soluzioni_04 135 534 34756 756 757345 122546 47

Cutnell, Johnson - Fisica volume 1 Capitolo 4 Il moto in due dimensioni

Zanichelli 2009

Domande 1.S. La componente y della velocit del proiettile ha un massimo nellistante in cui esso viene lanciato(e quando raggiunge nuovamente il suolo) ha un minimo nel punto pi alto della sua traiettoria (mentre la componente x rimane costante) . 2. Il tempo di caduta dei due proiettili determinato solo dal moto in direzione verticale, dato che allistante iniziale essi hanno entrambi vy =0, raggiungeranno il suolo contemporaneamente. 3. Le componenti, orizzontale e verticale, della velocit del leopardo valgono rispettivamente: v v vx=

0

2

2 0cos 45 =

vy= v

0 sen 45+ a

yt= 2

2v

0+ a

yt

Il valore minimo della velocit si ha nel punto pi alto della traiettoria, quando vy = 0. Di conseguenza

2

2 2 2

min 0 0

20 0 0,707

2x y x

v v v v v v! "

= + = + = + =# $# $% &

Il leopardo non potr mai avere un valore di velocit pari alla met della sua velocit iniziale. 4. S, pu restare costante il modulo della velocit, ma ne possono cambiare direzione e verso. 5. La forza centripeta sulla moneta F mv r

c=

2/ , dove v r T= 2! / and T il periodo di rotazione

del disco. Quindi F mr Tc= 4

2 2! / : la moneta sar sottoposta alla massima accelerazione quando si

trova nel punto in cui r massimo, ovvero sul bordo del disco. 6. Il periodo della particella indipendente dallampiezza, ma non la sua velocit: quando la particella percorre spazi maggiori, possiede anche velocit maggiori e, quindi, il periodo resta costante. Test

1. C 2. C 3. C 4. D 5. A 6. D 7. D 8. B 9. B 10. C 11. D 12. C 13. C 14. D 15. A


Zanichelli 2009

Problemi 1. I due spostamenti sono perpendicolari tra di loro, quindi, per il teorema di Pitagora:

s = (460 m)2 + (750 m)2 = 8,8 !102 m

2. Lo spostamento orizzontale : x = 19 600 m 11 200 m = 8400 m

Lo spostamento verticale : y = 4900 m 3200 m = 1700 m Quindi,

!s = x2 + y2 = 8400 m( )

2

+ 1700 m( )2

= 8600 m

3.

v = v

x

2 + vy

2 = 15,5 m/s( )2+ 6,80 m/s( )

2=16,9 m/s

4.

v

x= v

2! v

y

2= (265 m/s)2 ! (40,6 m/s)2 = 262 m/s

5. La velocit del pallone v = at . Le due componenti, orizzontale e verticale, del vettore velocit formano un angolo di 45 e, quindi, saranno uguali: vx = vy = v sen 45 = v cos 45 = at sen 45 = at cos 45 = 12 m/s 6. La velocit con cui si muove lombra dellaereo pari alla componente orizzontale della velocit: vo = v cos 30 = 329 km/h = 3,3 102 km/h La componente verticale della velocit vv = v sen 30 = 190 km/h t = s/ vv = 0,2 m/190 km/h = 0,001053 h = 3,8 s 7. Using trigonometry, we find that the y component of the dolphins velocity is

v

y= v

xtan ! = v

xtan 35 = 7.7 m/s( ) tan 35 = 5.4 m/s

8. Per calcolare laccelerazione possiamo utilizzare la relazione:

ax=

vx

2! v

0x

2

2x=

+7,70 m/s( )2

! 0 m/s( )2

2 +12,0 m( )= 2,47 m/s2

Il vettore accelerazione forma un angolo di 30 rispetto al suolo, quindi:

a

parallelo = a

xcos30,0 = 2,47 m/s2( )cos30,0 = 2,14 m/s2


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9. Per trovare lo spostamento dellescursionista ricorriamo al metodo delle componenti, che sono riassunte nella tabella che segue

Spostamento Componente

Est/Ovest Componente

Nord/Sud

A

0,50 km 0

B 0 0,75 km

C (2,15 km) cos 35,0 = 1,76 km

(2,15 km) sen 35,0 = 1,23 km

s = A + B + C

1,26 km

0,48 km

Quindi:

s = (1,26 km)2 + (0,48 km)2 =1,35 km

Langolo vale

! = tan"1 0,48 km1,26 km

#

$%

&

'( = 21, verso nord ovest

r

!

