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Sollecitazione di Taglio
In linea teorica si può avere solo sollecitazione di taglio,
ma in realtà essa si accompagna sempre a momento
flettente
x
y
T
T
Ciononostante, anche in presenza di taglio il momento flettente si calcola allo
stesso modo, in quanto esso fornisce, nel riferimento assiale (x-y) tensioni
normali, mentre il taglio dà tensioni tangenziali
Spesso, in I approssimazione, si considera il taglio
uniformemente distribuito sulla sezione resistente
T
A
Il calcolo della tensione di taglio su una sezione è in realtà
assai più complesso, esso varia sia secondo x che y (in forma
parabolica per una sezione rettangolare)
Sezione rettangolare:
Sezione circolare:
max
3
2
T
A
A
T
3
4max
La formula fornisce
le seguenti soluzioni
elementari
In modo più esatto, ma sempre approssimato (Jourawsky) , esso
viene mediato lungo la direzione dello spessore (z) con la formula b J
S T
dimostrazione
T
T
M M+dM
i
i
j
j
r
r
s
s
yx
xy
xy
b dx
x
y
Si considera di isolare un elementino assiale (lunghezza dx)
Si consideri l’equilibrio del parallelepipedo ii - rr - ss - jj in direzione x
Faccia sinistra (in x) agisce momento M - tensione massima
Faccia destra (in x+dx) agisce momento M+dM - tensione massima 1
0dx b dA iyx)jjii(A 1
Su di esso agiscono le tensioni normali x (dovute al momento su ii-rr e jj-ss) ed il
taglio yx sulla faccia ii-jj.
Ricordando che
1 y - yM dM M dM Tdx
y yJ J J J
Si ha
c.d.d. ( ) ( )
iyx i yx
A ii jj A ii jji i
Tdx T T Sy dA b dx y dA
J J b J b
Nella precedente Si è il momento statico della ii-rr rispetto all’asse neutro, J è invece il
momento d’inerzia dell’intera sezione
Pertanto, il taglio presenta, lungo y, un andamento dominato dal
momento statico – esso si annulla al top/bottom e risulta massimo nella
sezione baricentrica
Nel caso di sezione rettangolare, ad esempio, il momento statico si può calcolare come area
della parte sottesa alla corda ii per la distanza del suo baricentro dall’asse neutro
2
211 1 1 1
2
2 2 2 4
h yh b hS y b y y y
2
2
2 4yx
T hy y
J
Il valore massimo (y=0)
2 3
8 2yx
Th Ty
J A
taglio y
x
La formula di Jourawsky
è applicabile anche a
sezioni non regolari
Il tensore delle tensioni dovrà comunque
risultare sempre tangente al profilo esterno,
pertanto, occorre sovrapporre alle tensioni di
taglio di Jourasky un’altra componente xz
(antisimmetrica) che riorienti localmente le .
Tensioni ribaltate
Lo sforzo di taglio induce l’elemento a
variare di forma (ma non di volume)
secondo un angolo di scorrimento
Dato che esiste il semplice legame = / G tra scorrimento quest’ultimo sarà massimo al
centro e nullo al top / bottom
Le sezioni, inizialmente ortogonali all’asse,
si ingobbano
Tuttavia, lo scorrimento è uguale per ogni
fibra assiale, per cui non si instaurano (per
sezioni costanti) sollecitazioni o deformazioni
assiali (taglio puro senza flessione)
Lo spostamento tra due sezioni può essere valutato
mediante la deformazione (scorrimento) media
mediad dx media
T
GA
Fattore di taglio
Il lavoro di deformazione, in accordo al teorema di Clapeyron, è pari all’integrale, lungo la
linea, della metà della tensione di taglio per lo scorrimento medio
21
2L
TW dx
GA
od anche
2 2 2 2
i i
2 2 2 2
S 1 1 S
J 2 2 G JA Ai iL L L
T TW dW dA dx dA dx
b G b
A
A
dA b J
SA
A 2
i
2
2
i
i
i
T S
J b
Il fattore di taglio può essere
calcolato analiticamente
2 2
i
2 2
S 1
J 2 AiL L
TW dW dA dx
b G
Esempio: andamento del taglio in una sezione triangolare
G
T
h
b
y
0
i
yi
T Sy
J b
0 2 3 3y
h y h y h h yS y b y
h
2
0
2
2 3 3y
b h y yh y h yS y b y
h h
0y
h yb y b
h
3012
y
T h y yy
bh
3 231
12 2 9 36G
bh bh hJ bh
Il massimo del taglio si ha quando
y= h/2
2
3
hy
Ty
bh
2
03
1
13 36
y
b h y yy T
h yh bh bh
Sollecitazione di Torsione
È una sollecitazione che si verifica molto frequentemente, ad es. negli organi che
trasmettono potenza (assi e alberi), viti, albero di sterzo, …
La soluzione si presenta semplice solo nel caso di sezioni circolari (del resto
assai diffuse nella tecnica)
Sezioni piane restano tali ma ruotano
Lo stato di tensione è piano Ipotesi:
Lo scorrimento è 1CC
G
Perché tutti i punti di una sezione ruotino
del medesimo angolo, scorrimento e
taglio debbono crescere linearmente
max
L’equilibrio a torsione sull’intera sezione dà: 2
maxmax p J
Rt
A A
rM r dA dA
R
Grandezze locali nella sezione:
max
p p p p
; ; ; J J J J
t t t trM R M r M r M
r rG r G
Globalmente si possono considerare l’angolo di torsione globale e il lavoro di torsione
2
max
p p
1 ;
J 2 2 J
t tt
L M L M LW M
R G G
Angolo di torsione unitario
N.B. Non dipende da r
Ricordando infine che 4
pJ32
D max 3
16
D
tM
Lo stato di tensione indotto dalla torsione, nel riferimento assiale si compone di sole
Nel piano di Mohr si trovano i punti caratteristici (A-B) che corrispondono
all’assenza di sollecitazioni normali
A
B
A
B
123
Ruotando di 45° (90°) nel piano di Mohr,
si trova l’orientazione che annulla le
Esempio 1: Grippaggio
In un albero in acciaio di diametro d= 80 mm è fissata una massa volanica, anch’essa in
acciaio, con diametro D= 800 mm e spessore s= 50 mm. Mentre l’albero ruota a 60 giri/m, si
determina un grippaggio al cuscinetto destro. Calcolare la sollecitazione conseguente.
