EECCOONNOOMMIIAA IINNDDUUSSTTRRIIAALLEE:: ESERCIZI E APPLICAZIONI

Christian Garavaglia

SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI NON SVOLTI

Soluzione 1.4. a) Impresa A: funzione di produzione lineare (con input perfetti sostituti). L’impresa utilizzerà uno solo dei due input produttivi a seconda del costo relativo dei due input. Impresa B: funzione di produzione di Leontief (con input perfetti complementi). L’impresa utilizzerà i due input produttivi sempre congiuntamente e in proporzioni fisse tra loro. Impresa C: funzione di produzione Cobb-Douglas. L’impresa utilizzerà i due input produttivi in proporzioni variabili a seconda del loro costo.

b) I rendimenti di scala indicano la variazione della quantità prodotta in seguito alla variazione dell’impiego di tutti gli input nella stessa proporzione. Si hanno rendimenti di scala crescenti (decrescenti o costanti) quando, a seguito di un incremento nell’utilizzo di tutti i fattori produttivi di uno stesso fattore λ (con λ >1), la quantità prodotta aumenta di un fattore maggiore (minore o uguale) di λ . Formalmente, se X1 e X2 rappresentano i fattori produttivi, F la funzione di produzione e Q=F(X1; X2) l’output finale prodotto, si hanno rendimenti crescenti di scala se F(λ X1; λ X2)>λ Q (nel caso di rendimenti decrescenti il verso della disuguaglianza sarebbe <, mentre per rendimenti di scala costanti si avrebbe un segno di uguaglianza). c) Esaminiamo i tre casi. Impresa A. Calcoliamo dapprima F(λ X1; λ X2), che data la funzione di produzione risulta essere:

YX λλ 32 + , ossia raccogliendo λ si ottiene: ( )YX 32 +λ . Occorre quindi determinare se tale grandezza sia maggiore, minore o uguale a AQλ , dove

YXQA 32 += , e quindi ( )YXQA 32 += λλ . Tale grandezza è esattamente uguale a quanto trovato sopra. Quindi tale funzione di produzione esibisce rendimenti di scala costanti. Procediamo nello stesso modo con le altre due funzioni. Impresa B. F(λ X1; λ X2) è dato da: { }YX λλ 6;2min che è pari a { }YX 6;2minλ . Essendo BQλ uguale a { }YX 6;2minλ si hanno rendimenti di scala costanti. Impresa C.

F(λ X1; λ X2) è pari a: ( ) ( )YX λλ 21

2 ossia YX 21

23

2λ .

Essendo YXQC21

2λλ = , ed essendo λ >1 allora si ha che YXYX 21

21

23

22 λλ > , e quindi si hanno redimenti di scala crescenti.

d) Il concetto di rendimenti di scala è legato alla funzione di produzione, mentre il concetto di economie o diseconomie di scala è legato alla funzione dei costi. Ovviamente essendo la funzione di produzione e la funzione dei costi tra loro strettamente connesse, allora anche i due concetti di rendimenti di scala ed economie o diseconomie saranno tra loro legati. In particolare, quando si hanno rendimenti di scala crescenti1, significa che per ottenere un certo ammontare di output aggiuntivo dovremmo aumentare l’utilizzo di tutti gli input ma in misura proporzionalmente minore rispetto all’aumento dell’output. Essendo poi i costi totali pari alla somma dei prodotti delle quantità utilizzate degli input per il loro costo (che assumiamo essere costante), allora dal ragionamento sopra esposto consegue che il rapporto tra i costi totali e l’output, ossia il costo medio, sia decrescente. In conclusione, rendimenti di scala crescenti implicano costi medi, e dunque anche marginali, decrescenti. Invece, rendimenti di scala decrescenti implicano costi medi, e dunque anche marginali, crescenti. E rendimenti di scala costanti implicano costi medi, e dunque anche marginali, costanti. e) Per trovare le curve di costo di lungo periodo occorre determinare la domanda condizionata degli input produttivi. Procediamo con ordine. Impresa A. Calcoliamo il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS):

32

=

∂∂∂∂

=

YQXQ

MRTSA

A

Dato che Y

X

pp

MRTS > , gli isoquanti hanno un’inclinazione maggiore delle curve di isocosto e

quindi la scelta ottimale per l’impresa prevede l’utilizzo del solo input produttivo X. Quindi dalla funzione di produzione si ricava la domanda condizionata del fattore produttivo X.

Infatti: XQA 2= e quindi: 2

* AQX = .

Dati i prezzi degli input, la curva di costo totale di lungo periodo è data da:

( ) AA

A QQ

QTC ==2

2

Calcolando il costo medio e il costo marginale si ottiene:

1)( ==B

BA Q

QQAC

1)(

)( =∂

∂=

A

AA Q

QTCQMC

L’indice di economie di scala quindi è: 1)()(

==A

A

QMCQAC

S

che essendo uguale a 1 indica la presenza di nessun effetto di scala. Tale risultato è coerente con quanto ottenuto al punto c che indicava la presenza di rendimenti di scala costanti nella funzione di produzione. Impresa B. Le combinazioni degli input produttivi che minimizzano il costo totale si trovano in corrispondenza dei punti in cui le curve di isocosto intersecano i punti d’angolo degli isoquanti. I punti d’angolo 1 Il ragionamento che lega rendimenti di scala ad economie di scala vale per funzioni di produzione omotetiche, come le CES e le Cobb-Douglas.

sono caratterizzati dalla seguente espressione: YX 62 = , ossia: XY31

= . Mettendo a sistema la

funzione di produzione e la relazione appena trovata si ha: ( )

==

YXYXQB

626;2min

Sostituendo si ottiene che: ( )XXQB 2;2min=

e ( )YYQB 6;6min= .

da cui si ottiene:

( )3

* BB

QQX =

e

( )6

* BB

QQY = .

Dati i prezzi degli input, la curva di costo totale di lungo periodo è data da:

( ) BBB

B QQQ

QTC 26

83

2 =+= .

Calcolando il costo medio e il costo marginale si ottiene:

22

)( ==B

BB Q

QQAC

2)(

)( =∂

∂=

B

BB Q

QTCQMC

L’indice di economie di scala quindi è: 122

)()(

===B

B

QMCQAC

S

che essendo uguale a 1 indica la presenza di nessun effetto di scala. Ancora una volta, tale risultato è coerente con quanto ottenuto al punto c che indicava la presenza di rendimenti di scala costanti nella funzione di produzione. Impresa C. Calcoliamo il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRTS):

XY

X

YX

YQX

Q

MRTSC

C

21

2

21

2

21

21

==

∂∂∂

∂

=

−

Nella condizione di equilibrio deve valere che Y

X

pp

MRTS = , ossia:

82

21

=XY

da cui si ricava XY21

= oppure: YX 2= .

Sostituendo nella funzione di produzione si ottiene la domanda condizionata dei fattori produttivi:

23

21

21

21

22 XXXYXQC ===

che risolvendo per X dà:

32

*CQX = .

Similmente: ( ) 23

21

2222 YYYQC ==

da cui si ottiene: 32

*

21

CQY = .

Dati i prezzi degli input, la curva di costo totale di lungo periodo è data da:

32

32

32

621

82)( CCCC QQQQTC =+= .

Calcolando il costo medio e il costo marginale si ottiene:

313

2

66

)(−

== CC

CC Q

QQ

QAC

31

4)(

)(−

=∂

∂= C

C

CC Q

QQTC

QMC

L’indice di economie di scala quindi è: 23

46

4

6)()(

31

31

====−

−

C

C

C

C

Q

QQMCQAC

S

che essendo maggiore di 1 indica la presenza di economie di scala. Tale risultato è coerente con quanto ottenuto al punto c che indicava la presenza di rendimenti di scala crescenti nella funzione di produzione. Soluzione 3.3. a) Dato il valore dell’elasticità della domanda delle automobili 3=Fε e del costo marginale di Fiat ( )hMC += 80 , possiamo agevolmente utilizzare la regola dell’elasticità per trovare il prezzo

che massimizza il profitto dell’impresa Fiat, FF

F

pMCp

ε1

=−

da cui si ottiene:

3180

=−−

F

F

php

FF php31

80 =−−

hpF 23

120 += .

b) Per determinare la variazione del prezzo di Fiat al variare di h occorre calcolare la derivata di pF rispetto ad h:

23

=∂

∂h

pF

Quindi al variare del prezzo h di 1, il prezzo di Fiat varierà di 1.5 c) L’elasticità della domanda al prezzo per l’impresa Turbo è data dall’espressione

T

TT Q

hh

Q∂

∂−=ε .

Per ricavare tale valore, si può notare che ogni automobile contiene un motore e dunque si può scrivere FT QQ = . Di conseguenza, variazioni delle quantità dovranno essere le stesse, ossia possiamo scrivere FT QQ ∂=∂ .

Dal punto b dell’esercizio inoltre abbiamo ottenuto 23

=∂

∂h

pF che possiamo riscrivere come:

hpF ∂=∂23

, ossia: Fph ∂=∂32

.

