Sinteza Matematica Aplicata in Econom

5/24/2018 Sinteza Matematica Aplicata in Econom

1/45

1

MATEMATICI APLICATE N ECONOMIE

Anul I, semestrul I

CONINUT

Tema 1. Elemente de algebrsuperioarcu aplicaii n economie(vezi pag. 13-41 dinMatematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed.FRM, 2007)

Spaii vectoriale. (vectori liniari independeni, sistem de generatori, baza unui spaiuvectorial, dimensiune a unui spaiu finit dimensional).

Organizarea spaiilor economice ca spaii vectoriale. Baza i schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan. Organizarea ca spaii metrice i spaii normate. Forme liniare. Forme biliniare. (matricea ataatformei biliniare, modificarea matricii unei funcionale

biliniare la schimbarea bazelor) Forme ptratice (forma canonica unei forme ptratice, metode de aducere a unei forme

ptratice la forma canonic: Metoda lui Gauss, Metoda lui Jacobi) Operatori pe spaii vectoriale. Proprieti. Valori proprii i vectori proprii. Coninut

economic.

Tema 2. Fundamentarea optima deciziilor prin programare liniar(vezi pag. 45-76Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed.FRM, 2007)

Formularea problemei de programare liniar(PPL) i a modelului matematic: formageneral, forma canonic, forma standard. Rezolvarea prin algoritmul simplex primal.

- Trecerea de la o soluie posibilde bazla altsoluie posibilde baz(criteriul de ieiredin baz);

- Criteriul de intrare n baz;- Tratarea problemelor de P.L. care nu au forma standard;- Metoda bazei artificiale

Forma duala PPL. Teorema de dualitate i coninutul economic al variabilelor duale (preuri umbr). Algoritmul simplex dual. Studii de caz n managementul financiar-contabil.

Tema 3. Decizii optime de transport (vezi pag. 45-76 Matematici pentrueconomisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)

Formularea problemei transporturilor i a modelului matematic. Soluii de baziniiale. Criteriile de optimizare. Studii de caz.


2/45

2

Tema 4. Elemente de analiz matematic cu aplicaii n fundamentarea deciziei

economice optime

(vezi pag. 86-115 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A.Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)

Serii numerice, criterii de convergen. iruri de funcii. Serii de puteri. Seria Taylor . Funcii de mai multe variabile. Mulimi i puncte din Rn. Continuitatea funciilor n spaiul Rn: limite, limite iterate. Derivabilitatea funciilor n Rn: derivate pariale de ordinul I i de ordin superior. Difereniala de ordin I i de ordin superior; coninut economic. Derivata funciilor compuse. Extremele funciilor de mai multe variabile ( punct de extrem local; punct staionar; punct

de minim local;

punct de maxim local). Extreme cu legturi (condiionate). Coninut economic. Aplicaii i studii de caz. Integrale.

Tema 5. Modelul dinamicii proceselor economice (vezi pag. 86-115 Matematicipentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)

Dinamica proceselor economice: analiza n timp continuu i n timp discret. Tipuri principale de ecuaii difereniale cu aplicaii n economie:- ecuaii cu variabile separabile,

- ecuaii difereniale liniare:-ecuaii omogene,-ecuaii difereniale de tip Bernoulli i Riccati i aplicaiile lor.

BIBLIOGRAFIE

1. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. Matematici pentru economiti, Ed. FRM,Bucureti, 2000.2. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R., Matematici pentru economiti, Ed. FRM,Bucureti, 2005,2007

3. BACIU A. Matematici aplicate n economie i finane, Ed. FRM, Bucureti, 2004


3/45

3

ALGEBRLINIARSpaii vectoriale. Organizarea spaiilor economice ca spaii vectoriale. Baza i

schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan. Organizarea ca spaii metrice i spaii

normate. Forme liniare, biliniare, ptratice. Operatori pe spaii vectoriale: valori proprii

i vectori proprii. Coninut economic. (vezi pag. 13-41 din Matematici pentrueconomisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)

Spaii vectoriale

Fie V o mulime nevid de elemente i K un corp de scalari (de regul K estecorpul numerelor reale R sau corpul numerelor complexe C).

Pe mulimea V se definesc douoperaii: operaia de adunare +, ca lege de compoziie intern

, avem Vx y V x y +

operaia de nmulire cu scalari, ca lege de compoziie extern;xV, K avem xV

Definiie: Mulimea nevidV se numete spaiu vectorial peste corpul Kdac(V, +) este grup abelian, adicverific:

1)x + y = y + x () x, y V2) (x + y) + z = x + (y + z), () x, y, z V3) () VO , elementul neutru astfel nctx + Ov= Ov+ x = x, () xV

4) () xV, () x element opus, astfel nctx + (-x) = (-x) + x = Ov() xVsi (V, ) verific1) (x +)x = x +x pentru () ,K ixV2) (x + y) = x + y pentru () K i x, yV3) () x = (x)pentru (),K ix V4. 1kx = xpentru 1KK numit element neutru, () xV

DefiniieFie V un spaiu vectorial peste corpul K. Un vector vV se numetecombinatie liniar a vectorilor v1, ...., vmV dac exist scalarii 1, 2, ...., m Kastfel nct

v = 1v1+ 2v2+ .....+ mvm


4/45

4

Definiie Un sistem de vectori v1, v2, ...., vn din V se numete sistem degeneratoriai spaiului vectorial V dacorice vector vV se poate scrie ca o combinaieliniara vectorilor v

1, v

2, ...., v

n.

DefiniieUn sistem de vectori v1, v2, ...., vm din V se numete sistem liniarindependent dacdin 1v1+ 2v2+ ....+ mvm= 0 rezultca scalarii

1= 2= ..... =m= 0Observaie: dacexistscalari nenuli, sistemul de valori se numete sistem liniar

dependent.Propoziie. Vectorii v1, v2, ..., vnV sunt liniar dependenidaci numai dac

cel puin un vector dintre ei este o combinaie liniarde ceilalti.Definiie. Fie V un spaiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectoriB = v1, v2, ..., vm se numete baz pe spaiul vectorial V dac este format

dintr-un numr maxim de vectori liniari independeni. Numrul vectorilor din bazdetermindimensiunea spaiului.Definiie. Coeficienii 1, 2, ...., nai reprezentrii vectorului vV n baza B se

numesc coordonatele vectorului vn baza B.Propoziie Sistemul de vectori unitari

( ) ( ) ( )1 21 0 ... 0 , 0 1 ... 0 , ..., 0 0 ... 1nb b b= = = formeazo baza spaiului

vectorial Rnnumit bazcanonic (sau unitar)Propozitie (Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei).Fie v Rn, A = {a1, a2, ... , an} i B = {b1, b2, ..., bn} doubaze din R

ni prin abuzde notatie notm cu A i B matricile acestor baze.

Fie 1, 2, ..., ncoordonatele vectorului vn baza A i 1, 2, ..., ncoordonatele

vectorului vn baza B i pentru fiecare i, n,1i= , i1, i2, ..., in, coordonatele vectoruluivin baza B. Atunci:

++=

++=

nnn1n1n

n1n1111

.....

..........

.....

care scris matricial devine:

= M , unde

=

nn1n

n111

M

L

MMM

L

sau M se numete matricea de trecerede la o bazla alta.

1.2. Aplicaii liniare

Definiie: Fie V, V dou spaii vectoriale peste acelai corp de scalari K dedimensiuni n respectiv m. O aplicaie T : V V se numete aplicaie (transformaresau operator) liniardaceste aditiva i omogen, deci dacverific:

a) T (x + y) = T(x) + T(y), () x, y Vb) T(x) = T(x), ()K, x V.


5/45

5

TeoremAplicaie T : V V este aplicaie liniardaci numai dac:

T(x + y) = T(x) + T(y), () , K, x, y V.

Teorem: Fie V, V douspaii vectoriale peste acelai corp de scalari K;B = {a1, a2, ..., an} baz a spaiului vectorial V i B = {b1, b2, ..., bn} baz aspaiului V. Fie ai un vector oarecare din B atunci T(ai) V i poate fi reprezentat nmod unic n funcie de vectorii bazei B:

T(ai) = 1b1+ ibi+ ... + inbn.Matricea formatdin coordonatele vectorilor T(a1), T(a2), ... , T(an) n baza B se

va numi: matricea asociataplicaiei liniare T n raport cu perechea de baze{B, B}.

