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LAVORO DI DIPLOMA DI

DIANA CRICCHIO

MASTER OF ARTS SUPSI IN INSEGNAMENTO NELLA SCUOLA MEDIA

ANNO ACCADEMICO 2010/2011

SENSO DEL NUMERO, STIMA E CONTROLLO DEI RISULTATI

IN STUDENTI DI IV MEDIA

RELATORE

SILVIA SBARAGLI

Sommario

Introduzione ......................................................................................................................................... 1

Quadro teorico di riferimento .............................................................................................................. 3

Il senso del numero .......................................................................................................................... 3

La stima ed il calcolo mentale .......................................................................................................... 4

Il controllo della ragionevolezza dei risultati ................................................................................... 5

Linee di ricerca e aggiornamento dei curriculum di matematica ..................................................... 6

Domande di ricerca .............................................................................................................................. 9

Ipotesi di ricerca ................................................................................................................................. 11

Metodologia ....................................................................................................................................... 13

Tipologia e scopo della ricerca ....................................................................................................... 13

Campione di riferimento ................................................................................................................ 13

Strumenti di rilevazione dei dati .................................................................................................... 13

Modalità di somministrazione ........................................................................................................ 14

Modalità di elaborazione dei dati ................................................................................................... 14

Analisi ed interpretazione dei risultati ............................................................................................... 17

Questionario sulla stima ................................................................................................................. 17

Prova n. 1 ........................................................................................................................................ 20

Stima di numerosità .................................................................................................................... 20

Stima di misurazione .................................................................................................................. 23

Prova n. 2: stima computazionale ................................................................................................... 28

Prova n. 3: controllo della ragionevolezza dei risultati .................................................................. 30

Questionario sui metodi di calcolo e di controllo dei risultati ....................................................... 33

Risposte alle domande di ricerca ....................................................................................................... 37

Conclusioni ........................................................................................................................................ 39

Ringraziamenti ................................................................................................................................... 41

Bibliografia ........................................................................................................................................ 43

Allegati ............................................................................................................................................... 47

Allegato 1 - Questionario sulla stima ............................................................................................. 48

Allegato 2 - Prova n. 1 ................................................................................................................... 49

Allegato 3 - Prova n. 2 ................................................................................................................... 56

Allegato 4 - Prova n. 3 ................................................................................................................... 59

Allegato 5 - Questionario sui metodi di calcolo e di controllo dei risultati ................................... 62

Allegato 6 – Esempio di attività sulla stima computazionale di DIMAT ...................................... 65

Allegato 7 - Risultati della prova n. 1 ............................................................................................ 66



Allegato 10 - Il caso di un’allieva “procedurale” del corso attitudinale ........................................ 71

Allegato 11 - Autovalutazioni precedenti sul controllo dei risultati (IV D) .................................. 74

Senso del numero, stima e controllo dei risultati in studenti di IV media

1

Introduzione

Durante la mia pratica professionale nella scuola media, molteplici episodi mi hanno portato ad

interrogarmi sull’effettivo grado di familiarità degli studenti con i numeri e con le operazioni, al di

là delle loro competenze procedurali. Spesso, infatti, ho potuto constatare negli allievi una certa

difficoltà nello stimare grandezze del mondo reale, una scarsa abitudine al calcolo mentale e la

mancanza di riflessione critica sui risultati ottenuti. Parti maggiori dell’intero ricavate manipolando

frazioni e percentuali, quantità di oggetti espresse mediante numeri decimali (come le “5,33 scarpe”

proposte da una ragazza di IV media), o distanze astronomiche tra due città svizzere calcolate in

esercizi sul rapporto di scala sono solo alcuni degli esempi raccolti.

La lettura degli articoli di Arrigo (2000; 2001; 2009; 2010) sulle sperimentazioni in corso alla

scuola elementare per un “cambiamento epocale” nel calcolo a scuola mi hanno poi ulteriormente

convinto dell’importanza del calcolo mentale e della stima, anche in relazione all’uso della

calcolatrice. Da qui, la ricerca bibliografica mi ha portato ad inquadrare le mie idee iniziali

all’interno della tematica del senso del numero. In questo lavoro di diploma, ho quindi scelto di

indagare in maniera sistematica alcune componenti del senso del numero in studenti alla fine del

ciclo della scuola media ticinese.

Diana Cricchio

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3

Quadro teorico di riferimento

Il senso del numero

L’espressione number sense si è diffusa dagli anni ’80 per indicare l’insieme di conoscenze ed

abilità relative ai numeri e alle operazioni che permette ad un individuo di gestire in modo flessibile

ed efficace svariate situazioni matematiche, anche in contesti della vita quotidiana (Mclntosh, Reys,

& Reys, 1992).

Piuttosto che attraverso una definizione specifica, il senso del numero viene descritto tramite

l’identificazione delle sue componenti fondamentali, o indicatori. In particolare, McIntosh, Reys e

Reys (1992) hanno riorganizzato in tre aree le componenti proposte dalla letteratura - così come

schematizzato nella Figura 1:

Figura 1 - Interconnessioni tra le principali componenti del senso del numero (McIntosh, Reys & Reys, 1992, p. 5)

L’area “Number” comprende la gestione delle rappresentazioni equivalenti dei numeri e la

percezione della loro grandezza relativa ed assoluta; tale percezione si sviluppa sia a partire

dall’esperienza personale sia con il progredire dell’apprendimento matematico, insieme alla

costruzione di un sistema di referenti mentali o benchmarks (di natura numerica o fisica) a cui

vengono “ancorati” i numeri in gioco, per esempio nel calcolo mentale o nella stima di un risultato.

L’area “Operations” riguarda la comprensione dell’effetto delle operazioni sui vari tipi di numeri,

delle relazioni tra di esse e delle loro proprietà. L’area “Computational settings” si riferisce

all’applicazione delle prime due aree al problem solving; quest’ultimo richiede la capacità di

stabilire se è più appropriato un calcolo esatto o approssimato, la consapevolezza dell’esistenza di

più strategie, la capacità di scegliere le rappresentazioni numeriche e i metodi di calcolo più

efficienti, nonché un’attitudine alla revisione dei dati e dei risultati di un problema per verificarne il

senso. I collegamenti tra le tre aree si concretizzano infine in processi metacognitivi di

monitoraggio.

Diana Cricchio

4

Da questa panoramica, è evidente che il senso del numero coinvolge tutti i tipi di calcolo. In

questo lavoro si vuole specificatamente approfondire l’aspetto della stima, a sua volta collegata alle

strategie del calcolo mentale e al controllo della ragionevolezza del risultato ottenuto da un calcolo

scritto o automatizzato.

La stima ed il calcolo mentale

Pellegrino (1999) definisce la stima come l’individuazione del valore indicativo di una quantità o di

una grandezza incognita, mediante un procedimento conscio o inconscio. Una conseguenza di

questa definizione è la distinzione tra stime dirette, ottenute “ad occhio” o “a senso”, ed indirette,

ricavate con il calcolo approssimato. Un’altra distinzione, riportata da Segovia e Castro (2009), è

quella tra stima computazionale (che si riferisce al risultato di calcoli) e di misurazione, sia di

grandezze continue che discrete (in quest’ultimo caso si parla anche di stima di numerosità). Nel

caso di grandezze o quantità tipiche della realtà quotidiana una buona stima differisce dal valore

esatto per meno del 10%, mentre in casi “non familiari” è richiesto che l’ordine di grandezza del

valore stimato corrisponda a quello del valore esatto (Pellegrino, 1999).

Per quanto riguarda la stima computazionale, Reys (1986) la definisce come il processo di

trasformazione di un problema dalla sua forma originale ad una nuova forma che dia

approssimativamente una risposta equivalente e che sia facilmente risolvibile mediante calcolo

mentale. In questo senso, si possono distinguere tre differenti processi di stima (la riformulazione,

la traslazione e la compensazione), così come riportato da Alajmi (2009) e schematizzato nella

Figura 2. È proprio il processo di semplificazione dei numeri e/o del problema, sui quali si innesta

poi il calcolo mentale, che porta ad ottenere risultati approssimati e non esatti: per questo, talvolta,

si usa l’espressione calcolo mentale approssimato in riferimento alla stima computazionale.

Il calcolo mentale, a sua volta, comprende tutti i calcoli eseguiti senza il ricorso a dispositivi

tecnologici, in base alla conoscenza delle proprietà dei numeri e delle operazioni. Esso può anche

essere eseguito con carta e penna, ma - a differenza del calcolo scritto tradizionale in colonna - si

può svolgere in riga o comunque secondo algoritmi “spontanei”, così come proposto dalle

sperimentazioni di Arrigo (2010) e del programma DIMAT - Differenziare in matematica

(Dellagana & Losa, 2002), diffuso nelle scuole elementari del Canton Ticino. Il calcolo mentale,

infatti, non consiste in una semplice applicazione di procedure: prevede invece il ricorso a strategie

mentali personali, con il coinvolgimento di apprendimenti superiori di tipo convergente, come

l’analisi e la sintesi, ma anche di tipo divergente, quali intuizione ed invenzione (Arrigo, 2000).

Secondo Dellagana e Losa (2002), rispetto agli algoritmi tradizionali che trattano le cifre da destra a


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sinistra, il calcolo mentale rafforza la padronanza del valore posizionale delle cifre, “essenziale ai

fini del mantenimento del senso del numero, della stima e del controllo delle soluzioni” (p. 267).

