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 Sistemi relativistici Corso di laurea magistrale 2017-18 F. Becattini

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Sistemi relativistici

Corso di laurea magistrale 2017­18

F. Becattini

   

Sommario lezione

Introduzione alla termodinamica relativistica

Temperatura ed entropia in relativita'

Insiemi relativistici

   

IntroduzioneMotivazioni teoriche e fenomenologiche:

  Teoria dei campi quantistici a “temperatura finita” (thermal field theory)  Fisica dei plasmi relativistici astrofisici  Quark­Gluon plasma e le collisioni di ioni pesanti ultrarelativistici  Termodinamica nei campi gravitazionali forti (stelle compatte)  Processo di adronizzazione nelle collisioni di alta energia

 

Nei sistemi creati in laboratorio (QGP) si hanno densità finite, ma anche volumi e cariche finite, perciò l'ipotesi di limite termodinamico che si fa usualmente deve essere attentamente valutata

   

An example: ideal Boltzmann gas

v

?

The moving observer sees momentum distribution function changed. How?

An obvious costraint is the invariance of number of particles

   

Assume the observer at rest with the gas can write

In relativity, the infinitesimal volume is NOT a scalar, rather a four­vector

where  is a three­dimensional space­like hypersurface in Minkowski space­time

For the observer at rest                                        and therefore 

Particle current

invariant

   

We are then led to demand that                                     be turned into a Lorentz scalar

Under a Lorentz transformation

Note that T and V do not change here because they are meant to be parameters shaping the distribution as seen by the observer at rest. 

The observer in motion sees a distribution proportional to  

Temperature four­vector

   

The thermodynamical equilibrium as seen by an inertial observer is described by a temperature four­vector. For an inertial observer at rest with the system (momentum=0)

From now on, when referring to the word “temperature”, the rest­frame is implied, i.e.The temperature is:

The particle current four­vector reads:

   

(Grand­)Canonical ensemble in quantum statistical mechanics

Maximize entropy with fixed stationary values of some quantities (not necessarilyCommuting with each other):

It can be shown that (R. Balian vol. 1) that – because of the trace ­ one can take the derivativewith respect to the statistical operator as though it was a real variable

   

Entropy in relativityIn non­relativistic mechanics, entropy is independent of the overall motion of the gas.It only depends on internal energy, not on total energy (kinetic+internal). In thermodynamicsthis is an assumption, not so in Statistical Mechanics.

PROOF

Maximizing entropy with the constraint of a non­vanishing mean momentum leads to

V being, as yet, a Lagrange multiplier with the dimension of a velocity.

Under a Galileian transformation with v                                                                                 NOTE

   

Therefore

and

The equation

                                                                                                  makes it clear the meaning of v

Independent of v

ENTROPY

   

Thus, entropy is independent of the collective motion of the system and of its kinetic energyMv2/2.It seems natural to demand the same in relativistic extension, namely entropy should be a Lorentz­invariant quantity

Non­relativistic physics

Relativistic physics

   

Canonical ensemble in relativity (traditional approach)

Introduce canonical and grand­canonical ensemble through a reservoir 

Reservoir

System

System+reservoir = microcanonical ensembleS+R interaction must be weak and short range(only through contact surface)

Classically

Probability of a state of the system: sum overthe reservoir states

   

Reminder: marginal distribution for the system

   

Canonical ensemble in relativity – cont'd

Reservoir

System

Entropy is a function of four­momentum

Since S = log W is a Lorentz invariant

                                               

   

Relativistic density operatorMaximize entropy with the constraints of energy and momentum conservation leads to

But                                     and so 

In relativity, also                     is an invariant and indeed the traceis a relativistic invariant (sum over states) 

   

Similarly, one can introduce chemical potentials, which are generally related to conservedcharges rather than number of particles. This is simpler to extend as charges are already Lorentz scalars.

Starting from the new form of the Gibbs distribution, the ideal gas distribution functionIn covariant form can be recovered.

Particularly

QUESTION: Why is the partition function invariant under a Lorentz transformation and not in non­relativistic physics under a Galileian transformation?HINT Take the rest energy term into account and the fact that temperature is afour­vector, i.e. its time component is not invariant under Galileian transformation

   

Relativistic thermodynamics

In the rest frame (of the reservoir ­ subtlety here) they reduce to the usual relation known from classical thermodynamics.

All thermodynamical relations of classical thermodynamics apply to relativistic thermodynamics provided that:

T is interpreted as the proper temperature  (measured in the reservoir's rest frame)

V is interpreted as the proper volume (measured in the reservoir's rest frame)

All chemical potentials are relevant to some charge conservation

   

More on temperature in relativity

Comoving thermometer:Thermodynamic equilibrium of bothenergy and momentum Proper temperature

Thermometer at rest, moving system:Thermodynamic equilibrium ofenergy, but not of momentum. Measured temperature is red­shifted

   

Enforce the equilibrium condition for two bodies in thermal contact (system and thermometer)

●If comoving

●If thermometer at rest

Therefore, the temperature measured by a non­comoving thermometer is notthe proper temperature, but red­shifted by a factor 1/g This is the “classical” viewpoint by Einstein and Planck 

   

Classical statistical ensembles Microcanonical: energy and number of particles fixed

Canonical: number of particles is fixed, but energy fluctuates because the system is in contact with a reservoir

Grand­canonical: both number of particles and energy fluctuate

   

Relativistic statistical ensembles

These definitions are more rigorous. The previous ones are approximate expressionswhich are equivalent for sufficiently large volumes, i.e. when this replacement is possible

   

One particle in NRQM reexamined

Therefore, using the new definition and inserting a complete set of momentum eigenstates:

So:

   

Because of the completeness relation in the box:

Therefore:

This is a continuous and derivable function of E !

This is the same expression as in classical mechanics, for a single free particle confined within a box with volume V

   

For sufficiently large volumes

Microcanonical ensemble: energy­momentum and charges (additive) fixed

Canonical: fixed charges, energy­momentum fluctuates because in contact with areservoir

Grand­canonical: both charges and energy­momentum fluctuatetemperature four­vector

NOTE: partition functions are Lorentz invariants