ST1-3-variabilità e forma

Statistica I-a.a.2009/2010 - Prof. R. Paroli 165

VARIABILITÀ

Statistica I – a.a. 2009/2010Prof.ssa R. Paroli

LA STATISTICA (Trilussa)

Sai ched’è la statistica? E’ ‘na cosache serve pe’ fa’ un conto in generalede la gente che nasce, che sta male,che more, che va in carcere e che sposa

Ma pe’ me la statistica curiosa è dove c’entra la percentuale,pe’ via che lì la media è sempre egualepuro co’ la persona bisognosa.

Me spiego: da li conti che se fanno seconno le statistiche d’adessorisurta che te tocca un pollo all’anno:

E se nun entra ne le spese tuet’entra ne la statistica lo stessoperché c’e’ un antro che ne magnia due!!!


Gli indici di posizione sono indici sintetici che sostituiscono alle diverse modalità del carattere un’unica modalità che possa ritenersi “rappresentativa di tutte le altre” .

Da solo l’indice di posizione

- appare tuttavia insufficiente- sintesi → perdita di informazioni

- interessano anche indicatori della diversità(molteplicità) dei valori di un carattere

⇒⇒ POSIZIONE + VARIABILITPOSIZIONE + VARIABILITÀÀ

Due distribuzioni con la stessa media non è detto che presentino un medesimo comportamento


- caratteri qualitativi ⇒ mutabilità

- caratteri quantitativi ⇒ variabilità o dispersione

AttitudineAttitudine del del caratterecarattere ad ad assumereassumeremodalitmodalitàà differentidifferenti

VARIABILITAVARIABILITA’’


X ={x1,…,x6} ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯ ⎯ ⎯

Y ={y1,…,y6} ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯

è più variabile (disperso) X oppure Y ??

Per capire:


esempio: colore dei capelli di 3 gruppi (distribuzioni %)

Colore G1 G2 G3 nero 0.10 0.30 0.70

castano 0.25 0.30 0.20 biondo 0.60 0.30 0.05 altro 0.05 0.10 0.05

1 1 1

in quale gruppo c’è più mutabilità?

VARIABILITÀ PER CARATTERI QUALITATIVI

Indici di mutabilità o eterogeneità


E = ∑i=1

k fi(1 − fi) = 1 − ∑

i=1

k fi

2

(usato per lo studio della concentrazione industriale o di mercato)

INDICE DI ETEROGENEITÀ DI GINI

Basato sulle frequenze relative della distribuzione di frequenza:


esempio: colore dei capelli di 3 gruppi

Colore G1 G2 G3 nero 0.10 0.30 0.70


1 1 1

E = 1 − (0.12 + 0.252 + 0.62+ 0.052) = 1 − (0.435) = 0.565

E = 1 − (0.32 + 0.32 + 0.32+ 0.102) = 1 − (0.28) = 0.72

E = 1 − (0.72 + 0.22 + 0.052+ 0.052) = 1 − (0.535) = 0.465


situazioni estreme

minmin mutabilitmutabilitàà:

∃ fi = 1, fj = 0 (j≠i)esiste una sola modalitàcui corrisponde tutta la frequenza, tutte le altre hanno freq. nulla

maxmax mutabilitmutabilitàà:

f1 = … = fk = 1/ktutte le modalità hanno la stessafrequenza

xi fi x1 0 … … xi 1 … … xk 0 1

xi fi x1 1/k … … xi 1/k … … xk 1/k 1 Statistica I-a.a.2009/2010 - Prof. R. Paroli 174

Emin = 1 − (f12 + … + fk2) = 1 − (1) = 0 Emax = 1 − Σ (1/k)2 = 1 − k(1/k)2= 1 − 1/k

Per l’indice di eterogeneità si dimostra che:

• nella situazione minima

• nella situazione massima


apriamo una parentesi ….. (

Per rendere confrontabili tra di loro alcuni aspetti come la mutabilità (o variabilità) di caratteri diversi (pensate, ad esempio, al carattere colore degli occhi e colore dei capelli) è necessario avere a disposizione indici particolari, che prendono il nome di

INDICI NORMALIZZATISi tratta di indici che consentono di fare confronti tra caratteri diversi o stessi caratteri ma misurati con unità di misura diverse (variabilità di un titolo azionario in Euro e uno in Dollaro).