Figura 2 - I tre processi della stima computazionale: riformulazione, traslazione, compensazione

(Segovia & Castro, 2009, p. 534)

Il controllo della ragionevolezza dei risultati

L’individuo che ha sviluppato un buon senso del numero si aspetta naturalmente che i risultati siano

plausibili rispetto a quelli attesi, ricorrendo a strategie di “checks and balances” (Reys, Reys,

Emanuelsson, Johansson, McIntosh, & Yang, 1999). La fase di monitoraggio, del resto, non può

ridursi alla semplice verifica della correttezza del risultato di un calcolo esatto, per esempio con la

prova mediante operazione inversa (Alajmi & Reys, 2010), né tantomeno con la semplice

ripetizione del calcolo con lo stesso metodo scelto inizialmente (Mclntosh, Reys, & Reys, 1992).

Secondo Dellagana e Losa (2002), addirittura, “gli allievi ‘addestrati’ alle operazioni scritte

tradizionali spesso non sanno controllare il risultato ottenuto anche dopo aver fatto la prova scritta”

(p. 260), considerando disgiunte la prova e la verifica. Il processo di controllo prevede invece

Diana Cricchio

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l’interazione degli apprendimenti concettuali con apprendimenti superiori convergenti e divergenti,

che si manifesta ancora una volta in un buon senso del numero.

In particolare, la stima computazionale gioca un ruolo fondamentale nel controllo delle

soluzioni, dato che permette di valutare la compatibilità tra il risultato ottenuto - a maggior ragione

se fornito da uno strumento automatico - con la previsione iniziale (Bonotto, citata da Alajmi &

Reys, 2010; Ralston, 1999; Rubenstein, 1985). Questa riflessione metacognitiva aiuta peraltro a

sviluppare negli allievi un senso critico nel rapporto con le nuove tecnologie: per esempio, secondo

Arrigo (2001), la previsione del risultato mediante il calcolo mentale è l’unico modo per individuare

eventuali errori nella fase di immissione dei dati durante il calcolo automatizzato. Sulla stessa linea,

Constance Kamii (citata da Dellagana & Losa, 2002, p. 261), afferma che

[...] quando si passa alle calcolatrici, bisogna pur mobilitare una forma di controllo. Tutto ciò che i

bambini hanno fatto prima deve aiutarli a costruire l’attitudine al controllo e non il contrario, come è il caso

nell’insegnamento dell’algoritmo tradizionale. La stima è ben più importante degli algoritmi!

Nel problem solving, poi, il processo di stima e controllo dei risultati può educare gli studenti a

non trascurare l’interpretazione e la validazione dei risultati ottenuti nei processi di

matematizzazione, nella delicata fase di ritorno dalla soluzione matematica al problema reale di

partenza. La connessione tra stima e risoluzione di problemi era già stata individuata da Polya

(1945, citato da Rubenstein, 1985, p. 110): l’ultima fase del suo modello metacognitivo per il

problem solving è proprio quella del “Looking back”, che comprende il controllo della

ragionevolezza della risposta ottenuta. Anche in Cornoldi, Caponi, Focchiatti, Lucangeli e

Todeschini (1995), tra vari obiettivi metacognitivi, viene perseguito quello del “controllo

dell’euristica della verosomiglianza”, che consiste nel “fornire stime o previsioni sui risultati

parziali o finali [...] per valutare la ragionevolezza di quelli via via ottenuti dal soggetto” (p. 280).

Il controllo della ragionevolezza di un risultato si collega infine alla cosiddetta clausola della

delega formale (D’Amore, 2002): una volta scelte le operazioni e i dati da usare, lo studente non si

prende carico di riflettere sul risultato ottenuto, né di controllare se esso è semanticamente coerente

con la domanda posta, tanto più se è stato fornito dalla calcolatrice. Celebre al riguardo è il

“problema del bus” proposto da Schoenfeld (1987, citato da D’Amore, 2002).

Linee di ricerca e aggiornamento dei curriculum di matematica

La ricerca sul senso del numero si è articolata a livello internazionale su varie linee. Se alcuni studi

hanno fornito una cornice teorica sulle componenti fondamentali del number sense, altri ne hanno

indagato il livello di sviluppo negli studenti di varie età e di diversi paesi, anche a scopo


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comparativo, come in Reys et al. (1999), rilevando in generale un debole senso del numero. D’altra

parte, già in lavori come quello di Reys (1986) venivano presentate possibili strategie operative di

istruzione per promuovere le abilità nella stima ed il senso del numero. Secondo Alajmi e Reys

(2010), invece, sono ancora poche le ricerche condotte sull’abilità degli studenti nel controllo della

ragionevolezza dei risultati. Inoltre, ai fini della formazione degli insegnanti, appare necessaria

anche un’analisi delle loro convinzioni e competenze relative al senso del numero e alla stima,

come quella proposta per esempio da Alajmi (2009).

Le ricerche svolte hanno indirizzato l’aggiornamento dei curriculum di matematica per i vari

ordini di scuola. Per esempio, nei Principles and Standards for School Mathematics americani

(National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000a), lo standard Number and

Operations ruota attorno allo sviluppo del number sense e si ricollega a quello del Problem Solving,

che prevede tra l’altro un monitoraggio del processo di risoluzione (NCTM, 2000b). Anche secondo

il quadro di riferimento del Programme for International Student Assessment (PISA), una delle

quattro idee-chiave su cui si articola il “contenuto matematico” è quella di “quantità”, che a sua

volta comprende il senso del numero (Organization for Economic Co-operation and Development

[OECD], 2009). In riferimento alle proposte di PISA e dell’NCTM, a livello svizzero il progetto

HarmoS (Consorzio HarmoS Matematica, 2009) promuove tra gli altri l’aspetto di competenza

“Interpretare, riflettere sui risultati”.

La scuola media ticinese rispecchia queste tendenze nel Piano di formazione del 2004 (Gruppo

disciplinare di matematica, 2007a). Nell’allegato 2 del Piano di formazione (Gruppo disciplinare di

matematica, 2007b), il campo di studio “Numeri” dedica infatti ampio spazio al calcolo mentale (sia

numerico che letterale) nei vari insiemi numerici, dalla prima alla quarta media. In particolare, per

le classi terze e quarte - per entrambi i livelli base e attitudinale - si richiede di “organizzare,

eseguire e verificare un algoritmo di calcolo procedendo sia mentalmente (in casi semplici) sia con

mezzi elettronici” e di “stimare il risultato di un calcolo (o di un algoritmo di calcolo), mediante

opportuni arrotondamenti e calcolo mentale”. Inoltre, nel campo di studio “Matematica applicata”,

l’obiettivo “verificare il grado di coerenza dei risultati trovati matematicamente con la situazione

reale” è trasversale a tutte le classi, così come la competenza “essere in grado di valutare

l’accettabilità di un risultato ottenuto da un calcolo o dalla risoluzione di un problema, mediante una

verifica o un ragionamento” enunciata nell’allegato 3 (Gruppo disciplinare di matematica, 2007c).

Per concludere, in riferimento alla Mappa formativa di matematica (Gruppo disciplinare di

matematica, 2007a), è evidente che la stima ricopre un importante ruolo nella formazione culturale,

personale e sociale degli allievi, a livello di sapere, saper fare e saper essere. Infatti, la stima risulta

Diana Cricchio

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utile in svariate situazioni nella vita quotidiana, specialmente quando non si ha a disposizione la

calcolatrice. Pellegrino (1999) ne sottolinea anche l’importanza per valutare l’attendibilità di

informazioni, per prendere decisioni, per fare previsioni, per “comprendere la portata complessiva

di gesti che quotidianamente vengono compiuti disinvoltamente da tante persone” (p. 338). Secondo

Segovia e Castro (2009), poi, la stima consente anche di valorizzare la natura approssimata della

matematica, accanto a quella esatta tipicamente dominante nei curriculum scolastici. Non di meno,

il calcolo mentale e la stima danno maggiore attenzione al processo, piuttosto che al risultato finale

(Carroll, 1996), promuovendo la ricerca di molteplici strategie personali. Con la validazione degli

algoritmi “spontanei” in algoritmi “di classe”, si favorisce poi la strutturazione delle conoscenze, in

un’ottica costruttivista (Dellagana & Losa, 2002). La stima, infine, coinvolge fattori piscologici -

affettivi quali la confidenza nelle proprie capacità e la tolleranza all’errore (Pellegrino, 1999;

Segovia & Castro, 2009), e - come già discusso - promuove lo sviluppo della metacognizione ed

affina il pensiero critico, per esempio nell’uso della calcolatrice.


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Domande di ricerca

Si vuole studiare lo sviluppo di alcune componenti del senso del numero (stima di numerosità, di

misurazione e computazionale, controllo della ragionevolezza dei risultati) negli studenti ticinesi di

quarta media. Al riguardo, si pongono i seguenti interrogativi:

1. Quali sono le loro convinzioni sulla stima?

2. Quali sono le loro preferenze nei metodi di calcolo e di controllo dei risultati?

3. Qual è il loro livello di performance nella stima e nel controllo della ragionevolezza dei

risultati?

4. Quali strategie mettono in atto al riguardo?

5. Relativamente ai punti precedenti, esistono differenze tra allievi del corso base e del corso

attitudinale?

Diana Cricchio

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Ipotesi di ricerca

Le osservazioni da me condotte in precedenza durante la pratica professionale alle scuole medie,

insieme ai risultati disponibili in letteratura, suggeriscono le seguenti ipotesi relative agli

interrogativi di ricerca:

1. Gli studenti potrebbero far riferimento ad esperienze di stima legate principalmente a situazioni

della vita quotidiana. Dall’altro lato, a causa di una radicata abitudine al calcolo esatto

sviluppata a scuola, potrebbe emergere una scarsa consapevolezza degli allievi sull’utilità della

stima in matematica, per esempio per il controllo della ragionevolezza dei risultati.

