 0.17 17.00 0.08 8.00 0.03 3.00

62.50 60.00 42.50 20.00 7.50

1 62.5 + 60 60 + 42.5 42.5 + 20 20 + 7.5 2+ 3+ 5+ 10 = 0.2850m = 29cm 2000 2 2 2 2 Eed Per lasse C abbiamo invece: =Rettangolo AC34(+) 1C3D(-) 1C3D(+) 1C2B(-)Rettangoli b q Variabili 1 0 2 2 3 5 4 10 5 20 z/b 0.00 0.20 0.50 1.00 2.00

=

ihi

Carico q1 q1 q2 q2

a 10 10 10 5

b 10 5 5 5

a/b 1 2 2 11C3D 5 100 z /q 0.25 0.24 0.20 0.12 0.05 1C3D 5 z 25.00 24.00 20.00 12.00 5.00 z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00 50 z/q 0.25 0.24 0.20 0.12 0.05 z 12.50 12.00 10.00 6.00 2.50 z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00 1C2B 5 50 z/q 0.25 0.24 0.17 0.08 0.03 z 12.50 12.00 8.50 4.00 1.50 z

AC34 10 100 z/q 0.25 0.25 0.23 0.17 0.08 z 25.00 25.00 23.00 17.00 8.00 z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00

0.00 1.00 4.50 7.00 4.00

Teoricamente sarebbe

=

ihi Eed

=

1 0 +1 1 + 4.5 4.5 + 7 7+4 2+ 3+ 5+ 10 = 0.0465m = 5cm 2000 2 2 2 2

ma osservando landamento delle sovrapressioni possiamo considerare come esse non decrescano con la profondit: ci accade per le inevitabili imprecisioni nellutilizzo del diagramma di Steinbrenner. Del resto lunico punto nel quale abbiamo valori precisi il punto 1, posto alla superficie, dove il vale sempre 0.25: possiamo cos assumere nulle le sovrapressioni e, quindi, q il cedimento lungo lasse C.Quaderno degli esercizi di Geotecnica 23

z

Infine, per lasse D abbiamo:R ettangolo A1D 4(+) B23D (+)Rettangoli b q Variabili 1 0 2 2 3 5 4 10 5 20 z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00

C arico q1 q2A1D4 5 100 z/q 0.25 0.24 0.20 0.12 0.05

a 10 5

b 5 5

a/b 2 1B23D 5 50 z/q 0.25 0.24 0.17 0.08 0.03 z z 12.50 12.00 8.50 4.00 1.50

z 25.00 24.00 20.00 12.00 5.00

z/b 0.00 0.40 1.00 2.00 4.00

37.50 36.00 28.50 16.00 6.50

D =

ihi Eed

=

1 37.5 + 36 36 + 28.5 28.5 + 16 16 + 6.5 2+ 3+ 5+ 10 = 0.2305m = 23cm 2000 2 2 2 2

Paolo Martinis

24

Prove di LaboratorioStati tensionaliLa risposta di un terreno alle sollecitazioni esterne dipende dal tipo e dallentit delle tensioni applicate ma anche dal modo in cui ci avviene e dalla sua storia tensionale: diventa perci importante visualizzare le modifiche dello stato di tensioni nel terreno. Un metodo utile e sintetico la rappresentazione degli stress-path (percorsi di sollecitazione) nel piano di Mohr. Tale metodo consiste in: 1. scelta di un probabile meccanismo di rottura o di deformazione; 2. individuazione di un elemento rappresentativo del terreno; 3. determinazione del percorso di sollecitazione seguito dallelemento; 4. riproduzione del percorso in laboratorio e determinazione dei parametri geotecnici significativi per il problema in esame. Alla rappresentazione per cerchi sul piano di Mohr ( , ) solitamente preferita la rappresentazione per punti sul piano ( s, t ) dove: +h s= z 2 h t= z 2 oppure, nel caso di tensioni orizzontali non radialmente costanti, sempre per punti sul piano delle invarianti di tensione ( p, q ) dove: 1 ( 1 + 2 + 3 ) 3 1 2 2 2 q = ( 1 2 ) + ( 1 3 ) + ( 2 3 ) 2 dove 1 la tensione verticale mentre 2 e 3 sono le tensioni orizzontali. p =

Esercizio 3.1Determinare il percorso di carico di un elemento di terreno sollecitato in condizioni di simmetria radiale secondo il seguente programma di carico: 1. 1', 2', 3' vengono incrementati ugualmente a partire da zero; 2. 1' ulteriormente incrementato rimanendo 2' e 3' costanti; 3. 2' e 3' vengono incrementati lasciando 1' costante.


