Sistemi lineari

ed equazioni matriciali

R. Notari

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1. Equazioni equivalenti

Teorema 1 Siano A e B due matrici di tipo

m× n ed m× p, rispettivamente, sullo stesso

campo K, e sia M = (A|B). Se M ′ = (A′|B′)e una matrice ottenuta da M tramite ope-

razioni elementari sulle righe di M, allora le

equazioni AX = B ed A′X = B′ sono equi-

valenti.

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2. Esistenza delle soluzioni

Teorema 2 (Rouche-Capelli) Siano A e B

due matrici di tipo m×n ed m× p, rispettiva-

mente, sullo stesso campo K. L’ equazione

AX = B

ha soluzioni se, e solo se,

r(A) = r(A|B).

In questo caso, detto q = r(A) = r(A|B),

l’ equazione ha una sola soluzione se q = n,

mentre n−q righe di X restano indeterminate

se q < n, e si dice che l’ equazione ha ∞n−q

soluzioni.

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3. Struttura delle soluzioni

Teorema 3 Siano A e B matrici di tipo m×n

ed m×p, rispettivamente, sullo stesso campo

K, e supponiamo che r(A) = r(A|B). Siano

S = {X ∈ Mat(n, p;K)|AX = B}ed

S′ = {X ∈ Mat(n, p;K)|AX = 0},e sia X0 ∈ S. Allora

1. X0 + Y ∈ S per ogni Y ∈ S′;

2. per ogni X ∈ S esiste Y ∈ S′ tale che

X = X0 + Y.

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4. Matrici invertibili

Teorema 4 Sia A una matrice quadrata di

ordine n su un campo K. Le seguenti con-

dizioni sono equivalenti:

1. A e invertibile;

2. r(A) = n;

3. det(A) 6= 0.

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5. Soluzione di un’ equazione particolare

Teorema 5 (Cramer) Sia A una matrice

quadrata di ordine n su un campo K, inver-

tibile. Allora, qualunque sia la matrice B di

tipo n× p su K, l’ equazione

AX = B

ammette l’ unica soluzione X = A−1B. In par-

ticolare, se p = 1, detta X =t (x1, . . . xn), e

detta Di la matrice che si ottiene da A so-

stituendo la sua colonna i–esima con B, ab-

biamo che

xi =det(Di)

det(A).

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