0.48 km

1.26 km

North

East

v =!s

!t=

1,35 km

2,50 h= 0,540 km/h, 21 verso nord ovest

Le direzioni della velocit media e dello spostamento sono, come prevedibile, uguali.

10.

v = v

x

2+ v

y

2= (2,5 m/s)2 + (1,5 m/s)2 = (6,25+ 2,25) m2 /s2 = 2,9 m/s

11. In direzione perpendicolare alle rive la velocit del nuotatore di 0,50 m/s, quindi:

t =s

v=

20 m

0,50 m/s= 40 s

In questo intervallo di tempo, la corrente trascina orizzontalmente il nuotatore per un tratto: s = vt = (0,80 m/s) 40 s = 32 m 12.

v = v

nuotatore

2+ v

fiume

2= (0,50 m/s)2 + (0,80 m/s)2 = (0,25+ 0,64) m2 /s2 = 0,94 m/s

13. La velocit del passeggero nel corridoio parallelo al nastro trasportatore


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v1=

d

t1

=120 m

86 s

La velocit del passeggero che cammina sul nastro trasportatore

v2= v

1+ v

nastro=

d

t2

=120 m

35 s

La velocit del nastro , allora,

vnastro

= v2! v

1=

120 m

35 s

"

#$

%

&'!

120 m

86 s

"

#$

%

&' = 2,0 m/s

(possiamo tralasciare la scrittura vettoriale delle velocit perch il moto avviene in una sola direzione) 14.

2 2 2 2(433 / ) (250 / )areo corrente

v v v m s m s= + = + = 500 km/h Il vettore risultante ha modulo doppio rispetto alla componente est, per cui forma con il vettore velocit est un angolo di 60: quindi orientato verso sud in una direzione inclinata di 30 verso est. 15.

vvento

= vaereo

sin! "! = sin#1v

vento

vaereo

$

%&

'

() = sin#1

38,0 m/s

245 m/s

$

%&

'

() = 8,9

16. La velocit della corrente , in modulo, met della velocit del motoscafo, quindi con la direzione perpendicolare alla riva forma un angolo di 30. Langolo richiesto = 90 + 30 = 120 . 17.

vx= v

0x

+ axt = 5480 m/s+1,20 m/s

2!842 s = 6490 m/s

vy= a

yt = 8,40 m/s

2!842 s = 7072 m/s

18.

!v

AB=

!v

A+!v

B= v

A! !v

B( ) =13 m/s + 28 m/s = 41 m/s" verso est!v

BA=

!v

B+!v

A= v

B! v

A= !28 m/s ! +13 m/s( ) = ! 41 m/s" verso ovest

19. Se indichiamo con vCG la velocit dellauto rispetto alla strada, con vTC la velocit del camion rispetto allauto e con vTG la velocit del camion rispetto alla strada, il metodo delle componenti ci porta alle seguenti equazioni:

vTGx

= vCGx

+ vTCx

= 0 m/s + 22,8 m/s( ) cos 52,1 =14,0 m/s

vTGy

= vCGy

+ vTCy

=18,0 m/s - 22,8 m/s( ) sen 52,1 = 0 m/s

North

vCG 52.1

vTC

vTG


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!v

TG=

!v

TGx+!v

TGy= 14,0 m/s( )

2

+ (0 m/s)2 =14,0 m/s verso est

20.