Da utilizzare per fare confronti tra variabili con unità di misura differenti

se Imin ≤ I ≤ Imax

IN = I − Imin

Imax − Imin

per il quale

0 ≤ IN ≤ 1

in genere Imin = 0 per cui

IN = I

Imax

Indici normalizzati

chiusa la parentesi …)


EN =E

Emax= 1 − Σ fi

2 1 − 1/k

Per l’indice di eterogeneità si ha che:

0≤ EN ≤1

Indice di GINI NORMALIZZATO

minima mutabilità massima mutabilità


esempio: colore dei capelli di 3 gruppi

Colore G1 G2 G3 nero 0.10 0.30 0.70


1 1 1

E = 1 − (0.12 + 0.252 + 0.62+ 0.052) = 1 − (0.435) = 0.565

Emax = 1 − 1/4 = 0.75 da cui l’indice normalizzato e’:

EN = 0.565/0.75 = 0.753 alta variabilità


E = 1 − (0.32 + 0.32 + 0.32+ 0.12) = 0.72

Emax = 1 − 1/4 = 0.75 EN = 0.72/0.75 = 0.96

per gli altri gruppi si ha:

• G2:

• G3:

E = 1 − (0.72 + 0.22 + 0.052+ 0.052) = 0.465

Emax = 1 − 1/4 = 0.75 EN = 0.465/0.75 = 0.62

ConclusioniConclusioni: poiché EN(G2)>EN(G1)>EN(G3)

G2 presenta maggior mutabilità


VARIABILITÀ PER CARATTERI QUANTITATIVI

La definizione di variabilità nel caso di caratteri quantitativi può essere applicata alle modalità in modo analitico. Si posso cioè calcolare tutte le “differenze” o “distanze” tra le varie modalità, su cui poi basare un indice che ne dia una misura sintetica.

Esistono due impostazioni basate sul differente modo del calcolo di tali distanze:

- le distanze di ogni modalità da tutte le altre

- le distanze di ogni modalità da una particolare, scelta ad hoc


x1 x2

x3

x4

x1 x2

x3 x4

Indicatori globali Indicatori di dispersione

Distanze di ogni modalità da tutte le altre

Distanze di ogni modalitàda una particolare o rappresentativa di X


INDICI DI VARIABILITINDICI DI VARIABILITÀÀ

funzioni (medie potenziate!!!) delle distanze scelte

due modi di misurare la variabilità

- variabilitvariabilitàà globaleglobale VG(X)- dispersione da centrodispersione da centro D(X)


PROPRIETA’ GENERALI

VG(X)VG(X) =VARIABILITÀ GLOBALE D(X)D(X)=DISPERSIONE

1) non negativitàVG(X) ≥ 0 D(X) ≥ 0

2) VG(X) = 0 se xi = xj D(X) = 0 se xi=cost

3) invarianza per traslazioniVG(X + b) = VG(X) D(X + b) = D(X)

4) monotonicità rispetto alle differenze elementari


INDICI DI DISPERSIONE

Scostamenti medi assoluti di ordine r da un centro

Dr(c) = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤

1n ∑

i=1

n |vi − c|r

1/r=

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤1

n ∑i=1

k |xi − c|r ni

1/r

percentile xp c = centro = mediana

media aritmetica


r = 1 (dalla mediana)

D1(Me) = 1n ∑

i=1

k |xi − Me| ni

r = 2 (dalla media)

D2(μ) = ⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤1

n ∑i=1

k (xi − μ)2 ni

1/2

chiamato anche scarto quadratico medio (σ)Statistica I-a.a.2009/2010 - Prof. R. Paroli 186

VARIANZA

D2(μ)2 = σ2= Var(X) = σ2(X) =

= ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤1

n ∑i=1

k (xi − μ)2 ni = M⎣

⎡⎦⎤(X - μ)2

Il quadrato dello scarto quadratico medio definisce la

VARIANZAVARIANZA

media degli scarti dalla media al quadrato


xi ni xi*ni (xi-μ) (xi-μ)2*ni

2 3 6 -4 484 10 40 -2 406 20 120 0 08 6 48 2 24

10 5 50 4 8044 264 192

esempio:

μ = 26444 = 6

σ2= 1n

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤

∑i=1

k (xi − μ)2 ni =

19244 =4.363636

Passaggi per il calcolo della varianza con la formula di definizione


Dim.