25

Soluzione Per il calcolo usiamo gli invarianti efficaci: 1 p ' = ( 1 '+2 3 ') = ' OTT 3 3 q ' = q = 1 ' 3 ' = OTT 2 Analizziamo le tre condizioni di carico e sostituendo le relazioni si ottengono le espressioni: dp'=d1' 12 d1'=d2'=d3' dq'=0 dp'=d1'/3 23 d2'=d3'=0 dq'=d1' dp'=2 d3'/3 34 d1'=0 dq'=- d3' Il percorso di carico, o stress-path, risulta cos essere:

Stress-path3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 2 4 p' 6 8

PermeabilitIl parametro che pi microscopicamente differenzia i terreni a grana grossa da quelli a grana fine il coefficiente di permeabilit k , le cui variazioni sono elevatissime passando dalle ghiaie alle argille. Il motivo di tale variazione spiegato dal fatto che la permeabilit influenzata da svariati fattori, quali la struttura del terreno, la macrostruttura del deposito e le variazioni dellindice dei vuoti prodotte dallo stato tensionale (nel caso dei terreni a grana fine). Definiamo il gradiente idraulico come il rapporto tra la perdita di carico idraulico ed il tratto in cui essa si verifica: dH i= dx La velocit di filtrazione di un fluido allinterno di un mezzo poroso pu essere legata al gradiente idraulico attraverso la legge di Darcy: v = ki La determinazione del coefficiente di permeabilit in laboratorio viene fatta generalmente mediante due prove, esposte negli esercizi seguenti.

Paolo Martinis

q'

26

Esercizio 3.2Si determini il coefficiente di permeabilit, avendo a disposizione i seguenti dati della prova di laboratorio: H1 H 2 = 2m L = 60cm D = 30cm V = 1l t = 1min Soluzione Il coefficiente di permeabilit si ricava dalla formula: 4VL 4 1103 60 cm k= = = 7 103 2 2 t D ( H1 H 2 ) 60 30 200 s

Esercizio 3.3Si determini il coefficiente di permeabilit di unargilla avendo a disposizione i seguenti dati della prova di permeabilit edometrica: kN = 100 2 m l = 1.97cm d = 1cm D = 7cm H1 = 60cm H 2 = 58cm t = 6h = 0.9 Soluzione Trasformiamo innanzitutto il tempo in secondi t = 6h = 21600 s e calcoliamo la sezione del provino: D 2 72 AD = = = 38.48cm 2 4 4 la sezione della buretta graduata: d 2 12 Ad = = = 0.78cm 2 4 4 Il coefficiente di permeabilit si ricava dalla formula: H 60 ln 1 ln A H2 0.78 58 = 5.6 108 cm k = l d = 0.9 1.97 38.48 21600 AD t s Possiamo considerare il risultato attendibile dato il valore molto basso di permeabilit dellargilla.


27

Prova triassialeEsercizio 3.4In una prova triassiale in condizioni drenate su un campione di sabbia fine e pulita si verificata la kN rottura quando la tensione verticale totale ha raggiunto il valore di v = 400 2 e la tensione m kN laterale il valore di r = 120 2 . m Determinare langolo di attrito e le tensioni normale e tangenziale nel piano di rottura. Soluzione Poich si tratta di un campione di sabbia fine e pulita possiamo considerare nulla la coesione; per determinare langolo di attrito analizziamo il cerchio di Mohr relativo alle tensioni principali:

Piano di rottura

tg + c =

T

O120

C

400

Dalle considerazioni trigonometriche CT = arctan OT = OT cos

= OT sin e dalle relazioni geometriche +r kN OC = v = 260 2 m 2 v r kN CT = = 140 2 m 2 OT = OC CT 295 abbiamo2 2

kN m2

= 25.39 25 = 260

kN m2 kN = 140 2 mPaolo Martinis 28

Esercizio 3.5I risultati di una prova triassiale in condizioni non drenate sono riassunti nella tabella seguente:

1-3kN/m2

z0.00% 0.25% 0.50% 1.00% 2.00% 3.00%

0 17 35 64 89 93

Determinare lindice di Poisson e il modulo di Young. Soluzione Il calcolo dellindice di Poisson consiste nella relazione = r 1 Poich siamo in condizioni non drenate avremo: 1 r = (V z ) 2 V = 1 + 2 r = 0 e quindi 1 r = z 2 z = 0.5 = 2 z Il calcolo del modulo di Young consiste invece nella relazione: z 93 kN E= = 100 = 3100 2 3 m z


29

ConsolidazioneI meccanismi che governano levolversi delle deformazioni del terreno nel tempo possono dividersi in due categorie: meccanismi dipendenti dalla variazione delle tensioni efficaci accoppiati a processi di diffusione dellacqua interstiziale (consolidazione o rigonfiamento); meccanismi che avvengono in condizioni di tensioni efficaci e pressione dellacqua costanti (creep). Per quanto riguarda il processo di consolidazione, levoluzione nel tempo delle deformazioni dipende dalle propriet del mezzo poroso, quali permeabilit e deformabilit, e dalla geometria del problema, ossia dalle condizioni al contorno e dai percorsi di drenaggio dellacqua allinterno della massa permeabile. Lapplicazione di un carico su di un terreno comporta linsorgere di sovrapressioni nellacqua interstiziale. Lentit di queste sovrapressioni varia da punto a punto allinterno di un volume finito (bulbo tensionale) mentre al di fuori di esso lacqua conserva il valore di equilibrio iniziale. Viene cos a crearsi una differenza di energia (gradiente) che instaura un moto di filtrazione, la cui durata dipende fondamentalmente dalla permeabilit del terreno. Man mano che lacqua viene espulsa dalla zona interessata dal carico si ha una riduzione dellindice dei vuoti e quindi, nel complesso, una diminuzione di volume. I fenomeni di filtrazione di tipo transitorio si hanno anche nei casi in cui si verifica uno scarico tensionale, ad esempio uno scavo, che portano ad una riduzione delle tensioni efficaci e a un conseguente aumento di volume.