Il tempo di volo della pallina

t =s

v=

19,6 m

28,0 m/s= 0,70 s

In questo tempo la pallina ha percorso una distanza verticale

y =

1

2gt

2=

1

2! 9,80 m/s

2! 0,70 s( )

2

= 2,4 m

21. vx = v cos 60 = 8 m/s 22.

v

0x

= v0

y

= v0sen 45 = v

0cos45 = 30,3 m/s( )sen 45 = (30,3 m/s) cos 45 = 21,4 m/s

y = v0 y

t + 12

ayt2 = v

0 y+ 1

2a

yt( ) t

0 m = +21,4 m/s + 12!9,80 m/s2( ) t"#

$% t

t1 = 0 m/s t2 = 4,37 m/s La prima soluzione corrisponde al momento del lancio, quindi t = 4,37 m/s La gittata :

G =2v

0x

v0

y

g=

2 21,4 m/s( ) 21,4 m/s( )9,80 m/s

2= 93,5 m

23. Quando il sacchetto di zavorra viene lasciato cadere ha una velocit iniziale uguale alla velocit della mongolfiera. Quindi, applicando la relazione

2

0

1

2y

y v t at= +

possiamo ricavare il tempo di caduta:

t =!3,0 m/s (3,0 m/s)2 ! 4(!4,90 m/s2 )(9,5 m)

2( ! 4,90) m=1,7 s

24.

y =1

2gt2 ! t =

2y

g=

2 2,5 "10-2

m( )9,80 m/s

2= 0,07 s

d = vt = 670 m/s( ) 0,07 s( ) = 48 m

25. La velocit iniziale di Jordan , ricordando che nel punto di altezza massima la sua velocit nulla e che il tempo necessario per raggiungerla t = 2s / 2 = 1s


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20

(9,80 m/s ) (1,00 s) 9,80 m/sy y

v a t= = =

Quindi

y = v

0y

t !1

2a

yt

2= 9,80 m/s( ) "1s !

1

29,80 m/s

2( ) 1 s( )2

= 4,90 m

ben superiore a 1m: Jordan non rimasto sospeso in aria per due secondi! 26. La velocit iniziale del pesce v v v v v

x y x x0 0

2

0

2

0

2 2

00= + = + =

perch la sua velocit raddoppi deve risultare: 2 2 2 2 2

0 0 0 02 ( ) 4 ( )x x y x x yv v v a t v v a t= = + ! = + da cui:

t1= 3

v0x

ay

= 36,0 m/s

9,80 m/s2

!

"#

$

%& =1,1 s

Perch raddoppi ancora, dobbiamo imporre che

2 2 2 2 2

0 0 0 04 ( ) 16 ( )x x y x x yv v a t v v a t= + ! = + da cui:

0

2 2

6,0 m/s15 15 2,37 s

9,80 m/s

x

y

vt

a

! "= = =# $

% &

!t =1,3 s 27.

tan (2,7 m/s) tan 75 y xv v != =

[ ]22

2

(2,7 m/s) tan 755,2 m

2 2(9,80 m/s )

y

y

vy

a

= = =

28. Calcoliamo le componenti, orizzontale e verticale, della velocit di lancio

v0x= v

0cos 60,0 = 75,0 m/s( )cos 60,0

v0 y= v

0sen 60,0 = 75,0 m/s( )sen 60,0

Il tempo di volo si pu ricavare dalla relazione

( )0

27,0 m0,720 s

75,0 m/s cos 60,0x

stv

= = =

Laltezza richiesta , allora:


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y = v0 y

t + 12

ayt2

y = 75,0 m/s( ) sen 60,0( ) 0,720 s( ) + 12 !9,80 m/s2( ) 0,720 s( )

2

= 44,2 m

"h = y ! hmuro

= 44,2 m !11,0 m = 33,2 m

29. Le componenti, orizzontale e verticale, della velocit del pacco sono:

v0

x

= v0cos50,0 = 97,5 m/s ! cos 50,0 = 62,7 m/s

v0

y

= v0 sen 50,0 = 97,5 m/s ! sen 50,0 = 74,7 m/s

Il tempo di volo del pacco si ricava dallequazione del moto uniformemente accelerato, in direzione verticale

t =!v

0 y v

0 y

2! 4 1

2a

y( ) !y( )2 1

2a

y( )

t =! 74,7 m/s( ) 74,7 m/s( )

2

! 4 12( ) !9,80 m/s

2( ) 732 m( )2 1

2( ) !9,80 m/s2( )

