Scienza delle costruzioniESERCITAZIONI

Determinazione dell’ellisse centrale ed il nocciolo centrale di inerzia

Sezione a T

70

15

55

20

Y'

Y''

G XG

YG

X

Figura 1 [Quote in cm]

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Facendo riferimento alla figura 1, la sezione rappresentata è simmetrica rispetto l’asse YG.

A priori è possibile affermare quindi che il baricentro sarà individuato su tale asse che si definisce baricentrico principale di inerzia.Si passa ora alla definizione delle grandezze necessarie per la caratterizzazione geometrica della sezione.

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Momento statico rispetto X:

Area 2310215200550150700 mmA ×=×+×=

( ) ( )3610875.95

275200550625150700

mmSX

×=

××+××=

Lo scopo dell’esercizio è quello di ricavare innanzitutto gli assi principali di inerzia.Una volta calcolato il momento statico della sezione rispetto l’asse delle ascisse, l’ordinata del baricentro (YG) saràriferita all’asse X coincidente con l’intradosso della sezione.

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Baricentro

mmASYY XG 9.445' ===

mmASY X 1.254'' ==

A questo punto risulta agevole il calcolo dei momenti principali di inerzia della sezione in esame considerando il contributo delle diverse aree separatamente (si procede considerando la sezione a T come composta da due rettangoli).

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Momenti principali di inerzia rispetto YG:

Momenti principali di inerzia rispetto XG:

4933

1065.412

20055012

700150 mmIGY

×=×

+×

=

4923

23

1055.99.17011000012

550200

1.17910500012

150700

mm

IGX

×=×+×

+

×+×

=

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Per la determinazione dell’ellisse centrale di inerzia si esegua dapprima il calcolo dei raggi giratori principali di inerzia ed una volta noti questi, l’ellisse si traccia disponendo i semidiametri e perpendicolarmente agli assi XG e YG a partire dal baricentro G. Vedi figura 2.

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Raggiogiratoreprincipale di inerzia rispetto YG:

Raggiogiratoreprincipale di inerzia rispetto XG:

mmAI

GXX 8.21010215

1055.93

9

=××

==ρ

mmAI

GYY 14710215

1065.43

9

=××

==ρ

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YG

G

25,41

X

44,59

XG

ρX

ρY

Figura 2 [Quote in cm]

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Come già noto, il nocciolo centrale di inerzia è il luogo geometrico dei centri di pressione tali per cui l’asse neutro sia tangente alla sezione. Mentre tale condizione èfacilmente verificabile per una sezione rettangolare allo stesso modo si può ragionare per la trattazione della sezione a T. Per tracciare il nocciolo centrale d’inerzia si determina la posizione dei punti fondamentali grazie alla distanza del contorno del nocciolo dal baricentro G ed in seguito si traccia il luogo geometrico unendo i punti prima ottenuti. Vedi figura 3

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YG

X

XG25,41

44,59

35

B

A

E'

CD

G

ρX

ρYE''

e

Figura 3 [Quote in cm]

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Distanza CG, DG

Distanza BG

Distanza AG

mmAG X 1009.445

2

==ρ

mmBG X 1751.254

2

==ρ

mmDGCG Y 62350

2

===ρ

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Mentre per la sezione rettangolare il luogo geometrico presentava una forma romboidale ora per la sezione in esame il nocciolo centrale di inerzia mostra sezione esagonale. Questo è possibile mediante il calcolo dell’antipolo E della retta e ( coordinate di E nel sistema XGe YG). Osservando la figura 3 si ricavano:

Distanza GE’’

Distanza GE’

mmGE 666' =

mmGE 303'' =

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YG

X

XG25,41

44,59B

E'

CD

ρX

ρYE''

e

EAF

Figura 4 [Quote in cm]