2. Nel corso della scuola media gli allievi diventano fortemente dipendenti dalla calcolatrice. Gli

studenti dimostrano una scarsa attitudine metacognitiva al controllo dei risultati, che si riduce

generalmente all’esecuzione ripetuta degli stessi calcoli con la calcolatrice.

3. La dipendenza dalla calcolatrice e dagli algoritmi del calcolo scritto influisce negativamente

sullo sviluppo del senso del numero; a ciò si aggiunge una certa insicurezza degli allievi nella

conoscenza dei valori tipici delle grandezze del mondo reale. Di conseguenza si attendono

livelli di riuscita non soddisfacenti nella stima e nel controllo della ragionevolezza dei risultati.

4. Privati della calcolatrice, gli studenti si affidano al calcolo in colonna, ricorrendo raramente a

strategie personali.

5. Gli allievi del corso attitudinale sono supportati nel calcolo da una più profonda conoscenza

formale dei numeri e delle operazioni, ma non è detto che ciò si traduca operativamente in un

maggiore sviluppo del senso del numero.

Diana Cricchio

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Metodologia

Tipologia e scopo della ricerca

È stata svolta una ricerca di tipo osservativo quantitativo nella forma di indagine. Lo scopo è di

descrivere le competenze degli studenti di quarta media nella stima - in termini sia di riuscita che di

strategie messe in atto - anche mediante comparazione con i risultati presentati dalla letteratura

internazionale al riguardo.

Campione di riferimento

La ricerca è stata condotta presso la scuola media di Cadenazzo, nella IV D corso base in cui

insegno (di 13 allievi) ed in altre classi quarte in base alla disponibilità dei colleghi, precisamente

nella IV A/B di corso attitudinale (13 allievi) e - solo per le prime due rilevazioni - anche in altre

due quarte di corso base (IV B e IV E, rispettivamente di 11 e 9 allievi).

In tutte le classi coinvolte la calcolatrice tascabile è stata introdotta a partire dalla prima media

e la maggior parte degli allievi ha usufruito del programma DIMAT alle scuole elementari.

Strumenti di rilevazione dei dati

Sono stati preparati strumenti di rilevazione strutturati che hanno permesso un’analisi quantitativa

dei dati. Per poter disporre di termini di confronto per i risultati, sono stati proposti in parte quesiti

tratti da ricerche precedenti. In tutto sono stati somministrati due questionari e tre prove scritte

oggettive, con alternanza di item di vario tipo (a risposta aperta breve, a scelta multipla o di

correzione). Spesso è stata richiesta anche l’esplicitazione della strategia messa in atto: ciò ha

consentito una prima interpretazione qualitativa dei risultati, che in alcuni casi è stata approfondita

successivamente tramite brevi interviste mirate.

Inizialmente è stato consegnato un questionario per sondare le convinzioni degli allievi sulla

stima (Allegato 1), con tre domande aperte, al fine di ottenere informazioni non orientate da risposte

prestabilite. La prova n. 1 (Allegato 2) riguarda la stima di numerosità e quella di misurazione

(relativa a lunghezza, area, volume, capacità e peso, sia di oggetti presenti o meno in aula, sia di

entità riprodotte in immagine). La prova n. 2 (Allegato 3) indaga l’uso di benchmarks numerici nel

calcolo approssimato, il riconoscimento dell’ordine di grandezza e la consapevolezza dell’effetto

delle operazioni sui numeri. La prova n. 3 (Allegato 4) è centrata invece sulla capacità degli allievi

Diana Cricchio

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nell’individuare risposte non ragionevoli, riconducibili ad alcune categorie di errori, quali errori di

digitazione o lettura nell’uso della calcolatrice, errori di tipo concettuale o di dominio numerico. Il

questionario finale (Allegato 5) analizza infine le abitudini di calcolo degli allievi (metodi di calcolo

più usati, occasioni di ricorso al calcolo mentale, rapporto con la calcolatrice) ed aspetti

metacognitivi (scelta del metodo di calcolo più adatto in base al contesto, metodi di controllo dei

risultati).

Modalità di somministrazione

Tutte le prove sono state effettuate tra febbraio e marzo 2011.

Sono stati concessi dieci minuti per la compilazione di ciascun questionario ed in media due

minuti per ogni quesito per ciascuna prova oggettiva, in modo da scoraggiare le procedure di

calcolo esatto o di conteggio, in favore delle strategie di stima, così come proposto ad esempio da

Alajmi e Reys (2010).

Le istruzioni indicate nel frontespizio della prova n. 1 sono state ripetute oralmente agli allievi

anche nelle prove successive. Per quanto riguarda la stima di misurazione di oggetti presenti

nell’aula per la prova n. 1, non sono state date inizialmente indicazioni specifiche, in modo da non

orientare gli allievi sulle possibili strategie. Solo quando essi hanno spontaneamente sollevato il

problema, gli è stato consentito di effettuare liberamente delle prove, senza influenzarsi a vicenda

nel limite del possibile.

Modalità di elaborazione dei dati

Tutte le analisi quantitative sono state effettuate mediante foglio di calcolo.

Le tre domande del questionario iniziale sulla stima sono state analizzate dapprima

separatamente: per ciascuna domanda, tutte le risposte raccolte nelle varie classi sono state

classificate in categorie (molte risposte sono state frammentate in due o più parti classificabili in

categorie diverse). Successivamente, dal momento che alcune categorie di risposta si ripresentavano

per due o addirittura per tutti e tre i quesiti, è stata ricavata una classificazione indipendente da essi.

Per la prova n. 1, in caso di unità di misura non pertinente o non espressa o in caso di

indicazione di calcoli senza risultati, le risposte sono state considerate non valide e conteggiate

distintamente dalle risposte mancanti. Per ogni quesito a risposta breve, è stato calcolato l’errore

percentuale della stima xs di ciascun allievo rispetto al valore esatto xe, espresso dal rapporto:


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e

es

xxx − .

Così come in Hanson e Hoogan (2000), sono stati individuati quattro range di accuratezza

(rispettivamente per le stime entro il 10%, tra il 10% ed il 20%, tra il 20% ed il 30%, e oltre il 30%

di errore dal valore vero) ed è stata calcolata la percentuale di stime nei vari range rispetto al

numero di allievi della classe in esame (complessivamente si parlerà di riuscita per le risposte entro

il 30% di errore dal valore vero). Infine, sono stati calcolati la stima media sx (come media

aritmetica delle risposte) e l’errore percentuale medio, espresso da:

e

es

xxx − .

Da queste analisi sono stati esclusi gli outliers, individuati nelle risposte sovrastimate o sottostimate

di almeno un ordine di grandezza rispetto al valore vero.

Per i quesiti a scelta multipla, invece, è stata calcolata la percentuale di riuscita, come rapporto

tra il numero di risposte corrette rispetto al numero di allievi.

Le strategie messe in atto dagli allievi sono state classificate qualitativamente in categorie, sulla

base di quelle riportate da Segovia e Castro (2009). A livello quantitativo, poi, è stata calcolata la

percentuale di occorrenze in ciascuna categoria sia rispetto al numero complessivo di allievi (46),

sia relativamente al corso attitudinale (13 allievi) e base (33 allievi).

Anche le risposte alle prove n. 2 e 3 e al questionario finale sono state analizzate in modo

analogo, sia in termini quantitativi che qualitativi.

Diana Cricchio

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Analisi ed interpretazione dei risultati

Questionario sulla stima

La Tabella 1 riassume le convinzioni degli studenti sulla stima emerse dal questionario iniziale.

Tabella 1 - Classificazione e quantificazione delle risposte relativamente al corso attitudinale (55 risposte), al corso base

(127) e al totale di risposte (182); sono anche indicati i quesiti a cui si riferiscono le risposte più significative

Categorie Quesiti % tot. % att. % base Natura della stima a 12,1 20,0 8,7 Stima di misurazione a, b 16,5 10,9 18,9 Stima computazionale a, c 14,8 10,9 16,5 Esempi nella vita quotidiana b 23,1 21,8 25,2 Materie scolastiche c 4,4 1,8 5,5 Nessuna utilità b, c 2,2 3,6 1,6 Varie b, c 6,0 14,5 2,4 Risposte mancanti o non pertinenti a, b, c 19,8 16,4 21,3

Circa un quarto delle risposte per entrambi i corsi attitudinale e base riporta esempi di utilizzo

della stima in situazioni quotidiane principalmente di compra-vendita e di contabilità. Appena il 4%

di risposte sul totale, invece, si riferisce esplicitamente a materie scolastiche (matematica, scienze e

tecnica).

Nella categoria “Natura della stima”, gli studenti parlano di approssimazione anche “ad occhio”

di misure o calcoli, di ipotesi sul valore di una grandezza e di opinione soggettiva, in

contrapposizione ai concetti di precisione e di esattezza.

Le categorie “Stima computazionale” e “Stima di misurazione” risultano sostanzialmente

equivalenti in termini di occorrenze, con circa il 15 % sul totale per ciascuna categoria.