σ2 = M⎣⎡

⎦⎤(X - μ)2 = M(X2 − 2μX + μ2) =

= M(X2) − 2μ M(X) + μ2 = M(X2) − 2μ2 + μ2=

= M(X2) − μ2

Formula operativa:

σ2= M(X2) - μ2 = 1n ∑

i=1

k xi

2ni - μ2

media dei quadrati

quadrato della media

N.B. Var(X) ≥ 0 !!!!


esempio:

μ = 26444 = 6

σ2= M(X2)- μ2 = 1776

44 - 62= 4.363636

x i n i x i n i x i2 n i

2 3 6 1 2 4 1 0 4 0 1 6 0 6 2 0 1 2 0 7 2 0 8 6 4 8 3 8 4

1 0 5 5 0 5 0 0 4 4 2 6 4 1 7 7 6

Passaggi per il calcolo della varianza con la formula operativa

Il calcolo è piùveloce


OPERATORE VARIANZA

associa ad ogni variabile la sua VARIANZA

proprietà

1. Var(a) = 0 (varianza di una costante)

2. Var(aX) = a2 Var(X)

3. Var(aX + b) = a2 Var(X) (non linearità)

4. Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) +

Dimostratele utilizzando l’operatore media e le sue proprietà

termine ≠ 0


Passaggi principali delle dimostrazioni:

1. Var(a)= M[(a-M(a))2] = M[(a-a)2]=0

2. Var(aX)=M[(aX-M(aX))2]= M[(a(X-M(X)))2]=…=

=a2 Var(X)

3. Var(aX+b)= M[((aX+b)-M(aX+b))2]=

=M[(aX+b-aM(X)-b)2]= …=

=M[(a(X-M(X)))2]= a2 Var(X)

4. Var(X+Y) = M[((X+Y)-M(X+Y))2]= ……Statistica I-a.a.2009/2010 - Prof. R. Paroli 192

Ipotesi per il teorema della scomposizione della varianza

I dati elementari sono classificati in h sottogruppi. Per ciascuno dei sottogruppi si conosce la numerosità, la media e la varianza

- media gruppo i-esimo μi = ∑j=1

ni

xij / ni

- varianza gruppo i-esimo σ2i = ∑

j=1

ni

(xij − μi)2/ ni

1 2 … h

n1 n2 … nh

μ1 μ2 … μh

σ21 σ

22 … σ

2h


La varianza totale σ2 è ottenibile come la somma della

varianza “entro i gruppi” (varianza WITHIN=σ2W ) e

della varianza “tra i gruppi” (varianza BETWEEN=σ2B)

dove:

σ2W = M(σ

2i ) e σ

2B = V(μi)

σ2 = σ2W + σ

2B

TESI:

Teorema della scomposizione della varianza (I versione)


- σ2W = varianza within (entro i gruppi) =

media delle varianze dei gruppi = M(σ2i )

σ2W=

1n ∑

i=1

h σ

2i ni

- σ2B= varianza between (tra i gruppi) =

varianza delle medie dei gruppi = V(μi)

σ2B=

1n ∑

i=1

h (μi −μ)2 ni

σ2i ni

σ21 n1

… … σ2

h nh n

SCRIVIAMO PER ESTESO LA VARIANZA WITHIN E BETWEEN:

μi ni μ1 n1 … … μh nh n


DIMOSTRAZIONE

varianza totale = σ2Y = ∑

k=1

n ⎝

⎛⎠⎞xk − μ2 1n = ∑

i=1

h ∑j=1

ni ⎝

⎛⎠⎞xij − μ2 1n=

= ∑i=1

h ∑j=1

ni ⎝

⎛⎠⎞xij − μi + μi -μ2 1n =

= ∑i=1

h ∑j=1

ni

[(xij − μ i) + (μ i - μ)] 2 1n = (faccio il quadrato)

= ∑i=1

h ∑j=1

ni ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞(xij − μ i)

2 + (μ i - μ)

2 + 2(xij − μ i)( μ i - μ)

1n =

= ∑i=1

h ∑j=1

ni ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞(xij − μ i)