( )

=

nnn2n1

n22221

n11211

'B,B TM

K

MMMM

K

K

1.3. Valori proprii i vectori proprii asociai aplicaiei liniare.

Definiie: Fie V spaiu vectorial n dimensional peste corpul de scalari K iT : V V o aplicaie liniar. Un scalar K se numete valoare proprie

pentru aplicaie liniarT dacexistcel puin un vector nenul vV astfel nct:T(v) = v. (1)Definiie:Vectorul nenul v V care verificrelaia (1) se numete vector propriu

pentru aplicaia T asociatvalorii proprii .Prezentm n continuare modul de determinare al valorilor i vectorilor proprii

pentru o aplicaie liniar.Fie T : V V o aplicaie liniar cu matricea aplicaiei AT definit n baze

canonice.Relaia (1) se mai scrie: T(v) v = 0 sau ( ) 0T n vA E v = (2)

Relaia (2) reprezint scrierea matricial a unui sistem omogen. n consecintacoordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluiile sistemului omogen (2). Soluiile

sistemului omogen (2) nu sunt toate nenule numai dacdeterminantul sistemului este nul:P() = det (AT- En) = 0

Polinomul P() se numete polinomul caracteristicasociat aplicaiei liniare T iecuaia P() = 0 se numete ecuaia caracteristica aplicaiei T.

Teorem: Fie T: V V, K este o valoare proprie a aplicaiei liniare T daci numai daceste rdcina ecuaiei caracteristice.


6/45

6

1.3. Reducerea unei forme ptratice la o formcanonic.

Definiie Fie V un spaiu vectorial peste corpul real (R), de dimensiune n. Oaplicaie f : V R este o form(transformare sau operator) liniardaceste aditivi omogen, adic:

a) f(x + y) = f(x) +f(y) () x, y Vb) f(x) = f(x), () R, x V.

DefiniieO aplicaie f : V V R este o form biliniardac este liniar nraport cu ambele argumente, deci:

1. f(ax1+ bx2, y) = af(x1, y) + bf(x2, y) () x1, x2, y V, ()a, b R2. f(x, ay1 + by2) = af(x, y1) + bf(x,y2), () x, y1, y2V, ()a, b RPentru formule biliniare vom da o modalitate de scriere a acestora sub forma

matricial:Observaie: O form biliniar este determinatdac se cunoate matricea formeiA.

DefiniieO form biliniar se numete forma biliniarsimetricdacmatriceaformei este o matrice simetric(adicmatricea A este egalcu transpusa sa: Tff AA = ).

DefiniieFie V un spaiu vectorial peste corpul de scalari R, de dimensiune n. Oaplicaie g: V R este o formptraticdacexisto aplicaie biliniarsimetricf: V V R astfel nct g(x) = f(x, x) = xTAx, ()x V

Valorile

nn1n

n111

n2221

12112111

aa

aa

...,,aa

aa,a

K

MMM

L

===

se numesc minorii matriceiA.

Definiie Fie g : V R o form ptratic. g este pozitiv definit dac toiminorii matricei simetrice A sunt strict pozitivi; g este semipozitiv definitdacminoriisunt pozitivi sau zero; g este negativ definitdacminorii impari, 1, 3... 0; g este seminegativ definitdacminorii impari 1, 3... 0 i minorii pari2, 4 ... 0; g pentru care nu sunt ndeplinite nici una din condiiile anterioare este oformptraticnedefinit.

Definiie: Fie g : V R o formptratic. ntr-o baza spaiului B V forma

ptraticg are o formcanonicdacmatricea formei este o matrice diagonal.Metoda lui Jacobi

Fie o formptraticg : V R, g(x) = xTAx, A matrice simetric. Dactoi minoriimatricei A sunt nenuli atunci existo baza spaiului V, astfel nct forma ptraticssetransforme n formcanonic:

( ) 2nn

1n22

2

121

1

y...yy1

yg

++

+

=

unde y = (y1y2, ..., yn) reprezintcoordonatele vectorului x n baza B.


7/45

7

Metoda lui Gaussconstn formarea de ptrate perfecte cnd conin cel puin unaii0

Test de autoevaluare

1) Fie 2 vectorix, y R3 ( ) ( )1, 2, 1 i y 0, 1, 3x= = atunci

a) ( )1, 3, 4x y+ = ; b) ( )0, 3, 4x y+ = ; c) ( )0, 2, 4x y+ = ;d) ( )1, 3, 1x y+ =

Raspuns a) ( )1, 3, 4x y+ =

x + y= ( ) ( ) ( )1, 2, 1 + 0, 1, 3 = 1, 3, 4x y+ =

2) Fie vectorii v1, v2, v R3.

( )1 1, 2, 3v = i ( )2 0, 1, 1v = Sse scrie vectorul ( )1, 2, 4v=

ca o combinaie liniara vectorilor v1i v2.

a) 1 22v v v= + ; b) 1 22v v v= ; c) 1 2v v v= + ; d) vnu se poate scrie ca o combinatieliniara a a vectorilor v1i v2

Raspuns d)Rezolvare

Conform definiiei trebuie saflm scalarii 1i 2 astfel nctv = 1v1+ 2v2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 2 1 2

1, 2, 4 1, 2, 3 0, 1, 1

1, 2, 4 1, 2, 3 0, 1, 1

1, 2, 4 , 2 , 3

= +

= +

= + +

sau altfel scris obinem urmtorul sistem cu necunoscutele 1, 2.

==

=

=+=+

=

741

4322

1

22

1

2121

1 sistem incompatibil sau putem afirma c

vectorul vnu se poate scrie ca o combinaie liniara vectorilor v1i v2.

3) Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 30, 2, 1 ; 1, , 1 ; , 0, 1 ; Rv v m v m m= = =

Determinai parametrul mR astfel nct vectorii v1, v2, v3sfie liniar independeni.a)m=1; b) m=-1; c) m R ; d) m=0

Raspuns c)

Rezolvare


8/45

8

Aplicnd definiia trebuie spunem condiia ca toi scalarii 1, 2, 3K sfienuli n egalitatea: 1v1+ 2v2+ 3v3=0sau transformnd aceastegalitate ntr-un sistemde ecuaii liniare omogene cu solutie nula unica, atunci obligatoriu trebuie s punemconditia ca determinantul matricii formatdin vectorii v1, v2, v3sfie nenul:

det A 0

111

0m2

m10

0 0 + 0 2mm2 0 2 0

m2+ 2m+ 2 0 (m+1)2+ 1 0 () mRAadar vectorii sunt liniar independeni pentru () mR4) Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 31, 1, 2 , 1, 1, 1 , 1, 2, 1v v v= = = , v1, v2, v3R

3

Vectorii v1, v2, v3formeaz o baz a spatiului vectorial R3?

Raspuns ARezolvare

Pentru a demonstra c sistemul format din trei vectori v1, v2, v3 (numarulvectorilor din baza trebuie sa fie egal cu dimensiunea spatiului in care se lucreaza)formeazbaza este suficient sdemonstrm ceste un sistem liniar independent

112

211

111

0 Vectorii v1, v2, v3formeaz o baz a spatiului vectorial

R35) Fie vectorii ( ) ( ) ( )1 2 31, 1, 2 , 1, 1, 1 , 1, 2, 1v v v= = = , v1, v2, v3 R

3

Exprimati coordonatele vectorului ( )2, 1, 2v= n baza v1, v2, v3.

a) ( )2, 1, 0v= ; b) ( )0, 3, 5v= ; c) ( )0, 3, 5v= ; d) alt raspuns.

Raspuns c)

Rezolvare

Vom afla coordonatele vectorului vn baza B v1, v2, v3aplicnd metoda Gauss-Jordan:

B v1 1 1 2

1 1 2 -12 1 1 21 1 1 20 0 1 -30 -1 -1 -21 1 0 50 0 1 -30 -1 0 -51 0 0 00 0 1 -3


9/45

9

0 1 0 5Citim din ultimul tabel coordonatele vectorului v n baza B v1, v2, v3 i anume

( )0, 5, 3v=

6) Exprimati vectorul ( )3, 1, 2v= n baza unitar.

a) 1 2 33v e e e= + + ; b) 1 2 33 2v e e e= + + ; c); 1 2 33v e e e= + d) 1 2 33v e e e= Raspuns b)

Rezolvare

n spaiul R3vectorii unitari sunt ( ) ( ) ( )1 2 31, 0, 0 ; 0, 1, 0 ; 0, 0, 1e e e= = =

i atunci putem scriev = -3e1+ 1 e2+ 2e3.

