ANALISI MATEMATICA A - 3 setembre 2012 - Allievi AUTL, INFL, MECL, MATL, AMBL, CIVL,GESLIl NUMERO della FILA è ontenuto nel testo dell'eser izio 1 ed è il numero intero he pre ede la ostante sommata alla radi e quadrataFila 11. domf = R, f è pari, f è periodi a di periodo 2π. i limx→±∞ f(x) =non esiste, non i sonoasintoti.La derivata prima èf ′(x) =

| sin x|sin x

1√

| sin x|2 cos x + 1

2(cos x + 2)

1

2√

2 + cos x +√

| sin x|

domf ′ = R \ {kπ, k ∈ Z}, x = kπ punti di uspide.f res ente in ]0, 2

3π[, ]π, 4

3π[, x = 2

3π, 4

3π punti di massimo assoluto, x = π punto di minimoassoluto.

−10 −5 0 5 10−0.5

0

0.5

1

1.5

PSfrag repla ements 2π

x

f(x

)

2. La su essione an = 28 arctan[

7n

7n+1

] è monotona res ente, quindi per il teorema delle su essionimonotone si ha inf A = minA = 0, ∄ maxA, supA = limn→∞ an = 7π3. A ∩ B = {√

2(−1 − i),√

2(1 − i)}4. z1 = z2 = 0, z3 = 3√

2(√

32

+ i

2

), z4 = 3√

2(

−√

32

+ i

2

), z5 = − 3√

2 i5. Il limite vale ℓ = −36. Il limite vale log 227. f è ontinua in x = 7, mentre x = 0 è punto di in�nitoFila 2

1. domf = R, f è pari, f è periodi a di periodo 2π. i limx→±∞ f(x) =non esiste, non i sonoasintoti.La derivata prima èf ′(x) =

| sin x|sin x

1√

| sin x|2 cos x + 1

2(cos x + 2)

1

3√

2 + cos x +√

| sin x|

domf ′ = R \ {kπ, k ∈ Z}, x = kπ punti di uspide.f res ente in ]0, 2

3π[, ]π, 4

3π[, x = 2

3π, 4

3π punti di massimo assoluto, x = π punto di minimoassoluto.2. La su essione an = 24 arctan

[

6n

6n+1

] è monotona res ente, quindi per il teorema delle su essionimonotone si ha inf A = minA = 0, ∄ maxA, supA = limn→∞ an = 6π3. A ∩ B = {2√

2(−1 − i), 2√

2(1 − i)}4. z1 = z2 = 0, z3 = 3√

3(√

32

+ i

2

), z4 = 3√

3(

−√

32

+ i

2

), z5 = − 3√

3 i5. Il limite vale ℓ = −36. Il limite vale log 327. f è ontinua in x = 6, mentre x = 0 è punto di in�nitoFila 31. domf = R, f è pari, f è periodi a di periodo 2π. i limx→±∞ f(x) =non esiste, non i sonoasintoti.La derivata prima è

f ′(x) =| sin x|sin x

1√

| sin x|2 cos x + 1

2(cos x + 2)

1

4√

2 + cos x +√

| sin x|

domf ′ = R \ {kπ, k ∈ Z}, x = kπ punti di uspide.f res ente in ]0, 2

3π[, ]π, 4

3π[, x = 2

3π, 4

3π punti di massimo assoluto, x = π punto di minimoassoluto.2. La su essione an = 20 arctan

[

5n

5n+1

] è monotona res ente, quindi per il teorema delle su essionimonotone si ha inf A = minA = 0, ∄ maxA, supA = limn→∞ an = 5π3. A ∩ B = {3√

2(−1 − i), 3√

2(1 − i)}4. z1 = z2 = 0, z3 = 3√

4(√

32

+ i

2

), z4 = 3√

4(

−√

32

+ i

2

), z5 = − 3√

4 i5. Il limite vale ℓ = −36. Il limite vale log 427. f è ontinua in x = 5, mentre x = 0 è punto di in�nitoFila 4

1. domf = R, f è pari, f è periodi a di periodo 2π. i limx→±∞ f(x) =non esiste, non i sonoasintoti.La derivata prima èf ′(x) =

| sin x|sin x

1√

| sin x|2 cos x + 1

2(cos x + 2)

1

5√

2 + cos x +√

| sin x|

domf ′ = R \ {kπ, k ∈ Z}, x = kπ punti di uspide.f res ente in ]0, 2

3π[, ]π, 4

3π[, x = 2

3π, 4

3π punti di massimo assoluto, x = π punto di minimoassoluto.2. La su essione an = 16 arctan

[

4n

4n+1

] è monotona res ente, quindi per il teorema delle su essionimonotone si ha inf A = minA = 0, ∄ maxA, supA = limn→∞ an = 4π3. A ∩ B = {4√

2(−1 − i), 4√

2(1 − i)}4. z1 = z2 = 0, z3 = 3√

5(√

32

+ i

2

), z4 = 3√

5(

−√

32

+ i

2

), z5 = − 3√

5 i5. Il limite vale ℓ = −36. Il limite vale log 527. f è ontinua in x = 4, mentre x = 0 è punto di in�nitoFila 51. domf = R, f è pari, f è periodi a di periodo 2π. i limx→±∞ f(x) =non esiste, non i sonoasintoti.La derivata prima è

f ′(x) =| sin x|sin x

1√

| sin x|2 cos x + 1

2(cos x + 2)

1

6√

2 + cos x +√

| sin x|

domf ′ = R \ {kπ, k ∈ Z}, x = kπ punti di uspide.f res ente in ]0, 2

3π[, ]π, 4

3π[, x = 2

3π, 4

3π punti di massimo assoluto, x = π punto di minimoassoluto.2. La su essione an = 12 arctan

[

3n

3n+1

] è monotona res ente, quindi per il teorema delle su essionimonotone si ha inf A = minA = 0, ∄ maxA, supA = limn→∞ an = 3π3. A ∩ B = {5√

2(−1 − i), 5√

2(1 − i)}4. z1 = z2 = 0, z3 = 3√

6(√

32

+ i

2

), z4 = 3√

6(

−√

32

+ i

2

), z5 = − 3√

6 i5. Il limite vale ℓ = −36. Il limite vale log 627. f è ontinua in x = 3, mentre x = 0 è punto di in�nitoFila 6

1. domf = R, f è pari, f è periodi a di periodo 2π. i limx→±∞ f(x) =non esiste, non i sonoasintoti.La derivata prima èf ′(x) =

| sin x|sin x

1√

| sin x|2 cos x + 1

2(cos x + 2)

1

7√

2 + cos x +√

| sin x|

domf ′ = R \ {kπ, k ∈ Z}, x = kπ punti di uspide.f res ente in ]0, 2

3π[, ]π, 4

3π[, x = 2

3π, 4

3π punti di massimo assoluto, x = π punto di minimoassoluto.2. La su essione an = 8arctan

[

2n

2n+1

] è monotona res ente, quindi per il teorema delle su essionimonotone si ha inf A = minA = 0, ∄ maxA, supA = limn→∞ an = 2π3. A ∩ B = {6√

2(−1 − i), 6√

2(1 − i)}4. z1 = z2 = 0, z3 = 3√

7(√

32

+ i

2

), z4 = 3√

7(

−√

32

+ i

2

), z5 = − 3√

7 i5. Il limite vale ℓ = −36. Il limite vale log 727. f è ontinua in x = 2, mentre x = 0 è punto di in�nito