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SOPRA ALGUNI PROBLEMI DI EflUILIBRIO ELASTICfl.

Nora del Dolt. L U C I A N O O R L A N D O .

Dati, sulla superficie di un corpo elastico, i valori degli spostamenti dei vavi punti, oppuve le tensioni cui questi vari punti della superficie sono soggetti, oppuve, in modo misto, alcune componenti di spostamento e altre di tensione, noi po- tvemo dire d' aver risoluto i pcoblemi dell" equilibvio elastico velativi a questi casi, quando ci sia riuscita la determinazione dello spostamento elastico in ogni punto del covpo.

Ma, anche se limitiamo il nostro studio ai corpi isotvopi, e introduciamo, come suol farsi, la vantaggiosa ipotesi che le forze di massa agenti sui vari punti siano nulle (ed ~ noto che si pub sempre a cib riduvsi), tuttavia i nostri problemi dipenderanno dall' integcazione delle tre equazioni indefinite

dO (~, -4- fz) ~ + / z a ' u = O

dO 5~ (l) (~§ v=o

00 ( x § ~ §

dove si pone

0u ,)v 0w

e le u, v, w denotano le componenti di spostamento lungo tre direzioni ortogonali x, y, z, mentce ehe ;~ e /z denotano le due eostanti statiche inecenti a[ eocpo isotropo in esame. Que- st' integrazione 6 uno dei pcoblemi pifi diflicili della fisiea ma-

tematica. Nel presente lavoro noi vogliamo separave nettamente, li-

mitandoci a corpi isotr'opi limitati da facce plane t), i casi, nei

1) Non 6 flillicUe the ques~a condiziono possa dimostrarsi superflua. - - L. O.

Serle W. Vol. VII. 11

162 L. ORLANI)O

quali in supel'ficie siano dati, i)el' ogni punto, gii Sl)ostamenii o siano date le tensioni, da quelli, nei quail pet ~ ogni punto della superficie siano date

1 .o le componen. t i tan ,genz~a~ dl sposta~nento e quet la

nor~nale d i t ens ione ,

2. 0 le co~nponent i t a n g e n z i a I i "di t ens ione e queUa no~ "-

m a l e d i sTgostamento ;

most~'ando che questi due ultimi casi possono, a diffel'enza in genes'ale dagli alt,'i, ridm'si immediatamente all' integi 'azione delia 5 ", cio6 ai p,'oblemi di Di~%hlet. E cosi pottY, di,-si che questi casi sono pitt semplici degli altl'i.

Supponiamo note, per ogni punto della supeL.ficie, le com- ponenti tangenziali di spostamento e la componente nomnale di tensione.

Se ~ a una delle facce del solido, sat'anno conosciute, lung~) te dh.ezioni di due assi ol'togonali .~; e y, tr'acciati sop~'a ~, le componenti u, v di spostamento, pel' ogni i)unto di ~; e sa~'~ anche conosciuta, per ogni punto di ~, la componente di ten- sione N secendo una direzione z, nomnale a qve r so l ' in teHm del solido Se ora b w la componente di spostamento secondo z, abbiamo che, sopra r vale, come in ogni altco punto, l' e- quazione

N - - - - X

Ow L'unica incognita in quest 'equazione 6 0 z ' ed ha un coeffi-

ciente, che, per le note l'elazioni

3 ~ + ~ > o , ~ > o ,

0w diverso da ze,'o. Ricavando dunque (5~- , e aggiungendone il

valoz'e alla quantit~ nora

0u 0v

SOPRA ALCUNI PROBI,EM1 Dr EQUILIBRIO ELASTICO 163

avremo, per ogui punto di ~, il valore della dilatazione cu- bica 0 della particella che intornia questo punto, date dalla formula

1 { (Du + dv '~ 0--A.4.2/, - - N + 2 / a

Ma questa dilatazione cubica b invariante, comunque sia orientata la t e rna dei t re assi ortogonali x, y, z ; dunque, se ripetiamo per i punti di un' altca faccia lo stesso ragionamento, ricavecemo, per" ognuno di questi punti, il valore della stessa funzione 0, sebbene vi si pecvenga con una terna d'assi di- versi dai precedenti .

Ora le (1), e le condizioni cui sono s o g g e t t e z e g, mo- strano subito the 0 dev' essere una funzione armonica. Dopo rib b facile vedere come basti risolveee il problema di Divi- chief per venire a cape di tutta la questione. Non insistendo su questo punto, troppo semplice, passiamo all' altro case.