La categoria “Stima computazionale” include vari riferimenti al calcolo approssimato. Alcuni

allievi parlano di calcoli “veloci”, “semplici”, mentali. In 5 risposte sulle 27 di questa categoria,

invece, emerge una netta contrapposizione tra stimare e calcolare, che rivela una misconcezione per

cui il calcolo vero e proprio è solo quello esatto:

C., corso base

Diana Cricchio

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T., corso base

Secondo altri quattro studenti, poi, il ricorso alla stima corrisponde necessariamente

all’impossibilità di conoscere il risultato esatto. Solo altri 4 allievi sui 46 dell’intero campione sono

invece consapevoli dell’utilità della stima come strumento di controllo dei risultati ottenuti con il

calcolo esatto, come in questo caso:

C., corso attitudinale

In particolare, un’allieva di corso base si riferisce proprio alle esperienze svolte alle scuole

elementari con DIMAT (di cui un esempio è riportato in Allegato 6):

A., corso base


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Per quanto riguarda la stima di misurazione, gli studenti riportano esempi di stima di

lunghezza, peso e capacità, come il seguente:

D., corso base

Un solo allievo si riferisce alla stima in due dimensioni, ma senza parlare propriamente di area;

nessuna risposta concerne la stima di volumi. Ciò anticipa la tendenza rilevata nella prova n. 1 di

una miglior riuscita nella stima di lunghezze rispetto agli altri tipi di grandezze, in linea anche con i

risultati riportati da Segovia e Castro (2009). Dalle risposte rilevate emerge comunque la

consapevolezza dell’utilità della stima di misurazione in caso di impossibilità a misurare:

Soprattutto nel lavoro è molto utile fare una stima per esempio se sei un falegname e non hai le misure si fa

una stima e poi si vede. (C., corso base)

Infine, è interessante notare che gli allievi hanno fatto fondamentalmente riferimento alla stima

di misurazione in risposta al quesito b e alla stima computazionale in risposta al quesito c: la stima

di misurazione risulta per loro più legata alla vita quotidiana, mentre la stima computazionale viene

maggiormente associata ad attività scolastiche.

Solo tre allievi ritengono inutile la stima rispetto al calcolo o alla misurazione esatti. Se questo

dato è rassicurante dal punto di vista quantitativo, non lo è da quello qualitativo: le risposte riportate

qui di seguito rivelano infatti una convinzione molto netta, oltre ad una certa influenza del contratto

didattico.

A., corso attitudinale

Diana Cricchio

20

R., corso attitudinale

A., corso base

Infine, circa un quarto delle risposte risultano generiche (categoria “Varie”), mancanti o non

pertinenti (molte di queste ultime si riferiscono alla stima come sentimento o come autovalutazione

del proprio rendimento scolastico).

Prova n. 1

I risultati di questa prova sono riportati nelle Tabelle 1, 2, 3 e 4 dell’Allegato 7.

Stima di numerosità

• Il quesito n. 1 presenta una buona riuscita per entrambi i corsi, attorno al 70%. Per il corso

base si è registrata una sottostima media di appena il 4%, ma tale esito positivo risulta

invalidato dal fatto che circa un quarto degli allievi ha effettuato il conteggio esatto degli

elementi della figura, invece che procedere alla stima. Quasi il 70% degli studenti del corso

attitudinale, invece, non ha mostrato nessun ragionamento sulla cardinalità o ha stimato la

quantità in esame “ad occhio”. Le strategie più articolate di “Suddivisione in parti diverse

oppure in una parte più i suoi complementi” emergono solamente nel 10% delle risposte

dell’intero campione (due esempi sono riportati a p. 21). Nella stessa categoria rientrano

anche le risposte di due allievi che hanno ipotizzato un incremento costante del numero di

api dal giro più interno a quello più esterno.


21

C., corso base

N., corso base

Diana Cricchio

22

• La riuscita nel quesito n. 2 è diminuita, ma solo nei corsi base, con una tendenza alla

sottostima. Il 54% degli allievi del corso attitudinale ha moltiplicato esattamente per sette la

quantità di api stimata al quesito precedente. Tale percentuale risulta inferiore nei corsi base,

anche a causa di errori nelle tabelline; in questo caso, invece, la dimenticanza di una

parentesi nel calcolo in riga ha portato ad una stima non plausibile:

N., corso base

• Con il quesito n. 3 si inizia a registrare la presenza di qualche outlier. Circa il 35% delle

risposte sul totale non rivela alcun ragionamento cardinale. In poco meno del 40% dei casi,

gli allievi del corso attitudinale hanno effettuato una valutazione “ad occhio”. Nessuno di

essi ha fatto riferimento alla propria esperienza personale, a differenza che nel corso base,

dove un quarto delle risposte propone un confronto con uno stadio conosciuto o con una sua

parte. Tuttavia, l’utilizzo di benchmarks reali non ha garantito una buona riuscita nella

stima, specie se non accompagnato da una scomposizione della figura. A questo proposito,

solo il 13% di tutti gli allievi ha sfruttato la ben visibile suddivisione dell’immagine in tre

fasce, considerandole a densità costante oppure crescente dal basso verso l’alto; per quanto

riguarda il numero di persone in una singola fascia, alcuni allievi lo hanno ricavato per via

computazionale, mentre altri hanno effettuato una stima diretta:

T., corso base


23


Viceversa, circa il 10% di studenti ha utilizzato una tecnica di iterazione nella figura intera

di una sua parte costituita da un numero fisso di persone. Relativamente a queste due

strategie più articolate non si registrano sostanziali differenze tra corso attitudinale e base, né

in termini di occorrenze, né in termini di accuratezza delle stime. In un allievo del corso

attitudinale emerge infine il concetto di densità di persone nello spazio.

Stima di misurazione

• Nei quesiti n. 4 e 5, si è ottenuta una buona riuscita per entrambi i corsi, anche se per la

larghezza si registra una tendenza alla sottostima. Sorprendono cinque allievi (di entrambi i

corsi) che hanno fornito per la lunghezza un valore pari o maggiore al doppio della

larghezza, nonostante l’utilizzo quotidiano dell’oggetto in esame.

• Il quesito n. 6 presenta una riuscita bassa (per meno di un terzo degli alunni), con una

prevalenza di sovrastime e più del 30% di outliers in entrambi i corsi. Questi risultati

Diana Cricchio

24

rivelano una minore familiarità degli studenti con le misure di lunghezza tipiche del micro-

spazio.

• I tre quesiti successivi, riguardanti rispettivamente area, volume e capacità, sono gli unici

per cui si osserva una riuscita decisamente maggiore - anche se non sempre soddisfacente -

per il corso attitudinale, mentre per i corsi base si registra una notevole percentuale di

risposte errate o mancanti e di outliers. Il quesito n. 7 rivela una maggiore difficoltà nella

gestione delle aree per il corso base, anche relativamente ad oggetti presenti e familiari. Nel

quesito n. 8, circa un quarto delle risposte presenta l’unità di misura errata (per il corso

attitudinale, in particolare, questo item è l’unico con errori nell’unità di misura, oltre al n.

15): l’utilizzo dell’unità di misura del metro quadrato ed alcuni procedimenti segnalano una

certa confusione tra i concetti di area e volume, anche nel corso attitudinale. Il quesito n. 9

presenta riuscite analoghe al precedente, ed in entrambi prevalgono le sottostime; per contro,

il quesito a scelta multipla sulla capacità (n. 12) ha ottenuto un tasso di risposte corrette tra il

77% ed il 91% nei due corsi. La strategia di iterazione di un referente presente nell’aula è

stata utilizzata solo da due allievi in IV attitudinale e due in IV D, con misurazioni a spanne,

a passi o con utilizzo di un quaderno. Interessante, infine, il caso di D. di corso base, unico

studente che ha tentato una misurazione a spanne del cestino, ma che si è poi arenato sulla

formula per il volume del cilindro, esclamando: «Ma come faccio pi greco senza la

calcolatrice?». Questo esempio fa riflettere sull’interdipendenza tra i due tipi di stima: la

stima computazionale si rivela infatti necessaria nel caso di stima di misurazione di

grandezze derivate.

• Per il quesito n. 10 si registra ancora una riuscita bassa, ma il numero trascurabile di risposte

mancanti, non valide o outliers - insieme a errori rispetto al valore vero più contenuti -

indica una certa confidenza degli studenti con le misure di peso, almeno per un oggetto

presente di peso intermedio. Risulta più scarsa, invece, la consapevolezza degli studenti

riguardo pesi più piccoli o molto grandi, come dimostra la riuscita medio-bassa negli item a

scelta multipla del quesito n. 11.

• Il quesito n. 13 presenta una buona riuscita relativamente ad entrambe le figure, senza

particolari differenze nei due corsi. La maggior parte degli alunni ha però sottostimato l’area

della seconda figura. Nessun allievo - neppure del corso attitudinale - ha esplicitato tentativi

di stima computazionale, nonostante la regolarità delle figure.

• Per il quesito n. 14 si è ottenuta una riuscita di poco più del 20% sia nel corso attitudinale

che come media sui corsi base. Il 15% di risposte non presenta alcuna giustificazione e da


25

circa il 46% delle risposte del corso attitudinale non emerge alcun ragionamento cardinale.

Circa il 34% di tutti gli allievi si è riferito a benchmarks reali (grattacieli famosi, ma anche

un edificio alto una trentina di metri che si trova nei pressi della scuola di Cadenazzo) o ha

operato un confronto con altri elementi visibili nella foto (i palazzi più bassi, le automobili,

la strada). In appena il 20% dei casi si riscontra una strategia di iterazione di una parte

(piani, finestre, o elementi a croce) nell’intero edificio, come nell’esempio nella pagina

seguente. Quest’ultima strategia e quella di riferimento a benchmarks reali si sono rivelate le

più efficaci, con errori percentuali medi rispettivamente del -8% e del -31%.