In aggiunta sappiamo che nel caso in cui Turbo praticasse un prezzo pari a h=80 per ogni motore

venduto si avrebbe: 24012012023

120 =+=+= hpF . Quindi il rapporto tra Fp ed h è pari a:

380

240==

hpF da cui ricaviamo Fph

31

= .

Abbiamo ora tutti gli elementi per calcolare l’elasticità della domanda al prezzo per l’impresa Turbo. Sostituendo i valori trovati infatti possiamo scrivere:

23

21

31

233

1

32

==⋅⋅

∂∂

−=∂

∂−=

∂∂

−= FF

F

F

F

F

F

F

F

T

TT Q

ppQ

Q

p

p

QQh

hQ

εε .

d) Se Turbo pratica un prezzo pari a h=80 e sta massimizzando il suo profitto, allora utilizzando la

regola dell’elasticità T

T

hMCh

ε1

=−

si avrà:

231

8080

=− TMC

da cui si ottiene: 3

80=TMC .

Soluzione 4.4. a) Se il monopolista fissa lo stesso prezzo ad entrambi i consumatori allora indichiamo tale prezzo con: pA=pB=p. Invertendo le funzioni domanda date si possono quindi ricavare le espressioni delle quantità singole:

pq

pq

B

A

21

6

12

−=

−=

e quella della quantità totale domandata:

pqqQ BA 23

18 −=+=

da cui si ottiene invertendo di nuovo la domanda totale:

Qp32

12 −=

La funzione del profitto del monopolista è quindi:

( ) ( ) 22

32

8432

12432

12 QQQQQQQQQTCQQp −=−−=−

−=−=Π .

La condizione di massimizzazione del profitto del monopolista 0=∂Π∂Q

è data da: 034

8 =− Q , e

quindi: 6* =Q . Il prezzo uniforme ottimale, quindi, si ottiene sostituendo tale valore nella funzione di domanda

totale: 8632

12* =−=p .

b) Il profitto realizzato dal monopolista in questo caso è pari a:

( ) 246468**** =⋅−⋅=−=Π QTCQp Il surplus del consumatore è dato dall’area sottostante la curva di domanda e al di sopra del prezzo

di equilibrio, quindi: ( )

122

6812=

⋅−=CS .

c) Dalla teoria, sappiamo che praticando una tariffa a due stadi, il monopolista può appropriarsi di tutto il surplus del consumatore. Una tariffa a due stadi ottimale consiste di 2 parti: - una fissa - una variabile (che è più bassa del prezzo di monopolio in generale). La parte fissa ottimale è fissata esattamente pari al surplus del consumatore. In una tariffa a 2 stadi in cui l’impresa è in grado di distinguere la tipologia del consumatore (o esiste un solo tipo di consumatore) il prezzo (la parte variabile) che massimizza i profitti lordi è lo stesso che massimizza il surplus totale… ossia è il prezzo efficiente! In questo caso, per il consumatore di tipo A la parte variabile (ovvero il costo per chiamata) sarà pari al costo marginale, ossia uguale a 4. In corrispondenza di tale prezzo la quantità domandata

sarebbe pari a 812 =−= pq A , ed il surplus del consumatore è pari a ( )

322

8412=

⋅−=A

CS . Quindi

la parte fissa di tale tariffa sarà uguale a 32. La tariffa è quindi data da: 324 += AA qT . Anche per il consumatore di tipo B varrà che la parte variabile è pari a 4. In corrispondenza di tale

prezzo avremmo una quantità domandata uguale a 421

6 =−= pqB , con un conseguente surplus

del consumatore uguale a: ( )

162

4412=

⋅−=B

CS . La parte fissa della tariffa sarà, quindi, pari a 16.

Riassumendo, la tariffa è data da: 164 += BB qT . d) Il profitto che il monopolista farà nel caso in cui praticasse una tariffa a due stadi per ciascuno dei due tipi di consumatore, essendo il prezzo praticato pari al costo marginale, sarà dato dalla somma delle due parti fisse, ossia dalla somma dei due surplus, ovvero:

481632 =+=+=Π BC

AC SS .

Il surplus per entrambi i consumatori sarà pari a zero dato che la tariffa a due stadi permette di estrarre tutto il surplus. e) La discriminazione di prezzo con le tariffe a due stadi permette al monopolista di ottenere un profitto totale maggiore, e quindi sarebbe preferibile per l’impresa. f) Se i consumatori sono liberi di scegliere quale piano tariffario utilizzare, essi sceglieranno il piano che permetterà di ottener il surplus più alto. Entrambi i tipi di consumatori, quindi, sceglierebbero il piano tariffario BT , in quanto è caratterizzato dalla stessa parte variabile del

piano AT ma ha una parte fissa inferiore. I consumatori del tipo B avranno un surplus nullo, mentre i consumatori del tipo A, scegliendo la tariffa BT avranno un surplus positivo. Soluzione 4.8.b1 Confrontiamo i profitti che l’impresa cinematografica Warnerbros otterrebbe vendendo i due film congiuntamente con i profitti ottenibili dalla vendita separata. Iniziamo con la vendita separata. L’impresa potrebbe vendere il film H ad un prezzo pari a p=9000 oppure a p=10000. Nel primo caso entrambi i tipi di sale cinematografiche comprerebbero e quindi i profitti dell’impresa Warnerbros sarebbero pari a: 1800029000 =⋅=Π . Nel secondo caso solo le sale cinematografiche di tipo 2 comprerebbero e quindi i profitti per la Warnerbros sarebbero:

10000110000 =⋅=Π . La scelta ottimale quindi sarebbe di vendere il film H ad un prezzo pari a p=9000, realizzando così profitti 18000=Π . Per quanto concerne il film K, se la Warnerbros lo vendesse al prezzo p=2000, allora lo acquisterebbero entrambi i tipi di sale e quindi i profitti di Warnerbros sarebbero

400022000 =⋅=Π . Se invece fissasse il prezzo p=3000 allora acquisterebbe solo il tipo sala 1 e quindi i profitti di Warnerbros sarebbero pari a 300013000 =⋅=Π . Ne consegue che la scelta ottimale per Warnerbros è quella di fissare un prezzo per il film K pari a p=2000 vendendo ad entrambi i tipi di sale cinematografiche e realizzando così profitti uguali a 4000=Π . In conclusione, nel caso di vendita separata dei film, la scelta ottimale di Warnerbros consiste nel fissare i prezzi p=9000 per il film H, p=2000 per il film K, realizzando così in totale profitti pari a

22000400018000 =+=Π . Nel caso invece di vendita collegata (bundling) dei due film, la Warnerbros potrebbe fissare un prezzo del pacchetto pari a p=12000. A tale prezzo entrambi i tipi di sale cinematografiche acquisterebbero il pacchetto (dato che la somma delle disponibilità a pagare per i due film di ciascuna sala è esattamente pari a 12000). I profitti totali che ne derivano per Warnerbros sono quindi 24000212000 =⋅=Π . E’ evidente che la scelta migliore per il produttore cinematografico Warnerbros sia quella di vendere i due film a pacchetto (film H + film K), essendo 24000>22000. Soluzione 5.2. a) Per determinare l’equilibrio del mercato occorre risolvere il sistema tra le funzioni di risposta ottima delle tre imprese. Per trovare la funzione di risposta ottima di ciascuna impresa, quindi, ne massimizziamo la funzione del profitto rispetto alla quantità prodotta. Il profitto dell’impresa 1 è dato da:

( ) 3121211113211111 1010108020101010100)()( qqqqqqqqqqqqTCqQp −−−=−−−−=−⋅=Π .

Dalla condizione del primo ordine per la massimizzazione di tale funzione, 01

1 =∂Π∂q

, otteniamo:

010102080 321 =−−− qqq (si noti che tale procedimento equivale ad imporre l’uguaglianza tra ricavo marginale e costo marginale per l’impresa considerata: MR1=MC1. Il risultato ottenuto è equivalente). Dall’espressione sopra ottenuta si ricava la funzione di risposta ottima dell’impresa 1:

321 21

21

4 qqq −−= .

Essendo le imprese simmetriche possiamo direttamente dedurre che le funzioni di risposta ottima dell’impresa 2 e dell’impresa 3 siano pari a:

312 21

21

4 qqq −−=

213 21

21

4 qqq −−= .

L’equilibrio di Cournot è dato dalla soluzione del sistema composto dalle tre funzioni di risposta ottima. Essendo le tre imprese simmetriche possiamo semplicemente imporre la condizione di simmetria. Ossia in equilibrio varrà che: *

321 qqqq === , e quindi sostituendo in una funzione di risposta ottima otteniamo:

***

21

21

4 qqq −−=

da cui si ricava: 2* =q . Quindi abbiamo trovato la quantità prodotta in equilibrio da ciascuna delle tre imprese:

2*3

*2

*1 === qqq .

