Sistemi relativistici

Corso di laurea magistrale 2017­18

F. Becattini

   

Sommario lezione

●Insieme microcanonico gas ideale relativistico

●Corpo nero microcanonico

●Caso massivo generale: sviluppo in molteplicita'

   

Insieme microcanonico di un gas ideale relativistico

(Approssimazione di autostati di quadrimpulso)

Per semplicita' trascureremo le cariche esattamente conservate oppure sommeremosu tutte le possibili cariche iniziali (insieme gran­microcanonico).E' equivalente al caso di un gas di particelle completamente neutre. 

   

Per il caso di bosoni, occorre dare a x0 una piccola componente immaginarianegativa e in modo tale che la serie sui numeri di occupazione converga

Procedendo analogamente al caso canonico otteniamo (nota la notazione sinteticasul dominio di integrazione)

Se ci sono anche cariche conservate, ci saranno ulteriori integrali su intervalli finiti,ma la struttura resta analoga.

   

Calcolo di 

 Il calcolo analitico esplicito della funzione di partizione microcanonica e' impossibileper il caso di particelle relativistiche libere con relazione di dispersione 

E' invece possibile per il caso ultrarelativistico     

e per quello non­relativistico  

   

Corpo nero microcanonico

Gas di bosoni senza massa a 2 stati di polarizzazione con energia, impulso e volume fissato

Si fa il calcolo nel sistema di riposo

Prima di tutto si osserva che:

perche' x0 ha una piccola componente immaginaria negativa

   

L'integrale nell'impulso puo' essere risolto esplicitamente e fornisce

Dunque, si calcola la serie

E allora

   

Si sviluppa adesso in serie l'esponenziale e si integra termine per termine (sviluppo amolteplicita' fissate)

e si integra in x ricordandosi che x0 ha una parte immaginaria 

Si ottiene

NOTA: il termine n=0 richiede un trattamento a parte. Il risultato e' zero.

   

Re x0

Im x

0

polo

Si sceglie per l'integrazione un circuito con semicerchio sul semipiano superioredel piano complesso

NOTA: se M <0 devo scegliere il cerchio sul semipiano inferiore e l'integrale fa zero!

Dopo un po' di algebra si arriva alla formula finale

   

COMMENTI

La costante dimensionale 1/M4 dipende dalla presenza della delta. In effetti questae' una densita' di stati per cella di quadrimpulso.  Per grandi (M, V), in log W, mentre il fattore 1/M4 da' luogo ad un termine che cresce 

logaritmicamente, la sommatoria da' luogo ad un termine lineare (entropia)

 La serie e' convergente per qualsiasi valore finito di VM3 essendo minore della serie esponenziale                                             dipende essenzialmente dall' unica possibile variabile adimensionale VM3, essendo m=0.

E' allora banale mostrare che p=1/3 M/V anche nel caso microcanonico (ESERCIZIO)

Tutte le osservabili fisiche dipendono da log W

   

Il logaritmo della densita' di stati ha senso solo per la parte adimensionale

adimensionale

?

Si puo' definire allora l'entropia solo in base all'ultimo fattore, pero' ci sara' daaggiungere qualcosa in modo che per M­>0 si abbia S­>0 

   

Limite termodinamicoPer V e M grandi, i termini della serie da tenere in conto sono moltissimi. Ci si aspetta di ritrovare le leggi note del corpo nero. 

Sviluppo del punto di sella di

NOTA: Per avere il corretto punto di sella, la soluzione in x0 deve essere immaginaria negativa 

   

Re x0

Im x

0

polo

Ci sono 4 punti di sella candidati

Il punto di sella con parte immaginarianegativa soddisfa la richiesta di negativita' della derivata seconda (punto di massimo)

La direzione di attraversamento del punto disella deve essere mantenuta sulla direzione reale

   

Asintoticamente dunque:

Se ho altre particelle, la scalava divisa per il loro numero, datoche il numero dei gradi di liberta'moltiplica V a fattore in tutte leespressioni. Il limite termodinamicoe' raggiunto prima.

   

Esempi

Gas di fotoni a T=300 KDensita' di energia = 2.94 10­31 MeV4 e con x=106 si ha V = 1.9 10­8 cm3

Gas di fotoni a T=3 KDensita' di energia = 2.94 10­39 MeV4 e con x=106 si ha V = 1.9 10­2 cm3

A temperature ancora piu' basse il volume critico puo' diventare abbastanza grandema in pratica e' impossibile creare un sistema di fotoni a energia­impulso esattamente costante

Gas di gluoni liberi a T=300 MeV (8 gradi di liberta')

Densita' di energia = 4.3 1010 MeV4 e con x=105 si ha V = 1.45 fm3

   

SpettroMetodo generale per calcolare lo spettro:perturbare l'esponenziale con una funzionee fare la derivata in zero.

   

Spettro continuo

Da notare che deve essere

pertanto                                      e la serie e' dunque una somma finita di termini

ESERCIZIO: Calcolare lo spettro e farne dei grafici in x = /M

   

Gas ideale relativistico massivo

Partiamo dall'espressione della funzione di partizione microcanonica:

e calcoliamo la funzione di partizione microcanonica a molteplicita' fissata

che e' tale che

   

Si opera esattamente come nel caso canonico, cioe' scrivendo la delta di Kroneckercome un integrale di Fourier, passando al piano complesso e calcolandolo con il teorema dei residui

essendo

   

Adesso deve essere sviluppato in serie anche l'esponenziale

Di tutti questi termini devo considerare soltanto quelli che

Si riduce al problema di trovare le partizioni di un intero N nella rappresentazione dellamolteplicita', che indicheremo con 

   

Si ottiene cosi'

col vincolo

Definiamo 

NOTA: questo indice lDIPENDE dalla partizione

   

e riesplicitando i vari z si ottiene

Conclusione:la f.d.p a N fissato e' una somma su tutte le partizioni di N in cui compaiono H oggetti(clusters) di quadrimpulso associato np, spin S, e tutti devono rispettare la conservazione dell'energia­impulso 

DECOMPOSIZIONE A CLUSTER DELLA FUNZIONE DI PARTIZIONE PER UNGAS QUANTISTICO

   

Statistica di Boltzmann

Tornando alle formule iniziali, questo consiste nel tenere solo il primo termine dellosviluppo del logaritmo, cioe' il termine con n=1 

Boltzmann: solo una partizione, quella con N clusters

   

I termini successivi comportano potenze di V di ordine inferiore:  VH   con H < N

Dunque, nel limite termodinamico solo il termine a N clusters domina e i restantisono trascurabili. Questo corrisponde al limite di temperatura 0, essendo M fissatae V infinito. Dato che m/T ­> ∞  si recupera il limite di statistica classica.