C., corso base

Diana Cricchio

26

• Il quesito n. 15, infine, si è rivelato il più problematico. Per poter operare un confronto con i

risultati rilevati per lo stesso item in Ticino nel test PISA dell’anno 2000 (OECD, n. d. a),

sono stati utilizzati gli stessi criteri di correzione (OECD, n. d. b), con differenze trascurabili

rispetto a quelli della nostra prova. Nella Tabella 2, sono riportate le percentuali di risposte

con punteggio intero, parziale e nullo riferite al numero di risposte disponibili, insieme ai

tassi di non-risposta riferiti al numero di allievi. Per i dati PISA, la percentuale dei vari

punteggi è relativa a 134 risposte. Rispetto ai dati PISA, sorprende la quasi totale assenza di

punteggi pieni in entrambi i corsi, ancor più se si considera che essa corrisponde ad un netto

aumento dei punteggi nulli (specie nei corsi base), senza variazioni rilevanti invece nella

frequenza dei punteggi parziali (tranne che in una delle classi di corso base).

Tabella 2 - Percentuale di punteggi attribuiti alle risposte al quesito n. 14 e al corrispondente quesito nel test

PISA 2000

IV att. IV D IV B IV E Media base

Media TI PISA 2000

Punteggio intero 7,7 0,0 0,0 0,0 0,0 23,9 Punteggio parziale 53,8 41,7 12,5 57,1 31,5 49,3 Nessun punteggio 38,5 58,3 87,5 42,9 62,9 26,9 Risposta mancante 0,0 7,7 27,3 22,2 19,1 n. d.

L’unica risposta a punteggio intero è quella di un allievo di corso attitudinale, che tuttavia

non ha indicato l’unità di misura né ha precisato la sua strategia, se non in una successiva

intervista di chiarimento. Tutte le altre risposte rilevate cadono al di sotto del range di valori

accettabili. Solo due allievi (uno del corso attitudinale ed uno del corso base che ha però

frequentato la terza attitudinale) sono giunti a stime nell’ordine del milione di chilometri

quadrati sfruttando strategie efficaci di scomposizione (v. figure a p. 27). Anche gli altri

studenti che hanno ricevuto punteggio parziale sono partiti dall’analisi della figura,

circoscrivendola opportunamente o scomponendola in quadrati o rettangoli, talvolta con

successiva sottrazione delle zone “vuote”. Per il resto, il 36% delle risposte del corso base

non presenta alcuna giustificazione ed un quarto delle risposte totali indica l’assenza di

ragionamento cardinale. Circa il 20% delle risposte per entrambi i corsi, infine, è

caratterizzato da unità di misura errata, generalmente di lunghezza, a conferma di una certa

confusione tra i concetti di perimetro e di area.


27

C., corso attitudinale (ha svolto l’operazione 1600 · 1500 in colonna a matita, poi ha cancellato)

N., corso base (proveniente dal corso attitudinale)

Diana Cricchio

28

Prova n. 2: stima computazionale

Dalla Tabella 1 dell’Allegato 8, si nota che gli esiti degli item n. 1, 2 e 3 sono consistenti con quelli

internazionali (solo per l’item n. 2 la riuscita del corso base è nettamente inferiore) e perfino

migliori di questi - anche per il corso base - per gli item n. 6 e 7 (quest’ultimo è stato però proposto

in una versione semplificata). Le strategie utilizzate sono quantificate nella Tabella 3 dello stesso

Allegato 8.

Solo nell’item n. 3 si registra una buona riuscita (almeno due terzi di risposte corrette) per

entrambi i corsi: la maggior parte degli allievi dimostra di comprendere l’effetto della

moltiplicazione per un numero minore di uno.

Invece, nell’item n. 5 sulla divisione, nel corso base - a differenza che nel corso attitudinale -

quasi la metà degli studenti ha scelto la risposta errata “0,3”. Dato che il dividendo ha anch’esso

una sola cifra decimale, si può ipotizzare che essi si siano basati sulla corrispondenza dei formati

numerici, analogamente a quanto osservato da Alajmi e Reys (2010).

Il divario tra i due corsi, in termini sia di riuscita che di strategie, è aumentato ulteriormente

negli item n. 4 e 7, ancora su moltiplicazione e divisione. Nell’item n. 4, il benchmark 0,5 è stato

utilizzato con successo da più di metà degli allievi del corso attitudinale (un esempio è riportato qui

sotto), ma solamente da due alunni del corso base.

T., corso attitudinale

Tre alunni (di cui due di corso base), invece, hanno confrontato il prodotto 32 x 0,46 con il primo

fattore piuttosto che con la sua metà, seguendo erroneamente il ragionamento effettuato nell’item n.

3. Nell’item n. 7, sono state giustificate in base al significato della divisione 7 delle 10 risposte

corrette per il corso attitudinale e solo 3 su 7 per il corso base, dove altri tre alunni hanno scelto

varie risposte basandosi anche in questo caso sul formato numerico:

Perché i numeri troppo piccoli non vanno bene e neanche quelli in frazione (L.)

Ho preso la frazione perché è un numero senza la virgola. (M.)

Non lo so se è giusto ma pensando con i calcoli in colonna posso dire che per quel 8 dal 16,48 ci deve

essere un 6 in fondo. (N., risposta 6/5)


29

Per quanto riguarda i due item sulle frazioni (n. 1 e 2), la riuscita è scesa sotto il 60% per il

corso attitudinale, con una presenza significativa di strategie procedurali non sempre efficaci, e

addirittura risulta scarsa per il corso base (con neanche un terzo di risposte corrette), dove il numero

elevato di risposte errate prive di giustificazione o mancanti segnala un’assenza generalizzata di

strategie. Nell’item n. 1, solamente tre allievi hanno utilizzato il benchmark 1; nel corso attitudinale,

ben 6 dei 12 studenti hanno fatto ricorso all’algoritmo dell’addizione di frazioni, ma con esito

negativo in metà dei casi: “Non trovo il denominatore comune” (C.); “Perché devo trovare il mcm e

diventa troppo grande” (T.). Relativamente all’item n. 2, nel corso attitudinale un terzo degli allievi

ha usato opportunamente il benchmark ½, mentre un altro terzo ha fatto ricorso alle procedure del

calcolo scritto, ma senza successo; nel corso base, invece, la mancanza di strategie alternative a

quelle procedurali non padroneggiate con sicurezza emerge con evidenza dalle parole di un’alunna:

“Sono andata a caso perché non mi ricordo più come si fanno questi calcoli” (A.).

Nell’item n. 8 sulle percentuali (v. Tabelle 2 e 3 dell’Allegato 8), nel corso base si nota una

prevalenza di risposte non corrette, fondate su strategie procedurali oppure prive di giustificazione;

solo nell’item n. 8d si è registrata quasi la metà di successi, grazie all’individuazione del benchmark

½ = 50%. Viceversa, nel corso attitudinale, i due item n. 8d e 8e mostrano rispetto ai tre precedenti

una diminuzione della riuscita, accompagnata dall’aumento delle risposte errate, rispettivamente

non giustificate e basate su strategie procedurali. Per quanto riguarda le strategie centrate sul senso

del numero, per esempio nell’item n. 8a il benchmark ½ è stato utilizzato da più della metà degli

alunni di corso attitudinale e solo da due del corso base; nell’item n. 8e, solamente cinque allievi

hanno considerato la decima parte dell’intero. Dall’altro lato, in entrambi i corsi si registrano varie

risposte procedurali, come in questo caso per l’item n. 8b:

N., corso base

Ed ancora, due allievi del corso attitudinale hanno addirittura formalizzato l’item 8c in

un’equazione, peraltro corretta solo in un caso, mentre nell’item n. 8e la risposta “580” di un allievo

di corso base e altre due similari per il corso attitudinale indicano chiaramente un errore

procedurale. Per l’item n. 8b, secondo la tendenza rilevata già negli item n. 3 e 7, sono anche

emerse numerose risposte legate più alla forma che al senso dei numeri in gioco, e che per questo

non sempre costituiscono stime ragionevoli: “73'999” (risposta di tre studenti, di cui uno di corso

Diana Cricchio

30

base), “77'777” e “78'888” per il corso attitudinale, “699,999”, “33'333”, “999” e “99” per il corso

base.

Infine, per quanto riguarda l’item n. 6 sull’ordine di grandezza, nel corso attitudinale si contano

quattro casi di calcolo in colonna (di cui due errati) e addirittura il seguente caso di inefficace

addizione ripetuta:


Gli altri alunni hanno utilizzato più efficacemente varie tecniche di approssimazione: “365 x 10 =

3650”; “14 x 3 = 42; 14 x 300 ~ 4200”. Nel corso base, ben 7 allievi su 13 hanno usato con

successo il calcolo approssimato, in tre casi applicando in riga la proprietà distributiva. Un’alunna

ha invece cercato di individuare le risposte non ragionevoli riferendosi al proprio contesto

personale, anche se ciò è stato solo parzialmente di aiuto:

Ho escluso i numeri che mi sembravano impossibili per esempio 500 giorni ci vivo 1 anno e qualcosa. Io vivo

da 15 anni quindi saranno molti di più. 5'000'000 mi sembrano troppi quindi ho preso la via di mezzo

[500’000]. (A.)

Prova n. 3: controllo della ragionevolezza dei risultati

In riferimento alla Tabella 1 dell’Allegato 9, si nota che l’individuazione dei risultati non plausibili

è avvenuta con più successo nel corso attitudinale rispetto al corso base (dove la riuscita è buona

solamente per gli item n. 1 e 5); l’unica eccezione è rappresentata dall’item n. 4, dove la

maggioranza degli allievi ha erroneamente concluso che il risultato proposto non fosse corretto. Qui

di seguito commentiamo alcune delle strategie quantificate nella Tabella 2 dello stesso Allegato 9.