Possiamo così ricavare i valori della quantità totale e del prezzo di equilibrio: 6*

3*2

*1

* =++= qqqQ e

4060100* =−=p . b) Essendo le tre imprese simmetriche, per ciascuna i-esima impresa si avrà ovviamente lo stesso livello di profitti in equilibrio, uguale a:

( ) ( )[ ] ( ) 4022040******* =⋅−=⋅−=−=Π iiiiiii qqACpqTCqp dove i=1, 2, 3. c) In seguito all’innovazione si ha che MC1=8, mentre continua a valere che MC2=MC3=20. Dobbiamo, quindi, ora risolvere un modello di Cournot a tre imprese asimmetriche. Occorre determinare la nuova funzione di risposta ottima dell’impresa innovatrice, la 1. Dalla condizione di massimizzazione del profitto (o alternativamente imponendo MR1=MC1) si ottiene:

08101020100 321 =−−−− qqq da cui si ricava la nuova funzione di risposta ottima dell’impresa 1:

321 21

21

2092

qqq −−= .

Per le imprese 2 e 3 si ha la stessa funzione di risposta ottima di prima, cioè:

312 21

21

4 qqq −−= e 213 21

21

4 qqq −−= .

L’equilibrio del modello si ottiene risolvendo il sistema con le tre funzioni di risposta ottima. Procediamo con ordine! Sostituendo la seconda espressione nella prima si ottiene:

32321 1021

21

4109220 qqqqq −

−−−=

da cui abbiamo:

31 31

30104

qq −= .

Sostituendo questa espressione nella seconda funzione di risposta ottima si ha:

332 21

31

30104

21

4 qqq −

−−=

da cui:

32 31

3068

qq −= .

Sostituendo ora questa espressione e l’espressione precedente all’interno della terza funzione di risposta ottima otteniamo il valore di equilibrio prodotto dall’impresa 3:

−−

−−= 333 3

13068

21

31

30104

21

4 qqq

da cui si ricava: 7.1*

3 =q . Per sostituzione ora otteniamo:

7.1*2 =q

9.2*1 =q

Quindi si ottengono i valori di equilibrio del mercato: 3.6* =Q e 3763100* =−=p .

d) Calcolando ora i profitti si ottiene per l’impresa 1 che ha innovato:

1.849.2)837(*1 =⋅−=Π

mentre per le altre due imprese: 9.287.1)2037(*

3*2 =⋅−=Π=Π .

e) Per poter valutare il beneficio dei consumatori occorre calcolare il surplus. E’ evidente come in seguito all’innovazione introdotta dall’impresa 1 il prezzo di mercato sia diminuito e la quantità totale prodotta sia aumentata. Ne consegue ovviamente che il surplus dei consumatori è aumentato (calcolatelo!). Quindi, i consumatori trarranno beneficio dall’introduzione dell’innovazione. Soluzione 5.5. a) Data una funzione di domanda inversa p=a–Q, dove Q=q1+q2, la funzione dei profitti dell’impresa 1 è:

( ) 11211 cqqqqa −−−=Π . La condizione di ottimo è data da:

02 1211

1 =−−−=∂Π∂

cqqaq

da cui possiamo ricavare la funzione di risposta ottima:

21

1 21

2q

caq −

−= .

Similmente per l’impresa 2 si ottiene la funzione di risposta ottima:

12

2 21

2q

caq −

−= .

L’output di equilibrio delle due imprese è dato dalla risoluzione del sistema tra le due funzioni di risposta ottima, da cui si ottiene:

+−=

+−=

32

32

12*2

21*1

ccaq

ccaq

E’ quindi facilmente verificabile che chi ha un costo marginale più basso (ad esempio, l’impresa 1: c1<c2) produce di più in equilibrio. Se c1<c2, infatti, verificare che *

2*1 qq > vorrebbe dire verificare

che vale la seguente relazione:

32

32 1221 ccacca +−

>+−

da cui si ottiene: 1221 22 cccc +−>+−

ossia: 12 33 cc >

e quindi: 12 cc >

che è quanto abbiamo supposto, e quindi la relazione impostata è vera! b) Calcoliamo i profitti della generica impresa i. Il prezzo di equilibrio di mercato è pari a:

332

32 211221* ccaccacca

ap++

=

+−

++−

−=

Quindi, per la generica impresa i si ha:

9

)2(

3

)2(

3

)(

3

)2(

3

)2(

3

)( 2jiji

ijiji

ijiji

i

ccaccac

ccaccac

ccacca +−=

+−

−

++=

+−−

+−⋅

++=Π

ed è quindi facilmente verificabile che in generale se ci<cj allora ? i> ? j. Si noti come, ovviamente, imponendo in tale esempio cj=ci=c si ottengono gli stessi risultati del modello di Cournot con costi simmetrici. Soluzione 6.4. a) Nel modello di Cournot, l’equilibrio si determina risolvendo il sistema tra le funzioni di risposta ottima delle due imprese. Per l’impresa 1, dalla massimizzazione del suo profitto si ottiene:

02214 211

1 =−−−=∂Π∂

qqq

da cui si ricava la funzione di risposta ottima:

21 21

6 qq −= .

Similmente la funzione di risposta ottima per l’impresa 2 sarà:

12 21

6 qq −= .

Quindi, risolvendo il sistema tra le due funzioni si ottiene: 4*

2*1 == qq .

Ne consegue che: 8*2

*1

* =+= qqQ e 6814* =−=p . I profitti di equilibrio delle imprese quindi sono:

164246*2

*1 =⋅−⋅=Π=Π .

b) In caso di collusione, le due imprese si comporterebbero come se fossero un monopolista. Essendo le due imprese simmetriche possiamo risolvere il problema imponendo la condizione di ottimo per il monopolista MR=MC, ottenendo quindi:

2214 =− Q

da cui: 6=CQ . Quindi: 3221 ===

CCC Q

qq .

Ne consegue che il prezzo di equilibrio nel mercato sarebbe: 8614 =−=Cp . Ed i profitti sarebbero ora:

18323821 =⋅−⋅=Π=Π CC . c) Per determinare la condizione di sostenibilità dell’accordo collusivo, dobbiamo verificare che l’impresa i-esima (con i=1; 2) non abbia interesse a deviare dall’accordo nel lungo periodo. Ossia deve valere che:

( ) ( ) ( ) ( ) ...... 2**2 +Π+Π+Π≥+Π+Π+Π δδδδ iiDi

Ci

Ci

Ci

indicando con d il tasso di sconto, con CiΠ i profitti ottenibili colludendo, con D

iΠ i profitti

ottenibili deviando, e con *iΠ i profitti ottenibili se, appena i devia, l’impresa j applica la trigger

strategy comportandosi per sempre à la Cournot. Risolvendo la serie sopra riportata si ottiene:

−Π+Π≥

−Π

δδ

δ 111

iDi

Ci

da cui si ricava la seguente condizione per il tasso di sconto δ:

*i

Di

Ci

Di

Π−ΠΠ−Π

≥δ

Nel nostro esercizio abbiamo trovato ai punti precedenti che: 16* =Π i e 18=Π C

i .

Dobbiamo ora calcolare DiΠ .

Se l’impresa i decide di deviare, allora produrrà la quantità che massimizza il suo output considerando che l’impresa j continui a produrre la quantità stabilita dal cartello 3=C

jq . Perciò, riprendendo la funzione di risposta ottima di i ricavata al punto a si può scrivere la quantità che i produce se devia come:

5.4321

621

6 =

−=

−= C

jDi qq .

La quantità totale prodotta dal cartello nel caso di deviazione di i sarà quindi uguale a: 5.735.4 =+=+= C

jDi

D qqQ .

Il prezzo sarà quindi: 5.65.714 =−=Dp . Dati questi prezzi e quantità, possiamo calcolare il profitto dell’impresa i nel caso di deviazione:

( ) 25.205.425.6 =⋅−=Π Di .

La condizione sul tasso di sconto, *i

Di

Ci

Di

Π−ΠΠ−Π

≥δ , quindi deve essere:

1625.201825.20

−−

≥δ

cioè se: 529.0≥δ (o alternativamente179

≥δ ) .

d) Nel caso in cui le due imprese competessero à la Bertrand, la condizione di equilibrio sarebbe data da un prezzo di equilibrio uguale al costo marginale delle imprese, cioè:

2* =p . Ne consegue che la quantità di equilibrio di mercato sarebbe:

*142 Q−= da cui:

12* =Q e il profitto di ciascuna delle due imprese sarebbe nullo: 0*

2*1 =Π=Π .

e) Nel caso di collusione le imprese si competerebbero come se fossero un monopolista ottenendo così lo stesso risultato trovato al punto b, in cui si avrebbe che 6=CQ , 8=Cp e ciascuna impresa realizzerebbe in equilibrio collusivo profitti pari a:

1821 =Π=Π CC . f) La condizione di sostenibilità dell’accordo collusivo che dovrebbe valere per il tasso di sconto δ sarebbe la stessa del punto c:

*i

Di

Ci

Di

Π−ΠΠ−Π

≥δ .