Consolidazione monodimensionaleEsistono varie teorie della consolidazione che considerano svariati aspetti del terreno e dellacqua per scrivere le equazioni. La pi semplice la Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi, che costituisce la base per linterpretazione delle prove edometriche e per unanalisi approssimata dellandamento dei cedimenti nel tempo. Le ipotesi di base della teoria sono: deformazioni e flusso avvengono in ununica direzione; il terreno omogeneo e completamente saturo; le leggi tensioni-deformazioni sono di tipo lineare; lacqua ed i grani solidi sono incomprimibili; la legge di Darcy valida. A partire dallequazione di continuit del moto di filtrazione, Terzaghi ottenne lequazione della consolidazione monodimensionale: 2u u cv 2 = z t k dove cv = il coefficiente di consolidazione primaria w mv e mv = v il coefficiente di compressibilit 1+ ePaolo Martinis 30

Governando un fenomeno di filtrazione in regime transitorio, la soluzione dellequazione dipende: dalla distribuzione della sovrapressione interstiziale uo allistante di applicazione del carico (isocrona iniziale); dalle condizioni di drenaggio al contorno. Il caso pi semplice da trattare unisocrona iniziale costante con la profondit, con possibilit di drenaggio tanto dalla base quanto dalla superficie dello strato che si consolida. Chiamando H il massimo percorso di drenaggio della particella dacqua (lo strato sar quindi alto 2 H in questo caso) e facendo riferimento alle variabili adimensionali ct Tv = v 2 H z Z= H possiamo esprimere lequazione della consolidazione monodimensionale come 2u u = Z 2 Tv la cui soluzione analitica espressa come 2u u ( z, t ) = o ( sin MZ ) e MTv m =0 M

( 2m + 1) 2 Solitamente tale soluzione, che consente di calcolare il valore della sovrapressione interstiziale alla generica quota z e ad un generico istante t , diagrammata2 in termini di grado di consolidazione verticale u u ( z, t ) u ( z, t ) Uz = 0 = 1 u0 u0 ct k E in funzione del fattore di tempo adimensionale Tv = v 2 = z ed2 t : wH Hcon M =

Per la soluzione con isocrona iniziale costante e drenaggio su entrambe le estremit si guardi la curva 1; le altre curve sono funzioni di diverse isocrone iniziali e diverse condizioni di drenaggio Quaderno degli esercizi di Geotecnica 31

2

A met dello strato il gradiente idraulico sempre nullo, e pertanto lecito considerare impermeabile la superficie di mezzeria dello strato. Possiamo cos estendere la soluzione anche al caso in cui lo strato ha drenaggio da una sola estremit, definendo il percorso di drenaggio pari allintera altezza dello strato.

Esercizio 4.1Con riferimento alla figura, determinare lungo gli assi verticali A e B il cedimento finale, il tempo di consolidazione finale e landamento della consolidazione, dati: kN per il terrapieno ht = 5m , b = 20m , a = 100m e t = 19 3 ; m kN uno strato superficiale di 20m di argilla CH con peso specifico = 20 3 , permeabilit m cm kN CH e modulo edometrico Eed = 2000 2 . verticale k z = 107 s m

Soluzione Calcoliamo i cedimenti finali negli assi A e B. Fissiamo innanzitutto 4 punti per ogni asse verticale, posti a profondit 0m, 5m, 10m e 20m rispetto al piano campagna; per lasse A consideriamo poi i 4 rettangoli di carico di figura, in modo che a abbiano tutti un rapporto = 5 : b

Avremo cos unespressione per le tensioni verticali lungo lasse A del tipo: z A = 4 qt q e quindi dal diagramma di Steinbrenner abbiamoPaolo Martinis 32

Punti 0 1 2 3

z 0 5 10 20

z/b 0 0.5 1 2

z/q 0.25 0.25 0.21 0.14

A 115 110 97 65

Il cedimento nel punto 0 dellasse A sar quindi: h 1 115 + 110 110 + 97 97 + 65 A = i i = 5+ 5+ 10 = 0.95m = 95cm 2000 2 2 2 Eed Per lasse B consideriamo invece i 2 rettangoli di carico di figura, in modo che abbiano tutti un a rapporto = 2.5 : b

Avremo cos unespressione per le tensioni verticali lungo lasse B del tipo: z B = 2 qt q e quindiPunti 0 1 2 3 z 0 5 10 20 z/b 0 0.25 0.5 1 z/q 0.25 0.24 0.24 0.2 B 57.5 55.2 55.2 46