2

1n + ∑

i=1

h ∑j=1

ni ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞(μ i - μ)

2 1n +

+ 2 ∑i=1

h ∑j=1

ni ⎝

⎛⎠⎞(xij − μ i)( μ i - μ) 1n =

Aggiungo e tolgo le medie di gruppo


consideriamo separatamente i 3 addendi: I addendo

∑i=1

h ∑j=1

ni

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞(xij − μ i)

2

1n = ∑

i=1

h ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

ni

n ∑j=1

ni

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞(xij − μ i)

2

1ni

= ∑i=1

h ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

ni

n σ2 i =

= media delle var di gruppo = σ2W

II addendo

∑i=1

h ∑j=1

ni ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞(μ i - μ)

2 1n = ∑

i=1

h ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

1n ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞(μ i - μ)

2 ∑

j=1

ni 1 = ∑

i=1

h (μ i - μ)

2 ni

n =

= varianza delle medie di gruppo = σ2B

Moltiplico e divido per ni

nifattore che non dipende da j


III addendo

2 ∑i=1

h ∑

j=1

ni ⎝

⎛⎠⎞(xij − μ i)( μ i - μ) 1n =

= 2 ∑i=1

h

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

( μ i - μ) ni

n ·⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

∑j=1

ni

⎝⎛

⎠⎞(xij − μ i) 1ni

=

=2 ∑i ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

(μ i - μ) ni

n (0) = 0

σ2= σ2W + σ

2B

= 0 per la I proprietà della media

cvd

Moltiplico e divido per ni


Nel caso in cui non si conoscano i valori assunti da un carattere su tutte le unità statistiche, ma di ogni sottogruppo i in cui è suddivisa la popolazione siano noti:

- numerosità (ni)

- media (μi)

- varianza (σ2i)

è possibile ricavare la media generale (tramite l’applicazione della proprietà associativa) e la varianza (tramite il teorema di scomposizione della varianza).


La tabella riporta media e scarto quadratico medio del voto di maturità degli studenti iscritti a 4 Facoltà:

Sapendo che 60 studenti sono di Lettere, 125 di Economia, 75 di Scienze Politiche e 40 di Chimica, calcolare il voto medio di maturità e la varianzacomplessiva degli studenti di tutto l’ateneo.

media s.q.m. Lettere 88 6.16

Economia 82 7.38 Sc. Politiche 86 8.6

Chimica 85 4.25

Esempio


Distribuzione delle medie dei gruppi

• Calcolo la varianza between = var. medie dei gruppi

μ= 25380/300 = 84.60

σ2B=1692/300= (oppure, con la formula operativa) =

= 2148840/300 – (84.60)2 = 5.64

μi ni88 6082 12586 7585 40

300

μi*ni (μi-μ)2*ni μi2*ni5280 693.60 464640

10250 845.00 8405006450 147.00 5547003400 6.40 289000

25380 1692.00 2148840


• Calcolo la varianza within = media delle var. dei gruppi

σ2W=15354.29/300= 51.18

• varianza totale = var.B + var.W

σ2 = σ2B + σ2

W = 5.64 + 51.18 = 56.82

Distribuzione delle varianzedei gruppi

σi σi2 ni σi2*ni6.16 37.9456 60 2276.7367.38 54.4644 125 6808.058.6 73.96 75 5547

4.25 18.0625 40 722.5300 15354.29


MINIMA VARIABILITA’

Si ricordi la II proprietà degli indici di variabilità

la variabile statistica è caratterizzata da una distribuzione degenere (costante):

le modalità xi=xj=c ∀i≠j, con i,j=1,…,k.