Dobbiamo ora determinare i profitti di un’impresa nel caso di deviazione. Qualora l’impresa i deviasse dall’accordo, potrebbe fissare un prezzo di poco inferiore all’impresa j, ossia

ε−== 8Cj

Di pp , ottenendo così tutta la domanda di mercato. Approssimando 88 ≅−= εD

ip , si

ottiene che: 6=Diq e ( ) 36628 =⋅−=Π D

i , mentre l’impresa j non produrrebbe nulla realizzando profitti nulli. La condizione di sostenibilità sarebbe quindi:

0361836

−−

≥δ

ossia:

5.0≥δ (o alternativamente21

≥δ ) .

g) Essendo 21

179

> , allora la collusione è più facilmente sostenibile nella competizione à la

Bertrand rispetto alla competizione à la Cournot. Esiste infatti un intervallo per il tasso di sconto

δ , dato da

179

;21

, tale per cui la collusione sarebbe sostenibile se le imprese competessero à la

Bertrand ma non lo sarebbe se le imprese competessero à la Cournot, come si deduce dalle condizioni trovate ai punti c ed f. L’intuizione di tale risultato consiste nel fatto che qualora le imprese deviassero nella competizione à la Cournot, la punizione sarebbe il ritorno all’equilibrio à la Cournot con profitti positivi per entrambe le imprese. Invece, la punizione in caso di deviazione nella competizione à la Bertrand porterebbe le imprese ad avere per sempre profitti nulli. Tale punizione rende meno desiderabile l’incentivo a deviare nel caso di competizione à la Bertrand e quindi l’accordo collusivo risulterebbe maggiormente sostenibile rispetto al caso di Cournot. Soluzione 8.3. a) Il consumatore indifferente (marginale) si localizzerà nel punto x tale per cui il costo totale (prezzo più costo di trasporto) di affitto dall’impresa A è uguale al costo totale di affitto dall’impresa B, ossia: ( )xxpxp BA ˆ1−+=+ δτ , da cui si ottiene: ( ) δδτ +−=+ AB ppx , cioè:

δτδ

++−

= AB ppx .

b) Essendo il numero dei consumatori N=100, la funzione di domanda per le due imprese sarà data da:

( ) ( ) ( )δτ

δ+

+−=⋅= AB

BABAApp

ppxNppq 100,,

e da:

( ) ( )[ ] ( ) ( )δτ

τδτ

δ+

+−=

++−

−=−⋅= BAABBABAB

ppppppxNppq 1001100,1, .

c) Per determinare la funzione di risposta ottima dell’impresa A occorre massimizzare la funzione dei profitti:

( ) ( ) ( ) ( )δτ

δ+

+−−=⋅−=Π AB

ABAAAAApp

pppqcp 1002;

rispetto alla variabile di scelta pA. La condizione del primo ordine per la massimizzazione,

0=∂Π∂

A

A

p, risulta essere:

01

100100200100 =+

++

++

−+ δτδτ

δδτδτ

AB pp

da cui si ricava:

( ) 121

++= δBA pp .

Similmente si trova la funzione di risposta ottima di B, ricordando che i costi marginali sono pari a cB=8:

( ) 421

++= τAB pp .

d) In equilibrio le due imprese sceglieranno il prezzo in base alla propria funzione di risposta ottima. Occorre quindi risolvere il sistema tra le due funzioni di risposta ottima:

( )

( )

++=

++=

421

121

τ

δ

AB

BA

pp

pp

da cui si ha:

1421

21

21

+

+++= δτAA pp

ossia:

432

31* ++= δτAp .

E quindi, sostituendo, per l’impresa B:

631

32* ++= δτBp .

e) Calcoliamo le quote di mercato (Share) delle due imprese in funzione dei parametri, ricordando che la quantità totale di mercato è pari a 100. Share A:

( )

δτ

δτ

δτ

δδτδτδτ

δ

+

++=

+

+−−−++=+

+−

=+

=2

32

31

432

31

631

32

100

100**AB

BA

AA

pp

qqq

Sh

Share B: ( )

δτ

δτ

δτ

τδτδτδτ

τ

+

−+=

+

+−−−++=+

+−

=+

=2

31

32

631

32

432

31

100

100**BA

BA

BB

pp

qqq

Sh

Quindi la condizione richiesta è che valga: ShA=2ShB. Ossia:

δτ

δτ

δτ

δτ

+

−+⋅=

+

++ 231

32

22

32

31

0432

34

232

31

=+−−++ δτδτ

da cui si ottiene: δτ ∀= e6 con τδ <<0 .

f) In entrambi i modelli le imprese scelgono simultaneamente il livello del prezzo, ma in Hotelling le imprese sono in grado di produrre beni differenziati (ossia di scegliere anche la localizzazione del proprio prodotto) diversamente che nel caso di competizione à la Bertrand. Il risultato del paradosso di Bertrand mostra che la competizione sui prezzi anche con due sole imprese che producono un prodotto omogeneo conduce all’equilibrio perfettamente concorrenziale, in cui le imprese non detengono nessun potere di mercato, i prezzi sono uguali al costo marginale e le imprese realizzano profitti nulli. Introducendo l’ipotesi più realistica di prodotti differenziati si ha, invece, che le imprese in equilibrio avranno una curva di domanda inclinata negativamente (ossia hanno potere di mercato), fissano prezzi maggiori dei costi marginali e realizzano profitti positivi. Soluzione 8.5h h) Per il generico consumatore posizionato in x, la funzione del costo totale di acquisto del prodotto dell’impresa D sarà ancora una volta uguale alla somma del prezzo pagato più la disutilità associata al fatto che non consuma la sua varietà strettamente preferita. Assumendo una forma quadratica per il “costo di trasporto” si ha: ( )2dxtpD −+ .

Similmente il costo totale di acquisto del prodotto dell’impresa R sarebbe ora: ( )21 xrtpR −−+ . Per determinare le funzioni di domanda, troviamo il consumatore marginale (indifferente), indicato

con x , che ora è dato dalla condizione: ( )2dxtpD −+ = ( )2

1 xrtpR −−+ , da cui si ricava:

022222222

=−++−−−−+−+ xtrxttrxttrtptddxtxtp RD . Svolgiamo un po’ di calcoli:

( ) trtrtdtppxtdxrt DR 2212 22 −+−+−=−−

( )( )drt

rrdtppx DR

−−−+−+−

=12

21 22

.

Manipoliamo questa espressione:

( )( )

( ) =−−

−+−+

−−−

=drt

rrdtdrt

ppx DR

1221

12

22

( )( ) ( ) ( )

( )=

−−−−+−−−−+−

+−−

−=

drdrdrrrd

drtpp DR

121121

12

2222

( )( ) ( )

( )( )

( )=

−−−−

+−−

−−−−+−+

−−−

=dr

drdr

drrrddrt

pp DR

121

12121

12

2222

( )( )

( )( )

=−−

+−−−−

+−−

−=

21

122

12

2 drdrrddd

drtpp DR

( )( )

( )( )

21

11

12dr

drrdd

drtpp DR −−

+−−−−

+−−

−=

che fornisce, infine, per l’impresa D l’espressione della propria funzione di domanda xDD = :

( )( )

21

12dr

ddrt

ppx DR −−

++−−

−= .

Possiamo ora agevolmente calcolare la funzione di domanda dell’impresa R, xDR −= 1 :

xDR −= 1( )

( )2

112

drr

drtpp RD −−

++−−

−= .

Troviamo ora le funzioni di risposta ottima. Occorre trovare innanzitutto la funzione del profitto e poi massimizzare. La funzione del profitto dell’impresa D è pari a:

( ) ( ) ( )( )

−−

−+

−−+−=−=Π

drtppdr

dcpxcp DRDDD 122

1.

Dalla condizione di ottimo, 0=∂Π∂

D

D

p, otteniamo:

( ) ( ) ( ) 01212

2122

1=

−−+

−−−

−−+

−−+

drtc

drtp

drtpdr

d DR , ossia:

( ) ( ) ( )cpdrdrt

p RD +++−−−

=21

211

che è la funzione di risposta ottima di D. Analogamente si ottiene la funzione di risposta ottima di R:

( ) ( ) ( )cpdrdrt

p DR ++−+−−

=21

211

.

L’equilibrio di Nash nei prezzi si ottiene mettendo a sistema le due funzioni di risposta ottima. Sostituendo l’espressione di Rp nella funzione di risposta ottima Dp otteniamo:

( ) ( )c

drdrtpD +

+−−−=

331*

che riteniamo agevole riscrivere in questo modo:

( ) crd

drtpD +

−

+−−=3

11* .

Sostituendo nell’espressione della risposta ottima di R si ottiene:

( ) cdr

drtpR +

−

+−−=3

11* .

Siamo ora in grado di calcolare l’espressione dei profitti in equilibrio. Per l’impresa D si ha:

( ) ( )( )

−−

−+

−−+−=Π

drtppdr

dcp DRDD 122

1 **** .

Occorre calcolare **DR pp − . Sostituendo i valori trovati abbiamo che:

( ) ( )drdrtpp DR −−−=− 132** .