7) Exprimati vectorul ( )3, 1, 2v= n baza v1, v2, v3unde

( ) ( ) ( )1 2 31, 1, 1 ; 3, 1, 2 ; 1, 1, 1v v v= = = a) 1 2 30 1 1v v v v= + + ; b) 1 2 30 1 0v v v v= + + ; c) 1 2 31 1 0v v v v= + + ; d) alt rspuns.Raspuns b)

Rezolvare

Pentru a exprima v n baza v1, v2, v3 se rezolv prin metoda Gauss Jordan iobinem 1 2 30 1 0v v v v= + + (sau se observavnd n vedere c 2v v= ).

8) Fie urmtoarele sisteme de vectori:A = {a1, a2, a3}, unde ( ) ( ) ( )1 2 31, 4, 2 ; -1, 2, 0 ; 3, 1, 5a a a= = = i

B = {b1, b

2, b

3}, unde

( ) ( ) ( )1 2 32, 4, 5 ; -1, 1, 0 ; -2, 0, 2b b b= = = .

Sse determine matricea de trecere de la baza A la baza B.

a)

=

205834

21715

14155

16

1M ; b)

5 15 141

15 17 216

34 58 20

M

=

; c)5 15 14

115 17 0

1634 58 20

M

=

;

d) alt raspuns.

Raspuns a)

Rezolvare

Fie M matricea de trecere de la A la B

Din vA= A-1 v v = A vA

vB= B

-1 v v = B vB

A vA = B vB vA = A-1 B vB deci M

T = A-1B pe care o vom determinaaplicnd metoda Gauss-Jordan


10/45

10

=

20214

581715

34155

16

1MT

=

205834

21715

14155

16

1M

A B1 -1 3 2 -1 -2

4 2 1 4 1 02 0 5 5 0 21 -1 3 2 -1 -20 6 -11 -4 5 80 2 -1 1 2 61 0 7/6 4/3 -1/6 -2/30 1 -11/6 -2/3 5/6 4/30 0 8/3 7/3 1/3 10/31 0 0 5/16 -5/16 -17/80 1 0 15/16 17/16 29/80 0 1 7/8 1/8 5/4

9) Aplicaia T : R2R3undeT(x1, x2) = (x1+ x2, x2, x1x2) este o aplicaie liniar?Raspuns ARezolvare

Conform teoremei vom arta c:T(x + y) = T(x) + T(y) () , R, x, y R2T(x1+ y1, x2+ y2) = T(x1, x2) + T(y1, y2) (x1+ y1+ x2+ y2, x2 y2, x1 y1 x2 y2) == (x1+ x2, x2, x1x2) + (y1+ y2, y2, y1y2) (A).

10) Fie aplicaia liniarT : R2R3, T(x1, x2) = (x1+ x2, x2, x1x2)S se determine matricea asociat aplicaiei liniare T n raport cu perechea de

baze: B = {a1, a2} i B = {b1, b2, b3}, unde( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2 3

1, 1 , -1, 3 ;

1, 1, 1 , 1, 3, 4 , 5, -1, 0

a a

b b b

= =

= = =


11/45

11

a) ( )

=

8

7

8

1

8

18

92

5

4

10

TM 'B,B ; b) ( ), '

10 5

4 2

9 18 81 7

8 8

B BM T

=

; c); ( ), '

10 5

4 2

9 18 81 5

8 8

B BM T

=

d) alt raspuns.

Raspuns a)

Rezolvare

T(a1) = T(1, 1) = (2, 1, 2)T(a2) = T(1, 3) = (2, 3, 2).

Coordonatele acestor doi vectori n baza B sunt:(10/4, 9/8, 1/8) i respectiv (5/2, 1/8, 7/8). Deci

( )

=

8

7

8

1

8

1

8

92

5

4

10

TM 'B,B

11) Fie aplicaia liniarT : R2R3, T(x1, x2) = (x1+ x2, x2, x1x2)S se determine matricea asociat aplicaiei liniare T n raport cu bazele

canonice.

a) ( ), '

1 1

0 1

1 1B BM T

=

; b) ( )

=

11

10

11

TM 'B,B ; c) ( ), '

1 1

0 1

1 0B BM T

=

;

d) alt raspuns.Raspuns b)

Rezolvare

Bazele canonice sunt B = {e1, e2}, ( ) ( )1 21, 0 , 0, 1e e= = i

{ } ( ) ( ) ( )' ' '1 2 3 1 2 3' , , , 1, 0, 0 ; 0, 1, 0 ; 0, 0, 1B e e e e e e= = = =' ' '

T(e1) = T(1, 0) = (1, 0, 1)T(e2) = T(0, 1) = (1, 1, 1).Coordonatele acestor doi vectori n baza B sunt (1, 0, 1) i respectiv (1, 1, 1)

i deci


12/45

12

( )

=

11

10

11

TM 'B,B

12) Fie T : R3 R3o aplicaie liniara crei matrice asociat n raport cu bazacanoniceste:

=

130

310

004

AT

Sse afle valorile proprii asociai acestui operator.

a) 1= 2= 4 i 3= 2; b) 1= 2= 4 i 3= 2; c) 1= 2= 4 i 3= 2; d) altraspuns.Raspuns b)

Rezolvare

Polinomul caracteristic ( ) ( )

==

130

310

004

EAdetP 3 i atunci

ecuaia caracteristicva fi: (4 )2(2 )= 0

Valorile proprii sunt soluiile acestei ecuaii: 1= 2= 4 i 3= 2.

13) Fie T : R3 R3o aplicaie liniara crei matrice asociat n raport cu bazacanoniceste:

=

130

310

004

AT

Sse afle vectorii proprii asociai acestui operator.

a) v = (k, h, h), unde k, h R i v = (0, p, p), unde p R nenul ; b) v = (k, -h, h),unde k, h R i v = (0, p, p), unde p R nenul; c) v = (k, -h, -h), unde k, h R i v = (0,p, p), unde p R nenul; d) alt raspuns.

Raspuns a)

Rezolvare

Vectorii proprii asociai valorii proprii se aflrezolvnd ecuaia: T(v) = v


13/45

13

Cum polinomul caracteristic ( ) ( )

==

130

310

004

EAdetP 3 atunci

ecuaia caracteristicva fi: (4 )2(2 )= 0Valorile proprii sunt soluiile acestei ecuaii: 1= 2= 4 i 3= 2.Aadar, fie 1= 2= 4, atunci vom rezolva ecuaiaT(v) = 4v, v R3

=

=

=

=+

=+

=

Rvv

Rv

vv

vv

v4vv3

v4v3v

v4v4

32

1

23

11

332

232

11

Deci v = (k, h, h), unde k, h R i nu sunt simultan nuli, este vectorul propriu

cutat asociat valorii = 4.

Fie 3= 2 atunci vom rezolva ecuaiaT(v) = -2v, v R3

=

=

=+

=+

=

Rvv

0v

v2vv3

v2v3v

v2v4

32

1

332

232

11

Deci v = (0, p, p), unde p R nenul, este vectorul propriu asociat valorii= 2.14) Fie o formbiliniarf : R2 R2R

f(x, y) = x1y1 2x2y1+ x1y2. Care este matricea formei biliniare n baza canonic?

a)1 1

3 0fA

=

;b)

=

02

11A f ;c)

1 1

2 0fA

=

; d) alt raspuns.

Raspuns b)

Rezolvare

Fie:

( ) ( ) 22221221211211112

1

2221

1211

21 ayxayxayxayxy

y

aa

aa

xxy,xf +++=

= Aceast formo identificm cu forma biliniardati se obine matricea formei

n baza canonic:

=

02

11A f

15) Sse aducla forma canonicurmtoarea funcionalptratic:g : R3R, ( ) 223231

23

21 xxx6xx4xx2xg ++= (utilizai metoda lui Jacobi)

a) ( ) 2 2 21 2 31 1

2 12f y y y y= + ; b) ( ) 2 2 21 2 3

1 1

2 12f y y y y= + + ; c) ( ) 2 2 21 2 3

1 1

2 12f y y y y= d)

alt raspuns.


14/45

14

Raspuns a)

Rezolvare

=

132

310

202

A

Calculm minorii 1 11 2 3

2 0 22 0

2; 2; 0 1 3 240 1

2 3 1

a

= = = = = =

( ) 2322

21

23

22

21 y

12

1yy

2

1y

24

2y

2

2y

2

1yf +=++=

i observm caceastformptraticeste nedefinit.16) Sse aducla forma canonicurmtoarea formptraticg : R3R ( ) 3121

23

22 xx4xx4xxxg += utiliznd metoda lui Gauss.

a) ( ) 2 21 2g y y y= + ; b) ( )2 21 2g y y y= ; c) ( )

2 21 2g y y y= ; d) alt raspuns.