= ! 6,78 s e 22,0 s

La soluzione negativa va scartata perch priva di significato fisico e il valore t = 22,0 s viene utilizzato per calcolare lo spostamento x dalla relazione:

x = v0x

t + 12

axt

2 = +62,7 m/s( ) 22,0 s( ) + 12 0 m/s2( ) 22,0 s( )

2

= 0

! "### $###= +1380 m

Langolo che il vettore velocit del pacco forma rispetto al suolo dato dalla relazione:

( )1tan /y xv v! "= Ma:

v

x= v

0x

= 62,7 m/s e

( )( )20 74,7 m/s + 9,80 m/s 22,0 s 141 m/sy y yv v a t= + = + ! = ! Quindi,

1 1 141 m/stan tan 66,062,7 m/s

y

x

v

v! " "

# $ "# $= = = " % & % &% & +' (' (

30. At the instant that the jumper lands,

0y yv v= ! . Therefore, the vertical component of the jumpers

velocity is 0 0y y yv v a t! = +

Solving for t and assuming that upward is the positive direction gives

t =!2v

0y

ay

=!2v

0sin"

ay

Substituting this expression for t into the expression for x gives


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x = (v0

cos!)t = v0

cos! "2v0 sin!ay

#

$%%

&

'((

or

xv

ay

=!2

0

2sin cos" "

Solving for v0 gives

v

0=

!x ay

2cos" sin"=

!(8,7 m)(9,80 m/s2 )

2 cos 23 sin 23=11 m/s

31.

Il tempo di volo della mela : 0 0

2

2 2(11 m/s)2,24 s

9,80 m/s

y y y

y y

v v vt

a a= = = =

In questo tempo la macchina si spostata di:

x = v

xt = (25 m/s )(2,24 s) = 56 m

32. vx = v0x =

v0cos! = 16,0m/s( )cos28,0 =+14,1 m/s

v

0y

= v0 sen 30,0 = 16,0 m/s( )sen 28,0 =+7,51 m/s

Dalla componente orizzontale della velocit ricaviamo:

0

16,8 m1,19 s

+14,1 m/sx

xtv

+= = =

e, quindi,

( )( )20 7,51 m/s 9,80 m/s 1,19 s 4,15 m/sy y yv v a t= + = + + ! = ! Infine

v = v

x

2 + vy

2 = +14,1 m/s( )2

+ !4,15 m/s( )2

=14,7 m/s

33. La distanza x tra i due punti in cui le pietre colpiscono il suolo uguale a x2, cio alla distanza orizzontale percorsa dalla seconda pietra fino al momento in cui raggiunge il punto P in figura.


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!

!

!

1

2

P

2x

" x

2 0 P 0 P( cos )

xx v t v t!= =

Nel moto verticale della pietra 2,

v

y= v

0 sen ! + a

yt che, risolta in funzione di t, fornisce

t =v

y! v

0 sen "

ay

La velocit della pietra nel punto P v

y= !v

0 sen " , quindi:

tP=!2v

0 sen "

ay

Allora

x2= v

0xtP= (v

0cos!)

"2v0sen !

ay

#

$%%

&

'((

x2=!2v

0

2 sen " cos"

ay

=!2(13,0 m/s)2 sen 30,0 cos 30,0

9,80 m/s2=14,9 m

34. v = 2!r /T , where T is the period or the time required for the plane to complete one revolution.

T =2! r

v=

2 ! (2850 m)

110 m/s=160 s

35. Laccelerazione centripeta 2

c/a v r= , dove ( )2 /v r T!= , quindi


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ac=

v2

r=

2! r

T

!

"#

$

%&

2

r=

4!2r

T2

=4' 2 2,6 (103 m( )

360 s( )2

= 0,79 m/s2

36. In 0,40 s il tergicristallo spazza un angolo di 90, che corrisponde a un quarto della circonferenza: percorre quindi uno spazio pari a ( )1

42 r! . Quindi

v = 1

42!r( ) / t = !r / 2t( ) , da cui

ac=

v2

r=

!r

2t

!

"#

$

%&

2

r=!

2r

4t2=!