Quindi ora possiamo calcolare:

( ) ( )( ) ( )

2****

311

21221

−

+−−=

−−

−+

−−+−=Π

rddr

tdrt

ppdrdcp DR

DD .

Similmente avremo che:

( ) ( )( ) ( )

2****

311

21221

−

+−−=

−−

−+

−−+−=Π

drdr

tdrt

ppdrrcp RD

RR .

Finalmente siamo in grado ora di calcolare l’effetto diretto e l’effetto strategico. Ricordiamo l’espressione calcolata al punto 8.1b:

{ }

∂∂

∂∂

+∂

∂−∂=

Πdp

pD

dD

cpdd

d R

R

DDD

D*

* .

Data la domanda:( )

( )2

112

drd

drtpp

D DRD

−−++

−−−

= , calcoliamo l’effetto diretto d

DD

∂∂

:

( )( )[ ]

( )[ ] 2

1122

11

12

222

+−−

−=−+

−−

−=

∂∂

drt

pp

drt

pptd

D DRDRD .

Sostituendo il valore ( ) ( )drdrtpp DR −−−=− 132** , otteniamo:

( )drdr

dDD

−−−−

=∂

∂16

53.

Calcoliamo ora l’effetto strategico dp

pD R

R

D

∂∂

∂∂ *

:

( )drtpD

R

D

−−=

∂∂

121

−

−=∂∂

324* d

tdpR .

Sommando i risultati trovati si ottiene:

( ) ( ) ( )drdrd

drtt

drdr

dp

pD

dD R

R

DD

−−−−−

=

−

−−−

−−−−

=

∂∂

∂∂

+∂

∂16

31324

121

1653*

che ha un valore sicuramente negativo al numeratore e un valore positivo (fintantoché assumiamo che l’impresa R si collochi alla destra dell’impresa D lungo il segmento lineare), e quindi in definitiva è negativo. Essendo poi la differenza tra prezzo e costo marginale positiva, allora possiamo concludere che:

{ } 0*

* <

∂∂

∂∂

+∂

∂−∂=

Πdp

pD

dD

cpdd

d R

R

DDD

D .

Ciò significa che l’impresa D si muove verso sinistra, ossia si allontana dall’impresa R. Similmente troveremmo che per l’impresa R è conveniente spostarsi verso destra, allontanandosi così dall’impresa D. In conclusione, le imprese in tal caso trovano conveniente differenziarsi al massimo posizionandosi agli estremi del segmento lineare. Soluzione 10.6. a) La funzione di risposta ottima dell’impresa insediata Apple deriva dalla consueta condizione di massimizzazione del profitto: 062120 =−−− EA QQ

da cui si ottiene: EA QQ21

57 −= .

Similmente, la funzione di risposta ottima dell’entrante E si ottiene dalla condizione di massimizzazione del profitto di E: 0122120 =−−− EA QQ

da cui si ricava: AE QQ21

54 −= .

b) Se A decide di accomodare l’entrata, si comporta da leader alla Stackelberg, dato che è in grado di scegliere la quantità da produrre prima dell’entrante. A quindi sceglierà la quantità da produrre sapendo che l’entrante produrrà quanto previsto dalla sua funzione di risposta ottima. Calcoliamo quindi il profitto dell’insediata Apple, che sarà dato da:

( ) ( ) ( ) AAEAAAAEAAAAA QQQQQQQQQQTCQQP 61206120 2 −−−=−−−=−=π . Sostituiamo ora al posto di QE l’espressione della sua funzione di risposta ottima, trovata al punto a:

22

21

60621

54120 AAAAAAAA QQQQQQQ −=−−

−−=π .

Ora la condizione del primo ordine per la massimizzazione del profitto, 0=∂∂

A

A

Qπ

, ci dà:

060 =− AQ , ossia: 60* =AQ . Se 60* =AQ , siamo allora in grado di determinare quanto produce l’entrante, sostituendo tale valore nella sua funzione di risposta ottima:

246021

54* =−=EQ .

Quindi si ha che quantità e prezzo di equilibrio sono dati da: 842460* =+=TOTQ e

3684120* =−=P . Si può, quindi, calcolare il profitto dell’insediata come:

180036021606066036 =−=⋅−⋅=Aπ . c) Se A volesse ostacolare l’entrata allora potrebbe praticare il prezzo limite, in corrispondenza del quale il profitto di E sarebbe nullo e quindi E non sarebbe incentivata ad entrare. Scriviamo l’espressione del profitto dell’entrante E in funzione della quantità dell’impresa A (QA) sostituendo la funzione di risposta ottima di E:

( ) ( )

10021

541221

5421

54120

12100120

−

−−

−

+−−=

=−−−−=−=

AAAA

EEEAEEEE

QQQQ

QQQQQTCPQπ

Uguagliamo ora a zero il profitto dell’entrante, possiamo trovare la quantità che l’insediata produce in corrispondenza del prezzo limite:

102154

10021

54

01002154

2154

010021

541221

5421

54120

2

=

−

=

−

=−

−

−

=−

−−

−

+−−

A

A

AA

AAAA

Q

Q

QQ

QQQQ

da cui si ricava: 88=L

AQ . Il prezzo limite sarà quindi dato da: ( ) ( ) 32088120120 =+−=+−= EI

L QQP . Se l’insediata pratica il prezzo limite, farà un profitto pari a:

( ) ( ) 165852821868868832 =−=−=Aπ . d) Praticando il prezzo limite l’insediata fa un profitto pari a 1658. Accomodando l’entrata invece fa un profitto pari a 1800. Quindi, con i dati dell’esercizio proposto, l’impresa A preferisce accomodare comportandosi da leader à la Stackelberg invece che praticare il prezzo limite. Soluzione 11.6. a) Abbiamo un caso di competizione à la Cournot con 3 imprese simmetriche. Calcoliamo quindi la funzione di risposta ottima della prima impresa massimizzandone la funzione del profitto:

0302150 321 =−−−− qqq da cui:

321 21

21

60 qqq −−= .

Per simmetria, in equilibrio varrà che *321 qqqq === e quindi: ***

21

21

60 qqq −−=

da cui si ottiene: 30**3

*2

*1 ==== qqqq .

Quindi: 90* =TOTQ e 6090150* =−=P . I profitti di ciascun oligopolista i, saranno pari a:

FFi −=−⋅−⋅= 90030303060*π , che è positivo per valori di 900≤F . b) A fusione avvenuta restano nel settore due sole imprese. Esse si comportano come duopolisti à la Cournot. La condizione di massimizzazione del profitto dell’impresa 1&2 nata dalla fusione sarà data da: 0302150 32&1 =−−− qq da cui si ottiene la funzione di risposta ottima:

32&1 21

60 qq −= .

Similmente per l’impresa 3 si ottiene la funzione di risposta ottima:

2&13 21

60 qq −= .

Risolvendo il sistema tra le due funzioni di risposta ottima otteniamo: 40*

3*

2&1 == qq .

Quindi: 80* =TOTQ e 7080150* =−=P . I profitti dell’impresa nata dalla fusione saranno quindi pari a:

2&12&1*

2&1 160040304070 FF −=−⋅−⋅=π .

c) Affinché sia profittevole per le due imprese fondersi occorre che i profitti congiunti post-fusione siano maggiori della somma dei profitti delle due imprese pre-fusione: iππ 22&1 ≥ , con i=1; 2. Ovvero deve valere che:

( )FF −≥− 90021600 2&1 , ossia: 20022&1 −≤ FF . Abbiamo quindi due condizioni. La prima è la condizione di positività dei profitti trovata al punto a: 900≤F . La seconda è la condizione di profittabilità della fusione: 20022&1 −≤ FF . Rappresentando tali condizioni in un grafico aventi assi cartesiani 2&1F e F , possiamo delimitare la regione di piano tale per cui la fusione risulta profittevole, data dal triangolo HKJ. 2&1F 100 900 F d) Come nel precedente caso, dopo la fusione si avrà ancora un duopolio. Tuttavia ora la fusione consente alle imprese di realizzare un risparmio di costi variabili dopo la fusione. Il profitto di questa nuova impresa nata dalla fusione sarà uguale a:

( ) 2&132&12

2&12&12&12&132&12&1 3015030150 qqqqqqqqq γγπ −−−=−−−= . Dalla condizione di massimizzazione si ottiene la funzione di risposta ottima:

32&1 21

230150

qq −−

=γ

.

La funzione di risposta ottima dell’impresa 3 si deriva invece dalla condizione di massimizzazione del suo profitto, ossia:

0302150 32&1 =−−− qq da cui si ha:

2&13 21

60 qq −= .

L’equilibrio si ottiene mettendo in sistema le due funzioni di risposta ottima:

−−

−=−

−= 2&132&1 2

160

21

230150

21

230150

qqqγγ

da cui: γ2060*

2&1 −=q .

Ne consegue: γ1030*3 +=q .