Raspuns c)

Rezolvare

Rezolvare:

Matricea formei este:

=

102

012

220

A cu minorii

0

102

012

220

,412

20,0 321 =

====

Metoda lui Jacobi nu se poate aplica deoarece avem minori nuli i atunci vomaplica acest exemplu metoda lui Gauss.

Metoda lui Gaussconstn formarea de ptrate perfecte cnd conin cel puin unaii0

( ) ( ) ( ) ( )( ) 22

21

231

21231

23

21

2121

22

yyyg

xx2x2xxx4xx4x4xx4xxg

=

++=++=

are naturnedefinit.17) Un sistem de vectori v1, v2, ...., vm din V se numete sistem liniar

independent dacdin 1v1+ 2v2+ ....+ mvm=0 rezultcscalarii1= 2= ..... =m= 0.

Raspuns A.


15/45

15

18) Fie V un spaiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectoriB = v1, v2, ..., vmse numete bazpe spaiul vectorial V daceste formatdintr-

un numr maxim de vectori liniari independeniRaspuns A.

19)Aplicaie T : V V este aplicaie ... daci numai dac:

T(x + y) = T(x) + T(y), () , K, x, y V.a) liniar; b) neliniar; c) biliniar; d) alt rspuns.

Raspunsa)20) Fie T: V V, K este o valoare ... a aplicaiei liniare T daci numai

daceste rdcina ecuaiei caracteristiceRaspuns

a) proprie; b) caracteristic; c) alt rspuns.

PROGRAMARE LINIAR(vezi pag. 45-76 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu,

R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)Formularea problemei de programare liniar(PPL) i a modelului matematic: forma

general, forma canonic, forma standard. Rezolvarea prin algoritmul simplex primal.- Trecerea de la o soluie posibilde bazla altsoluie posibilde baz(criteriul de ieire

din baz);- Criteriul de intrare n baz;- Tratarea problemelor de P.L. care nu au forma standard;

- Metoda bazei artificialeForma duala PPL.Teorema de dualitate i coninutul economic al variabilelor duale (preuri umbr).Algoritmul simplex dual.Studii de caz n managementul financiar-contabil.Formularea problemei transporturilor i a modelului matematic.Soluii de baziniiale.Criteriile de optimizare.Studii de caz.

Diverse probleme economice i sociale la o serie de probleme de optimizare. Deexemplu:

1. probleme de planificare a investiiilor (probleme de utilizare oprim a unorresurse);

2. probleme de transport;3. probleme de planificare a produciei.

Problema utilizrii optime a unor resurseO ntreprindere produce articolele A1, A2, ... An utiliznd materiile prime

(resursele) M1, M2, ... Mm(disponibil de forde munc, capital, energie). Resursele sunt


16/45

16

n cantiti limitate, din, de exemplu Mjdispunem de o cantitate maximbj (cunoscut).Se cunosc, de asemenea:

consumurile tehnologice aij(aij0) cantitatea din Mjce se consumpentru a

fabrica o unitate din Ai ( )m1,j,n1,i ==

mnm2m1m

2n22212

1n12111

n21

aaaM

aaaM

aaaM

AAA

L

M

L

L

L

beneficiile unitare ci (ci > 0) n1,i= reprezentnd suma realizat prinvalorificarea unei uniti din produsul Ai.

Notm cu xi n,1i= cantitatea de produs Aice va fi fabricat. Cunoaterea lui xi,reprezentnd obiectivul final ntr-o problemde planificare a produciei.

ncasrile totale fiind ( ) =

=n

1iiin21 xcxx,xf K

n cazul n care unitatea dispune de materii prime, se pune problema utilizrii lorastfel nct sobinncasri totale ct mai mari.

( )

[ ]

=

=

=

=

=

n1,i,0x

m,1j,bxa

xcfmax

1

i

j

n

1iiij

n

1i

ii

Matriceal problema se scrie

( )

[ ]

=

0x BAx

cxfmax

1

Putem spune cla un model de programare liniaravem:1. o funcie obiectiv (liniarn toate variabilele) f = c1x1+ c2x2+ ... + cnxn2. un sistem de restricii formate din ecuaii i inecuaii liniare3. condiii de nenegativitate asupra variabilelor4. un criteriu de optim de min sau de maxim

FORMA STANDARD A PROBLEMEI DE PROGRAMARE LINIAR


17/45

17

Considernd o problem de programare liniar, avnd drept criteriu de optimmin (de exemplu, minimizarea cheltuielilor) aceasta se va scrie n form standardastfel:

( )

[ ]

=+++

=+++

=+++

+++=

0x,0x,0x

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcfmin

2

n11

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

mn2211

K

K

M

K

K

K

Sau matriceal

( )

[ ]

=

=

0x

BAx

cxfmax

2

Definiie 1. Un vector X0 0 ce verific relaia AX = B se numete soluieposibila modelului.

Definiie 2. O soluie posibilX0pentru care numrul de componente nenule reste mai mic sau egal cu m, iar vectorii ce corespund componentelor nenule sunt liniarindependeni se numete soluie de baz.

n cazul n care r


18/45

18

Cj: C1 C2 CnCB

coeficieniibazici

B

baza

XB

soluiaa1 a2 am

C11i

a

C22i

a

Cm

mia co

mponentele

luiBn

bazaT

Zj Z0 Z1 Znj= Cj Zj

B

m

1iB0jij XC Z,aCZ = ==

5. Dacj 0 atunci baza T este optim; soluia de baz BT completat cu zerourile necunoscutelor este soluieoptimde baz valoarea optima funciei obiectiv este Z0i rezolvarea s-a ncheiat. Dacpentru care


19/45

19

OBSERVAII

La ieirea din baz dac sunt mai multe rapoarte minime egale poate ieioricare din variabilele corespunztoare. Dacla cutarea variabilei ce prsete baza pe coloana ce intrn baznuavem nici un element strict pozitiv (toate negative sau zero) algoritmul se vancheia cu concluzia optim infinit.

Sse rezolve urmtoarea problemde programare liniar:

[ ]

1,5i,0x

16x3xx

12xx2x8x2xx

x2x3xx2xfmin

i

543

542

541

54321

=

=++

=++=++

++++=

Rezolvare

Scriem matricea

=

31100

12010

21001

A

Observm cavem o baz { }321 a,a,aB=

Cj 2 1 1 3 2CB B XB a1 a2 a3 a4 a52 a1 8 1 0 0 1 21 a2 12 0 1 0 2 11 a3 16 0 0 1 1 3

Zj 28+112+116=44 2 1 2 5 8

j= Cj Zj 0 0 0 -2 -6soluia nu

este optim(j


20/45

20

corespunztor lui 5 (celei mai mari diferene negative n modul) alegemvectorul a5n scopul introducerii n baz;

mprind coloana soluie la coloana lui a5, gsim

3

16,

1

12,

2

8, iar

2

8

3

16,

1

12,

2

8min =

, corespunztor pivotului va fi a15= 2

a1iese din baz, a5intrn baz.La Pasul urmtor observm ctoate diferenele j0, soluia este optim baza { }325 a,a,a este optim soluia optimde baz este x5= 4, x2= 8, x3= 4

x1= x4= 0 valoarea minima lui f este Z

0= 9

Algoritmul SIMPLEX pentru care nu au soluia iniial. Restriciile pot fi puse (sau sunt) sub forma Ax b, b 0, x 0indiferent dacproblema este de max sau de min. Deoarece n cazul inegalitii 0 astfel nct + = vom aduga la

fiecare inegalitate a problemei cte o variabil y pozitiv astfel nct sistemul deinegaliti al problemei devine sistem de egaliti.

Fixnd x1 = x2 = ... = xn = 0 avem soluia y1 = b1, ... ym = bm posibil princonstrucie.

n funcia obiectiv variabilele y sunt introduse i numite variabile decompensare sau deegalizaresau variabile ecartvor figura cu coeficient 0Pentru problema modificatn acest fel i adus, deci la forma standard se aplic

algoritmul simplex ca n cazul precedent.

(3)

[ ] [ ]

=+

+=

=

0Y0,X

byIAX

y0CXfmax

0X

0b,bAX

CXfmax

m (3)

(3)

[ ]

==

=++++

=++++=++++

+=

m1,j,0y,n1,i,0x

byxa...amxxa

byxa...xaxabyxa...xaxa

y0CXfmax

j1

mmnmn211m

22nn2222121

11nn1212111

M (4)


21/45

21

OBSERVAII La determinarea algoritmului SIMPLEX soluia optimpoate cuprinde variabile

X ct i variabile Y

=

0

00

y

xX

n cazul n care exist componente y n soluia optim, interpretarea loreconomicpoate fi aceea de economie de resurse n sensul cpentru componenta optimykde exemplu, diferitde zero, atunci resursa bk0, nu a fost transformatn ntregime.