Il cedimento nel punto 0 dellasse B sar quindi: h 1 57.5 + 55.2 55.2 + 55.2 55.2 + 46 B = i i = 5+ 5+ 10 = 0.53m = 53cm 2000 2 2 2 Eed Il tempo finale di consolidazione pu essere calcolato usando la formula relativa al fattore tempo adimensionale: kE Tv = z ed2 t wH considerando H = 20m poich lacqua pu defluire solo verso lalto e ponendo Tv = 2 , relativo ad un grado di consolidazione del 100%. Abbiamo quindi T H 2 2 10 202 = 9 = 4 109 s 126anni tv = w 3 10 2 10 k z Eed


33

Per determinare la dinamica della consolidazione usiamo il diagramma della consolidazione verticale considerando lisocrona iniziale di tipo costante (curva 1), in quanto essa rappresenta comunque una buona approssimazione dello stato tensionale del terreno. Avremo quindi i valori:Tempo anni 0.5 1 2 4 8 16 32 64 126 s 1.55E+07 3.10E+07 6.20E+07 1.24E+08 2.48E+08 4.96E+08 9.92E+08 1.98E+09 3.97E+09 TV 0.0080 0.0160 0.0320 0.0640 0.1280 0.2560 0.5120 1.0240 2.0000 UV 10% 15% 20% 27% 40% 50% 75% 93% 100% A cm 9.5 14.25 19 25.65 38 47.5 71.25 88.35 95 B cm 5.3 7.95 10.6 14.31 21.2 26.5 39.75 49.29 53

Possiamo cos inserire i valori in un grafico, per osservare landamento della consolidazione e la differenza di entit dei cedimenti tra lasse A e lasse B.Tempo di consolidazione (anni)0.5 0 1 2 4 8 16 32 64 126

20

Cedimento (cm)

40

60

80

100

Dreni verticaliI depositi di terreni con caratteristiche meccaniche scadenti (argille tenere, limi compressibili, torbe, ) sui quali necessario costruire le opere vanno preconsolidati in modo da evitare crolli o cedimenti eccessivi in fase di esercizio. La preconsolidazione avviene di norma mediante lapplicazione di un precarico, che in seguito verr rimosso, in modo da ridurre i tempi di consolidazione. Talvolta, per, anche la preconsolidazione risulta eccessivamente lenta o troppo onerosa ed quindi necessario ricorrere alluso di dreni verticali, che modificano sensibilmente il percorso di drenaggio e quindi i tempi di consolidazione. Il sistema di drenaggio pu essere di due tipi: dreni in sabbia, realizzati mediante infissione per battitura o vibrazione, trivellazione o jetting; dreni prefabbricati. Questi ultimi sono i pi usati oggigiorno, sia per la loro economicit che per la facilit e rapidit di installazione ad opera di mezzi meccanici. Sono costituiti fondamentalmente da un corpo centrale inPaolo Martinis 34

plastica in cui sono ricavati i canali per il drenaggio dellacqua e da un filtro esterno in carta o in tessuto-non-tessuto. Con questi tipi di dreno il disturbo del terreno dipende in larga misura dalla geometria del dreno e dalla disposizione. Possiamo infatti distinguere in dreni disposti a maglia triangolare o quadrata, con una notevole differenza tra le rispettive aree di influenza. Il problema della consolidazione mediante dreni verticali pu essere ricondotto a quello di un cilindro equivalente di terreno con la superficie esterna impermeabile e un dreno centrale. Per i comuni dreni di tipo lamellare possiamo definire un raggio equivalente pari a R = 0.564 s per la disposizione quadrata e R = 0.525s per quella triangolare, pi efficace ma pi difficile da realizzare. Il fattore dinflusso definito come il rapporto tra il raggio equivalente e la met della larghezza del dreno: R n= r La trattazione della consolidazione radiale di un cilindro di terreno che drena verso il centro stata elaborata da Barron e si basa sulla Teoria di Terzaghi. La soluzione porta ad una espressione della sovrapressione interstiziale in funzione del tempo analoga a quella trovata per la consolidazione verticale; come prima possibile visualizzare tale soluzione mediante il grado di consolidazione totale, definito come: U T = 1 (1 UV )(1 U H ) dove U H il grado di consolidazione orizzontale, che pu essere trovato in un diagramma analogo a quello della consolidazione verticale in funzione del fattore del nuovo tempo adimensionale k E Th = y ed2 t : w 4R


35

Esercizio 4.2Determinare lungo lasse verticale A, posto al centro del terrapieno, il cedimento finale, il tempo di consolidazione finale e landamento della consolidazione dati: kN per il terrapieno b = 20m , a = 400m e qt = 100 2 ; m kN uno strato di 20m di argilla CH con peso specifico = 17 3 , permeabilit verticale m cm cm kN CH ed orizzontale kh = 6 108 , modulo edometrico Eed = 2000 2 ; k z = 108 s s m kN uno strato di 20m di limo MH con peso specifico = 20 3 , permeabilit verticale m cm cm kN MH ed orizzontale kh = 2 106 , modulo edometrico Eed = 4000 2 . k z = 106 s s m Eseguire poi il calcolo inserendo una maglia quadrata di dreni verticali. Soluzione Fissiamo innanzitutto 5 punti per lasse verticale, posti a profondit 0m, 10m, 20m, 30m e 40m rispetto al piano campagna; consideriamo poi i 4 rettangoli di carico di figura, in modo che abbiano a tutti un rapporto = 20 : b