Quindi γ1090* −=TOTQ e γ1060* +=P . Siamo ora in grado di calcolare il profitto dell’impresa nata dalla fusione:

H K

J

( )[ ][ ] [ ] ( )22*2&1 340020602060301060 γγγγγπ −=−=−−+= .

e) Ancora una volta, la condizione se sia profittevole o meno per l’impresa fondersi sarà determinata dal confronto tra i profitti prima e dopo la fusione. Come ricavato al punto a, nel caso di un triopolio à la Cournot con imprese simmetriche, ciascuna impresa ottiene un profitto (si ricordi che il testo dice che non ci sono costi fissi in questo caso) pari a:

90030303060* =⋅−⋅=iπ . Dopo la fusione, l’impresa nata dalla fusione realizza un risparmio di

costi variabili ed un profitto pari a ( )2*2&1 3400 γπ −= .

La fusione risulta profittevole per le due imprese 1 e 2 se:

**2&1 2 iππ ≥

( ) 18003400 2 ≥− γ

( )29

3 2 ≥− γ

da cui si ricava la condizione:

−<

23

3γ e

+>

23

3γ .

Trascurando la seconda parte della condizione, in quanto violerebbe l’ipotesi che 1<γ riportata

nel testo, si ottiene:

−<

23

3γ , ossia approssimando: 879.0<γ .

Soluzione 12.4. a) Il compratore del bene altamente tecnologico B valuta il bene hihiv 644),( ++= . Il venditore del bene, S, sostiene un costo di produzione unitario pari a 5=c . Il guadagno (surplus) derivante dallo scambio del bene tra S e B è dato dalla differenza tra la valutazione del bene da parte di B ( )[ ]phiv −; ed il costo sostenuto da S [ ]pc − , ossia: Surplus ( )[ ] [ ]{ } 1645644; −+=−++=−−−= hihipcphiv . Nel caso in cui le parti decidessero di completare il contratto con un processo di contrattazione tipo Nash bargaining (ossia dividendosi equamente al 50% i guadagni derivanti dalla transazione), allora ciascuno otterrà metà del surplus derivante dallo scambio, cioè: ( )5.032 −+ hi . Quindi, l’impresa acquirente del bene B per determinare il suo livello di investimento specifico ottimale massimizzerà la sua funzione di surplus al netto del suo costo di investimento, che è pari a

2

2i, ossia: ( )

25.032

2ihiB −−+=Π . La condizione di massimizzazione, 0=

∂Π∂

iB , fornisce:

02 =− i da cui otteniamo: 2* =i . Il venditore S massimizzerà la sua funzione di surplus al netto del suo costo di investimento, che è

pari a 2

2h, ossia: ( )

25.032

2hhiS −−+=Π , dalla cui condizione di ottimo, 0=

∂Π∂h

S , si ottiene:

3* =h .

b) La soluzione di first best nel caso di integrazione tra l’impresa acquirente e venditrice si ottiene massimizzando rispetto a i e h il surplus totale al netto dei costi di investimento, ossia

massimizzando la quantità: ( )22

16422 hi

hiIV −−−+=Π .

Dalle condizioni del primo ordine per la massimizzazione, 0=∂Π∂

iIV e 0=

∂Π∂

hIV , ricaviamo:

04 =− i e 06 =− h , ossia: 4=IVi e 6=IVh . c) Se fosse l’impresa B ad avere l’autorità di fissare il prezzo (avere l’autorità significa avere i diritti residuali di controllo, ossia i diritti che consentono di stabilire cosa fare quando il contratto risulta inapplicabile o non specificato) a cui viene scambiato il bene (caso che chiamiamo di “integrazione a monte”, indicato con M), allora B sceglierebbe il prezzo più basso tra quelli che inducono comunque S ad accettare lo scambio, ossia p=c. In tal modo B si accaparrerebbe tutto il surplus lasciando a S un surplus nullo. Sostituendo p=c si ottiene il surplus totale, ancora uguale al valore precedente:

( )[ ] [ ]{ } ( )[ ] [ ]{ } 1645644;; −+=−++=−−−=−−− hihiccchivpcphiv .

Quindi ora l’impresa B massimizzerebbe la quantità: ( )2

1642i

hiMB −−+=Π , da cui otteniamo

4=Mi .

L’impresa venditrice S, invece, massimizzerebbe la quantità: 2

02hM

S −=Π , che fornisce il

risultato: 0=Mh . d) Se S avesse l’autorità di fissare il prezzo a cui viene scambiato il bene (caso che chiamiamo di “integrazione a valle”, indicato con V), allora S al fine di massimizzare il proprio surplus sceglierà il prezzo più alto tra quelli che inducono comunque il compratore B ad acquistare, ossia p=v. In tal modo S si accaparrerà di tutto il surplus e B avrà un surplus pari a zero. Il surplus totale sarà ancora uguale al valore precedente, infatti sostituendo p=v si ottiene:

( )[ ] [ ]{ } ( )[ ] [ ]{ } 1645644;; −+=−++=−−−=−−− hihivcvhivpcphiv . Quindi il problema che S deve risolvere ora consiste nella massimizzazione di:

( )2

1642h

hiVS −−+=Π , da cui ricaviamo 6=Vh .

Per l’impresa B il problema, invece, consiste nella massimizzazione di: 2

02iV

B −=Π , da cui si

ottiene 0=Vi . e) Per definire quale regime sia preferibile occorre calcolare quanto vale il surplus al netto dei costi di investimento nelle diverse situazioni. Nash Bargaining. Surplus netto:

5.185.421362422

1642*2*

** =−−−⋅+⋅=−−−+=hi

hi .

M (integrazione a monte). Surplus netto:

7081064422

16422

=−−−⋅+⋅=−−−+=MM

MM hihi .

V (integrazione a valle). Surplus netto:

171801660422

16422

=−−−⋅+⋅=−−−+=VV

VV hihi .

Nel caso considerato il caso di non integrazione con contrattazione Nash Bargaining è il regime preferibile. Questo risultato comunque non è un risultato generale. Soluzione 13.3. a) Per mostrare se un’innovazione di processo è drastica o non drastica occorre calcolare il prezzo di monopolio associato al nuovo costo marginale c (post-innovazione) e confrontarlo col vecchio

livello del costo marginale c (pre-innovazione). Data la funzione di domanda e il valore del costo marginale post-innovazione 60=c , calcoliamo

)(* cPM , impostando la semplice regola di massimizzazione del profitto MR=MC in corrispondenza di tale livello del costo marginale, ottenendo: 602100 =− Q , da cui si ricava: 20* =Q . Quindi, sostituendo nella funzione di domanda, otteniamo il prezzo, che sarebbe pari a:

8020100)(* =−=cPM . Essendo tale valore 70)( => ccPM , allora possiamo concludere che l’innovazione considerata è non drastica. b) Affinché si possa classificare l’innovazione come drastica deve valere che ccPM <)( . Calcoliamo quindi )(* cPM in funzione di c . La condizione di massimizzazione del profitto MR=MC è data da: cQ =− 2100 , da cui si può ricavare:

( )2

100* cQ

−= e

( ) ( )2

1002

100100)(* cc

cPM+

=−

−= .

Imponendo che valga la condizione di innovazione drastica sopra riportata, si ha quindi che: ( )

702

100<

+ c, da cui risulta che deve valere: 40<c .

c) Essendo l’innovazione non drastica, come mostrato al punto a, l’impresa concorrenziale che ha introdotto l’innovazione sarebbe in grado di escludere le altre imprese dal mercato se fissasse un prezzo appena al di sotto del costo marginale delle altre imprese, ossia pari a ( )ε−= 70*p , con

0>ε . La quantità di equilibrio sarebbe così uguale a: ε−=− 70100 Q , da cui, approssimando e trascurando l’ ε , si ottiene: 30* ≅Q . Sempre

approssimando, i profitti dell’impresa innovatrice sarebbero quindi pari a: ( ) ( ) 300306070*** ≅⋅−=⋅−≅Π QMCpPOST

i . Per calcolare quanto sarebbe disposta a pagare l’impresa dovremmo calcolare quanto tale innovazione consente all’impresa di incrementare i suoi profitti. Nel caso di valutazione uniperiodale (consideriamo cioè l’incremento del profitto solo in un periodo), tale impresa sarebbe così disposta ad offrire per introdurre l’innovazione un ammontare pari alla differenza del profitto post-innovazione e del profitto pre-innovazione (che essendo in concorrenza perfetta è pari ovviamente a zero):

3000300** ≅−≅Π−Π= PREi

POSTiCPV .

d) Per determinare quanto sarebbe disposta a pagare l’impresa, ancora una volta, calcoliamo quanto tale innovazione consente all’impresa di incrementare i suoi profitti. L’incentivo a pagare per l’innovazione, che possiamo leggere in altri termini come l’incentivo ad investire in ricerca e

sviluppo per poter innovare, è quindi dato dalla differenza dei profitti post e pre-innovazione dell’impresa. Calcoliamo allora i profitti post e pre-innovazione per l’ipotetico monopolista. Nella situazione pre-innovazione abbiamo che i costi marginali sono uguali a 70=c , quindi in equilibrio si ha:

702100 =− Q da cui:

15* =PREQ e 85* =PRE

MP .