20,45 m( )

4 0,40 s( )2= 6,9 m/s

2

37. In entrambi i casi laccelerazione centripeta ac = v

2/ r . Quindi,

da cui:

vA

vB

=r

A

rB

=120 m

240 m= 0,71

38.

2

c

va

r=

r =v

2

a=

v2

3g=

81,92 m

2/s

2

29,4 m/s2

= 228 m

39.

aC1

aC2

=4!

2r1

/ T2

4!2r

2/ T

2=

r1

r2

=6,7 m

3,0 m= 2,2

40. a

a

r T

r T

r T

r T

2

1

2

2 2

2

2

1 1

2

2 2

2

1 1

2

4

4= =

!

!

/

/

/

/

a2= a

1

r2

r1

= 120 m/s2( )

0,050 m

0,030 m

!

"#

$

%& = 2,0 '102 m/s2

41.

! =2!

T da cui T = 2!

!= 1,4 s; la frequenza linverso del periodo, per cui

f =1

T= 0,71 Hz

2

cA A A

2

cB B B

/

/

a v r

a v r=


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42. Lampiezza del moto armonico coincide col raggio della circonferenza

== rA 0,25 m

v =

2!r

T= 2!rf da cui

f =v

2!r=

0,86 m/s

1,57 m= 0,55 Hz

43.

= 2f da cui f =

!

2"

N = ft =!2!

"#$

%&'t =

7,54 (104 rad/s2!

"

#$

%

&' 2,5 s( ) = 3,00 (104

44. La velocit massima del moto armonico si ha quando loggetto attraversa il centro delloscillazione. In tal punto la sua velocit v uguale alla velocit del moto circolare uniforme che genera il moto armonico: allora

v =2!r

T=

2! !1,5 m

1,6 s = 5,9 m/s

45.

v =

2!r

T= 2!rf

f =v

2!r=

2,8 m/s

6,28 ! 48 !10-2

m = 0,93 Hz

46.

2a r!= dove

! =2!

T=

6,28

1,1 s= 5,71 rad/s,

a = 5,71 rad/s( )

2

! 0,70 m = 23 m/s2

47. Lampiezza del moto armonico coincide col raggio della circonferenza su cui si muove il punto:

T =2!r

v=

6,28 ! 0,65 m

2,4 m/s= 1,7 s

! =2!

T=

6,28

1,7 s= 3,7 rad/s

a =!

2r = 3,7 rad/s( )

2

"0,65 m = 8,9 m/s2

48. Dal grafico si rileva che: - lampiezza del moto 0,080m; - T = 4,0 s

! =2!

T=

2!

4,0 s=1,6 rad/s

- per t = 1,0 s loggetto momentaneamente fermo v = 0 m/s;


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- per t = 1,0 s laccelerazione massima:

a

max= A!

2= 0,080 m( ) 1,6 rad/s( )

2

= 0,20 m/s2

49.

! =

2"

T= 2!f = 6,28 #9,5Hz = 60 rad/s

amax

= A!2" A =

amax

!2=

25g

60 rad/s( )2= 0,069 m

50. Il moto della pallina la composizione tra un moto rettilineo uniforme in direzione orizzontale e un moto uniformemente accelerato in verticale. Ricaviamo le componenti vx e vy.

t =2y

ay

=2(!15,5 m)

(9,80 m/s2 )=1,78 s

011,4 m/s

x xv v= = ; 2

00 + (9,80 m/s )(1,78 s) 17,4 m/s

y y yv v a t ! "= + = =# $

da cui: v = v

x

2+ v

y

2= (11,4 m/s)2 + (!17,4 m/s)2 = 20,8 m/s

51. Per ricavare la velocit di lancio della sciatrice ricorriamo alla relazione 2 2

02

y y yv v a y= + , dove

v

0 y= v

0 sen 63 . Nel punto pi alto della traiettoria vy = 0

2

00 2

y yv a y= + ,

quindi v

0 y= v

0sen 63 = 2a

yy da cui v

0=

2ayy

sen 63=

2(9,80 m/s2 )(13 m)

sen 63=18 m/s

52. Come risulta dalla figura

tany

x

v

v! =

dove

v

y= v

0 y+ a

yt = v

0 sen !

0+ a

yt

e (dato che ax = 0)

v

x= v

0x

= v0cos!