Avremo cos unespressione per le tensioni verticali lungo lasse A del tipo: z A = 4 qt q e quindi dal diagramma di Steinbrenner abbiamo Punti 0 1 2 3 4 z 0 10 20 30 40 z/b 0 1 2 3 4 z/q 0.25 0.2 0.14 0.1 0.08 A

100 80 56 40 32

Il cedimento nel punto 0 dellasse A sar quindi la somma dei cedimenti nei due strati:

Paolo Martinis

36

CH =

ihi Eed ihi

= =

1 56 + 40 40 + 32 10 + 10 = 0.21m = 21cm 4000 2 2 Eed A = CH + MH = 1m = 100cm La soluzione di Steinbrenner della teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi valida solo per strati omogenei di terreno. quindi necessario omogeneizzare il terreno, nel senso di considerare uno strato dominante dal punto di vista della permeabilit e valutare laltezza fittizia dellaltro con la relazione: k z1 H2 = H2 k z2

MH =

1 100 + 80 80 + 56 10 + 10 = 0.79m = 79cm 2000 2 2

Scegliamo come dominante lo strato di argilla, poich dotato di una permeabilit pi bassa e quindi di una maggiore lentezza nella consolidazione: avremo cos k zCH 108 = 20 = 2m H MH = H MH 106 k zMH H tot = H CH + H MH = 22m Sar inoltre necessario considerare il modulo edometrico medio dei due terreni, che vale CH MH i H i CH Eed + MH Eed 1580 + 840 kN = Eed = = = 2420 2 0.79 + .021 i CH + MH m Come nellesercizio precedente calcoliamo il tempo finale di consolidazione con la formula T H 2 2 10 112 tv = w = 10 = 1010 s 323anni k z CH Eed 10 2420 H tot = 11m poich, ponendo come dominante lo strato di argilla, 2 lacqua pu defluire tanto verso lalto quanto verso il basso (lo strato di limo 100 volte pi permeabile di quello di argilla). Per determinare la dinamica della consolidazione usiamo al solito il diagramma della consolidazione verticale considerando la curva 1:

dove abbiamo considerato H =


37

Tempo anni 0.5 1 2 4 8 16 32 64 128 256 3230.5 0

s 1.55E+07 3.10E+07 6.20E+07 1.24E+08 2.48E+08 4.96E+08 9.92E+08 1.98E+09 3.97E+09 7.94E+09 1.00E+101 2

TV 0.0031 0.0062 0.0124 0.0248 0.0496 0.0992 0.1984 0.3968 0.7936 1.5872 2.00004 8

UV 5% 8% 13% 18% 24% 35% 49% 68% 87% 97% 100%16

A cm 5 8 13 18 24 35 49 68 87 97 10032 64 128 256 323

Tempo di consolidazione (anni)

20

Cedimento (cm)

40

60

80

100

Inseriamo ora nel terreno i dreni verticali a maglia quadrata, con le seguenti caratteristiche, fino alla profondit di 40m: s = 2m 2r = 12cm R = 0.564s = 1.128m R n = = 18.8 20 r Dal diagramma della consolidazione orizzontale osserviamo che per n = 20 si ha TH = 1.298 ; possiamo cos calcolare i tempi di consolidazione finale per i due strati con i dreni verticali: T 4 R 2 1.298 10 4 1.132 CH = 5.5 107 s 21mesi th fin = HCHw CH = 10 6 10 2000 k y EedTH w 4 R 2 1.298 10 4 1.132 = = 8.3 105 s 10 gg 8 MH MH 2 10 4000 k y Eed Osserviamo che il tempo di consolidazione per il limo con i dreni verticali trascurabile. Per la dinamica della consolidazione totale dellargilla lungo lasse A possiamo usare la formula di Barron: U T = 1 (1 UV )(1 U H )MH th fin =

Paolo Martinis

38

Per trovare U H utilizziamo il diagramma della consolidazione orizzontale riferendoci alla curva relativa ad n = 20 :Tempo anni 0.5 1 s 1.55E+07 3.10E+07 5.50E+07 TV 0.3658 0.7316 1.2980 UV 7300% 92% 100%

Possiamo cos calcolare i cedimenti nel terreno con linserimento dei dreni verticali:t UV 1-UV UH CH 1-UH UT CH UH MH 1-UH UT MH 0.5 1 2 4 8 16 32 64 128 256 323 0.05 0.08 0.13 0.18 0.24 0.35 0.49 0.68 0.87 0.97 1.00 0.95 0.92 0.87 0.82 0.76 0.65 0.51 0.32 0.13 0.03 0.00 0.73 0.92 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.27 0.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.74 0.93 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.59 0.73 0.79 0.79 0.79 0.79 0.79 0.79 0.79 0.79 0.79 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.80 0.94 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

e confrontarli con la consolidazione normale:Tempo di consolidazione (anni)0.5 0 1 2 4 8 16 32 64 128 256 323