EXEMPLU

(4)

[ ]

1,4i,0x

15x3xx2x

12xxxx2

x5xx4x2fmax

i

4321

4321

4321

=

+++

+++

++=

(5)

[ ]

0y,0y,1,4i,0x

15yx3xxx

12yxxxx2

y0y0x5xx4x2fmax

21i

24321

14321

214521

=

=++++

=++++

++++=

Matricea corespunztoare va fi:

103111

011112

B = {y1, y2}ntocmim tabloul simplex

cj: 2 4 -1 5 0 0CB B XB a1 a2 a3 a4 y1 y20 y1 12 2 1 1 1 1 0

=

3

15,

1

12min

02y 15 1 2 1 3 0 1 PIVOT3

3

15=

zj 0 0 0 0 0 0j= cj zj 2 4 -1 5 0 0 soluia nu este

optim(j>0)


22/45

22

0 y1 7 5/3 1/3 2/3 0 1 -1/3

=3/2

5,

3/1

7min =

5 4a 5 1/3 2/3 1/3 1 0 1/3 PIVO3/23/2

5 =

zj 25 5/3 10/3 5/3 5 0 5/3

j= cj zj 1/3 2/3 -8/3 0 0 -5/3 soluia nu esteoptim(j>0)

0 y1 9/2 3/2 0 1/2 -1/2 1 -1/24 a2 15/2 1/2 1 1/2 3/2 0 1/2

zj 30 2 4 2 6 0 2j= cj zj 0 0 -3 -1 0 -2 Soluia este optim

(j0)

Soluia este x1= x3= x4= 0, x2= 15/2y1= 9/2, y2= 0fmax = 30

METODA BAZEI ARTIFICIALE

Constn introducerea unui numr de m variabile artificiale ui, ui0 cte una lafiecare restricie astfel nct restriciile modificate devin:

=+0u,0x

buIAX m

iar funcia obiectiv[max]f = CX Musau[min]f = CX + Mu, unde M 0 foarte mare n raport cu cifrele ce apar n calcule.Scopul introducerii variabilelor artificiale este acela de a avea pentru nceput o

soluie de baz, constatnd caceasta este datchiar de variabilele artificiale.La terminarea algoritmului SIMPLEX pentru o astfel de problem putem avea

urmtoarele situaii:1. soluia optimnu conine variabile artificiale2. soluia optim conine variabile artificiale, dar de valoare zero. n acest caz

problema are soluie optimdegenerat3. soluia optimconine variabile artificiale nenule. n acest caz problema nu are

soluie, pentru c nu a fost corect formulat. Din punct de vedere economic prezenavariabilelor artificiale n funcia obiectiv nseamn o diminuare a valorii maxime sau ocretere a valorii minime.


23/45

23

EXEMPLU

[ ]

1,4i,0x

15x3xx2x

10xxxx2

x5xx4x2fmax

i

4321

4321

4321

=

=+++

=+++

++=

Rezolvare

Matricea sistemului

1121

1112:A

Problema se va rescrie[ ]

0u,0u,1,4i,0x

15ux3xx2x

10uxxxx2

MuMux5xx4x2fmax

21i

24321

14321

214321

=

=++++

=++++

+++=

Matricea se rescrie corespunztor

=

103121

011112A

B = {u1, u2}

cj 2 4 -1 5 -M -MCB B XB x1 x2 x3 x4 u1 u2-M u1 10 2 1 1 1 1 0

=

3

15,

1

10min

-M2u 15 1 2 1 3 0 1 PIVOT3

3

15=

zj -3M -3M -2M -4M -M -M

j= cj zj 2-3M 3M+4 2M-1 4M+5 0 0 soluia nu esteoptim(j>0)

-M u1 5 5/3 1/3 2/3 0 1 -1/35 x4 5 1/3 2/3 1/3 1 0 1/3

3/1

5,

3/5

5min

zj 5/3-

5/3M10/3-M/3

5/3-2M/3

5 -M M/3+5/3PI3/5

3/5

5=


24/45

24

j= cj zj 5/3M+1/3

M/3+2/3

2M/3-8/3

0 0 -4M/3-5/3 soluia nu esteoptim(j>0)

2 x1

3 1 1/5 2/5 0 3/5 -1/55 x4 4 0 3/5 1/5 1 -1/5 2/5 =

3/5

4,

5/1

3min

zj 26 2 17/5 9/5 5 1/5 8/5

PI5/35/3

4=

j= cj zj 0 3/5 -14/5 0 -M-

1/5-M-8/5 soluia nu este

optim(j0)2 x1 5/3 1 0 1/3 -1/3 2/3 -1/34 x2 20/3 0 1 1/3 5/3 -1/3 2/3

zj 80/3 2 4 2 6 0 2j= cj zj 0 0 -3 -1 -M -M-2 soluia este

optim (toatediferenej0)

Soluia max f = 80/3x1= 5/3 u1= u2= 0x2= 20/3x3= x4= 0

OBSERVAII

Pentru o problemce nu are soluie iniialprocedm astfel:1. restriciile de forma devin egaliti introducnd variabilele de

compensare;2. pentru restriciile = introducem variabilele artificiale;3. pentru restriciile introducem variabilele de compensare i artificiale.

Formal putem scrie: + =

= + u = + u =

n funcia obiectiv sunt introduse variabilele de compensare ca n cazul 1 ivariabilele artificiale ca n cazul 2.


25/45

25

EXEMPLU

[ ]

1,6i,0x

8xxxx2xx

24xx3xxx2x

8xxxxxx2x4x3x2xxxfmin

i

654321

654321

654321

654321

=

+++++

=+++++

++++++++++=

Rezolvare

Problema se va rescrie introducnd variabilele de compensare i artificialecorespunztoare

[ ]

0u;0u;0y,0y,1,6i,0x

8uyxxxx2xx

24uxx3xxx2x

8yxxxxxx2

MuMuy0y0x4x3x2xxxfmin

2121i

22654321

1654321

1654321

2121654321

=

=++++++

=++++++

=++++++

+++++++++=

Matricea sistemului va fi:

1010111211

01001311210001111112

:A

Observm cB = {y1, u1, u2}

cj 1 1 1 2 3 4 0 0 M MCB B XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 u1 u2

0 y1 8 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0M u1 24 1 2 1 1 3 1 0 0 1 0M u2 8 1 1 2 1 1 1 0 -1 0 1

zj 2M 3M 3M 2M 4M 2M 0 -M M Mj= cj zj 1-

2M1-3M

1-3M

2-2M

3-4M

4-2M

0 M 0 0 soluia nueste optim(j


26/45

26

6M M M 2M 2M 4Mj= cj zj 6M

-5M-2

M-2

2M-1

0 2M+1

4M-3

M 0 0 0soluia esteoptimdegenerat

Soluia [min]f = 24u1= u2= 0y1= y2= 0x1= x2= x3= x4= x6= 0x5= 8


27/45

27

ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC CU APLICAII N

FUNDAMENTAREA DECIZIEI ECONOMICE OPTIME

(vezi pag. 86-115 Matematici pentru economisti, I. Duda, R. Trandafir, A.Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007)

Funcii de mai multe variabile. Mulimi i puncte din Rn.

Continuitatea funciilor n spaiul Rn: limite, limite iterate.

Derivabilitatea funciilor n Rn: derivate pariale de ordinul I i de ordin superior.

Difereniala de ordin I i de ordin superior; coninut economic.

Derivata funciilor compuse.

Extremele funciilor de mai multe variabile ( punct de extrem local; punct staionar; punct de

minim local;punct de maxim local).

Extreme cu legturi (condiionate). Coninut economic.

Aplicaii i studii de caz.Integrale.

Tipuri principale de ecuaii difereniale cu aplicaii n economie:- ecuaii cu variabile separabile,

- ecuaii difereniale liniare:

-ecuaii omogene,-ecuaii difereniale de tip Bernoulli i Riccati i aplicaiile lor.

1. Difereniale

Fie f o funcie realde douvariabile, f : E R2R i fie (x0, y0) un punct interior lui

E.