Tutti gli indici assumono valore 0

anche la varianza VAR(X) = 0


MASSIMA VARIABILITA’

⎯⎯■⎯⎯⎯■⎯⎯⎯■⎯⎯⎯■⎯⎯ x1 x2 x3 x4

⎯⎯■⎯⎯■⎯⎯⎯⎯⎯⎯■⎯⎯■⎯⎯ y1 y2 y3 y4

….. y2=x2−δ y3=x3+δ …..

con media fissa

Intuitivamente:

la variabilità aumenta se aumentano le distanze tra modalità


quindi ... bisogna spostare valori e frequenzeverso gli estremi ... (o oltre)

Definizione

nella distribuzione di max variabilità le unitàstatistiche si distribuiscono intorno ai valori estremi delle modalità della variabile in studio


si costruisce una tabella con k = 2

xi ni xi fi a na oppure a fa b nb b fb n 1

TABELLA DI MAX VARIABILITA’


Ipotesi per la determinazione della situazione di massima variabilità

- modalità non negative (xi ≥ 0)

- non deve variare la numerosità n

- non deve variare la media aritmetica μ

resta fissato il totale T=∑ixini = nμ


Gli estremi sono soggetti a dei vincoli

0 ≤ a ≤ x1 xk ≤ b ≤ T

a b

0 x1 xk T

- Scelta di a e bScelta di a e b

cioè:

-a compreso tra 0 ed il minimo dei dati osservati

-b compreso tra il massimo dei dati osservati e T


Bisogna trovare i valori delle frequenze na e nbnella distribuzione

tali da verificare le 2 seguenti condizioni

- media aritmetica (o totale) costante

- n costante

xi ni a na b nb n

- Calcolo di [alcolo di [nnaa e e nnbb]]


na = n b−μ b-a nb = n

μ−a b-a

⎩⎪⎨⎪⎧Σ xi ni = T= n μΣ ni = n

Si tratta di risolvere il seguente sistema per sostituzione

⎩⎪⎨⎪⎧

ana + bnb = T= n μna + nb = n

⎩⎪⎨⎪⎧

a(n - nb)+ bnb = n μna = n - nb

⎩⎪⎨⎪⎧

(b - a) nb = n(μ-a)na = n - nb


na = n b−μ b-a

nb = n - na = n μ−a b-a

Cioè:


fa = b−μ b-a

fb = 1 - fa = μ−a b-a

⎩⎪⎨⎪⎧ Σ xi fi = μ Σ fi = 1

⎩⎪⎨⎪⎧ a fa + b fb = μ fa + fb = 1

Se si opera con le frequenze relative si ha:

e si ottengono


Osservazione

Nel caso delle frequenze assolute a volte il risultato NON è intero, si prende quindi

na = int ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

n b−μ b-a nb = int

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

n μ−a b-a

diventa però

(na + nb) = n - 1


- occorre definire una terza modalità c con frequenza unitaria (nc= 1) tale che soddisfi al vincolo della media costante, cioè

Σxini = a na + c 1 + b nb = n μ

da cuic = nμ - a na – b nb

N.B. c deve essere un valore tra a e b !!!!!!


- la distribuzione di massima variabilità diventa

xi ni a na c 1 b nb n

Un qualunque indice di variabilità calcolato su questa tabella ne rappresenterà il massimo


esempio: costruzione tabella di massima variabilità in [xmin;xmax]

xi ni xi 2ni2.5 7 43.757.5 3 168.7512.5 5 781.2517.5 5 1531.25

20 2525

n=20 a=2.5

μ= 9.5 b=17.5

na = n b−μ b-a = 20

17.5−9.5 17.5-2.5 = 10.666 ≅ 10

nb = n - na= 20 – 10.666= 9.333 ≅ 9

c=20 9.5-2.5 10 –17.5 9 = 7.5


xi ni 2.5 10 7.5 1 17.5 9

20

In questa tabella si verifica che

- n è invariato (20)

- la media è invariata (9.5)

La varianza calcolata su questa tabella è la varianza massima nella classe [2.5;17.5]


CASO PARTICOLARE

a = 0 b = T

sostituendo nelle formule di na e nb si ottiene:

na = n-1 nb = 1

xi ni 0 n-1 T 1 n

Tabella di Tabella di massima massima variabilitvariabilitàà tra tra [0,T][0,T]


Indici di variabilità normalizzati

Come per l’indice di mutabilità, la situazione massima ci permette di definire gli indici di variabilitànormalizzati (compresi tra 0 e 1):

varianza normalizzata:

σ2N = σ2

σ2max


OPERATIVAMENTE:

come si calcola un indice di variabilitànormalizzato????