20

Cedimento (cm)

40

60

80

100


39

Opere di sostegnoLe opere di sostegno dei terreni possono essere divise in due classi principali: opere rigide: quando si rompe il terreno segue il movimento del muro come un concio rigido e non modifica il proprio stato tensionale; opere flessibili: la struttura ed il terreno si deformano e quindi cambiano il proprio stato tensionale: lopera va fatta collaborare con il terreno mediante opportuni tiranti. Per dimensionare correttamente le opere di sostegno vanno condotte delle analisi di resistenza strutturale ai carichi e di stabilit dellequilibrio, direttamente collegate al comportamento limite del terreno tanto in fase di esecuzione dellopera quanto in fase di esercizio.

Analisi limiteLa conoscenza delle caratteristiche di resistenza a compressione e taglio dei terreni sono molto importanti per lanalisi di: stabilit delle opere; capacit portante del terreno; spinte sulle opere di sostegno. Per tali analisi si devono conoscere i diversi criteri di rottura del terreno: criterio di Mises; criterio di Tresca; criterio di Mohr-Coulomb, il pi usato per procedimenti analitici approssimati; criterio di Drucker-Pragher, usato solitamente nellanalisi numerica agli elementi finiti. I procedimenti di analisi della stabilit possono essere distinti in: il metodo dellanalisi limite, basata sulla teoria di Rankine che sfrutta il metodo cinematico; il metodo dellequilibrio limite globale, che si basa sulla teoria di Coulomb; il metodo delle caratteristiche; il metodo agli elementi finiti FEM. Tutte le teorie di stabilit partono dal presupposto che il terreno scivola come un corpo rigido indeformabile secondo una linea di scorrimento prestabilita. Il metodo dellequilibrio limite globale quello sicuramente pi noto ed usato in campo ingegneristico e si articola in: 1. individuazione della superficie di scorrimento critica; 2. assunzione di una distribuzione di tensioni lungo tale superficie; 3. risoluzione del problema mediante unequazione di equilibrio globale del terreno considerato come corpo rigido allinterno della superficie di scorrimento.

Esercizio 5.1Determinare la profondit critica di uno scavo in terreno argilloso del quale si conoscono:

Paolo Martinis

40

kN m2 kN = 20 3 m Soluzione Possiamo risolvere il problema sfruttando metodo di Rankine, che si basa sul criterio di rottura di Mohr-Coulomb. c = 50

r=cu

scavo

Le tensioni nel terreno durante lo scavo sono date dalle relazioni: h = 0 v = h La rottura del terreno si ha per v = 2c e pertanto 2c hc = = 5m

Possiamo anche utilizzare il metodo cinematico: Li = Le

Li = ABds Le = Wdsw = Wds sin a a = + = = 45 4 2 4 =r = chc 2 hc ds ds sin 45 = c 2 sin 45 4c hc = = 10m

Possiamo facilmente osservare come i due risultati siano completamente diversi.


41

SpintePer la determinazione delle spinte che il terreno opera sulle strutture dobbiamo assumere che esso sia in campo elastico, dove gli stati tensionali stanno al di sotto della retta limite; in tal caso vale la relazione: h = ko v dove ko detto coefficiente di spinta a riposo. La retta limite pu avere le tre configurazioni di figura in base alla natura coesiva del terreno: 1. terreni coesivi (maggior parte) 2. terreni puramente non coesivi (CH, OH) 3. terreni puramente coesivi (SW, GW) Le condizioni di stato limite (ossia le situazioni tensionali del terreno a rottura) sono rappresentati, nel piano di Mohr, da due cerchi tangenti alla retta di rottura per la tensione verticale di equilibrio applicata:' an 't + =c ' an 't =1

2

=c

3

'h

'v

'h

I cerchi sono due poich possiamo avere due diversi meccanismi di deformazione del terreno; con riferimento alla figura della pagina precedente: se il muro si sposta a sinistra il cuneo scivola verso sinistra e verso il basso secondo la linea di scorrimento; in tal caso la spinta del terreno sul muro si dice attiva e linclinazione della superficie di scorrimento = + ; 4 2 se il muro si sposta a destra il cuneo scivola verso destra e verso lalto secondo la linea di scorrimento; in tal caso la spinta del terreno sul muro si dice passiva e linclinazione della superficie di scorrimento = . 4 2 Le spinte del terreno sul muro, ovvero le tensioni orizzontali del terreno a contatto con la parete del muro, si determinano a partire dai coefficienti di spinta attivi e passivi. Questi sono: ka = tan 2 a = tan 2 2 2 k p = tan 2 p = tan 2 + 2 2 Cos le spinte si ricavano dalle relazioni: pa = h = ka v 2c ka pp = h = k p v + 2c k p