Quindi i profitti sono uguali a: ( ) 225157085* =⋅−=ΠPRE

M . Per la situazione post-innovazione abbiamo già ottenuto i valori necessari al punto a dell’esercizio. Possiamo così ora calcolare:

( ) 400206080* =⋅−=ΠPOST

M . Nel caso di valutazione uniperiodale, si ha che il monopolista sarebbe quindi disposto a pagare:

175** =Π−Π=PRE

MPOST

MMV . e) Per rispondere alla domanda, occorre calcolare i profitti prima e dopo l’innovazione e determinare così l’incentivo ad innovare per l’impresa in grado di introdurre l’innovazione. Nella situazione pre-innovazione con due imprese che competono à la Cournot, troviamo innanzitutto le funzioni di risposta ottima. La condizione del primo ordine per la massimizzazione del profitto per l’impresa 1 fornisce la condizione: 0702100 21 =−−− qq , da cui si ricava la funzione di risposta ottima dell’impresa 1:

230 2

1q

q−

= .

Simmetricamente per l’impresa 2 si ha:

230 1

2q

q−

= .

In equilibrio, per simmetria, varrà che **2

*1 qqq == , e quindi sostituendo si ottiene:

103

30*2

*1 === qq .

Quindi: 20* =PREQ , 80* =PREP e 100*2

*1 =Π=Π PREPRE .

Nella situazione post-innovazione con due imprese asimmetriche che competono à la Cournot, determiniamo le nuove funzioni di risposta ottima, indicando con I l’impresa che innova e con NI quella che non innova. La condizione del primo ordine per la massimizzazione del profitto per l’impresa I fornisce la condizione: 0602100 =−−− NII qq , da cui si ricava:

240 NI

Iq

q−

=

che è la funzione di risposta ottima dell’impresa I. Per l’impresa NI, che continua ad avere costi marginali uguali a 70, si ha ancora la funzione di risposta ottima:

230 I

NIq

q−

= .

Risolvendo il sistema tra le due funzioni di risposta ottima si ottiene:

22

3040 I

I

q

q

−−

= , da cui:

350* =POST

Iq

e quindi, sostituendo nella rispettiva funzione di risposta ottima:

320* =POST

NIq .

Quantità totale e prezzo di equilibrio sono ora: 3

70* =POSTQ , 3

230* =POSTP .

I profitti delle due imprese sono uguali a:

7.2779

25003

5060

3230* ==

−=Π POST

I

4.449

4003

2070

3230* ==

−=Π POST

NI

L’impresa innovatrice che compete à la Cournot sarà disposta a pagare per l’innovazione (considerando la valutazione uniperiodale):

7.1771007.277** =−=Π−Π=PRE

IPOST

ICV Confrontando VM e VC possiamo concludere che essendo:

1757.177 > , ossia, valendo: VC >VM allora in una competizione à la Cournot le imprese sarebbero disposte a pagare di più per poter introdurre l’innovazione rispetto alla situazione di monopolio (ma meno rispetto al caso di concorrenza perfetta, come è facilmente verificabile dato che 3007.177 < ). Tale effetto si chiama “effetto di rimpiazzo”. Ciò che è rilevante ai fini della valutazione dell’innovazione è la differenza dei profitti post e pre introduzione dell’innovazione. Il monopolista ha profitti di monopolio positivi prima e profitti di monopolio più elevati in seguito all’introduzione dell’innovazione. Quindi introducendo l’innovazione il monopolista “cannibalizzerebbe” i suoi profitti di monopolio pre-innovazione. In concorrenza perfetta, invece, si passerebbe da una situazione di profitti nulli prima dell’introduzione dell’innovazione e di profitti positivi post-innovazione, e quindi non ci sarebbero profitti da “cannibalizzare”, e la differenza tra i profitti (i.e. l’incentivo!) sarebbe così maggiore rispetto al caso di monopolio! In una competizione à la Cournot si ha una valutazione intermedia. Soluzione 13.5. a) Per determinare se l’innovazione di processo è drastica o non drastica calcoliamo )(* cPM . Dalla condizione MR=MC otteniamo:

40460 kQ =− da cui si ricava:

kQ 1015* −= , e kcPM 2030)(* += . Affinché sia vero che ccPM >)( , ossia che l’innovazione considerata sia non drastica, deve valere:

402030 >+ k , ossia: 5.0>k . b) Dato k=0.6, allora i costi marginali post-innovazione sono pari a ( ) 24406.0 =⋅ . Se E ottiene l’innovazione, il problema ci dice che le due imprese E ed N competono à la Cournot, e quindi entrambe faranno i profitti à la Cournot. Calcoliamo quindi in tal caso l’equilibrio à la Cournot asimmetrico, con costi marginali di E uguali a 24 e costi marginali di N uguali a 40.

La funzione di risposta ottima di E si ottiene come al solito impostando la condizione di massimizzazione dei profitti di E rispetto alla variabile qE. Dati i profitti: [ ] EEENEEE

CournotE qqqqqcqQP 24)(260)( −+−=−=Π , dalla condizione del primo

ordine otteniamo: 0244260 =−−− EN qq , da cui:

NE qq21

9 −= .

Allo stesso modo, massimizzando la funzione dei profitti di N rispetto alla variabile qN: [ ] NNENNNN

CournotN qqqqqcPq 40)(260 −+−=−=Π , si ottiene: 0402460 =−−− EN qq , e quindi:

EN qq21

5 −= .

L’equilibrio di Cournot è dato dalla risoluzione del sistema delle due funzioni di risposta ottima; risolvendo per sostituzione, abbiamo:

)21

5(21

921

9 ENE qqq −−=−=

da cui:

326* =Cournot

Eq

e:

32

313

53

2621

5* =−=⋅−=CournotNq .

Il prezzo di equilibrio è:

3124

32

326

260* =

+−=CournotP .

I profitti sono ora dati da:

91352

326

352

326

243

124* =⋅=

−=Π Cournot

E

98

32

34

32

403

124* =⋅=

−=Π Cournot

N .

Quindi il potenziale entrante sarebbe disposto ad offrire (o in altri termini quanto sarebbe disposto a investire in ricerca e sviluppo) fino all’ammontare:

2.1509

13520* ==−Π Cournot

E

per ottenere l’innovazione (nel caso di valutazione uniperiodale). c) Se N ottenesse l’innovazione allora farebbe profitti di monopolio (associati al nuovo costo marginale uguale a 24), mentre il potenziale entrante E resterebbe fuori dal mercato. Calcoliamo i profitti di monopolio in corrispondenza del nuovo costo marginale. Dalla condizione MR=MC si ha: 24460 =− Q , da cui:

9* =Q e 42* =P

e quindi 1629)2442()(* =⋅−=Π cN . Il monopolista N per ottenere l’innovazione sarebbe così disposto ad offrire la differenza dei profitti che otterrebbe se avesse l’innovazione rispetto ai profitti che avrebbe se invece fosse E ad avere l’innovazione e ad entrare nel mercato, ossia:

1.1619

145098

162)( ** ≅=−=Π−Π CournotNN c .

d) In tale contesto il monopolista N sarebbe disposto a offrire di più (ossia a investire maggiormente in ricerca e sviluppo) rispetto ad E e quindi otterrebbe l’innovazione. La forma di mercato che ne risulterebbe sarebbe quindi una persistenza del monopolio. Questo è il risultato del così detto effetto in letteratura economica conosciuto come “effetto efficienza”. e) Considerando che ora il monopolista N non è sicuro sull’esistenza o meno del concorrente potenziale entrante, ci attendiamo che N mostri un comportamento più inerziale essendo meno soggetto alla pressione competitiva di altre imprese. Calcoliamo quanto ora il monopolista sarebbe disposto ad offrire.

)(* cNΠ sono i profitti nel caso in cui acquistasse l’innovazione. Nel caso in cui invece N non acquistasse l’innovazione, essendo la probabilità che l’acquisti il potenziale entrante pari a ( ) 7.01 =− ρ , allora i profitti attesi del monopolista sarebbero uguali a:

{ })()1( ** cNCournot

N Π+Π− ρρ ossia: - con probabilità ( )ρ−1 il potenziale entrante acquista il brevetto, entra e compete con N à la

Cournot, e così N ottiene i profitti 98* =Π Cournot

N ;

- con probabilità ρ il potenziale entrante non riesce ad ottenere il brevetto e non entra: N resterebbe così monopolista, ma non acquistando il brevetto avrebbe costi marginali pari a c , realizzando quindi i profitti )(* cNΠ .