• Nell’item n. 2, la presenza dei numeri decimali ha messo in difficoltà gli studenti del corso

base, mentre quelli del corso attitudinale hanno generalmente arrotondato il valore di π a 3.


31

• L’errore concettuale presente nell’item n. 3 è stato più facilmente individuato nel corso

attitudinale, a riprova della minore familiarità degli allievi del corso base con il calcolo

percentuale, già evidenziata nella prova n. 2.

• Nell’item n. 4, due allievi del corso attitudinale hanno fatto riferimento alla formula per il

calcolo dell’area di un settore circolare, tentando di affidarsi a conoscenze di tipo formale,

piuttosto che a strategie personali più efficaci:

N., corso attitudinale


Ecco alcune altre risposte: nelle prime due gli allievi riconoscono la plausibilità del risultato

indicato, rispettivamente mediante prova in colonna e calcolo in riga, mentre nelle altre due

l’ordine di grandezza stimato mentalmente è errato.


Diana Cricchio

32



D., corso base

• Nell’item n. 5, il 75% degli studenti del corso attitudinale e 7 sui 13 del corso base si sono

resi conto del fatto che il numero di autobus deve essere intero. Questo esito è dunque

decisamente soddisfacente rispetto a quello rilevato da Alajmi e Reys (2010). Tuttavia,

quattro allievi (tre del corso base) hanno proposto soluzioni errate (39 o 41 autobus).

• Per l’item n. 6, la differenza tra i due corsi è data dal 30% di studenti del corso base che ha

espresso fiducia incondizionata nei confronti della calcolatrice, ribadita anche nei due

quesiti successivi e nel questionario finale (v. prossimo paragrafo).

• Nell’item n. 7, due terzi delle risposte del corso attitudinale dimostrano l’utilizzo del

benchmark 0,5 anche nella forma equivalente ½, mentre circa un quarto degli allievi del

corso base ha effettuato un ragionamento sull’ordine di grandezza del risultato, ritenuto

troppo piccolo.

• Nell’item n. 8, infine, metà degli studenti del corso attitudinale ha svolto la prova

dell’operazione, procedimento non registrato invece nel corso base.


33

Dalla Tabella 2 dell’Allegato 9, si nota che nel corso attitudinale le strategie basate sul senso

del numero sono più frequenti, o sono almeno confrontabili in termini di occorrenza con quelle

procedurali; eppure, esse non risultano sempre efficaci per l’individuazione dei risultati

irragionevoli, anche a causa di errori commessi nella stima computazionale: ciò si registra

specialmente per gli item n. 2, 4, 6 e 8, dove il controllo dei risultati prevede proprio il calcolo

approssimato. Del resto, Alajmi e Reys (2010) sottolineano come lo sviluppo delle abilità nella

stima computazionale sia necessario per migliorare quelle nel controllo della ragionevolezza dei

risultati. Dall’altro lato, anche il calcolo algoritmico non si è rivelato sempre efficace (specie

nell’item n. 4, con moltiplicazioni e divisioni di numeri decimali), né esente da errori (è eloquente

in questo senso la prova di un’alunna del corso attitudinale, riportata in Allegato 10).

Nel corso base le strategie centrate sul senso del numero prevalgono rispetto a quelle

procedurali solo negli item n. 1 e 5, dove gli allievi hanno potuto ragionare rispettivamente

sull’ordine di grandezza e sul dominio numerico dei risultati, senza dover ricorrere a calcoli

approssimati. Per il resto, si registrano numerose strategie non valide o procedurali, generalmente

non efficaci.

Questionario sui metodi di calcolo e di controllo dei risultati

• Le abitudini di calcolo degli studenti - indagate dal quesito n. 2 - emergono dalla Tabella 3

per il corso attitudinale e dalla Tabella 4 per il corso base: queste riportano la percentuale di

allievi che ha assegnato un certo metodo di calcolo ad un dato posto (da 1° a 5°) nella

classifica di frequenza di utilizzo dei metodi di calcolo. Si riscontra un andamento molto

similare nei due corsi: come prevedibile, tutti gli studenti ricorrono più di frequente alla

calcolatrice e per la maggioranza di essi la seconda alternativa è rappresentata dal calcolo

mentale. Il calcolo in colonna è utilizzato con frequenza molto diversa (dal 2° al 5° posto)

dagli alunni del corso base, mentre tre quarti degli allievi del corso attitudinale lo hanno

relegato alla quarta posizione; eppure, nelle prove oggettive, il ricorso agli algoritmi in

colonna è stato davvero notevole. Il calcolo basato sulle proprietà dei numeri e delle

operazioni è collocato variamente nei due corsi, con prevalenza del 3° posto (più marcata

nel corso attitudinale). Il foglio elettronico risulta lo strumento usato meno frequentemente

per la maggioranza degli studenti (con qualche preferenza in più nel corso base, dove

l’utilizzo di Excel è stato proposto in alcune occasioni nell’anno in corso).

Diana Cricchio

34

Tabella 3 - Preferenze sui metodi di calcolo per il corso attitudinale (percentuali sul numero di allievi)

1° 2° 3° 4° 5° Calcolatrice 100,0 0,0 0,0 0,0 0 Calcolo mentale 0,0 83,3 16,7 0,0 0 Calcolo in colonna 0,0 0,0 16,7 75,0 8 Calcolo scritto non in colonna 0,0 16,7 66,7 16,7 0 Foglio elettronico 0,0 0,0 0,0 8,3 92

Tabella 4 - Preferenze sui metodi di calcolo per il corso base (percentuali sul numero di allievi)

1° 2° 3° 4° 5° Calcolatrice 100,0 0,0 0,0 0,0 0,0 Calcolo mentale 7,7 69,2 15,4 7,7 0,0 Calcolo in colonna 0,0 15,4 30,8 30,8 23,1 Calcolo scritto non in colonna 0,0 30,8 38,5 30,8 0,0 Foglio elettronico 0,0 0,0 7,7 23,1 69,2

• Relativamente al quesito n. 3, come prevedibile, in entrambi i corsi il calcolo mentale risulta

utilizzato più spesso per le tabelline e per le operazioni con i numeri interi, mentre la

frequenza si riduce per i numeri decimali, frazionari ed in forma percentuale (v. Tabelle 5 e

6). Per il resto, invece, non emerge una tendenza particolare (segnale, questo, di una certa

confusione negli allievi): in circa il 20% dei questionari le voci relative alla stima e al

controllo presentano addirittura frequenze opposte tra loro agli estremi della scala, mentre

molti allievi che hanno indicato alte frequenze sono poi caduti in contraddizione

rispondendo ai quesiti n. 5 e n. 6.

• Rispetto ai risultati ottenuti con la calcolatrice (quesito n. 4), in entrambi i corsi la maggior

parte degli allievi è consapevole della possibilità di commettere errori di digitazione e/o

ritiene opportuno un controllo, per esempio ripetendo il calcolo o effettuandolo

mentalmente.

• Riguardo al quesito n. 5, buona parte degli allievi del corso base dichiara di non procedere

sistematicamente al controllo dei risultati (risposta “a volte” per il 62%), mentre nel corso

attitudinale la metà degli studenti afferma di effettuarlo spesso.

• Le preferenze nei metodi di controllo (quesito n. 6) sono mostrati dalle Tabelle 7 e 8,

rispettivamente per il corso attitudinale e per il corso base. La maggior parte degli allievi del

corso attitudinale controlla i risultati ricalcolandoli con lo stesso metodo iniziale (cioè con la

calcolatrice), oppure con due metodi diversi o tramite prova delle operazioni, mentre utilizza


35

raramente il confronto con la stima iniziale o con benchmarks reali. Rispetto a tale

andamento, per il corso base il ricorso alla prova delle operazioni è meno marcato

(addirittura con una prevalenza del 4° e del 5° posto), mentre il confronto con benchmarks

reali è maggiormente considerato: il riferimento al mondo reale appare più rassicurante delle

procedure formali, anche se non risulta operativamente efficace, a causa di una scarsa

conoscenza da parte degli allievi dei valori tipici della realtà, come emerso per esempio

nella prova n. 1. La corrispondenza tra controllo e ripetizione del calcolo nelle concezioni

degli studenti era stata osservata anche in tre precedenti occasioni di autovalutazione in IV

D (v. Allegato 11). Essa segnala la predominanza dell’apprendimento procedurale rispetto

allo sviluppo di strategie personali basate sul senso del numero, in linea con le riflessioni di

McIntosh, Reys e Reys (1992) e di Reys e Yang (1998).

• Riguardo al quesito n. 7, la maggioranza degli studenti di corso attitudinale e circa metà

della classe di corso base appaiono comunque consapevoli dell’utilità della stima nei calcoli

(risposta b), mentre i restanti allievi confondono il controllo mediante stima computazionale

con la verifica dell’esattezza del risultato (risposta c). Emblematico, infine, il caso di R. del

corso attitudinale, per cui si nota una corrispondenza tra la fiducia incondizionata nella

calcolatrice, dimostrata nella sua risposta al quesito n. 4, e la sua radicata convinzione

sull’inutilità della stima, espressa nel questionario iniziale e ribadita con un commento al

quesito n. 7.