Paolo Martinis

42

Poich la situazione di spinta attiva molto pi pericolosa di quella di spinta passiva, nel calcolo dei coefficienti di spinta si inseriscono dei fattori di sicurezza, che valgono rispettivamente Fa = 1.3 e Fp = 2 . Va per tenuto conto del fatto che, per congruenza, glispostamenti devono essere gli stessi tanto dalla parte attiva quanto dalla parte passiva, e si sostituisce quindi allangolo di attrito gli angoli mobilitati: tan ma = arctan Fa tan mp = arctan Fp'mattivo

'm,a

'm,p

passivo

Esercizio 5.2Determinare le spinte e le forze attive e passive agenti sulla struttura di sostegno di figura

spostamenti

avendo a disposizione i dati seguenti: il primo strato dallalto composto da 3m di sabbia SW con peso specifico SW = 20 angolo di attrito efficace SW = 38 e coesione efficace nulla; kN , m3 kN , m3

il secondo strato dallalto composto da 4m di limo MH con peso specifico MH = 21 angolo di attrito efficace MH = 25 e coesione efficace cMH = 10kN ; m2

il terzo strato dallalto composto da 3m di argilla con peso specifico C = 19 attrito efficace C = 10 e coesione efficace cC = 40kN . m2

kN , angolo di m3

Soluzione La prima cosa da farsi quella di calcolare gli angoli dattrito e le coesioni mobilitate: tan SW tan 38 maSW = arctan = arctan 31 1.3 Fa tan MH tan 25 maMH = arctan = arctan 20 Fa 1.3


43

tan C tan10 = arctan 8 C Fa 1.3 tan C tan10 = arctan 5 mpC = arctan 2 Fp c kN cmMH = MH = 5 2 m 2 c kN cmC = C = 20 2 m 2 Ora possiamo calcolare i coefficienti di spinta per ogni strato: maSW a 2 2 k SW = tan tan 30 = 0.33 2 2 a m a k MH = tan 2 MH = tan 2 35 = 0.49 2 2 a m a kC = tan 2 C = tan 2 41 = 0.76 2 2 p m p kC = tan 2 + C = tan 2 47.5 = 1.19 2 2 Possiamo cos calcolare le spinte e le forze (per unit di profondit) agenti sulla struttura:

ma = arctan

Punti

zm

vkN/m2

ukN/m2

'vkN/m2

'vkakN/m2

'vkpkN/m2

p'akN/m2

p'pkN/m2

pw,akN/m2

pw,pkN/m2

EakN

Ep Ew,a Ew,pkN kN kN

1 0 2 3 2 3 3 7 3 7 4 10

0 60 60 144 144 201

0 0 0 40 40 70

0 60 60 104 104 131

0 20 29 51 79 100

0 157

0 20 22 44 43 64

0 200

0 40 40 70

-

90 128

-

245

45

0 160 300 30

Paolo Martinis

44

Verifiche di stabilitLe verifiche di stabilit per le opere di sostegno dovrebbero a rigore presupporre lanalisi dellinterazione terreno-struttura: la complessit del problema per tale che solamente nel caso delle opere flessibili si ricorre a tali schemi di interazione. Per la totalit delle opere rigide si ricorre ad alcune verifiche basate su soluzioni approssimate ricavabili con i metodi dellequilibrio limite globale, che sono fondamentalmente 5. La prima consiste nel verificare che il muro non effettui una rotazione rigida (ribaltamento), ossia che la risultante dei momenti stabilizzanti il muro rispetto al punto pi lontano dal terreno sul fondo del piede sia sufficientemente maggiore della risultante dei momenti ribaltanti rispetto a tale punto: A M stabilizzanti > F R A M ribaltanti Il fattore di sicurezza FR determinato dal progettista in accordo con la normativa tecnica in vigore (per lItalia FR = 1.3 ). La seconda verifica consiste nellaccertare che il punto di applicazione della risultante dei carichi sulla sezione di fondazione sia contenuto nel nocciolo centrale di inerzia, in modo da prevenire delle tensioni di trazione che comporterebbero fessurazioni del calcestruzzo e mancanza di attrito tra opera e terreno. Nel caso pi comune dei muri di sostegno a gravit molto lunghi la verifica consiste nel verificare che leccentricit del carico sia minore di un sesto della larghezza della fondazione. La terza verifica consiste nellaccertare che il terreno non superi il limite di elasticit perch sottoposto a tensioni di compressione superiori o prossime alla tensione di rottura. Oltre ai problemi di spostamenti eccessivi per la funzionalit dellopera o addirittura pericolosi per la sicurezza della stessa, il terreno plasticizzato perde gran parte della sua resistenza. La condizione da verificare

rottura > FRS max

dove il fattore di sicurezza FRS determinato dal progettista in accordo con la normativa tecnica in vigore (per lItalia FRS = 1.3 ) La quarta verifica consiste nellaccertare che il muro non effettui una traslazione rigida (scivolamento), ossia che la forza di taglio agente sulla fondazione dellopera sia sufficientemente maggiore della risultante delle forze orizzontali agenti sulla stessa: T > FS H Al solito il fattore di sicurezza FS determinato dal progettista in accordo con la normativa tecnica in vigore (per lItalia FS = 1.3 ). La quinta verifica consiste nellanalisi della stabilit globale del terreno, che potrebbe scivolare assieme al muro di sostegno secondo una linea di scorrimento lontana dalla superficie di contatto, senza quindi la presenza di spostamenti relativi tra lopera e il concio rigido di terreno. Tale verifica solitamente condotta con il metodo FEM.