1. si calcola l’indice assoluto sui dati osservati2. si costruisce la situazione di massima

variabilità3. si calcola l’indice su tale distribuzione4. si fa il rapporto tra i due

??? non esistono formule esplicite ????Statistica I-a.a.2009/2010 - Prof. R. Paroli 220

Data la distribuzione di max variabilità in [a,b]:

σ2max = [

a2(b-μ)(b-a) +

b2(μ-a)(b-a) ]-μ2=

= a2b-a2μ+b2μ-ab2-bμ2+aμ2

(b-a) =

=ab(a-b)-μ(a2-b2)+μ2(a−b)

(b-a) =

xi fi a (b-μ)/(b-a) b (μ-a)/(b-a) 1

Formula della varianza massima in [a,b]

calcolo la varianza applicando la formula operativa: Var(X)=M(X2)-μ2


= (a-b) ab-μ(a+b)+μ2

(b-a) = - (ab-μa- μb+μ2) =

= -[a(b-μ)-μ(b-μ)] = -[(a- μ)(b-μ)] = (μ-a )(b-μ)

σ2max = (b−μ)(μ−a)

Questa formula può essere applicata direttamente quando non si costruisce la situazione di massima variabilità


σ2max = (T−μ)μ = (nμ - μ)μ = (n−1) μ2

VARIANZA NORMALIZZATA

σ2N = σ2

(b−μ)(μ−a) in [a;b]

σ2N = σ2

(n−1) μ2 in [0;T]

• Nel caso di massima variabilità tra [0,T] la formula esplicita diventa:


esempio:

σ2N = σ2

(b−μ)(μ−a) = 4.363636

(10−6)(6−2) = 0.272727

σ2N = σ2

(n−1) μ2 = 4.363636

(44−1) 36 = 0.002819

x i n i x i*n i2 3 64 1 0 4 06 2 0 1 2 08 6 4 8

1 0 5 5 04 4 2 6 4

a = 2 b = 10

T = 264

μ = 6 σ2 = 4.363636

Norm. in [a;b]

Norm. in [0;T]


esempio: confronto della variabilità normalizzando in [0,T]

xi ni2.5 77.5 312.5 517.5 5

20

μ=9.5 σ2=36

σ2Ν(X) = 0.02099

yi ni15 525 435 11

20

μ=28 σ2=71

σ2Ν(Y) = 0.00477

σ2Ν(X) > σ2

Ν(Y) X presenta maggior X presenta maggior variabilitvariabilitàà


COEFFICIENTE DI VARIAZIONE

- utile per confronti ma non normalizzato (non compreso tra 0 e 1)

- numero puro che non dipende dall’unità di misura delle modalità

CV= s.q.m./media = σ/μ

N.B. il CV è sempre ≥ 0!!!


esempio: confronto della variabilità

xi ni2.5 77.5 312.5 517.5 5

20

μ=9.5 σ2=36

cv(X)= 0.6315

yi ni15 525 435 11

20

μ=28 σ2=71

cv(Y)= 0.3009

cv(X)>cv(Y) X presenta maggior X presenta maggior variabilitvariabilitàà


Grafici BOX–PLOT (o BOX&WHISKERS)

• GRAFICO RIASSUNTIVO DEI MAGGIORI INDICI DESCRITTIVI UNIVARIATI CHE CONSENTE CONFRONTI “VISIVI” TRA DIVERSE VARIABILI

• Per ogni variabile vengono rappresentate:- mediana (Q2)

- I e III quartile (Q1 e Q3)- Differenza interquartile H = Q3 – Q1

- minimo e massimo


406N =

Cilindrata in cc

500

400

300

200

100

0

-100

Q1

Q2

Q3

Il BOX è la scatola rossa.

E’ delimitata da Q1 e Q3mentre la linea nera al suo interno indica la mediana Q2.

Tra Q3 e Q1 si trova il 50% delle unitàstatistiche.