Diana Cricchio

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Tabella 5 - Frequenze di ricorso al calcolo mentale per il corso attitudinale (percentuali sul numero di allievi)

Sempre Spesso A volte Raramente Mai Tabelline 75,0 16,7 8,3 0,0 0,0 Numeri interi 25,0 58,3 16,7 0,0 0,0 Numeri decimali 0,0 8,3 83,3 0,0 0,0 Frazioni 0,0 25,0 41,7 33,3 0,0 Percentuali 0,0 0,0 41,7 16,7 41,7 Stima 41,7 8,3 16,7 25,0 8,3 Controllo 0,0 25,0 33,3 16,7 25,0

Tabella 6 - Frequenze di ricorso al calcolo mentale per il corso base (percentuali sul numero di allievi)

Sempre Spesso A volte Raramente Mai Tabelline 30,8 30,8 15,4 7,7 15,4 Numeri interi 15,4 30,8 30,8 23,1 0,0 Numeri decimali 0,0 15,4 38,5 30,8 15,4 Frazioni 15,4 15,4 38,5 30,8 0,0 Percentuali 0,0 23,1 23,1 38,5 15,4 Stima 15,4 15,4 30,8 23,1 15,4 Controllo 15,4 23,1 23,1 7,7 30,8

Tabella 7 - Preferenze sui metodi di controllo dei risultati per il corso attitudinale (percentuali sul numero di

allievi)

1° 2° 3° 4° 5° Prova delle operazioni 16,7 41,7 41,7 0,0 0,0

Ricalcolando con lo stesso metodo 58,3 16,7 8,3 8,3 8,3 Ricalcolando con un altro metodo 25,0 33,3 25,0 16,7 0,0

Confronto con stima iniziale 0,0 0,0 16,7 58,3 25,0

Confronto con benchmarks reali 0,0 8,3 8,3 16,7 66,7

Tabella 8 - Preferenze sui metodi di controllo dei risultati per il corso base (percentuali sul numero di allievi)

1° 2° 3° 4° 5° Prova delle operazioni 25,0 8,3 0,0 16,7 50,0 Ricalcolando con lo stesso metodo 50,0 41,7 8,3 0,0 0,0

Ricalcolando con un altro metodo 8,3 33,3 16,7 16,7 25,0 Confronto con stima iniziale 8,3 0,0 41,7 33,3 16,7

Confronto con benchmarks reali 8,3 16,7 25,0 33,3 16,7


37

Risposte alle domande di ricerca

1. La stima è ritenuta utile da circa un quarto degli allievi in alcune situazioni della vita quotidiana,

mentre non risulta particolarmente familiare nel contesto scolastico, a conferma della nostra

ipotesi iniziale. Solo il 30% dell’intero campione si riferisce esplicitamente alla stima di

misurazione (per lo più di lunghezze) o a quella computazionale. Come atteso, sono minoritari i

riferimenti alla stima come strumento di controllo dei risultati.

2. Non sorprende che gli studenti preferiscano utilizzare la calcolatrice. La maggior parte di essi è

consapevole della possibilità di commettere errori di digitazione, ma manca un’abitudine al

controllo sistematico dei risultati, che rimane in ogni caso di tipo procedurale (ripetizione del

calcolo, prova delle operazioni), così come ipotizzato inizialmente. Il calcolo mentale

costituisce la principale alternativa alla calcolatrice, ma per lo più in caso di numeri interi. Gli

algoritmi del calcolo scritto non sono particolarmente apprezzati né sempre eseguiti in modo

corretto, eppure vengono spesso utilizzati in mancanza della calcolatrice, più di quanto previsto.

3. Sia nella stima di numerosità che in quella di misurazione, globalmente i risultati sono

insoddisfacenti nel caso di stime indirette; essi migliorano nella stima diretta di lunghezze in

oggetti di uso comune, mentre appare poco sviluppato un sistema di benchmarks fisici per le

altre grandezze. Nella stima computazionale, emergono difficoltà generalizzate nel caso di

frazioni (con risultati comparabili a quelli internazionali); per il resto i risultati sono abbastanza

soddisfacenti, ma solo per il corso attitudinale. Anche nel controllo della ragionevolezza dei

risultati, l’esito è più positivo di quello ipotizzato, almeno per il corso attitudinale; le

performance sono però inferiori - in entrambi i corsi - quando il controllo si basa sul calcolo

approssimato.

4. Nelle stime di numerosità e di misurazione, in entrambi i corsi sono pochi gli allievi che

ricorrono a tecniche indirette basate sull’analisi del problema e sulla sua sintesi mediante

calcolo approssimato. Per quanto riguarda la stima computazionale (anche finalizzata al

controllo dei risultati), nel corso attitudinale si nota un ricorso più frequente a benchmarks

numerici e una maggiore consapevolezza dell’effetto delle operazioni sui numeri. In entrambi i

corsi, comunque, si registrano anche strategie inefficaci di tipo procedurale o basate sulla forma

piuttosto che sul senso dei numeri in gioco.

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38

5. In relazione ai primi due punti, non emergono differenze significative tra i due corsi attitudinale

e base. Per quanto riguarda gli altri due punti, invece, le differenze sono più marcate nella stima

computazionale.


39

Conclusioni

L’indagine condotta ha fornito una panoramica sul grado di sviluppo di alcune componenti del

senso del numero in un campione di studenti ticinesi di IV media, inserendosi in un filone di ricerca

attuale a livello internazionale nel campo della didattica della matematica.

Date le dimensioni ridotte del campione analizzato, i risultati ottenuti non sono

necessariamente rappresentativi del contesto cantonale. D’altra parte, il numero limitato di allievi

coinvolti ha permesso un’analisi sistematica delle strategie utilizzate, che sono risultate

qualitativamente corrispondenti a quelle indicate dalla letteratura.

Il lavoro svolto vuole essere un punto di partenza per ulteriori ricerche sulle varie componenti

del senso del numero e riflessioni sulle relative implicazioni didattiche.

Gli strumenti di rilevazione utilizzati possono essere considerati in questo senso come prove-

pilota, suscettibili di miglioramenti: del resto, viene auspicata una collaborazione internazionale per

la costruzione di una vera e propria “number sense item bank” (Reys et al., 1999). Nella prova di

stima computazionale, in particolare, non si sono indagate sistematicamente tutte le quattro

operazioni sui diversi tipi di numeri. Anche nella prova sul controllo dei risultati, alcuni item

sembrano sollecitare maggiormente la verifica della loro esattezza più che la riflessione sulla loro

plausibilità. Ed ancora, è possibile che nella compilazione del questionario finale gli allievi siano

stati influenzati dalle precedenti prove oggettive, fornendo alcune risposte incoerenti rispetto alle

loro reali abitudini, anche se ciò conferma piuttosto l’incertezza delle loro convinzioni sulla stima.

Anche il formato dei quesiti potrebbe aver inciso in alcuni casi sulla riuscita.

Come ulteriori sviluppi, sarebbe interessante valutare l’effetto della contestualizzazione dei

quesiti a situazioni extra-scolastiche, nonché effettuare un confronto tra le abilità nel calcolo scritto

ed in quello approssimato. Infatti, lo sviluppo senso del numero negli studenti sembra non

procedere di pari passo con quello delle competenze procedurali (Alajmi & Reys, 2010; McIntosh,

Reys & Reys, 1992; Reys & Yang, 1998).

Potrebbero poi essere ulteriormente indagate anche le relazioni tra sviluppo del senso del

numero e riuscita in matematica. Nel nostro caso, i due allievi del corso base che si sono distinti

positivamente nelle prove oggettive sono tra quelli con migliore rendimento in matematica nella

loro classe, in linea con le osservazioni di Reys e Yang (1998) e di quelle riportate da Reys et al.

(1999), per cui gli studenti con più alte prestazioni in matematica tenderebbero maggiormente

Diana Cricchio

40

all’uso di benchmarks numerici rispetto agli alunni di medio livello, più vincolati invece agli

apprendimenti procedurali.

Questa conclusione vale per la nostra ricerca anche nel confronto tra corso attitudinale e corso

base, anche se non in maniera sistematica. Infatti, anche all’interno del corso attitudinale non

mancano strategie procedurali, tra l’altro non sempre corrette né efficaci, mentre nel corso base si

assiste piuttosto ad una mancanza di strategie. In particolare, per quanto riguarda il calcolo in

colonna, la contraddizione emersa in entrambi i corsi tra la fase metacognitiva (questionario finale)

e fase operativa (prove oggettive) rivela da un lato la consapevolezza da parte degli studenti di non

padroneggiare con sicurezza gli algoritmi scritti, dall’altro indica agli insegnanti l’opportunità di

valorizzare alternative di calcolo più efficaci, in linea con le proposte di Arrigo (2009).

Infine, il quadro ottenuto costituisce la premessa a ricerche con intervento da effettuare sul

lungo periodo. I due allievi del corso base qui sopra citati hanno riferito di aver svolto attività di

calcolo mentale e di stima negli anni scolastici precedenti: ciò fornisce una prima evidenza

dell’opportunità di sviluppare percorsi di apprendimento mirati sul senso del numero su tutto l’arco

della scuola media, anche in continuità con il precedente ciclo scolastico.

In ultima analisi, una pratica didattica fondata sul number sense appare indispensabile per

superare lo scarto tra semiotica e noetica, e per promuovere il valore ed il fascino della matematica

e delle sue applicazioni.


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Ringraziamenti

Ringrazio il prof. Gianfranco Arrigo per le utili indicazioni sulle ricerche internazionali in corso sul

tema del calcolo a scuola, la ricercatrice Myrta Mariotta del Centro Innovazione e Ricerca sui

Sistemi Educativi (CIRSE) del DFA per i dati del test PISA, ed i colleghi della scuola media di

Cadenazzo Marisa Lunardi e Michele Perone per la loro collaborazione.