Esercizio 5.3Effettuare le verifiche di stabilit del muro di sostegno a gravit di figura


45

avendo a disposizione i dati seguenti:kN e le dimensioni riportate in figura; m3 kN il primo strato dallalto composto da 4m di ghiaia GW con peso specifico GW = 20 3 , m angolo di attrito efficace SW = 44 e coesione efficace nulla; kN il secondo strato dallalto composto da 3m di sabbia SW con peso specifico SW = 21 3 , m angolo di attrito efficace SW = 36 , coesione efficace nulla e tensione di rottura pari a kN SW rott = 200 2 . m Soluzione La prima cosa da farsi quella di calcolare gli angoli dattrito mobilitati per i due strati di terreno: tan GW tan 44 maGW = arctan = arctan 37 Fa 1.3 tan SW tan 36 maSW = arctan = arctan 29 Fa 1.3 tan SW tan 36 = arctan 20 3 mpSW = arctan 2 Fp Ora possiamo calcolare i coefficienti di spinta: maGW a 2 2 kGW = tan tan 27 = 0.25 2 2 a m a k SW = tan 2 SW tan 2 31 = 0.35 2 2 p m p k SW = tan 2 + SW = tan 2 55 = 2.04 2 2

il muro di sostegno ha peso specifico conc = 23

3

Nella pratica professionale generalmente preferibile trascurare la spinta passiva sulle opere di sostegno poich tale assunzione va a favore di sicurezza; nella maggior parte dei casi, infatti, lo scavo antistante al piede delle opere riempito con gli scarti di cantiere, dei quali non abbiamo dati e che certo non hanno la stessa resistenza del terreno. 46

Paolo Martinis

Possiamo cos calcolare le spinte e le forze (per unit di profondit) dovute al terreno agenti sulla struttura:Punti 1 2 2 3 zm

'vkN/m2

'vkakN/m2

p'akN/m2

EakN

0 4 4 7

0 80 80 143

0 20 28 50

0 40 20 28 117 50

Punti 4 A

zm

'vkN/m2

'vkpkN/m2

p'pkN/m2

EpkN

0 4

0 43

0 43

0 21.5 20

Avremo poi le forze di peso proprio del muro, che considereremo distinto in piede (2) e parete (1): W1 = 276kN W2 = 92kN Prima di procedere alle verifiche dovremo calcolare i bracci rispetto ai punti A e B delle forze agenti sul muro, al fine controllare il ribaltamento: 4m A B bE a = bE a = 3m + = 4.33m GW GW 3 50 + 2 28 A B bE a = bE a = = 1.36m SW SW 50 + 20 1m A B bE p = bE p = = 0.33m SW SW 3 2 2 ( 3m ) + 3m 1m + (1m ) 2.92m A bW1 = 4m 3 ( 3 + 1) mbB W1

( 3m ) = 2m 4m = 2m 2

2

+ 3m 1m + (1m ) 3 ( 3 + 1) m

2

0.92m

A bW2 =


47

Fissiamo inoltre la convenzione per i segni:

Iniziamo quindi con la verifica al ribaltamento: A p M stabilizzanti = W1bWA1 + W2bWA2 + ESW bEAp = 276 2.92 + 92 2 + 21.5 0.33 = 997.01kNm

M M M

SW

A ribaltanti

=E b =

a A a GW EGW

+E b

a A a SW ESW

= 40 4.33 + 117 1.36 = 332.32kNm

A stabilizzanti A ribaltanti

997.01 3 > FR = 1.3 (la verifica soddisfatta) 332.32

Proseguiamo con la verifica delleccentricit: B a a p M B = W1bW1 + EGW bEBa + ESW bEBa + ESW bEBpGW SW

SW

= 276 0.92 + 40 4.33 + 117 1.36 21.5 0.33 = 71.3kNm N = W1 + W2 = 276 + 92 = 368kN

e=

M N

B

= 0.1938m < =

l = 0.67 m (la verifica soddisfatta) 6

Proseguiamo con la verifica alla rottura del terreno: A = 4 1 = 4m 2 4 2 1 W= = 2.67m3 6 N MB kN 1 = + = 118.7 2 A W m B N M kN 2 = = 65.3 2 2 A W 200 m 1 rott = rott = = 1.68 > FRF = 1.3 (la verifica soddisfatta) max 1 118.7

Paolo Martinis

48

Finiamo con la verifica allo scivolamento: 1 = cm + 1 tan m = 65SW SW

2 = cm + 2 tan mSW

SW

1

2

T=

2

l 1 = 200kN 2 a a p H = EGW + ESW ESW = 127kN T

1 + 2

kN m2 kN = 35 2 m

1

H

= 1.57 > FS = 1.3 (la verifica soddisfatta)


49

Quaderno Geotecnica

Documents

Transcript of Quaderno Geotecnica