Universit degli studi di Roma TreCorso di Laurea in Matematica, a.a. 2005/2006

TE1 (Teoria di Galois) - Prof. S. GabelliPrima prova di valutazione intermedia, 5 Aprile 2006

Soluzione

1. Sia = 35 e K := Q(). Verificare che K ha grado 3 su Q ed

esprimere i seguenti elementi come polinomi di grado al pi 2 in :

5 6 e 2 + 1

.

Soluzione

Per determinare il grado dellestensione cerchiamo il polinomio minimodi . Poniamo p(X) = X3 5, facile vedere che radice di p(X)e che p(X) irriducibile su Q (per esempio usando il critero di Eisen-stein). Quindi [K : Q] = deg(p) = 3. Ricordiamo che 1, , 2 formanouna Q base di K, quindi ogni elemento di K si scrive nella forma:

a+ b + c2 con a, b, c Q.

Ricordiamo inoltre che 3 = 5. Quindi

5 6 = 23 33 = 5(2 5).

Per trovare lespressione di 2+1

cominciamo da

= (2 + 1)(a2 + b + c) = (a+ 5b) + (b+ 5c)+ (a+ c)2

Otteniamo il seguente sistema:

a+ c = 0,

a+ 5b = 0,

b+ 5c = 1.

Quindi, risolvendo, si ha

2 + 1=

1

26(52 + 5)

2. Sia f(X) := X3 + 3X + 6 Q[X] e sia una sua radice reale.(1) Stabilire se f(X) irriducibile su Q;

1

(2) Stabilire se Q() normale su Q;(3) Determinare la struttura del gruppo di Galois di f(X) su Q.Soluzione

(1) Sia a Q una radice intera di f(X), allora a|6, quindi a = 1, 2,3 o 6. Una verifica diretta mostra che nessuno di questi radice,quidi, poich f(X) ha grado 3, f(X) irriducibile.

alternativamente Usando il criterio di Eisenstein con p = 3 si hadirettamente che f(X) irriducibile

(2) Ricordiamo che Q() normale se il campo di spezzamente dif(X) (perch f(X) irriducibile). Osserviamo che

X3 + 3X + 6 = (X )(X2 + X + (2 + 3))Poniamo p(X) = X2+X+(2+3) allora p(X) ha due radici complesseconiugate, infatti

= 2 4(2 + 3) = 3(2 + 4) < 0Dunque lestensione non normale.

(3) Sia una radice di p(X), si ha che K = Q[, ] il campo sispezzamento di f e

[Q(, );Q] = [Q(, );Q()][Q();Q] = 3 2 = 6Poich K normale si ha

|GalQ(K)| = [Q(, );Q] = 6,quindi GalQ(K) un sottogruppo di ordine 6 di S3, ne segue cheGalQ(K) = S3.

3. Sia f(X) := X4 2X2 2 e sia K il suo campo di spezzamento in C.(1) Determinare la struttura del gruppo di Galois di f(X) su Q;(2) (facoltativo) Determinare un elemento primitivo per K.

Soluzione

(1) Notiamo che f(X) = 0 ha due radici reali distinte e due radicicomplesse distinte. Sia una radice reale e una radice complessa, siha che K = Q(, ) il campo di spezzamento di f e che

[Q(, );Q] = [Q(, );Q()][Q();Q] = 4 2 = 8

2

Poich K normale si ha

|GalQ(K)| = [Q(, );Q] = 8,quindi GalQ(K) un sottogruppo di ordine 8 di S4, ne segue cheGalQ(K) = D4.

(2) Determiniamo le radici di f . Un semplice calcolo mostra che leradici sono

1 =

1 +

3

2 =

1 +3

3 = 1 = i

3 1

4 = 2 = i

3 1

Il teorema dellelemento primitivo ci dice che 1 + c1 lelementoprimitivo purch c 6= c1,2 = 0, c2,2 = 1, c3,2 = 12 , c4,2 = 32 con

ci,j =1 ij 1 .

4. Sia una radice primitiva decima dellunit.

(1) Determinare esplicitamente gli automorfismi di Q();(2) Verificare che Q() = Q(2);(3) Determinare il polinomio minimo del numero := 2 + 8;

(4) Usando (3), calcolare esplicitamente .

Soluzione

(1) Data rradice primitiva decima dellunit, h una radice primitivase e solamente se MCD(h, 10) = 1, i.e. h = 1, 3, 7, 9. Dalla teoria sap-piamo che un automorfismo manda una radice primitiva in una radiceprimitiva, quindi possiamo definire 4 automorfismi di Q() nel modoseguente:

h() = h

con h = 1, 3, 7, 9.

(2) Notiamo che Q(2) Q(), inoltre 2 una radice primitiva quintadellunit, quindi dimQQ(2) = 4 = dimQ(). Segue che Q() =Q(2).

3

(3) Poich = 2 una radice quinta dellunit, il grado del polinomiominimo di + 1 = 2 + 8 1 2 o 4 (i.e. i divisori del grado delpolinomio minimo di ).

( + 1)2 = 2 + 2 + 2

Notiamo che 2 + 2 + + 1 = 1. Quindi + 1 radice dif(X) = X2 +X 1.alternativamente Calcoliamo i coniugati di + 1 tramite il gruppo diGalois.

1( + 1) = + 1

3( + 1) = + 1

7( + 1) = 2 + 2

9( + 1) = 2 + 2

Allora il polinomio minimo dato da

f(X) = (X (2 + 2)(X ( + 1))= X2 (2 + + 1 + 2)X + (2 + 2)( + 1)

Ma

2 + + 1 + 2 = + 2 + 3 + 4 = 1(2 + 2)( + 1) = 3 + + 1 + 3 = 1

Quindi f(X) = X2 +X 1(4) Poich + 1 radice di X2 +X 1 si ha che

+ 1 =15

2

4