Diana Cricchio

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Allegati

Allegato 1 - Questionario sulla stima

Allegato 2 - Prova n. 1



Allegato 5 - Questionario sui metodi di calcolo e di controllo dei risultati

Allegato 6 – Esempio di attività sulla stima computazionale di DIMAT

Allegato 7 - Risultati della prova n. 1



Allegato 10 - Il caso di un’allieva “procedurale” del corso attitudinale

Allegato 11 - Autovalutazioni precedenti sul controllo dei risultati (IV D)

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Allegato 1 - Questionario sulla stima


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Riferimenti

I quesiti n. 1, 2, 3 e 14 sono tratti da Pellegrino (1999).

I quesiti n. 7, 9 e 10 sono analoghi a quelli proposti da Castillo (2006, citato da Segovia & Castro,

2009).

Il quesito n. 15 è una delle unità liberate dai test PISA (OECD, n. d. a), somministrata nel 2000.

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Riferimenti

I quesiti n. 1, 2 e 4 sono tratti da Reys e Yang (1998), i quesiti n. 3 e 6 da Reys et al. (1999), il n. 5

da Rubenstein (1985), il n. 7 da Alajmi e Reys (2010), il quesito n. 8a da Reys (1986) e quello n. 8c

da Hanson e Hoogan (2000).


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Riferimenti

I quesiti della prima pagina propongono alcune produzioni reali di allievi di IV base, mentre il

primo ed il terzo della seconda pagina sono tratti da Alajmi e Reys (2010); in particolare, il primo

consiste in un riadattamento del famoso “problema dell’autobus” di Schoenfeld (1987, citato da

D’Amore, 2002).

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Allegato 5 - Questionario sui metodi di calcolo e di controllo dei risultati


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Riferimenti

L’item n. 7 è tratto da Cornoldi et al. (1995, p. 293).


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Allegato 6 – Esempio di attività sulla stima computazionale di DIMAT

Tratto da: Dellagana, I. (2003). DIMAT - Differenziare in matematica. FOGLI BIS 5a elementare. Bellinzona: Salvioni Edizioni.

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Tabella 1 - Accuratezza delle stime


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Tabella 2 - Quantificazione delle strategie per il quesito n. 1



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Tabella 1 - Percentuali di risposte per gli item n. 1-7 e confronto con i risultati internazionali relativi agli studenti di 14

anni per l’item n. 1 (Reys & Yang, 1998), per gli item n. 2, 3 e 6 (Reys et al., 1999), e per l’item n. 7 (Alajmi & Reys,

2010)

Item n. 1 1 2 * 19 21 Non so Mancante o non valida

attitudinale 17 50 8 8 17 0 base 15 23 23 23 8 8 Taiwan 20 38 14 12 16 -

Item n. 2 2/5 + 3/7 1/2 + 4/9 2/8 + 2/11 4/7 + 1/2 * mancante o non valida

attitudinale 0 17 8 58 17 base 23 23 15 15 23 Australia 12 19 7 61 - USA 10 14 19 53 - Svezia 12 21 11 46 - Taiwan 1 9 17 20 54 -

Item n. 3 > 29 < 29 * Impossibile senza calcoli

Mancante o non valida

attitudinale 0 92 8 0 base 8 69 15 8 Australia 10 85 6 - USA 37 54 8 - Svezia 10 86 3 - Taiwan 16 84 0 -

Item n. 4 < 16 * > 16 Mancante o non valida

attitudinale 67 25 8 base 46 38 15

Item n. 5 0,03 0,3 3 * 31 310 Mancante o non valida

attitudinale 0 8 83 0 8 0 base 8 46 38 0 8 0

Item n. 6 500 5000 * 50000 500000 5000000 Mancante o non valida

attitudinale 0 75 17 8 0 0 base 0 62 8 8 15 8 Svezia 0 55 23 14 7 - Australia 1 1 32 54 13 - - USA 1 0 47 33 19 - -

Item n. 7 3,75 * 6/5 0,9 0,05 Mancante o non valida

attitudinale 83 17 0 0 0 base 54 31 15 0 0 Kuwait 40 47 2 14

*: risposta corretta; 1: item leggermente diversi (Reys et al., 1999); 2: percentuale complessiva di risposte errate


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Tabella 2 - Risultati per l’item n. 8 (sono state considerate accettabili le stime entro il 10% dal valore esatto)

Sotto-item Corso % stime accettabili

% stime non accettabili

% risposte mancanti

a 23/45 di 720 att. 58 25 17 base 15 69 15

b 74% di 99'999 att. 83 8 8

base 15 69 15 c 104 è il 20% di … att. 67 33 0

base 31 54 15 d 16% rispetto a 36 att. 50 42 8

base 46 46 8 e 9,2% di 58680 att. 33 50 17

base 15 62 23

Tabella 3 - Occorrenza percentuale delle strategie rilevate negli item n. 1-8 in corrispondenza delle risposte corrette,

errate e mancanti (s.n.: strategie basate sul senso del numero; p./f.: strategie procedurali o di tipo formale; - : nessuna

strategia)

Item Corso Risposta corretta Risposta errata Risposta mancante

s.n. p./f. - s.n. p./f. - s.n. p./f. -

1 att. 17 33 0 17 8 8 0 17 0

base 8 8 8 0 0 62 0 8 8

2 att. 33 8 17 0 33 8 0 0 0

base 0 15 0 8 0 46 0 8 23

4 att. 58 0 8 8 8 8 0 0 8

base 8 0 38 8 8 23 0 0 15

6 att. 58 17 0 8 8 0 0 8 0

base 54 8 0 15 8 15 0 0 0

7 att. 58 8 17 0 8 8 0 0 0

base 23 8 23 0 23 23 0 0 0

8a att. 58 0 0 0 8 17 0 0 17

base 15 0 0 0 23 46 0 0 15

8b att. 83 0 0 0 0 8 0 0 8

base 8 8 0 8 31 31 0 0 15

8c att. 58 8 0 0 17 17 0 0 0

base 23 8 0 0 15 38 0 0 15

8d att. 50 0 0 0 0 42 0 0 8

base 46 0 0 8 0 38 0 0 8

8e att. 33 0 0 0 33 17 0 0 17

base 15 0 0 0 23 38 0 0 23

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Tabella 1 - Percentuali di riuscita nell’individuazione dei risultati irragionevoli per gli item n. 1-8

Corso 1 2 3 4 5 6 7 8

% risposte corrette

att. 100,0 83,3 91,7 25,0 75,0 83,3 91,7 91,7 base 69,2 38,5 46,2 46,2 76,9 46,2 46,2 46,2

% risposte non corrette

att. 0,0 16,7 0,0 66,7 25,0 8,3 0,0 8,3 base 7,7 38,5 30,8 30,8 23,1 46,2 38,5 46,2

% risposte mancanti

att. 0,0 0,0 8,3 8,3 0,0 8,3 8,3 0,0 base 23,1 23,1 23,1 23,1 0,0 7,7 15,4 7,7

Tabella 2 - Percentuali di occorrenza e validità delle strategie rilevate per gli item n. 1–8 (sono state considerate valide

le strategie che hanno portato all’individuazione dei risultati irragionevoli e prive di errori di calcolo)

Corso attitudinale Corso base Item Strategie Occorrenza Validità Occorrenza Validità 1 senso del numero 83,3 75,0 69,2 69,2

procedurali / formali 0,0 0,0 0,0 0,0

nessuna strategia 16,7 0,0 30,8 0,0

2 senso del numero 83,3 58,3 15,4 15,4



3 senso del numero 58,3 50,0 30,8 30,8



4 senso del numero 41,7 8,3 7,7 0,0



5 senso del numero 75,0 66,7 76,9 38,5



6 senso del numero 75,0 41,7 23,1 15,4



7 senso del numero 66,7 66,7 23,1 23,1



8 senso del numero 41,7 16,7 30,8 23,1


non valide 8,3 8,3 53,8 15,4


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Allegato 10 - Il caso di un’allieva “procedurale” del corso attitudinale

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Allegato 11 - Autovalutazioni precedenti sul controllo dei risultati (IV D)

In tre occasioni di autovalutazione sono state poste le seguenti domande: “Hai controllato i tuoi risultati per scoprire

errori, distrazioni, ...? In che modo?”. Non sempre gli allievi hanno risposto.

Autovalutazione A Autovalutazione B Autovalutazione C

A.

No È raro Sì Rifacendoli, non tutti

A. Sì Ho controllato ricalcolando.

Sì Ricalcolando

D.

Sì Guardando i risultati G. Sì Rileggendo quello che

avevo scritto

G. No No

No

L. Sì Ho riguardato le cose più volte

Sì Lo rileggo Sì Rileggendo le cose

M.

No

M. Sì Riguardando i fogli e svolgendoli

Alcune volte sì

Ricontrollo i calcoli Sì Ricontrollando i calcoli

N. Quasi mai Se sì calcolo ancora tutto velocemente

sì Ricalcolo dove non sono sicuro

O.

No

S.

No

T. Sì Riguardando i calcoli e rileggendo le domande

Sì Ricalcolando tutto


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Questa pubblicazione, SENSO DEL NUMERO, STIMA E CONTROLLO DEI RISULTATI IN

STUDENTI DI IV MEDIA, scritta da Diana Cricchio, è rilasciata sotto Creative Commons

Attribuzione – Non commerciale 3.0 Unported License.

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