Definiie. Spunem c funcia f(x, y) e diferenial n punctul (x0, y0) dac exist dounumere reale i i o funcie (x, y) : E R2R, continun (x0, y0) i nuln acest punct:

( ) ( ) 0yxy,xlim 00yyxx

0

0

==

astfel nct pentru orice punct (x, y) E, savem egalitatea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )202

00000 yyxxy,xyyxxyxfy,xf +++=

Proprieti:1) Dacfuncia f e difereniabiln punctul (x0, y0), atunci ea are derivate pariale n (x0,

y0) ifx(x0, y0) = , fy(x0, y0) = Egalitatea de definiie a difereniabilitii se scrie:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )202

0

000y000x00

yyxxy,x

yyy,xfxxy,xfyxfy,xf

++

++=

2) Dacfuncia f e difereniabiln (x0, y0) atunci ea este continun acest punct.


28/45

28

3) Dacfuncia f are derivate pariale fx, fyntr-o vecintate Va lui (x0,y0) i dacacestederivate pariale sunt continue n (x0, y0) atunci funcia f este difereniabiln (x0, y0).

Definiie. Funcia liniarde douvariabile:df(x0, y0) = fx(x0,y0) (x x0) + fy(x0,y0) (y y0) se numete difereniala funciei f(x, y)

n punctul (x0, y0).Difereniala funciei f se mai noteazdf(x, y) = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy

Definiie.Spunem c f admite difereniala de ordin 2 n (x0, y0) dac toate derivatele pariale de

ordinul nti existntr-o vecintate a punctului (x0, y0) i sunt difereniabile n (x0, y0)

( ) ( ) ( ) ( ) 200y00xy2

00x002 dyy,xfdxdyy,xf2dxy,xfy,xfd 22 ++=

Exemple1) Pornind de la definiie, sse arate cfuncia

f(x, y) = (x 1)2+ y2este difereniabiln punctul A(1, 1).

Rezolvare:Va trebui sartm care loc egalitatea:

(1) ( ) ( ) ( )202

0 yyxxy,x)1y(y

)1,1(f)1x(

x

)1,1(f)1,1(f)y,x(f ++

+

=

cu ( ) 0y,xlim

1y

1x=

.

Deoarece 0x

)1,1(f=

i 2

y

)1,1(f=

i f(1, 1) = 1 atunci egalitatea (1) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 1y1xy,x1y21y1x ++=+ cu ( ) 0y,xlim1y1x

=

sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yx,1y1xy,x1y1x 2222 +=+

De aici deducem

( ) ( ) ( )

22

1y1xy,x += i ( ) ( ) 01y1xlim

22

1y1x =+

2) Sse arate cfuncia:

( )

===

0ysau0xdaca1,

0ysau0xdaca0,y,xf

nu este difereniabiln origine.

Rezolvare: Dacfuncia ar fi difereniabiln origine ar trebui savem egalitatea:


29/45

29

( ) 22 yxy,x)0y(y

)0,0(f)0x(

x

)0,0(f)0,0(f)y,x(f ++

+

= cu

( ) 0y,xlim1y1x =

.

Spresupunem cx 0, y 0- Avem 0y

)0,0(f

x

)0,0(f=

=

deoarece f(x. y) =

1 egalitatea (2) devine ( )y,xyx1 22 += .

nsmembrul drept tinde ctre zero cnd x i y tind la zero, ceea ce contrazice nsiegalitatea.

Exemplu 3

Este funcia ( ) 22 yxy,xf += difereniabiln origine?

RezolvareDac funcia ar fi diferenaibil n origine, conform unei teoreme enunate la nceputul

capitolului, ar trebui s admit derivate pariale n acest punct. ns

( ) ( )1

x

xlim

x

xlim

x

0,00,xflim

0x0x

2

0x0x

0x0x

===

( ) ( )1

x

xlim

x

xlim

x

0,00,xflim

0x0x

2

0x0x

0x0x

===

.

Analog procedm pentruy

)0,0(f

.

n origine, funcia nu admite derivate pariale, deci nu este difereniabil.

Exemplul 4

Sse calculeze diferenialele de ordinul nti i doi pentru urmtoarele funcii:

a) f (x, y) = cos xy definitpe R2

b) ( ) 22 yxy,xf += definitpe R2c) f (x, y) = x ln y definitpe RX(0, )d) f (x, y) = ex+2y definitpe R2.

Rezolvare:Deoarece funcia admite derivate pariale de orice ordin.


30/45

30

a) ns:( ) ( )

sin xyxy

y,xfsin xy,y

x

y,xf=

=

Deci df (x, y) = - sin xy [ydx + xdy]Apoi

( )( ) xycosysin xyy

xx

y,xf 22

2

=

=

( )( ) xycosxysin xyxd

xyx

y,xf2=

=

( )( ) xycosxxysinx

yy

y,xf 22

2

=

=

prin urmare: d2f(x,y) = - cos xy[y2dx2 + 2xy dxdy + x2dy2]b) Am vzut n exemplul precedent cn origine funcia nu este difereniabil. n orice alt

punt, funcia admite derivate pariale continue:

( )22 yx

xx

y,xf+

=

i ( )22 yx

yx

y,xf+

=

deci este difereniabili avem:

( ) [ ]ydyxdxyx

1y,xdf

22+

+=

( )

( )23

22

2

222

2

yx

y

yx

x

xx

y,xf

+=

+

=

( )

( )2322

2

222

2

yx

x

yx

y

yy

y,xf

+=

+

=

( )

( )23

22

2

yx

xy

yx

y,xf

+=

Deoarece derivatele pariale de ordinul al doilea sunt continue n tot planul exceptndoriginea, rezultcn orice punct diferit de origine difereniala doua existi este:

( )( )

[ ]22222

322

2 dyxxydxdy2dxy

yx

1y,xfd +

+=

c) Pe domeniul dat funcia admite derivate pariale de orice ordin continue n tot planul,

deci funcia admite difereniale de orice ordin:( )yln

x

y,xf=

i

( )y

x

x

y,xf=

Aadar ( ) dyy

xydxlny,xdf +

( )[ ] 0yln

xx

y,xf2

2

=

=

( )22

2

y

x

y

x

xx

y,xf=

=


31/45

31

( )y

1

yx

y,xf2=

Aadar ( ) dxdyy2dy

yxy,xfd 2

22 +=

d) Deoarece( ) y2xe

x

y,xf +=

i

( ) y2xe2y

y,xf +=

i atunci ( ) [ ]dy2dxey,xdf y2x += +

( ) [ ] y2xy2x2

2

eexx

y,xf ++ =

=

( ) [ ] y2xy2x2

2

e4e2yy

y,xf ++ =

=

( ) [ ] y2xy2x2 e2e2xyx

y,xf ++ ==

i atunci ( ) [ ]22y2x2 dy4dxdy4dxey,xfd ++= +

2. Extremele funciilor de douvariabile

Definiie

Fie f o funcie real, de douvariabile, definite pe o mulime E R2. Un punct (a, b) Ese numete punct de maxim local (respectiv de minim local) al funcieif(x, y), dacexisto vecintate V a lui (a, b) astfel nct, pentru orice (x, y) V E savem:

f(x, y) f(a, b) (respectiv f(x, y) f(a, b)).

Teorem

Dacfuncia f are derivate pariale ntr-un punct de extrem (a, b) din interiorul mulimiiE, atunci derivatele pariale ale funciei se anuleaza n acest punct:

fx(a, b) = 0 i fy(a, b) = 0

Definiie

Un punct interior (a, b) E se numete punct staionar al funciei f(x, y) dacfuncia f( x,

y) e difereniabiln punctul (a, b) i dacdifereniala sa e nul.

Teorem

Dac (a, b) este punct staionar al funciei f(x, y) i dac funcia f(x, y) are derivatepariale de ordinul doi continue ntr-o vecintate V a punctului (a, b) atunci:

1) Dac ( ) ( ) ( )[ ] 0b,afb,afb,af 2''xy''y''

x 22 = , atunci (a, b) e punct extrem local al

funciei f(x,y) i anume:

dac ( ) 0ba,f ''x2

atunci (a, b) e punct de minim

dac ( ) 0ba,f ''x2

atunci (a, b) e punct de maxim.


32/45

32

2) Dac


33/45

33

Definiie: Extremele funciei (1) care satisfac i condiia (2) se numesc extreme

condiionate ale funciei (1) de condiia (2), sau extremele funciei (1) supuse la legturile (2).

Definiie: Punctele staionare ale funciei (1) cnd (x,y) parcurge mulimea a soluiilorcondiiei (2) se numesc puncte staionare legate sau puncte staionare condiionate ale funciei f.

Dacpunctul M (a,b) este punctul de extrem cutat atunci considerm funcia:y)F(x,y)f(x,y)(x, += unde se numete multiplicatorul lui Lagrange.