Massa ed inerzia polare del volano risultano:
2 27800 0.05 0.8 196 4 4
m s D kg
2
2115.68
2 2
DI m kg m
Trascurando la massa dell’albero, tutta l’energia cinetica si trasforma in energia elastica
immagazzinata nella torsione, una volta grippato il cuscinetto
2
21 2 600.5 15.68 309.6
2 60cE I J
Il lavoro di deformazione invece vale
21
2
torstors
p
MW L
G J
con
11102.1 10
8.077 102 1 2 1.3
EG Pa
4 6 44.02 10 32
pJ d m
Imponendo l’uguaglianza delle due energie:
221 1
2 2
tors
p
ML I
G J
10 6 2 60 8.077 10 15.68 4.02 1014177
60 1
p
tors
G I JM Nm
L
Di conseguenza, considerando che il momento sia applicato staticamente, ossia che non
si abbiano effetti dinamici dell’albero sovrapposti
2
max 3 3
16 16 14177141 /
0.08
torsMN mm
d
A questa sollecitazione massima, corrisponde una rotazione unitaria e totale pari a
5max2 2 1414.36 10 /
80770 80unit rad mm
G d
5 4.36 10 1000 0.044 2.448unit l rad
Esempio 2: Calcolo di sollecitazione mediante sovrapposizione di effetti
Calcolare tensore tensioni nel punto P
Azioni interne:
Piani
Verticali
Piani
Orizzontali
Si calcolano separatamente i contributi in P
• 1) Momento flettente dovuto a P1 P giace sul piano neutro e quindi
, 10
xMpa
• 2) Momento flettente dovuto a P2 P è sulle fibre compresse
2
, 2 3 3
32 32 3000 40056.59
60
f
x
MMPa
d
• 3) Sforzo normale dovuto a P2 P ha la sollecitazione di tutta sezione
2
, 3 2 2
4 4 30001.06
60x
PMPa
d
Sommando tutte le tensioni normali in P
, 1 , 2 , 30 56.59 1.06 = - 57.65 x x x x
MPa
Contributo di taglio in P
• 1) Azione tagliante dovuta a P1
P si trova proprio dove è massimo lo sforzo tangenziale
1
2 2
4 4 16 2000 0.94
3 d 3 60xy
PMPa
• 2) Azione del momento torcente imposto da P1
Si hanno sforzi tangenziali che sono massimi nelle fibre esterne (punto P)
3 3
16 16 2000 40018.86
d 60
tzy
MMPa
Tensione
risultante
A
B
A
A
B
2 2 257.65 3 18.86 3 0.94 66.28
eq VonMisesMPa
57.65 0.94 18.86
0.94 0 0
18.86 0 0
MPa
σ
Per sezioni non circolari problema più complesso, risolto nel passato mediante analogie:
Idrodinamica (Greenhill - 1871)
membranale (Prandtl - 1926)
Sezioni rettangolari
3
t
2
tMAX
G a b
M ;
b a
M
Andamento a (pseudo)-farfalla
2 3 ;
t tMAX
M M
a b G a b 3 3Rettangolari allungate:
i
3
iitors s h3
1J
Sottili semplicemente connesse:
tors
t
tors
MAXtMAX
G J
M ;
J
s M
Soluzione approssimata sezione
rettangolare qualunque: (n= b/a)
63.0n
n 3 ;
n
8.13
p
t
4
p
J G
Mq ;
A
J40q
Deformabilità sezioni “raccolte”
(St.Venant) (n= b/a)
Formula che approssima la precedente tabella
N.B. Il massimo si ha dove lo
spessore è massimo
Torsione nelle travi tubolari in parete sottile
Quando le sezioni sono sottili e chiuse, l’andamento della di torsione può pensarsi
costante e non a farfalla su ogni possibile taglio, si utilizzano le formule di Bredt
s G 4
c M ;
s 2
M2
tt
= area racchiusa sezione media
s = spessore (piccolo)
c = lunghezza linea media
Sezione costante:
i
i
i
2
t
MIN
tMAX
s
c
G 4
M ;
s 2
M
Sezione a spessore piccolo ma variabile:
Esempio: Trave a cassone
Una trave a cassone di lunghezza L, è soggetta a momento torcente Mt. Si determini:
1) Lo spessore minimo dei due piatti orizzontali, sapendo che la amm= 160 MPa
2) L’angolo di torsione sapendo che una estremità è libera e l’altra incastrata
In termini di , la sollecitazione ammissibile è
16092.4
3amm MPa
L’area sottesa dalla linea vale
2200 140 28000 mm
2
tMAX
MIN
M
s
325000 104.8
2 2 28000 92.4
tMIN
adm
Ms mm
Utilizzando ora la formula di Bredt per spessori non costanti si ha
35
2
25000 10 200 1402 2 1.12 10
4 4 80770 28000 4.8 10
t iunit
i
M crad
G s
5 21.12 10 3000 3.36 10 Tot unit L rad