Abbiamo tutti i dati che ci servono per risolvere l’esercizio. Ci manca solo )(* cNΠ , che calcoliamo

impostando la condizione di ottimo: 40460 =− Q , da cui: 5* =Q , 50* =P e quindi

505)4050()(* =⋅−=Π cN . Quindi possiamo ora determinare quanto il monopolista sarebbe disposto ad offrire:

)(cMΠ –{ } 73.146503.098

7.0162)()1( ** =⋅−⋅−=Π+Π− cNCournot

N ρρ

che è minore di quello che è disposto ad offrire il potenziale entrante ( )2.150 . La motivazione di tale risultato risiede nel fatto che essendo incerta la presenza effettiva dell’impresa potenziale concorrente (con un grado di incertezza pari a ρ ) allora il monopolista sarebbe meno preoccupato, rispetto al caso precedente, di perdere la propria posizione dominante e conseguentemente sarebbe meno incentivato ad investire in ricerca e sviluppo per innovare. f) Per determinare il valore dell’incertezza ρ per cui il potenziale entrante ha un maggiore incentivo del monopolista ad acquistare il brevetto, occorre che

2.1509

13520* ==−Π Cournot

E

sia maggiore di

)(cMΠ – { }

+−−=Π+Π− 50

98

)1(162)()1( ** ρρρρ cNCournot

N .

Risolvendo la disuguaglianza per ρ si ottiene:

+−−> 50

98

)1(1622.150 ρρ

ossia: 221.0>ρ .

Al di sotto di tale valore il livello di incertezza ρ sulla presenza del potenziale entrante sarebbe basso, e quindi il monopolista sarebbe ancora una volta maggiormente incentivato ad investire nell’ottenimento del brevetto per difendere la propria posizione: si evolverebbe così verso una struttura monopolistica. Soluzione 14.2. a) I payoff corrispondenti alle varie situazioni sono indicati nella matrice seguente:

V N V (7; 7) (14; 0) N (0; 14) (8; 8)

E’ evidente come la strategia V sia dominante per entrambe le imprese, e quindi come l’unico equilibrio di tale gioco sia dato da (V;V). b) Si ha eccesso di inerzia quando la nuova tecnologia, se adottata da entrambe, permetterebbe di ottenere profitti più elevati di quella già esistente ma ciascuna impresa è riluttante ad adottarla per paura che l’impresa rivale non la adotti. Questa è proprio la situazione che si verifica nel caso esaminato dell’impresa 1 e dell’impresa 2. Infatti la situazione (N;N) sarebbe Pareto-efficiente, e il passaggio dalla vecchia (V;V) alla nuova (N;N) piattaforma tecnologica rappresenterebbe un miglioramento paretiano. Tuttavia per timore che adottando la nuova piattaforma, l’impresa rivale non faccia lo stesso, garantendosi così tutti clienti, nessuno adotterà la nuova e più efficiente tecnologia. c) La strategia N è dominante per entrambe le imprese. Qu indi il gioco presenta un unico equilibrio di Nash dato da (N;N). d) Per eccesso di mobilità di intende una situazione in cui la nuova tecnologia è Pareto-dominata dalla vecchia, ossia è di fatto inferiore, ma riesce ugualmente a soppiantare la vecchia tecnologia. In tal caso le imprese (gli agenti) accolgono troppo favorevolmente la novità tecnologica, anche se sarebbe preferibile che ciò non avvenisse. Questo è il caso presentato al punto precedente. Infatti se entrambe le imprese mantenessero la vecchia tecnologia avrebbero ciascuna un payoff maggiore rispetto alla scelta di adozione della nuova tecnologia (4>3). Però, il timore che l’impresa rivale adotti la nuova tecnologia e quindi attragga tutti i clienti lasciando all’impresa che non adotta un payoff nullo, spinge entrambe le imprese ad adottare la nuova tecnologia nonostante i payoff minori rispetto al mantenimento della vecchia. Soluzione 14.8. a) Analizziamo il caso in cui il software non sia protetto dalla pirateria (pirateria tollerata). Sappiamo che il numero di consumatori/ricercatori che richiedono supporto (di tipo S) è uguale a

Sn =100, mentre il numero di consumatori/ricercatori indipendenti (di tipo I) è In =300. Consideriamo i due tipi di consumatori separatamente. Consumatori di tipo I. In base alla funzione di utilità i consumatori di tipo I preferiranno sempre piratare il software J-plus, infatti si ha che: pnn −> , per ogni p>0.

Inoltre, ovviamente preferiscono piratare piuttosto che non utilizzare il software in quanto 0>n per ogni n>0.

Impresa 2

Impresa 1

Consumatori di tipo S. Questi consumatori preferiranno comperare il software se: npn >−λ ,

vale a dire se: ( ) np 1−< λ . Siamo a conoscenza del valore di n. Infatti i consumatori di tipo I utilizzano il software (abbiamo visto sopra che infatti lo piratano) mentre i consumatori tipo S lo acquistano, quindi il numero totale di utilizzatori del software in questa situazione è: 400300100 =+=+= IS nnn . Quindi il prezzo che massimizza i profitti per l’impresa è il più elevato tra quelli possibili, indicati dalla relazione sopra individuata, ossia: ( ) ( ) ( )12040011* −=−=−= λλλ np . I profitti dell’impresa fornitrice del software J-plus, essendo gli acquirenti/ricercatori solamente in numero Sn , sono quindi uguali a: ( ) ( )12000100120* −=⋅−==Π λλSnp . b) Consideriamo la situazione in cui l’impresa fornitrice possa mettere in atto, a costo zero, pratiche che impediscano la pirateria del software J-plus. La strategia dell’impresa ora potrebbe essere quella di praticare un prezzo, che indichiamo con Lp (strategia di prezzo basso), tale per cui tutti i tipi di consumatori/ricercatori acquisterebbero oppure di fissare un prezzo Hp (strategia di prezzo alto), più elevato del precedente, tale per cui solo i consumatori/ricercatori S che richiedono supporto vorrebbero acquistare. Esaminiamo le due strategie. Strategia di prezzo alto ( )Hp . Per fare sì che i consumatori tipo S acquistino il software, deve

valere che: 0>− pnλ , da cui si ricava: np λ< . Ora abbiamo che 100== Snn . Quindi il

prezzo massimo che l’impresa fornitrice può fissare è: λλ 10* == npH . I profitti che ne

conseguono sono uguali a: λλ 100010010* =⋅=⋅=Π SHH np . Strategia di prezzo basso ( )Lp . Per fare sì che tutti i consumatori acquistino (anche i ricercatori di

tipo I) deve valere che: 0>− pn , da cui otteniamo: np < . In corrispondenza di tale prezzo tutti i consumatori/ricercatori acquisterebbero, dato che 1>λ , e quindi:

400300100 =+=+= IS nnn . Quindi il prezzo massimo possibile sarebbe: 20* == npL . Il

livello dei profitti dell’impresa sarebbe in tal caso: ( ) 800040020* =⋅=+⋅=Π ISLL nnp . Come indica il testo dell’esercizio, essendo il parametro 81 << λ , allora HL Π>Π : quindi la strategia ottimale dell’impresa nel caso di protezione del software dalla pirateria sarebbe quella di praticare un prezzo pari a 20* =Lp . c) L’impresa può scegliere se tollerare la pirateria conseguendo un livello di profitti, come visto al punto a, uguali a ( )12000 −=Π λ , oppure proteggere dalla pirateria il proprio software, nel qual caso la strategia ottimale, come visto al punto b, sarebbe di vendere a tutti praticando un prezzo pari a 20* =Lp e conseguendo profitti pari 8000=Π L . Quindi, l’impresa preferirà tollerare la pirateria se vale che ( ) 800012000 >−λ , il che richiede che valga: 5>λ . In definitiva, ricordando le restrizioni sul parametro imposte dal testo, la condizione che deve valere è la seguente: 85 << λ . Se invece vale che: 51 << λ , l’impresa fornitrice preferirà proteggere il proprio software dalla pirateria. Quale è l’intuizione di tale risultato? Tollerare la pirateria ha l’effetto di fare aumentare gli utenti del software e quindi, tramite l’effetto di esternalità di rete, di fare aumentare il prezzo che l’impresa può praticare ai consumatori di tipo S che richiedono supporto. Ciò vale perché il prezzo che S sono disposti a pagare (ossia la loro disponibilità a pagare) per l’assistenza (che è indicato dal parametro λ ) è sufficientemente elevato

(nel nostro caso 5>λ ) , e quindi l’effetto di esternalità di rete compensa i mancati ricavi derivanti dal fatto che i consumatori di tipo I non acquistano. Se invece il prezzo che i consumatori di tipo S sono disposti a pagare (cioè quanto valutano) per l’assistenza è basso (ossia λ ) allora l’esternalità di rete non riesce ad esercitare i propri effetti positivi e non compensa i mancati ricavi sui “consumatori pirati”. f) Quando valutiamo le diverse situazioni e strategie dell’impresa occorre considerare sia la disponibilità a pagare dei gli consumatori di tipo S (ossia nel nostro esercizio il valore del parametro λ , come mostrato al punto precedente) sia il numero totale e la composizione dei due tipi di consumatori Sn e In . Infatti, generalmente se il numero In dei consumatori che piratano (tipo I) fosse molto basso, i vantaggi dal tollerare la pirateria si ridurrebbero. Quindi il peso relativo dei consumatori di tipo S e tipo I sul numero totale di consumatori è fondamentale per determinare la strategia ottimale dell’impresa.