Pentru aflarea coordonatelor punctului M(a,b) rezolvm urmtorul sistem de derivatepariale:

=

=

=

0)y,x(F

0

y

0x

1) Dacd2(a,b) >0 atunci punctul M(a,b) este punct de minim2) Dacd2(a,b)


34/45

34

=+=

=+

=

2y23(yy

)y,x(

2)x21(xx

)y,x(

22

2

2

0)23()(2

=+

=

y

xyx

xy

0222

3,

2

1 222 +=

dydxd astfel concluzia este cpunctul

2

3,

2

11P este punct de minim

0222

3,2

1 222=

dydxd i n acest caz

2

3,2

12P este punct de

maxim

b) Considerm )1(11

),( +++= yxyx

yx

Rezolvm sistemul

(2)

=+

=+=

=+=

1

01),(

01),(

2

2

yx

yy

yx

xx

yx

Soluia sistemului este4

1pentru

2

1,

2

1=

P

322

2 21),(

xxxx

yx=

+

=

322

2 21),(

yyyy

yx=

+

=

01),(

2

2

=

+

=

yxyx

yx

+= 2

32

32 112 dy

ydx

xd

+=

2

1,

2

1Pastfel0)(16

2

1,

2

1 222 dydxd e punct de minim.


35/45

35

Ecuaii difereniale de ordinul nti

Definiie Se numete ecuaie diferenialde ordinul ntio ecuaie de forma

( ), , 0F x y y =/

(1)

unde: F este o funcie realdat, definitpe 3D R , avnd ca argumente:variabila independentx R , funcia necunoscut ( )y y x= i derivata sa ( )y y x=

/ /

.

Dacecuaia (1) se poate scrie

( ),y f x y=/

(2)

Atunci (2) se numeteforma explicitsau normala ecuaiei difereniale (1).Dac ( )y x= este o soluie a ecuaiei (2) graficul soluiei este o curbplancu

proprietatea cn fiecare punct al ei, tangenta la curbare direcia cmpuluice treceprin punctul considerat.

A rezolva ecuaia (2) revine la determinarea curbelor integrale, cu proprietatea cn fiecare punct al lor sunt tangente la direcia cmpului.

Problema determinrii soluiei ecuaiei (2), al crei grafic trece printr-un punct dat( )0 0,x y se numeteproblemCauchy.

Iar ( )0 0y y x= condiie iniialsau condiie Cauchy.

1. Srezolvm o ecuaie de forma

( ) [ ], ,y f x f a b=:

continu

dy

y dx=

/

(2)

Ecuaia devine

( )dy

f xdx

= (3)

Separm variabilele( )dy f x dx= (4)

i

( )y f x dx C= + (5)Astfel obinem soluia generala ecuaiei (2)

( )y x C= + (5)

Pentru rezolvaproblema Cauchyimpunem condiia ca soluia streacprintr-unpunct dat ( )0 0,x y .

( )0 0y x C= + (6)

i

( )0

0

0 0

x

x

y f x dx C y C= + = (7)

Gsim soluiaproblemei Cauchy( )0 0y y x= + (8)


36/45

36

2. Srezolvm o ecuaie de forma

( ) [ ], ,y f y f a b=/ :

continu

dyydx

=

/

(9)

i

( )

dydx

f y= (10)

Atunci

( )

dyC x

f y+ =

(11)

Gsim soluia generaln formimplicit( )x y C= + (12)

3. Srezolvm o ecuaie de forma( )

( ) [ ] [ ], , , ,

f xy f a b g c d

g y=

/ : :continu

dyy

dx=

/

(13)

Separm variabilele( ) ( )g y dy f x dx= (14)

Atunci

( ) ( )g y dy f x dx C = + (15)

Gsim soluia generaln formimplicit( ) ( )G y F x C = + (16)

Ecuaii omogene

( )

( )

,, ,

,

P x yy P Q

Q x y=

/

funcii omogene de grad mnx iy(17)

i

1,

1,

m

m

yx P

xy

y

x Q x

=

/

funcii omogene de grad mnx iy

(18)

Astfel ecuaia se poate scriedy y

fdx x

=

(19)

Facem schimbarea de funcie( )

( )y x

u xx

= ;

( ) ( ) ( )y x u x xu x= +/ /

(20)

Vom gsi


37/45

37

( ) ( ) ( )f u u x xu x= +/

(21)

Rescriem

( ) ( )f u uu xx

=/

(22)

Astfel

( ) ( ), 0

du dxf u u

f u u x=

(23)

Integrnd obinem

( )ln

dux C

f u u= +

(24)

Sau( )lnx u C= + (25)

dar ( ) ( )y x u xx = , atunci putem scrie soluia ecuaiei sub forma

lny

x Cx

= +

(26)

Dac ( ) 0f u u = , fie 0u u= soluia egalitii anterioare, atunci soluia ecuaiei va

fi 0y xu= , i se numete soluie singular.

Ecuaii reductibile la ecuaii omogene

1 1 1

ax by cy f

a x b y c

+ += + +

/

(27)

Daca) 1c c= , ecuaia (17) devine o ecuaie omogen.b) { } ( )1 2 0 0, ,d d M M x y = , unde 1 2 1 1 1. ;d ax by c d a x b y c+ + + + . Facem schimbarea

de variabil 0t x x= i schimbarea de funcie 0u y y= , atunci ecuaia (27) se rescrie

0 0

1 0 1 0 1 1 1

ax by c at buduf

dt a x b y c a t b u

+ + + +=

+ + + +

1 1

du at buf

dt a t b u

+ =

+ , o ecuaie omogen.

(28)

b) 1 21 1

a bd d

a b = =

| |, ecuaia (27) devine

( ) 1

dy ax by cf

dx ax by c

+ += + +

(29)

Facem schimbarea de funcie ax by u+ = , atunci (28) se rescrie

( )1

11u c

u a fb

u c

+

= +

/

, o ecuaie omogen.

(30)


38/45

38

Ecuaia liniarde ordinul nti

Forma general( ) ( ) [ ]0, , ,y P x y Q x P Q a b+ + =

:continue (31)

RezolvareI. 1. Se rezolvecuaia omogen

( ) 0,y P x y+ =/

(32)

avnd soluia ( )1y x .

I. 2. Facem schimbarea de funcie( ) ( )1y y x u x=

n ecuaia (31) i gsim

( ) ( )1 1 1 0,y u y u P x y u Q x+ + + =/ /

(33)

sau

( )( ) ( )1 1 1 0,u y P x y y u Q x+ + + =/ /

( ) ( )

( )1

10

Q xy u Q x u

y x+ = =

/ /

(34)

Integrnd obinem( ) ( )u x x C = +

Astfel gsim soluia ecuaiei (31) va fi( )( )1y y x C= + (35)

II. Metoda variaiei constantelorII. 1. Se rezolvecuaia omogen

( ) 0,y P x y+ =/

(36)

avnd soluia ( )1y Cy x= .

II. 2 Metoda variaiei constantelor constn a cuta pentru ecuaia (31) o soluiede forma ( ) ( )1y C x y x= .

Astfel ecuaia (31) devine

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0,y C x y C x P x C x y Q x+ + + =/ /

( ) ( )1 0,y C x Q x+ =/

( ) ( )

11

Q xC x dx C

y= + ,

(37)

iar( ) ( ) 1C x x C = + (39)

nlocuim (38) n ( ) ( )1y C x y x= i gsim soluia ecuaiei (31)

( ) 1 1 1y x y C y= + (40)