BOX


406N =

Cilindrata in cc

500

400

300

200

100

0

-100

Q1

Q2

Q3

Q1 − 1.5(Q3−Q1) o xmin

WHISKERS

Q3 + 1.5(Q3−Q1) o xmax


400N =

Potenza (CV)

300

200

100

0

1023287103209124

Q3 + 1.5(Q3−Q1)

xmax

Valori anomali

(outliers)


ESEMPIO

La seguente tabella riporta la distribuzione delle età degli operai di 3 reparti di un’azienda

1 2 340 21 2044 23 2228 26 5026 19 4158 22 3322 30 1919 18 2225 42 4428 47 4621 18 1922 49 42

1 2 3Q1 22 20 21

min 19 18 19Q2 26 23 33

max 58 49 50Q3 34 36 43

Q1-1.5(Q3-Q1) 4 -4 -12Q3+1.5(Q3-Q1) 52 60 76


Box - plot a confronto

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3

Q1minQ2maxQ3

Max = 58 = Valore anomalo

Q3+1.5(Q3-Q1) = 52


FORMA DI UNA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA

Statistica I – a.a. 2009/2010Statistica I-a.a.2009/2010 - Prof. R. Paroli 234

MOMENTI DI UNA V.S.

Indici riassuntivi di una variabile statistica

• MOMENTI CENTRALI (o DALLA MEDIA)

DI ORDINE s≥1

μ-s = M⎣⎡ ⎦⎤(X − μX)s = ∑ (xi − μX)s fi

• MOMENTI DALL’ORIGINE DI ORDINE s≥1

μs = M(Xs) = ∑xis fi


Casi particolari

• s = 1

μ-1 = M⎣⎢⎡

⎦⎥⎤(X − μX)

1 = 0 (I propr. media)

μ1 = M(X1) = M(X) media aritmetica

• s = 2

μ-2 = M⎣⎢⎡

⎦⎥⎤(X − μX)

2 varianza

μ2 = M(X2)

• s = 3 …………… • s = 4 ……………


Una v.s. è simmetricasimmetrica rispetto ad un centro c se:

- per ogni xi = c − k

- esiste un xj = c + k (simmetrico)

con stessa frequenza: f(xi) = f(xj)

SIMMETRIA

23N =

X

8

7

6

5

4

3

2

1

0


PROPRIETA’ di una v.s. simmetrica unimodale

• MODA = MEDIA = MEDIANA = c

• I MOMENTI DALLA MEDIA DI ORDINE DISPARI SONO NULLI

infatti, per la simmetria, gli scarti dalla media (centro) sono a due a due uguali in valore ma opposti in segno e con stessa frequenza ⇒ medie di ordine dispari sono nulle


curva obliqua a sinistra ⇒ Mo < Me < μ

• ASIMMETRIA POSITIVA (a sinistra)

Me


23N =

X

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Con il box-plot


curva obliqua a destra ⇒ μ <Me < Mo

• ASIMMETRIA NEGATIVA (a destra)

Me


23N =

X

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Con il box-plot


Indici di simmetria o asimmetria

Indice di FISHER o di SKEWNESS

(più comunemente usato)

γ1 = M[(X−μ)3] σ3 = μ

- 3 σ3

se asimmetria sinistra ⇒ γ1 > 0 se asimmetria destra ⇒ γ1 < 0 se simmetria ⇒ γ1 = 0 NB ( = 0 ) è solo sintomo di simmetria !!


esempio:

Moda = 15 Mediana = 15

xi ni Ni xi*ni (xi−μ) (xi−μ)2*ni (xi−μ)3*ni5 2 2 10 -10 200 -200010 4 6 40 -5 100 -50015 6 12 90 0 0 020 4 16 80 5 100 50025 2 18 50 10 200 2000

270 600 0

μ= 15 μ3= 0σ2= 33.333 γ1= 0

0

2

4

6

8

0 5 10 15 20 25 30

x

ni


xi ni Ni xi*ni (xi−μ) (xi−μ)2*ni (xi−μ)3*ni5 2 2 10 -10.32258 213.1113 -2199.85910 10 12 100 -5.322581 283.2986 -1507.8815 8 20 120 -0.322581 0.832466 -0.26853720 6 26 120 4.677419 131.2695 614.002625 5 31 125 9.677419 468.2622 4531.57

475 1096.774 1437.565

esempio:

μ= 15.323 μ3= 46.37307σ2= 35.38 γ1= 0.22036

Moda = 10 Mediana = 15

Moda<Mediana<μ

02468

1012

0 5 10 15 20 25 30

x

ni


Box - plot a confronto

0

5

10

15

20

25

30

1 2

Q1minQ2mediamaxQ3

ECCO I BOX PLOT DEGLI ULTIMI 2 ESEMPI: TROVA LE DIFFERENZE

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