Supponiamo note, per" ogni punto della superficie, le com- pouenti tangenziali di tensione e la componente normale di spostamento.

Se L e d M denotano le componenti della tensione (agente in un punto generico delia solita faecia ~) secondo le dire- zioni degli assi x e y, valgono sopra a, come ill ogni al tro

punto le equazioni

(3) L ~-~---/z 4- , dv O~)

M = - - ~ ~ + ~ .

Si ha per la formula

c)L bM + O~ -_ 5 ~ + ~ ~ o,

ON la quale fascia espr imere il valore incognito d i ~ . mediante i

OL OM valori, noti sopra o, di ~ e di 0-y" Questa formula ~ abba-

164 L. ORLANDO

stanza nota, ed b, pecalteo, facile a ricaval'si dalle quando si tenga pPesente la terza delle (1).

Poi si vicava dalla (2)

ON O0 O~w dz --- ;~ 0-~ - - 2~ Oz ~ .

Aggiungendo a sinistra e a destra il t e rmine noto

(~) e (s),

si o t t iene

- - 2,a \ O x ~ .4.. d y e ] ,

- - \ o ~ ~-/- \ o x ~ oy-/-=-- ~ 5~

Ova, per la tevza delle (1), la quantit'~

equivale all ' a l t ra

00 ~(~ + ~ ) ~ ,

O0 dunque possiamo r icavare (~ e ot teniamo

\ox' ,)uV)

Cib pub ripetecsi pe~' le altee facce, e, se n denota, in geneve, la direzione novmale ~,erso l' interno (dunque per a la direzione n coincide colla direzione z), noi abbiamo cosi un modo per de terminate , in ogni punto della superficie, il va-

dO loce d id-~. Anche qui si procede con integeazioni della A~,

analoghe a quelle dell' altvo problema, e si g iunge alle for- mule risolutive.

in coeso di s tampa su[ Giovnale di matemat iche di Bat- taglini un mio primo accenuo a queste idee che qui ho svolto.

SOPRA ALCUNI PROBLEM7 DI EQUILIBRIO ELASTICO 165

Ivi si pavia soltaulo di un parallelepipedo ret tangolo e di una

lastra indefinita, ma [ ' a n d a m e n t o di quella nota ~ diverso, perchb vi si studiano speciahnente alcune proprietA relat ive

alia forma par t icolare di quest ' ult imo corpo.

SOPRA L'ESP~RIENZA DEL NEUgSCHWIqNDER.

Osse~'vaaioni ed espe~'ienze del P~'of. C E S A R E F O R N A R I .

1~ noto che i[ Neugschwender l), avendo diviso, mediante una fenditura delia larghezza di 1is (li ram., un sottil velo di a rgento a~ttaccato sopra una lastra di veteo, e messo le due pat t i in circuito con un ga lvanomet ro ed una pila, scopri che, alitando sulla fessdra, il wtpore di che si r icopre 5 bastevole

ad apr i re il pass() alla corcente eletteica. Ma non appena la lastra venga lbrita dalle onde elet t r iche, la resistenza si ac- cresce, si ehe vedesi l' ago r i to rnarsene verso lo zero. Pe r assicurarmi e pigl iare esperienza di questo singolare fenomeno, ho incollato con gomma arabica, sopra una lastrina piana da microscopio (fig. l ) d u e striscioline di foglia di stagno, la-

Fig. 1.

seiando t rasversa lmente nel mezzo t r a 1' uua e l ' a l t ra una fl- nestr ina libera, della larghezza di c irca ~/~ mm. Avendo di-

sposte le due foglioline in eireuito con un sensibile ga lvano- metro aperiodieo del sistema Deprez-d 'Arsonval , e con una

pila telegrafiea italiana, della f. e. m. non superiore ad l/~

Volta; ho ineomineiato ad al i tare sullo spazietto nudo: ma da lmima, non ostante i ' a eeumula rv i s i del vapore, nessuno o pieeolissimo indizio mi ebbi del passaggio della eorrente . Non- dimeno cmlt inuando ad ali tare di t rat to in tratto, si ehe il s~)lco si mantenesse sempre umido, in poco spazio vidi I' ago

1) Wied. Ann~ t. 67~ 1899.