39/45

39

Test de autoevaluare rezolvat- Analizmatematic

1. Calculai derivatele pariale de ordinul nti ale funciei ( ), 2 3 1f x y x y= +

a) ( , ) 2; ( , ) 3x yf x y f x y= = / /

;

b) ( , ) 3; ( , ) 3x yf x y f x y= = ;

c) ( , ) 3; ( , ) 3x yf x y f x y= = ;

d) alt rspuns.Rspuns a)Soluie

( , ) 2; ( , ) 3x yf x y f x y= =

2. Calculai derivatele pariale n punctulM(1,0) ale funciei xyyxyxf 4),( 22 += a) (1,0) 2xf = , (1,0) 4yf = ;

b) (1, 0) 4xf = , (1, 0) 4yf = ;

c) (1,0) 2xf = , (1,0) 2yf = ;

d) alt rspuns.Rspuns a)Rezolvare

Fie ( )0 0,M x y unde 0 01, 0x y= = , atunci

0 0 0 0( , ) 2 4 (1, 0) 2x xf x y x y f = =

0 0 0 0( , ) 2 4 (1,0) 4y yf x y y x f = = 3. Calculai derivatele pariale de ordinul al doilea ale funciei xyyxyxf 3),( 33 +=

a) 2 ( , ) 6xf x y x = ,

2 ( , ) 6y

f x y y = ,

( , ) 3xyf x y = ;

b) 2 ( , ) 6xf x y y = ,

2 ( , ) 6y

f x y x = ,

( , ) 3xyf x y = ;

c) 2 ( , ) 6x

f x y x = ,

2 ( , ) 6y

f x y y = ,

( , ) 3xyf x y = ;

d) alt rspuns.Rspuns c)Soluie

3 3 2( , ) ( 3 ) 3 3x xf x y x y xy x y = + = /

3 3 2( , ) ( 3 ) 3 3y yf x y x y xy y x = + =

/

22( , ) (3 3 ) 6xxf x y x y x = =

/


40/45

40

22( , ) (3 3 ) 6yyf x y y x y = =

/

2( , ) (3 3 ) 3yx xf x y y y = =

4.Calculai derivatele pariale de ordinul al doilea ale funcieif(x,y) = ex-y

a) 2 ( , ) x yx

f x y e =

2 ( , ) x yy

f x y e =

( . ) x yyxf x y e =

b) 2 ( , ) x yx

f x y e =

2 ( , ) x yy

f x y e =


c) 2 ( , ) x yxf x y e = 2 ( , ) x y

yf x y e

=


d) alt rspuns.Rspuns b)Rezolvare

( )( , ) x y x yxx

f x y e e = =

( )( , ) x y x yyy

f x y e e = =

( )2 ( , ) x y x yxx

f x y e e = =

( )2 ( , ) x y x yyy

f x y e e = =

( )( . ) x y x yyxx

f x y e e = =

( )( , ) x y x yxyy

f x y e e = =

5. Sse calculeze difereniala de ordinul nti pentru urmtoarea funcie:

f (x, y) = ex+2ydefinitpe R2.a) ( ) [ ]2, 2x ydf x y e dx dy+=

b) ( ) [ ]dy2dxey,xdf y2x += +

c) ( ) [ ]2, 2x ydf x y e dx dy+= +

d) alt rspuns.Rspuns b)

Rezolvare:Deoarece ( ) 2, x yxf x y e

+=/

i ( ) 2, 2 x yyf x y e +=


41/45

41

i atunci ( ) [ ]dy2dxey,xdf y2x += + 6. Sse calculeze difereniala de ordinul al doilea pentru urmtoarea funcie:

f (x, y) = ex+2y

definitpe R2.

a) ( )2 2 2 2, 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +

b) ( )2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +

c) ( )2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +

d) alt rspuns.Rspuns c)Rezolvare

( )22 2, x y x y

xx

f x y e e+ + = =

//

( )22 2, 2 4x y x y

y yf x y e e+ + = =

//

( ) 2 2, 2 2x y x yxyy

f x y e e+ + = =

//

i atunci ( )2 2 2 2, 4 4x yd f x y e dx dxdy dy+ = + +

7.Soluia ecuaiei 2 1y x= +/

va fi

a) 2y x x C= + + ;

b) 22y x x C= + + ;

c)

3

2 3

xy x C= + + ;

d) alt rspuns.Rspuns a)

8.Soluia ecuaieiy y=/

va fia) lny x C= + ;

b) 2lny x C= + ;

c)2

ln2

xy C= + ;

d) alt rspuns.Rspuns a)

9. Soluia ecuaiei 2 12 1

xy

y

+=

/

va fi

a) 2 22 2y y x x C = + + ;

b) 2 2 2y y x x C = + + ;

c) 2 2y y x x C = + + ;d) alt rspuns.Rspuns c)


42/45

42

10. Soluia ecuaieixy x y=

/

va fi

a) ( )2x x y C = ;b) ( )2x y x C+ = ;

c) ( )2x y x C = ;


Soluie

1y

xy x y yx

= = / /

Facem schimbarea de funcie ( )

( )y x

u x

x

= ;

( ) ( ) ( )y x u x xu x= +/ /

. Astfel ecuaia devine

1 2 ,1 2

du dxxu u

u x= =

+

/

integrnd obinem

( )2 1 2x u C+ = , adic ( )2x y x C+ = , soluia generala ecuaiei.


dy x y

dx x y

+=

+va fi

a) ( )2

21

1 1

2 21 11 1

y

x C x

y yx x

++

+ = +

+ + + + +

;

b) ( )2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C x

y y

x x

= +

+

;

c) ( )2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C x

y y

x x

+ = +

+ + +

;

d) alt rspuns.

Rspuns c)

SoluieRezolvm sistemul

2 5 0 1

2 4 0 2

x y x

x y y

+ = =

+ = = , deci { } ( )1 2 , 1, 2d d M M = , unde

1 2. 2 5 0; 2 4 0d x y d x y + = + = .Facem schimbarea de variabil 1t x= + i schimbarea de funcie 2u y= , ecuaia

devine


43/45

43

2

2

du t u

dt u t

=

, ecuaie omogen. (1)

1 2

2

u

du tudt

t

=

(2)

Facem schimbarea de funcie,

( )u

v tt

= (3)

Cu ajutorul relaiei (3) ecuaia (2) se rescrie21 2 1

2 2

v vv tv tv

v v

+ = =

/ /

2

2

,1

v dt

dv tv

= Integrnd membru cu membru avem

2 2

1 1 1 1ln ln ,

1 11 1

v vtC tC

v vv v

= =

+ +

Astfel, gsim soluia generala ecuaiei

( )2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C xy y

x x

+ = +

+ + +


x yy

x y

=

+ +

/

va fi

a) ( ) ( )2 ln 1x y x y x C + + = + ;

b) ( ) ( )2ln 1x y x y x C+ + + = + ;

c) ( ) ( ) 2ln 1x y x y x C + + = + ;

d) alt rspuns.

Rspuns a)

Soluieb) Observm c 1 2d d , unde 1 2:1- 3 3 0; 1 0d x y d x y = + + = .Facem schimbarea de funcie,

( )

( ) ( )1 .

x y u x

u x y x

+ =

= +/ /

(1)

Ecuaia devine


44/45

44

( )2 11 31

1 1

uu duu

u dx u

= =

+ +

/

21 ,1du dx

u + =

(2)

Integrnd membru cu membru avem

( )2ln 1 ,u u x C = +

Astfel, gsim soluia generala ecuaiei( ) ( )2 ln 1x y x y x C + + = +

13. Soluia ecuaiei 0xy y x + =/

va fi

a) ( )lny x K x= +

;b) ( )lny x K x= + ;

c) ( ) 2lny x K x= + ;


Soluie1. Rezolvm ecuaia omogen

0dy dx

xy yy x

= =/

(1)

Integrnd membru cu membru avemln ln ln ,y x C= + Gsim soluia ecuaiei omogene

.y Cx= (2)2. Aplicm Metoda variaiei constantelor, cutm soluia ecuaiei 0xy y x + =

/

,de forma

( ) .y C x x= (3)

Ecuaia 0xy y x + =/

, cu relaia (3) devine

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2

0

0.

x C x x C x xC x x

x C x xC x xC x x

+ + =

+ + =

/

/ (4)

Astfel

( ) ( )1

lnC x C x x K x

= = +/

(5)

Atunci ecuaia 0xy y x + =/

are soluia ( )lny x K x= + .

14. Soluia ecuaiei x yyx

+=

/

va fi

a) lny Cx= ;

b) 2 lny x Cx= ;c) lny x Cx= ;


45/45

45

d) alt rspuns.Rspuns c)

Soluie

1x y y

y yx x

+= = +

/ /

Facem schimbarea de funcie ( )

( )y x

u xx

= ;

( ) ( ) ( )y x u x xu x= +/ /

. Astfel ecuaia devine

1 1

.

duxu u u x

dx

dxdu

x

+ = + =

=

/

Integrnd obinemlnu Cx= , adic ln .y x Cx= , soluia generala ecuaiei.

15. Soluia ecuaiei2

4 1

4

yy

x

=

/

va fi

a) ( )21

4 14

y C x = + ;

b) ( )21

4 14

y C x = + + ;

c) ( )21

4 14

y C x = + ;

d) alt rspuns.

Rspuns a)

Soluie

2 2

4 1 4 4

4 14 4

y y dxy dy

yx x

= =

/

, integrnd obinem

( ) ( )2ln 4 1 ln 4y C x = , gsim soluia ecuaiei

( )21

4 14

y C x = + .

Sinteza Matematica Aplicata in Econom

Documents

Transcript of Sinteza Matematica Aplicata in Econom