0

x

y

vy

vx

v

!

Quindi

tan! =

vy

vx

=

v0

sen !0+ a

yt

v0

cos!0

che, risolta in funzione di t fornisce:

t =v

0cos!

0 tan! sen !

0( )a

y

=29 m/s( ) cos 36 tan 18 sen 36( )

9,80 m/s2= 0,96 s


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53. Il tempo necessario per raggiungere la massima altezza :

t =!v

0 y

ay

=!v

0 sen "

ay

E, quindi, lo spostamento orizzontale risulta: 0 0

( cos )x

x v t v t!= = da cui

x = (v0

cos!)"v

0 sen !

ay

#

$%%

&

'((

x = !v

0

2 cos" sen "

ay

= !(25,0 m/s)2cos 35,0 sen 35,0

9,80 m/s2= 30,0 m

54. Il treno si muove in direzione orizzontale e la pioggia cade in direzione verticale: i vettori velocit sono allora legati dalla relazione

vGT = vRG tan = (5,0 m/s) (tan 25) = 2,3 m/s

vRG

GTv

RTv

25

(R = pioggia; T = treno; G = suolo) 55. Indichiamo con H laltezza iniziale della lattina sopra la canna del fucile. La coordinata verticale del proiettile allistante t rappresentata dallequazione

21

20 yy v t gt= ! Nello stesso istante la coordinate verticale del barattolo y' = (1/2)gt2 Perch il proiettile colpisca la lattina deve valere la relazione y = H y' ma sappiamo anche che y = voyt y'. In direzione orizzontale il proiettile viaggia per un intervallo di tempo

0x

vt

x=

che, sostituito nellequazione precedente, da: y = (voy/vox) x y' = x tan y

dove abbiamo sostituito voy/vox = tan


Zanichelli 2009

La figura mostra che, se il proiettile colpisce la lattina, H = x tan e, quindi, y = H y'. I due oggetti si trovano allora nello stesso punto allo stesso istante: il proiettile colpir sempre la lattina. 56. Il campione compie un giro completo in un tempo T = 2 r/v. La velocit si ottiene dalla: v2 = rac = (5,00 10

2 m)(6,25 103)(9,80 m/s2) = 55,3 m/s Quindi T = 2 (5,00 102 m) / (55,3 m/s) = 5,68 103 s = 9,47 105 min

E, di conseguenza, il numero di giri in un minuto : N = 1/T = 10 600 giri/min 57.

a

c=

v2

r=

(2!r / T )2

r=

4!2r

T2

dove T = (1/617) s = 1,62 10-3s

ac=

4!2 (0,020 m)

(1,62 !10"3 s)2= 3,0 !105 m / s2

Come multiplo di g, questa accelerazione vale:

ac= 3,0 !105 m / s2( )

1,00 g

9,80 m/s2

"

#$

%

&' = 3,1!104 g

58. A = 45,0 cm = 0,450 m

! =2"

T=

2"

1,90 s= 3,31 rad /s

v

max= A! = 0,450 m( ) 3,31 rad /s( ) =1,49 m /s

59. v

max=! A = (2! f )A = 2!(2,0 "10

12 Hz)(1,1 "10

-11 m) = 140 m/s

a

max=!

2 A = 4!2 f 2( ) A = 4!2 2,0 "102 Hz( )2

1,1"10#11( )m =1,7 "1015m/s2

Olimpiadi della fisica

1. E 2. A 3. C 4. Per la lancetta dei minuti si ha v = r rad/h con = 2 rad/h mentre per la lancetta delle ore si ha v/18 = r con = 4 rad/d (h e d sono rispettivamente i simboli delle unit ora e giorno). Sostituendo v si ottiene:


Zanichelli 2009

!" !r ="r

18# !r =

1

18

"

!"r =

1

18

2! rad/h

4! rad/d24 cm =

1

18

d

2 h24 cm =

1

18

24 h

2 h24 cm = 16 cm

Test di ammissione allUniversit 1. A 2. A 3. A 4. B 5. D 6. E 7. C 8. A 9. C 10. E

Prove desame allUniversit

1. B 2. B

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